Thermal Expansion for Solid Questions in Gujarati

(D) સળિયો ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર રાખેલ છે અને તેના છેડાઓ કોઈ પણ રીતે જકડાયેલા નથી.
જ્યારે સળિયાનું તાપમાન વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઉષ્મીય પ્રસરણ અનુભવે છે.
અહીં આ પ્રસરણને રોકવા માટે કોઈ બાહ્ય અવરોધ (જેમ કે દીવાલ) ન હોવાથી,સળિયો મુક્તપણે વિસ્તરણ પામે છે.
કારણ કે સળિયો કોઈપણ અવરોધ વિના મુક્તપણે વિસ્તરણ પામે છે,તેથી પદાર્થમાં કોઈ ઉષ્મીય પ્રતિબળ ઉદ્ભવતું નથી.
પરિણામે,તાંબાના સળિયામાં ઉદ્ભવતું તણાવ (અથવા દબાણ બળ) $0 \,N$ છે.

(D) લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે આવર્તકાળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ છે.
અહીં $\alpha = 1.2 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ અને $\Delta \theta = 35^{\circ} C - 25^{\circ} C = 10^{\circ} C$ આપેલ છે.
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 10^{-5} \times 10 = 6.0 \times 10^{-5}$.
તાપમાન વધવાથી લોલકની લંબાઈ વધે છે,તેથી આવર્તકાળ વધે છે અને ઘડિયાળ સમય ગુમાવે છે.
એક અઠવાડિયામાં $(7 \times 24 \times 3600 \, s)$ ગુમાવેલ સમય:
$\Delta t = \frac{\Delta T}{T} \times \text{કુલ સમય} = 6.0 \times 10^{-5} \times (7 \times 24 \times 3600) = 36.288 \, s \approx 36.28 \, s$.

(B) તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_f - T_i = -15^{\circ} C - 20^{\circ} C = -35^{\circ} C$ છે.
ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે લંબાઈમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટકાવારી ભૂલ $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = \alpha \Delta T \times 100$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\text{ટકાવારી ભૂલ} = (1.2 \times 10^{-5} {}^{\circ} C^{-1}) \times (-35^{\circ} C) \times 100$.
$\text{ટકાવારી ભૂલ} = -42 \times 10^{-3} \% = -0.042 \%$.

(C) ધાતુની પટ્ટીની લંબાઈ $T_0 = 25^{\circ} C$ તાપમાને સાચી માપાંકિત કરેલી છે。
જ્યારે તાપમાન ઘટીને $T = 10^{\circ} C$ થાય છે, ત્યારે પટ્ટીમાં ઉષ્મીય સંકોચન થાય છે。
સંકોચનને કારણે, પટ્ટી પરના અંકન વચ્ચેનું અંતર ઘટે છે。
જો પટ્ટી $L_{reading} = 30 \, cm$ નું વાંચન દર્શાવે છે, તો તેનો અર્થ એ છે કે પટ્ટી પરના $0$ અને $30$ ના અંકન વચ્ચેનું ભૌતિક અંતર ઘટી ગયું છે。
પટ્ટી તેની મૂળ લંબાઈ કરતા ટૂંકી હોવાથી, પદાર્થની ઓછી ભૌતિક લંબાઈ તેટલા જ અંકનોને આવરી લેશે。
તેથી, લાકડાના ટુકડાની વાસ્તવિક લંબાઈ પટ્ટી પર દર્શાવેલ વાંચન કરતા ઓછી હશે $(L_{real} < 30 \, cm)$。

(D) થર્મોસ્ટેટમાં ઘણીવાર બાયમેટાલિક સ્ટ્રીપનો ઉપયોગ થાય છે, જે એકસાથે જોડાયેલી બે અલગ અલગ ધાતુઓની બનેલી હોય છે.
આ બે ધાતુઓને ખાસ કરીને પસંદ કરવામાં આવે છે કારણ કે તેમના રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ અલગ-અલગ હોય છે.
જ્યારે તાપમાન બદલાય છે, ત્યારે બંને ધાતુઓ તેમના અલગ-અલગ $\alpha$ મૂલ્યોને કારણે અલગ-અલગ માત્રામાં વિસ્તરણ અથવા સંકોચન પામે છે, જેના કારણે પટ્ટી વળી જાય છે.
આ વળવાની ક્રિયાનો ઉપયોગ વિદ્યુત પરિપથને ચાલુ અથવા બંધ કરવા માટે થાય છે, જેનાથી તાપમાનનું નિયમન થાય છે.
તેથી, સાચો જવાબ રેખીય પ્રસરણાંક છે.

(C) કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ એ ત્રણ પરસ્પર લંબ દિશાઓમાં રેખીય પ્રસરણાંકનો સરવાળો છે.
આપેલ છે:
$\alpha_1 = 2 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C$
$\alpha_2 = 3 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C$
$\alpha_3 = 3 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C$
સ્ફટિકમય પદાર્થ હોવાથી,પ્રથમ દિશાને લંબ દિશાઓમાં પ્રસરણ સમાન હોય છે.
$\gamma = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$
$\gamma = (2 + 3 + 3) \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C$
$\gamma = 8 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C$
તેથી,કદ પ્રસરણાંક $8 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C$ છે.

(B) ધારો કે પટ્ટીઓની લંબાઈ $\ell$ અને જાડાઈ $t$ છે. જ્યારે $\Delta T$ તાપમાન વધારવામાં આવે,ત્યારે નવી લંબાઈ $\ell_1 = \ell(1 + \alpha_1 \Delta T)$ અને $\ell_2 = \ell(1 + \alpha_2 \Delta T)$ થાય છે.
ધારો કે $\alpha_2 > \alpha_1$,તેથી $\alpha_2$ વાળી પટ્ટી બહારનો ચાપ બનાવે છે.
ધારો કે $r$ એ તટસ્થ અક્ષની ત્રિજ્યા છે. દરેક પટ્ટીની જાડાઈ તટસ્થ અક્ષથી $t/2$ છે,તેથી બે પટ્ટીઓની ત્રિજ્યા $r_1 = r - t/2$ અને $r_2 = r + t/2$ થાય.
ચાપ દ્વારા બનતો ખૂણો $\theta$ બંને માટે સમાન છે: $\theta = \ell_1 / r_1 = \ell_2 / r_2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\ell(1 + \alpha_1 \Delta T)}{r - t/2} = \frac{\ell(1 + \alpha_2 \Delta T)}{r + t/2}$.
$\alpha \Delta T$ ખૂબ નાનું હોવાથી,આપણે છેદ માટે $1 + \alpha \Delta T \approx 1$ લઈએ છીએ,પરંતુ અંશમાં તફાવત રાખીએ છીએ: $\frac{\ell_2}{\ell_1} = \frac{r + t/2}{r - t/2}$.
યોગ-વિયોગના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\ell_2 - \ell_1}{\ell_2 + \ell_1} = \frac{(r + t/2) - (r - t/2)}{(r + t/2) + (r - t/2)} = \frac{t}{2r}$.
$\ell_2 - \ell_1 = \ell(\alpha_2 - \alpha_1) \Delta T$ અને $\ell_2 + \ell_1 \approx 2\ell$ હોવાથી,આપણને $\frac{\ell(\alpha_2 - \alpha_1) \Delta T}{2\ell} = \frac{t}{2r}$ મળે છે.
$r$ માટે ઉકેલતા,$r = \frac{t}{(\alpha_2 - \alpha_1) \Delta T}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $27^{\circ}C$ તાપમાને પ્રારંભિક વ્યાસ $d_0 = 5\,cm$ છે.
જ્યારે શીટને $177^{\circ}C$ તાપમાન સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 177^{\circ}C - 27^{\circ}C = 150^{\circ}C$ છે.
વ્યાસમાં થતો ફેરફાર $\Delta d$ એ રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta d = d_0 \alpha \Delta T$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta d = 5\,cm \times (1.6 \times 10^{-5} /^{\circ}C) \times 150^{\circ}C$.
$\Delta d = 5 \times 1.6 \times 150 \times 10^{-5}\,cm$.
$\Delta d = 1200 \times 10^{-5}\,cm = 12 \times 10^{-3}\,cm$.
આને $d \times 10^{-3}\,cm$ સાથે સરખાવતા,આપણને $d = 12$ મળે છે.

(A) પિત્તળનો રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha_b)$ આશરે $19 \times 10^{-6} /^{\circ}C$ છે,જ્યારે સ્ટીલનો $(\alpha_s)$ આશરે $12 \times 10^{-6} /^{\circ}C$ છે.
કારણ કે $\alpha_b > \alpha_s$,પિત્તળ તાપમાનના સમાન ફેરફાર માટે સ્ટીલ કરતા વધુ વિસ્તરણ કે સંકોચન પામે છે.
પિત્તળની તકતીને સ્ટીલની પ્લેટમાંથી ઢીલી કરવા માટે,તકતીએ સ્ટીલની પ્લેટના કાણા કરતા વધુ સંકોચાવું જોઈએ.
સિસ્ટમને ઠંડી પાડવાથી બંને સંકોચાય છે,પરંતુ પિત્તળની તકતી સ્ટીલના કાણા કરતા વધુ સંકોચાતી હોવાથી,તકતી ઢીલી થઈ જશે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) તાપમાનમાં ફેરફારને કારણે લોલક ઘડિયાળ દ્વારા ગુમાવેલ અથવા મેળવેલ સમય $\Delta t = \frac{1}{2} \alpha (\Delta \theta) T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણનો ગુણાંક છે,$\Delta \theta$ એ તાપમાનમાં ફેરફાર છે અને $T$ એ આવર્તકાળ છે.
ધારો કે $\theta$ એ તાપમાન છે જ્યાં ઘડિયાળ સાચો સમય બતાવે છે.
$40^{\circ} C$ પર,ઘડિયાળ $12 \ s$ ગુમાવે છે: $12 = \frac{1}{2} \alpha (40 - \theta) T$ ... $(i)$
$20^{\circ} C$ પર,ઘડિયાળ $4 \ s$ મેળવે છે: $4 = \frac{1}{2} \alpha (\theta - 20) T$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{12}{4} = \frac{40 - \theta}{\theta - 20}$
$3 = \frac{40 - \theta}{\theta - 20}$
$3(\theta - 20) = 40 - \theta$
$3\theta - 60 = 40 - \theta$
$4\theta = 100$
$\theta = 25^{\circ} C$

(B) સ્ટીલની પટ્ટી $20^{\circ} C$ તાપમાને સાચું માપ આપવા માટે અંશાંકિત (calibrated) કરેલી છે।
જ્યારે તાપમાન ઘટીને $0^{\circ} C$ થાય છે, ત્યારે સ્ટીલની પટ્ટીમાં ઉષ્મીય સંકોચન થાય છે।
પરિણામે, પટ્ટી પરના અંકન વચ્ચેનું અંતર ઘટે છે।
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો, જે અંતર $20^{\circ} C$ તાપમાને $1 \ cm$ દર્શાવે છે, તે $0^{\circ} C$ તાપમાને $1 \ cm$ કરતા ઓછું અંતર દર્શાવશે।
તેથી, જો પટ્ટી $0^{\circ} C$ તાપમાને $25 \ cm$ વાંચન આપે છે, તો માપવામાં આવતી વસ્તુની વાસ્તવિક ભૌતિક લંબાઈ $25 \ cm$ કરતા ઓછી હશે કારણ કે પટ્ટી પરનો દરેક 'સેન્ટિમીટર'નો ગાળો સંકોચાઈ ગયો છે।
આમ, લાકડાના ટુકડાની વાસ્તવિક લંબાઈ $ < 25 \ cm$ છે।

(B) ધારો કે તાપમાન $T$ પર બે સળિયાની લંબાઈ $\ell_1(T)$ અને $\ell_2(T)$ છે.
તાપમાન $T + \Delta T$ પર,નવી લંબાઈઓ $\ell_1' = \ell_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$ અને $\ell_2' = \ell_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$ થશે.
બંને લંબાઈઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta \ell = \ell_1 - \ell_2$ છે.
જો આ તફાવત તાપમાનથી સ્વતંત્ર હોય,તો બંને સળિયામાં થતો લંબાઈનો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta \ell_1 = \Delta \ell_2$.
તેથી,$\ell_1 \alpha_1 \Delta T = \ell_2 \alpha_2 \Delta T$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\ell_1 \alpha_1 = \ell_2 \alpha_2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1}$ મળે છે.

(A) કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ એ કદમાં થતા ફેરફાર $\Delta V$ સાથે સૂત્ર $\Delta V = V \gamma \Delta T$ દ્વારા સંબંધિત છે.
અહીં $\frac{\Delta V}{V} = 0.33 \% = 0.0033$ અને $\Delta T = 50^{\circ} C$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $0.0033 = \gamma \times 50$.
તેથી,$\gamma = \frac{0.0033}{50} = 0.000066 = 6.6 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{6.6 \times 10^{-5}}{3} = 2.2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.

(B) ધારો કે $0^{\circ}C$ તાપમાને સળિયા $A$ અને $B$ ની લંબાઈ અનુક્રમે $\ell_A$ અને $\ell_B$ છે.
આપેલ છે કે લંબાઈનો તફાવત તમામ તાપમાને અચળ રહે છે,તેથી કોઈપણ તાપમાનના ફેરફાર $\Delta T$ માટે બંને સળિયામાં થતો લંબાઈનો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ.
$\Delta \ell_A = \Delta \ell_B$
$\ell_A \alpha_A \Delta T = \ell_B \alpha_B \Delta T$
$\ell_A \alpha_A = \ell_B \alpha_B$
$\ell_A (18 \times 10^{-6}) = \ell_B (27 \times 10^{-6})$
$\ell_A / \ell_B = 27 / 18 = 3 / 2$
તેથી,$\ell_A = 1.5 \ell_B$.
આપેલ છે કે લંબાઈનો તફાવત $60 \ cm$ છે,તેથી $\ell_A - \ell_B = 60 \ cm$.
સમીકરણમાં $\ell_A = 1.5 \ell_B$ મૂકતા:
$1.5 \ell_B - \ell_B = 60 \ cm$
$0.5 \ell_B = 60 \ cm$
$\ell_B = 120 \ cm$.
તેથી,$\ell_A = 1.5 \times 120 \ cm = 180 \ cm$.
આમ,લંબાઈ $\ell_A = 180 \ cm$ અને $\ell_B = 120 \ cm$ છે.

(B) ધારો કે તાપમાન $T$ પર સ્ટીલ અને કોપરના સળિયાની લંબાઈ અનુક્રમે $L_s$ અને $L_c$ છે.
આપેલ છે કે તમામ તાપમાને $L_s - L_c = 5 \ cm$,તેથી તાપમાનમાં થતા કોઈપણ ફેરફાર $\Delta T$ માટે બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,$\Delta L_s = \Delta L_c$.
રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L_s \alpha_s \Delta T = L_c \alpha_c \Delta T$.
$L_s \alpha_s = L_c \alpha_c$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $L_s (1.1 \times 10^{-5}) = L_c (1.7 \times 10^{-5})$.
$L_s / L_c = 1.7 / 1.1 = 17 / 11$.
ધારો કે $L_s = 17x$ અને $L_c = 11x$.
$L_s - L_c = 5 \ cm$ હોવાથી,$17x - 11x = 5$,જે આપણને $6x = 5$ આપે છે,તેથી $x = 5/6 \approx 0.833$.
આમ,$L_s = 17 \times (5/6) \approx 14.16 \ cm$ અને $L_c = 11 \times (5/6) \approx 9.16 \ cm$.
આ કિંમતો આશરે $14 \ cm$ અને $9 \ cm$ છે.

(C) રેખીય વિસ્તરણ માટેનું સૂત્ર $\Delta L = L_1 \alpha \Delta T$ છે.
અહીં,$L_1 = 10 \ m$,$\alpha = 1.2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$,અને $\Delta T = (45 - 17)^{\circ} C = 28^{\circ} C$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta L = 10 \times (1.2 \times 10^{-5}) \times 28$.
$\Delta L = 12 \times 10^{-5} \times 28$.
$\Delta L = 336 \times 10^{-5} \ m$.
આને $x \times 10^{-5} \ m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 336$ મળે છે.

(C) ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંને સળિયા માટે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર સમાન છે,તેથી $\Delta L_1 = \Delta L_2$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $L_1 \alpha_1 t = L_2 \alpha_2 t$.
બંને બાજુથી $t$ ને દૂર કરતા,આપણને $L_1 \alpha_1 = L_2 \alpha_2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1}$.
ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_1+L_2}$ શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તરના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: જો $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ હોય,તો $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ થાય.
આ ગુણધર્મ આપણા સમીકરણ પર લાગુ કરતા,આપણને $\frac{L_1}{L_1+L_2} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1+\alpha_2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો વધારો સમાન છે,તેથી $\Delta L_1 = \Delta L_2$.
રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L_1 \alpha_c t = L_2 \alpha_i t$
બંને બાજુ $t$ વડે ભાગતા,આપણને $L_1 \alpha_c = L_2 \alpha_i$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $L_1 = \frac{\alpha_i}{\alpha_c} L_2$.
હવે,આપણે ગુણોત્તર $\frac{L_1-L_2}{L_1+L_2}$ શોધવો છે.
$L_1 = \frac{\alpha_i}{\alpha_c} L_2$ ને પદમાં મૂકતા:
$\frac{L_1-L_2}{L_1+L_2} = \frac{(\frac{\alpha_i}{\alpha_c}) L_2 - L_2}{(\frac{\alpha_i}{\alpha_c}) L_2 + L_2}$
$= \frac{L_2 (\frac{\alpha_i}{\alpha_c} - 1)}{L_2 (\frac{\alpha_i}{\alpha_c} + 1)}$
$= \frac{\frac{\alpha_i - \alpha_c}{\alpha_c}}{\frac{\alpha_i + \alpha_c}{\alpha_c}}$
$= \frac{\alpha_i - \alpha_c}{\alpha_c + \alpha_i}$.

(B) પદાર્થનું ઉષ્મીય પ્રસરણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$.
અહીં,$L_0 = 10 \ m$,$\alpha = 1.3 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,અને $\Delta T = (45^{\circ} C - 17^{\circ} C) = 28^{\circ} C$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta L = 10 \times (1.3 \times 10^{-5}) \times 28$
$\Delta L = 364 \times 10^{-5} \ m$
$\Delta L = 3.64 \times 10^{-3} \ m = 3.64 \ mm$.
આમ,રાખવાની જગ્યા $3.64 \ mm$ છે.

(C) રેખીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta l = \alpha \cdot l \cdot \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.
પ્રારંભિક લંબાઈ $l = 0.75 \ m$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 65^{\circ} C - 45^{\circ} C = 20^{\circ} C$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta l = (2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C) \times (0.75 \ m) \times (20^{\circ} C)$.
$\Delta l = 2 \times 10^{-5} \times 0.75 \times 20 \ m$.
$\Delta l = 30 \times 10^{-5} \ m = 0.3 \times 10^{-3} \ m$.
કારણ કે $1 \ mm = 10^{-3} \ m$,તેથી લંબાઈમાં થતો વધારો $0.30 \ mm$ છે.

(C) પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 40 \ cm \times 5 \ cm = 200 \ cm^2$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = 1.4 \ cm^2$.
ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંક $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\Delta A}{A_1 \Delta T}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\beta = \frac{1.4}{200 \times 100} = \frac{1.4}{20000} = 0.7 \times 10^{-4} = 7 \times 10^{-5} /^{\circ} C$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = \frac{\beta}{2}$ હોવાથી,$\alpha = \frac{7 \times 10^{-5}}{2} = 3.5 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ થાય.

(B) તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta \theta$ સમયે સળિયાની લંબાઈ $L' = L(1 + \alpha \Delta \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયા $A$ માટે,$L_A' = L_A(1 + \alpha_A \Delta \theta)$ અને સળિયા $B$ માટે,$L_B' = L_B(1 + \alpha_B \Delta \theta)$.
લંબાઈમાં તફાવત $\Delta L = L_B' - L_A' = (L_B - L_A) + (L_B \alpha_B - L_A \alpha_A) \Delta \theta$ છે.
તમામ તાપમાને તફાવત અચળ રહે તે માટે,$\Delta \theta$ વાળું પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$L_B \alpha_B - L_A \alpha_A = 0$,જેનો અર્થ છે કે $L_B \alpha_B = L_A \alpha_A$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{L_A}{L_B} = \frac{\alpha_B}{\alpha_A}$ મળે છે.

(C) ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે ઘન પદાર્થના કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V \gamma \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ પ્રારંભિક કદ છે,$\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
બંને સળિયા પિત્તળના બનેલા હોવાથી,બંને માટે $\gamma$ સમાન છે. આપેલ છે કે $\Delta T$ પણ સમાન છે,તેથી કદમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર એ પ્રારંભિક કદના ગુણોત્તર જેટલો થાય.
સળિયા $A$ નું પ્રારંભિક કદ: $V_A = \pi (2r)^2 l = 4 \pi r^2 l$.
સળિયા $B$ નું પ્રારંભિક કદ: $V_B = \pi (r)^2 (2l) = 2 \pi r^2 l$.
કદમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta V_A}{\Delta V_B} = \frac{V_A}{V_B} = \frac{4 \pi r^2 l}{2 \pi r^2 l} = \frac{2}{1}$ થાય.

(B) સમઘનનું પ્રારંભિક કદ $V = L^3 = (1 \ m)^3 = 1 \ m^3$ છે.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$ છે.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 18 \times 10^{-6} /^{\circ} C$,તેથી $\gamma = 3 \times 18 \times 10^{-6} = 54 \times 10^{-6} /^{\circ} C$.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V \gamma \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta V = 1 \times (54 \times 10^{-6}) \times 100 = 54 \times 10^{-4} \ m^3$.

$(A)$ રેખીય પ્રસરણાંકનું સૂત્ર $\alpha = \frac{\Delta L}{L_1 \Delta T}$ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક લંબાઈ $L_1 = 2 \,m$.
લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = 1.6 \,mm = 1.6 \times 10^{-3} \,m$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 60^{\circ} C - 0^{\circ} C = 60^{\circ} C$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\alpha = \frac{1.6 \times 10^{-3}}{2 \times 60}$
$\alpha = \frac{1.6 \times 10^{-3}}{120}$
$\alpha = \frac{1.6}{120} \times 10^{-3} = 0.01333 \times 10^{-3} = 1.33 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે: લંબાઈનો તફાવત $\Delta l = l_{A} - l_{B} = 60 \text{ cm}$ જે તમામ તાપમાને અચળ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ તાપમાનના ફેરફાર $\Delta T$ માટે બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ.
$\Delta l_{A} = \Delta l_{B}$
$l_{A} \alpha_{A} \Delta T = l_{B} \alpha_{B} \Delta T$
$l_{A} \alpha_{A} = l_{B} \alpha_{B}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$l_{A} (18 \times 10^{-6}) = l_{B} (27 \times 10^{-6})$
$l_{A} (18) = l_{B} (27)$
$l_{A} = \frac{27}{18} l_{B} = 1.5 l_{B}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $l_{A} - l_{B} = 60 \text{ cm}$.
$l_{A} = 1.5 l_{B}$ મૂકતા:
$1.5 l_{B} - l_{B} = 60 \text{ cm}$
$0.5 l_{B} = 60 \text{ cm}$
$l_{B} = 120 \text{ cm}$
તેથી,$l_{A} = 1.5 \times 120 = 180 \text{ cm}$.

(C) કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = \frac{0.225}{100} = 0.00225$ છે.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 30^{\circ} C$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
કદ પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta V = V \gamma \Delta T$ છે,જેને $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ તરીકે લખી શકાય.
$\gamma = 3\alpha$ મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} = 3\alpha \Delta T$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.00225 = 3 \times \alpha \times 30$.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા: $\alpha = \frac{0.00225}{90} = 2.5 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
ખ્યાલ: તાપમાન $T$ પર ધાતુના સળિયાની લંબાઈ $l = l_0(1 + \alpha \Delta T)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l_0$ એ પ્રારંભિક લંબાઈ છે,$\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
ધારો કે તાપમાન $T$ પર પિત્તળ અને સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ અનુક્રમે $l_b$ અને $l_s$ છે.
$l_b = l_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$
$l_s = l_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$
લંબાઈનો તફાવત $l_s - l_b = l_2(1 + \alpha_2 \Delta T) - l_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$ દ્વારા મળે છે.
$l_s - l_b = (l_2 - l_1) + (l_2 \alpha_2 - l_1 \alpha_1) \Delta T$.
કારણ કે તફાવત $(l_2 - l_1)$ તમામ તાપમાને અચળ રહે છે,તેથી $\Delta T$ વાળું પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$l_2 \alpha_2 - l_1 \alpha_1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $l_1 \alpha_1 = l_2 \alpha_2$.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલન લેતા,આવર્તકાળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta \theta$,તેથી $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \theta = 20^{\circ} C - 15^{\circ} C = 5^{\circ} C$ છે.
એક દિવસમાં કુલ સમય $T = 24 \times 60 \times 60 = 86,400 \ s$ છે.
પ્રતિ દિવસ સમયમાં થતી ભૂલ $\Delta T = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta \times T$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta T = \frac{1}{2} \times (1.2 \times 10^{-5}) \times 5 \times 86,400$.
$\Delta T = 0.6 \times 10^{-5} \times 5 \times 86,400 = 3 \times 10^{-5} \times 86,400 = 2.592 \ s \approx 2.6 \ s$.

(A) કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta V = V \times \gamma \times \Delta T$, જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે。
કારણ કે $\gamma = 3\alpha$, તેથી સૂત્ર આ મુજબ થશે: $\Delta V = V \times (3\alpha) \times \Delta T$.
આપેલ છે: $V = 500 \,cm^3$, $\alpha = 12 \times 10^{-6} /^{\circ} C$, અને $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta V = 500 \times (3 \times 12 \times 10^{-6}) \times 100$
$\Delta V = 500 \times (36 \times 10^{-6}) \times 100$
$\Delta V = 500 \times 0.0036 = 1.8 \,cm^3$.

(C) કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે.
અહીં $\frac{\Delta V}{V} = 0.30 \% = 0.003$ અને $\Delta T = 50^{\circ} C$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $0.003 = \gamma (50^{\circ} C) \Rightarrow \gamma = \frac{0.003}{50} = 6 \times 10^{-5} /^{\circ} C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{6 \times 10^{-5}}{3} = 2 \times 10^{-5} /^{\circ} C$.

(D) ધારો કે તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T$ છે. પ્રથમ સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L_1 = L_1 \alpha_1 \Delta T$ છે.
બીજા સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L_2 = L_2 \alpha_2 \Delta T$ છે.
આપેલ છે કે $(L_2 - L_1)$ તમામ તાપમાને અચળ રહે છે,તેથી બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,$\Delta L_1 = \Delta L_2$.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને $L_1 \alpha_1 \Delta T = L_2 \alpha_2 \Delta T$ મળે છે.
બંને બાજુથી $\Delta T$ દૂર કરતા,આપણને $L_1 \alpha_1 = L_2 \alpha_2$ સંબંધ મળે છે.

(D) ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ $L = 2 \,m$ છે। સળિયા એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે। તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર પર છે।
$L$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે, ઊંચાઈ $h = \frac{\sqrt{3}}{2} L$ છે। $COM$ નો $y$-યામ $y_{COM} = \frac{1}{3} h = \frac{\sqrt{3}}{6} L$ છે।
આપેલ છે કે $\gamma = 12 \sqrt{3} \times 10^{-6} \,K^{-1}$, તેથી રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = \frac{\gamma}{3} = 4 \sqrt{3} \times 10^{-6} \,K^{-1}$ થાય.
દરેક સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L \alpha \Delta T = 2 \times (4 \sqrt{3} \times 10^{-6}) \times 50 = 400 \sqrt{3} \times 10^{-6} \,m = 4 \sqrt{3} \times 10^{-4} \,m$ છે.
નવી લંબાઈ $L' = L + \Delta L = L(1 + \alpha \Delta T)$ છે.
$COM$ નો નવો $y$-યામ $y'_{COM} = \frac{\sqrt{3}}{6} L' = \frac{\sqrt{3}}{6} L(1 + \alpha \Delta T)$ છે.
$y$-યામમાં થતો વધારો $\Delta y_{COM} = y'_{COM} - y_{COM} = \frac{\sqrt{3}}{6} L \alpha \Delta T$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta y_{COM} = \frac{\sqrt{3}}{6} \times 2 \times (4 \sqrt{3} \times 10^{-6}) \times 50 = \frac{\sqrt{3}}{3} \times 4 \sqrt{3} \times 50 \times 10^{-6} = \frac{3}{3} \times 4 \times 50 \times 10^{-6} = 200 \times 10^{-6} \,m = 0.2 \times 10^{-3} \,m = 0.2 \,mm$.

(D) ધારો કે $0^{\circ} C$ તાપમાને સળિયાની લંબાઈ $L_0$ છે અને $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
તાપમાન $T$ પર લંબાઈનું સૂત્ર $L_T = L_0(1 + \alpha T)$ છે.
$10^{\circ} C$ તાપમાને લંબાઈ: $L_{10} = L_0(1 + 10\alpha)$.
$40^{\circ} C$ તાપમાને લંબાઈ: $L_{40} = L_0(1 + 40\alpha)$.
આપેલ છે કે $L_{40} - L_{10} = 0.05 \ cm$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $L_0(1 + 40\alpha) - L_0(1 + 10\alpha) = 0.05$.
$L_0(40\alpha - 10\alpha) = 0.05$.
$30 L_0 \alpha = 0.05$.
$L_0 = \frac{0.05}{30 \alpha}$.
$\alpha = 1.5 \times 10^{-5} \ {}^{\circ} C^{-1}$ કિંમત મૂકતા:
$L_0 = \frac{0.05}{30 \times 1.5 \times 10^{-5}} = \frac{0.05}{45 \times 10^{-5}} = \frac{5000}{45} \approx 111.1 \ cm$.

(A) ધારો કે $27^{\circ} C$ તાપમાને સ્ટીલની પટ્ટીની લંબાઈ $L_0 = 300 \,cm$ છે।
$50^{\circ} C$ તાપમાને, પટ્ટીની લંબાઈ $L_T = L_0(1 + \alpha \Delta T)$ થાય છે।
અહીં, $\Delta T = 50^{\circ} C - 27^{\circ} C = 23^{\circ} C$.
$L_T = 300(1 + 1.2 \times 10^{-5} \times 23) = 300(1 + 0.000276) = 300.0828 \,cm$.
સળિયાની માપેલ લંબાઈ $L_m = 110 \,cm$ છે।
સાચી લંબાઈ $L_a$ એ $L_a = L_m \times \frac{L_T}{L_0}$ દ્વારા મળે છે।
$L_a = 110 \times \frac{300.0828}{300} = 110 \times (1 + 0.000276) = 110 + 0.03036 = 110.03036 \,cm$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, સાચી લંબાઈ $110.03 \,cm$ મળે છે।

(A) તાપમાન $T$ પર ધાતુની પટ્ટીની લંબાઈ $L = L_0 [1 + \alpha \Delta T]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L_0$ એ અંકન તાપમાન $T_0 = 25^{\circ} C$ પરની લંબાઈ છે.
લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L - L_0 = L_0 \alpha (T - T_0)$ છે.
માપનમાં થતી પ્રતિશત ભૂલ $|\frac{\Delta L}{L_0} \times 100\%|$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\alpha = 1 \times 10^{-5} {}^{\circ} C^{-1}$,$T = -15^{\circ} C$,અને $T_0 = 25^{\circ} C$.
પ્રતિશત ભૂલ $= |\alpha (T - T_0) \times 100\%|$
$= |1 \times 10^{-5} (-15 - 25) \times 100\%|$
$= |1 \times 10^{-5} (-40) \times 100\%|$
$= |-40 \times 10^{-3}\%| = 0.04\%$.

(D) આપેલ છે,ગોળાનો વ્યાસ $= D$.
પ્રારંભિક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ,$A = 4 \pi R^2 = 4 \pi (D/2)^2 = \pi D^2$.
$\delta T$ તાપમાન વધાર્યા પછી સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A' = \pi (D')^2$ છે,જ્યાં $D'$ એ નવો વ્યાસ છે.
રેખીય પ્રસરણના સમીકરણ પરથી,$D' = D(1 + \alpha \delta T)$.
$A'$ ના સમીકરણમાં $D'$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $A' = \pi [D(1 + \alpha \delta T)]^2 = \pi D^2 (1 + 2\alpha \delta T + \alpha^2 \delta T^2)$.
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A' - A = \pi D^2 (1 + 2\alpha \delta T + \alpha^2 \delta T^2) - \pi D^2$.
$\Delta A = \pi D^2 (2\alpha \delta T + \alpha^2 \delta T^2) = \pi D^2 \alpha \delta T (2 + \alpha \delta T)$.

(B) ઘનતા $\rho$ એ કદ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\rho \propto \frac{1}{V}$.
તાપમાનમાં નાના ફેરફાર $\Delta \theta$ માટે,કદ $V_2 = V_1(1 + \gamma \Delta \theta)$ મુજબ બદલાય છે,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે.
આમ,નવી ઘનતા $\rho_2 = \frac{m}{V_2} = \frac{m}{V_1(1 + \gamma \Delta \theta)} = \rho_1(1 + \gamma \Delta \theta)^{-1}$ દ્વારા મળે છે.
દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^{-1} \approx 1 - x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\rho_2 \approx \rho_1(1 - \gamma \Delta \theta)$ મળે છે.
ઘનતામાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta \rho}{\rho_1} = \frac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_1} = -\gamma \Delta \theta$ છે.
અહીં $\gamma = 5 \times 10^{-4} {^{\circ}C}^{-1}$ અને $\Delta \theta = 40^{\circ}C$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta \rho}{\rho_1} = -(5 \times 10^{-4} {^{\circ}C}^{-1}) \times (40^{\circ}C) = -200 \times 10^{-4} = -0.02$.
ઘનતામાં થતા આંશિક ફેરફારનું મૂલ્ય $0.02$ છે.

(A) પિસ્ટન સિલિન્ડરમાં બરાબર ફિટ થાય તે માટે,પિસ્ટન અને સિલિન્ડર વચ્ચેના ઉષ્મીય પ્રસરણનો તફાવત વ્યાસ પરના કુલ ક્લિયરન્સને સરભર કરવો જોઈએ.
આપેલ છે કે ક્લિયરન્સ ચારે બાજુ $0.08 \ mm$ છે,તેથી વ્યાસ પરનું કુલ ક્લિયરન્સ $\delta = 2 \times 0.08 \ mm = 0.16 \ mm$ છે.
રેખીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta L = \alpha L \Delta T$ છે.
પિસ્ટન અને સિલિન્ડર વચ્ચેના પ્રસરણનો તફાવત $\delta = (\alpha_p - \alpha_c) L \Delta T$ છે.
અહીં,$L = 15 \ cm = 150 \ mm$,$\alpha_p = 1.6 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,અને $\alpha_c = 1.2 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.16 \ mm = (1.6 \times 10^{-5} - 1.2 \times 10^{-5}) \times 150 \ mm \times \Delta T$.
$0.16 = (0.4 \times 10^{-5}) \times 150 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{0.16}{60 \times 10^{-5}} = 266.67^{\circ} C \approx 268^{\circ} C$ (આપેલ વિકલ્પોનો ઉપયોગ કરતા).
અંતિમ તાપમાન $T = T_0 + \Delta T = 30^{\circ} C + 268^{\circ} C = 298^{\circ} C$.

(D) પ્રથમ સળિયા માટે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L_1 = \alpha \Delta T L$ છે.
બીજા સળિયા માટે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L_2 = (2\alpha) \Delta T (2L) = 4\alpha \Delta T L$ છે.
સળિયાઓ છેડાથી જોડાયેલા હોવાથી,કુલ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L_{net} = \Delta L_1 + \Delta L_2 = \alpha \Delta T L + 4\alpha \Delta T L = 5\alpha \Delta T L$ છે.
સંયુક્ત સળિયાની કુલ લંબાઈ $L_{total} = L + 2L = 3L$ છે.
સંયુક્ત સળિયા માટે,$\Delta L_{net} = \alpha_{eff} \Delta T L_{total}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$5\alpha \Delta T L = \alpha_{eff} \Delta T (3L)$ મળે.
$\alpha_{eff}$ માટે ઉકેલતા,$\alpha_{eff} = \frac{5\alpha}{3}$ મળે છે.

(C) કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 0.12 \% = \frac{0.12}{100} = 1.2 \times 10^{-3}$ છે.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 20^{\circ} C$ આપેલ છે.
કદ પ્રસરણ માટેનું સૂત્ર $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે.
કિંમતો મૂકતા: $1.2 \times 10^{-3} = \gamma \times 20$.
$\gamma = \frac{1.2 \times 10^{-3}}{20} = 0.06 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-5} {}^{\circ} C^{-1}$.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{6 \times 10^{-5}}{3} = 2 \times 10^{-5} {}^{\circ} C^{-1}$.

(D) તાપીય પ્રસરણને કારણે પદાર્થની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l = l_0 \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l_0$ એ પ્રારંભિક લંબાઈ છે,$\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
અહીં $\alpha_{Al} > \alpha_{\text{steel}}$ હોવાથી,તાપમાનમાં સમાન ફેરફાર $\Delta T$ માટે,એલ્યુમિનિયમનો ભાગ સ્ટીલના ભાગ કરતા વધુ વિસ્તરણ પામશે $(\Delta l_{Al} > \Delta l_{\text{steel}})$.
કારણ કે એલ્યુમિનિયમ વધુ વિસ્તરણ પામે છે,તે વળાંકની બહારની (બહિર્ગોળ) બાજુ બનાવશે,જ્યારે સ્ટીલ,જે ઓછું વિસ્તરણ પામે છે,તે વળાંકની અંદરની (અંતર્ગોળ) બાજુ બનાવશે.
તેથી,પટ્ટી સ્ટીલ અંતર્ગોળ બાજુ પર રહે તેમ વળશે.

(C) આપેલ છે: ચાંદીના સળિયાની લંબાઈ,$L = 1 \ m = 100 \ cm$.
પ્રારંભિક તાપમાન,$T_1 = 0^{\circ}C$.
અંતિમ તાપમાન,$T_2 = 100^{\circ}C$.
તાપમાનમાં ફેરફાર,$\Delta T = T_2 - T_1 = 100^{\circ}C$.
લંબાઈમાં વધારો,$\Delta L = 0.19 \ cm$.
રેખીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.19 = 100 \times \alpha \times 100$.
$\alpha = \frac{0.19}{10000} = 0.19 \times 10^{-4} \ ^{\circ}C^{-1} = 1.9 \times 10^{-5} \ ^{\circ}C^{-1}$.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
$\gamma = 3 \times 1.9 \times 10^{-5} \ ^{\circ}C^{-1} = 5.7 \times 10^{-5} \ ^{\circ}C^{-1}$.

(C) રેખીય પ્રસરણ $\alpha$, ક્ષેત્રફળ પ્રસરણ $\beta$ અને કદ પ્રસરણ $\gamma$ ના સહગુણકોનો ગુણોત્તર $\alpha : \beta : \gamma = 1 : 2 : 3$ છે.
અહીં $\gamma = 3\alpha$ અને $\beta = 2\alpha$ હોવાથી, કદ પ્રસરણનો સહગુણક ત્રણેયમાં સૌથી મોટો છે.
તેથી, જ્યારે કોઈ પદાર્થને ગરમ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેના કદમાં મહત્તમ વધારો જોવા મળે છે.

(D) આપેલ છે, ગોલીય અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 150 \,cm$. સ્ટીલનો રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 12 \times 10^{-6} \,^{\circ}C^{-1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $f = R/2$ છે. તેથી, કેન્દ્રલંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta f$ એ ત્રિજ્યામાં થતા ફેરફાર $\Delta R$ સાથે $\Delta f = \Delta R / 2$ મુજબ સંબંધિત છે.
રેખીય પ્રસરણાંકની વ્યાખ્યા મુજબ, $\alpha = \frac{\Delta R}{R \Delta T}$.
$\Delta R = 2 \Delta f$ અને $R = 2f$ મૂકતા, આપણને મળે છે $\alpha = \frac{2 \Delta f}{(2f) \Delta T} = \frac{\Delta f}{f \Delta T}$.
તેથી, $\Delta f = f \alpha \Delta T$.
અંતિમ કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ નીચે મુજબ મળે: $f' = f + \Delta f = f(1 + \alpha \Delta T)$.
કિંમતો મૂકતા: $f' = 150(1 + 12 \times 10^{-6} \times 200)$.
$f' = 150(1 + 2400 \times 10^{-6}) = 150(1 + 0.0024) = 150(1.0024)$.
$f' = 150.36 \,cm$.

(B) જ્યારે ધાતુની પ્લેટને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં ઉષ્મીય પ્રસરણ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેના તમામ પરિમાણો મૂળ લંબાઈના પ્રમાણમાં વધે છે.
આ પદાર્થના ફોટોગ્રાફિક વિસ્તરણ જેવું જ છે.
આપેલ આકૃતિમાં,અંતર $x$ અને $y$ એ ધાતુની પ્લેટોની સીમાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ખાલી જગ્યાઓ છે.
જેમ જેમ પ્લેટો ગરમ થવા પર વિસ્તરે છે,તેમ પ્લેટોનું દ્રવ્ય અગાઉ ખાલી જગ્યાઓ દ્વારા રોકાયેલી જગ્યામાં આગળ વધે છે.
આખી પ્લેટ સમાન રીતે વિસ્તરતી હોવાથી,$x$ અને $y$ અંતરને વ્યાખ્યાયિત કરતી સીમાઓ એકબીજાની નજીક આવે છે.
તેથી,જેમ તાપમાન વધે છે તેમ $x$ અને $y$ અંતરના પરિમાણો ઘટશે.

(B) આપેલ છે: સળિયાની લંબાઈ $L = 10 \ m$,તાપમાનમાં વધારો $\Delta T = 40^{\circ} C$,અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 2.5 \times 10^{-6} {}^{\circ} C^{-1}$.
ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર:
$\Delta L = L \alpha \Delta T = 10 \times 2.5 \times 10^{-6} \times 40 = 0.01 \ m = 1 \ cm$.
સળિયાની નવી કુલ લંબાઈ $L' = L + \Delta L = 10 + 0.01 = 10.01 \ m$.
જ્યારે સળિયો વળે છે,ત્યારે તે મૂળ લંબાઈને પાયા તરીકે લઈને એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે. સળિયાનું મધ્યબિંદુ $x$ જેટલું ઉપર જાય છે. સળિયાના બે અડધા ભાગો $5 \ m$ પાયા અને $x$ ઊંચાઈવાળા બે કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$x^2 + 5^2 = (L'/2)^2$
$x^2 + 25 = (10.01 / 2)^2 = (5.005)^2$
$x^2 = 25.050025 - 25 = 0.050025$
$x = \sqrt{0.050025} \approx 0.2236 \ m = 22.36 \ cm$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ $l$ છે. કાટકોણ ત્રિકોણ $ADC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$DC^2 = AC^2 - AD^2$
$D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AD = \frac{l}{2}$.
તેથી,$DC^2 = l^2 - (\frac{l}{2})^2 = l^2 - \frac{l^2}{4} = \frac{3l^2}{4}$.
જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો થાય,ત્યારે નવી લંબાઈઓ $l' = l(1 + \alpha \Delta T)$ થાય છે.
$AC' = l(1 + \alpha_2 \Delta T)$ અને $AD' = \frac{l}{2}(1 + \alpha_1 \Delta T)$.
નવી લંબાઈ $DC'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$DC'^2 = AC'^2 - AD'^2 = [l(1 + \alpha_2 \Delta T)]^2 - [\frac{l}{2}(1 + \alpha_1 \Delta T)]^2$
$DC'^2 = l^2(1 + 2\alpha_2 \Delta T + \alpha_2^2 \Delta T^2) - \frac{l^2}{4}(1 + 2\alpha_1 \Delta T + \alpha_1^2 \Delta T^2)$
$\Delta T$ ના ઉચ્ચ ઘાતવાળા પદોને અવગણતા (એટલે કે,$\alpha^2 \Delta T^2 \approx 0$):
$DC'^2 \approx l^2(1 + 2\alpha_2 \Delta T) - \frac{l^2}{4}(1 + 2\alpha_1 \Delta T)$
$DC'^2 \approx (l^2 - \frac{l^2}{4}) + (2l^2\alpha_2 \Delta T - \frac{l^2}{2}\alpha_1 \Delta T)$
$DC$ અચળ રહે તે માટે,$DC^2$ માં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$2l^2\alpha_2 \Delta T - \frac{l^2}{2}\alpha_1 \Delta T = 0$
$2\alpha_2 = \frac{\alpha_1}{2} \Rightarrow \alpha_1 = 4\alpha_2$.

(B) રેખીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ છે,જ્યાં $\Delta L$ એ લંબાઈમાં ફેરફાર છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં ફેરફાર છે.
આપેલ કિંમતો:
$\Delta L = 5 \times 10^{-5} \,m$
$L = 1 \,m$
$\alpha = 10 \times 10^{-6} \,K^{-1}$
$\Delta T$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta T = \frac{\Delta L}{L \alpha}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta T = \frac{5 \times 10^{-5}}{1 \times 10 \times 10^{-6}}$
$\Delta T = \frac{5 \times 10^{-5}}{10^{-5}} = 5^{\circ} C$
તેથી,માન્ય મહત્તમ તાપમાનનો ફેરફાર $5^{\circ} C$ છે.