Some Properties of a Triangle Questions in Hindi

(N/A) $1$. $QS$ को आगे बढ़ाएं ताकि वह $PR$ को बिंदु $T$ पर प्रतिच्छेद करे।
$2$. $\Delta PQT$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है: $PQ + PT > QT$। इसे $PQ + PT > QS + ST$ के रूप में लिखा जा सकता है (समीकरण $1$)।
$3$. $\Delta SRT$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,$ST + TR > SR$ (समीकरण $2$)।
$4$. समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $PQ + PT + ST + TR > QS + ST + SR$।
$5$. दोनों पक्षों से $ST$ को हटाने पर: $PQ + (PT + TR) > QS + SR$।
$6$. चूँकि $PT + TR = PR$,हमें $PQ + PR > QS + SR$ प्राप्त होता है,जो $SQ + SR < PQ + PR$ के समतुल्य है।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\angle A = 90^{\circ}$ और $AB = AC$ है। $AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है।
चूंकि $AB = AC$,$\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इसलिए,$\angle B = \angle C$ है।
$\Delta ABC$ में,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ है।
$90^{\circ} + \angle B + \angle B = 180^{\circ} \implies 2 \angle B = 90^{\circ} \implies \angle B = 45^{\circ}$ है। अतः,$\angle C = 45^{\circ}$ है।
चूंकि $AD$,$\angle A$ का कोण समद्विभाजक है,इसलिए $\angle BAD = \angle CAD = 45^{\circ}$ है।
$\Delta ABD$ में,$\angle B = 45^{\circ}$ और $\angle BAD = 45^{\circ}$ है। चूंकि दो कोण बराबर हैं,इसलिए $AD = BD$ है।
$\Delta ACD$ में,$\angle C = 45^{\circ}$ और $\angle CAD = 45^{\circ}$ है। चूंकि दो कोण बराबर हैं,इसलिए $AD = CD$ है।
चूंकि $D$,$BC$ पर स्थित है,इसलिए $BC = BD + CD$ है।
$BD = AD$ और $CD = AD$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $BC = AD + AD = 2 AD$ प्राप्त होता है।
अतः,$BC = 2 AD$ सिद्ध हुआ।

(N/A) मान लीजिए $ABC$ एक त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $AB$,$BC$ और $AC$ हैं। मान लीजिए $AD$ भुजा $BC$ पर माध्यिका है,जिससे $BD = DC = \frac{1}{2} BC$ है।
$AD$ को बिंदु $E$ तक इस प्रकार बढ़ाइए कि $AD = DE$ हो। $CE$ को मिलाइए।
$\triangle ABD$ और $\triangle ECD$ में:
$1$. $AD = DE$ (रचना से)
$2$. $\angle ADB = \angle EDC$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$3$. $BD = DC$ (चूँकि $AD$ माध्यिका है)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा $\triangle ABD \cong \triangle ECD$ है।
इसलिए,$AB = EC$ ($CPCT$ द्वारा)।
$\triangle ACE$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है:
$AC + CE > AE$
चूँकि $AE = AD + DE = 2AD$ और $CE = AB$ है,हम इन मानों को असमिका में प्रतिस्थापित करते हैं:
$AC + AB > 2AD$
अतः,दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा पर खींची गई माध्यिका के दोगुने से अधिक होता है।

(A) मान लीजिए कि त्रिभुज की भुजाएँ $a$,$b$,और $c$ हैं,और उनके सम्मुख कोण क्रमशः $A$,$B$,और $C$ हैं।
मान लीजिए $a$ सबसे बड़ी भुजा है,इसलिए $a > b$ और $a > c$ है।
त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,सबसे बड़ी भुजा के सम्मुख कोण सबसे बड़ा कोण होता है,इसलिए $A > B$ और $A > C$ है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के कोणों का योग $A + B + C = 180^{\circ}$ होता है।
चूँकि $A > B$ और $A > C$ है,इसलिए $A + A + A > A + B + C$ होगा,जिसका अर्थ है $3A > 180^{\circ}$।
अतः,$A > 60^{\circ}$।
एक समकोण $90^{\circ}$ होता है,और समकोण का $\frac{2}{3}$ भाग $\frac{2}{3} \times 90^{\circ} = 60^{\circ}$ होता है।
इस प्रकार,$A > 60^{\circ}$ यह सिद्ध करता है कि सबसे बड़ी भुजा के सम्मुख कोण का मान एक समकोण के $\frac{2}{3}$ भाग से अधिक है।

(B) त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\Delta ABC$ के लिए,बहिष्कोण $\angle ABD = \angle BAC + \angle ACB = 110^{\circ}$ है।
बहिष्कोण $\angle ACE = \angle BAC + \angle ABC = 130^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle ACE > \angle ABD$,इसलिए $(\angle BAC + \angle ABC) > (\angle BAC + \angle ACB)$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\angle ABC > \angle ACB$ है।
त्रिभुज में बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी होती है। इसलिए,$\angle ABC$ के सामने की भुजा $(AC)$ को $\angle ACB$ के सामने की भुजा $(AB)$ से बड़ा होना चाहिए।
अतः,$AC > AB$,जिसका अर्थ है कि $AB < AC$ है।
इसलिए,कथन $AB > AC$ असत्य है।

(C) $\Delta ABC$ में,यह दिया गया है कि $AB = AC$ है।
समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,भुजा $AB$ के सम्मुख कोण $\angle C$ है और भुजा $AC$ के सम्मुख कोण $\angle B$ है।
चूंकि $AB = AC$,इसलिए $\angle C = \angle B$ होगा।
दिया गया है कि $\angle B = 75^{\circ}$,इसलिए $\angle C = 75^{\circ}$ होगा।

(D) दिया गया है कि $\Delta PQR$ में,$PQ = PR$ है।
समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle Q = \angle R$।
यहाँ $\angle R = 40^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\angle Q = 40^{\circ}$ होगा।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$।
मान रखने पर: $\angle P + 40^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle P + 80^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle P = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$।

(A) दिया गया है कि $\Delta XYZ$ में,$XY = XZ$ है।
चूंकि दो भुजाएं बराबर हैं,इसलिए $\Delta XYZ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
अतः,बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,जिसका अर्थ है कि $\angle Y = \angle Z$।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle X + \angle Y + \angle Z = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $80^{\circ} + \angle Y + \angle Y = 180^{\circ}$।
$80^{\circ} + 2\angle Y = 180^{\circ}$।
$2\angle Y = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$।
$\angle Y = 100^{\circ} / 2 = 50^{\circ}$।

(B) किसी भी त्रिभुज में,बड़े कोण के सामने की भुजा छोटे कोण के सामने की भुजा से बड़ी होती है।
दिया गया है कि $\Delta ABC$ में $\angle A > \angle B$ है।
$\angle A$ के सामने की भुजा $BC$ है।
$\angle B$ के सामने की भुजा $AC$ है।
चूंकि $\angle A > \angle B$ है,इसलिए $\angle A$ के सामने की भुजा $\angle B$ के सामने की भुजा से बड़ी होनी चाहिए।
अतः,$BC > AC$,जिसका अर्थ है कि $AC < BC$।

(C) त्रिभुज के बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज के एक बहिष्कोण का माप उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\Delta ABC$ में,$\angle ACD$ शीर्ष $C$ पर स्थित बहिष्कोण है।
इसके अंतः अभिमुख कोण $\angle A$ और $\angle B$ हैं।
अतः,$\angle ACD = \angle A + \angle B$।
दिया गया है कि $\angle A = 50^{\circ}$ और $\angle B = 65^{\circ}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\angle ACD = 50^{\circ} + 65^{\circ} = 115^{\circ}$।

(D) $\Delta ABC$ में,हमें दिया गया है कि $AB = AC$ है।
समद्विबाहु त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle C = \angle B = 70^{\circ}$।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
$\angle A + 70^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle A + 140^{\circ} = 180^{\circ}$,जिससे $\angle A = 40^{\circ}$ प्राप्त होता है।
बहिष्कोण गुणधर्म के अनुसार,त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
अतः,$\angle ACD = \angle A + \angle B$।
$\angle ACD = 40^{\circ} + 70^{\circ} = 110^{\circ}$।

(A) समबाहु त्रिभुज वह त्रिभुज है जिसकी तीनों भुजाएँ समान होती हैं और तीनों अंतःकोण समान होते हैं।
समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक अंतःकोण $60^{\circ}$ होता है।
एक अंतःकोण और उसके संगत बाह्य कोण का योग $180^{\circ}$ होता है (रैखिक युग्म)।
इसलिए,बाह्य कोण = $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
वैकल्पिक रूप से,किसी भी बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है। चूंकि एक समबाहु त्रिभुज में $3$ समान बाह्य कोण होते हैं,इसलिए प्रत्येक बाह्य कोण = $360^{\circ} / 3 = 120^{\circ}$।

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में, $\angle B = \angle C$ है।
त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार, समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए, $\angle B$ की सम्मुख भुजा $AC$ है और $\angle C$ की सम्मुख भुजा $AB$ है।
अतः, $AC = AB$ होगा।
हमें $AB = 5 \text{ cm}$ दिया गया है, इसलिए $AC = 5 \text{ cm}$ होगा।
साथ ही, $BC = 8 \text{ cm}$ दिया गया है।
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + BC + AC$ होता है।
परिमाप $= 5 \text{ cm} + 8 \text{ cm} + 5 \text{ cm} = 18 \text{ cm}$।

(C) $\Delta XYZ$ में,हमें दिया गया है कि $\angle Y = 90^{\circ}$ है।
चूंकि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle X + \angle Y + \angle Z = 180^{\circ}$ होगा।
$\angle Y$ का मान रखने पर,$\angle X + 90^{\circ} + \angle Z = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\angle X + \angle Z = 90^{\circ}$ है।
हमें यह भी दिया गया है कि $XY = YZ$ है। त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle Z = \angle X$ होगा।
समीकरण $\angle X + \angle Z = 90^{\circ}$ में $\angle Z = \angle X$ रखने पर,हमें $\angle X + \angle X = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $2\angle X = 90^{\circ}$ मिलता है,जिससे $\angle X = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(D) $\Delta ABC$ में,अंतःकोण $\angle ABC$,$\angle ACB$ और $\angle BAC$ (या $\angle A$) हैं।
चूंकि $\angle ABD$ शीर्ष $B$ पर एक बहिष्कोण है,इसलिए $\angle ABC + \angle ABD = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
अतः,$\angle ABC = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$।
चूंकि $\angle ACE$ शीर्ष $C$ पर एक बहिष्कोण है,इसलिए $\angle ACB + \angle ACE = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
अतः,$\angle ACB = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$।
$\Delta ABC$ के तीनों अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
$\angle A + 70^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle A + 100^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle A = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$।

(B) त्रिभुज असमिका प्रमेय (triangle inequality theorem) के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाइयों का योग हमेशा तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है। इसलिए,सही शब्द 'अधिक' है।

(B) त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का अंतर हमेशा तीसरी भुजा की लंबाई से कम होता है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ $a$,$b$ और $c$ हैं,तो $|a - b| < c$,$|a - c| < b$ और $|b - c| < a$ होता है।

(D) $\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
$\angle A + 50^{\circ} + 85^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle A + 135^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle A = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$।
हम जानते हैं कि त्रिभुज में बड़े कोण के सामने की भुजा लंबी होती है।
यहाँ,$\angle C = 85^{\circ}$ और $\angle B = 50^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle C > \angle B$,इसलिए $\angle C$ के सामने की भुजा $(AB)$,$\angle B$ के सामने की भुजा $(AC)$ से बड़ी होगी।
अतः,$AB > AC$।

(A) त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार,एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए।
$\Delta ABC$ में,भुजाओं $AB$ और $BC$ का योग $AC$ से अधिक होना चाहिए।
इसलिए,$AB + BC > AC$।
दिए गए मानों को रखने पर: $6 \text{ cm} + 9 \text{ cm} > AC$।
$15 \text{ cm} > AC$,जिसका अर्थ है कि $AC < 15 \text{ cm}$।
अतः,भुजा $AC$ की लंबाई $15 \text{ cm}$ से कम होनी चाहिए।

(B) त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
साथ ही,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का अंतर हमेशा तीसरी भुजा से कम होता है।
मान लीजिए भुजाएँ $a = 8 \, cm$,$b = 5 \, cm$ और $c = AC$ हैं।
गुणधर्म के अनुसार: $|a - b| < c < a + b$।
मान रखने पर: $|8 - 5| < AC < 8 + 5$।
$3 < AC < 13$।
अतः,$AC$ का मान $3 \, cm$ से अधिक होना चाहिए।

(C) $\Delta PQR$ में,हमें दिया गया है कि $\angle Q = \angle R$ है।
प्रमेय के अनुसार,किसी त्रिभुज में समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए,$\angle Q$ की सम्मुख भुजा $(PR)$,$\angle R$ की सम्मुख भुजा $(PQ)$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$PR = PQ$ है।
चूँकि $PQ = 6.5 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $PR = 6.5 \, cm$ होगा।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$AB = AC$ है।
समद्विबाहु त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,भुजा $AB$ के सम्मुख कोण $\angle C$ है और भुजा $AC$ के सम्मुख कोण $\angle B$ है।
चूंकि $AB = AC$,इसलिए $\angle B = \angle C$ होगा।
दिया गया है कि $\angle C = 75^{\circ}$ है।
अतः,$\angle B = 75^{\circ}$ होगा।

(A) त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
मान लीजिए तीसरी भुजा $AC = x \text{ cm}$ है।
तब,$AB + BC > AC \implies 8 + 10 > x \implies x < 18$।
साथ ही,$AB + AC > BC \implies 8 + x > 10 \implies x > 2$।
और $BC + AC > AB \implies 10 + x > 8$,जो सभी $x > 0$ के लिए सत्य है।
अतः,$2 < x < 18$।
परिमाप $P = AB + BC + AC = 8 + 10 + x = 18 + x$।
चूंकि $x < 18$,इसलिए परिमाप $P < 18 + 18 = 36 \text{ cm}$।
अतः,परिमाप $36 \text{ cm}$ से कम है।

(B) किसी भी त्रिभुज में,किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए (त्रिभुज असमिका प्रमेय)।
मान लीजिए $\Delta XYZ$ की भुजाएँ $XY = 7 \, cm$,$YZ = 10 \, cm$ और $XZ = z \, cm$ हैं।
त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार:
$XY + YZ > XZ \implies 7 + 10 > z \implies z < 17$
$XY + XZ > YZ \implies 7 + z > 10 \implies z > 3$
$YZ + XZ > XY \implies 10 + z > 7 \implies z > -3$ (जो लंबाई के लिए हमेशा सत्य है)।
अतः,तीसरी भुजा $z$ को $3 < z < 17$ शर्त को पूरा करना चाहिए।
त्रिभुज का परिमाप $P = XY + YZ + XZ = 7 + 10 + z = 17 + z$ है।
चूंकि $z > 3$,इसलिए $P = 17 + z > 17 + 3 = 20$.
अतः,$\Delta XYZ$ का परिमाप $20 \, cm$ से अधिक है।

(D) किसी भी त्रिभुज में,सबसे लंबी भुजा के सम्मुख कोण सबसे बड़ा कोण होता है।
दिया गया है कि भुजाओं की लंबाई असमिका $AC > AB > BC$ को संतुष्ट करती है।
भुजा $AC$,$\Delta ABC$ की सबसे लंबी भुजा है।
भुजा $AC$ के सम्मुख कोण $\angle B$ है।
अतः,$\angle B$ त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण है।

(A) त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से हमेशा बड़ा होता है और किन्हीं दो भुजाओं का अंतर तीसरी भुजा से हमेशा छोटा होता है।
दी गई भुजाएँ $PQ = 7.5 \, cm$ और $QR = 6.2 \, cm$ हैं।
माना तीसरी भुजा $PR$ है।
$1$. दो भुजाओं का अंतर तीसरी भुजा से कम होना चाहिए: $PR > |PQ - QR| = |7.5 - 6.2| = 1.3 \, cm$.
$2$. दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए: $PR < PQ + QR = 7.5 + 6.2 = 13.7 \, cm$.
इसलिए,$1.3 < PR < 13.7$.
इसकी तुलना $a < PR < b$ से करने पर,हमें $a = 1.3$ और $b = 13.7$ प्राप्त होता है।

(B) किसी भी त्रिभुज में,सबसे बड़े कोण के सामने की भुजा सबसे लंबी होती है और सबसे छोटे कोण के सामने की भुजा सबसे छोटी होती है।
दिया गया है कि कोण $\angle Y > \angle X > \angle Z$ हैं।
$\angle Y$ के सामने की भुजा $XZ$ है।
$\angle X$ के सामने की भुजा $YZ$ है।
$\angle Z$ के सामने की भुजा $XY$ है।
चूंकि $\angle Z$ सबसे छोटा कोण है,इसलिए इसके सामने की भुजा $XY$ त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा होगी।

(D) माना त्रिभुज की तीसरी भुजा $AC = b$ है।
त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है और किन्हीं दो भुजाओं का अंतर तीसरी भुजा से छोटा होता है।
$1$. $AB + BC > AC \implies 9 + 12 > b \implies b < 21$.
$2$. $BC - AB < AC \implies 12 - 9 < b \implies b > 3$.
अतः,$3 < b < 21$.
परिमाप $P = AB + BC + AC = 9 + 12 + b = 21 + b$.
चूंकि $3 < b < 21$,हम असमिका के सभी भागों में $21$ जोड़ते हैं:
$3 + 21 < 21 + b < 21 + 21$
$24 < P < 42$.
इसकी तुलना $x < P < y$ से करने पर,हमें $x = 24$ और $y = 42$ प्राप्त होता है।

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ में,$AD$ माध्यिका है। चूँकि एक माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है,इसलिए $ar(ABD) = ar(ACD) = \frac{1}{2} ar(ABC)$.
$2$. इसी प्रकार,$\Delta GBC$ में,$GD$ माध्यिका है,अतः $ar(GBD) = ar(GCD)$.
$3$. बड़े त्रिभुजों से इन क्षेत्रफलों को घटाने पर: $ar(GAB) = ar(ABD) - ar(GBD)$ और $ar(GAC) = ar(ACD) - ar(GCD)$। चूँकि $ar(ABD) = ar(ACD)$ और $ar(GBD) = ar(GCD)$,इसलिए $ar(GAB) = ar(GAC)$ प्राप्त होता है।
$4$. सममिति द्वारा,$BE$ या $CF$ माध्यिका का उपयोग करके,हम दिखा सकते हैं कि $ar(GAB) = ar(GBC) = ar(GCA)$।
$5$. चूँकि इन तीनों क्षेत्रफलों का योग $ar(ABC)$ है,इसलिए प्रत्येक का मान $\frac{1}{3} ar(ABC)$ होगा।

(A) $1$. समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
$2$. $AB^2 + 8^2 = 17^2 \implies AB^2 + 64 = 289 \implies AB^2 = 225 \implies AB = 15 \, \text{cm}$.
$3$. $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 15 \times 8 = 60 \, \text{cm}^2$.
$4$. चूंकि $BE$ एक माध्यिका है,यह त्रिभुज को दो समान क्षेत्रफल वाले भागों में विभाजित करती है: $\text{Area}(\Delta BCE) = \frac{1}{2} \times \text{Area}(\Delta ABC) = \frac{60}{2} = 30 \, \text{cm}^2$.
$5$. $\Delta BCE$ में,$M$,$BE$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $CM$,$\Delta BCE$ की माध्यिका है।
$6$. माध्यिका त्रिभुज को दो समान क्षेत्रफल में विभाजित करती है,इसलिए $\text{Area}(\Delta BMC) = \frac{1}{2} \times \text{Area}(\Delta BCE) = \frac{30}{2} = 15 \, \text{cm}^2$.

(B) $1$. दिया गया है कि $AD$,$\Delta ABC$ की एक माध्यिका है,इसलिए यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। अतः,$Area(\Delta ABD) = Area(\Delta ADC) = \frac{1}{2} \times Area(\Delta ABC)$.
$2$. $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 16 \times 8 = 64\, cm^2$.
$3$. इसलिए,$Area(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \times 64 = 32\, cm^2$.
$4$. $\Delta EBD$ में,$DA$ एक माध्यिका है क्योंकि $AB = AE$ (दिया गया है),जिसका अर्थ है कि $A$,$BE$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$\Delta ABD$ और $\Delta AED$ का आधार और ऊँचाई समान है।
$5$. चूँकि $AB = AE$ है,इसलिए $\Delta ABD$ और $\Delta AED$ के क्षेत्रफल समान हैं। अतः,$Area(\Delta ABD) = Area(\Delta AED) = 32\, cm^2$.
$6$. $\Delta EBD$ का कुल क्षेत्रफल $= Area(\Delta ABD) + Area(\Delta AED) = 32 + 32 = 64\, cm^2$.

(N/A) $1$. मान लीजिए कि $\Delta XYZ$ का आधार $YZ$,बिंदुओं $A, B, C, D, E, F,$ और $G$ द्वारा $8$ बराबर भागों में विभाजित है।
$2$. चूंकि $YA = AB = BC = CD = DE = EF = FG = GZ$ है,इसलिए प्रत्येक खंड की लंबाई कुल लंबाई $YZ$ का $\frac{1}{8}$ भाग है।
$3$. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $ar = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ है।
$4$. सभी त्रिभुज $\Delta XYZ, \Delta XBE$ आदि एक ही शीर्ष $X$ साझा करते हैं और एक ही आधार रेखा $YZ$ पर स्थित हैं,जिसका अर्थ है कि उनकी ऊंचाई $h$ समान है।
$5$. $\Delta XBE$ का आधार $BE$ है। चूंकि $BE = BC + CD + DE$ है और प्रत्येक खंड $\frac{1}{8} YZ$ है,इसलिए $BE = \frac{3}{8} YZ$ होगा।
$6$. अतः,$ar(XBE) = \frac{1}{2} \times BE \times h = \frac{1}{2} \times (\frac{3}{8} YZ) \times h$।
$7$. इसे सरल करने पर $ar(XBE) = \frac{3}{8} \times (\frac{1}{2} \times YZ \times h) = \frac{3}{8} ar(XYZ)$ प्राप्त होता है।

(C) समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$।
$\Delta ABC$ में,चूंकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए भुजाएं $AB$ और $BC$ आधार और ऊंचाई के रूप में कार्य करती हैं।
दिया गया है: $AB = 8\, \text{cm}$ (ऊंचाई) और $BC = 15\, \text{cm}$ (आधार)।
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 15 \times 8$.
$\text{क्षेत्रफल} = 15 \times 4 = 60\, \text{cm}^2$।

(D) त्रिभुज की एक माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
चूंकि $AD$,$\Delta ABC$ की माध्यिका है,यह $\Delta ABC$ को दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों $\Delta ABD$ और $\Delta ADC$ में विभाजित करती है।
इसलिए,$ar(\Delta ADC) = \frac{1}{2} \times ar(\Delta ABC)$।
दिया गया है कि $ar(\Delta ABC) = 50 \, cm^2$ है।
अतः,$ar(\Delta ADC) = \frac{1}{2} \times 50 \, cm^2 = 25 \, cm^2$।

(C) $1$. चूंकि $AD$,$\Delta ABC$ की माध्यिका है,यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
$\operatorname{ar}(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \times 72 = 36 \, \text{cm}^2$.
$2$. $\Delta ABD$ में,$Q$,$AD$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$BQ$,$\Delta ABD$ की माध्यिका है।
$\operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \times 36 = 18 \, \text{cm}^2$.
$3$. $\Delta ABQ$ में,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$QP$,$\Delta ABQ$ की माध्यिका है।
$\operatorname{ar}(\Delta APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \times 18 = 9 \, \text{cm}^2$.

(D) दिया गया है कि $\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle Q = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PQ^2 + QR^2 = PR^2$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $PQ^2 + 21^2 = 29^2$।
$PQ^2 + 441 = 841$।
$PQ^2 = 841 - 441 = 400$।
$PQ = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}$।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
यहाँ,$\text{आधार} = QR = 21 \text{ cm}$ और $\text{ऊंचाई} = PQ = 20 \text{ cm}$ है।
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 21 \times 20 = 21 \times 10 = 210 \text{ cm}^2$।

(B) त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
चूंकि $AD$,$\Delta ABC$ की माध्यिका है,यह त्रिभुज को दो त्रिभुजों $\Delta ADB$ और $\Delta ADC$ में विभाजित करती है,जिससे $\operatorname{ar}(ADB) = \operatorname{ar}(ADC)$ होता है।
दिया गया है कि $\operatorname{ar}(ADB) = 53 \, cm^2$,इसलिए $\operatorname{ar}(ADC) = 53 \, cm^2$ होगा।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta ADB$ और $\Delta ADC$ के क्षेत्रफलों का योग है।
$\operatorname{ar}(ABC) = \operatorname{ar}(ADB) + \operatorname{ar}(ADC) = 53 \, cm^2 + 53 \, cm^2 = 106 \, cm^2$.

(C) त्रिभुज की एक माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
$\Delta PQR$ में,$PM$ भुजा $QR$ पर माध्यिका है।
इसलिए,$\text{ar}(\Delta PMQ) = \text{ar}(\Delta PMR)$ होगा।
दिया गया है कि $\text{ar}(\Delta PMQ) = 36 \text{ cm}^2$ है।
अतः,$\text{ar}(\Delta PMR) = 36 \text{ cm}^2$ होगा।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $50^2 = 14^2 + BC^2$.
$2500 = 196 + BC^2$.
$BC^2 = 2500 - 196 = 2304$.
$BC = \sqrt{2304} = 48 \, cm$.
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 14 \times 48$.
$\text{Area} = 7 \times 48 = 336 \, cm^2$.

(A) $\Delta ABC$ में,चूंकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ होगा।
मान रखने पर,$AC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$ प्राप्त होता है।
अतः,$AC = \sqrt{400} = 20 \, cm$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ के रूप में निकाला जा सकता है।
$AB$ और $BC$ को आधार और ऊंचाई के रूप में लेने पर,क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96 \, cm^2$ होगा।
वैकल्पिक रूप से,$AC$ को आधार और $BM$ को ऊंचाई के रूप में लेने पर,क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times BM$ होगा।
क्षेत्रफल के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} \times 20 \times BM = 96$ प्राप्त होता है।
$10 \times BM = 96$।
$BM = 9.6 \, cm$।

(B) भुजा की लंबाई वाले एक समबाहु त्रिभुज में,शीर्षलंब आधार को $\frac{a}{2}$ लंबाई के दो बराबर भागों में विभाजित करता है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$h^{2} + (\frac{a}{2})^{2} = a^{2}$
$h^{2} + \frac{a^{2}}{4} = a^{2}$
$h^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4}$
$h^{2} = \frac{3a^{2}}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$
अतः,शीर्षलंब की लंबाई $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ है।

(B) सबसे पहले,ध्यान दें कि $AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = AC^2$ है।
चूंकि दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर है,इसलिए $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $B$ पर है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \, cm^2$ के रूप में निकाला जा सकता है।
वैकल्पिक रूप से,$AC$ को आधार और $BM$ को ऊंचाई के रूप में लेने पर,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times AC \times BM = \frac{1}{2} \times 10 \times BM = 5 \times BM$ होगा।
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $5 \times BM = 24$।
अतः,$BM = \frac{24}{5} = 4.8 \, cm$ प्राप्त होता है।

(B) त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
एक समकोण त्रिभुज में,समकोण बनाने वाली दो भुजाएं आधार और ऊंचाई के रूप में कार्य करती हैं।
इसलिए,समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{समकोण बनाने वाली भुजाओं का गुणनफल}$ होता है।