Thermal Expansion for Solid Questions in Gujarati

(A) જ્યારે છિદ્રોવાળી ધાતુની શીટને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થ એવી રીતે વિસ્તરે છે જાણે કે આખી શીટ નક્કર હોય. પદાર્થનું વિસ્તરણ એ નક્કર પદાર્થના વિસ્તરણના સમાન નિયમોને અનુસરે છે. તેથી,ગરમ કરવા પર શીટ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર વધે છે. $A$,$B$,અને $C$ એ ધાતુની શીટ પરના બિંદુઓ હોવાથી,ઉષ્મીય વિસ્તરણને કારણે અંતર $AB$ (છિદ્રનો વ્યાસ) અને $BC$ (બે છિદ્રો વચ્ચેનું અંતર) બંને વધશે.

(C) જ્યારે કોઈ આઈસોટ્રોપિક ઘન પદાર્થને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે તમામ પરિમાણોમાં ઉષ્મીય પ્રસરણ અનુભવે છે. આ પ્રસરણ ફોટોગ્રાફિક વિસ્તરણ જેવું જ છે,જેમાં પદાર્થનું દરેક રેખીય પરિમાણ વધે છે.
$1$. રેખીય પ્રસરણને કારણે વીંટીની ત્રિજ્યા $r$ વધે છે.
$2$. ગેપની પહોળાઈ $x$ પણ વધે છે કારણ કે વીંટીનો સમગ્ર પરિઘ વિસ્તરે છે,અને ગેપ પરિઘના એક ભાગ તરીકે વર્તે છે.
$3$. સળિયાની જાડાઈ $d$ પણ વધે છે કારણ કે પદાર્થ પોતે બધી દિશાઓમાં વિસ્તરે છે.
તેથી,$x$,$r$ અને $d$ ત્રણેય વધે છે.

(A) સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{12} ML^2$ --- $(i)$
જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $L$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
ઉષ્મીય પ્રસરણ દરમિયાન દળ $M$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે સમીકરણનું $L$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\Delta I = \frac{1}{12} M (2L \Delta L) = 2 (\frac{1}{12} ML^2) \frac{\Delta L}{L} = 2I \frac{\Delta L}{L}$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \frac{\Delta L}{L}$ --- $(iii)$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L \alpha \Delta t$ છે,જેનો અર્થ થાય છે:
$\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta t$
આ કિંમતને સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \alpha \Delta t$

(A) બાયમેટાલિક પટ્ટી બે અલગ-અલગ રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક $(\alpha)$ ધરાવતી ધાતુની પટ્ટીઓથી બનેલી હોય છે જે એકબીજા સાથે જોડાયેલી હોય છે.
જ્યારે પટ્ટીને ગરમ કરવામાં આવે છે, ત્યારે જે ધાતુનો રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક $(\alpha)$ વધારે હોય છે તે ઓછો ગુણાંક ધરાવતી ધાતુ કરતા વધુ વિસ્તરણ પામે છે.
કારણ કે બંને ધાતુઓ એકબીજા સાથે જોડાયેલી હોવાથી, લંબાઈમાં તફાવતને સમાવવા માટે પટ્ટીએ વળવું પડે છે.
વધારે પ્રસરણ ગુણાંક ધરાવતી બાજુ બહારની ચાપ બને છે અને ઓછો પ્રસરણ ગુણાંક ધરાવતી બાજુ અંદરની ચાપ બને છે.
તેથી, પટ્ટી ઓછા રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક ધરાવતી ધાતુ તરફ વળે છે.

(B) રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ નક્કી કરે છે કે તાપમાનમાં ફેરફાર સાથે પદાર્થની લંબાઈમાં કેટલો ફેરફાર થાય છે,જે $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધાતુ $X$ નો રેખીય પ્રસરણાંક ધાતુ $Y$ કરતા વધારે હોવાથી $(\alpha_X > \alpha_Y)$,જ્યારે તાપમાન ઘટે છે (ઠંડુ પાડવામાં આવે છે) ત્યારે ધાતુ $X$ એ ધાતુ $Y$ કરતા વધુ સંકોચાશે.
કારણ કે ધાતુ $X$ ડાબી બાજુએ છે અને તે ધાતુ $Y$ કરતા વધુ સંકોચાય છે,તેથી પટ્ટી જે બાજુ વધુ સંકોચાય છે તે તરફ વળશે.
તેથી,બાયમેટાલિક પટ્ટી ડાબી તરફ વળશે.

(A) અસમદિગ્ધર્મી ઘન પદાર્થ માટે કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ એ ત્રણ પરસ્પર લંબ અક્ષો પરના રેખીય પ્રસરણાંકોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
આપેલ છે:
$\alpha_1 = 13 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\alpha_2 = 231 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\alpha_3 = 231 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
સૂત્ર:
$\gamma = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$
ગણતરી:
$\gamma = (13 + 231 + 231) \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\gamma = 475 \times 10^{-7} \ K^{-1}$

(D) પ્રશ્ન મુજબ બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો વધારો તાપમાનના વધારાથી સ્વતંત્ર છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાનમાં થતા કોઈપણ ફેરફાર $(\Delta T)$ માટે બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $(\Delta \ell)$ સમાન હોવો જોઈએ.
આપેલ છે:
$\ell_{Cu} = 88\; cm$
$\alpha_{Cu} = 1.7 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
$\alpha_{Al} = 2.2 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
ઉષ્મીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta \ell = \ell \alpha \Delta T$ છે.
કારણ કે $(\Delta \ell)_{Cu} = (\Delta \ell)_{Al}$,તેથી:
$\ell_{Cu} \alpha_{Cu} \Delta T = \ell_{Al} \alpha_{Al} \Delta T$
બંને બાજુથી $\Delta T$ દૂર કરતા:
$\ell_{Cu} \alpha_{Cu} = \ell_{Al} \alpha_{Al}$
કિંમતો મૂકતા:
$88 \times 1.7 \times 10^{-5} = \ell_{Al} \times 2.2 \times 10^{-5}$
$\ell_{Al}$ માટે ઉકેલતા:
$\ell_{Al} = \frac{88 \times 1.7}{2.2}$
$\ell_{Al} = 40 \times 1.7 = 68\; cm$.

(D) નોન-આઈસોટ્રોપિક ઘન પદાર્થ માટે,કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ એ ત્રણ પરસ્પર લંબ અક્ષો પરના રેખીય પ્રસરણાંકનો સરવાળો છે:
$\gamma = \alpha_{x} + \alpha_{y} + \alpha_{z}$
આપેલ છે:
$\alpha_{x} = 5 \times 10^{-5} /^{\circ} C = 50 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
$\alpha_{y} = 5 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
$\alpha_{z} = 5 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\gamma = (50 \times 10^{-6} + 5 \times 10^{-6} + 5 \times 10^{-6}) /^{\circ} C$
$\gamma = (50 + 5 + 5) \times 10^{-6} /^{\circ} C$
$\gamma = 60 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
આને આપેલ સ્વરૂપ $C \times 10^{-6} /^{\circ} C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $C = 60$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે એક ઘન પદાર્થની લંબચોરસ શીટની લંબાઈ $a$ અને પહોળાઈ $b$ છે. જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો થાય છે,ત્યારે લંબાઈ $a$ માં $\Delta a = \alpha_{l} a \Delta T$ જેટલો અને પહોળાઈ $b$ માં $\Delta b = \alpha_{l} b \Delta T$ જેટલો વધારો થાય છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો $\Delta A$ એ આકૃતિમાં દર્શાવેલ ત્રણ છાયાંકિત ભાગોના સરવાળા જેટલો છે:
$\Delta A = \Delta A_{1} + \Delta A_{2} + \Delta A_{3}$
$\Delta A = a \Delta b + b \Delta a + (\Delta a)(\Delta b)$
$\Delta a$ અને $\Delta b$ ના મૂલ્યો મુકતા:
$\Delta A = a(\alpha_{l} b \Delta T) + b(\alpha_{l} a \Delta T) + (\alpha_{l} a \Delta T)(\alpha_{l} b \Delta T)$
$\Delta A = 2 \alpha_{l} ab \Delta T + \alpha_{l}^{2} ab (\Delta T)^{2}$
અહીં $A = ab$ હોવાથી:
$\Delta A = 2 \alpha_{l} A \Delta T + \alpha_{l}^{2} A (\Delta T)^{2}$
$\Delta A = \alpha_{l} A \Delta T (2 + \alpha_{l} \Delta T)$
$A \Delta T$ વડે ભાગતા:
$\frac{\Delta A}{A \Delta T} = \alpha_{l} (2 + \alpha_{l} \Delta T)$
$\alpha_{l}$ ખૂબ જ નાનું હોવાથી (સામાન્ય રીતે $\approx 10^{-5} \text{ K}^{-1}$),પદ $\alpha_{l} \Delta T$ એ $2$ ની સરખામણીમાં અવગણી શકાય તેવું છે. તેથી:
$\frac{\Delta A}{A \Delta T} \approx 2 \alpha_{l}$

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_{1} = 27^{\circ}C$
લોખંડની રીંગની પ્રારંભિક લંબાઈ (વ્યાસ) $L_{T1} = 5.231\; m$
જરૂરી અંતિમ લંબાઈ (વ્યાસ) $L_{T2} = 5.243\; m$
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 1.20 \times 10^{-5} K^{-1}$
રેખીય પ્રસરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$L_{T2} = L_{T1} [1 + \alpha(T_{2} - T_{1})]$
કિંમતો મૂકતા:
$5.243 = 5.231 [1 + 1.20 \times 10^{-5} (T_{2} - 27)]$
$5.231$ વડે ભાગતા:
$1.002294 = 1 + 1.20 \times 10^{-5} (T_{2} - 27)$
$0.002294 = 1.20 \times 10^{-5} (T_{2} - 27)$
$T_{2} - 27 = \frac{0.002294}{1.20 \times 10^{-5}}$
$T_{2} - 27 \approx 191.17$
$T_{2} \approx 191.17 + 27 = 218.17^{\circ}C$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,તાપમાન $218^{\circ}C$ મળે છે.

(N/A) $T = 27.0 \; ^{\circ}C$ તાપમાને સ્ટીલની પટ્ટીની લંબાઈ $l = 100 \; cm$ છે.
$T_1 = 45.0 \; ^{\circ}C$ તાપમાને,ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે પટ્ટીની લંબાઈ $l'$ વધે છે:
$l' = l(1 + \alpha \Delta T) = 100 \times [1 + 1.20 \times 10^{-5} \times (45.0 - 27.0)]$
$l' = 100 \times [1 + 1.20 \times 10^{-5} \times 18] = 100 \times [1 + 0.000216] = 100.0216 \; cm$.
વિસ્તૃત પટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને સળિયાની માપેલ લંબાઈ $63.0 \; cm$ છે. $45.0 \; ^{\circ}C$ તાપમાને વાસ્તવિક લંબાઈ $l_2$ નીચે મુજબ છે:
$l_2 = \frac{l'}{l} \times 63.0 = \frac{100.0216}{100} \times 63.0 = 63.0136 \; cm$.
$27.0 \; ^{\circ}C$ તાપમાને લંબાઈ શોધવા માટે,આપણે $l_2 = l_0(1 + \alpha \Delta T)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$63.0136 = l_0(1 + 1.20 \times 10^{-5} \times 18) = l_0(1.000216)$
$l_0 = \frac{63.0136}{1.000216} \approx 63.0 \; cm$.

(C) શરૂઆતનું તાપમાન $T = 27^{\circ}C = 300\;K$.
શાફ્ટનો શરૂઆતનો વ્યાસ $d_1 = 8.70\;cm$.
પૈડાના કાણાનો વ્યાસ $d_2 = 8.69\;cm$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 1.20 \times 10^{-5}\;K^{-1}$.
જ્યારે શાફ્ટનો વ્યાસ કાણાના વ્યાસ જેટલો થાય ત્યારે પૈડું શાફ્ટ પર સરકી જશે,એટલે કે $d_2 = 8.69\;cm$.
વ્યાસમાં થતો ફેરફાર $\Delta d = d_2 - d_1 = 8.69 - 8.70 = -0.01\;cm$.
રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર $\Delta d = d_1 \alpha \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\Delta T = T_f - T_i$:
$-0.01 = 8.70 \times (1.20 \times 10^{-5}) \times (T_f - 300)$.
$T_f - 300 = \frac{-0.01}{8.70 \times 1.20 \times 10^{-5}} = \frac{-0.01}{0.0001044} \approx -95.78\;K$.
$T_f = 300 - 95.78 = 204.22\;K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_f(^{\circ}C) = 204.22 - 273.15 \approx -68.93^{\circ}C$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,તાપમાન $-69^{\circ}C$ મળે છે.

(D) પ્રારંભિક તાપમાન $T_{1} = 27.0 \; ^{\circ}C$.
પ્રારંભિક વ્યાસ $d_{1} = 4.24 \; cm$.
અંતિમ તાપમાન $T_{2} = 227 \; ^{\circ}C$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_{2} - T_{1} = 227 - 27 = 200 \; K$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 1.70 \times 10^{-5} \; K^{-1}$.
પદાર્થમાં રહેલા કાણાનું ઉષ્મીય પ્રસરણ તે જ પદાર્થની નક્કર તકતીના પ્રસરણના નિયમ મુજબ થાય છે.
વ્યાસમાં થતો ફેરફાર $\Delta d$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\Delta d = d_{1} \alpha \Delta T$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta d = 4.24 \times (1.70 \times 10^{-5}) \times 200$.
$\Delta d = 4.24 \times 3.40 \times 10^{-3}$.
$\Delta d = 14.416 \times 10^{-3} \; cm$.
$\Delta d = 1.4416 \times 10^{-2} \; cm \approx 1.44 \times 10^{-2} \; cm$.

(N/A) પ્રારંભિક તાપમાન,$T_{1} = 40.0\; ^{\circ}C$
અંતિમ તાપમાન,$T_{2} = 250\; ^{\circ}C$
તાપમાનમાં ફેરફાર,$\Delta T = T_{2} - T_{1} = 210\; ^{\circ}C$
દરેક સળિયાની લંબાઈ,$l = 50\; cm$
પિત્તળનો રેખીય પ્રસરણાંક,$\alpha_{b} = 2.0 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
સ્ટીલનો રેખીય પ્રસરણાંક,$\alpha_{s} = 1.2 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
પિત્તળના સળિયાની લંબાઈમાં ફેરફાર,$\Delta l_{b} = l \alpha_{b} \Delta T = 50 \times (2.0 \times 10^{-5}) \times 210 = 0.21\; cm$
સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈમાં ફેરફાર,$\Delta l_{s} = l \alpha_{s} \Delta T = 50 \times (1.2 \times 10^{-5}) \times 210 = 0.126\; cm$
સંયુક્ત સળિયાની લંબાઈમાં કુલ ફેરફાર,$\Delta l = \Delta l_{b} + \Delta l_{s} = 0.21 + 0.126 = 0.336\; cm$
સળિયાના છેડા મુક્ત રીતે વિસ્તરણ પામી શકે છે,તેથી વિસ્તરણ પર કોઈ અવરોધ નથી,અને તેથી જંકશન પર કોઈ 'થર્મલ સ્ટ્રેસ' ઉત્પન્ન થતો નથી.

(N/A) ધારો કે બાજુઓની લંબાઈ $AB = l_1$,$BC = l_3$,અને $AC = l_2$ છે. શરૂઆતમાં,$l_1 = l_2 = l_3 = l$.
ખૂણા $\angle ABC = \theta$ માટે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta = \frac{l_1^2 + l_3^2 - l_2^2}{2 l_1 l_3}$
$2 l_1 l_3 \cos \theta = l_1^2 + l_3^2 - l_2^2$
બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2(l_3 dl_1 + l_1 dl_3) \cos \theta - 2 l_1 l_3 \sin \theta d\theta = 2 l_1 dl_1 + 2 l_3 dl_3 - 2 l_2 dl_2$
અહીં $AB$ અને $BC$ કોપર $(\alpha_1)$ ના છે અને $AC$ એલ્યુમિનિયમ $(\alpha_2)$ નો છે:
$dl_1 = l_1 \alpha_1 \Delta T$,$dl_3 = l_3 \alpha_1 \Delta T$,$dl_2 = l_2 \alpha_2 \Delta T$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા અને $l_1 = l_2 = l_3 = l$ તથા $\theta = 60^\circ$ લેતા:
$2(l^2 \alpha_1 \Delta T + l^2 \alpha_1 \Delta T) \cos 60^\circ - 2 l^2 \sin 60^\circ d\theta = 2 l^2 \alpha_1 \Delta T + 2 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$4 l^2 \alpha_1 \Delta T (1/2) - 2 l^2 (\sqrt{3}/2) d\theta = 4 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$2 l^2 \alpha_1 \Delta T - \sqrt{3} l^2 d\theta = 4 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$-\sqrt{3} d\theta = 2 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$d\theta = \frac{2(\alpha_2 - \alpha_1) \Delta T}{\sqrt{3}}$

(N/A) ઉષ્મીય પ્રસરણ એ એવી ઘટના છે જેમાં તાપમાનમાં વધારો થવાને કારણે પદાર્થના પરિમાણોમાં વધારો થાય છે. જ્યારે કોઈ પદાર્થને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેના કણો ગતિ ઊર્જા મેળવે છે અને વધુ જોરથી કંપન કરે છે,જેનાથી તેમની વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર વધે છે,જે પરિણામે સ્થૂળ પ્રસરણ તરફ દોરી જાય છે.
ઉષ્મીય પ્રસરણના ત્રણ પ્રકારો છે:
$(a)$ રેખીય પ્રસરણ: ઘન પદાર્થની લંબાઈમાં થતા પ્રસરણને રેખીય પ્રસરણ કહે છે.
$(b)$ પૃષ્ઠ પ્રસરણ (ક્ષેત્રફળ પ્રસરણ): ઘન પદાર્થની સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતા પ્રસરણને પૃષ્ઠ પ્રસરણ કહે છે.
$(c)$ કદ પ્રસરણ: ઘન અથવા પ્રવાહી પદાર્થના કદમાં થતા પ્રસરણને કદ પ્રસરણ કહે છે.
આ નીચે મુજબ દર્શાવેલ છે:
$(a)$ રેખીય પ્રસરણ: $\frac{\Delta l}{l} = \alpha_l \Delta T$
$(b)$ પૃષ્ઠ પ્રસરણ: $\frac{\Delta A}{A} = 2\alpha_l \Delta T$
$(c)$ કદ પ્રસરણ: $\frac{\Delta V}{V} = 3\alpha_l \Delta T$

જ્યારે પદાર્થનું તાપમાન વધારવામાં આવે ત્યારે તેની લંબાઈમાં થતા વધારાને રેખીય પ્રસરણ કહે છે.
લંબાઈમાં થતો વધારો $(\Delta l)$ એ મૂળ લંબાઈ $(l)$ અને તાપમાનના તફાવત $(\Delta T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\Delta l \propto l$ અને $\Delta l \propto \Delta T$
આ બંનેને જોડતા,$\Delta l \propto l \Delta T$ મળે છે.
$\frac{\Delta l}{l} = \alpha_{l} \Delta T$,જ્યાં $\alpha_{l}$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
તેથી,$\Delta l = \alpha_{l} l \Delta T$.
$\alpha_{l}$ એ પદાર્થનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે અને તે પદાર્થના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે.
$\alpha_{l}$ નો એકમ $(^{\circ}C)^{-1}$ અથવા $K^{-1}$ છે.
જો $T_{1}$ તાપમાને પ્રારંભિક લંબાઈ $l_{1}$ હોય અને $T_{2}$ તાપમાને અંતિમ લંબાઈ $l_{2}$ હોય,તો:
$l_{2} - l_{1} = \alpha_{l} l_{1} (T_{2} - T_{1})$
$l_{2} = l_{1} [1 + \alpha_{l} (T_{2} - T_{1})]$

(A) ધારો કે $l$ લંબાઈનો એક સમઘન છે. જ્યારે તેનું તાપમાન $\Delta T$ જેટલું વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તે તમામ પરિમાણોમાં સમાન રીતે વિસ્તરે છે.
કદના સૂત્ર પરથી,$V = l^3$.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = (l + \Delta l)^3 - l^3$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$\Delta V = l^3 + 3l^2 \Delta l + 3l(\Delta l)^2 + (\Delta l)^3 - l^3$ મળે.
$\Delta l$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$(\Delta l)^2$ અને $(\Delta l)^3$ ને અવગણી શકાય છે. તેથી,$\Delta V \approx 3l^2 \Delta l$ ... $(1)$.
રેખીય પ્રસરણની વ્યાખ્યા મુજબ,$\Delta l = \alpha_l l \Delta T$ ... $(2)$.
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મુકતા:
$\Delta V = 3l^2 (\alpha_l l \Delta T) = 3l^3 \alpha_l \Delta T$.
$V = l^3$ હોવાથી,$\Delta V = 3 V \alpha_l \Delta T$ ... $(3)$.
કદ પ્રસરણના સામાન્ય સમીકરણ $\Delta V = \alpha_V V \Delta T$ સાથે સમીકરણ $(3)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$\alpha_V = 3 \alpha_l$.

(B) જ્યારે કોઈ સળિયાને બંને છેડેથી મજબૂતીથી જકડી રાખવામાં આવે છે,ત્યારે ગરમ કરવા પર તે મુક્તપણે વિસ્તરણ પામી શકતો નથી.
જેમ તાપમાન વધે છે,સળિયો $\Delta l = l \alpha \Delta T$ જેટલું વિસ્તરણ કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે. ટેકાઓ મજબૂત હોવાથી,તેઓ સળિયા પર અંદરની તરફ બળ લગાડે છે,જે આ વિસ્તરણને અટકાવે છે.
આ અવરોધને કારણે દ્રવ્યમાં દબાણયુક્ત વિકૃતિ (compressive strain) અને પરિણામે ઉષ્મીય પ્રતિબળ (thermal stress) ઉત્પન્ન થાય છે. ઉષ્મીય પ્રતિબળ $\sigma = Y \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો આંતરિક દબાણયુક્ત બળ સળિયા અથવા તેના ટેકાઓની મર્યાદા કરતા વધી જાય,તો સળિયો વળી શકે છે અથવા વાંકો વળી શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $40 \text{ cm}^2$ આડછેદ ધરાવતા સ્ટીલના સળિયાને જકડી રાખવામાં આવે,તો $10^{\circ}C$ તાપમાનના ફેરફારથી $1.2 \times 10^{-4}$ જેટલી દબાણયુક્ત વિકૃતિ ઉત્પન્ન થાય છે.
પરિણામી બળ $F = Y A \epsilon = (2 \times 10^{11} \text{ Pa}) \times (40 \times 10^{-4} \text{ m}^2) \times (1.2 \times 10^{-4}) = 96,000 \text{ N}$ થાય છે,જે ઘણી રચનાઓમાં વળાંક અથવા બકલિંગ પેદા કરવા માટે પૂરતું છે.

(N/A) ક્ષેત્રીય પ્રસરણ (અથવા પૃષ્ઠીય પ્રસરણ) એટલે તાપમાનમાં વધારો થવાને કારણે ઘન પદાર્થના પૃષ્ઠફળમાં થતો વધારો.
ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંક $(\beta)$ ની વ્યાખ્યા: તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ ક્ષેત્રફળમાં થતા આંશિક ફેરફારને ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંક કહે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\beta = \frac{\Delta A}{A_0 \Delta T}$,જ્યાં $\Delta A$ એ ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર છે,$A_0$ એ પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ છે,અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં ફેરફાર છે.
એકમ: ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંકનો $SI$ એકમ $\text{K}^{-1}$ અથવા $^\circ\text{C}^{-1}$ છે.

(A) રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha_l$ ને $\Delta L = L_0 \alpha_l \Delta T$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે,$L_0$ એ મૂળ લંબાઈ છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
આના પરથી,$\alpha_l = \frac{\Delta L}{L_0 \Delta T}$.
$\alpha_l$ સંપૂર્ણપણે પદાર્થના પ્રકાર (દ્રવ્ય) પર આધાર રાખે છે.
તેનો $SI$ એકમ પ્રતિ કેલ્વિન $(K^{-1})$ અથવા પ્રતિ ડિગ્રી સેલ્સિયસ $(^{\circ}C^{-1})$ છે.

(N/A) રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha_l)$ ને તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ લંબાઈમાં થતા આંશિક ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક $(\alpha_A)$ ને તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ ક્ષેત્રફળમાં થતા આંશિક ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે આશરે $2\alpha_l$ જેટલું હોય છે.
કદ પ્રસરણાંક $(\alpha_V)$ ને તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ કદમાં થતા આંશિક ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે આશરે $3\alpha_l$ જેટલું હોય છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો સંબંધ આ ગુણોત્તર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $\alpha_l : \alpha_A : \alpha_V = 1 : 2 : 3$.

(C) ઘન પદાર્થ માટે કદ પ્રસરણાંક $(\alpha_V)$ ને તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ કદમાં થતા આંશિક ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે,$\alpha_V = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$.
મોટાભાગના ઘન પદાર્થો માટે,$\alpha_V$ અચળ નથી પરંતુ તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
ખૂબ જ નીચા તાપમાને ($0 \ K$ ની નજીક),$\alpha_V$ ખૂબ નાનું હોય છે અને તાપમાન સાથે વધે છે.
જેમ જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ $\alpha_V$ વધે છે અને અંતે ઊંચા તાપમાને અચળ મૂલ્યની નજીક પહોંચે છે.
તેથી,$\alpha_V$ વિરુદ્ધ $T$ નો આલેખ એક વક્ર છે જે નીચા મૂલ્યથી શરૂ થાય છે અને વધે છે,અને અંતે ઊંચા તાપમાને લગભગ અચળ બની જાય છે.

(N/A) ધારો કે $T$ તાપમાને એક ઘન પદાર્થની બાજુની લંબાઈ $L$ છે. તેનું પ્રારંભિક કદ $V = L^3$ છે.
જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો થાય,ત્યારે નવી લંબાઈ $L' = L(1 + \alpha \Delta T)$ થાય છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
નવું કદ $V' = (L')^3 = [L(1 + \alpha \Delta T)]^3$ દ્વારા મળે છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x$ ખૂબ નાનું છે,આપણને $V' \approx L^3(1 + 3\alpha \Delta T) = V(1 + 3\alpha \Delta T)$ મળે છે.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ ને $V' = V(1 + \gamma \Delta T)$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\gamma = 3\alpha$ મળે છે.

(B) પદાર્થની ઘનતા $\rho$ એ તેના દળ $m$ અને કદ $V$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{V}$ છે.
જ્યારે ઘન પદાર્થનું તાપમાન વધે છે,ત્યારે તેના પરમાણુઓ વધુ કંપન કરે છે,જેના કારણે તેમની વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર વધે છે. આ ઘટનાને ઉષ્મીય પ્રસરણ કહેવામાં આવે છે.
ઉષ્મીય પ્રસરણને પરિણામે,ઘન પદાર્થનું કદ $V$ વધે છે.
આ પ્રક્રિયા દરમિયાન પદાર્થનું દળ $m$ અચળ રહેતું હોવાથી,કદ $V$ માં થતો વધારો ઘનતા $\rho$ માં ઘટાડો કરે છે,કારણ કે $\rho$ એ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(C) રેખીય પ્રસરણાંક,જેને $\alpha$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે એક એવો ગુણધર્મ છે જે દર્શાવે છે કે તાપમાન સાથે પદાર્થની લંબાઈમાં કેવી રીતે ફેરફાર થાય છે.
તે મુખ્યત્વે પદાર્થના પ્રકાર (પરમાણુ બંધારણ અને બંધન) અને તાપમાનના ગાળા પર આધાર રાખે છે જેમાં પ્રસરણ માપવામાં આવે છે.
જોકે તાપમાનમાં નાના ફેરફારો માટે તેને અચળ ગણવામાં આવે છે,પરંતુ તે તાપમાનનું વિધેય છે.

(N/A) રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta l = \alpha l \Delta T$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
પ્રથમ અવલોકન પરથી:
$\alpha = \frac{\Delta l}{l \Delta T} = \frac{4 \times 10^{-4}}{2 \times 10} = 2 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$.
હવે,આપણે $\alpha = 2 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$ નો ઉપયોગ કરીને અન્ય અવલોકનો તપાસીએ:
અવલોકન $(2)$ માટે:
$\Delta l = \alpha l \Delta T = (2 \times 10^{-5}) \times 1 \times 10 = 2 \times 10^{-4} \, m$.
નોંધાયેલ મૂલ્ય $4 \times 10^{-4} \, m$ હોવાથી,અવલોકન $(2)$ ખોટું છે.
અવલોકન $(3)$ માટે:
$\Delta l = \alpha l \Delta T = (2 \times 10^{-5}) \times 2 \times 20 = 8 \times 10^{-4} \, m$.
નોંધાયેલ મૂલ્ય $2 \times 10^{-4} \, m$ હોવાથી,અવલોકન $(3)$ ખોટું છે.
અવલોકન $(4)$ માટે:
$\Delta l = \alpha l \Delta T = (2 \times 10^{-5}) \times 3 \times 10 = 6 \times 10^{-4} \, m$.
નોંધાયેલ મૂલ્ય $6 \times 10^{-4} \, m$ હોવાથી,અવલોકન $(4)$ સાચું છે.

(N/A) ધારો કે લોખંડની પટ્ટીની લંબાઈ $l_{\text{iron}}$ અને પિત્તળની પટ્ટીની લંબાઈ $l_{\text{brass}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કોઈપણ તાપમાન ફેરફાર $\Delta T$ માટે તેમની લંબાઈનો તફાવત $10 \ cm$ અચળ રહેવો જોઈએ.
તેથી,$l_{\text{iron}} - l_{\text{brass}} = 10 \ cm \ldots (1)$
જ્યારે તાપમાન $\Delta T$ જેટલું બદલાય છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l_{\text{iron}}' = l_{\text{iron}}(1 + \alpha_{\text{iron}} \Delta T)$ અને $l_{\text{brass}}' = l_{\text{brass}}(1 + \alpha_{\text{brass}} \Delta T)$ થાય છે.
તફાવત અચળ રહેવા માટે,$l_{\text{iron}}' - l_{\text{brass}}' = l_{\text{iron}} - l_{\text{brass}}$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $l_{\text{iron}} \alpha_{\text{iron}} \Delta T = l_{\text{brass}} \alpha_{\text{brass}} \Delta T$.
તેથી,$l_{\text{iron}} \alpha_{\text{iron}} = l_{\text{brass}} \alpha_{\text{brass}}$.
$\frac{l_{\text{iron}}}{l_{\text{brass}}} = \frac{\alpha_{\text{brass}}}{\alpha_{\text{iron}}} = \frac{1.8 \times 10^{-5}}{1.2 \times 10^{-5}} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$l_{\text{iron}} = 1.5 \ l_{\text{brass}}$.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$1.5 \ l_{\text{brass}} - l_{\text{brass}} = 10 \ cm$.
$0.5 \ l_{\text{brass}} = 10 \ cm \implies l_{\text{brass}} = 20 \ cm$.
ત્યારબાદ,$l_{\text{iron}} = 1.5 \times 20 \ cm = 30 \ cm$.
આમ,લોખંડની લંબાઈ $30 \ cm$ અને પિત્તળની લંબાઈ $20 \ cm$ હોવી જોઈએ.

(N/A) ધારો કે $0^{\circ} C$ તાપમાને લોખંડ અને પિત્તળના કદ અનુક્રમે $V_{i,0}$ અને $V_{b,0}$ છે.
ધારો કે $\Delta T^{\circ} C$ તાપમાને લોખંડ અને પિત્તળના કદ અનુક્રમે $V_i$ અને $V_b$ છે.
ધારો કે $\gamma_i$ અને $\gamma_b$ એ અનુક્રમે લોખંડ અને પિત્તળના કદ પ્રસરણાંક છે.
પાત્રનું ચોખ્ખું કદ $V_c = V_i - V_b = 100 \, cc$ છે.
તાપમાન સાથે કદ અચળ રહે તે માટે,કદમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\Delta V_c = \Delta V_i - \Delta V_b = 0$
$V_{i,0} \gamma_i \Delta T - V_{b,0} \gamma_b \Delta T = 0$
$V_{i,0} \gamma_i = V_{b,0} \gamma_b$
$\frac{V_{i,0}}{V_{b,0}} = \frac{\gamma_b}{\gamma_i} = \frac{6 \times 10^{-5}}{3.55 \times 10^{-5}} = \frac{6}{3.55} \approx 1.69$
આપેલ છે કે $V_{i,0} - V_{b,0} = 100 \, cc$,તેથી $V_{i,0} = \frac{6}{3.55} V_{b,0}$ મૂકતા:
$\left( \frac{6}{3.55} - 1 \right) V_{b,0} = 100$
$\left( \frac{6 - 3.55}{3.55} \right) V_{b,0} = 100$
$\frac{2.45}{3.55} V_{b,0} = 100$
$V_{b,0} = \frac{355}{2.45} \approx 144.9 \, cc$
$V_{i,0} = 100 + 144.9 = 244.9 \, cc$.

(N/A) આપેલ કાટકોણ ત્રિકોણ માટે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{L+\Delta L}{2}\right)^{2} = \left(\frac{L}{2}\right)^{2} + x^{2}$
$x = \sqrt{\left(\frac{L+\Delta L}{2}\right)^{2} - \left(\frac{L}{2}\right)^{2}}$
$x = \frac{1}{2} \sqrt{(L+\Delta L)^{2} - L^{2}}$
$x = \frac{1}{2} \sqrt{L^{2} + 2L\Delta L + (\Delta L)^{2} - L^{2}}$
$x = \frac{1}{2} \sqrt{2L\Delta L + (\Delta L)^{2}}$
અહીં $\Delta L$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$(\Delta L)^{2}$ ને અવગણી શકાય.
$x \approx \frac{1}{2} \sqrt{2L\Delta L}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta L = L \alpha \Delta T$,તેથી:
$x = \frac{1}{2} \sqrt{2L(L \alpha \Delta T)} = \frac{L}{2} \sqrt{2 \alpha \Delta T}$
કિંમતો મૂકતા $L = 10\,m$,$\alpha = 1.2 \times 10^{-5} \,^oC^{-1}$,અને $\Delta T = 20\,^oC$:
$x = \frac{10}{2} \sqrt{2 \times 1.2 \times 10^{-5} \times 20}$
$x = 5 \sqrt{48 \times 10^{-5}} = 5 \sqrt{4.8 \times 10^{-4}}$
$x = 5 \times 2.19 \times 10^{-2} \approx 0.1095\,m \approx 11\,cm$.

(N/A) ઉષ્મીય સ્થાયી અવસ્થામાં,સળિયાની લંબાઈ સાથે તાપમાનનો ફેરફાર અચળ રહે છે. તાપમાન $\theta_1$ થી $\theta_2$ સુધી રેખીય રીતે બદલાય છે. સળિયાનું સરેરાશ તાપમાન $\theta_{avg} = \frac{\theta_1 + \theta_2}{2}$ થાય છે.
લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta T$ એ સંદર્ભ તાપમાન $(0\,^{\circ}C)$ થી તાપમાનમાં થયેલો ફેરફાર છે.
તેથી,નવી લંબાઈ $L$ નીચે મુજબ છે:
$L = L_0(1 + \alpha \theta_{avg})$
$L = L_0 \left( 1 + \alpha \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} \right) \right)$

(B) આપેલ છે કે લંબાઈમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta L}{L} = 0.02 \% = 2 \times 10^{-4}$ છે.
કારણ કે $\Delta L = L \alpha \Delta T$,તેથી $\alpha \Delta T = 2 \times 10^{-4}$ મળે.
તારનું કદ $V = A \times L$ છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{AL}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લોગરીધમિક વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta \rho}{\rho} = - (\frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta L}{L})$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{\Delta A}{A} = 2 \alpha \Delta T$ અને $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$,તેથી ઘનતામાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta \rho}{\rho} = -(2 \alpha \Delta T + \alpha \Delta T) = -3 \alpha \Delta T$ થાય.
$\alpha \Delta T = 0.02 \%$ મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta \rho}{\rho} = -3 \times 0.02 \% = -0.06 \%$ મળે છે.
આમ,પ્રતિશત ફેરફારનું મૂલ્ય $0.06 \%$ છે.

(D) $T$ તાપમાને,કુલ લંબાઈ $L = L_{1} + L_{2}$ છે.
જ્યારે તાપમાન $T + \Delta T$ થાય છે,ત્યારે નવી લંબાઈઓ નીચે મુજબ છે:
$L_{1}' = L_{1}(1 + \alpha_{1} \Delta T)$
$L_{2}' = L_{2}(1 + \alpha_{2} \Delta T)$
કુલ નવી લંબાઈ $L_{eq}'$ એ વ્યક્તિગત નવી લંબાઈઓનો સરવાળો છે:
$L_{eq}' = L_{1}' + L_{2}' = L_{1}(1 + \alpha_{1} \Delta T) + L_{2}(1 + \alpha_{2} \Delta T)$
$L_{eq}' = L_{1} + L_{1} \alpha_{1} \Delta T + L_{2} + L_{2} \alpha_{2} \Delta T$
$L_{eq}' = (L_{1} + L_{2}) + (L_{1} \alpha_{1} + L_{2} \alpha_{2}) \Delta T$
અસરકારક ગુણાંક $\alpha_{avg}$ ધરાવતી સમતુલ્ય સિસ્ટમ માટે,નવી લંબાઈ:
$L_{eq}' = (L_{1} + L_{2})(1 + \alpha_{avg} \Delta T) = (L_{1} + L_{2}) + (L_{1} + L_{2}) \alpha_{avg} \Delta T$
$L_{eq}'$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$(L_{1} + L_{2}) \alpha_{avg} \Delta T = (L_{1} \alpha_{1} + L_{2} \alpha_{2}) \Delta T$
$\alpha_{avg} = \frac{L_{1} \alpha_{1} + L_{2} \alpha_{2}}{L_{1} + L_{2}}$

(A) પારાનો વાસ્તવિક કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_{\text{real}})$ પાત્ર ગમે તે હોય, અચળ રહે છે.
વાસ્તવિક પ્રસરણ, આભાસી પ્રસરણ અને પાત્રના પ્રસરણ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}}$
બંને કિસ્સામાં $\gamma_{\text{real}}$ સમાન હોવાથી:
$(\gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}})_{\text{glass}} = (\gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}})_{\text{steel}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘન પદાર્થ માટે કદ પ્રસરણાંક $\gamma_{\text{vessel}} = 3\alpha$ થાય.
સ્ટીલ માટે:
$\gamma_{\text{vessel, steel}} = 3 \times (12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C) = 36 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{\text{vessel, glass}} = 144 \times 10^{-6} + 36 \times 10^{-6}$
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{\text{vessel, glass}} = 180 \times 10^{-6}$
$\gamma_{\text{vessel, glass}} = (180 - 153) \times 10^{-6} = 27 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
કારણ કે $\gamma_{\text{vessel, glass}} = 3\alpha_{\text{glass}}$:
$3\alpha_{\text{glass}} = 27 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
$\alpha_{\text{glass}} = 9 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ ની ગણતરી કરીશું:
$\alpha = \frac{\Delta L}{L_{0} \Delta \theta}$
$\alpha = \frac{0.19 \; cm}{100 \; cm \times (100^{\circ} C - 0^{\circ} C)}$
$\alpha = \frac{0.19}{100 \times 100} = \frac{0.19}{10000} = 1.9 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
કદ પ્રસરણાંક $(\gamma)$ અને રેખીય પ્રસરણાંક વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
$\gamma = 3 \times (1.9 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C)$
$\gamma = 5.7 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$

(D) ધાતુની પટ્ટીની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
જ્યારે પટ્ટીને ઠંડા બાથમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તાપમાન ઘટે છે,તેથી $\Delta T$ ઋણ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે બંને ધાતુઓ સંકોચાશે.
આપેલ છે કે $\alpha_{A} > \alpha_{B}$,તેથી ધાતુ $A$ માં થતું સંકોચન ધાતુ $B$ કરતા વધારે હશે (એટલે કે $|\Delta L_{A}| > |\Delta L_{B}|$).
ધાતુ $A$ ડાબી બાજુએ છે અને તે ધાતુ $B$ કરતા વધુ સંકોચાય છે,તેથી પટ્ટી જે બાજુ વધુ સંકોચાય છે તે તરફ વળશે,એટલે કે ડાબી તરફ.

(A) સમઘન બોક્સનું પ્રારંભિક કદ $V = a^{3}$ છે.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો ફેરફાર થવાથી કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V$ એ સૂત્ર $\Delta V = V \gamma \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂત્રમાં $V$ અને $\gamma$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\Delta V = a^{3} \times (3\alpha) \times \Delta T$.
તેથી,ધાતુના બોક્સના કદમાં થતો વધારો $\Delta V = 3 a^{3} \alpha \Delta T$ છે.

(A) વિધાન $A$ સાચું છે: જ્યારે કોઈ સળિયાને મુક્ત રીતે ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે કોઈપણ બાહ્ય અવરોધ વિના વિસ્તરે છે. વિસ્તરણને રોકવા માટે કોઈ અવરોધ ન હોવાથી,તેમાં કોઈ આંતરિક પુનઃસ્થાપક બળ અથવા થર્મલ સ્ટ્રેસ ઉત્પન્ન થતું નથી.
કારણ $R$ સાચું છે: ઉષ્મીય વિસ્તરણને કારણે ગરમ કરવાથી સળિયાની લંબાઈ વધે છે,જે એક ભૌતિક સત્ય છે.
જોકે,કારણ $R$ એ સમજાવતું નથી કે શા માટે થર્મલ સ્ટ્રેસ ઉત્પન્ન થતું નથી. થર્મલ સ્ટ્રેસનો અભાવ એ બાહ્ય અવરોધના અભાવ (વિસ્તરણ માટેની સ્વતંત્રતા) ને કારણે છે,માત્ર લંબાઈ વધવાને કારણે નહીં. તેથી,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે,પરંતુ $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $u = \frac{1}{2} \times \text{યંગ મોડ્યુલસ} \times (\text{વિકૃતિ})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટ્રેક જકડાયેલ હોવાથી,ઉષ્મીય વિકૃતિ $\text{વિકૃતિ} = \alpha \Delta T$ થાય.
અહીં $\alpha = 10^{-5} /^{\circ}C$ અને $\Delta T = 10^{\circ}C$ આપેલ છે,તેથી વિકૃતિ $\text{વિકૃતિ} = 10^{-5} \times 10 = 10^{-4}$ મળે.
એકમ લંબાઈ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા $U = u \times \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} Y (\text{વિકૃતિ})^2 \times A$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{1}{2} \times 10^{11} \times (10^{-4})^2 \times 0.01$.
$U = 0.5 \times 10^{11} \times 10^{-8} \times 10^{-2} = 0.5 \times 10^1 = 5\, J/m$.

(B) કદમાં થતો વધારો $\Delta V = \gamma V_{0} \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\gamma = 3\alpha$,તેથી $\Delta V = (3\alpha) V_{0} \Delta T$.
સમઘનનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $6a^{2}$ છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $6a^{2} = 24 \; m^{2}$,તેથી $a^{2} = 4 \; m^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2 \; m$.
પ્રારંભિક કદ $V_{0} = a^{3} = (2)^{3} = 8 \; m^{3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta V = (3 \times 5.0 \times 10^{-4} \; ^{\circ}C^{-1}) \times (8 \; m^{3}) \times (10 \; ^{\circ}C)$.
$\Delta V = 15 \times 10^{-4} \times 80 = 1200 \times 10^{-4} = 0.12 \; m^{3}$.
કારણ કે $1 \; m^{3} = 10^{6} \; cm^{3}$,તેથી $\Delta V = 0.12 \times 10^{6} \; cm^{3} = 1.2 \times 10^{5} \; cm^{3}$.

(D) જરૂરી લંબાઈ (વ્યાસ) માં ફેરફાર $\Delta L = L_2 - L_1 = 6.241 \,cm - 6.230 \,cm = 0.011 \,cm$ છે.
રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta L = L_1 \alpha_L \Delta T$ છે,જ્યાં $\Delta T = T_f - T_i$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.011 = 6.230 \times (1.4 \times 10^{-5}) \times (T_f - 27)$.
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા: $\Delta T = \frac{0.011}{6.230 \times 1.4 \times 10^{-5}} = \frac{0.011 \times 10^5}{8.722} \approx 126.11^{\circ} C$.
તેથી,અંતિમ તાપમાન $T_f = 27 + 126.11 = 153.11^{\circ} C$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $152.7^{\circ} C$ છે.

(C) ધારો કે પિત્તળની લંબાઈ $\ell_{B}$ છે અને લોખંડની લંબાઈ $\ell_{i}$ છે.
શરત એ છે કે તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T$ સાથે તેમની લંબાઈ વચ્ચેનો તફાવત અચળ રહે છે:
$\ell_{B}(1 + \alpha_{B} \Delta T) - \ell_{i}(1 + \alpha_{i} \Delta T) = \ell_{B} - \ell_{i}$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\ell_{B} + \ell_{B} \alpha_{B} \Delta T - \ell_{i} - \ell_{i} \alpha_{i} \Delta T = \ell_{B} - \ell_{i}$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\ell_{B} \alpha_{B} \Delta T = \ell_{i} \alpha_{i} \Delta T$
$\Delta T$ વડે ભાગતા:
$\ell_{B} \alpha_{B} = \ell_{i} \alpha_{i}$
આપેલ છે કે $\ell_{B} = 40\,cm$,$\alpha_{B} = 1.8 \times 10^{-5} K^{-1}$,અને $\alpha_{i} = 1.2 \times 10^{-5} K^{-1}$:
$40 \times 1.8 \times 10^{-5} = \ell_{i} \times 1.2 \times 10^{-5}$
$\ell_{i}$ માટે ઉકેલતા:
$\ell_{i} = \frac{40 \times 1.8}{1.2} = \frac{40 \times 3}{2} = 60\,cm$.

(B) ઘન પદાર્થમાં બે પરમાણુઓની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ તેમના અંતર $r$ ના વિધેય તરીકે એક અસંમિત વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જેમ જેમ ઘન પદાર્થનું તાપમાન વધે છે,તેમ પરમાણુઓની કંપન ઊર્જા વધે છે.
સ્થિતિ ઊર્જા વક્રની અસંમિતતાને કારણે,પરમાણુઓ ઊંચી ઊર્જા પર મોટા કંપનવિસ્તાર સાથે કંપન કરે છે.
કારણ કે વક્ર $r < r_0$ (જ્યાં $r_0$ એ સંતુલન અંતર છે) માટે વધુ ઢાળવાળો છે અને $r > r_0$ માટે ઓછો ઢાળવાળો છે,તેથી જેમ કુલ ઊર્જા વધે છે તેમ પરમાણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર વધે છે.
પરમાણુઓના સરેરાશ અંતરમાં આ વધારો ઘન પદાર્થના મેક્રોસ્કોપિક ઉષ્મીય પ્રસરણ તરીકે જોવા મળે છે.

(A) સાચો જવાબ $(A)$ છે.
ઘન પદાર્થમાં બે પરમાણુઓ માટે સ્થિતિ ઉર્જા $U$ વિરુદ્ધ આંતરપરમાણ્વીય અંતર $r$ નો આલેખ સંતુલન સ્થાનની આસપાસ અસમપ્રમાણ હોય છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ પરમાણુઓની કુલ ઉર્જા વધે છે $(E_3 > E_2 > E_1)$.
સ્થિતિ ઉર્જા વક્રની અસમપ્રમાણતાને કારણે,જેમ ઉર્જા વધે છે તેમ પરમાણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર વધે છે $(r_3 > r_2 > r_1)$.
પરિણામે,સ્ફટિકમય ઘન પદાર્થો સામાન્ય રીતે ગરમ કરવાથી વિસ્તરણ પામે છે.

(A) કોઈપણ ઘન પદાર્થમાં રહેલી ખાલી જગ્યા અથવા ગેપનું ઉષ્મીય પ્રસરણ તે પદાર્થ જેવો જ વર્તાવ કરે છે.
જ્યારે રીંગનું તાપમાન $\Delta T$ જેટલું વધે છે,ત્યારે રીંગના દરેક રેખીય પરિમાણ,જેમાં ગેપની પહોળાઈ $d$ નો પણ સમાવેશ થાય છે,તે રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ મુજબ વિસ્તરે છે.
તેથી,ગેપની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta d = d \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\Delta T > 0$ હોવાથી,ગેપની પહોળાઈ $d \alpha \Delta T$ જેટલી વધશે.

(B) વર્તુળાકાર સિક્કાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
વ્યાસ $D = 2r$ હોવાથી,વ્યાસમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર એ ત્રિજ્યામાં થતા ટકાવારી ફેરફાર જેટલો જ હોય છે: $\frac{\Delta D}{D} \times 100 = \frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.15 \%$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે. સાપેક્ષ ત્રુટિ (અથવા વિકલન) ના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી વધારો શોધવા માટે:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta r}{r} \times 100)$
$= 2 \times 0.15 \% = 0.30 \%$.

(D)
ઘન પદાર્થોનું વિસ્તરણ સ્ફટિકમય ઘન પદાર્થમાં બે નજીકના પરમાણુઓ માટે તેમના આંતર-પરમાણ્વીય અંતર $(r)$ ના વિધેય તરીકે સ્થિતિ ઊર્જા વક્ર દ્વારા સારી રીતે સમજી શકાય છે.
સામાન્ય તાપમાને: ઘન પદાર્થનો દરેક અણુ તેના સંતુલન સ્થાન $P_1$ ની આસપાસ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે,જ્યાં $r_0$ એ અન્ય અણુથી તેનું સંતુલન અંતર છે.
ઊંચા તાપમાને: દોલનનો કંપવિસ્તાર વધે છે ($C \leftrightarrow D$ થી $E \leftrightarrow F$ સુધી).
સ્થિતિ ઊર્જા વક્રની અસમપ્રમાણતાને કારણે,અણુઓના સરેરાશ સંતુલન સ્થાનો ($P_2$ અને $P_3$) બહારની તરફ ખસે છે. તેથી,અન્ય અણુઓથી સરેરાશ અંતર વધે છે $(r_2 > r_1 > r_0)$.
આમ,તાપમાન વધારવાથી,અણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ સંતુલન અંતર વધે છે અને સમગ્ર ઘન પદાર્થનું વિસ્તરણ થાય છે.

(C) જ્યારે કાણાવાળી ઘન વસ્તુને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થ બધી દિશાઓમાં વિસ્તરે છે,જેમાં કાણાની આસપાસનો પદાર્થ પણ સામેલ છે.
આના પરિણામે કાણું એવી રીતે વિસ્તરે છે જાણે કે આખી શીટ તે જ પદાર્થની બનેલી હોય.
ગાણિતિક રીતે,વ્યાસમાં થતો ફેરફાર $\Delta D = D \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ તાંબા માટે રેખીય પ્રસરણનો ગુણાંક છે.
અહીં $\Delta T = 35^{\circ} C - 27.0^{\circ} C = 8.0^{\circ} C$ ધન હોવાથી,વ્યાસ $D$ માં વધારો થશે.
તેથી,નવો વ્યાસ $4.24 \,cm$ કરતા વધારે હશે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $L$ છે અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r$ છે. આડછેદનું પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
જ્યારે નળાકારને ગરમ કરવામાં આવે છે, ત્યારે લંબાઈમાં $3 \%$ નો વધારો થાય છે, તેથી નવી લંબાઈ $L' = L(1 + 0.03)$ થાય છે.
પદાર્થ સમાન હોવાથી, રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક $\alpha$ અચળ રહે છે. લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ છે, જ્યાં $\Delta L / L = 0.03$ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ત્રિજ્યા $r$ પર આધાર રાખે છે. ત્રિજ્યામાં ફેરફાર $\Delta r = r \alpha \Delta T$ છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A' = \pi (r + \Delta r)^2 = \pi (r^2 + 2r \Delta r + (\Delta r)^2)$ છે.
ઉચ્ચ-ક્રમના પદ $(\Delta r)^2$ ને અવગણતા, આપણને $A' \approx \pi r^2 + 2 \pi r \Delta r = A + 2A (\Delta r / r)$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળમાં આંશિક ફેરફાર $\Delta A / A = 2 (\Delta r / r) = 2 \alpha \Delta T$ છે.
કારણ કે $\Delta L / L = \alpha \Delta T = 0.03$ છે, તેથી $\Delta A / A = 2 \times 0.03 = 0.06$ થાય.
આમ, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $6 \%$ વધશે.

(C) જ્યારે કોઈ ધાતુની વસ્તુને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં ઉષ્મીય પ્રસરણ થાય છે. ઘન પદાર્થનું પ્રસરણ ફોટોગ્રાફિક વિસ્તરણ જેવું હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થના તમામ રેખીય પરિમાણો પ્રમાણસર વધે છે.
પોલાણ ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતી માટે,પદાર્થ બધી દિશામાં વિસ્તરે છે. બાહ્ય ત્રિજ્યા $R$ વધે છે કારણ કે પરિઘ વિસ્તરે છે. તેવી જ રીતે,આંતરિક ત્રિજ્યા $r$ પણ વધે છે કારણ કે પોલાણની આસપાસનો પદાર્થ બહારની તરફ વિસ્તરે છે,જે અસરકારક રીતે પોલાણની સીમાને કેન્દ્રથી દૂર ધકેલે છે.
તેથી,ગરમ કરવા પર $R$ અને $r$ બંને વધે છે.