Relation between Electric Field and Potential and Potential Gradient Questions in Hindi

(D) विद्युत क्षेत्र $E$,विभव $V$ से $E = -\frac{dV}{dx}$ संबंध द्वारा संबंधित है। विद्युत क्षेत्र का परिमाण $|E| = |\frac{dV}{dx}|$ है,जो $V-x$ ग्राफ की ढाल को दर्शाता है।
क्षेत्र $A$ ($x=0$ से $1$ m) में,$V$ स्थिर ($2$ $V$) है,इसलिए ढाल $\frac{dV}{dx} = 0$ है। अतः,$E_{A} = 0$ है।
क्षेत्र $B$ ($x=1$ से $2$ m) में,ढाल $\frac{4-2}{2-1} = 2$ $V$/m है। अतः,$|E_{B}| = 2$ $V$/m है।
क्षेत्र $C$ ($x=2$ से $4$ m) में,$V$ स्थिर ($4$ $V$) है,इसलिए ढाल $\frac{dV}{dx} = 0$ है। अतः,$E_{C} = 0$ है।
क्षेत्र $D$ ($x=4$ से $5$ m) में,ढाल $\frac{0-4}{5-4} = -4$ $V$/m है। अतः,$|E_{D}| = |-4| = 4$ $V$/m है।
परिमाणों की तुलना करने पर: $E_{A} = E_{C} = 0$ और $E_{B} = 2$ $V$/m,$E_{D} = 4$ $V$/m प्राप्त होता है। इसलिए,$E_{A} = E_{C}$ और $E_{B} < E_{D}$ है।

(D) विद्युत विभव $V = 3x^2$ द्वारा दिया गया है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विभव $V$ के बीच संबंध $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$ है।
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2) = 6x$.
$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$.
$\frac{\partial V}{\partial z} = 0$.
अतः,$\vec{E} = -6x \hat{i}$.
बिंदु $(2, 0, 1)$ पर,$x$-निर्देशांक $2$ है।
$\vec{E}$ के व्यंजक में $x = 2$ रखने पर:
$\vec{E} = -6(2) \hat{i} = -12 \hat{i} \ Vm^{-1}$.
अतः,विद्युत क्षेत्र का मान $-12 \ Vm^{-1}$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $\vec{E}$ और विद्युत विभव $V$ के बीच संबंध $\vec{E} = -\nabla V$ होता है।
चूंकि विभव $V$ केवल $x$ पर निर्भर करता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E_x = -\frac{dV}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V = 3x^2 + 5$।
अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 + 5) = 6x$।
अतः,$E_x = -6x$।
बिंदु $(-2, 1, 0)$ पर,$x$-निर्देशांक $-2$ है।
$E_x$ के व्यंजक में $x = -2$ रखने पर:
$E_x = -6(-2) = +12 \ Vm^{-1}$।
इस प्रकार,$(-2, 1, 0)$ पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $+12 \ Vm^{-1}$ है।

(C) एक समान विद्युत क्षेत्र में, विद्युत क्षेत्र रेखाओं की दिशा में विद्युत विभव घटता है।
मान लीजिए कि विद्युत क्षेत्र धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर विभव $V = -E \cdot x + \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
चित्र से बिंदुओं $A, B$ और $C$ के $x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
बिंदु $A$ सबसे दाईं ओर है, इसलिए इसका $x$-निर्देशांक सबसे बड़ा है।
बिंदु $B$ और $C$ का $x$-निर्देशांक समान है, इसलिए $V_B = V_C$ है।
चूंकि $A$ विद्युत क्षेत्र की दिशा में $B$ और $C$ से आगे है, इसलिए $A$ पर विभव सबसे कम है।
अतः, $V_B = V_C > V_A$ है।
दिए गए विकल्पों में से, $V_C > V_B > V_A$ विभव प्रवणता का सबसे तार्किक निरूपण है।

(B) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विद्युत विभव $V$ के बीच का संबंध $\vec{E} = -\nabla V$ है।
दिया गया है $V = 20|\vec{r}| = 20\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
ग्रेडिएंट $\nabla V = \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k}$ की गणना करने पर.
$\frac{\partial V}{\partial x} = 20 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \cdot 2x = \frac{20x}{|\vec{r}|}$.
इसी प्रकार,$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{20y}{|\vec{r}|}$ और $\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{20z}{|\vec{r}|}$.
अतः,$\vec{E} = -\frac{20}{|\vec{r}|} (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) = -\frac{20}{|\vec{r}|} \vec{r} = -20 \hat{r}$.
बिंदु $(4, 3, -5)$ पर,परिमाण $|\vec{r}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
मान रखने पर: $\vec{E} = -\frac{20}{5\sqrt{2}} (4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}) = -\frac{4}{\sqrt{2}} (4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}) = -2\sqrt{2} (4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k})$.
इसे सरल करने पर यह $-\sqrt{2} (8 \hat{i} + 6 \hat{j} - 10 \hat{k})$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है: $\vec{E} = (30 \hat{i} + 40 \hat{j}) \text{ NC}^{-1}$ और $V(0,0) = 0 \text{ V}$।
हम जानते हैं कि विद्युत क्षेत्र और विद्युत विभव के बीच का संबंध $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$d\vec{r} = dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k}$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से बिंदु $(1,2)$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{V(0,0)}^{V(1,2)} dV = -\int_{(0,0)}^{(1,2)} (30 \hat{i} + 40 \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j})$
$V(1,2) - V(0,0) = -\left[ \int_{0}^{1} 30 dx + \int_{0}^{2} 40 dy \right]$
$V(1,2) - 0 = -[30(1) + 40(2)]$
$V(1,2) = -(30 + 80) = -110 \text{ V}$.

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ विभव $V$ के ऋणात्मक प्रवणता (gradient) द्वारा दिया जाता है: $\vec{E} = -\vec{\nabla} V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$.
दिया गया है $V = \frac{1}{2} y^2 - 2x$.
आंशिक अवकलन (partial differentiation) करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = -2$
$\frac{\partial V}{\partial y} = y$
इन मानों को विद्युत क्षेत्र के सूत्र में रखने पर:
$\vec{E} = -(-2 \hat{i} + y \hat{j}) = 2 \hat{i} - y \hat{j}$.
बिंदु $(x = 1 \text{ m}, y = 1 \text{ m})$ पर:
$\vec{E} = 2 \hat{i} - (1) \hat{j} = 2 \hat{i} - \hat{j} \text{ Vm}^{-1}$.

(C) विद्युत क्षेत्र $E = 5x \hat{i}$ द्वारा दिया गया है।
दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $V_B - V_A = -\int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र केवल $X$-दिशा में है, इसलिए $Y$-अक्ष (जहाँ $x=0$ है) एक समविभव रेखा है। अतः, बिंदु $A(0, 5)$ पर विभव मूल बिंदु $C(0, 0)$ पर विभव के समान है।
$V_A = V_C$.
अब, हम $C(0, 0)$ और $B(2, 0)$ के बीच विभवांतर की गणना करते हैं:
$V_B - V_C = -\int_{0}^{2} E_x dx = -\int_{0}^{2} 5x dx$.
$V_B - V_C = -5 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = -5 \left( \frac{4}{2} - 0 \right) = -5(2) = -10 \text{ V}$.
चूंकि $V_A = V_C$, इसलिए $V_B - V_A = -10 \text{ V}$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विद्युत विभव $\phi$ के बीच संबंध $\vec{E} = -\nabla \phi$ है।
चूंकि विभव $\phi$ केवल $x$ पर निर्भर करता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = -\frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i}$ होगा।
दिया गया है $\phi(x) = \phi_0 \frac{x_0}{x} = (8 \ V)(5 \ m) \frac{1}{x} = \frac{40}{x} \ V \cdot m$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{\partial \phi}{\partial x} = 40 \frac{d}{dx}(x^{-1}) = 40 (-x^{-2}) = -\frac{40}{x^2}$।
अतः,$\vec{E} = -(-\frac{40}{x^2}) \hat{i} = \frac{40}{x^2} \hat{i} \ V/m$।
बिंदु $(10 \ m, 5 \ m, 5 \ m)$ पर,$x$-निर्देशांक $10 \ m$ है।
$\vec{E}$ के व्यंजक में $x = 10 \ m$ रखने पर: $\vec{E} = \frac{40}{10^2} \hat{i} = \frac{40}{100} \hat{i} = 0.40 \ Vm^{-1} \hat{i}$।

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विभव $V$ के बीच संबंध $\vec{E} = -\nabla V$ है,जिसका अर्थ है $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$।
दिया गया है $\vec{E} = A(x \hat{i} + y \hat{j})$,इसलिए $dV = -A(x dx + y dy)$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$V = -A \int x dx - A \int y dy = -A \frac{x^2}{2} - A \frac{y^2}{2} + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
$A = 10 \ Vm^{-2}$ रखने पर,$V = -5(x^2 + y^2) + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $(10 \ m, 20 \ m)$ पर विभव शून्य है,इसलिए $0 = -5(10^2 + 20^2) + C$।
$0 = -5(100 + 400) + C \Rightarrow 0 = -5(500) + C \Rightarrow C = 2500 \ V$।
अतः,विभव फलन $V(x, y) = -5(x^2 + y^2) + 2500$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ पर,विभव $V(0, 0) = -5(0^2 + 0^2) + 2500 = 2500 \ V$ होगा।

(D) एक अनंत अचालक शीट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\sigma = 7 \times 10^{-7} \text{ C m}^{-2}$ और $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ SI units}$।
हम जानते हैं कि $\varepsilon_0 = \frac{1}{4 \pi \times 9 \times 10^9} \approx 8.85 \times 10^{-12} \text{ F m}^{-1}$।
विद्युत क्षेत्र और विभवांतर $\Delta V$ के बीच का संबंध दूरी $\Delta r$ के लिए $|E| = \frac{\Delta V}{\Delta r}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} = \frac{\Delta V}{\Delta r}$
$\Delta r = \frac{\Delta V \times 2 \varepsilon_0}{\sigma} = \frac{19.8 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12}}{7 \times 10^{-7}}$
$\Delta r = \frac{19.8 \times 17.7 \times 10^{-12}}{7 \times 10^{-7}} \approx 5 \times 10^{-4} \text{ m} = 0.5 \text{ mm}$।

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ विभव प्रवणता से $\vec{E} = -\nabla V$ संबंध द्वारा संबंधित है।
विभव प्रवणता का परिमाण विद्युत क्षेत्र की दिशा में अधिकतम होता है।
परिभाषा के अनुसार,एक समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ विद्युत विभव $V$ हर बिंदु पर स्थिर रहता है।
समविभव पृष्ठ के अनुदिश किसी भी विस्थापन $d\vec{r}$ के लिए,विभव में परिवर्तन $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r} = 0$ होता है।
इसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ को हर बिंदु पर पृष्ठ के लंबवत होना चाहिए।
चूंकि अधिकतम विभव प्रवणता विद्युत क्षेत्र की दिशा में होती है,इसलिए अधिकतम विभव प्रवणता और समविभव पृष्ठ के बीच का कोण $90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन है।

(A) विद्युत क्षेत्र $E$ और विद्युत विभव $V$ के बीच संबंध $E = -\frac{dV}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए ग्राफ से यह देखा जा सकता है कि $x = 1 \ m$ और $x = 3 \ m$ के बीच के क्षेत्र में,विद्युत विभव $V$ स्थिर $(V = 2 \ V)$ है।
चूंकि इस क्षेत्र में विभव स्थिर है,इसलिए दूरी के सापेक्ष विभव में परिवर्तन की दर शून्य है,अर्थात $\frac{dV}{dx} = 0$.
अतः,$x = 2 \ m$ पर विद्युत क्षेत्र $E = -\frac{dV}{dx} = 0 \ V/m$ होगा।

(A) दिया गया है: आवेश $q = 5 \text{ C}$, बल $F = 5000 \text{ N}$, दूरी $d = 1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}$।
सबसे पहले, $E = F / q$ सूत्र का उपयोग करके विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ की गणना करें।
$E = 5000 / 5 = 1000 \text{ N/C}$।
एक समान विद्युत क्षेत्र में $d$ दूरी पर स्थित दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $V = E \times d$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V = 1000 \times 10^{-2} = 10 \text{ V}$।

(B) विभवांतर $\Delta V = V_B - V_A$ को रेखा समाकल द्वारा दिया जाता है: $\Delta V = -\int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{r}$.
यहाँ $\vec{E} = x \hat{i} - 2y \hat{j} + z \hat{k}$ और $d\vec{r} = dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k}$ है।
$\Delta V = -\int_{(2,1,0)}^{(0,2,4)} (x \hat{i} - 2y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k})$
$\Delta V = -[\int_{2}^{0} x \ dx - \int_{1}^{2} 2y \ dy + \int_{0}^{4} z \ dz]$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\int_{2}^{0} x \ dx = [\frac{x^2}{2}]_{2}^{0} = 0 - 2 = -2$
$\int_{1}^{2} 2y \ dy = [y^2]_{1}^{2} = 4 - 1 = 3$
$\int_{0}^{4} z \ dz = [\frac{z^2}{2}]_{0}^{4} = 8 - 0 = 8$
इन मानों को रखने पर:
$\Delta V = -[-2 - 3 + 8] = -[3] = -3 \ V$.
विभवांतर का परिमाण $|\Delta V| = 3 \ V$ है।

(C) विद्युत क्षेत्र $E$ और विद्युत विभव $V$ के बीच संबंध $E = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ है।
दिए गए $E = 3 \hat{i} + 4y \hat{j}$ से:
$-\frac{\partial V}{\partial x} = 3 \implies \frac{\partial V}{\partial x} = -3$
$-\frac{\partial V}{\partial y} = 4y \implies \frac{\partial V}{\partial y} = -4y$
इन आंशिक अवकलनों का समाकलन करने पर:
$V(x, y) = \int -3 \ dx = -3x + f(y)$
$V(x, y) = \int -4y \ dy = -2y^2 + g(x)$
इन दोनों को मिलाने पर,सामान्य विभव फलन $V(x, y) = -(3x + 2y^2) + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि मूल बिंदु $(0, 0)$ पर विभव $0$ है,इसलिए $V(0, 0) = -(3(0) + 2(0)^2) + C = 0$,जिसका अर्थ है $C = 0$।
अतः,$V(x, y) = -(3x + 2y^2)$।
बिंदु $(2, 1)$ पर विभव $V(2, 1) = -(3(2) + 2(1)^2) = -(6 + 2) = -8 \ V$ होगा।

(D) समांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $V = 10^4 \,V$ और $d = 0.5 \,cm = 0.5 \times 10^{-2} \,m$ दिया गया है।
अतः, $E = \frac{10^4}{0.5 \times 10^{-2}} = 2 \times 10^6 \,V/m$.
इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = eE$ है, जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ है।
$F = (1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (2 \times 10^6 \,V/m) = 3.2 \times 10^{-13} \,N$.

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विद्युत विभव $V$ के बीच संबंध $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ है।
दिया गया है $V = \frac{1}{2}y^2 - 2x$.
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{2}y^2 - 2x) = -2$.
$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{2}y^2 - 2x) = y$.
अतः,$\vec{E} = -(-2 \hat{i} + y \hat{j}) = 2 \hat{i} - y \hat{j}$.
बिंदु $(x = 1 \text{ m}, y = 1 \text{ m})$ पर:
$\vec{E} = 2 \hat{i} - (1) \hat{j} = 2 \hat{i} - \hat{j} \text{ V m}^{-1}$.

(C) दिया गया है: विद्युत क्षेत्र $E = 500 \ NC^{-1}$,विद्युत विभव $V = 30 \ V$.
बिंदु आवेश के लिए विद्युत क्षेत्र और विभव के बीच संबंध $E = \frac{V}{r}$ है।
अतः,दूरी $r = \frac{V}{E} = \frac{30}{500} = 0.06 \ m$.
विद्युत विभव का सूत्र $V = \frac{kq}{r}$ है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$.
आवेश $q$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $q = \frac{V \cdot r}{k}$.
मान रखने पर: $q = \frac{30 \times 0.06}{9 \times 10^9} = \frac{1.8}{9 \times 10^9} = 0.2 \times 10^{-9} \ C$.
इस प्रकार,$q = 2 \times 10^{-10} \ C$.

(B) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विद्युत विभव $\phi$ के बीच का संबंध $\vec{E} = -\nabla \phi$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$d\phi = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$।
यहाँ $\vec{E} = a(y \hat{i} + x \hat{j})$ और $d\vec{r} = dx \hat{i} + dy \hat{j}$ दिया गया है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$d\phi = -a(y \hat{i} + x \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j})$
$d\phi = -a(y dx + x dy)$
हम जानते हैं कि $d(xy) = y dx + x dy$ होता है।
इसलिए,$d\phi = -a d(xy)$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\phi = -a \int d(xy) = -axy + C$।
अतः,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(B) एक आवेशित गोले के भीतर स्थिर वैद्युत विभव $V$ को $V = A r^2 + B$ द्वारा दिया गया है।
विद्युत क्षेत्र $E$ विभव $V$ से $E = -\frac{dV}{dr}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
$V$ के लिए दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$E = -\frac{d}{dr}(A r^2 + B) = -2 A r$.
गॉस के नियम के अवकल रूप के अनुसार,आयतन आवेश घनत्व $\rho$ विद्युत क्षेत्र $E$ से $\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
गोलीय सममित वितरण के लिए,यह $\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 E) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ हो जाता है।
$E = -2 A r$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\rho}{\varepsilon_0} = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 \cdot (-2 A r)) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(-2 A r^3) = \frac{1}{r^2} (-6 A r^2) = -6 A$.
अतः,आवेश घनत्व $\rho = -6 A \varepsilon_0$ है।

(B) विद्युत क्षेत्र का घटक $E_{x}$, $x$ के सापेक्ष विभव की ऋणात्मक प्रवणता द्वारा दिया जाता है, अर्थात $E_{x} = -\frac{dV}{dx}$।
ग्राफ से, विभवांतर $\Delta V = V_{2} - V_{1} = 4 \ V - 2 \ V = 2 \ V$ है।
इन दो समविभव रेखाओं के बीच $x$-अक्ष पर दूरी $\Delta x = 4 \ cm - 2 \ cm = 2 \ cm = 0.02 \ m$ है।
इसलिए, विद्युत क्षेत्र के $x$-घटक का मान $E_{x} = -\frac{\Delta V}{\Delta x} = -\frac{2 \ V}{0.02 \ m} = -100 \ V/m$ है।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र $E$ और विद्युत विभव $V$ के बीच का संबंध $E = -\frac{dV}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र $V-X$ ग्राफ के ढाल (slope) का ऋणात्मक मान है।
$1$. अंतराल $X \in [-4, -2]$ के लिए: ढाल $\frac{10 - 0}{-2 - (-4)} = \frac{10}{2} = 5$ है। अतः, $E = -5$ है।
$2$. अंतराल $X \in [-2, 2]$ के लिए: विभव स्थिर $(V = 10)$ है, इसलिए ढाल $0$ है। अतः, $E = 0$ है।
$3$. अंतराल $X \in [2, 7]$ के लिए: ढाल $\frac{0 - 10}{7 - 2} = \frac{-10}{5} = -2$ है। अतः, $E = -(-2) = 2$ है।
इन मानों की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, विकल्प $A$ अंतराल $X \in [-4, -2]$ के लिए $E = -5$, $X \in [-2, 2]$ के लिए $E = 0$ और $X \in [2, 7]$ के लिए $E = 2$ को दर्शाता है।

(A) स्थिर वैद्युत विभव $V = ar^3 + b$ द्वारा दिया गया है।
विद्युत क्षेत्र $E$, विभव से $E = -\frac{dV}{dr}$ द्वारा संबंधित है।
$V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $E = -\frac{d}{dr}(ar^3 + b) = -3ar^2$ प्राप्त होता है।
गॉस के नियम के अनुसार, $r=1$ त्रिज्या वाले गोले में परिबद्ध कुल आवेश $q_{enc} = \epsilon_0 \oint E \cdot dA$ द्वारा दिया जाता है।
$r=1$ त्रिज्या वाली गोलाकार सतह के लिए, क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2 = 4\pi(1)^2 = 4\pi$ होता है।
$r=1$ पर मान रखने पर, $E = -3a(1)^2 = -3a$ प्राप्त होता है।
अतः, $q_{enc} = \epsilon_0 \times (-3a) \times 4\pi = -12\pi a \epsilon_0$।
इसे दिए गए व्यंजक $\alpha \times \pi a \epsilon_0$ के साथ तुलना करने पर, हमें $\alpha = -12$ प्राप्त होता है।

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 10x\hat{i} + 5y\hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
हम जानते हैं कि विद्युत क्षेत्र और विभव के बीच का संबंध $\Delta V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{r}$ है।
मान लीजिए कि मूल बिंदु $(0, 0)$ पर विभव $V_0$ है और $(10, 20)$ पर विभव $V_P$ है।
$V_P - V_0 = -\int_{(0,0)}^{(10,20)} (10x\hat{i} + 5y\hat{j}) \cdot (dx\hat{i} + dy\hat{j})$.
$500 - V_0 = -\int_{0}^{10} 10x \ dx - \int_{0}^{20} 5y \ dy$.
$500 - V_0 = -[5x^2]_0^{10} - [\frac{5y^2}{2}]_0^{20}$.
$500 - V_0 = -[5(100) - 0] - [\frac{5(400)}{2} - 0]$.
$500 - V_0 = -500 - 1000$.
$500 - V_0 = -1500$.
$V_0 = 500 + 1500 = 2000 \ V$.

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विद्युत विभव $V$ के बीच संबंध $\vec{E} = -\nabla V = -(\frac{\partial V}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y}\hat{j})$ है।
दिया गया है $V = 5x^2 - 5y^2$.
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(5x^2 - 5y^2) = 10x$.
$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(5x^2 - 5y^2) = -10y$.
$\vec{E}$ के व्यंजक में मान रखने पर:
$\vec{E} = -(10x\hat{i} - 10y\hat{j}) = -10x\hat{i} + 10y\hat{j}$.
बिंदु $(2, 3) \text{ m}$ पर, $x = 2$ और $y = 3$ रखने पर:
$\vec{E} = -10(2)\hat{i} + 10(3)\hat{j} = -20\hat{i} + 30\hat{j} \text{ V/m}$.

(C) विद्युत क्षेत्र $E$ और विद्युत विभव $V$ के बीच संबंध $E = -dV/dx$ द्वारा दिया जाता है। इसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र का परिमाण $|E|$, $V-x$ ग्राफ के ढाल (slope) के निरपेक्ष मान के बराबर है, अर्थात $|E| = |dV/dx|$।
$1$. क्षेत्र $1$ (खंड $AB$) में, विभव $V$ स्थिर है, इसलिए $dV/dx = 0$, जिसका अर्थ है $E_1 = 0$।
$2$. क्षेत्र $2$ (खंड $BC$) में, विभव रैखिक रूप से बढ़ता है। ढाल धनात्मक है, इसलिए $E_2 = -(\text{\text{धनात्मक मान}}) < 0$। परिमाण $|E_2|$ स्थिर और गैर-शून्य है।
$3$. क्षेत्र $3$ (खंड $CD$) में, विभव $V$ स्थिर है, इसलिए $dV/dx = 0$, जिसका अर्थ है $E_3 = 0$।
$4$. क्षेत्र $4$ (खंड $DE$) में, विभव तेजी से घटता है। ढाल ऋणात्मक है और क्षेत्र $2$ की तुलना में अधिक तीव्र है, इसलिए $E_4 = -(\text{\text{ऋणात्मक मान}}) > 0$। परिमाण $|E_4|$ स्थिर है और $|E_2|$ से बड़ा है।
परिमाणों की तुलना करने पर: $E_1 = E_3 = 0$, और $|E_4| > |E_2| > 0$। अतः, $E_1 = E_3$ और $|E_2| < |E_4|$। सही विकल्प $C$ है।