Euclid's Definitions, Axioms and Postulates Questions in Gujarati

(N/A) ઉપર આપેલી આકૃતિમાં,રેખાખંડ $AC$ એ રેખાખંડ $AB$ અને $BC$ ના સરવાળા સાથે બંધબેસે છે.
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય $(4)$ મુજબ,જે વસ્તુઓ એકબીજા સાથે બંધબેસતી હોય તે એકબીજાને સમાન હોય છે.
જેથી,રેખાખંડ $AB + BC$ એ રેખાખંડ $AC$ સાથે બંધબેસતું હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે:
$AB + BC = AC$
નોંધો કે આ સાબિતીમાં,એવું ધારવામાં આવ્યું છે કે બે ભિન્ન બિંદુઓમાંથી પસાર થતી એક અનન્ય રેખા હોય છે.

(N/A) ઉપરના વિધાનમાં,કોઈપણ લંબાઈનો એક રેખાખંડ આપેલ છે,ધારો કે $AB$ [જુઓ આકૃતિ $(i)$].
અહીં,તમારે કેટલીક રચના કરવાની જરૂર છે. યુક્લિડના પૂર્વધારણા $3$ નો ઉપયોગ કરીને,તમે બિંદુ $A$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $AB$ ને ત્રિજ્યા તરીકે લઈને એક વર્તુળ દોરી શકો છો [જુઓ આકૃતિ $(ii)$]. તેવી જ રીતે,બિંદુ $B$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $BA$ ને ત્રિજ્યા તરીકે લઈને બીજું વર્તુળ દોરો. આ બંને વર્તુળો એક બિંદુએ મળે છે,ધારો કે $C$. હવે,$\Delta ABC$ બનાવવા માટે રેખાખંડો $AC$ અને $BC$ દોરો [જુઓ આકૃતિ $(iii)$].
તેથી,તમારે સાબિત કરવાનું છે કે આ ત્રિકોણ સમબાજુ છે,એટલે કે $AB = AC = BC$.
હવે,$AB = AC$,કારણ કે તે એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ છે $(1)$.
તેવી જ રીતે,$AB = BC$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ) $(2)$.
આ બે તથ્યો પરથી,અને યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય કે જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુને સમાન હોય તે એકબીજાને સમાન હોય છે,તેના પરથી તમે નિષ્કર્ષ કાઢી શકો છો કે $AB = BC = AC$.
તેથી,$\Delta ABC$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
નોંધો કે અહીં યુક્લિડે ક્યાંય પણ ઉલ્લેખ કર્યા વિના એવું માની લીધું છે કે $A$ અને $B$ કેન્દ્ર લઈને દોરેલા બે વર્તુળો એકબીજાને એક બિંદુએ મળશે.

(A-D) $(i)$ ખોટું. જો આપણે કાગળની સપાટી પર એક બિંદુ $O$ અંકિત કરીએ,તો આપણે $O$ માંથી પસાર થતી અસંખ્ય સીધી રેખાઓ દોરી શકીએ છીએ.
$(ii)$ ખોટું. બે ભિન્ન બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માંથી પસાર થતી માત્ર એક અને એક જ રેખા હોય છે.
$(iii)$ સાચું. યુક્લિડના પૂર્વધારણા $2$ મુજબ,એક શાંત રેખાને અનિશ્ચિત રીતે લંબાવી શકાય છે.
$(iv)$ સાચું. જો બે વર્તુળો સમાન હોય,તો એકબીજા પર મૂકતા તેમના કેન્દ્રો અને પરિધ એકરૂપ થાય છે,તેથી તેમની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોવી જોઈએ.
$(v)$ સાચું. યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુને સમાન હોય,તે એકબીજાને પણ સમાન હોય છે.

(N/A) સમાંતર રેખાઓ: એક સમતલમાં રહેલી બે રેખાઓને સમાંતર કહેવાય છે જો તેઓ એકબીજાને છેદતી ન હોય,પછી ભલે તેમને બંને દિશામાં ગમે તેટલી લંબાવવામાં આવે.
હા,બીજા કેટલાક પદો છે જેને પહેલા વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે:
$1$. બિંદુ: બિંદુ એ અવકાશમાં એક એવું સ્થાન છે જેને કોઈ પરિમાણ (લંબાઈ,પહોળાઈ કે જાડાઈ) હોતું નથી.
$2$. રેખા: રેખા એ પહોળાઈ વગરની લંબાઈ છે જે બંને દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરેલી હોય છે.
$3$. સમતલ: એક સપાટી જેને માત્ર લંબાઈ અને પહોળાઈ હોય છે.
$4$. છેદન: બે રેખાઓને છેદતી કહેવાય છે જો તેમને એક સામાન્ય બિંદુ હોય.
$5$. રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર: બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું લંબ અંતર દરેક બિંદુએ સમાન હોય છે.

(N/A) હા,આ સ્વીકૃત સત્યોમાં 'બિંદુ' અને 'રેખા' જેવા અવ્યાખ્યાયિત પદો છે.
આ સ્વીકૃત સત્યો સુસંગત છે કારણ કે તેઓ બે અલગ-અલગ પરિસ્થિતિઓ સાથે સંબંધિત છે:
$(i)$ જણાવે છે કે બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ આપેલા હોય,તો તેમની વચ્ચેની રેખા પર એક બિંદુ $C$ આવેલું છે.
$(ii)$ જણાવે છે કે,$A$ અને $B$ આપેલા હોય,તો તમે એવું બિંદુ $C$ લઈ શકો છો જે $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખા પર ન હોય.
ના,આ સ્વીકૃત સત્યો યુક્લિડના સ્વીકૃત સત્યોમાંથી તારવી શકાતા નથી. જોકે,તેઓ આ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય (axiom) પરથી તારવી શકાય છે: 'બે ભિન્ન બિંદુઓમાંથી પસાર થતી એક અને માત્ર એક જ રેખા હોય છે.'

(N/A) આપેલ છે: બિંદુ $C$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે આવેલું છે જેથી $AC = BC$ થાય.
સાબિત કરવાનું છે: $AC = \frac{1}{2} AB$.
સાબિતી:
બિંદુ $C$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે હોવાથી,$AC + BC = AB$ થાય.
આપેલ છે કે $AC = BC$.
સમીકરણ $AC + BC = AB$ માં $BC$ ની જગ્યાએ $AC$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$AC + AC = AB$
$2 AC = AB$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$AC = \frac{1}{2} AB$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે કે $C$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $AC = BC$.
કારણ કે $AC + BC = AB$,આપણે લખી શકીએ કે $AC + AC = AB$,જે સૂચવે છે કે $2AC = AB$,અથવા $AC = \frac{1}{2} AB$.
દરેક રેખાખંડને એક અને માત્ર એક જ મધ્યબિંદુ હોય છે તે સાબિત કરવા માટે,ધારો કે રેખાખંડ $AB$ માટે બે અલગ-અલગ મધ્યબિંદુઓ $C$ અને $D$ છે.
$C$ મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AC = \frac{1}{2} AB$ ............. $(1)$
$D$ મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AD = \frac{1}{2} AB$ ............. $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે કે $AC = AD$.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુઓ $C$ અને $D$ એકબીજા પર સંપાતી હોવા જોઈએ.
આમ,દરેક રેખાખંડને એક અને માત્ર એક જ મધ્યબિંદુ હોય છે.

(N/A) આપણને આપેલ છે,
$AC = BD$ [આપેલ છે] .......... $(1)$
બિંદુ $B$ એ $A$ અને $C$ ની વચ્ચે આવેલું હોવાથી,
$\therefore AC = AB + BC$ .......... $(2)$
તે જ રીતે,બિંદુ $C$ એ $B$ અને $D$ ની વચ્ચે આવેલું હોવાથી,
$\therefore BD = BC + CD$ .......... $(3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,
$AB + BC = BC + CD$
બંને બાજુથી $BC$ બાદ કરતા (યુક્લિડનું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય: જો સમાન વસ્તુઓમાંથી સમાન વસ્તુઓ બાદ કરવામાં આવે,તો બાકી રહેતી વસ્તુઓ પણ સમાન હોય છે),
$\Rightarrow AB = CD$.

(B) યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્યોની આપેલી યાદીમાં,સ્વયંસિદ્ધ સત્ય $5$ જણાવે છે: 'આખું તેના ભાગ કરતાં મોટું હોય છે'.
આ વિધાન બ્રહ્માંડની તમામ વસ્તુઓ અને તમામ ભાગો માટે સાચું છે,પછી ભલે તે વસ્તુઓ ગમે તે પ્રકારની હોય.
તે કોઈપણ અપવાદ વિના સાર્વત્રિક રીતે સાચું હોવાથી,તેને 'સાર્વત્રિક સત્ય' માનવામાં આવે છે.

(A) કોઈપણ રેખા $l$ અને તેના પર ન હોય તેવું બિંદુ $P$ લો.
પ્લેફેરના સ્વયંસિદ્ધાંત મુજબ,જે યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણાને સમતુલ્ય છે,આપણે જાણીએ છીએ કે $P$ માંથી પસાર થતી એક અનન્ય રેખા $m$ છે જે $l$ ને સમાંતર છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુનું રેખાથી અંતર એ બિંદુમાંથી રેખા પર દોરેલા લંબની લંબાઈ છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,રેખા $m$ પરના કોઈપણ બિંદુનું રેખા $l$ થી લંબ અંતર સમાન રહે છે.
તેથી,આ બે રેખાઓ દરેક જગ્યાએ એકબીજાથી સમાન અંતરે હોય છે,જે પાંચમી પૂર્વધારણાનું સીધું પરિણામ છે.

(N/A) યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણા ઘણીવાર જટિલ માનવામાં આવે છે. તેનું એક સમકક્ષ અને સમજવામાં સરળ સંસ્કરણ 'પ્લેફેયરની સ્વયંસિદ્ધિ' (Playfair's Axiom) તરીકે ઓળખાય છે,જે જણાવે છે કે: 'દરેક રેખા $l$ માટે અને રેખા $l$ પર ન હોય તેવા દરેક બિંદુ $P$ માટે,એક અનન્ય રેખા $m$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે $P$ માંથી પસાર થાય છે અને $l$ ને સમાંતર છે.' વૈકલ્પિક રીતે,તેને આ રીતે પણ કહી શકાય: 'બે ભિન્ન છેદતી રેખાઓ એક જ રેખાને સમાંતર હોઈ શકે નહીં.'

(N/A) હા,યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણા સમાંતર રેખાઓના અસ્તિત્વને સૂચવે છે.
જો એક સીધી રેખા $l$ બે રેખાઓ $m$ અને $n$ પર એવી રીતે પડે કે જેથી $l$ ની એક બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો બે કાટખૂણા $(180^{\circ})$ જેટલો થાય,તો યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણા મુજબ,રેખાઓ $m$ અને $n$ $l$ ની આ બાજુ પર ક્યારેય મળશે નહીં.
રેખા $l$ ની બીજી બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો પણ બે કાટખૂણા $(180^{\circ})$ જેટલો જ થશે,તેથી રેખાઓ બીજી બાજુ પણ ક્યારેય મળશે નહીં.
$\therefore$ રેખાઓ $m$ અને $n$ ક્યારેય એકબીજાને મળતી નથી,જેનો અર્થ છે કે તેઓ એકબીજાને સમાંતર છે.

(N/A) લંબ રેખાઓ: એક જ સમતલમાં આવેલી બે રેખાઓ $p$ અને $q$ ને લંબ કહેવાય છે જો તેઓ કાટખૂણે $(90^{\circ})$ છેદે,અને આપણે તેમને $p \perp q$ તરીકે લખીએ છીએ.
હા,બીજા કેટલાક પદો છે જેને પહેલા વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે:
$1$. રેખા: રેખા એ પહોળાઈ વગરની લંબાઈ છે જે બંને દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરેલી હોય છે.
$2$. સમતલ: એક સપાટી જેને માત્ર લંબાઈ અને પહોળાઈ હોય છે.
$3$. ખૂણો: બે છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનો ઝુકાવ.
$4$. કાટખૂણો: જે ખૂણાનું માપ $90^{\circ}$ હોય.

(N/A) 'રેખાખંડ' ને રેખાના એવા ભાગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે બે ભિન્ન અંત્યબિંદુઓ ધરાવે છે અને તેમની વચ્ચેના રેખા પરના તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ કરે છે.
હા,બીજા કેટલાક પદો છે જેને પહેલા વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે,ખાસ કરીને 'બિંદુ' અને 'રેખા'.
$1$. બિંદુ: બિંદુ એ અવકાશમાં એક ચોક્કસ સ્થાન છે જેને કોઈ પરિમાણ (લંબાઈ,પહોળાઈ કે ઊંચાઈ) હોતા નથી.
$2$. રેખા: રેખા એ એક સીધો માર્ગ છે જે બંને દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરેલો હોય છે અને તેને કોઈ જાડાઈ હોતી નથી.

(N/A) વર્તુળની ત્રિજ્યાની વ્યાખ્યા:
વર્તુળના કેન્દ્રથી વર્તુળ પરના કોઈ બિંદુ સુધીના અંતરને વર્તુળની ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે. આકૃતિમાં,$P$ એ કેન્દ્ર છે અને $Q$ એ વર્તુળ પરનું એક બિંદુ છે,તો રેખાખંડ $PQ$ એ ત્રિજ્યા છે.
અન્ય પદો જેને પહેલા વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે:
$1$. વર્તુળ: સમતલના એવા તમામ બિંદુઓનો સમૂહ જે સમતલના એક નિશ્ચિત બિંદુથી સમાન અંતરે આવેલા હોય,તેને વર્તુળ કહેવાય છે.
$2$. કેન્દ્ર: જે નિશ્ચિત બિંદુથી વર્તુળના તમામ બિંદુઓ સમાન અંતરે હોય,તેને વર્તુળનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે.
$3$. બિંદુ: બિંદુ એ છે જેને કોઈ ભાગ નથી.
$4$. સમતલ: સમતલ એ સપાટી છે જે પોતાની પરની સીધી રેખાઓ સાથે સમાન રીતે રહેલી હોય છે.

(N/A) ચોરસ એ એક એવો ચતુષ્કોણ છે જેમાં ચારેય ખૂણા કાટખૂણા હોય અને ચારેય બાજુઓ સમાન હોય.
ચોરસને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,આપણે પહેલા નીચેના પદોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે:
$1$. ચતુષ્કોણ: ચાર રેખાખંડોથી બનેલી સાદી બંધ આકૃતિ.
$2$. રેખાખંડ: બે અંત્યબિંદુઓ ધરાવતી રેખાનો એક ભાગ.
$3$. ખૂણો: સામાન્ય ઉદ્ભવ બિંદુ ધરાવતા બે કિરણો વચ્ચેનો ઝુકાવ.
$4$. કાટખૂણો: જે ખૂણાનું માપ $90^{\circ}$ હોય.
આકૃતિમાં,$PQRS$ એક ચોરસ છે.

(A) યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્યો ભૂમિતિમાં વપરાતી પાયાની ધારણાઓ છે. યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્યોની યાદી નીચે મુજબ છે:
$1$. જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુને સમાન હોય,તે એકબીજીને પણ સમાન હોય છે.
$2$. જો સરખામાં સરખું ઉમેરવામાં આવે,તો સરવાળા સરખા રહે છે.
$3$. જો સરખામાંથી સરખું બાદ કરવામાં આવે,તો બાકી રહેતી વસ્તુઓ સરખી રહે છે.
$4$. જે વસ્તુઓ એકબીજા પર બંધ બેસતી હોય,તે એકબીજીને સમાન હોય છે.
$5$. આખું તેના ભાગ કરતાં મોટું હોય છે.
તેથી,યુક્લિડનું બીજું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય છે: 'જો સરખામાં સરખું ઉમેરવામાં આવે,તો સરવાળા સરખા રહે છે.'

(B) યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણા જણાવે છે કે જો એક સીધી રેખા બે સીધી રેખાઓ પર પડે અને તેની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો બે કાટખૂણા $(180^{\circ})$ કરતા ઓછો થાય,તો તે બે સીધી રેખાઓને અનંત સુધી લંબાવતા,તે બાજુ પર મળે છે જ્યાં ખૂણાઓનો સરવાળો બે કાટખૂણા કરતા ઓછો હોય છે. આ યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં સમાંતર પૂર્વધારણા સાથે સંબંધિત એક પાયાનો સિદ્ધાંત છે.

(C) યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્યો (Axioms) મુજબ,જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુના બમણા હોય તે એકબીજાને સમાન હોય છે.
જો $x = 2a$ અને $y = 2a$ હોય,તો $x = y$ થાય.
તેથી,જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુના બમણા હોય તે સમાન હોય છે.

(D) ગણિતમાં,સ્વીકૃત ધારણાઓ (Axioms) એ પાયાના વિધાનો અથવા પ્રસ્તાવ છે જેને સાબિતી વગર સત્ય માનવામાં આવે છે.
વિશેષ રીતે,યુક્લિડની સ્વીકૃત ધારણાઓને સાર્વત્રિક સત્યો માનવામાં આવે છે જે ગણિતની તમામ શાખાઓને લાગુ પડે છે,માત્ર ભૂમિતિને જ નહીં.
પ્રમેયોથી વિપરીત,જેને સ્વીકૃત ધારણાઓના આધારે તાર્કિક સાબિતીની જરૂર હોય છે,સ્વીકૃત ધારણાઓ તમામ ગાણિતિક તર્ક માટે પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(A) ધારો કે જોનની ઉંમર $J$,મોહનની ઉંમર $M$ અને રામની ઉંમર $R$ છે.
આપેલ છે કે $J = M$ અને $R = M$.
યુક્લિડના પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,'જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુને સમાન હોય,તે એકબીજાને પણ સમાન હોય છે'.
અહીં $J$ અને $R$ બંને $M$ ને સમાન હોવાથી,$J = R$ થાય.
તેથી,જોન અને રામ એક જ ઉંમરના છે,જે પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) યુક્લિડના પાંચમા પૂર્વધારણા મુજબ,જો એક સીધી રેખા બે સીધી રેખાઓ પર પડે અને તેની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થી ઓછો હોય,તો તે બે સીધી રેખાઓને અનંત સુધી લંબાવતા,તે તે બાજુએ મળે છે જ્યાં ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થી ઓછો હોય છે.
આપેલ પ્રશ્નમાં,એક બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $120^{\circ}$ છે.
કારણ કે $120^{\circ} < 180^{\circ}$,તેથી રેખાઓ તે બાજુએ મળશે જ્યાં ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થી ઓછો હોય.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી,રેખાઓ તે બાજુએ મળશે જ્યાં સરવાળો $180^{\circ}$ થી ઓછો હોય છે.

(C) યુક્લિડની ભૂમિતિ અનુસાર,ભૌમિતિક આકૃતિઓનો ક્રમ નીચે મુજબ છે:
$1$. ઘનને ત્રણ પરિમાણ હોય છે (લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ).
$2$. ઘનની સીમા સપાટી છે,જેને બે પરિમાણ હોય છે (લંબાઈ અને પહોળાઈ).
$3$. સપાટીની સીમા રેખા છે,જેને એક પરિમાણ હોય છે (લંબાઈ).
$4$. રેખાનો અંત બિંદુ છે,જેને કોઈ પરિમાણ હોતું નથી.
તેથી,ઘનથી બિંદુ સુધીનો ક્રમ છે: ઘન $\rightarrow$ સપાટીઓ $\rightarrow$ રેખાઓ $\rightarrow$ બિંદુઓ.

(D) ઘન પદાર્થ એ ત્રિ-પરિમાણીય વસ્તુ છે જેને લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ હોય છે. તે અવકાશ રોકે છે અને તેને એક જગ્યાએથી બીજી જગ્યાએ ખસેડી શકાય છે. તેથી,ઘન પદાર્થને $3$ પરિમાણ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે: લંબઘન,સમઘન,નળાકાર અને શંકુ.

(A) ભૂમિતિમાં,બિંદુને $0$ પરિમાણ હોય છે,રેખાને $1$ પરિમાણ હોય છે અને સપાટીને $2$ પરિમાણો (લંબાઈ અને પહોળાઈ) હોય છે. તેથી,સપાટીને $2$ પરિમાણો હોય છે.

(B) યુક્લિડની ભૂમિતિ અનુસાર,બિંદુ એ છે જેને કોઈ ભાગ નથી.
તેને લંબાઈ,પહોળાઈ કે ઊંચાઈ હોતી નથી,તેથી તે કોઈ જગ્યા રોકતું નથી.
આથી,બિંદુને $0$ પરિમાણ હોય છે.

(C) યુક્લિડે તેમના પ્રખ્યાત ગ્રંથ "ધ એલિમેન્ટ્સ" (The Elements) ને $13$ પ્રકરણોમાં વિભાજિત કર્યો હતો,જેને પુસ્તકો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(D) યુક્લિડનું કાર્ય,જે 'Elements' તરીકે ઓળખાય છે,તે $13$ પુસ્તકોનો સંગ્રહ છે.
આ પુસ્તકોમાં કુલ $465$ પ્રમેયો (propositions) આવેલા છે.
તેથી,સાચો જવાબ $465$ છે.

(A) યુક્લિડની ભૂમિતિ અનુસાર,ઘન પદાર્થોની સીમાઓ સપાટીઓ છે. ઘન પદાર્થને ત્રણ પરિમાણો (લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ) હોય છે,અને તેની સીમા એક સપાટી છે,જે બે પરિમાણીય હોય છે.

(B) યુક્લિડની વ્યાખ્યાઓ અનુસાર,સપાટી એટલે એવી વસ્તુ જેને માત્ર લંબાઈ અને પહોળાઈ હોય છે. સપાટીની ધાર અથવા સીમાઓ વક્રો (curves) હોય છે.

(B) યુક્લિડનું બીજું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય જણાવે છે કે જો સરખામાં સરખું ઉમેરવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો પણ સરખો રહે છે.
આપેલ વિધાનમાં,આપણી પાસે $x+y=10$ છે. બંને બાજુ $z$ ઉમેરતા,આપણને $(x+y)+z = 10+z$ મળે છે.
કારણ કે $x+y$ અને $10$ સમાન છે,તેથી બંને બાજુ સમાન સંખ્યા $z$ ઉમેરવાથી સમાનતા જળવાઈ રહે છે.
તેથી,આ બીજું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય દર્શાવે છે.

(A) ગ્રીકો મુખ્યત્વે નિગમનલક્ષી તર્ક (Deductive reasoning) નો ઉપયોગ કરીને તેમણે શોધેલા વિધાનોની સત્યતા સ્થાપિત કરવામાં રસ ધરાવતા હતા.
નિગમનલક્ષી તર્કમાં તાર્કિક નિષ્કર્ષ પર પહોંચવા માટે સ્થાપિત સ્વયંસિદ્ધ સત્યો (axioms),પૂર્વધારણાઓ (postulates) અને અગાઉ સાબિત થયેલા પ્રમેયોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
એક ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી,થેલ્સ (Thales) ને આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ જાણીતી સાબિતી આપવાનો શ્રેય આપવામાં આવે છે.

(C) યુક્લિડ ગ્રીસ દેશના હતા.
યુક્લિડે આશરે $300 \, B.C.$ માં ગણિતના ક્ષેત્રમાં જાણીતું તમામ કાર્ય એકત્રિત કર્યું અને તેને 'એલિમેન્ટ્સ' (Elements) નામના તેમના પ્રખ્યાત ગ્રંથમાં વ્યવસ્થિત રીતે ગોઠવ્યું.

(D) પાયથાગોરસ $(572 \, BC)$ થેલ્સના વિદ્યાર્થી હતા.
પાયથાગોરસ અને તેમના જૂથે ભૂમિતિના ઘણા ગુણધર્મો શોધ્યા અને ભૂમિતિના સિદ્ધાંતનો ખૂબ જ વિકાસ કર્યો.
આ પ્રક્રિયા $300 \, BC$ સુધી ચાલુ રહી.
તે સમયે,ઇજિપ્તના એલેક્ઝાન્ડ્રિયામાં ગણિતના શિક્ષક યુક્લિડે તમામ જાણીતા કાર્યોને એકત્રિત કર્યા અને તેને તેમના પ્રખ્યાત ગ્રંથમાં વ્યવસ્થિત કર્યા.

(A) $\text{પ્રમેય}$ એ એક ગાણિતિક વિધાન છે જેને અગાઉ સ્થાપિત થયેલા વિધાનો જેવા કે અન્ય પ્રમેયો,સ્વયંસિદ્ધ સત્યો (Axioms) અને પૂર્વધારણાઓના આધારે સાબિત કરવામાં આવ્યું છે. સ્વયંસિદ્ધ સત્યો અને પૂર્વધારણાઓથી વિપરીત,જેને સાબિતી વિના સાચા માનવામાં આવે છે,પ્રમેયને માન્ય ગાણિતિક સત્ય તરીકે સ્વીકારવા માટે તાર્કિક સાબિતીની જરૂર હોય છે.

(B) યુક્લિડની ચોથી પૂર્વધારણા જણાવે છે કે બધા જ કાટખૂણા એકબીજાને સમાન હોય છે. તેથી,સાચો જવાબ પૂર્વધારણા છે.

(C) યુક્લિડની ભૂમિતિમાં,જે વિધાન કોઈ પદ અથવા ખ્યાલનો અર્થ સમજાવે છે તેને વ્યાખ્યા કહેવામાં આવે છે. 'રેખાઓ સમાંતર છે જો તેઓ એકબીજાને છેદતી નથી' એ વિધાન સમાંતર રેખાઓના ખ્યાલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તેથી,તે એક વ્યાખ્યા છે.

(TRUE) આ વિધાન ખરું છે.
વૈદિક કાળની ભૂમિતિનો ઉદ્ભવ વૈદિક વિધિઓ કરવા માટે 'વેદીઓ' અને અગ્નિકુંડના નિર્માણ સાથે થયો હતો.
ઘરગથ્થુ ધાર્મિક વિધિઓમાં ચોરસ અને વર્તુળાકાર આકારની વેદીઓનો ઉપયોગ થતો હતો,જ્યારે જાહેર પૂજા માટે જટિલ આકારની વેદીઓનો ઉપયોગ થતો હતો,જે લંબચોરસ,ત્રિકોણ અને સમલંબ ચતુષ્કોણના સંયોજનથી બનેલી હતી.

(TRUE) સત્ય. ભૂમિતિમાં,બિંદુ,રેખા અને સમતલને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,આપણે અન્ય ઘણા પદોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર પડે,જે વ્યાખ્યાઓની એક અનંત સાંકળ તરફ દોરી જાય છે. આ કારણોસર,ગણિતશાસ્ત્રીઓએ આ પાયાના ભૌમિતિક ખ્યાલોને અવ્યાખ્યાયિત પદો તરીકે સ્વીકારવાનું નક્કી કર્યું છે.

(TRUE) આ વિધાન સત્ય છે.
યુક્લિડના પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ: 'જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુને સમાન હોય,તે એકબીજાને પણ સમાન હોય છે.'
ધારો કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_1$ છે,લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_2$ છે અને ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_3$ છે.
આપેલ છે: $A_1 = A_2$ અને $A_2 = A_3$.
અહીં $A_1$ અને $A_3$ બંને એક જ રાશિ $A_2$ ને સમાન હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $A_1 = A_3$.
તેથી,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ચોરસના ક્ષેત્રફળને સમાન છે.

(A) આ વિધાન સાચું છે.
યુક્લિડનું ચોથું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય જણાવે છે કે જે વસ્તુઓ એકબીજા પર બંધબેસતી આવે છે,તે એકબીજાને સમાન હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે જો બે વસ્તુઓને એકબીજાની ઉપર એવી રીતે મૂકવામાં આવે કે તેઓ એકબીજાને સંપૂર્ણપણે ઢાંકી દે,તો તે કદ અને આકારમાં સમાન છે,અને તેથી તે સમાન ગણાય છે.

(TRUE) સત્ય. યુક્લિડની ભૂમિતિ સપાટ સપાટી (યુક્લિડિયન સમતલ) ની ધારણા પર આધારિત છે. તે વક્ર સપાટીઓ પર નિષ્ફળ જાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,ગોળાકાર સપાટી પર,ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા $180^{\circ}$ કરતા વધારે હોય છે.

(B) આપેલ વિધાન $False$ (ખોટું) છે.
યુક્લિડિયન ભૂમિતિ એ ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી યુક્લિડ દ્વારા આપવામાં આવેલી એક ગાણિતિક પદ્ધતિ છે,જે સપાટ,દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશ (યુક્લિડિયન સમતલ) માં બિંદુઓ,રેખાઓ અને સમતલોના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરે છે.
તે ખાસ કરીને સપાટ સપાટીઓ માટે બનાવવામાં આવી છે. વક્ર સપાટીઓ પરની ભૂમિતિને નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ (જેમ કે ગોલીય અથવા હાયપરબોલિક ભૂમિતિ) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,યુક્લિડિયન ભૂમિતિ વક્ર સપાટીઓ માટે માન્ય નથી.

(FALSE) આપેલ વિધાન ખોટું છે.
સમર્થન: યુક્લિડની ભૂમિતિ અનુસાર,ઘન પદાર્થોની સીમાઓ સપાટીઓ છે,વક્રો નથી. ઘન પદાર્થને ત્રણ પરિમાણો (લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ) હોય છે,તેની સીમાઓ સપાટીઓ (દ્વિ-પરિમાણીય) હોય છે અને સપાટીઓની સીમાઓ વક્રો અથવા સીધી રેખાઓ (એક-પરિમાણીય) હોય છે.

(B) આપેલ વિધાન ખોટું છે.
યુક્લિડની ભૂમિતિ અનુસાર,સપાટીની ધાર રેખાઓ હોય છે,વક્ર નહીં. સપાટીને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જેને માત્ર લંબાઈ અને પહોળાઈ હોય છે,અને તેની સીમાઓ અથવા ધાર રેખાઓ હોય છે.

(A) સત્ય.
આ વિધાન યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્યોમાંનું એક છે. યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્યો ભૂમિતિમાં વપરાતી પાયાની ધારણાઓ છે. ખાસ કરીને,યુક્લિડનું છઠ્ઠું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય જણાવે છે કે "જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુના બમણા હોય,તે એકબીજાને સમાન હોય છે."
જો આપણી પાસે બે રાશિઓ $x$ અને $y$ હોય,જે બંને એક રાશિ $z$ ના બમણા હોય,તો $x = 2z$ અને $y = 2z$ થાય. કારણ કે $x$ અને $y$ બંને $2z$ ને સમાન છે,તેથી $x = y$ સાબિત થાય છે.

(TRUE) આપેલ વિધાન સત્ય છે.
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,"આખું તેના ભાગ કરતાં મોટું હોય છે."
ચોક્કસપણે,યુક્લિડની ત્રીજી સામાન્ય અભિધારણા જણાવે છે કે જો કોઈ રાશિ $B$ એ બીજી રાશિ $A$ નો ભાગ હોય,તો ત્યાં બીજી એક રાશિ $C$ એવી મળે કે જેથી $A = B + C$ થાય.

(FALSE) આપેલ વિધાન ખોટું છે.
સમર્થન: સ્વયંસિદ્ધ સત્યો (Axioms) એવા પાયાના ધારણાઓ છે જે સાબિતી વગર સ્વીકારી લેવામાં આવે છે. જે વિધાનોને આ સ્વયંસિદ્ધ સત્યો,પૂર્વધારણાઓ અને અગાઉ સાબિત થયેલા વિધાનોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરવામાં આવે છે,તેને પ્રમેય (Theorems) કહેવામાં આવે છે.

(A) આપેલ વિધાન સાચું છે.
સમર્થન: પ્લેફેરનું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય જણાવે છે કે દરેક રેખા $l$ અને રેખા $l$ પર ન હોય તેવા દરેક બિંદુ $P$ માટે,$P$ માંથી પસાર થતી અને $l$ ને સમાંતર હોય તેવી એક અનન્ય રેખા $m$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય યુક્લિડના પાંચમા પૂર્વધારણાનું સમકક્ષ સ્વરૂપ છે,જે યુક્લિડિયન ભૂમિતિનો એક પાયાનો સિદ્ધાંત છે.

(A) આ વિધાન $True$ (ખરું) છે.
સમર્થન: પ્લેફેરના સ્વયંસિદ્ધાંત મુજબ,જે યુક્લિડના પાંચમા પૂર્વધારણાનું સમકક્ષ સ્વરૂપ છે,જો કોઈ રેખા $l$ અને એક બિંદુ $P$ (જે $l$ પર ન હોય) આપેલ હોય,તો $P$ માંથી પસાર થતી એક અને માત્ર એક જ રેખા $m$ એવી મળે કે જે $l$ ને સમાંતર હોય.
જો બે ભિન્ન છેદતી રેખાઓ $m_1$ અને $m_2$ બંને એક જ રેખા $l$ ને સમાંતર હોય,તો તે એ ગુણધર્મનો વિરોધાભાસ કરે છે કે આપેલી રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુમાંથી પસાર થતી માત્ર એક જ રેખા આપેલી રેખાને સમાંતર હોય છે. તેથી,બે ભિન્ન છેદતી રેખાઓ એક જ રેખાને સમાંતર હોઈ શકે નહીં.