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Real Numbers and their Decimal Expansions Questions in Hindi
Class 9 Mathematics · Number Systems · Real Numbers and their Decimal Expansions
70+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 70 questions in Hindi
1
Medium
$\frac{10}{3}$,$\frac{7}{8}$ और $\frac{1}{7}$ के दशमलव प्रसार ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) $\frac{10}{3} = 3.333... = 3.\overline{3}$ के लिए,शेषफल हमेशा $1$ रहता है,जो पुनरावृत्त होता है। भाजक $3$ है।
$\frac{7}{8} = 0.875$ के लिए,निश्चित चरणों के बाद शेषफल $0$ हो जाता है। भाजक $8$ है।
$\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ के लिए,शेषफल $3, 2, 6, 4, 5, 1$ हैं जो पुनरावृत्त होते हैं। भाजक $7$ है।
अवलोकन:
$(i)$ शेषफल या तो एक निश्चित चरण के बाद $0$ हो जाते हैं,या स्वयं को दोहराने लगते हैं।
$(ii)$ शेषफल की पुनरावृत्त श्रृंखला में प्रविष्टियों की संख्या भाजक से कम होती है।
$(iii)$ यदि शेषफल पुनरावृत्त होते हैं,तो हमें भागफल में अंकों का एक पुनरावृत्त खंड प्राप्त होता है।
$\frac{7}{8} = 0.875$ के लिए,निश्चित चरणों के बाद शेषफल $0$ हो जाता है। भाजक $8$ है।
$\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ के लिए,शेषफल $3, 2, 6, 4, 5, 1$ हैं जो पुनरावृत्त होते हैं। भाजक $7$ है।
अवलोकन:
$(i)$ शेषफल या तो एक निश्चित चरण के बाद $0$ हो जाते हैं,या स्वयं को दोहराने लगते हैं।
$(ii)$ शेषफल की पुनरावृत्त श्रृंखला में प्रविष्टियों की संख्या भाजक से कम होती है।
$(iii)$ यदि शेषफल पुनरावृत्त होते हैं,तो हमें भागफल में अंकों का एक पुनरावृत्त खंड प्राप्त होता है।
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दिखाइए कि $3.142678$ एक परिमेय संख्या है। दूसरे शब्दों में,$3.142678$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \ne 0$ है।
Solution
(N/A) एक संख्या परिमेय होती है यदि उसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \ne 0$ है।
दी गई संख्या $3.142678$ में दशमलव बिंदु को हटाने के लिए हम इसे $10$ की उपयुक्त घात से विभाजित करेंगे।
चूंकि दशमलव बिंदु के बाद $6$ अंक हैं,इसलिए हम इसे $1,000,000$ से गुणा और भाग करेंगे।
$3.142678 = \frac{3142678}{1000000}$.
इस भिन्न को इसके महत्तम समापवर्तक (म.स.),जो कि $2$ है,से विभाजित करके सरल किया जा सकता है।
$\frac{3142678 \div 2}{1000000 \div 2} = \frac{1571339}{500000}$.
चूंकि $1571339$ और $500000$ पूर्णांक हैं और $500000 \ne 0$ है,इसलिए $3.142678$ एक परिमेय संख्या है।
दी गई संख्या $3.142678$ में दशमलव बिंदु को हटाने के लिए हम इसे $10$ की उपयुक्त घात से विभाजित करेंगे।
चूंकि दशमलव बिंदु के बाद $6$ अंक हैं,इसलिए हम इसे $1,000,000$ से गुणा और भाग करेंगे।
$3.142678 = \frac{3142678}{1000000}$.
इस भिन्न को इसके महत्तम समापवर्तक (म.स.),जो कि $2$ है,से विभाजित करके सरल किया जा सकता है।
$\frac{3142678 \div 2}{1000000 \div 2} = \frac{1571339}{500000}$.
चूंकि $1571339$ और $500000$ पूर्णांक हैं और $500000 \ne 0$ है,इसलिए $3.142678$ एक परिमेय संख्या है।
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दिखाइए कि $0.3333... = 0.\overline{3}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \ne 0$ है।
Solution
(N/A) माना $x = 0.3333...$ (समीकरण $1$)।
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 3.3333...$ (समीकरण $2$)।
चूँकि $x = 0.3333...$,हम $10x = 3 + 0.3333... = 3 + x$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर:
$10x - x = 3$
$9x = 3$
$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$।
अतः,$0.\overline{3}$ को $\frac{1}{3}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p = 1$ और $q = 3$ पूर्णांक हैं और $q \ne 0$ है।
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 3.3333...$ (समीकरण $2$)।
चूँकि $x = 0.3333...$,हम $10x = 3 + 0.3333... = 3 + x$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर:
$10x - x = 3$
$9x = 3$
$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$।
अतः,$0.\overline{3}$ को $\frac{1}{3}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p = 1$ और $q = 3$ पूर्णांक हैं और $q \ne 0$ है।
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दर्शाइए कि $1.272727 \ldots = 1.\overline{27}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
Solution
(C) माना $x = 1.272727 \ldots$
चूँकि दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए हम $x$ को $100$ से गुणा करते हैं:
$100x = 127.2727 \ldots$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$100x = 126 + 1.272727 \ldots$
चूँकि $x = 1.272727 \ldots$,इसलिए समीकरण में $x$ का मान रखने पर:
$100x = 126 + x$
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर:
$100x - x = 126$
$99x = 126$
$x = \frac{126}{99}$
अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक $9$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{14}{11}$
अतः,$1.\overline{27} = \frac{14}{11}$,जहाँ $p = 14$ और $q = 11$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
चूँकि दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए हम $x$ को $100$ से गुणा करते हैं:
$100x = 127.2727 \ldots$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$100x = 126 + 1.272727 \ldots$
चूँकि $x = 1.272727 \ldots$,इसलिए समीकरण में $x$ का मान रखने पर:
$100x = 126 + x$
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर:
$100x - x = 126$
$99x = 126$
$x = \frac{126}{99}$
अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक $9$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{14}{11}$
अतः,$1.\overline{27} = \frac{14}{11}$,जहाँ $p = 14$ और $q = 11$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
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Medium
दर्शाइए कि $0.2353535 \ldots = 0.2 \overline{35}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
Solution
(N/A) माना $x = 0.2 \overline{35}$ है।
यहाँ,अंक $2$ की पुनरावृत्ति नहीं हो रही है,लेकिन $35$ ब्लॉक की पुनरावृत्ति हो रही है।
चूँकि दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,हम $x$ को $100$ से गुणा करते हैं:
$100x = 23.53535 \ldots$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$100x = 23.3 + 0.23535 \ldots$
चूँकि $x = 0.23535 \ldots$,हम समीकरण में $x$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$100x = 23.3 + x$
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर:
$99x = 23.3$
दशमलव को भिन्न में बदलने पर:
$99x = \frac{233}{10}$
$99$ से भाग देने पर:
$x = \frac{233}{990}$
अतः,$0.2 \overline{35} = \frac{233}{990}$.
यहाँ,अंक $2$ की पुनरावृत्ति नहीं हो रही है,लेकिन $35$ ब्लॉक की पुनरावृत्ति हो रही है।
चूँकि दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,हम $x$ को $100$ से गुणा करते हैं:
$100x = 23.53535 \ldots$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$100x = 23.3 + 0.23535 \ldots$
चूँकि $x = 0.23535 \ldots$,हम समीकरण में $x$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$100x = 23.3 + x$
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर:
$99x = 23.3$
दशमलव को भिन्न में बदलने पर:
$99x = \frac{233}{10}$
$99$ से भाग देने पर:
$x = \frac{233}{990}$
अतः,$0.2 \overline{35} = \frac{233}{990}$.
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View Solution6
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निम्नलिखित को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है:
$(i)$ $\frac{36}{100}$
$(ii)$ $\frac{1}{11}$
$(iii)$ $4 \frac{1}{8}$
$(iv)$ $\frac{3}{13}$
$(v)$ $\frac{2}{11}$
$(vi)$ $\frac{329}{400}$
$(i)$ $\frac{36}{100}$
$(ii)$ $\frac{1}{11}$
$(iii)$ $4 \frac{1}{8}$
$(iv)$ $\frac{3}{13}$
$(v)$ $\frac{2}{11}$
$(vi)$ $\frac{329}{400}$
Solution
(N/A) $(i)$ $\frac{36}{100} = 0.36$। यह एक सांत दशमलव प्रसार है।
$(ii)$ $\frac{1}{11} = 0.090909 \ldots = 0.\overline{09}$। यह एक अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) दशमलव प्रसार है।
$(iii)$ $4 \frac{1}{8} = \frac{33}{8} = 4.125$। यह एक सांत दशमलव प्रसार है।
$(iv)$ $\frac{3}{13} = 0.230769230769 \ldots = 0.\overline{230769}$। यह एक अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार है।
$(v)$ $\frac{2}{11} = 0.18181818 \ldots = 0.\overline{18}$। यह एक अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार है।
$(vi)$ $\frac{329}{400} = 0.8225$। यह एक सांत दशमलव प्रसार है।
$(ii)$ $\frac{1}{11} = 0.090909 \ldots = 0.\overline{09}$। यह एक अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) दशमलव प्रसार है।
$(iii)$ $4 \frac{1}{8} = \frac{33}{8} = 4.125$। यह एक सांत दशमलव प्रसार है।
$(iv)$ $\frac{3}{13} = 0.230769230769 \ldots = 0.\overline{230769}$। यह एक अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार है।
$(v)$ $\frac{2}{11} = 0.18181818 \ldots = 0.\overline{18}$। यह एक अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार है।
$(vi)$ $\frac{329}{400} = 0.8225$। यह एक सांत दशमलव प्रसार है।
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आप जानते हैं कि $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ है। क्या आप बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए यह बता सकते हैं कि $\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$ के दशमलव प्रसार क्या हैं? यदि हाँ,तो कैसे?
Solution
(N/A) हमें दिया गया है कि $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ है।
बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए दी गई भिन्नों के दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{1}{7}$ के मान को संबंधित अंशों से गुणा करते हैं:
$\frac{2}{7} = 2 \times \frac{1}{7} = 2 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{285714}$
$\frac{3}{7} = 3 \times \frac{1}{7} = 3 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{428571}$
$\frac{4}{7} = 4 \times \frac{1}{7} = 4 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{571428}$
$\frac{5}{7} = 5 \times \frac{1}{7} = 5 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{714285}$
$\frac{6}{7} = 6 \times \frac{1}{7} = 6 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{857142}$
इस प्रकार,$\frac{1}{7}$ के दशमलव प्रसार को संबंधित अंशों से गुणा करके,हम बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए इन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार निर्धारित कर सकते हैं।
बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए दी गई भिन्नों के दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{1}{7}$ के मान को संबंधित अंशों से गुणा करते हैं:
$\frac{2}{7} = 2 \times \frac{1}{7} = 2 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{285714}$
$\frac{3}{7} = 3 \times \frac{1}{7} = 3 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{428571}$
$\frac{4}{7} = 4 \times \frac{1}{7} = 4 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{571428}$
$\frac{5}{7} = 5 \times \frac{1}{7} = 5 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{714285}$
$\frac{6}{7} = 6 \times \frac{1}{7} = 6 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{857142}$
इस प्रकार,$\frac{1}{7}$ के दशमलव प्रसार को संबंधित अंशों से गुणा करके,हम बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए इन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार निर्धारित कर सकते हैं।
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Medium
निम्नलिखित को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \ne 0$.
$(i)$ $0.\overline{6}$
$(ii)$ $0.4\overline{7}$
$(iii)$ $0.\overline{001}$
$(i)$ $0.\overline{6}$
$(ii)$ $0.4\overline{7}$
$(iii)$ $0.\overline{001}$
Solution
(N/A) $(i)$ माना $x = 0.\overline{6} = 0.6666\ldots$
चूँकि एक अंक की पुनरावृत्ति हो रही है,दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 6.6666\ldots$
$10x$ में से $x$ घटाने पर:
$10x - x = 6.6666\ldots - 0.6666\ldots$
$9x = 6$
$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
अतः,$0.\overline{6} = \frac{2}{3}$.
$(ii)$ माना $x = 0.4\overline{7} = 0.4777\ldots$
$10$ से गुणा करने पर:
$10x = 4.777\ldots$ $(1)$
$100$ से गुणा करने पर:
$100x = 47.777\ldots$ $(2)$
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर:
$100x - 10x = 47.777\ldots - 4.777\ldots$
$90x = 43$
$x = \frac{43}{90}$
अतः,$0.4\overline{7} = \frac{43}{90}$.
$(iii)$ माना $x = 0.\overline{001} = 0.001001\ldots$ $(1)$
चूँकि तीन अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,$1000$ से गुणा करने पर:
$1000x = 1.001001\ldots$ $(2)$
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर:
$1000x - x = 1.001001\ldots - 0.001001\ldots$
$999x = 1$
$x = \frac{1}{999}$
अतः,$0.\overline{001} = \frac{1}{999}$.
चूँकि एक अंक की पुनरावृत्ति हो रही है,दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 6.6666\ldots$
$10x$ में से $x$ घटाने पर:
$10x - x = 6.6666\ldots - 0.6666\ldots$
$9x = 6$
$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
अतः,$0.\overline{6} = \frac{2}{3}$.
$(ii)$ माना $x = 0.4\overline{7} = 0.4777\ldots$
$10$ से गुणा करने पर:
$10x = 4.777\ldots$ $(1)$
$100$ से गुणा करने पर:
$100x = 47.777\ldots$ $(2)$
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर:
$100x - 10x = 47.777\ldots - 4.777\ldots$
$90x = 43$
$x = \frac{43}{90}$
अतः,$0.4\overline{7} = \frac{43}{90}$.
$(iii)$ माना $x = 0.\overline{001} = 0.001001\ldots$ $(1)$
चूँकि तीन अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,$1000$ से गुणा करने पर:
$1000x = 1.001001\ldots$ $(2)$
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर:
$1000x - x = 1.001001\ldots - 0.001001\ldots$
$999x = 1$
$x = \frac{1}{999}$
अतः,$0.\overline{001} = \frac{1}{999}$.
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Medium
$0.99999 \ldots$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित हैं? अपने शिक्षक और सहपाठियों के साथ चर्चा कीजिए कि यह उत्तर तर्कसंगत क्यों है।
Solution
(A) माना $x = 0.9999 \ldots$ $(1)$
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$10x = 9.9999 \ldots$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$10x - x = (9.9999 \ldots) - (0.9999 \ldots)$
$9x = 9$
$x = \frac{9}{9} = 1$
अतः,$0.9999 \ldots = 1$ है।
चूंकि $0.9999 \ldots$ अनंत तक चलता रहता है,इसलिए $1$ और $0.9999 \ldots$ के बीच कोई अंतर नहीं है। अतः,दोनों बराबर हैं।
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$10x = 9.9999 \ldots$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$10x - x = (9.9999 \ldots) - (0.9999 \ldots)$
$9x = 9$
$x = \frac{9}{9} = 1$
अतः,$0.9999 \ldots = 1$ है।
चूंकि $0.9999 \ldots$ अनंत तक चलता रहता है,इसलिए $1$ और $0.9999 \ldots$ के बीच कोई अंतर नहीं है। अतः,दोनों बराबर हैं।
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MediumMCQ
$\frac{1}{17}$ के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है?
A
$16$
B
$17$
C
$15$
D
$18$
Solution
(A) किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ के दशमलव प्रसार में,अंकों के पुनरावृत्ति खंड (repeating block) में प्रविष्टियों की संख्या हमेशा भाजक $q$ से कम होती है।
यहाँ भिन्न $\frac{1}{17}$ में,भाजक $17$ है।
इसलिए,पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या $17 - 1 = 16$ हो सकती है।
लंबी विभाजन प्रक्रिया द्वारा,हम पाते हैं:
$\frac{1}{17} = 0.\overline{0588235294117647}$
अतः,$\frac{1}{17}$ के दशमलव प्रसार में पुनरावृत्ति खंड में $16$ अंक हैं।
यहाँ भिन्न $\frac{1}{17}$ में,भाजक $17$ है।
इसलिए,पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या $17 - 1 = 16$ हो सकती है।
लंबी विभाजन प्रक्रिया द्वारा,हम पाते हैं:
$\frac{1}{17} = 0.\overline{0588235294117647}$
अतः,$\frac{1}{17}$ के दशमलव प्रसार में पुनरावृत्ति खंड में $16$ अंक हैं।
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Difficult
$\frac{p}{q}$ $(q \neq 0)$ के रूप वाली परिमेय संख्याओं के कई उदाहरण देखिए,जहाँ $p$ और $q$ ऐसे पूर्णांक हैं जिनका $1$ के अतिरिक्त कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है और जिनका दशमलव निरूपण शांत है। क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि $q$ को कौन सा गुण संतुष्ट करना चाहिए?
Solution
(N/A) आइए निम्नलिखित शांत दशमलव परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार की जाँच करें:
$\frac{3}{2} = \frac{3 \times 5}{2 \times 5} = \frac{15}{10} = 1.5$ [हर $= 2 = 2^1$]
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10} = 0.2$ [हर $= 5 = 5^1$]
$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 125}{8 \times 125} = \frac{875}{1000} = 0.875$ [हर $= 8 = 2^3$]
$\frac{8}{125} = \frac{8 \times 8}{125 \times 8} = \frac{64}{1000} = 0.064$ [हर $= 125 = 5^3$]
$\frac{13}{20} = \frac{13 \times 5}{20 \times 5} = \frac{65}{100} = 0.65$ [हर $= 20 = 2^2 \times 5^1$]
$\frac{17}{16} = \frac{17 \times 625}{16 \times 625} = \frac{10625}{10000} = 1.0625$ [हर $= 16 = 2^4$]
हम देखते हैं कि $q$ (अर्थात हर) के अभाज्य गुणनखंडन में केवल $2$ की घातें,$5$ की घातें,या दोनों की घातें होती हैं। अतः,$q$ को $2^n \times 5^m$ के रूप में होना चाहिए,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।
$\frac{3}{2} = \frac{3 \times 5}{2 \times 5} = \frac{15}{10} = 1.5$ [हर $= 2 = 2^1$]
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10} = 0.2$ [हर $= 5 = 5^1$]
$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 125}{8 \times 125} = \frac{875}{1000} = 0.875$ [हर $= 8 = 2^3$]
$\frac{8}{125} = \frac{8 \times 8}{125 \times 8} = \frac{64}{1000} = 0.064$ [हर $= 125 = 5^3$]
$\frac{13}{20} = \frac{13 \times 5}{20 \times 5} = \frac{65}{100} = 0.65$ [हर $= 20 = 2^2 \times 5^1$]
$\frac{17}{16} = \frac{17 \times 625}{16 \times 625} = \frac{10625}{10000} = 1.0625$ [हर $= 16 = 2^4$]
हम देखते हैं कि $q$ (अर्थात हर) के अभाज्य गुणनखंडन में केवल $2$ की घातें,$5$ की घातें,या दोनों की घातें होती हैं। अतः,$q$ को $2^n \times 5^m$ के रूप में होना चाहिए,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।
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View Solution12
Medium
संख्या रेखा पर $5$ दशमलव स्थानों तक,अर्थात $5.37777$ तक $5.3\overline{7}$ का निरूपण दर्शाइए।
Solution
(N/A) संख्या रेखा पर $5$ दशमलव स्थानों तक $5.3\overline{7}$ को देखने के लिए,हम उत्तरोत्तर आवर्धन (successive magnification) की प्रक्रिया का उपयोग करते हैं:
$1$. हम जानते हैं कि $5.3\overline{7}$,$5$ और $6$ के बीच स्थित है। हम $5$ और $6$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं और $5.3$ तथा $5.4$ को चिह्नित करते हैं। $5.3\overline{7}$,$5.3$ और $5.4$ के बीच स्थित है [चित्र $(i)$]।
$2$. इसके बाद,हम $5.3$ और $5.4$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $5.37$ और $5.38$ को चिह्नित करते हैं। $5.3\overline{7}$,$5.37$ और $5.38$ के बीच स्थित है [चित्र $(ii)$]।
$3$. फिर हम $5.37$ और $5.38$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $5.377$ और $5.378$ को चिह्नित करते हैं। $5.3\overline{7}$,$5.377$ और $5.378$ के बीच स्थित है [चित्र $(iii)$]।
$4$. अंत में,हम $5.377$ और $5.378$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $5.3777$ और $5.3778$ को चिह्नित करते हैं। इस भाग को आवर्धित करके,हम संख्या रेखा पर $5.37777$ का निरूपण कर सकते हैं [चित्र $(iv)$] ।
$1$. हम जानते हैं कि $5.3\overline{7}$,$5$ और $6$ के बीच स्थित है। हम $5$ और $6$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं और $5.3$ तथा $5.4$ को चिह्नित करते हैं। $5.3\overline{7}$,$5.3$ और $5.4$ के बीच स्थित है [चित्र $(i)$]।
$2$. इसके बाद,हम $5.3$ और $5.4$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $5.37$ और $5.38$ को चिह्नित करते हैं। $5.3\overline{7}$,$5.37$ और $5.38$ के बीच स्थित है [चित्र $(ii)$]।
$3$. फिर हम $5.37$ और $5.38$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $5.377$ और $5.378$ को चिह्नित करते हैं। $5.3\overline{7}$,$5.377$ और $5.378$ के बीच स्थित है [चित्र $(iii)$]।
$4$. अंत में,हम $5.377$ और $5.378$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $5.3777$ और $5.3778$ को चिह्नित करते हैं। इस भाग को आवर्धित करके,हम संख्या रेखा पर $5.37777$ का निरूपण कर सकते हैं [चित्र $(iv)$] ।
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Medium
उत्तरोत्तर आवर्धन (successive magnification) का उपयोग करके संख्या रेखा पर $3.765$ को देखिए।
Solution
(N/A) $3.765$ संख्या $3$ और $4$ के बीच स्थित है।
आइए अंतराल $(3, 4)$ को $10$ बराबर भागों में विभाजित करें।
चूंकि $3.765$,$3.7$ और $3.8$ के बीच स्थित है,इसलिए हम अंतराल $[3.7, 3.8]$ को $10$ भागों में विभाजित करके आवर्धित करते हैं ताकि $3.76$ और $3.77$ के बीच की दूरी पर ध्यान केंद्रित किया जा सके।
संख्या $3.765$,$3.76$ और $3.77$ के बीच स्थित है। इसलिए,हम अंतराल $[3.76, 3.77]$ को और अधिक $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं।
अब,$3.765$ के संगत बिंदु को स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है,जैसा कि आवर्धन प्रक्रिया के अंतिम चरण में दिखाया गया है।
आइए अंतराल $(3, 4)$ को $10$ बराबर भागों में विभाजित करें।
चूंकि $3.765$,$3.7$ और $3.8$ के बीच स्थित है,इसलिए हम अंतराल $[3.7, 3.8]$ को $10$ भागों में विभाजित करके आवर्धित करते हैं ताकि $3.76$ और $3.77$ के बीच की दूरी पर ध्यान केंद्रित किया जा सके।
संख्या $3.765$,$3.76$ और $3.77$ के बीच स्थित है। इसलिए,हम अंतराल $[3.76, 3.77]$ को और अधिक $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं।
अब,$3.765$ के संगत बिंदु को स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है,जैसा कि आवर्धन प्रक्रिया के अंतिम चरण में दिखाया गया है।
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Medium
संख्या रेखा पर $4.\overline{26}$ को $4$ दशमलव स्थानों तक देखिए।
Solution
(N/A) हम उत्तरोत्तर आवर्धन (successive magnification) की प्रक्रिया का उपयोग करके संख्या रेखा पर $4.\overline{26}$ या $4.2626\ldots$ को देख सकते हैं।
$I$. संख्या $4.2626\ldots$ $4$ और $5$ के बीच स्थित है। हम अंतराल $[4, 5]$ को $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं और $4.2$ तथा $4.3$ को चिह्नित करते हैं।
$II$. संख्या $4.2626\ldots$ $4.2$ और $4.3$ के बीच स्थित है। हम अंतराल $[4.2, 4.3]$ को आवर्धित करते हैं और इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $4.26$ और $4.27$ को चिह्नित करते हैं।
$III$. संख्या $4.2626\ldots$ $4.26$ और $4.27$ के बीच स्थित है। हम अंतराल $[4.26, 4.27]$ को आवर्धित करते हैं और इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $4.262$ और $4.263$ को चिह्नित करते हैं।
$IV$. संख्या $4.2626\ldots$ $4.262$ और $4.263$ के बीच स्थित है। हम अंतराल $[4.262, 4.263]$ को आवर्धित करते हैं और इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं। अब हम संख्या रेखा पर $4.2626$ को देख सकते हैं।
$I$. संख्या $4.2626\ldots$ $4$ और $5$ के बीच स्थित है। हम अंतराल $[4, 5]$ को $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं और $4.2$ तथा $4.3$ को चिह्नित करते हैं।
$II$. संख्या $4.2626\ldots$ $4.2$ और $4.3$ के बीच स्थित है। हम अंतराल $[4.2, 4.3]$ को आवर्धित करते हैं और इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $4.26$ और $4.27$ को चिह्नित करते हैं।
$III$. संख्या $4.2626\ldots$ $4.26$ और $4.27$ के बीच स्थित है। हम अंतराल $[4.26, 4.27]$ को आवर्धित करते हैं और इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $4.262$ और $4.263$ को चिह्नित करते हैं।
$IV$. संख्या $4.2626\ldots$ $4.262$ और $4.263$ के बीच स्थित है। हम अंतराल $[4.262, 4.263]$ को आवर्धित करते हैं और इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं। अब हम संख्या रेखा पर $4.2626$ को देख सकते हैं।
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EasyMCQ
प्रत्येक परिमेय संख्या होती है
A
एक प्राकृत संख्या
B
एक वास्तविक संख्या
C
एक पूर्णांक
D
एक पूर्ण संख्या
Solution
(B) हम जानते हैं कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं से मिलकर बना होता है।
चूंकि प्रत्येक परिमेय संख्या वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में शामिल होती है,इसलिए प्रत्येक परिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
चूंकि प्रत्येक परिमेय संख्या वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में शामिल होती है,इसलिए प्रत्येक परिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
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EasyMCQ
एक परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण क्या नहीं हो सकता है?
A
सांत (Terminating)
B
अनंत आवर्ती (Non-terminating repeating)
C
अनंत परिमेय संख्याएँ हैं
D
अनंत अनावर्ती (Non-terminating,non-repeating)
Solution
(D) एक परिमेय संख्या को ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे $p/q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार हमेशा या तो सांत होता है या फिर अनंत आवर्ती होता है। एक अनंत अनावर्ती दशमलव प्रसार एक अपरिमेय संख्या का विशिष्ट गुण है। इसलिए,एक परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण अनंत अनावर्ती नहीं हो सकता है।
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MediumMCQ
$1.999...$ का मान $\frac{p}{q}$ के रूप में,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0,$ क्या होगा?
A
$\frac{19}{10}$
B
$2$
C
$\frac{1999}{1000}$
D
$\frac{1}{9}$
Solution
(B) माना $x = 1.999... = 1.\overline{9} \quad \dots(1)$
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 19.999... = 19.\overline{9} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$10x - x = 19.999... - 1.999...$
$9x = 18$
$9$ से भाग देने पर:
$x = \frac{18}{9} = 2$
चूंकि $2$ को $\frac{2}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $p=2$ और $q=1$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0,$ अतः मान $2$ है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही उत्तर है।
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 19.999... = 19.\overline{9} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$10x - x = 19.999... - 1.999...$
$9x = 18$
$9$ से भाग देने पर:
$x = \frac{18}{9} = 2$
चूंकि $2$ को $\frac{2}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $p=2$ और $q=1$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0,$ अतः मान $2$ है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही उत्तर है।
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Easy
निम्नलिखित संख्याओं को परिमेय या अपरिमेय के रूप में वर्गीकृत कीजिए और औचित्य बताइए:
$(i)$ $10.124124 \ldots$
$(ii)$ $1.010010001 \ldots$
$(i)$ $10.124124 \ldots$
$(ii)$ $1.010010001 \ldots$
Solution
(N/A) $(i)$ $10.124124 \ldots$ एक दशमलव प्रसार है जो अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) है। चूँकि जिस संख्या का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती होता है,उसे $p/q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(ii)$ $1.010010001 \ldots$ एक दशमलव प्रसार है जो अनवसानी अनावर्ती (non-terminating non-recurring) है। चूँकि इसे $p/q$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
$(ii)$ $1.010010001 \ldots$ एक दशमलव प्रसार है जो अनवसानी अनावर्ती (non-terminating non-recurring) है। चूँकि इसे $p/q$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
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MediumMCQ
$0.12 \overline{3}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
A
$\frac{47}{300}$
B
$\frac{37}{300}$
C
$\frac{57}{300}$
D
$\frac{67}{300}$
Solution
(B) माना $x = 0.12333\ldots$ (समीकरण $1$)
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए $10$ से गुणा करने पर: $10x = 1.2333\ldots$ (समीकरण $2$)
अनावर्ती भाग के बाद दशमलव बिंदु लाने के लिए समीकरण $1$ को $100$ से गुणा करने पर: $100x = 12.333\ldots$ (समीकरण $3$)
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$100x - 10x = 12.333\ldots - 1.2333\ldots$
$90x = 11.1$
$x = \frac{11.1}{90} = \frac{111}{900}$
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{111 \div 3}{900 \div 3} = \frac{37}{300}$
अतः,$0.12 \overline{3} = \frac{37}{300}$.
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए $10$ से गुणा करने पर: $10x = 1.2333\ldots$ (समीकरण $2$)
अनावर्ती भाग के बाद दशमलव बिंदु लाने के लिए समीकरण $1$ को $100$ से गुणा करने पर: $100x = 12.333\ldots$ (समीकरण $3$)
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$100x - 10x = 12.333\ldots - 1.2333\ldots$
$90x = 11.1$
$x = \frac{11.1}{90} = \frac{111}{900}$
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{111 \div 3}{900 \div 3} = \frac{37}{300}$
अतः,$0.12 \overline{3} = \frac{37}{300}$.
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EasyMCQ
$0.1$ और $0.11$ के बीच तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
A
$0.101, 0.102, 0.103$
B
$0.111, 0.112, 0.113$
C
$0.011, 0.012, 0.013$
D
$0.12, 0.13, 0.14$
Solution
(A) $0.1$ और $0.11$ के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम उन्हें अधिक अंकों वाले दशमलव के रूप में लिख सकते हैं।
$0.1 = 0.100$
$0.11 = 0.110$
अब,हम $0.100$ और $0.110$ के बीच की संख्याएँ आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।
ऐसी तीन परिमेय संख्याएँ $0.101, 0.102$ और $0.103$ हैं।
$0.1 = 0.100$
$0.11 = 0.110$
अब,हम $0.100$ और $0.110$ के बीच की संख्याएँ आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।
ऐसी तीन परिमेय संख्याएँ $0.101, 0.102$ और $0.103$ हैं।
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MediumMCQ
निम्नलिखित को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है :
$0.2$
$0.2$
A
$\frac{1}{6}$
B
$\frac{1}{5}$
C
$\frac{2}{5}$
D
$\frac{3}{5}$
Solution
(B) दशमलव संख्या $0.2$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$1$. दशमलव बिंदु के बाद एक अंक है,इसलिए इसे $10$ के हर के साथ एक भिन्न के रूप में लिखें: $0.2 = \frac{2}{10}$.
$2$. अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक (म.स.),जो $2$ है,से विभाजित करके भिन्न को सरल करें: $\frac{2 \div 2}{10 \div 2} = \frac{1}{5}$.
$3$. इस प्रकार,$0.2 = \frac{1}{5}$,जहाँ $p = 1$ और $q = 5$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
$1$. दशमलव बिंदु के बाद एक अंक है,इसलिए इसे $10$ के हर के साथ एक भिन्न के रूप में लिखें: $0.2 = \frac{2}{10}$.
$2$. अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक (म.स.),जो $2$ है,से विभाजित करके भिन्न को सरल करें: $\frac{2 \div 2}{10 \div 2} = \frac{1}{5}$.
$3$. इस प्रकार,$0.2 = \frac{1}{5}$,जहाँ $p = 1$ और $q = 5$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ :
$0.888 \ldots$
$0.888 \ldots$
A
$\frac{8}{3}$
B
$\frac{5}{9}$
C
$\frac{8}{9}$
D
$\frac{8}{7}$
Solution
(C) माना कि $x = 0.888 \ldots = 0.\overline{8} \quad \dots(1)$
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$10x = 8.888 \ldots = 8.\overline{8} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$10x - x = 8.\overline{8} - 0.\overline{8}$
$9x = 8$
अतः,$x = \frac{8}{9}$.
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$10x = 8.888 \ldots = 8.\overline{8} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$10x - x = 8.\overline{8} - 0.\overline{8}$
$9x = 8$
अतः,$x = \frac{8}{9}$.
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MediumMCQ
निम्नलिखित को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ :
$5. \overline{2}$
$5. \overline{2}$
A
$\frac{57}{2}$
B
$\frac{46}{9}$
C
$\frac{47}{3}$
D
$\frac{47}{9}$
Solution
(D) माना कि $x = 5. \overline{2} = 5.2222 \ldots \quad \dots(1)$
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है
$10x = 52.2222 \ldots = 52. \overline{2} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$10x - x = 52.2222 \ldots - 5.2222 \ldots$
$9x = 47$
$x = \frac{47}{9}$
अतः,$5. \overline{2} = \frac{47}{9}$ है।
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है
$10x = 52.2222 \ldots = 52. \overline{2} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$10x - x = 52.2222 \ldots - 5.2222 \ldots$
$9x = 47$
$x = \frac{47}{9}$
अतः,$5. \overline{2} = \frac{47}{9}$ है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ :
$0 . \overline{001}$
$0 . \overline{001}$
A
$\frac{1}{999}$
B
$\frac{1}{9999}$
C
$\frac{-1}{999}$
D
$\frac{1}{990}$
Solution
(A) माना कि $x = 0.\overline{001} = 0.001001...$ $(1)$
चूँकि तीन अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $1000$ से गुणा करने पर:
$1000x = 1.001001...$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$1000x - x = 1.001001... - 0.001001...$
$999x = 1$
$x = \frac{1}{999}$
अतः,संख्या $0.\overline{001}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में $\frac{1}{999}$ लिखा जा सकता है।
चूँकि तीन अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $1000$ से गुणा करने पर:
$1000x = 1.001001...$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$1000x - x = 1.001001... - 0.001001...$
$999x = 1$
$x = \frac{1}{999}$
अतः,संख्या $0.\overline{001}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में $\frac{1}{999}$ लिखा जा सकता है।
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View Solution25
MediumMCQ
निम्नलिखित को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ :
$0.2555 \ldots$
$0.2555 \ldots$
A
$\frac{33}{90}$
B
$\frac{23}{90}$
C
$\frac{44}{90}$
D
$\frac{23}{45}$
Solution
(B) माना $x = 0.2555 \ldots = 0.2\overline{5} \quad ....(1)$
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 2.555 \ldots = 2.\overline{5} \quad ....(2)$
दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 25.555 \ldots = 25.\overline{5} \quad ....(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$100x - 10x = 25.\overline{5} - 2.\overline{5}$
$90x = 23$
अतः,$x = \frac{23}{90}$.
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 2.555 \ldots = 2.\overline{5} \quad ....(2)$
दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 25.555 \ldots = 25.\overline{5} \quad ....(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$100x - 10x = 25.\overline{5} - 2.\overline{5}$
$90x = 23$
अतः,$x = \frac{23}{90}$.
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View Solution26
DifficultMCQ
निम्नलिखित को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ :
$0.1\overline{34}$
$0.1\overline{34}$
A
$\frac{123}{880}$
B
$\frac{123}{990}$
C
$\frac{133}{990}$
D
$\frac{133}{999}$
Solution
(C) माना $x = 0.1\overline{34} = 0.1343434... \quad ....(1)$
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 1.343434... \quad ....(2)$
अब समीकरण $(2)$ को $100$ से गुणा करने पर:
$1000x = 134.343434... \quad ....(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$1000x - 10x = 134.343434... - 1.343434...$
$990x = 133$
अतः,$x = \frac{133}{990}$.
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 1.343434... \quad ....(2)$
अब समीकरण $(2)$ को $100$ से गुणा करने पर:
$1000x = 134.343434... \quad ....(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$1000x - 10x = 134.343434... - 1.343434...$
$990x = 133$
अतः,$x = \frac{133}{990}$.
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DifficultMCQ
निम्नलिखित को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ :
$0.00323232 \ldots$
$0.00323232 \ldots$
A
$\frac{9}{2470}$
B
$\frac{5}{2455}$
C
$\frac{7}{2475}$
D
$\frac{8}{2475}$
Solution
(D) माना कि $x = 0.00323232 \ldots = 0.00\overline{32} \quad \dots(1)$
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए समीकरण $(1)$ को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 0.323232 \ldots = 0.\overline{32} \quad \dots(2)$
पुनरावृत्ति भाग के बाद दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए समीकरण $(2)$ को फिर से $100$ से गुणा करने पर:
$10000x = 32.323232 \ldots = 32.\overline{32} \quad \dots(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$10000x - 100x = 32.\overline{32} - 0.\overline{32}$
$9900x = 32$
$x = \frac{32}{9900}$
अंश और हर दोनों को $4$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:
$x = \frac{32 \div 4}{9900 \div 4} = \frac{8}{2475}$
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए समीकरण $(1)$ को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 0.323232 \ldots = 0.\overline{32} \quad \dots(2)$
पुनरावृत्ति भाग के बाद दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए समीकरण $(2)$ को फिर से $100$ से गुणा करने पर:
$10000x = 32.323232 \ldots = 32.\overline{32} \quad \dots(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$10000x - 100x = 32.\overline{32} - 0.\overline{32}$
$9900x = 32$
$x = \frac{32}{9900}$
अंश और हर दोनों को $4$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:
$x = \frac{32 \div 4}{9900 \div 4} = \frac{8}{2475}$
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MediumMCQ
निम्नलिखित को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ :
$0.404040 \ldots$
$0.404040 \ldots$
A
$\frac{40}{99}$
B
$\frac{50}{99}$
C
$\frac{40}{90}$
D
$\frac{50}{90}$
Solution
(A) माना कि $x = 0.404040 \ldots = 0.\overline{40} \quad \dots(1)$
चूँकि यहाँ दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 40.404040 \ldots = 40.\overline{40} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$100x - x = 40.\overline{40} - 0.\overline{40}$
$99x = 40$
$x = \frac{40}{99}$
अतः,$0.404040 \ldots$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में $\frac{40}{99}$ लिखा जा सकता है।
चूँकि यहाँ दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 40.404040 \ldots = 40.\overline{40} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$100x - x = 40.\overline{40} - 0.\overline{40}$
$99x = 40$
$x = \frac{40}{99}$
अतः,$0.404040 \ldots$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में $\frac{40}{99}$ लिखा जा सकता है।
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Difficult
दर्शाइए कि $0.142857142857 \ldots = \frac{1}{7}$.
Solution
(N/A) माना कि $x = 0.142857142857 \ldots$ $(1)$
चूंकि पुनरावृत्ति खंड में $6$ अंक हैं,इसलिए दोनों पक्षों को $1,000,000$ से गुणा करने पर:
$1,000,000 x = 142857.142857142857 \ldots$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$1,000,000 x - x = 142857.142857 \ldots - 0.142857 \ldots$
$999,999 x = 142857$
$x$ का मान ज्ञात करने पर:
$x = \frac{142857}{999999}$
अंश और हर को $142857$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{1}{7}$
अतः,$0.142857142857 \ldots = \frac{1}{7}$ सिद्ध होता है।
चूंकि पुनरावृत्ति खंड में $6$ अंक हैं,इसलिए दोनों पक्षों को $1,000,000$ से गुणा करने पर:
$1,000,000 x = 142857.142857142857 \ldots$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$1,000,000 x - x = 142857.142857 \ldots - 0.142857 \ldots$
$999,999 x = 142857$
$x$ का मान ज्ञात करने पर:
$x = \frac{142857}{999999}$
अंश और हर को $142857$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{1}{7}$
अतः,$0.142857142857 \ldots = \frac{1}{7}$ सिद्ध होता है।
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Medium
निम्नलिखित को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है:
$\frac{2}{11}$
$\frac{2}{11}$
Solution
(N/A) $\frac{2}{11}$ को दशमलव रूप में लिखने के लिए,हम $2$ को $11$ से भाग देकर लंबी विभाजन प्रक्रिया का उपयोग करेंगे।
$2$ को $11$ से भाग देने पर:
$2 \div 11 = 0.1818...$
चूंकि शेषफल $2$ बार-बार आता है,इसलिए भागफल $0.18$ अनंत तक दोहराया जाता है।
अतः,$\frac{2}{11} = 0.1818... = 0.\overline{18}$.
चूंकि दशमलव प्रसार समाप्त नहीं होता है और अंकों की पुनरावृत्ति होती है,इसलिए $\frac{2}{11}$ का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) दशमलव है।
$2$ को $11$ से भाग देने पर:
$2 \div 11 = 0.1818...$
चूंकि शेषफल $2$ बार-बार आता है,इसलिए भागफल $0.18$ अनंत तक दोहराया जाता है।
अतः,$\frac{2}{11} = 0.1818... = 0.\overline{18}$.
चूंकि दशमलव प्रसार समाप्त नहीं होता है और अंकों की पुनरावृत्ति होती है,इसलिए $\frac{2}{11}$ का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) दशमलव है।
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Medium
निम्नलिखित को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है:
$\frac{121}{400}$
$\frac{121}{400}$
Solution
(N/A) $\frac{121}{400}$ को दशमलव रूप में लिखने के लिए,हम भाग करते हैं:
$121 \div 400 = 0.3025$
चूंकि शेषफल $0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{121}{400}$ का दशमलव प्रसार शांत दशमलव है।
$121 \div 400 = 0.3025$
चूंकि शेषफल $0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{121}{400}$ का दशमलव प्रसार शांत दशमलव है।
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Medium
निम्नलिखित को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है:
$\frac{5}{13}$
$\frac{5}{13}$
Solution
(N/A) $\frac{5}{13}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम $5$ को $13$ से विभाजित करते हैं:
$5 \div 13 = 0.384615384615...$
चूंकि शेषफल कुछ चरणों के बाद दोहराया जाता है,इसलिए भागफल भी दोहराया जाता है।
अतः,$\frac{5}{13} = 0.\overline{384615}$ है।
$\frac{5}{13}$ का दशमलव रूप अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) दशमलव है।
$5 \div 13 = 0.384615384615...$
चूंकि शेषफल कुछ चरणों के बाद दोहराया जाता है,इसलिए भागफल भी दोहराया जाता है।
अतः,$\frac{5}{13} = 0.\overline{384615}$ है।
$\frac{5}{13}$ का दशमलव रूप अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) दशमलव है।
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Medium
निम्नलिखित को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0 .$
$0 . \overline{35}$
$0 . \overline{35}$
Solution
(A) माना $x = 0 . \overline{35}$.
$\therefore x = 0.353535 \ldots$ $(1)$
चूंकि यहाँ दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 35.353535 \ldots$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$100x - x = 35.353535 \ldots - 0.353535 \ldots$
$99x = 35$
$\therefore x = \frac{35}{99}$
अतः,$0 . \overline{35} = \frac{35}{99}$.
$\therefore x = 0.353535 \ldots$ $(1)$
चूंकि यहाँ दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 35.353535 \ldots$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$100x - x = 35.353535 \ldots - 0.353535 \ldots$
$99x = 35$
$\therefore x = \frac{35}{99}$
अतः,$0 . \overline{35} = \frac{35}{99}$.
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Medium
निम्नलिखित को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0.$
$0.5 \overline{7}$
$0.5 \overline{7}$
Solution
(N/A) माना $x = 0.5 \overline{7}.$
$\therefore x = 0.5777...$ $(1)$
दशमलव बिंदु को पुनरावृत्त भाग से पहले लाने के लिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 5.777...$ $(2)$
अब,दशमलव बिंदु को एक पुनरावृत्त अंक के बाद लाने के लिए समीकरण $(2)$ को $10$ से गुणा करने पर:
$100x = 57.777...$ $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$100x - 10x = 57.777... - 5.777...$
$90x = 52$
$x = \frac{52}{90}$
अंश और हर को $2$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:
$x = \frac{26}{45}$
अतः,$0.5 \overline{7} = \frac{26}{45}.$
$\therefore x = 0.5777...$ $(1)$
दशमलव बिंदु को पुनरावृत्त भाग से पहले लाने के लिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 5.777...$ $(2)$
अब,दशमलव बिंदु को एक पुनरावृत्त अंक के बाद लाने के लिए समीकरण $(2)$ को $10$ से गुणा करने पर:
$100x = 57.777...$ $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$100x - 10x = 57.777... - 5.777...$
$90x = 52$
$x = \frac{52}{90}$
अंश और हर को $2$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:
$x = \frac{26}{45}$
अतः,$0.5 \overline{7} = \frac{26}{45}.$
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Medium
निम्नलिखित को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0.$
$0.\overline{125}$
$0.\overline{125}$
Solution
(N/A) माना $x = 0.\overline{125}$.
$\therefore x = 0.125125\ldots$ $(1)$
चूँकि तीन अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $1000$ से गुणा करने पर:
$1000x = 125.125125\ldots$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$1000x - x = 125.125125\ldots - 0.125125\ldots$
$999x = 125$
$\therefore x = \frac{125}{999}$
अतः,$0.\overline{125} = \frac{125}{999}$.
$\therefore x = 0.125125\ldots$ $(1)$
चूँकि तीन अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $1000$ से गुणा करने पर:
$1000x = 125.125125\ldots$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$1000x - x = 125.125125\ldots - 0.125125\ldots$
$999x = 125$
$\therefore x = \frac{125}{999}$
अतः,$0.\overline{125} = \frac{125}{999}$.
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Medium
निम्नलिखित परिमेय संख्या को दशमलव रूप में बदलिए और इसके दशमलव प्रसार का प्रकार बताइए: $\frac{71}{125}$
Solution
(N/A) $\frac{71}{125}$ को दशमलव रूप में बदलने के लिए,हम अंश को हर से विभाजित कर सकते हैं या हर में $10$ की घात प्राप्त करने के लिए अंश और हर दोनों को $8$ से गुणा कर सकते हैं।
$\frac{71 \times 8}{125 \times 8} = \frac{568}{1000} = 0.568$
चूंकि भाग की प्रक्रिया में कुछ चरणों के बाद शेषफल $0$ प्राप्त होता है,इसलिए यह दशमलव प्रसार एक सांत (Terminating) दशमलव प्रसार है।
$\frac{71 \times 8}{125 \times 8} = \frac{568}{1000} = 0.568$
चूंकि भाग की प्रक्रिया में कुछ चरणों के बाद शेषफल $0$ प्राप्त होता है,इसलिए यह दशमलव प्रसार एक सांत (Terminating) दशमलव प्रसार है।
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Medium
निम्नलिखित परिमेय संख्या को दशमलव रूप में परिवर्तित कीजिए और इसके दशमलव प्रसार का प्रकार बताइए:
$\frac{4}{13}$
$\frac{4}{13}$
Solution
(N/A) $\frac{4}{13}$ को दशमलव रूप में बदलने के लिए,हम $4$ को $13$ से विभाजित करते हैं।
$4 \div 13 = 0.307692307692...$
चूंकि अंकों का अनुक्रम $307692$ अनंत तक दोहराया जाता है,इसलिए दशमलव प्रसार $0.\overline{307692}$ है।
अतः,यह दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) दशमलव है।
$4 \div 13 = 0.307692307692...$
चूंकि अंकों का अनुक्रम $307692$ अनंत तक दोहराया जाता है,इसलिए दशमलव प्रसार $0.\overline{307692}$ है।
अतः,यह दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) दशमलव है।
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Medium
निम्नलिखित परिमेय संख्या को दशमलव रूप में परिवर्तित कीजिए और इसके दशमलव प्रसार का प्रकार बताइए: $\frac{25}{8}$
Solution
(N/A) $\frac{25}{8}$ को दशमलव रूप में बदलने के लिए,हम भाग देते हैं:
$25 \div 8 = 3.125$
चूंकि शेषफल $0$ प्राप्त होता है,इसलिए यह दशमलव प्रसार सांत (Terminating) दशमलव प्रसार है।
$25 \div 8 = 3.125$
चूंकि शेषफल $0$ प्राप्त होता है,इसलिए यह दशमलव प्रसार सांत (Terminating) दशमलव प्रसार है।
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Medium
निम्नलिखित परिमेय संख्या को दशमलव रूप में परिवर्तित करें और इसके दशमलव प्रसार का प्रकार बताएं: $\frac{37}{60}$
Solution
(N/A) $\frac{37}{60}$ को दशमलव रूप में बदलने के लिए,हम भाग देते हैं:
$37 \div 60 = 0.61666...$
इसे $0.61\overline{6}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि दशमलव बिंदु के बाद के अंक अनंत तक दोहराए जाते हैं,इसलिए यह दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) दशमलव है।
$37 \div 60 = 0.61666...$
इसे $0.61\overline{6}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि दशमलव बिंदु के बाद के अंक अनंत तक दोहराए जाते हैं,इसलिए यह दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) दशमलव है।
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Medium
निम्नलिखित परिमेय संख्या को दशमलव रूप में परिवर्तित कीजिए और इसके दशमलव प्रसार का प्रकार बताइए:
$\frac{29}{12}$
$\frac{29}{12}$
Solution
(A) $\frac{29}{12}$ को दशमलव रूप में बदलने के लिए,हम भाग देते हैं:
$29 \div 12 = 2.41666...$
चूंकि अंक $6$ अनंत तक दोहराया जाता है,इसलिए दशमलव प्रसार $2.41\overline{6}$ है।
चूंकि शेषफल कभी शून्य नहीं होता है और एक अंक की पुनरावृत्ति होती है,इसलिए यह एक अनवसानी आवर्ती (Non-terminating recurring) दशमलव है।
$29 \div 12 = 2.41666...$
चूंकि अंक $6$ अनंत तक दोहराया जाता है,इसलिए दशमलव प्रसार $2.41\overline{6}$ है।
चूंकि शेषफल कभी शून्य नहीं होता है और एक अंक की पुनरावृत्ति होती है,इसलिए यह एक अनवसानी आवर्ती (Non-terminating recurring) दशमलव है।
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MediumMCQ
$0.\overline{4}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
A
$\frac{4}{9}$
B
$\frac{4}{10}$
C
$\frac{4}{90}$
D
$\frac{4}{99}$
Solution
(A) माना $x = 0.\overline{4} = 0.4444...$ (समीकरण $1$)।
चूँकि दशमलव बिंदु के बाद एक अंक की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 4.4444...$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$10x - x = 4.4444... - 0.4444...$
$9x = 4$
$x = \frac{4}{9}$।
अतः, $0.\overline{4}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में $\frac{4}{9}$ लिखा जा सकता है।
चूँकि दशमलव बिंदु के बाद एक अंक की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 4.4444...$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$10x - x = 4.4444... - 0.4444...$
$9x = 4$
$x = \frac{4}{9}$।
अतः, $0.\overline{4}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में $\frac{4}{9}$ लिखा जा सकता है।
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View Solution42
MediumMCQ
$0.\overline{83}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$.
A
$83/100$
B
$83/99$
C
$83/90$
D
$8/9$
Solution
(B) माना कि $x = 0.\overline{83}$.
इसे $x = 0.838383...$ के रूप में लिखा जा सकता है (समीकरण $1$)।
चूँकि दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 83.838383...$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$100x - x = 83.838383... - 0.838383...$
$99x = 83$.
अतः, $x = \frac{83}{99}$.
इस प्रकार, $0.\overline{83} = \frac{83}{99}$।
इसे $x = 0.838383...$ के रूप में लिखा जा सकता है (समीकरण $1$)।
चूँकि दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 83.838383...$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$100x - x = 83.838383... - 0.838383...$
$99x = 83$.
अतः, $x = \frac{83}{99}$.
इस प्रकार, $0.\overline{83} = \frac{83}{99}$।
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View Solution43
Medium
$2.\overline{137}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
Solution
(N/A) मान लीजिए $x = 2.137137137...$ (समीकरण $1$).
चूंकि दशमलव बिंदु के बाद $3$ अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए दोनों पक्षों को $1000$ से गुणा करने पर:
$1000x = 2137.137137137...$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$1000x - x = 2137.137137... - 2.137137...$
$999x = 2135$.
अतः, $x = \frac{2135}{999}$.
चूंकि दशमलव बिंदु के बाद $3$ अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए दोनों पक्षों को $1000$ से गुणा करने पर:
$1000x = 2137.137137137...$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$1000x - x = 2137.137137... - 2.137137...$
$999x = 2135$.
अतः, $x = \frac{2135}{999}$.
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View Solution44
MediumMCQ
$0.5\overline{7}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
A
$\frac{26}{45}$
B
$\frac{52}{90}$
C
$\frac{57}{99}$
D
$\frac{5}{9}$
Solution
(A) माना कि $x = 0.5\overline{7} = 0.5777...$ (समीकरण $1$)।
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करें:
$10x = 5.777...$ (समीकरण $2$)।
पुनरावृत्त अंक के बाद दशमलव बिंदु लाने के लिए समीकरण $2$ को पुनः $10$ से गुणा करें:
$100x = 57.777...$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाएं:
$100x - 10x = 57.777... - 5.777...$
$90x = 52$.
$x = \frac{52}{90}$.
अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक $2$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करें:
$x = \frac{26}{45}$.
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करें:
$10x = 5.777...$ (समीकरण $2$)।
पुनरावृत्त अंक के बाद दशमलव बिंदु लाने के लिए समीकरण $2$ को पुनः $10$ से गुणा करें:
$100x = 57.777...$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाएं:
$100x - 10x = 57.777... - 5.777...$
$90x = 52$.
$x = \frac{52}{90}$.
अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक $2$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करें:
$x = \frac{26}{45}$.
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View Solution45
MediumMCQ
$1.23\overline{4}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
A
$\frac{1111}{900}$
B
$\frac{1234}{999}$
C
$\frac{111}{90}$
D
$\frac{123}{100}$
Solution
(A) माना $x = 1.23444...$ (समीकरण $1$)।
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए $100$ से गुणा करने पर: $100x = 123.444...$ (समीकरण $2$)।
दशमलव बिंदु को फिर से स्थानांतरित करने के लिए समीकरण $2$ को $10$ से गुणा करने पर: $1000x = 1234.444...$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$1000x - 100x = 1234.444... - 123.444...$
$900x = 1111$.
अतः,$x = \frac{1111}{900}$।
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए $100$ से गुणा करने पर: $100x = 123.444...$ (समीकरण $2$)।
दशमलव बिंदु को फिर से स्थानांतरित करने के लिए समीकरण $2$ को $10$ से गुणा करने पर: $1000x = 1234.444...$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$1000x - 100x = 1234.444... - 123.444...$
$900x = 1111$.
अतः,$x = \frac{1111}{900}$।
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MediumMCQ
$0.7\overline{39}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
A
$\frac{732}{990}$
B
$\frac{122}{165}$
C
$\frac{739}{1000}$
D
$\frac{244}{330}$
Solution
(B) माना $x = 0.7\overline{39} = 0.7393939...$ (समीकरण $1$)।
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करें: $10x = 7.393939...$ (समीकरण $2$)।
पुनरावृत्ति भाग के बाद दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए समीकरण $2$ को $100$ से गुणा करें: $1000x = 739.393939...$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$1000x - 10x = 739.393939... - 7.393939...$
$990x = 732$.
$x = \frac{732}{990}$.
अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक $6$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:
$x = \frac{732 \div 6}{990 \div 6} = \frac{122}{165}$.
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करें: $10x = 7.393939...$ (समीकरण $2$)।
पुनरावृत्ति भाग के बाद दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए समीकरण $2$ को $100$ से गुणा करें: $1000x = 739.393939...$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$1000x - 10x = 739.393939... - 7.393939...$
$990x = 732$.
$x = \frac{732}{990}$.
अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक $6$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:
$x = \frac{732 \div 6}{990 \div 6} = \frac{122}{165}$.
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MediumMCQ
योगफल ज्ञात कीजिए: $0.\overline{35} + 0.\overline{28}$.
A
$0.\overline{63}$
B
$0.\overline{53}$
C
$0.\overline{73}$
D
$0.\overline{64}$
Solution
(A) माना $x = 0.\overline{35} = 0.353535...$ और $y = 0.\overline{28} = 0.282828...$
$0.\overline{35}$ को भिन्न में बदलने के लिए: $100x = 35.3535...$,इसलिए $99x = 35$,जिससे $x = \frac{35}{99}$ प्राप्त होता है।
$0.\overline{28}$ को भिन्न में बदलने के लिए: $100y = 28.2828...$,इसलिए $99y = 28$,जिससे $y = \frac{28}{99}$ प्राप्त होता है।
दोनों भिन्नों को जोड़ने पर: $x + y = \frac{35}{99} + \frac{28}{99} = \frac{63}{99}$.
$63$ को $99$ से भाग देने पर $0.636363...$ प्राप्त होता है,जो कि $0.\overline{63}$ है।
$0.\overline{35}$ को भिन्न में बदलने के लिए: $100x = 35.3535...$,इसलिए $99x = 35$,जिससे $x = \frac{35}{99}$ प्राप्त होता है।
$0.\overline{28}$ को भिन्न में बदलने के लिए: $100y = 28.2828...$,इसलिए $99y = 28$,जिससे $y = \frac{28}{99}$ प्राप्त होता है।
दोनों भिन्नों को जोड़ने पर: $x + y = \frac{35}{99} + \frac{28}{99} = \frac{63}{99}$.
$63$ को $99$ से भाग देने पर $0.636363...$ प्राप्त होता है,जो कि $0.\overline{63}$ है।
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योग ज्ञात कीजिए: $0. \overline{3} + 0.4 \overline{7}$
Solution
(N/A) $0. \overline{3}$ और $0.4 \overline{7}$ को जोड़ने के लिए,पहले उन्हें भिन्न में बदलें।
$0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$0.4 \overline{7} = \frac{47 - 4}{90} = \frac{43}{90}$
अब,दोनों भिन्नों को जोड़ें:
$\frac{1}{3} + \frac{43}{90} = \frac{30}{90} + \frac{43}{90} = \frac{73}{90}$
$\frac{73}{90}$ को दशमलव रूप में बदलने पर:
$73 \div 90 = 0.8111... = 0.8 \overline{1}$
$0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$0.4 \overline{7} = \frac{47 - 4}{90} = \frac{43}{90}$
अब,दोनों भिन्नों को जोड़ें:
$\frac{1}{3} + \frac{43}{90} = \frac{30}{90} + \frac{43}{90} = \frac{73}{90}$
$\frac{73}{90}$ को दशमलव रूप में बदलने पर:
$73 \div 90 = 0.8111... = 0.8 \overline{1}$
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घटाएं: $0.\overline{52} - 0.4\overline{6}$
Solution
(N/A) चरण $1$: $0.\overline{52}$ को भिन्न में बदलें।
माना $x = 0.525252...$ $(i)$
$100x = 52.525252...$ (ii)
(ii) में से $(i)$ घटाने पर: $99x = 52$,अतः $x = \frac{52}{99}$।
चरण $2$: $0.4\overline{6}$ को भिन्न में बदलें।
माना $y = 0.4666...$ (iii)
$10y = 4.666...$ (iv)
$100y = 46.666...$ $(v)$
$(v)$ में से (iv) घटाने पर: $90y = 42$,अतः $y = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$।
चरण $3$: भिन्नों को घटाएं।
$\frac{52}{99} - \frac{7}{15} = \frac{52 \times 5 - 7 \times 33}{495} = \frac{260 - 231}{495} = \frac{29}{495}$।
चरण $4$: दशमलव में बदलें।
$\frac{29}{495} = 0.0585858... = 0.0\overline{58}$।
माना $x = 0.525252...$ $(i)$
$100x = 52.525252...$ (ii)
(ii) में से $(i)$ घटाने पर: $99x = 52$,अतः $x = \frac{52}{99}$।
चरण $2$: $0.4\overline{6}$ को भिन्न में बदलें।
माना $y = 0.4666...$ (iii)
$10y = 4.666...$ (iv)
$100y = 46.666...$ $(v)$
$(v)$ में से (iv) घटाने पर: $90y = 42$,अतः $y = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$।
चरण $3$: भिन्नों को घटाएं।
$\frac{52}{99} - \frac{7}{15} = \frac{52 \times 5 - 7 \times 33}{495} = \frac{260 - 231}{495} = \frac{29}{495}$।
चरण $4$: दशमलव में बदलें।
$\frac{29}{495} = 0.0585858... = 0.0\overline{58}$।
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Medium
दर्शाइए कि $0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$.
Solution
(N/A) माना $x = 0.1\overline{6}$. इसे $x = 0.1666...$ के रूप में लिखा जा सकता है (समीकरण $1$)।
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करें:
$10x = 1.6666...$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाएं:
$10x - x = (1.6666...) - (0.1666...)$
$9x = 1.5$
$x = \frac{1.5}{9}$
दशमलव हटाने के लिए,अंश और हर को $10$ से गुणा करें:
$x = \frac{15}{90}$
अंश और हर को $15$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करें:
$x = \frac{1}{6}$।
अतः,$0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$ सिद्ध होता है।
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करें:
$10x = 1.6666...$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाएं:
$10x - x = (1.6666...) - (0.1666...)$
$9x = 1.5$
$x = \frac{1.5}{9}$
दशमलव हटाने के लिए,अंश और हर को $10$ से गुणा करें:
$x = \frac{15}{90}$
अंश और हर को $15$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करें:
$x = \frac{1}{6}$।
अतः,$0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$ सिद्ध होता है।
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2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
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