Operations on Real Numbers Questions in Hindi

(A) दी गई व्यंजकों को जोड़ने के लिए,समान पदों (जिनमें वर्गमूल का गुणनखंड समान हो) को एक साथ रखें:
$(2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3}) + (\sqrt{2} - 3 \sqrt{3})$
$= (2 \sqrt{2} + \sqrt{2}) + (5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3})$
$= (2 + 1) \sqrt{2} + (5 - 3) \sqrt{3}$
$= 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$

(B) $6 \sqrt{5}$ को $2 \sqrt{5}$ से गुणा करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$1$. परिमेय गुणांकों का गुणा करें: $6 \times 2 = 12$.
$2$. वर्गमूल वाले पदों का गुणा करें: $\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$.
$3$. परिणामों का गुणा करें: $12 \times 5 = 60$.
अतः,$6 \sqrt{5} \times 2 \sqrt{5} = 60$.

(C) $8 \sqrt{15}$ को $2 \sqrt{3}$ से विभाजित करने के लिए,हम इसे एक भिन्न के रूप में लिखते हैं:
$\frac{8 \sqrt{15}}{2 \sqrt{3}}$
हम $\sqrt{15}$ को $\sqrt{3} \times \sqrt{5}$ में विभाजित करके व्यंजक को सरल बना सकते हैं:
$= \frac{8 \times \sqrt{3} \times \sqrt{5}}{2 \sqrt{3}}$
अंश और हर से समान पद $\sqrt{3}$ को काटने पर:
$= \frac{8}{2} \times \sqrt{5}$
$= 4 \sqrt{5}$

$(i)$ वितरण नियम का उपयोग करते हुए: $(5+\sqrt{7})(2+\sqrt{5}) = 5(2) + 5(\sqrt{5}) + \sqrt{7}(2) + \sqrt{7}(\sqrt{5}) = 10 + 5\sqrt{5} + 2\sqrt{7} + \sqrt{35}$.
$(ii)$ सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए: $(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5}) = 5^2 - (\sqrt{5})^2 = 25 - 5 = 20$.
$(iii)$ सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करते हुए: $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{7}) + (\sqrt{7})^2 = 3 + 2\sqrt{21} + 7 = 10 + 2\sqrt{21}$.
$(iv)$ सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए: $(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{11}+\sqrt{7}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{7})^2 = 11 - 7 = 4$.

(A) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर दोनों को $\sqrt{2}$ से गुणा करते हैं।
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$
चूंकि $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
अतः,परिमेयकृत रूप $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है।

(B) $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(2-\sqrt{3})$ से गुणा करते हैं।
$\frac{1}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2)^2 - (\sqrt{3})^2}$
सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3}$.

(B) हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) $(\sqrt{3}+\sqrt{5})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
हर में बीजीय सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}$
$= \frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{3 - 5}$
$= \frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{-2}$
$= -\frac{5}{2}(\sqrt{3}+\sqrt{5})$

(A) $\frac{1}{7+3 \sqrt{2}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(7-3 \sqrt{2})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{1}{7+3 \sqrt{2}} = \frac{1}{7+3 \sqrt{2}} \times \frac{7-3 \sqrt{2}}{7-3 \sqrt{2}}$
हर में $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \frac{7-3 \sqrt{2}}{(7)^2 - (3 \sqrt{2})^2}$
$= \frac{7-3 \sqrt{2}}{49 - (9 \times 2)}$
$= \frac{7-3 \sqrt{2}}{49 - 18}$
$= \frac{7-3 \sqrt{2}}{31}$

(N/A) $(i)$ $2-\sqrt{5}$: चूंकि यह एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का अंतर है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
$(ii)$ $(3+\sqrt{23})-\sqrt{23} = 3+\sqrt{23}-\sqrt{23} = 3$. चूंकि $3$ को $\frac{3}{1}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(iii)$ $\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}} = \frac{2}{7}$. चूंकि यह $\frac{p}{q}$ के रूप में है जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(iv)$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$: एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का भागफल हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है। इसलिए,यह एक अपरिमेय संख्या है।
$(v)$ $2 \pi$: एक शून्येतर परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है। इसलिए,$2 \pi$ एक अपरिमेय संख्या है।

(C) दी गई व्यंजकों को जोड़ने के लिए,हम $\sqrt{3}$ को एक उभयनिष्ठ पद के रूप में मानते हैं।
दिया गया व्यंजक: $2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$।
इसे $(2 + 1) \sqrt{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
कोष्ठक के अंदर के पदों का योग करने पर: $3 \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(D) करणी के गुणधर्म $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{10} \times \sqrt{15} = \sqrt{10 \times 15}$
$= \sqrt{150}$
$= \sqrt{25 \times 6}$
$= \sqrt{25} \times \sqrt{6}$
$= 5 \sqrt{6}$
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(A) $\frac{1}{7-\sqrt{2}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी $(7+\sqrt{2})$ से गुणा करते हैं।
$\frac{1}{7-\sqrt{2}} = \frac{1}{7-\sqrt{2}} \times \frac{7+\sqrt{2}}{7+\sqrt{2}}$
हर में सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{7+\sqrt{2}}{(7)^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{7+\sqrt{2}}{49-2}$
$= \frac{7+\sqrt{2}}{47}$
अतः,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{1}{\sqrt{9}-\sqrt{8}}$
चूंकि $\sqrt{9} = 3$ और $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ है,इसलिए व्यंजक होगा:
$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $(3+2\sqrt{2})$ से गुणा करें:
$\frac{1}{3-2\sqrt{2}} \times \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{(3)^2 - (2\sqrt{2})^2}$
हर को सरल करने पर:
$(3)^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \times 2) = 9 - 8 = 1$
अतः,व्यंजक का सरल रूप है:
$\frac{3+2\sqrt{2}}{1} = 3+2\sqrt{2}$
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही उत्तर है.

(C) $\frac{7}{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})$ से गुणा करते हैं।
$\frac{7}{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}} \times \frac{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}} = \frac{7(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{(3 \sqrt{3})^2 - (2 \sqrt{2})^2}$
$= \frac{7(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{(9 \times 3) - (4 \times 2)} = \frac{7(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{27 - 8}$
$= \frac{7(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{19}$
अतः,हर $19$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $(C)$ है।

(D) दी गई व्यंजक: $\frac{\sqrt{32}+\sqrt{48}}{\sqrt{8}+\sqrt{12}}$
अंश और हर में वर्गमूलों को सरल करने पर:
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}$
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:
$\frac{4(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}$
समान पद $(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ को काटने पर:
$\frac{4}{2} = 2$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) व्यंजक $\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}$ को सरल बनाने के लिए,हम हर (denominator) का परिमेयकरण करेंगे:
$\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1) \times (\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1) \times (\sqrt{2}-1)}}$
$= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}}$
$= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}}$
$= \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}$
$= \sqrt{2}-1$
दिया गया है कि $\sqrt{2} = 1.4142$,अतः:
$1.4142 - 1 = 0.4142$
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(A) हाँ,$x+y$ अनिवार्य रूप से एक अपरिमेय संख्या है।
विरोधोक्ति द्वारा प्रमाण (Proof by contradiction):
मान लीजिए कि $x+y = r$,जहाँ $r$ एक परिमेय संख्या है।
चूँकि $x$ एक परिमेय संख्या है,हम $y = r - x$ लिख सकते हैं।
चूँकि दो परिमेय संख्याओं ($r$ और $x$) का अंतर हमेशा एक परिमेय संख्या होता है,इसलिए $y$ को भी एक परिमेय संख्या होना चाहिए।
हालाँकि,यह दी गई जानकारी का खंडन करता है कि $y$ एक अपरिमेय संख्या है।
इसलिए,हमारी धारणा गलत है और $x+y$ एक अपरिमेय संख्या ही होनी चाहिए।
उदाहरण:
मान लीजिए $x = 5$ (परिमेय) और $y = \sqrt{2}$ (अपरिमेय)।
तब,$x+y = 5 + \sqrt{2} = 6.4142...$,जो एक अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) दशमलव है।
अतः,$x+y$ एक अपरिमेय संख्या है।

(NO) मान लीजिए कि $x = 0$ (एक परिमेय संख्या) और $y = \sqrt{3}$ (एक अपरिमेय संख्या) है।
तब,उनका गुणनफल $xy = 0 \times \sqrt{3} = 0$ होता है।
चूंकि $0$ को $\frac{0}{1}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
अतः,यह आवश्यक नहीं है कि $xy$ एक अपरिमेय संख्या ही हो।

(A) व्यंजक $(3 \sqrt{5}-5 \sqrt{2})(4 \sqrt{5}+3 \sqrt{2})$ को सरल करने के लिए,हम वितरण नियम (distributive property) का उपयोग करेंगे:
$= (3 \sqrt{5} \times 4 \sqrt{5}) + (3 \sqrt{5} \times 3 \sqrt{2}) - (5 \sqrt{2} \times 4 \sqrt{5}) - (5 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2})$
$= (12 \times 5) + (9 \sqrt{10}) - (20 \sqrt{10}) - (15 \times 2)$
$= 60 + 9 \sqrt{10} - 20 \sqrt{10} - 30$
$= (60 - 30) + (9 \sqrt{10} - 20 \sqrt{10})$
$= 30 - 11 \sqrt{10}$

(B) $\frac{6}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}$ को हल करने के लिए,हम हर का परिमेयकरण करेंगे,जिसके लिए अंश और हर को $(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{6}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}} = \frac{6(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}$
सर्वसमिका $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ का उपयोग करते हुए,हर $(3 \sqrt{2})^2 - (2 \sqrt{3})^2 = (9 \times 2) - (4 \times 3) = 18 - 12 = 6$ हो जाता है।
अतः,व्यंजक का सरलीकरण $\frac{6(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{6} = 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए समीकरण $3 \sqrt{2} - a \sqrt{3} = 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $-a \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $-\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर,हमें $a = -2$ प्राप्त होता है।

(N/A) $(i)$ $(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2}) = 3(2+\sqrt{2}) + \sqrt{3}(2+\sqrt{2})$
$= 6 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{6}$
$(ii)$ सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए:
$(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3}) = (3)^2 - (\sqrt{3})^2 = 9 - 3 = 6$
$(iii)$ सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करते हुए:
$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{2}) = 5 + 2 + 2\sqrt{10} = 7 + 2\sqrt{10}$
$(iv)$ सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए:
$(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

(N/A) $(i)$ $\frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{1 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$
$(ii)$ $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}} = \frac{1 \times (\sqrt{7}+\sqrt{6})}{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{7-6} = \sqrt{7}+\sqrt{6}$
$(iii)$ $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$
$(iv)$ $\frac{1}{\sqrt{7}-2} = \frac{1 \times (\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)} = \frac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7})^2 - (2)^2} = \frac{\sqrt{7}+2}{7-4} = \frac{\sqrt{7}+2}{3}$

(A) $\frac{5}{7}$ और $\frac{6}{7}$ के बीच तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों भिन्नों के अंश और हर को $(3+1) = 4$ या $10$ जैसी किसी बड़ी संख्या से गुणा कर सकते हैं।
$10$ से गुणा करने पर:
$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 10}{7 \times 10} = \frac{50}{70}$
$\frac{6}{7} = \frac{6 \times 10}{7 \times 10} = \frac{60}{70}$
अब,हम $\frac{50}{70}$ और $\frac{60}{70}$ के बीच कोई भी तीन परिमेय संख्याएँ चुन सकते हैं,जैसे $\frac{51}{70}, \frac{52}{70}, \text{ और } \frac{53}{70}$।
अतः,$\frac{5}{7}$ और $\frac{6}{7}$ के बीच तीन परिमेय संख्याएँ $\frac{51}{70}, \frac{52}{70}, \text{ और } \frac{53}{70}$ हैं।

(C) व्यंजक $\sqrt{45}-3 \sqrt{20}+4 \sqrt{5}$ को सरल करने के लिए,हम पहले वर्गमूल के अंदर की संख्याओं का गुणनखंड करेंगे:
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3 \sqrt{5}$
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5}$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$3 \sqrt{5} - 3(2 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5}$
$= 3 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5}$
$= (3 - 6 + 4) \sqrt{5}$
$= 1 \sqrt{5} = \sqrt{5}$

(D) सबसे पहले,वर्गमूल का सरलीकरण करें:
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2 \sqrt{6}$
$\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3 \sqrt{6}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$\frac{2 \sqrt{6}}{8} + \frac{3 \sqrt{6}}{9} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{3}$
समान हर प्राप्त करें,जो $12$ है:
$\frac{3 \sqrt{6}}{12} + \frac{4 \sqrt{6}}{12} = \frac{3 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6}}{12} = \frac{7 \sqrt{6}}{12}$

(A) व्यंजक $4 \sqrt{12} \times 7 \sqrt{6}$ को सरल करने के लिए,हम पहले वर्गमूल के अंदर की संख्याओं का गुणनखंड करेंगे:
$4 \sqrt{12} = 4 \sqrt{4 \times 3} = 4 \times 2 \sqrt{3} = 8 \sqrt{3}$
$7 \sqrt{6} = 7 \sqrt{2 \times 3}$
अब,दोनों व्यंजकों का गुणा करें:
$8 \sqrt{3} \times 7 \sqrt{2 \times 3} = (8 \times 7) \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) \times \sqrt{2}$
$= 56 \times 3 \times \sqrt{2}$
$= 168 \sqrt{2}$

(B) व्यंजक $4 \sqrt{28} \div 3 \sqrt{7}$ को सरल करने के लिए,सबसे पहले भाग को भिन्न के रूप में लिखते हैं:
$\frac{4 \sqrt{28}}{3 \sqrt{7}}$
अब,$28$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए इसके गुणनखंड करते हैं,$28 = 4 \times 7$:
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2 \sqrt{7}$
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{4 \times (2 \sqrt{7})}{3 \sqrt{7}}$
अंश और हर से समान पद $\sqrt{7}$ को काटने पर:
$\frac{4 \times 2}{3} = \frac{8}{3}$

(B) दी गई व्यंजक: $3 \sqrt{3}+2 \sqrt{27}+\frac{7}{\sqrt{3}}$
सबसे पहले,$\sqrt{27}$ का सरलीकरण करें:
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3 \sqrt{3}$
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$=3 \sqrt{3}+2(3 \sqrt{3})+\frac{7}{\sqrt{3}}$
$=3 \sqrt{3}+6 \sqrt{3}+\frac{7}{\sqrt{3}}$
तीसरे पद के हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{7 \sqrt{3}}{3}$
अब पदों को जोड़ने पर:
$=3 \sqrt{3}+6 \sqrt{3}+\frac{7 \sqrt{3}}{3}$
$=9 \sqrt{3}+\frac{7 \sqrt{3}}{3}$
$= \sqrt{3} \left(9+\frac{7}{3}\right)$
$= \sqrt{3} \left(\frac{27+7}{3}\right)$
$= \frac{34}{3} \sqrt{3}$

(D) व्यंजक $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$ को सरल करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a-b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = \sqrt{3}$ और $b = \sqrt{2}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2} = (\sqrt{3})^{2} + (\sqrt{2})^{2} - 2(\sqrt{3})(\sqrt{2})$
चूंकि $(\sqrt{x})^{2} = x$ और $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ होता है:
$= 3 + 2 - 2\sqrt{3 \times 2}$
$= 5 - 2\sqrt{6}$

(A) व्यंजक $\sqrt[4]{81}-8 \sqrt[3]{216}+15 \sqrt[5]{32}+\sqrt{225}$ को सरल करने के लिए,हम प्रत्येक पद का मान ज्ञात करेंगे:
$1$. $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^{4}} = 3$
$2$. $\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{6^{3}} = 6$,अतः $8 \sqrt[3]{216} = 8 \times 6 = 48$
$3$. $\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^{5}} = 2$,अतः $15 \sqrt[5]{32} = 15 \times 2 = 30$
$4$. $\sqrt{225} = \sqrt{15^{2}} = 15$
इन मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$3 - 48 + 30 + 15$
$= (3 + 30 + 15) - 48$
$= 48 - 48 = 0$

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{3}{\sqrt{8}} + \frac{1}{\sqrt{2}}$
सबसे पहले,$\sqrt{8}$ को $\sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ के रूप में सरल करें।
इस मान को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इन भिन्नों को जोड़ने के लिए,उभयनिष्ठ हर (common denominator) $2\sqrt{2}$ प्राप्त करें।
$\frac{3}{2\sqrt{2}} + \frac{1 \times 2}{\sqrt{2} \times 2} = \frac{3}{2\sqrt{2}} + \frac{2}{2\sqrt{2}}$।
$= \frac{3 + 2}{2\sqrt{2}} = \frac{5}{2\sqrt{2}}$।
हर का परिमेयकरण (rationalization) करने के लिए अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करें:
$= \frac{5 \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2 \times 2} = \frac{5\sqrt{2}}{4}$।

(C) व्यंजक $\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6}$ को सरल करने के लिए,हम पहले भिन्नों के लिए एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करते हैं,जो $6$ है।
$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{2 \sqrt{3} \times 2}{3 \times 2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$
$= \frac{4 \sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{6}$
$= \frac{4 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{6}$
$= \frac{3 \sqrt{3}}{6}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}$

(D) $\frac{2}{3 \sqrt{3}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर दोनों को $\sqrt{3}$ से गुणा करेंगे:
$\frac{2}{3 \sqrt{3}} = \frac{2}{3 \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$= \frac{2 \sqrt{3}}{3 \times 3}$
$= \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

(A) $\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{3}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर दोनों को $\sqrt{3}$ से गुणा करेंगे।
$\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{40} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$
चूंकि $\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}$,इसलिए:
$= \frac{2\sqrt{10} \times \sqrt{3}}{3}$
$= \frac{2\sqrt{30}}{3}$

(B) $\frac{3+\sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर दोनों को $\sqrt{2}$ से गुणा करेंगे:
$\frac{3+\sqrt{2}}{4 \sqrt{2}} = \frac{3+\sqrt{2}}{4 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{2}(3+\sqrt{2})}{4 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2})}$
$= \frac{3 \sqrt{2} + 2}{4 \times 2}$
$= \frac{3 \sqrt{2} + 2}{8}$

(C) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\sqrt{41}+5)$ से गुणा करें।
$\frac{16}{\sqrt{41}-5} = \frac{16}{\sqrt{41}-5} \times \frac{\sqrt{41}+5}{\sqrt{41}+5}$
हर में सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{16(\sqrt{41}+5)}{(\sqrt{41})^2 - (5)^2}$
$= \frac{16(\sqrt{41}+5)}{41 - 25}$
$= \frac{16(\sqrt{41}+5)}{16}$
$= \sqrt{41}+5$

(D) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(2+\sqrt{3})$ से गुणा करें।
$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$
हर में $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ और अंश में $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \frac{(2+\sqrt{3})^2}{2^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{2^2 + (\sqrt{3})^2 + 2(2)(\sqrt{3})}{4 - 3}$
$= \frac{4 + 3 + 4\sqrt{3}}{1}$
$= 7 + 4\sqrt{3}$

(A) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\sqrt{2}-\sqrt{3})$ से गुणा करें:
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$
हर में $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \frac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{\sqrt{12} - \sqrt{18}}{2 - 3}$
$= \frac{\sqrt{12} - \sqrt{18}}{-1}$
$= \sqrt{18} - \sqrt{12}$
$= \sqrt{9 \times 2} - \sqrt{4 \times 3}$
$= 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$

(B) हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) $(\sqrt{3}+\sqrt{2})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
हर में $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ और अंश में $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{3 + 2 + 2\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{3 - 2}$
$= \frac{5 + 2\sqrt{6}}{1}$
$= 5 + 2\sqrt{6}$

(C) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\sqrt{5}+\sqrt{3})$ से गुणा करें।
$\frac{3 \sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
$= \frac{3(\sqrt{5})^2 + 3\sqrt{15} + \sqrt{15} + (\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{3(5) + 4\sqrt{15} + 3}{5 - 3}$
$= \frac{15 + 4\sqrt{15} + 3}{2}$
$= \frac{18 + 4\sqrt{15}}{2}$
$= \frac{2(9 + 2\sqrt{15})}{2}$
$= 9 + 2\sqrt{15}$

(D) दी गई व्यंजक: $\frac{4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}}{\sqrt{48}+\sqrt{18}}$
हर को सरल करने पर: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4 \sqrt{3}$ और $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3 \sqrt{2}$.
अतः,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $\frac{4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}}{4 \sqrt{3}+3 \sqrt{2}}$.
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})$ से गुणा करें:
$= \frac{(4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})}{(4 \sqrt{3}+3 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})}$
$= \frac{(4 \sqrt{3})^2 - (4 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}) + (5 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}) - (5 \sqrt{2})(3 \sqrt{2})}{(4 \sqrt{3})^2 - (3 \sqrt{2})^2}$
$= \frac{48 - 12 \sqrt{6} + 20 \sqrt{6} - 30}{48 - 18}$
$= \frac{18 + 8 \sqrt{6}}{30}$
अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{9 + 4 \sqrt{6}}{15}$

(A) व्यंजक को हल करने के लिए,हम हर का परिमेयकरण करेंगे। इसके लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी $(7-4 \sqrt{3})$ से गुणा करेंगे।
$L.H.S. = \frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}} \times \frac{7-4 \sqrt{3}}{7-4 \sqrt{3}}$
$= \frac{(5+2 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}{(7)^2 - (4 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{35 - 20 \sqrt{3} + 14 \sqrt{3} - 24}{49 - 48}$
$= \frac{11 - 6 \sqrt{3}}{1} = 11 - 6 \sqrt{3}$
दिया गया है कि $11 - 6 \sqrt{3} = a - 6 \sqrt{3}$,दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $a = 11$ प्राप्त होता है।

(NONE) व्यंजक को हल करने के लिए,हम हर का परिमेयकरण (rationalization) करते हैं:
$L.H.S. = \frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}} \times \frac{3-2 \sqrt{5}}{3-2 \sqrt{5}}$
$= \frac{9 - 6\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 2(5)}{3^2 - (2\sqrt{5})^2}$
$= \frac{9 - 9\sqrt{5} + 10}{9 - 20} = \frac{19 - 9\sqrt{5}}{-11}$
$= -\frac{19}{11} + \frac{9}{11}\sqrt{5}$
इसकी तुलना $a\sqrt{5} - \frac{19}{11}$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a\sqrt{5} - \frac{19}{11} = \frac{9}{11}\sqrt{5} - \frac{19}{11}$
अतः,$a = \frac{9}{11}$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}} = 2 - b\sqrt{6}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को $(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$ से गुणा करें:
$= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}$
$= \frac{3(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} + 2(\sqrt{3})^2}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2}$
$= \frac{3(2) + 5\sqrt{6} + 2(3)}{18 - 12}$
$= \frac{6 + 5\sqrt{6} + 6}{6} = \frac{12 + 5\sqrt{6}}{6} = 2 + \frac{5}{6}\sqrt{6}$
$2 + \frac{5}{6}\sqrt{6}$ की तुलना $2 - b\sqrt{6}$ से करने पर:
$-b = \frac{5}{6} \Rightarrow b = -\frac{5}{6}$

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{7+\sqrt{5}}{7-\sqrt{5}}-\frac{7-\sqrt{5}}{7+\sqrt{5}}=a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
हरों का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{(7+\sqrt{5})^2}{(7-\sqrt{5})(7+\sqrt{5})} - \frac{(7-\sqrt{5})^2}{(7+\sqrt{5})(7-\sqrt{5})} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$ और $(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab$ का उपयोग करने पर:
$\frac{49+5+14\sqrt{5}}{49-5} - \frac{49+5-14\sqrt{5}}{49-5} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
$\frac{54+14\sqrt{5}}{44} - \frac{54-14\sqrt{5}}{44} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
$\frac{54+14\sqrt{5}-54+14\sqrt{5}}{44} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
$\frac{28\sqrt{5}}{44} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
भिन्न $\frac{28}{44}$ को $4$ से विभाजित करके सरल करने पर:
$\frac{7\sqrt{5}}{11} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $a=0$ और $b=1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $a = 2 + \sqrt{3}$।
सबसे पहले,हर का परिमेयकरण करके $\frac{1}{a}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\frac{1}{a} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$
अंश और हर को संयुग्मी $(2 - \sqrt{3})$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{a} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$
हर में सर्वसमिका $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{a} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2}$
$\frac{1}{a} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{2 - \sqrt{3}}{1} = 2 - \sqrt{3}$
अब,$a - \frac{1}{a}$ की गणना करते हैं:
$a - \frac{1}{a} = (2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})$
$a - \frac{1}{a} = 2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3}$
$a - \frac{1}{a} = 2\sqrt{3}$

(B) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $\sqrt{3}$ से गुणा करें:
$\frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$= \frac{4\sqrt{3}}{3}$
$\sqrt{3} = 1.732$ का मान रखने पर:
$= \frac{4 \times 1.732}{3}$
$= \frac{6.928}{3}$
$= 2.309$

(C) $\frac{6}{\sqrt{6}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को $\sqrt{6}$ से गुणा करते हैं:
$\frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{6 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}$
हम जानते हैं कि $\sqrt{6} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{2} \times \sqrt{3}$ होता है।
दिया गया है कि $\sqrt{2} = 1.414$ और $\sqrt{3} = 1.732$,इसलिए:
$\sqrt{6} = 1.414 \times 1.732 = 2.449048$
दशमलव के तीन स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $2.449$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई व्यंजक: $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{2}$
चरण $1$: अंश से $\sqrt{5}$ को उभयनिष्ठ (common) लेकर सरल करें:
$\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{2} - \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{2}-1)}{2}$
चरण $2$: दिए गए मान $\sqrt{5} = 2.236$ और $\sqrt{2} = 1.414$ प्रतिस्थापित करें:
$= \frac{2.236(1.414 - 1)}{2}$
चरण $3$: कोष्ठक के अंदर घटाव करें:
$= \frac{2.236(0.414)}{2}$
चरण $4$: $2.236$ को $2$ से विभाजित करें:
$= 1.118 \times 0.414$
चरण $5$: मानों का गुणा करें:
$= 0.462852$
दशमलव के तीन स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.463$ प्राप्त होता है।

(A) $\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(2-\sqrt{2})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \times \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$
हर में $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{(2)^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{2\sqrt{2} - 2}{4 - 2}$
$= \frac{2\sqrt{2} - 2}{2}$
$= \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{2}$
$= \sqrt{2} - 1$
चूंकि $\sqrt{2} = 1.414$ दिया गया है,मान रखने पर:
$= 1.414 - 1 = 0.414$