Euclid's Definitions, Axioms and Postulates Questions in Gujarati

(A) આપેલ વિધાન $True$ (સાચું) છે. સદીઓ સુધી,ગણિતશાસ્ત્રીઓએ યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણા (સમાંતર પૂર્વધારણા) ને તેમની અન્ય ચાર પૂર્વધારણાઓ અને સ્વયંસિદ્ધ સત્યોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો હતો. આ પ્રયાસો તેને પ્રમેય તરીકે સાબિત કરવામાં નિષ્ફળ રહ્યા,પરંતુ તેના પરિણામે અંતે ભૂમિતિની અન્ય ઘણી સુસંગત પ્રણાલીઓની શોધ થઈ,જેને સામૂહિક રીતે બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ (non-Euclidean geometries) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જેમ કે ગોલીય ભૂમિતિ (spherical geometry) અને અતિવલય ભૂમિતિ (hyperbolic geometry).

(C) ધારો કે રામ અને રવિ બંનેનું પ્રારંભિક વજન $x\, kg$ છે.
$2\, kg$ વજન વધ્યા પછી,રામનું નવું વજન $(x + 2)\, kg$ અને રવિનું નવું વજન $(x + 2)\, kg$ થાય છે.
યુક્લિડના બીજા સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,જો સમાન વસ્તુઓમાં સમાન વસ્તુઓ ઉમેરવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો (પૂર્ણ) પણ સમાન રહે છે.
તેથી,શરૂઆતમાં વજન સમાન હોવાથી અને બંનેમાં સમાન જથ્થો ઉમેરવામાં આવ્યો હોવાથી,તેમના નવા વજન પણ સમાન રહેશે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $a-15=25$.
$a$ ની કિંમત શોધવા માટે,સમીકરણની બંને બાજુએ $15$ ઉમેરો.
$a-15+15=25+15$.
$a=40$.
અહીં વપરાયેલ પૂર્વધારણા યુક્લિડની બીજી પૂર્વધારણા છે,જે જણાવે છે કે: "જો સમાન વસ્તુઓમાં સમાન વસ્તુઓ ઉમેરવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો પણ સમાન રહે છે."

(N/A) આપેલ છે: $\angle 1 = \angle 3$,$\angle 2 = \angle 4$ અને $\angle 3 = \angle 4$.
યુક્લિડનું પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય જણાવે છે કે 'જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુને સમાન હોય,તે એકબીજીને પણ સમાન હોય છે'.
અહીં $\angle 1 = \angle 3$ અને $\angle 3 = \angle 4$ હોવાથી,$\angle 1 = \angle 4$ થાય.
હવે,આપણી પાસે $\angle 1 = \angle 4$ અને $\angle 2 = \angle 4$ છે.
યુક્લિડના પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ સત્યનો ઉપયોગ કરતા,$\angle 1$ અને $\angle 2$ બંને એક જ ખૂણા $\angle 4$ ને સમાન હોવાથી,$\angle 1 = \angle 2$ થાય.

(N/A) આપેલ છે કે $C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $AB = 2AC$ થાય.
આપેલ છે કે $D$ એ $XY$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $XY = 2XD$ થાય.
આપણને એ પણ આપેલ છે કે $AC = XD$.
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,જે વસ્તુઓ સમાન વસ્તુઓના બમણા હોય તે એકબીજાને સમાન હોય છે,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $AB = XY$.

(N/A) ધારો કે ઓગસ્ટ મહિનામાં બે સેલ્સમેનનું વેચાણ $x$ અને $y$ છે.
તેઓ ઓગસ્ટ મહિના દરમિયાન સમાન વેચાણ કરે છે,તેથી $x = y$ છે.
સપ્ટેમ્બરમાં,દરેક સેલ્સમેન ઓગસ્ટ મહિનાના તેના વેચાણને બમણું કરે છે,તેથી તેમનું વેચાણ $2x$ અને $2y$ થાય છે.
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,'જે વસ્તુઓ સમાન વસ્તુઓના બમણા હોય,તે એકબીજાને સમાન હોય છે'.
આથી,$x = y$ હોવાથી,$2x = 2y$ થાય છે.
તેથી,આપણે કહી શકીએ કે સપ્ટેમ્બર મહિનામાં પણ બંને સેલ્સમેન સમાન વેચાણ કરે છે.

(B) આપેલ છે કે $x+y=10$ અને $x=z$.
યુક્લિડના બીજા સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,જો સરખી વસ્તુઓમાં સરખી વસ્તુઓ ઉમેરવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો પણ સરખો રહે છે.
કારણ કે $x=z$,આપણે સમીકરણ $x=z$ ની બંને બાજુએ $y$ ઉમેરી શકીએ છીએ:
$x+y = z+y$.
આપણને આપેલ છે કે $x+y=10$. ઉપરના સમીકરણમાં $x+y$ ની જગ્યાએ $10$ મૂકતા:
$10 = z+y$.
તેથી,$z+y=10$.

(N/A) આપણે જોઈએ છીએ કે $AB, BC$ અને $CD$ એ રેખાખંડ $AD$ ના ભાગો છે.
હવે,$AB + BC + CD = AD$ $......(1)$
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય $5$ મુજબ,આખું તેના ભાગ કરતાં મોટું હોય છે. કારણ કે $AD$ એ રેખાખંડ $AH$ નો એક ભાગ છે,તેથી:
$AH > AD$
એટલે કે,લંબાઈ $AH >$ લંબાઈ $AB + BC + CD$ નો સરવાળો $[(1)$ નો ઉપયોગ કરતા].

(N/A) આપણને આપેલ છે કે:
$AB = BC$ ... $(1)$
$BX = BY$ ... $(2)$
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય $3$ મુજબ,જો સમાન વસ્તુઓને સમાન વસ્તુઓમાંથી બાદ કરવામાં આવે,તો બાકી રહેતી વસ્તુઓ પણ સમાન હોય છે.
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$AB - BX = BC - BY$
આકૃતિ પરથી,$AB - BX = AX$ અને $BC - BY = CY$ થાય છે.
તેથી,$AX = CY$.

(N/A) આપેલ છે: $AX = CY$ અને $X, Y$ એ અનુક્રમે $AC$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$X$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AC = 2AX$ થાય.
$Y$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BC = 2CY$ થાય.
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય $6$ મુજબ,"જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુના બમણા હોય,તે એકબીજાને સમાન હોય છે."
અહીં $AX = CY$ હોવાથી,તેમના બમણા પણ સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$2AX = 2CY$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $AC = BC$.

(N/A) આપણને આપેલ છે કે $AB = BC$ [આપેલ છે].
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુઓની અડધી હોય,તે એકબીજાને સમાન હોય છે.
તેથી,જો $AB = BC$ હોય,તો તેમના અડધા ભાગ પણ સમાન હોવા જોઈએ:
$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} BC$.
આપણને આપેલ છે કે $BX = \frac{1}{2} AB$ અને $BY = \frac{1}{2} BC$,તેથી આપણે આ કિંમતો ઉપરના સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ.
તેથી,$BX = BY$ સાબિત થાય છે.

(N/A) અહીં આપણને આપેલ છે:
$\angle 1 = \angle 2$ (આપેલ છે)
$\angle 2 = \angle 3$ (આપેલ છે)
યુક્લિડના પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,"જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુને સમાન હોય,તે એકબીજાને પણ સમાન હોય છે."
અહીં $\angle 1$ અને $\angle 3$ બંને $\angle 2$ ને સમાન હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $\angle 1 = \angle 3$.

(N/A) આપણી પાસે $\angle 1 = \angle 3$ ..... $(1)$ [આપેલ છે]
અને $\angle 2 = \angle 4$ ..... $(2)$ [આપેલ છે]
હવે,યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય $2$ મુજબ,જે જણાવે છે કે જો સમાન વસ્તુઓમાં સમાન વસ્તુઓ ઉમેરવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો પણ સમાન થાય છે.
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે
$\angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 4$
કારણ કે $\angle 1 + \angle 2 = \angle A$ અને $\angle 3 + \angle 4 = \angle C$ છે,
તેથી,$\angle A = \angle C$.

(N/A) આપણને આપેલ છે:
$\angle ABC = \angle ACB$ ...$(1)$
$\angle 3 = \angle 4$ ...$(2)$
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય $3$ મુજબ,જો સરખી વસ્તુઓમાંથી સરખી વસ્તુઓ બાદ કરવામાં આવે,તો બાકી રહેતી વસ્તુઓ પણ સરખી હોય છે.
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ માંથી બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle ABC - \angle 4 = \angle ACB - \angle 3$
આકૃતિ પરથી,$\angle ABC - \angle 4 = \angle 1$ અને $\angle ACB - \angle 3 = \angle 2$ છે.
તેથી,$\angle 1 = \angle 2$.

(N/A) આપણી પાસે $AC = DC$ $\dots(1)$ [આપેલ છે]
અને $CB = CE$ $\dots(2)$ [આપેલ છે]
હવે,યુક્લિડના બીજા સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,જો સરખી વસ્તુઓમાં સરખી વસ્તુઓ ઉમેરવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો પણ સરખો થાય છે.
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$AC + CB = DC + CE$
કારણ કે $AC + CB = AB$ અને $DC + CE = DE$,તેથી:
$AB = DE$.

(N/A) આપેલ છે: $OX = \frac{1}{2} XY$,$PX = \frac{1}{2} XZ$ અને $OX = PX$.
અહીં $OX = PX$ હોવાથી,આપણે આપેલ કિંમતો મૂકી શકીએ:
$\frac{1}{2} XY = \frac{1}{2} XZ$
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,"જે વસ્તુઓ સમાન વસ્તુઓના બમણા હોય,તે એકબીજાને સમાન હોય છે."
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$2 \times (\frac{1}{2} XY) = 2 \times (\frac{1}{2} XZ)$
$XY = XZ$
આમ,સાબિત થાય છે કે $XY = XZ$.

(N/A) આપેલ છે: $AB = BC$ ... $(1)$
$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,આપણી પાસે $AM = MB = \frac{1}{2} AB$ છે.
તેથી,$AB = 2 AM$ ... $(2)$
$N$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,આપણી પાસે $BN = NC = \frac{1}{2} BC$ છે.
તેથી,$BC = 2 NC$ ... $(3)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$AB = BC$ છે.
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ ની કિંમતો $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2 AM = 2 NC$
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ: "જે વસ્તુઓ સમાન વસ્તુઓના અડધા હોય,તે એકબીજાને સમાન હોય છે."
$AM = \frac{1}{2} AB$ અને $NC = \frac{1}{2} BC$ હોવાથી,અને $AB = BC$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $AM = NC$.

(N/A) આપેલ છે: $BM = BN$ ... $(1)$
જેમ કે $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $AM = BM$ ... $(2)$
જેમ કે $N$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BN = NC$ ... $(3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે $AM = NC$ ... $(4)$
હવે,$(1)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$BM + AM = BN + NC$
જેમ કે $BM + AM = AB$ અને $BN + NC = BC$,તેથી:
$AB = BC$
આ યુક્લિડના બીજા સ્વયંસિદ્ધ સત્ય દ્વારા સાબિત થાય છે: "જો સરખી વસ્તુઓમાં સરખી વસ્તુઓ ઉમેરવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો પણ સરખો થાય છે."

(N/A) વ્યાખ્યાયિત કરવા જરૂરી પદો:
બહુકોણ: ત્રણ કે તેથી વધુ રેખાખંડોથી બનેલી સાદી બંધ આકૃતિ.
રેખાખંડ: બે અંત્યબિંદુઓ ધરાવતી રેખાનો ભાગ.
રેખા: અવ્યાખ્યાયિત પદ.
બિંદુ: અવ્યાખ્યાયિત પદ.
ખૂણો: સામાન્ય ઉદ્ભવબિંદુ ધરાવતા બે કિરણોથી બનતી આકૃતિ.
કિરણ: એક અંત્યબિંદુ ધરાવતી રેખાનો ભાગ.
કાટખૂણો: જે ખૂણાનું માપ $90^{\circ}$ હોય.
વપરાયેલા અવ્યાખ્યાયિત પદો: રેખા,બિંદુ.
યુક્લિડની ચોથી પૂર્વધારણા જણાવે છે કે "બધા જ કાટખૂણા એકબીજાને સમાન હોય છે."
ચોરસમાં,બધા ખૂણા કાટખૂણા છે; તેથી,બધા ખૂણા સમાન છે (યુક્લિડની ચોથી પૂર્વધારણા મુજબ).
ત્રણ રેખાખંડો ચોથા રેખાખંડને સમાન છે (આપેલ છે).
તેથી,ચોરસની ચારેય બાજુઓ સમાન છે (યુક્લિડના પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ: "જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુને સમાન હોય,તે એકબીજાને સમાન હોય છે.")

(N/A) વ્યાખ્યાયિત કરવા જરૂરી પદો:
$1$. બહુકોણ: ત્રણ કે તેથી વધુ રેખાખંડોથી બનેલી સાદી બંધ આકૃતિ.
$2$. રેખાખંડ: બે અંત્યબિંદુઓ ધરાવતી રેખાનો એક ભાગ.
$3$. ખૂણો: સામાન્ય ઉદભવબિંદુ ધરાવતા બે કિરણો દ્વારા બનતી આકૃતિ.
વ્યાખ્યામાં વપરાયેલા અવ્યાખ્યાયિત પદો છે: રેખા,બિંદુ,ભાગ.
સમર્થન:
આપેલ છે કે બે રેખાખંડો ત્રીજા રેખાખંડને સમાન છે,તેથી સંક્રમણના ગુણધર્મ મુજબ,સમબાજુ ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓ સમાન છે.
બધા ખૂણાઓ $60^{\circ}$ ના હોવાથી,તેઓ એકબીજાને સમાન છે. યુક્લિડના પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુને સમાન હોય,તે એકબીજાને સમાન હોય છે. આમ,બધા ખૂણાઓ સમાન છે.

(NO) બે છેદતી રેખાઓ એક જ રેખાને લંબ હોઈ શકે નહીં કારણ કે જો બે રેખાઓ $l$ અને $m$ એક જ રેખા $n$ ને લંબ હોય,તો $l$ અને $m$ એકબીજાને સમાંતર હોવી જોઈએ.
યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણા જણાવે છે કે જો એક રેખાખંડ બે સીધી રેખાઓ પર પડે અને તેની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો બે કાટખૂણા $(180^{circ})$ કરતા ઓછો હોય,તો તે બે સીધી રેખાઓને અનંત સુધી લંબાવતા તે બાજુ પર એકબીજાને છેદે છે.
આપેલ વિધાન સમાંતર રેખાઓના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરે છે અને તે અંતઃકોણોના આધારે રેખાઓના છેદન વિશે નથી,તેથી તે યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણાનું સમકક્ષ સ્વરૂપ નથી.

(N/A) ના,સ્વયંસિદ્ધ સત્યોની આ પ્રણાલી સુસંગત નથી.
યુક્લિડની ભૂમિતિમાં,જો કોઈ છેદિકા બે સમાંતર રેખાઓને છેદે,તો અનુકોણ સમાન હોવા જ જોઈએ.
જો આપણે વિધાન $(i)$ ને સાચું માનીએ,તો તે સમાંતર રેખાઓના મૂળભૂત ગુણધર્મનો વિરોધાભાસ કરે છે.
વધુમાં,જો અનુકોણ સમાન ન હોય,તો યુગ્મકોણ પણ સમાન હોઈ શકે નહીં,જે વિધાન $(ii)$ નો વિરોધાભાસ કરે છે.
આમ,બંને વિધાનો તાર્કિક વિરોધાભાસ તરફ દોરી જાય છે,તેથી આ સ્વયંસિદ્ધ સત્યોની પ્રણાલી અસંગત છે.

(B) આપેલ પૂર્વધારણાઓની પ્રણાલી સુસંગત નથી.
વિધાન $(ii)$ એ એક પ્રમાણિત ભૌમિતિક ગુણધર્મ (રૈખિક જોડની પૂર્વધારણા) છે જે યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં સાર્વત્રિક રીતે સાચું છે.
જો આપણે વિધાન $(ii)$ ને સ્વીકારીએ,તો બે છેદતી રેખાઓ માટે,એક રેખા પર બનતા ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થવો જોઈએ.
છેદબિંદુની બંને બાજુએ આ ગુણધર્મ લાગુ કરીને,ગાણિતિક રીતે સાબિત કરી શકાય છે કે અભિકોણો હંમેશા સમાન હોય છે.
વિધાન $(i)$ એ વિધાન $(ii)$ પરથી તારવેલા આ સાબિત પરિણામનો વિરોધાભાસ કરે છે,તેથી પૂર્વધારણાઓની આ પ્રણાલી અસંગત છે.

(A) આપેલ સ્વયંસિદ્ધ સત્યોની પ્રણાલી સુસંગત છે.
$(i)$ આ યુક્લિડનું પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય છે: 'એક જ વસ્તુને સમાન હોય તેવી વસ્તુઓ એકબીજાને સમાન હોય છે.'
$(ii)$ આ યુક્લિડનું બીજું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય છે: 'જો સમાન વસ્તુઓમાં સમાન વસ્તુઓ ઉમેરવામાં આવે,તો તેના સરવાળા પણ સમાન રહે છે.'
$(iii)$ આ યુક્લિડનું ત્રીજું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય છે: 'જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુના બમણા હોય,તે એકબીજાને સમાન હોય છે.'
આપેલા તમામ વિધાનો યુક્લિડ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રમાણિત સ્વયંસિદ્ધ સત્યો હોવાથી,તેઓ એકબીજાનો વિરોધાભાસ કરતા નથી અને તેથી તે સુસંગત છે.

(N/A) ઉપર આપેલી આકૃતિમાં,રેખાખંડ $PR$ એ રેખાખંડ $PQ$ અને $QR$ ના સરવાળા સાથે બંધબેસે છે.
યુક્લિડનું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય $(4)$ જણાવે છે કે જે વસ્તુઓ એકબીજા સાથે બંધબેસતી હોય તે એકબીજાને સમાન હોય છે.
તેથી,એવું તારણ કાઢી શકાય છે કે $PQ + QR = PR$.
નોંધો કે,આ ઉકેલમાં,એવું માનવામાં આવ્યું છે કે બે ભિન્ન બિંદુઓમાંથી પસાર થતી એક અનન્ય રેખા હોય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2x = 50$.
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુને $2$ વડે ભાગીએ છીએ.
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય $(7)$ મુજબ,જે જણાવે છે કે: 'જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુઓની અડધી હોય,તે એકબીજાને સમાન હોય છે.'
વૈકલ્પિક રીતે,આ સ્વયંસિદ્ધ સત્યનો ઉપયોગ કરતા: 'જો સમાન વસ્તુઓને સમાન વસ્તુઓ વડે ભાગવામાં આવે,તો ભાગફળ સમાન રહે છે.'
આમ,$x = 50 / 2 = 25$.
ઉકેલ $x = 25$ છે અને વપરાયેલ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય યુક્લિડનું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય $(7)$ છે.

(N/A) આપેલ છે: $PQ = RS$
આકૃતિ પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$PR = PQ + QR$
$QS = QR + RS$
કારણ કે $PQ = RS$,આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ સમાન રાશિ $QR$ ઉમેરી શકીએ છીએ:
$PQ + QR = RS + QR$
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય $(2)$ નો ઉપયોગ કરતા,જે જણાવે છે કે 'જો સરખામાં સરખું ઉમેરવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો પણ સરખો રહે છે',આપણને મળે છે:
$PR = QS$
આમ,આ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $AC = CB$. કારણ કે $AB = AC + CB$,તેથી $AB = AC + AC = 2AC$. આમ,$AC = \frac{1}{2} AB$.
વળી,$D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $AD = DC$. કારણ કે $AC = AD + DC$,તેથી $AC = AD + AD = 2AD$. આમ,$AD = \frac{1}{2} AC$.
$AC = \frac{1}{2} AB$ ની કિંમત $AD = \frac{1}{2} AC$ માં મૂકતા,આપણને $AD = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} AB) = \frac{1}{4} AB$ મળે છે.
વપરાયેલ યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્યો:
$1$. સ્વયંસિદ્ધ સત્ય $(7)$: જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુના અડધા હોય,તે એકબીજાને સમાન હોય છે.
$2$. સ્વયંસિદ્ધ સત્ય $(2)$: જો સમાન વસ્તુઓમાં સમાન વસ્તુઓ ઉમેરવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો પણ સમાન રહે છે.

(N/A) ના,આ વિધાન યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણાનું સીધું પરિણામ નથી.
યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણા જણાવે છે કે જો એક સીધી રેખા બે સીધી રેખાઓ પર પડીને તેની એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો બે કાટખૂણા કરતાં ઓછો બનાવે,તો તે બે સીધી રેખાઓને અનંત સુધી લંબાવતા,તે તરફ મળે છે જે તરફ ખૂણાઓનો સરવાળો બે કાટખૂણા કરતાં ઓછો હોય.
જોકે,રેખાઓ દરેક જગ્યાએ સમાન અંતરે હોય તેવું વિધાન યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણાને સમકક્ષ છે,પરંતુ તેને પ્લેફેયરની સ્વયંસિદ્ધિ (અથવા સમાંતર પૂર્વધારણા) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણા રેખાઓના છેદન સાથે સંબંધિત છે,જ્યારે સમાન અંતરે રહેલી રેખાઓનો ખ્યાલ સમાંતર રેખાઓને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તેથી,યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં તેઓ તાર્કિક રીતે સમકક્ષ હોવા છતાં,આ વિધાન પાંચમી પૂર્વધારણાનું સીધું પરિણામ નથી,પરંતુ એક વૈકલ્પિક રજૂઆત છે.

(A) આ વિધાન ખરું છે.
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્યો મુજબ,જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુના બમણા હોય,તે એકબીજાને સમાન હોય છે.
જો $x = 2a$ અને $y = 2a$ હોય,તો $x = y$ થાય.

(FALSE) આ વિધાન ખોટું છે.
યુક્લિડના પ્રથમ પૂર્વધારણા મુજબ,બે ભિન્ન બિંદુઓમાંથી પસાર થતી એક અને માત્ર એક જ અનન્ય રેખા હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ બે આપેલા ભિન્ન બિંદુઓમાંથી માત્ર એક જ સીધી રેખા દોરી શકાય છે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
યુક્લિડ એક ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી હતા,જેમને ઘણીવાર 'ભૂમિતિના પિતા' તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જેઓ આશરે $300 \text{ BCE}$ માં થઈ ગયા. થેલ્સ એક ગ્રીક ફિલસૂફ હતા જેઓ તેમના કરતા ઘણા સમય પહેલા,આશરે $624-546 \text{ BCE}$ માં થઈ ગયા હતા. યુક્લિડ થેલ્સના વિદ્યાર્થી નહોતા; તેના બદલે,યુક્લિડે તેમના પ્રખ્યાત પુસ્તક 'એલિમેન્ટ્સ' (Elements) માં તે સમયના ગાણિતિક જ્ઞાનનું સંકલન અને વ્યવસ્થિતકરણ કર્યું હતું.

(TRUE) આ વિધાન સત્ય છે.
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્યો અને યુક્લિડિયન ભૂમિતિના મૂળભૂત ગુણધર્મો અનુસાર,બે ભિન્ન રેખાઓ વધુમાં વધુ એક જ બિંદુમાં છેદી શકે છે. જો તેઓ એકથી વધુ બિંદુઓ ધરાવતી હોય,તો તે એકબીજા પર સંપાતી થઈ જાય અને એક જ રેખા બની જાય,જે 'બે ભિન્ન રેખાઓ' હોવાની પૂર્વધારણાથી વિરુદ્ધ છે.

(B) આ વિધાન $False$ (ખોટું) છે.
યુક્લિડની ભૂમિતિ અનુસાર,એક બિંદુમાંથી અસંખ્ય રેખાઓ પસાર થઈ શકે છે.

(D) યુક્લિડ,જે એક ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી હતા,તેમને 'ભૂમિતિના પિતા' તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેમણે ભૂમિતિનું તેમનું જ્ઞાન 'ધ એલિમેન્ટ્સ' નામના પ્રખ્યાત ગ્રંથમાં એકત્રિત કર્યું હતું.
આ કાર્યને $13$ પ્રકરણોમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યું હતું,જેને પરંપરાગત રીતે 'પુસ્તકો' (books) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો જવાબ $13$ છે.

(A) યુક્લિડ એક ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી હતા જેઓ ઇજિપ્તના એલેક્ઝાન્ડ્રિયામાં રહેતા હતા. તેમને 'ભૂમિતિના પિતા' તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ઐતિહાસિક રીતે,તેઓ ઇજિપ્તના એલેક્ઝાન્ડ્રિયા શહેર સાથે સંકળાયેલા છે,જ્યાં તેમણે શિક્ષણ આપ્યું હતું અને તેમનું પ્રખ્યાત પુસ્તક 'એલિમેન્ટ્સ' લખ્યું હતું.

(B) થેલ્સને પ્રથમ જાણીતી સાબિતી આપવાનો શ્રેય આપવામાં આવે છે. તેઓ એક ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી હતા જેઓ આશરે $600 \text{ BC}$ માં જીવતા હતા. તેમને ઘણીવાર પ્રથમ સાચા ગણિતશાસ્ત્રી માનવામાં આવે છે કારણ કે તેઓ પ્રાયોગિક અવલોકનથી આગળ વધીને તાર્કિક તર્ક (deductive reasoning) તરફ ગયા હતા.

(D) પ્રાચીન ભારતમાં,લંબચોરસ,ત્રિકોણ અને સમલંબ ચતુષ્કોણ જેવા ચોક્કસ ભૌમિતિક આકારોનો ઉપયોગ કરીને વેદીઓ બનાવવામાં આવતી હતી. આ વેદીઓ ખાસ કરીને વૈદિક ધાર્મિક વિધિઓ માટે જરૂરી હતી. શુલ્બ સૂત્રો અનુસાર,આ વેદીઓની ભૂમિતિ વિવિધ ધાર્મિક વિધિઓના પ્રદર્શન માટે અનિવાર્ય હતી.

(D) પ્રાચીન ભારતમાં,ઘરગથ્થુ ધાર્મિક વિધિઓ માટે ચોરસ અને વર્તુળાકાર આકારની વેદીઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવતો હતો. આ આકારો વિવિધ ધાર્મિક વિધિઓ માટે ચોક્કસ ભૌમિતિક સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવતા હતા.

(A) યુક્લિડના પ્રથમ પૂર્વધારણા મુજબ,બે ભિન્ન બિંદુઓમાંથી પસાર થતી એક અને માત્ર એક જ (અનન્ય) રેખા હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે સમતલમાં આપેલા કોઈપણ બે બિંદુઓને જોડતી માત્ર એક જ સીધી રેખા દોરી શકાય છે.

(B) યુક્લિડની વ્યાખ્યાઓ અનુસાર,સપાટી એટલે એવી વસ્તુ જેને માત્ર લંબાઈ અને પહોળાઈ હોય છે. સપાટીની કિનારીઓ રેખાઓ હોય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ભૌમિતિક આકારોના ક્રમમાં: ઘન ($3$ પરિમાણ) $-$ સપાટીઓ ($2$ પરિમાણ) $-$ રેખાઓ ($1$ પરિમાણ) $-$ બિંદુઓ ($0$ પરિમાણ),દરેક પગલે પરિમાણોની સંખ્યામાં $1$ નો ઘટાડો થાય છે. તેથી,પરિમાણ ઘટે છે.

(D) યુક્લિડ,એક ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી,તેમણે તેમનું કાર્ય 'એલિમેન્ટ્સ' તરીકે ઓળખાતા પુસ્તકોની શ્રેણીમાં સંકલિત કર્યું હતું.
'એલિમેન્ટ્સ' ના પુસ્તક $1$ માં,ભૂમિતિનો પાયો નાખવા માટે યુક્લિડે $23$ વ્યાખ્યાઓ આપી છે.
તેથી,સાચો જવાબ $23$ છે.

(A) યુક્લિડની ભૂમિતિ અનુસાર,ઘન એ ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થ છે જે અવકાશમાં જગ્યા રોકે છે. તેને લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ હોય છે. તેથી,ઘન પદાર્થને ચોક્કસ આકાર,ચોક્કસ કદ અને અવકાશમાં એક નિશ્ચિત સ્થાન હોય છે.

(B) યુક્લિડની ભૂમિતિમાં,રેખાખંડને રેખાના એવા ભાગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેને બે અંત્યબિંદુઓ હોય છે. યુક્લિડે તેમના પુસ્તક 'ધ એલિમેન્ટ્સ' (The Elements) માં આ ખ્યાલ માટે 'સીમિત રેખા' (terminated line) શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો હતો.

(A) ભૂમિતિમાં યુક્લિડની વ્યાખ્યાઓ અનુસાર,રેખાને 'પહોળાઈ વગરની લંબાઈ' તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી,રેખા એ પહોળાઈ વગરની લંબાઈ છે.

(B) જે વિધાનને અગાઉ સ્થાપિત સત્યો,સ્વીકૃત સત્યો (Axioms) અથવા પૂર્વધારણાઓ (Postulates) ના આધારે તાર્કિક સાબિતીની જરૂર હોય તેને $Theorem$ (પ્રમેય) કહેવામાં આવે છે. સ્વીકૃત સત્યો અને પૂર્વધારણાઓ એ સ્વયં-સ્પષ્ટ સત્યો છે જેને સાબિતીની જરૂર હોતી નથી.

(A) $\text{શુલ્બસુત્ર}$ એ પ્રાચીન ભારતીય ગ્રંથો હતા જે વેદીઓ અને ભૌમિતિક રચનાઓના નિર્માણ માટેના નિયમો અને સૂચનાઓ પૂરી પાડતા હતા. આ ગ્રંથોને ભારતમાં ભૂમિતિના સૌથી જૂના સ્ત્રોત માનવામાં આવે છે.

(C) યુક્લિડની ભૂમિતિ અનુસાર,ઘન પદાર્થને ત્રણ પરિમાણો હોય છે: લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ. ઘન પદાર્થની સીમાઓ સપાટીઓ હોય છે. આ સપાટીઓ અવકાશના એક ભાગને બીજા ભાગથી અલગ કરે છે અથવા ઘન પદાર્થને તેની આસપાસના અવકાશથી અલગ કરે છે. તેથી,ઘન પદાર્થની સીમાઓ સપાટીઓ છે.

(A) ભૂમિતિમાં યુક્લિડની વ્યાખ્યાઓ અનુસાર,સપાટીને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જેને માત્ર લંબાઈ અને પહોળાઈ હોય છે. તેને કોઈ જાડાઈ કે ઊંડાઈ હોતી નથી.