Mix Examples - Areas of Parallelograms and Triangles Questions in Gujarati

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$D$ એ $BC$ પરનું બિંદુ છે અને $E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $ar(\Delta EBC) = \frac{1}{2} ar(\Delta ABC)$.
સાબિતી:
$1$. $\Delta ABD$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે. $BE$ એ $\Delta ABD$ ની મધ્યગા હોવાથી,તે ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$ar(\Delta EBD) = \frac{1}{2} ar(\Delta ABD)$.
$2$. તેવી જ રીતે,$\Delta ADC$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે. $CE$ એ $\Delta ADC$ ની મધ્યગા હોવાથી,તે ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$ar(\Delta ECD) = \frac{1}{2} ar(\Delta ADC)$.
$3$. બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $ar(\Delta EBD) + ar(\Delta ECD) = \frac{1}{2} ar(\Delta ABD) + \frac{1}{2} ar(\Delta ADC)$.
$4$. $ar(\Delta EBC) = \frac{1}{2} [ar(\Delta ABD) + ar(\Delta ADC)]$.
$5$. કારણ કે $ar(\Delta ABD) + ar(\Delta ADC) = ar(\Delta ABC)$,તેથી આપણને મળે છે $ar(\Delta EBC) = \frac{1}{2} ar(\Delta ABC)$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(A) $1$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. તેથી,$O$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે,જેનો અર્થ છે કે $BO = OD$.
$2$. $\triangle ABD$ અને $\triangle CBD$ નો વિચાર કરો. $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AB = CD$ અને $AD = BC$ છે. વળી,$BD$ સામાન્ય વિકર્ણ છે.
$3$. $\triangle ABD$ માં,શિરોબિંદુ $A$ માંથી $BD$ પરની મધ્યગા $AO$ છે. $O$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AO$ એ $\triangle ABD$ ને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે: $ar(ABO) = ar(ADO)$.
$4$. તેવી જ રીતે,$\triangle CBD$ માં,$CO$ એ $BD$ પરની મધ્યગા છે,તેથી $ar(CBO) = ar(CDO)$.
$5$. જોકે,પ્રશ્નમાં $ar(ABP) = ar(CBP)$ સાબિત કરવાનું કહ્યું છે. ત્રિકોણ $\triangle ABP$ અને $\triangle CBP$ નો વિચાર કરીએ. આ ત્રિકોણો રેખા $BD$ પર સમાન પાયો $BP$ ધરાવે છે.
$6$. પાયા $BP$ ના સંદર્ભમાં $\triangle ABP$ ની ઊંચાઈ એ $A$ થી $BD$ સુધીનું લંબ અંતર છે,ધારો કે તે $h_1$ છે. પાયા $BP$ ના સંદર્ભમાં $\triangle CBP$ ની ઊંચાઈ એ $C$ થી $BD$ સુધીનું લંબ અંતર છે,ધારો કે તે $h_2$ છે.
$7$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના શિરોબિંદુઓથી વિકર્ણ સુધીનું અંતર સમાન હોય છે. તેથી,$h_1 = h_2$.
$8$. $ar(ABP) = \frac{1}{2} \times BP \times h_1$ અને $ar(CBP) = \frac{1}{2} \times BP \times h_2$ હોવાથી,અને $h_1 = h_2$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $ar(ABP) = ar(CBP)$.

(N/A) $1$. $AD$ એ $\triangle ABC$ ની મધ્યગા હોવાથી,તે ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$ar(ABD) = \frac{1}{2} ar(ABC)$.
$2$. $\triangle ABD$ માં,$AE$ મધ્યગા છે કારણ કે $E$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$ar(ABE) = \frac{1}{2} ar(ABD)$.
$3$. સ્ટેપ $1$ ની કિંમત મૂકતા: $ar(ABE) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} ar(ABC)) = \frac{1}{4} ar(ABC)$.
$4$. $\triangle ABE$ માં,$BO$ મધ્યગા છે કારણ કે $O$ એ $AE$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$ar(AOB) = \frac{1}{2} ar(ABE)$.
$5$. સ્ટેપ $3$ ની કિંમત મૂકતા: $ar(AOB) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{4} ar(ABC)) = \frac{1}{8} ar(ABC)$.
$6$. આમ,સાબિત થાય છે કે $ar(AOB) = \frac{1}{8} ar(ABC)$.

(A) $(1)$ ખોટું. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના પાયા અને અનુરૂપ વેધના ગુણાકાર જેટલું હોય છે,તેના અડધા જેટલું નહીં.
$(2)$ ખોટું. સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના વિકર્ણોના ગુણાકારના અડધા જેટલું હોય છે,એટલે કે $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$.
$(3)$ સાચું. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની બાજુના માપના વર્ગ જેટલું જ હોય છે.

(A) $(1)$ સાચું. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$ar(ABCD) = 2 \times ar(ABC) = 2 \times 96 \, cm^2 = 192 \, cm^2$ થાય.
$(2)$ ખોટું. કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓનો ગુણાકાર}$ દ્વારા મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે જો ત્રિકોણ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એક જ પાયા પર આવેલા હોય અને બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોય,તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ કરતાં અડધું હોય છે.
આ પ્રશ્નમાં,$\triangle PAB$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ એક જ પાયા $AB$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $CD$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$ar(PAB) = \frac{1}{2} \times ar(ABCD)$.
આપેલ છે કે $ar(ABCD) = 56 \, cm^2$.
તેથી,$ar(PAB) = \frac{1}{2} \times 56 = 28 \, cm^2$.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં,$PR$ એ વિકર્ણ છે.
તેથી,$ar(PSR) = \frac{1}{2} \times ar(PQRS)$.
આપેલ છે કે $ar(PQRS) = 80 \, cm^2$.
તેથી,$ar(PSR) = \frac{1}{2} \times 80 = 40 \, cm^2$.

(B) સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ છે,જ્યાં $d_1$ અને $d_2$ એ વિકર્ણોની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $d_1 = AC = 12 \, cm$ અને $d_2 = BD = 15 \, cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \times 12 \times 15$
$\operatorname{ar}(ABCD) = 6 \times 15$
$\operatorname{ar}(ABCD) = 90 \, cm^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે $\Delta ABC$ નો પાયો $BC$ એ બિંદુઓ $P$ અને $Q$ દ્વારા ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે. તેથી,$BP = PQ = QC = \frac{1}{3} BC$ થાય.
ત્રણેય ત્રિકોણો $\Delta ABP$,$\Delta APQ$ અને $\Delta AQC$ એક જ શિરોબિંદુ $A$ ધરાવે છે અને તેમના પાયા સમાન $(BP = PQ = QC)$ હોવાથી,આ પાયાને અનુરૂપ તેમની ઊંચાઈ સમાન રહેશે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ઊંચાઈ સમાન હોવાથી અને પાયા સમાન હોવાથી,$\operatorname{ar}(\Delta ABP) = \operatorname{ar}(\Delta APQ) = \operatorname{ar}(\Delta AQC)$ થશે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta ABP) + \operatorname{ar}(\Delta APQ) + \operatorname{ar}(\Delta AQC) = 3 \times \operatorname{ar}(\Delta APQ)$.
આના પરથી $\frac{\operatorname{ar}(\Delta APQ)}{\operatorname{ar}(\Delta ABC)} = \frac{1}{3}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(A) $(1)$ સાદી બંધ આકૃતિ દ્વારા ઘેરાયેલા સમતલના ભાગને $\text{સમતલીય પ્રદેશ}$ (planar region) કહેવામાં આવે છે.
$(2)$ બંધ આકૃતિને અનુરૂપ સમતલીય પ્રદેશના $\text{માપ}$ (magnitude or measure) ને તેનું ક્ષેત્રફળ કહેવામાં આવે છે.

(A) $(1)$ બે એકરૂપ આકૃતિઓના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે કારણ કે તેઓ આકાર અને માપમાં સમાન હોય છે.
$(2)$ આકૃતિ $A$ ના ક્ષેત્રફળને સંકેતમાં $\operatorname{ar}(A)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) $(1)$ આકૃતિ $T$ નું ક્ષેત્રફળ એ બે અતિવ્યાપ્ત ન થતા પ્રદેશો $P$ અને $Q$ ના ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો છે. તેથી,$\operatorname{ar}(T) = \operatorname{ar}(P) + \operatorname{ar}(Q)$.
$(2)$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના પાયા અને તે પાયાને અનુરૂપ વેધ (ઊંચાઈ) ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે. તેથી,$\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{અનુરૂપ વેધ}$.

(A) $(1)$ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\text{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
અહીં પાયો $(BC) = 8 \text{ cm}$ અને વેધ $(AD) = 5 \text{ cm}$ આપેલ છે.
તેથી,$\text{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \text{ cm}^2$.
$(2)$ ત્રિકોણની મધ્યગા ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.

(N/A) આપેલ આકૃતિમાં,આપણી પાસે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ અને સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABST$ છે.
આકૃતિઓ એક જ પાયા પર અને બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલી હોય તે માટે,તેઓએ એક સામાન્ય બાજુને પાયા તરીકે વહેંચવી જોઈએ અને તેમના બાકીના શિરોબિંદુઓ તે પાયાને સમાંતર રેખા પર આવેલા હોવા જોઈએ.
અહીં,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ અને સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABST$ બંનેનો સામાન્ય પાયો $AB$ છે.
જોકે,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $D$ અને $C$ એ રેખા $DC$ પર આવેલા છે,જ્યારે સમલંબ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $T$ અને $S$ એ રેખા $TS$ પર આવેલા છે.
રેખા $DC$ અને રેખા $TS$ એક જ ન હોવાથી,આ બંને આકૃતિઓ બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલી નથી.
તેથી,જવાબ નકારાત્મક છે.

(N/A) હા,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ અને $\Delta MBC$ એક જ પાયા પર અને સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા છે.
સામાન્ય પાયો: $BC$.
સમાંતર રેખાઓ: $AD$ અને $BC$.

(N/A) ના,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ અને ત્રિકોણ $QBC$ એક જ પાયા પર અને સમાંતર રેખાઓની એક જ જોડની વચ્ચે આવેલા નથી. આકૃતિઓ એક જ પાયા પર અને સમાંતર રેખાઓની એક જ જોડની વચ્ચે આવેલી હોય તે માટે,તેમની પાસે એક સામાન્ય બાજુ પાયા તરીકે હોવી જોઈએ અને પાયાની સામેના તેમના શિરોબિંદુઓ પાયાને સમાંતર રેખા પર હોવા જોઈએ. આ આકૃતિમાં,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નો પાયો $AB$ (અથવા $CD$) છે,જ્યારે ત્રિકોણ $QBC$ નો પાયો $BC$ છે. તેઓ સામાન્ય પાયો ધરાવતા ન હોવાથી,આ શરત સંતોષાતી નથી.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં,પાયો $AB = 16 \, cm$ અને તેને અનુરૂપ વેધ $DM = 12 \, cm$ આપેલ છે.
તેથી,$\text{ક્ષેત્રફળ} = 16 \, cm \times 12 \, cm = 192 \, cm^{2}$.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના પાયા અને તે પાયા પરના અનુરૂપ વેધ (ઊંચાઈ) ના ગુણાકાર દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. તેથી, $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{અનુરૂપ વેધ}$.

(C) સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h$,જ્યાં $a$ અને $b$ એ સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ છે અને $h$ એ તેમની વચ્ચેનું લંબ અંતર (ઊંચાઈ) છે.
તેથી,સાચું સૂત્ર $\frac{1}{2} \times \text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો} \times \text{સમાંતર બાજુઓ વચ્ચેનું અંતર}$ છે.