Mix Examples-Motion in Plane Questions in Hindi

(A) विमान का वेग एक सदिश राशि है। मान लीजिए प्रारंभिक वेग $\vec{v}_i = v\hat{i}$ है।
आधा वृत्त तय करने के बाद,वेग की दिशा उलट जाती है,इसलिए अंतिम वेग $\vec{v}_f = -v\hat{i}$ हो जाता है।
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta \vec{v} = -v\hat{i} - v\hat{i} = -2v\hat{i}$।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = 2v$ है।
यहाँ $v = 100\, km/hr$ दिया गया है,इसलिए वेग में परिवर्तन $2 \times 100 = 200\, km/hr$ होगा।

(D) प्रारंभिक वेग $\vec{v_1} = 10\hat{i}\, ms^{-1}$ (पूर्व)।
अंतिम वेग $\vec{v_2} = 10(-\hat{j}) = -10\hat{j}\, ms^{-1}$ (दक्षिण)।
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v_2} - \vec{v_1}$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta \vec{v} = -10\hat{j} - 10\hat{i} = -(10\hat{i} + 10\hat{j})$।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-10)^2 + (-10)^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14\, ms^{-1}$ है।
दिशा दक्षिण-पश्चिम है क्योंकि दोनों घटक ऋणात्मक हैं।
वैकल्पिक रूप से,जब गति $v$ स्थिर हो और कोण $\theta$ हो,तो वेग में परिवर्तन का सूत्र: $|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(\theta/2) = 2 \times 10 \times \sin(90^\circ/2) = 20 \times \sin(45^\circ) = 20 \times (1/\sqrt{2}) = 10\sqrt{2} \approx 14.14\, ms^{-1}$ दक्षिण-पश्चिम दिशा में।

(D) रैखिक वेग $\vec v$,कोणीय वेग $\vec \omega$ और स्थिति सदिश $\vec r$ के बीच का संबंध क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा दिया जाता है: $\vec v = \vec \omega \times \vec r$।
इसकी गणना करने के लिए,हम सारणिक (determinant) रूप का उपयोग करते हैं:
$\vec v = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & -4 & 1 \\ 5 & -6 & 6 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec v = \hat i((-4)(6) - (1)(-6)) - \hat j((3)(6) - (1)(5)) + \hat k((3)(-6) - (-4)(5))$
$\vec v = \hat i(-24 + 6) - \hat j(18 - 5) + \hat k(-18 + 20)$
$\vec v = -18\hat i - 13\hat j + 2\hat k$.

(B) प्रारंभिक वेग $\vec{v}_i = 5\hat{i}\,m/s$.
अंतिम वेग $\vec{v}_f = 5\hat{j}\,m/s$.
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i = 5\hat{j} - 5\hat{i}$.
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,m/s$.
$\Delta \vec{v}$ की दिशा उत्तर-पश्चिम है (क्योंकि यह $-\hat{i} + \hat{j}$ की दिशा में है)।
औसत त्वरण $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,m/s^2$.
अतः,औसत त्वरण उत्तर-पश्चिम दिशा में $\frac{1}{\sqrt{2}}\,m/s^2$ है।

(B) गति का कुल समय $2 \, min \, 20 \, s = 140 \, s$ है।
चूंकि वृत्ताकार गति का आवर्तकाल $40 \, s$ है,इसलिए $140 \, s$ में पूरे किए गए चक्करों की संख्या $n = \frac{140}{40} = 3.5$ चक्कर है।
$3$ पूर्ण चक्कर लगाने के बाद,एथलीट वापस शुरुआती बिंदु पर आ जाता है। शेष $0.5$ चक्कर के बाद,एथलीट वृत्ताकार ट्रैक के व्यासीय विपरीत बिंदु पर होगा।
विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी है,जो वृत्ताकार ट्रैक का व्यास है।
अतः,विस्थापन $2R$ होगा।

(B) मान लीजिए कि दोनों लड़के शुरुआत से $t$ समय बाद बिंदु $C$ पर मिलते हैं।
$t$ समय में,$B$ से दौड़ने वाला लड़का $BC = v_1 t$ दूरी तय करता है।
$A$ से दौड़ने वाला लड़का $AC = v t$ दूरी तय करता है।
चूंकि $B$ पर लड़का $AB$ के लंबवत दौड़ता है,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए: $(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2$.
मान रखने पर: $(vt)^2 = a^2 + (v_1 t)^2$.
$v^2 t^2 - v_1^2 t^2 = a^2$.
$t^2 (v^2 - v_1^2) = a^2$.
$t = \sqrt{\frac{a^2}{v^2 - v_1^2}}$.

(C) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u_x = 0$,$u_y = 0$। त्वरण $a_x = 6\,m/s^2$,$a_y = 8\,m/s^2$,और समय $t = 4\,s$।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$x$-दिशा के लिए: $S_x = 0 + \frac{1}{2} \times 6 \times (4)^2 = 3 \times 16 = 48\,m$।
$y$-दिशा के लिए: $S_y = 0 + \frac{1}{2} \times 8 \times (4)^2 = 4 \times 16 = 64\,m$।
मूल बिंदु से दूरी $S = \sqrt{S_x^2 + S_y^2}$ द्वारा दी जाती है।
$S = \sqrt{48^2 + 64^2} = \sqrt{2304 + 4096} = \sqrt{6400} = 80\,m$।

(D) किसी कण द्वारा अनुसरण किए जाने वाले पथ की प्रकृति वेग सदिश की दिशा और त्वरण सदिश की दिशा दोनों द्वारा निर्धारित की जाती है।
विशेष रूप से,यदि त्वरण हमेशा वेग के समानांतर या प्रति-समानांतर होता है,तो पथ एक सीधी रेखा होती है।
यदि त्वरण वेग के लंबवत है और परिमाण में स्थिर है,तो पथ एक वृत्त होता है।
यदि त्वरण स्थिर है और प्रारंभिक वेग के साथ किसी कोण पर है,तो पथ एक परवलय होता है।
चूंकि पथ वेग और त्वरण दोनों के बीच के संबंध पर निर्भर करता है,इसलिए कोई भी एकल विकल्प ($A$,$B$,या $C$) अकेले पथ निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) जब किसी पत्थर को वृत्ताकार पथ में घुमाया जाता है,तो किसी भी बिंदु पर उसका वेग सदिश उस बिंदु पर वृत्त की स्पर्शरेखा की दिशा में होता है।
न्यूटन के गति के पहले नियम के अनुसार,गतिमान वस्तु तब तक सीधी रेखा में चलती रहेगी जब तक कि उस पर कोई बाहरी बल न लगे।
जब डोरी को छोड़ दिया जाता है,तो अभिकेंद्र बल (जो डोरी में तनाव द्वारा प्रदान किया जा रहा था) समाप्त हो जाता है।
परिणामस्वरूप,पत्थर अपने तात्कालिक वेग की दिशा में गति करना जारी रखता है,जो कि छोड़े जाने के बिंदु पर वृत्ताकार पथ की स्पर्शरेखा होती है।

(A) अभिकेंद्र बल का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ होता है।
चूंकि दोनों कणों के लिए द्रव्यमान $m$ और चाल $v$ समान हैं,इसलिए अभिकेंद्र बल $F$ त्रिज्या $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $F \propto \frac{1}{r}$।
अतः,$r_1$ और $r_2$ त्रिज्याओं के लिए अभिकेंद्र बलों $F_1$ और $F_2$ का अनुपात होगा:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{1/r_1}{1/r_2} = \frac{r_2}{r_1}$।
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(A) समान वृत्तीय गति में,कण स्थिर कोणीय वेग $\omega$ के साथ गति करता है।
चूंकि चाल $v = r\omega$ स्थिर है,इसलिए गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ स्थिर रहती है,जिसका अर्थ है कि ऊर्जा संरक्षित है।
हालाँकि,संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ एक सदिश राशि है। वृत्तीय गति में,वेग सदिश $\vec{v}$ की दिशा हर बिंदु पर लगातार बदलती रहती है।
वेग की दिशा बदलने के कारण,संवेग सदिश $\vec{p}$ भी लगातार बदलता रहता है।
इसलिए,संवेग संरक्षित नहीं रहता है,जबकि ऊर्जा संरक्षित रहती है।

(D) अभिकेंद्र बल का सूत्र $F_c = \frac{mv^2}{r}$ है।
चूंकि चाल $v$ नियत रहती है,द्रव्यमान $m$ और वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ समान रहती है,इसलिए अभिकेंद्र बल का परिमाण अपरिवर्तित रहता है।
अभिकेंद्र बल हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है,चाहे पिंड दक्षिणावर्त (clockwise) घूमे या वामावर्त (counter-clockwise)।
इसलिए,गति की दिशा को उलटने से अभिकेंद्र बल के परिमाण या दिशा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अतः,कथन $(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(A) एकसमान वृत्तीय गति में,पिंड एक वृत्ताकार पथ पर एकसमान चाल से गति करता है।
चूंकि अभिकेंद्र बल $F$ हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है और विस्थापन $ds$ हमेशा वृत्त की स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है,इसलिए बल और विस्थापन के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ होता है।
किया गया कार्य $W$ का मान $W = \int F \cdot ds = \int F \cos(90^{\circ}) ds = 0$ होता है।
अतः,अभिकेंद्र बल द्वारा पिंड पर कोई कार्य नहीं किया जाता है।

(A) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $\omega$ कोणीय वेग से गति कर रहे पिंड का अभिकेंद्र त्वरण $a = \omega^2 r$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कोणीय वेग $\omega$ और आवर्तकाल $T$ के बीच संबंध $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है,इसलिए अभिकेंद्र त्वरण को $a = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पिंडों के लिए,अभिकेंद्र त्वरण $a_R = \frac{4\pi^2 R}{T_R^2}$ और $a_r = \frac{4\pi^2 r}{T_r^2}$ हैं।
यह दिया गया है कि आवर्तकाल समान हैं,अर्थात $T_R = T_r = T$ है।
अतः,उनके अभिकेंद्र त्वरण का अनुपात $\frac{a_R}{a_r} = \frac{4\pi^2 R / T^2}{4\pi^2 r / T^2} = \frac{R}{r}$ होगा।

(D) जब एक कार उत्तर दिशा में यात्रा करती है,तो पूर्व की ओर से देखने पर टायर घड़ी की दिशा में घूमते हैं।
जैसे ही टायर पर लगा कीचड़ का कण जमीन पर पहुँचता है,उसका तात्क्षणिक वेग क्षैतिज रूप से दक्षिण दिशा की ओर होता है।
जड़त्व के सिद्धांत के अनुसार,जब कीचड़ का कण टायर छोड़ता है,तो वह अपने तात्क्षणिक वेग की दिशा में गति करना जारी रखता है।
इसलिए,कीचड़ के कण दक्षिण दिशा की ओर फेंके जाते हैं।

(D) एकसमान वृत्तीय गति में कण पर कार्य करने वाला त्रिज्यीय बल (अभिकेंद्र बल) सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि रैखिक संवेग $p$ को $p = mv$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका अर्थ है $v = \frac{p}{m}$।
$v$ के इस व्यंजक को बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \frac{m}{r} \left( \frac{p}{m} \right)^2$
$F = \frac{m}{r} \cdot \frac{p^2}{m^2}$
$F = \frac{p^2}{mr}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) एकसमान वृत्तीय गति में,वेग सदिश की दिशा लगातार बदलती रहती है,लेकिन इसका परिमाण स्थिर रहता है।
एक पूर्ण चक्कर के लिए,कण अपने प्रारंभिक स्थान पर उसी वेग सदिश के साथ वापस आ जाता है जो शुरुआत में था।
इसलिए,वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v}_{final} - \vec{v}_{initial} = 0$ होता है।
औसत त्वरण को $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि $\Delta \vec{v} = 0$ है,इसलिए एक पूर्ण चक्कर पर औसत त्वरण एक शून्य सदिश है।

(D) $m$ द्रव्यमान की वस्तु को $r$ त्रिज्या के वृत्त में $n$ आवृत्ति (चक्कर प्रति सेकंड) से घुमाने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल,जो डोरी में तनाव $T$ के रूप में कार्य करता है,$T = m \omega^2 r = m(2\pi n)^2 r = 4\pi^2 n^2 mr$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $m$ और $r$ स्थिर हैं,इसलिए $T \propto n^2$ होगा।
प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = 5 \, rpm$ और अंतिम तनाव $T_2 = 2T_1$ दिया गया है,अतः अनुपात लेने पर:
$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{2T_1}{T_1}} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$n_2 = n_1 \times \sqrt{2} = 5 \times 1.414 = 7.07 \, rpm$।
निकटतम पूर्णांक में,नई गति लगभग $7 \, rpm$ है।

(D) सेकंड वाली सुई की लंबाई $r = 6\,cm = 60\,mm$ है। सेकंड वाली सुई का आवर्तकाल $T = 60\,s$ है।
अंतिम बिंदु की चाल $v = r\omega = \frac{r \times 2\pi}{T} = \frac{60\,mm \times 2\pi}{60\,s} = 2\pi\,mm/s \approx 6.28\,mm/s$ है।
दो लंबवत स्थितियों पर,वेग सदिश $\vec{v_1}$ और $\vec{v_2}$ एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,जहाँ $|\vec{v_1}| = |\vec{v_2}| = v = 6.28\,mm/s$ है।
वेगों के अंतर का परिमाण $|\Delta\vec{v}| = |\vec{v_2} - \vec{v_1}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2\cos(90^\circ)} = \sqrt{v^2 + v^2} = v\sqrt{2}$ होगा।
अतः,$|\Delta\vec{v}| = 6.28 \times 1.414 \approx 8.88\,mm/s$ प्राप्त होता है।

(D) औसत वेग को कुल विस्थापन और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{औसत वेग} = \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}}$
चूंकि कण वृत्त के चारों ओर एक पूर्ण चक्कर लगाता है,इसलिए वह अपने प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाता है।
अतः,कुल विस्थापन $0 \, m$ है।
$\text{औसत वेग} = \frac{0 \, m}{10 \, s} = 0 \, m/s$.
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है: त्रिज्या $R = 10 \, m$, आवर्तकाल $T = 40 \, sec$.
कुल समय $t = 2 \, min \ 20 \, sec = (2 \times 60) + 20 = 140 \, sec$.
चक्करों की संख्या $n = \frac{t}{T} = \frac{140}{40} = 3.5 \, \text{चक्कर}$.
तय की गई दूरी कुल पथ की लंबाई है, जो $n \times (2\pi R)$ होती है।
दूरी $= 3.5 \times 2 \times \pi \times 10 = 7 \times \pi \times 10 = 70\pi \approx 70 \times 3.1428 = 220 \, m$.

(B) औसत चाल को कुल तय की गई दूरी और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
एक पूर्ण चक्कर के लिए,तय की गई दूरी वृत्त की परिधि है,$d = 2 \pi r$।
एक चक्कर के लिए लिया गया समय $T = \frac{2 \pi r}{v}$ है।
इसलिए,औसत चाल $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2 \pi r}{T} = \frac{2 \pi r}{(2 \pi r / v)} = v$ है।
चूंकि वस्तु $31.4 \, m/s$ की स्थिर चाल से गति कर रही है,इसलिए एक पूर्ण चक्कर के लिए औसत चाल भी $31.4 \, m/s$ होगी।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1\, kg$,त्रिज्या $r = 0.1\, m$,आवृत्ति $n = 3\, rev/s$.
कोणीय वेग $\omega = 2\pi n = 2 \times 3.14 \times 3 = 18.84\, rad/s$.
रेखीय वेग $v = \omega r = 18.84 \times 0.1 = 1.88\, m/s$.
अभिकेंद्र त्वरण $a = \omega^2 r = (18.84)^2 \times 0.1 = 354.94 \times 0.1 \approx 35.5\, m/s^2$.
डोरी में तनाव $T = m a = 1 \times 35.5 = 35.5\, N$.

(B) जब क्षैतिज रूप से गति कर रहे हवाई जहाज से एक बम गिराया जाता है,तो गिराते समय उसका क्षैतिज वेग हवाई जहाज के वेग के समान होता है।
वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में,क्षैतिज वेग नियत रहता है और बम हवाई जहाज के ठीक नीचे रहता है।
हालाँकि,जब वायु प्रतिरोध पर विचार किया जाता है,तो यह क्षैतिज दिशा में एक मंदक बल के रूप में कार्य करता है।
यह बल बम के क्षैतिज वेग को समय के साथ कम कर देता है।
चूंकि हवाई जहाज नियत क्षैतिज चाल से गति करना जारी रखता है,इसलिए बम हवाई जहाज से पीछे छूट जाएगा और अंततः हवाई जहाज के पीछे पृथ्वी पर गिरेगा।

(C) अधिकतम ऊँचाई के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 90^\circ$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ)}{2g} = \frac{u^2}{2g} = h$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$u^2 = 2gh$ है।
अधिकतम क्षैतिज दूरी (परास) के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^\circ$ है।
अधिकतम परास $R_{\max} = \frac{u^2 \sin(2 \times 45^\circ)}{g} = \frac{u^2}{g}$ द्वारा दी जाती है।
$R_{\max}$ के व्यंजक में $u^2 = 2gh$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R_{\max} = \frac{2gh}{g} = 2h$ प्राप्त होता है।

(B) संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है,इसलिए संवेग में परिवर्तन केवल ऊर्ध्वाधर घटक के कारण होता है।
प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $v_{iy} = u \sin \theta = 98 \sin 30^\circ = 98 \times 0.5 = 49 \,m/s$.
अंतिम ऊर्ध्वाधर वेग $v_{fy} = -u \sin \theta = -49 \,m/s$.
ऊर्ध्वाधर वेग में परिवर्तन $\Delta v_y = v_{fy} - v_{iy} = -49 - 49 = -98 \,m/s$.
संवेग परिवर्तन का परिमाण $|\Delta p| = m |\Delta v_y| = 0.5 \times 98 = 49 \,N-s$.

(A) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
प्रथम स्थिति के लिए,$H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
दूसरी स्थिति के लिए,कोण $(\frac{\pi}{2} - \theta)$ है,इसलिए $H_2 = \frac{u^2 \sin^2(\frac{\pi}{2} - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$ है।
$H_1$ और $H_2$ का गुणा करने पर,हमें $H_1 H_2 = \frac{u^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{4g^2} = \frac{u^4 (2 \sin \theta \cos \theta)^2}{16g^2} = \frac{(u^2 \sin 2\theta)^2}{16g^2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि क्षैतिज परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है,इसलिए $H_1 H_2 = \frac{R^2}{16}$ होता है।
अतः,$R^2 = 16 H_1 H_2$,जिसका अर्थ है $R = 4\sqrt{H_1 H_2}$।

(C) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $H$ का सूत्र है: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$।
दिया गया है कि दोनों पिंड समान ऊर्ध्वाधर ऊँचाई प्राप्त करते हैं,इसलिए: $H_1 = H_2$।
सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{u_1^2 \sin^2 \theta_1}{2g} = \frac{u_2^2 \sin^2 \theta_2}{2g}$।
दोनों पक्षों से $2g$ को हटाने पर: $u_1^2 \sin^2 45^\circ = u_2^2 \sin^2 60^\circ$।
वेगों का अनुपात $\frac{u_1}{u_2}$ ज्ञात करने के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{u_1^2}{u_2^2} = \frac{\sin^2 60^\circ}{\sin^2 45^\circ}$।
वर्गमूल लेने पर: $\frac{u_1}{u_2} = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}$।
मान रखने पर $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$\frac{u_1}{u_2} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$।

(D) जब कोई बल कण के वेग के लंबवत कार्य करता है,तो यह वेग के परिमाण (चाल) को नहीं बदलता है,केवल उसकी दिशा को बदलता है। इसके परिणामस्वरूप एकसमान वृत्तीय गति होती है।
चूंकि चाल $v$ नियत रहती है,इसलिए गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ नियत रहती है।
चूंकि बल हमेशा वेग के लंबवत होता है और बल का परिमाण नियत होता है,इसलिए कण एक वृत्ताकार पथ में गति करता है।
अतः,कथन $(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(B) दी गई गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = as^2$ है।
अतः,$v^2 = \frac{2as^2}{m}$,जिसका अर्थ है $v = s\sqrt{\frac{2a}{m}}$।
त्रिज्यीय त्वरण $a_R = \frac{v^2}{R} = \frac{2as^2}{mR}$ है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = v\frac{dv}{ds}$ है।
चूंकि $v = s\sqrt{\frac{2a}{m}}$,इसलिए $\frac{dv}{ds} = \sqrt{\frac{2a}{m}}$।
अतः,$a_t = \left(s\sqrt{\frac{2a}{m}}\right) \left(\sqrt{\frac{2a}{m}}\right) = \frac{2as}{m}$।
कुल त्वरण $a = \sqrt{a_R^2 + a_t^2} = \sqrt{\left(\frac{2as^2}{mR}\right)^2 + \left(\frac{2as}{m}\right)^2}$ है।
$\frac{2as}{m}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $a = \frac{2as}{m} \sqrt{\frac{s^2}{R^2} + 1}$ प्राप्त होता है।
कुल बल $F = ma = 2as\sqrt{1 + \frac{s^2}{R^2}}$ होगा।

(A) मान लीजिए ब्लॉक की प्रारंभिक गति $v$ है और ट्रैक की ऊंचाई $h$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ट्रैक के उच्चतम बिंदु पर ब्लॉक की गति $v'$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(v')^2 + mgh$
$v' = \sqrt{v^2 - 2gh}$
चूंकि सभी ट्रैक के लिए $v$ और $h$ समान हैं,इसलिए उच्चतम बिंदु पर गति $v'$ भी सभी ट्रैक के लिए समान रहेगी।
उच्चतम बिंदु पर,ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ (नीचे की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं। ये आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करते हैं:
$N + mg = \frac{m(v')^2}{r}$
$N = \frac{m(v')^2}{r} - mg$
जहाँ $r$ उच्चतम बिंदु पर वक्रता की त्रिज्या है।
$N$ को अधिकतम होने के लिए,पद $\frac{m(v')^2}{r}$ को अधिकतम होना चाहिए। चूंकि $m$ और $v'$ स्थिर हैं,इसलिए $N$ तब अधिकतम होता है जब वक्रता की त्रिज्या $r$ न्यूनतम होती है।
चारों ट्रैक की तुलना करने पर,विकल्प $A$ में दिखाए गए ट्रैक की वक्रता त्रिज्या उसके उच्चतम बिंदु पर सबसे कम है। इसलिए,ट्रैक $A$ में अभिलंब प्रतिक्रिया अधिकतम है।

(A) समरूपता के कारण,किसी भी क्षण पर,चारों व्यक्ति एक ऐसे वर्ग के कोनों पर होंगे जिसकी भुजा की लंबाई धीरे-धीरे कम हो रही है। वे अंततः वर्ग के केंद्र $O$ पर मिलेंगे।
प्रत्येक व्यक्ति का वेग $v$ है। किसी भी क्षण पर,केंद्र $O$ की ओर निर्देशित व्यक्ति के वेग का घटक $v \cos(45^{\circ}) = \frac{v}{\sqrt{2}}$ है।
केंद्र $O$ से प्रत्येक व्यक्ति की प्रारंभिक दूरी वर्ग के विकर्ण की आधी है,जो $\frac{d\sqrt{2}}{2} = \frac{d}{\sqrt{2}}$ है।
केंद्र तक पहुँचने में लगा समय त्रिज्यीय दिशा में वेग के घटक द्वारा विभाजित दूरी है:
$t = \frac{\text{दूरी}}{\text{वेग का घटक}} = \frac{d/\sqrt{2}}{v/\sqrt{2}} = \frac{d}{v}$.

(D) $x = a \cos(pt)$ और $y = b \sin(pt)$ (दिया गया है)।
$\therefore \cos(pt) = x/a$ और $\sin(pt) = y/b$.
वर्ग करके जोड़ने पर:
$\cos^2(pt) + \sin^2(pt) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
अतः,कण का पथ एक दीर्घवृत्त है।
अब,समय के सापेक्ष $x$ और $y$ का अवकलन करने पर:
$v_x = \frac{dx}{dt} = -ap \sin(pt)$ और $v_y = \frac{dy}{dt} = bp \cos(pt)$.
$\vec{v} = -ap \sin(pt) \hat{i} + bp \cos(pt) \hat{j}$.
त्वरण $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -ap^2 \cos(pt) \hat{i} - bp^2 \sin(pt) \hat{j}$.
$t = \frac{\pi}{2p}$ पर:
$\vec{v} = -ap \sin(\pi/2) \hat{i} + bp \cos(\pi/2) \hat{j} = -ap \hat{i}$.
$\vec{a} = -ap^2 \cos(\pi/2) \hat{i} - bp^2 \sin(\pi/2) \hat{j} = -bp^2 \hat{j}$.
चूंकि $\vec{v} \cdot \vec{a} = (-ap \hat{i}) \cdot (-bp^2 \hat{j}) = 0$,इसलिए $t = \frac{\pi}{2p}$ पर वेग और त्वरण एक-दूसरे के लंबवत हैं।

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $\vec{v}_1 = 5\,\hat{i}\,m/s$
अंतिम वेग $\vec{v}_2 = 5\,\hat{j}\,m/s$
समयांतराल $\Delta t = 10\,s$
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = (5\,\hat{j} - 5\,\hat{i})\,m/s$
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,m/s$
औसत त्वरण $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,m/s^2$
$\Delta \vec{v}$ की दिशा $(5\,\hat{j} - 5\,\hat{i})$ सदिश द्वारा दी जाती है,जो उत्तर-पश्चिम दिशा की ओर इंगित करती है।
अतः,औसत त्वरण उत्तर-पश्चिम दिशा में $\frac{1}{\sqrt{2}}\,m/s^2$ है।

(C) किसी भी समय $(t)$ पर प्रक्षेप्य की ऊँचाई $(h)$ गति के समीकरण द्वारा दी जाती है: $h = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$,जहाँ $u_y$ वेग का प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
यह समीकरण $y = ax - bx^2$ के रूप में है,जो नीचे की ओर खुलने वाले परवलय (parabola) को दर्शाता है।
जब किसी प्रक्षेप्य को जमीन से प्रक्षेपित किया जाता है,तो यह $t = 0$ पर $h = 0$ से शुरू होता है,अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचता है और फिर उड़ान के समय के अंत में वापस $h = 0$ पर आ जाता है।
ग्राफ $C$ इस परवलयाकार पथ को सही ढंग से दर्शाता है,जो मूल बिंदु से शुरू होता है,शिखर तक पहुँचता है और क्षैतिज अक्ष पर वापस आ जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) चूंकि कार एक स्थिर वेग से चल रही है,इसलिए गेंद के पास भी फेंकते समय कार और व्यक्ति के समान ही क्षैतिज वेग होता है।
चूंकि गेंद पर कोई क्षैतिज त्वरण कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए इसकी उड़ान के दौरान इसका क्षैतिज वेग स्थिर रहता है।
व्यक्ति और गेंद दोनों एक निश्चित समय अंतराल में समान क्षैतिज दूरी तय करते हैं।
परिणामस्वरूप,जमीन के सापेक्ष एक परवलयाकार पथ का अनुसरण करने के बाद,गेंद ठीक उसी हाथ में वापस गिरती है जिसने इसे ऊपर फेंका था।

(A) ब्लॉक $v_x = 1.5\,m/s$ के निरंतर क्षैतिज वेग से चलता है। $t = 4\,s$ में तय की गई क्षैतिज दूरी $S_x = v_x \times t = 1.5 \times 4 = 6\,m$ है।
लंबवत बल $F = 5\,N$ के कारण ऊर्ध्वाधर दिशा में त्वरण $a_y = F/m = 5/5 = 1\,m/s^2$ उत्पन्न होता है।
विराम अवस्था से शुरू होकर $t = 4\,s$ में तय की गई ऊर्ध्वाधर दूरी $S_y = \frac{1}{2} a_y t^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times 4^2 = 8\,m$ है।
प्रारंभिक बिंदु से कुल दूरी $S = \sqrt{S_x^2 + S_y^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,m$ होगी।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \, kg$,$OE$ के अनुदिश प्रारंभिक वेग $u_x = 3 \, m/s$,$OE$ के लंबवत ($OF$ के अनुदिश) बल $F = 4 \, N$,समय $t = 4 \, s$.
$1$. $OE$ ($x$-अक्ष) के अनुदिश विस्थापन:
चूंकि $OE$ के अनुदिश कोई बल नहीं है,वेग स्थिर रहता है।
$s_x = u_x \times t = 3 \times 4 = 12 \, m$.
$2$. $OF$ ($y$-अक्ष) के अनुदिश विस्थापन:
त्वरण $a_y = \frac{F}{m} = \frac{4}{2} = 2 \, m/s^2$.
चूंकि $OF$ के अनुदिश प्रारंभिक वेग $u_y = 0$ है,विस्थापन होगा:
$s_y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (4)^2 = 16 \, m$.
$3$. $O$ से कुल विस्थापन:
$s = \sqrt{s_x^2 + s_y^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \, m$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 10\sqrt{2} \, m/s$ (उत्तर-पूर्व),त्वरण $\vec{a} = 2 \, m/s^2$ (दक्षिण),समय $t = 5 \, s$.
मान लीजिए कि पूर्व दिशा $x$-अक्ष है और उत्तर दिशा $y$-अक्ष है।
प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 10\sqrt{2} \cos(45^\circ) \hat{i} + 10\sqrt{2} \sin(45^\circ) \hat{j} = 10 \hat{i} + 10 \hat{j} \, m/s$.
त्वरण $\vec{a} = 0 \hat{i} - 2 \hat{j} \, m/s^2$.
अंतिम वेग $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t = (10 \hat{i} + 10 \hat{j}) + (0 \hat{i} - 2 \hat{j}) \times 5 = 10 \hat{i} + (10 - 10) \hat{j} = 10 \hat{i} \, m/s$.
वेग का परिमाण $v = |10 \hat{i}| = 10 \, m/s$ है।
दिशा धनात्मक $x$-अक्ष की ओर है,जो कि पूर्व की ओर है।

(A) दिया गया है,रैखिक वेग $v = 72 \, km/hr = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \, m/s.$
पहिए की त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 \, m.$
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = \frac{v}{r} = \frac{20}{0.25} = 80 \, rad/s.$
अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 0$ (क्योंकि पहिए रुक जाते हैं)।
कुल कोणीय विस्थापन $\theta = 20 \text{ चक्कर} = 20 \times 2\pi = 40\pi \, rad.$
गति के समीकरण $\omega_2^2 - \omega_1^2 = 2\alpha\theta$ का उपयोग करने पर:
$0^2 - (80)^2 = 2 \times \alpha \times (40\pi).$
$-6400 = 80\pi \alpha.$
$\alpha = -\frac{6400}{80\pi} = -\frac{80}{\pi} \approx -25.46 \, rad/s^2.$
निकटतम मान लेने पर,कोणीय मंदन $-25.5 \, rad/s^2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: त्रिज्या $r = 30\, cm = 0.3\, m$. प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 2\, rev/s = 2 \times 2\pi\, rad/s = 4\pi\, rad/s$. अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0\, rad/s$. पट्टे द्वारा तय की गई दूरी $s = 25\, m$.
चूंकि पट्टा पहिये के ऊपर से गुजर रहा है,पट्टे द्वारा तय की गई रैखिक दूरी $s$ पहिये द्वारा तय की गई चाप की लंबाई के बराबर है: $s = r\theta$,जहाँ $\theta$ कोणीय विस्थापन है।
$\theta = s / r = 25 / 0.3 = 83.33\, rad$.
घूर्णी गति के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$.
मान रखने पर: $0^2 = (4\pi)^2 + 2 \times \alpha \times 83.33$.
$0 = 157.91 + 166.66\alpha$.
$\alpha = -157.91 / 166.66 \approx -0.947\, rad/s^2$.
अतः,मंदन का परिमाण लगभग $0.94\, rad/s^2$ है।

(A) एक चक्कर में पहिये द्वारा तय की गई दूरी उसकी परिधि के बराबर होती है,जिसे $C = \pi D$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $D$ पहिये का व्यास है।
$2000$ चक्करों में तय की गई कुल दूरी $2000 \times \pi D$ है।
यह दिया गया है कि कुल दूरी $9.5\,km = 9500\,m$ है,इसलिए हम समीकरण बनाते हैं:
$2000 \times \pi \times D = 9500$
$D$ के लिए हल करने पर:
$D = \frac{9500}{2000 \times \pi}$
$D = \frac{9.5}{2 \times 3.14159}$
$D \approx \frac{9.5}{6.283}$
$D \approx 1.51\,m$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,व्यास $1.5\,m$ है।

(B) अभिकेंद्र त्वरण $a_c = k^2rt^2$ दिया गया है।
चूँकि $a_c = \frac{v^2}{r}$,इसलिए $\frac{v^2}{r} = k^2rt^2$ होगा।
वेग $v$ के लिए हल करने पर,$v = krt$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t$ गति में परिवर्तन की दर है: $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(krt) = kr$।
कण पर कार्य करने वाला स्पर्शरेखीय बल $F_t = m a_t = mkr$ है।
बल द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ है। चूँकि अभिकेंद्र बल वेग के लंबवत होता है,इसलिए यह कोई कार्य नहीं करता है। केवल स्पर्शरेखीय बल ही शक्ति में योगदान देता है: $P = F_t \cdot v$।
मान रखने पर,$P = (mkr) \cdot (krt) = mk^2r^2t$।

(C) अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r} = k^2 r t^2$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,वेग का वर्ग $v^2 = k^2 r^2 t^2$ है,जिसका अर्थ है $v = k r t$।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(k r t) = k r$ है।
स्पर्शरेखीय बल $F_t = m a_t = m k r$ है।
बल द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = F_t \cdot v$ है।
मान रखने पर,$P = (m k r) \cdot (k r t) = m k^2 r^2 t$।

(A) माना कण $A$ का प्रारंभिक वेग $v_1$ है और कण $B$ का प्रारंभिक वेग $v_2$ है।
कण $A$ द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_A = \frac{v_1^2}{2g}$ है।
कण $B$ द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_B = \frac{v_2^2 \sin^2(45^{\circ})}{2g} = \frac{v_2^2}{2g} \cdot \frac{1}{2} = \frac{v_2^2}{4g}$ है।
यह दिया गया है कि $H_A = H_B$,इसलिए $\frac{v_1^2}{2g} = \frac{v_2^2}{4g}$,जिसे सरल करने पर $v_1^2 = \frac{v_2^2}{2}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_A}{K_B} = \frac{\frac{1}{2} m v_1^2}{\frac{1}{2} m v_2^2} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$ है।
$v_1^2$ का मान रखने पर,हमें $\frac{K_A}{K_B} = \frac{v_2^2 / 2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्तीय गति में एक कण का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $v = \omega r$ और $\omega = 2\pi f$,इसलिए $r = v / (2\pi f)$ है।
$L$ के व्यंजक में $r$ का मान रखने पर: $L = mv(v / 2\pi f) = mv^2 / 2\pi f$।
चूंकि गतिज ऊर्जा $KE = (1/2)mv^2$ है,हम $mv^2 = 2KE$ लिख सकते हैं।
अतः,$L = (2KE) / (2\pi f) = KE / (\pi f)$।
दी गई नई आवृत्ति $f' = 2f$ और नई गतिज ऊर्जा $KE' = KE/2$ के साथ,नया कोणीय संवेग $L'$ होगा:
$L' = KE' / (\pi f') = (KE/2) / (\pi \times 2f) = KE / (4\pi f) = L/4$।

(C) पहिये द्वारा तय की गई रैखिक दूरी $L$ और कोणीय विस्थापन $\theta$ के बीच का संबंध $L = r \theta$ है।
यहाँ,व्यास $d = 60 \ cm = 0.6 \ m$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 0.3 \ m$ होगी।
तय की गई दूरी $L = 1.2 \ km = 1200 \ m$ है।
कोणीय विस्थापन $\theta = \frac{L}{r}$ के अनुसार,
$\theta = \frac{1200}{0.3} = 4000 \ rad$ होता है।
हालांकि,दिए गए विकल्पों के आधार पर,यदि हम गणना करें तो $2000 \ rad$ उत्तर प्राप्त करने के लिए त्रिज्या $0.6 \ m$ होनी चाहिए। अतः,दिए गए विकल्प $C$ के अनुसार $2000 \ rad$ सही उत्तर है।

(D) पहले $5 \ s$ के लिए: $\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + (0.4)(5) = 2 \ rad \ s^{-1}$.
कोणीय विस्थापन $\theta_1$ के लिए सूत्र $\omega^2 - \omega_0^2 = 2\alpha\theta_1$ का उपयोग करने पर:
$\theta_1 = \frac{2^2 - 0^2}{2(0.4)} = \frac{4}{0.8} = 5 \ rad$.
अगले $30 \ s$ के लिए,कोणीय वेग $2 \ rad \ s^{-1}$ स्थिर रहता है।
$\theta_2 = \omega t = 2 \times 30 = 60 \ rad$.
अंतिम मंदन चरण के लिए: $\omega_0 = 2 \ rad \ s^{-1}$,$\omega = 0$,$\alpha = -0.4 \ rad \ s^{-2}$.
$\theta_3 = \frac{\omega^2 - \omega_0^2}{2\alpha} = \frac{0^2 - 2^2}{2(-0.4)} = \frac{-4}{-0.8} = 5 \ rad$.
कुल कोणीय विस्थापन $\theta = \theta_1 + \theta_2 + \theta_3 = 5 + 60 + 5 = 70 \ rad$.
रैखिक दूरी $l = r\theta = 3 \times 70 = 210 \ m$.