Real Numbers and their Decimal Expansions Questions in Hindi

(N/A) माना कि $x = 0.142857142857...$ (समीकरण $1$).
चूँकि $6$ अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए समीकरण $1$ के दोनों पक्षों को $10^6 = 1,000,000$ से गुणा करने पर:
$1,000,000x = 142857.142857142857...$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$1,000,000x - x = 142857.142857... - 0.142857...$
$999,999x = 142857$.
$x = \frac{142857}{999999}$.
अंश और हर को $142857$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{1}{7}$.
अतः,$0.\overline{142857} = \frac{1}{7}$.

(N/A) माना कि $x = 0.\overline{076923}$ है।
इसे $x = 0.076923076923...$ के रूप में लिखा जा सकता है (समीकरण $1$)।
चूंकि $6$ अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए दोनों पक्षों को $10^6 = 1,000,000$ से गुणा करने पर:
$1,000,000x = 76923.076923076923...$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$1,000,000x - x = 76923.076923... - 0.076923...$
$999,999x = 76923$.
$x = \frac{76923}{999999}$.
अंश और हर को $76923$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{76923 \div 76923}{999999 \div 76923} = \frac{1}{13}$.
अतः, $0.\overline{076923} = \frac{1}{13}$ सिद्ध होता है।

(N/A) संख्या रेखा पर $2.64444$ को दर्शाने के लिए,हम उत्तरोत्तर आवर्धन (successive magnification) की प्रक्रिया का उपयोग करते हैं:
$1$. चूंकि $2.64444$,$2$ और $3$ के बीच स्थित है,हम $2$ और $3$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं और $2.6$ तथा $2.7$ को चिह्नित करते हैं।
$2$. अब,$2.64444$,$2.6$ और $2.7$ के बीच स्थित है। हम इस क्षेत्र को आवर्धित करते हैं और $2.64$ तथा $2.65$ को खोजने के लिए इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं।
$3$. इसके बाद,$2.64444$,$2.64$ और $2.65$ के बीच स्थित है। हम इस क्षेत्र को आवर्धित करते हैं और $2.644$ तथा $2.645$ को खोजने के लिए इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं।
$4$. इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए,$2.64444$,$2.644$ और $2.645$ के बीच स्थित है। हम $2.6444$ और $2.6445$ को खोजने के लिए इस क्षेत्र को आवर्धित करते हैं।
$5$. अंत में,हम संख्या रेखा पर $2.64444$ बिंदु को खोजने के लिए $2.6444$ और $2.6445$ के बीच के क्षेत्र को आवर्धित करते हैं।

(N/A) चरण $1$: संख्या रेखा पर $2.3$ और $2.4$ को ज्ञात कीजिए। $2.3$ और $2.4$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित कीजिए। पहला निशान $2.31$ को दर्शाता है,दूसरा $2.32$ को,और इसी प्रकार आगे बढ़ें।
चरण $2$: संख्या रेखा पर $2.36$ और $2.37$ को ज्ञात कीजिए। $2.36$ और $2.37$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित कीजिए।
चरण $3$: $2.36$ और $2.37$ के बीच का $5$वाँ निशान $2.365$ को दर्शाता है।

(N/A) संख्या रेखा पर उत्तरोत्तर आवर्धन का उपयोग करके $-4.126$ को देखने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$1$. चूँकि $-4.126$,$-4$ और $-5$ के बीच स्थित है,हम $-4$ और $-5$ के बीच के भाग को $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं और $-4.1$ तथा $-4.2$ को चिह्नित करते हैं।
$2$. अब,$-4.126$,$-4.1$ और $-4.2$ के बीच स्थित है। हम इस भाग को आवर्धित (magnify) करते हैं और इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $-4.12$ और $-4.13$ को चिह्नित करते हैं।
$3$. अंत में,$-4.126$,$-4.12$ और $-4.13$ के बीच स्थित है। हम इस भाग को पुनः आवर्धित करते हैं और इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $-4.126$ को निरूपित करने वाले बिंदु को सटीक रूप से प्राप्त करते हैं।

$3.\overline{42}$ को $4$ दशमलव स्थानों तक निरूपित करने के लिए, हमें संख्या रेखा पर $3.4242$ को खोजना होगा।
चरण $1$: $3.4242$, $3$ और $4$ के बीच स्थित है। अंतराल $[3, 4]$ को $10$ बराबर भागों में विभाजित करें और अंतराल $[3.4, 3.5]$ को आवर्धित करें।
चरण $2$: $3.4242$, $3.4$ और $3.5$ के बीच स्थित है। अंतराल $[3.4, 3.5]$ को $10$ बराबर भागों में विभाजित करें और अंतराल $[3.42, 3.43]$ को आवर्धित करें।
चरण $3$: $3.4242$, $3.42$ और $3.43$ के बीच स्थित है। अंतराल $[3.42, 3.43]$ को $10$ बराबर भागों में विभाजित करें और अंतराल $[3.424, 3.425]$ को आवर्धित करें।
चरण $4$: $3.4242$, $3.424$ और $3.425$ के बीच स्थित है। अंतराल $[3.424, 3.425]$ को $10$ बराबर भागों में विभाजित करें। बिंदु $3.4242$, $3.424$ के बाद दूसरा निशान है।

(D) उत्तरोत्तर आवर्धन का उपयोग करके संख्या रेखा पर $5.4949$ को दर्शाने के लिए:
$1$. $5$ और $6$ के बीच $5.4949$ का स्थान निर्धारित करें। $5.4$ और $5.5$ प्राप्त करने के लिए अंतराल को $10$ बराबर भागों में विभाजित करें।
$2$. $5.4$ और $5.5$ के बीच के अंतराल को आवर्धित करें। $5.49$ और $5.50$ का स्थान निर्धारित करने के लिए इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करें।
$3$. $5.49$ और $5.50$ के बीच के अंतराल को आवर्धित करें। $5.494$ और $5.495$ का स्थान निर्धारित करने के लिए इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करें।
$4$. $5.494$ और $5.495$ के बीच के अंतराल को आवर्धित करें। इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करें। बिंदु $5.4949$,$5.494$ और $5.495$ के बीच,विशेष रूप से $9$ वें उप-विभाजन पर स्थित है।

(A) माना कि $x = 0.\overline{3} = 0.333\dots$ (समीकरण $1$)।
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 3.333\dots$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$10x - x = 3.333\dots - 0.333\dots$
$9x = 3$
$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$।
अतः,$0.\overline{3} = \frac{1}{3}$ है।

(B) माना $x = 4.185185185...$ (समीकरण $1$)
यहाँ $3$ अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए $1000$ से गुणा करने पर:
$1000x = 4185.185185...$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$1000x - x = 4185.185185... - 4.185185...$
$999x = 4181$
$x = \frac{4181}{999}$
इसे मिश्र भिन्न में बदलने पर:
$x = 4 + \frac{185}{999}$
भिन्न $\frac{185}{999}$ को $37$ से विभाजित करने पर:
$185 \div 37 = 5$
$999 \div 37 = 27$
अतः,$x = 4 \frac{5}{27}$.

(C) माना $x = 0.3\overline{6} = 0.3666...$ (समीकरण $1$)
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर: $10x = 3.666...$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को $100$ से गुणा करने पर: $100x = 36.666...$ (समीकरण $3$)
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$100x - 10x = 36.666... - 3.666...$
$90x = 33$
$x = \frac{33}{90}$
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{11}{30}$

(D) $7$ और $8$ के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक विकल्प का मान ज्ञात करते हैं:
$A) \frac{33}{5} = 6.6$ (यह $7$ से छोटी है)
$B) \frac{51}{6} = 8.5$ (यह $8$ से बड़ी है)
$C) \frac{60}{7} \approx 8.57$ (यह $8$ से बड़ी है)
$D) \frac{61}{8} = 7.625$ (चूंकि $7 < 7.625 < 8$,इसलिए यह $7$ और $8$ के बीच की सही परिमेय संख्या है)।

(B) परिमेय संख्या $-\frac{11}{4}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम भाग करते हैं:
$11 \div 4 = 2.75$।
चूंकि भाग करने पर दशमलव के बाद अंकों की संख्या सीमित है,इसलिए यह दशमलव प्रसार सांत है।
अतः,$-\frac{11}{4} = -2.75$,जो एक सांत दशमलव है।

(N/A) किसी संख्या $x$ का वर्गमूल वह मान है जिसे स्वयं से गुणा करने पर $x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $11 \times 11 = 121$ और $(-11) \times (-11) = 121$ होता है,इसलिए $121$ का वर्गमूल $11$ या $-11$ है।

(B) $\frac{2}{3}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए, हम $2$ को $3$ से विभाजित करते हैं।
जब हम $2$ को $3$ से भाग देते हैं, तो हमें $0.666...$ प्राप्त होता है, जिसे $0.\overline{6}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि शेषफल कभी भी $0$ नहीं होता है और अंक $6$ अनंत तक दोहराया जाता है, इसलिए दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) प्रकार का है।

(TERMINATING) $\frac{47}{50}$ के दशमलव प्रसार का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम पहले भिन्न को सरल करते हैं या हर की जाँच करते हैं।
दी गई भिन्न: $\frac{47}{50}$।
हर $50 = 2^1 \times 5^2$ है।
चूंकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं,इसलिए दशमलव प्रसार सांत (terminating) है।
गणना: $\frac{47}{50} = \frac{47 \times 2}{50 \times 2} = \frac{94}{100} = 0.94$।
अतः,दशमलव प्रसार सांत है।

(A) माना कि $x = 3.\overline{5} = 3.555...$ (समीकरण $1$)।
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 35.555...$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$10x - x = 35.555... - 3.555...$
$9x = 32$।
अतः, $x = \frac{32}{9}$।

(B) माना कि $x = 0.272727...$ (समीकरण $1$)
चूँकि दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 27.272727...$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$100x - x = 27.272727... - 0.272727...$
$99x = 27$
$x = \frac{27}{99}$
अंश और हर को $9$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{3}{11}$

(B) $\frac{1}{7}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम $1$ को $7$ से भाग देते हैं।
$1$ को $7$ से भाग देने पर $0.142857142857...$ प्राप्त होता है।
चूंकि शेषफल कभी भी $0$ नहीं होता है और अंकों का समूह $142857$ बार-बार दोहराया जाता है,इसलिए यह दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।

(A) एक संख्या परिमेय होती है यदि उसे $p/q$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
कोई भी आवर्ती दशमलव संख्या एक परिमेय संख्या होती है।
माना $x = 0.3\overline{7} = 0.3777...$
$10$ से गुणा करने पर: $10x = 3.777...$
$100$ से गुणा करने पर: $100x = 37.777...$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $100x - 10x = 37.777... - 3.777...$
$90x = 34$
$x = 34/90 = 17/45$।
चूंकि $0.3\overline{7}$ को $17/45$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(N/A) दी गई संख्या $3.8232323 \ldots$ है।
यहाँ,दशमलव बिंदु के बाद $23$ अंक की पुनरावृत्ति हो रही है।
इसलिए,हम इस आवर्ती दशमलव को पुनरावृत्त अंकों के ऊपर बार $( \overline{ } )$ लगाकर दर्शा सकते हैं।
अतः,इसका संक्षिप्त रूप $3.8 \overline{23}$ है।