Mix Examples - Number Systems Questions in Hindi

(N/A) $(i)$ असत्य,क्योंकि $0$ एक पूर्ण संख्या है लेकिन प्राकृत संख्या नहीं है।
$(ii)$ सत्य,क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक $m$ को $\frac{m}{1}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है और $1$ एक शून्येतर पूर्णांक है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(iii)$ असत्य,क्योंकि $\frac{3}{5}$ एक परिमेय संख्या है लेकिन यह एक पूर्णांक नहीं है।

(A) हम इस समस्या को हल करने के लिए कम से कम दो तरीकों का उपयोग कर सकते हैं।
विधि $1$: $r$ और $s$ के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{r+s}{2}$ सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
पहली संख्या: $\frac{1+2}{2} = \frac{3}{2}$.
दूसरी संख्या: $\frac{1 + 3/2}{2} = \frac{5/2}{2} = \frac{5}{4}$.
तीसरी संख्या: $\frac{1 + 5/4}{2} = \frac{9/4}{2} = \frac{9}{8}$.
चौथी संख्या: $\frac{3/2 + 2}{2} = \frac{7/2}{2} = \frac{7}{4}$.
पाँचवीं संख्या: $\frac{7/4 + 2}{2} = \frac{15/4}{2} = \frac{15}{8}$.
विधि $2$: दो संख्याओं के बीच $n$ परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम उन्हें $n+1$ हर (denominator) के साथ लिख सकते हैं।
यहाँ $n=5$ है,इसलिए हम $5+1=6$ हर का उपयोग करेंगे।
$1 = \frac{6}{6}$ और $2 = \frac{12}{6}$.
पाँच परिमेय संख्याएँ $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}$ और $\frac{11}{6}$ हैं।
इन्हें सरल करने पर,हमें $\frac{7}{6}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}$ और $\frac{11}{6}$ प्राप्त होती हैं।

(N/A) $3$ और $4$ के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
$n = 6$ परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम $3$ और $4$ को $n + 1 = 7$ हर वाली भिन्न के रूप में लिख सकते हैं।
$3 = \frac{3 \times 7}{7} = \frac{21}{7}$
$4 = \frac{4 \times 7}{7} = \frac{28}{7}$
अतः,$\frac{21}{7}$ और $\frac{28}{7}$ के बीच छह परिमेय संख्याएँ $\frac{22}{7}, \frac{23}{7}, \frac{24}{7}, \frac{25}{7}, \frac{26}{7}$ और $\frac{27}{7}$ हैं।

(N/A) $(i)$ सत्य; पूर्ण संख्याओं का संग्रह ${0, 1, 2, 3, ...}$ है और प्राकृत संख्याओं का संग्रह ${1, 2, 3, ...}$ है। चूंकि सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याओं के समुच्चय में मौजूद हैं,इसलिए यह कथन सत्य है।
$(ii)$ असत्य; पूर्णांकों में ऋणात्मक संख्याएँ,शून्य और धनात्मक संख्याएँ शामिल होती हैं,जबकि पूर्ण संख्याओं में केवल शून्य और धनात्मक संख्याएँ शामिल होती हैं। उदाहरण के लिए,$-3$ एक पूर्णांक है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है।
$(iii)$ असत्य; परिमेय संख्याओं में भिन्न और दशमलव शामिल होते हैं,जबकि पूर्ण संख्याएँ केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। उदाहरण के लिए,$\frac{1}{5}$ एक परिमेय संख्या है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है।

(N/A) $(i)$ सत्य; वास्तविक संख्याओं का संग्रह परिमेय और अपरिमेय संख्याओं से मिलकर बना है। इसलिए,प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
$(ii)$ असत्य; संख्या रेखा पर स्थित ऋणात्मक संख्याओं को किसी प्राकृत संख्या $m$ के वर्गमूल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,क्योंकि किसी भी प्राकृत संख्या का वर्गमूल सदैव ऋणेतर (non-negative) होता है।
$(iii)$ असत्य; वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की संख्याएँ शामिल होती हैं। उदाहरण के लिए,$2$ एक वास्तविक संख्या है लेकिन यह एक परिमेय संख्या है,अपरिमेय संख्या नहीं।

(N/A) $(i)$ $\sqrt{23} \approx 4.79583152331 \ldots$
चूँकि दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
$(ii)$ $\sqrt{225} = 15 = \frac{15}{1}$
चूँकि इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(iii)$ $0.3796 = \frac{3796}{10000} = \frac{949}{2500}$
चूँकि दशमलव प्रसार सांत है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(iv)$ $7.478478 \ldots = 7.\overline{478}$
चूँकि दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(v)$ $1.101001000100001 \ldots$
चूँकि दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।

(C) किन्हीं भी दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। इस गुण को परिमेय संख्याओं का घनत्व गुण (density property) कहा जाता है।

(A) दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय या अपरिमेय हो सकता है।
उदाहरण के लिए:
$1$. यदि हम $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ लेते हैं,जो एक परिमेय संख्या है।
$2$. यदि हम $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ लेते हैं,जो एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,गुणनफल कभी परिमेय और कभी अपरिमेय होता है।

(FALSE, FALSE) $(i)$ दिया गया कथन असत्य है। एक परिमेय संख्या को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। यहाँ,$\frac{\sqrt{2}}{3}$ में $p = \sqrt{2}$ है,जो एक अपरिमेय संख्या है,पूर्णांक नहीं है। इसलिए,$\frac{\sqrt{2}}{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
$(ii)$ दिया गया कथन असत्य है। परिभाषा के अनुसार,पूर्णांक (...,$-2, -1, 0, 1, 2, ...$) होते हैं। किन्हीं भी दो क्रमागत पूर्णांकों,जैसे $3$ और $4$ के बीच कोई अन्य पूर्णांक नहीं होता है।

(N/A) $(i)$ यह कथन असत्य है। किन्हीं भी दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। अतः,$15$ और $18$ के बीच परिमेय संख्याओं की संख्या अनंत है।
$(ii)$ यह कथन सत्य है। जिन संख्याओं को $\frac{p}{q}$ के रूप में (जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$) व्यक्त नहीं किया जा सकता,उन्हें अपरिमेय संख्याएँ कहा जाता है। उदाहरण के लिए,$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,और $\pi$ ऐसी ही संख्याएँ हैं।

(N/A) $(i)$ यह कथन असत्य है। अपरिमेय संख्या $\sqrt[4]{2}$ पर विचार करें। इसका वर्ग $(\sqrt[4]{2})^{2} = \sqrt{2}$ है,जो एक अपरिमेय संख्या है।
$(ii)$ यह कथन असत्य है। हम व्यंजक को सरल कर सकते हैं: $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$। चूँकि $2$ को $\frac{2}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(N/A) $(i)$ $\sqrt{196} = 14$। चूँकि $14$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ (अर्थात $\frac{14}{1}$),इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(ii)$ $3\sqrt{18} = 3\sqrt{9 \times 2} = 3 \times 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$। चूँकि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है और एक शून्येतर परिमेय संख्या तथा एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है,इसलिए $9\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) $(i)$ $0.5918$ एक सांत दशमलव प्रसार है। कोई भी संख्या जिसे सांत दशमलव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,वह एक परिमेय संख्या होती है क्योंकि इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। यहाँ,$0.5918 = \frac{5918}{10000}$,जो परिमेय है।
$(ii)$ व्यंजक को सरल करने पर: $(1+\sqrt{5})-(4+\sqrt{5}) = 1 + \sqrt{5} - 4 - \sqrt{5} = 1 - 4 = -3$। चूँकि $-3$ को $\frac{-3}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $\frac{p}{q}$ के रूप में है जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(N/A) $-1$ और $-2$ के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम उन्हें समान हर वाले भिन्नों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
मान लीजिए संख्याएँ $-1 = -10/10$ और $-2 = -20/10$ हैं।
$-20/10$ और $-10/10$ के बीच की कोई भी तीन संख्याएँ परिमेय संख्याएँ हैं।
उदाहरण के लिए,$-11/10, -12/10, -13/10$ वे तीन परिमेय संख्याएँ हैं जो $-1$ और $-2$ के बीच स्थित हैं।
वैकल्पिक रूप से,इन्हें $-1.1, -1.2, -1.3$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(B) $\frac{1}{4}$ और $\frac{1}{5}$ के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके हर (denominators) को समान बनाते हैं।
$4$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $20$ है।
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = \frac{5}{20}$
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 4}{5 \times 4} = \frac{4}{20}$
तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर को $(3+1) = 4$ से गुणा करते हैं।
$\frac{5}{20} = \frac{5 \times 4}{20 \times 4} = \frac{20}{80}$
$\frac{4}{20} = \frac{4 \times 4}{20 \times 4} = \frac{16}{80}$
$\frac{16}{80}$ और $\frac{20}{80}$ के बीच की परिमेय संख्याएँ $\frac{17}{80}, \frac{18}{80}, \frac{19}{80}$ हैं।
अतः,$\frac{1}{4}$ और $\frac{1}{5}$ के बीच तीन परिमेय संख्याएँ $\frac{17}{80}, \frac{18}{80}, \frac{19}{80}$ (या $\frac{9}{40}$) हैं।

(A) परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। $2$ और $3$ का औसत $\frac{2+3}{2} = 2.5$ है,जो एक परिमेय संख्या है।
अपरिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है और जिसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating,non-recurring) होता है।
$2$ और $3$ के बीच एक अपरिमेय संख्या का उदाहरण $2.1010010001...$ (एक अनवसानी अनावर्ती दशमलव) है।

(N/A) $\frac{1}{3}$ और $\frac{1}{2}$ के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम उन्हें समान हर (denominator) के साथ लिख सकते हैं:
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$ और $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 6}{2 \times 6} = \frac{6}{12}$.
चूंकि $\frac{4}{12} < \frac{5}{12} < \frac{6}{12}$,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{5}{12}$,$\frac{1}{3}$ और $\frac{1}{2}$ के बीच स्थित है।
अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम भिन्नों को दशमलव रूप में बदलते हैं:
$\frac{1}{3} = 0.3333\ldots$ और $\frac{1}{2} = 0.5$.
एक अपरिमेय संख्या अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) दशमलव होती है। हम $0.414114111\ldots$ जैसी संख्या चुन सकते हैं,जो $0.3333\ldots$ से बड़ी और $0.5$ से छोटी है।

(N/A) सबसे पहले,भिन्नों को दशमलव रूप में बदलें:
$\frac{-2}{5} = -0.4$ और $\frac{1}{2} = 0.5$
$1$. परिमेय संख्या:
परिमेय संख्या वह है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। कोई भी सांत दशमलव एक परिमेय संख्या होती है। हम $0$ (या $0.1$,$0.2$ आदि) चुन सकते हैं क्योंकि यह $-0.4$ और $0.5$ के बीच स्थित है।
अतः,$0$ एक परिमेय संख्या है जो $\frac{-2}{5}$ और $\frac{1}{2}$ के बीच स्थित है।
$2$. अपरिमेय संख्या:
अपरिमेय संख्या एक अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) दशमलव होती है। हम एक ऐसी संख्या बना सकते हैं जो किसी पैटर्न का पालन न करे। उदाहरण के लिए,$0.1010010001...$ संख्या $-0.4$ और $0.5$ के बीच स्थित है।
अतः,$0.1010010001...$ एक अपरिमेय संख्या है जो $\frac{-2}{5}$ और $\frac{1}{2}$ के बीच स्थित है।

(N/A) परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $p/q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। कोई भी सांत दशमलव (terminating decimal) एक परिमेय संख्या होती है।
$1.$ $0.15$ और $0.16$ के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $0.151$ जैसी कोई भी सांत दशमलव संख्या चुन सकते हैं। चूँकि $0.15 < 0.151 < 0.16$,इसलिए $0.151$ एक परिमेय संख्या है।
$2.$ अपरिमेय संख्या वह संख्या है जिसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) होता है। $0.15$ और $0.16$ के बीच एक अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम एक ऐसी पैटर्न बना सकते हैं जो दोहराती नहीं है।
$0.15101101110...$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि यह अनवसानी अनावर्ती है,और यह $0.15$ तथा $0.16$ के बीच स्थित है।

दशमलव प्रसार इस प्रकार हैं: $\sqrt{2} \approx 1.4142135 \ldots$ और $\sqrt{3} \approx 1.7320508 \ldots$
$1$. परिमेय संख्या: $1.5$ जैसी एक सांत दशमलव संख्या $1.4142135 \ldots$ और $1.7320508 \ldots$ के बीच स्थित है। चूँकि $1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$2$. अपरिमेय संख्या: $1.575575557 \ldots$ जैसी एक अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) दशमलव संख्या $1.4142135 \ldots$ और $1.7320508 \ldots$ के बीच स्थित है। अतः,$1.575575557 \ldots$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $p/q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। चूँकि $2.357 < 3 < 3.121$,इसलिए पूर्णांक $3$ एक परिमेय संख्या है जो $2.357$ और $3.121$ के बीच स्थित है।
अपरिमेय संख्या वह संख्या है जिसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) होता है। $3.101101110\dots$ जैसी संख्या $2.357 < 3.101101110\dots < 3.121$ की शर्त को पूरा करती है,इसलिए यह दी गई संख्याओं के बीच एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $p/q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। एक सांत दशमलव (terminating decimal) एक परिमेय संख्या होती है।
$1$. परिमेय संख्या: हम $0.0005$ चुन सकते हैं। चूंकि $0.0005 = 5/10000 = 1/2000$,यह $0.0001$ और $0.001$ के बीच स्थित एक परिमेय संख्या है।
$2$. अपरिमेय संख्या: एक अपरिमेय संख्या वह होती है जिसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) होता है। हम एक पैटर्न का पालन करके इसे बना सकते हैं: $0.0001010010001...$ यह संख्या स्पष्ट रूप से $0.0001$ से बड़ी और $0.001$ से छोटी है,और यह न तो समाप्त होती है और न ही पुनरावृत्त होती है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) $0.484848$ और $3.623623$ के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम इस सीमा के भीतर कोई भी सांत दशमलव या पूर्णांक चुन सकते हैं। उदाहरण के लिए,$1$ एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे $\frac{1}{1}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$0.484848$ और $3.623623$ के बीच एक अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें एक अनवसानी-अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) दशमलव की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए,$1.909009000\dots$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार न तो समाप्त होता है और न ही पुनरावृत्त होता है।

(N/A) दी गई संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित करने के लिए:
$1$. $7$: यह एक धनात्मक पूर्णांक है। संख्या रेखा पर $0$ के दाईं ओर $7$ को अंकित करें।
$2$. $7.2$: यह $7 + 0.2$ है। $7$ और $8$ के बीच के भाग को $10$ बराबर भागों में विभाजित करें। $7$ के बाद का दूसरा निशान $7.2$ को दर्शाता है।
$3$. $\frac{-3}{2} = -1.5$: यह एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है। यह $0$ के बाईं ओर $-1$ और $-2$ के ठीक बीच में स्थित है।
$4$. $\frac{-12}{5} = -2.4$: यह एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है। $-2$ और $-3$ के बीच के भाग को $5$ बराबर भागों में विभाजित करें। $-2$ के बाईं ओर का चौथा निशान $-2.4$ को दर्शाता है।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{5}$ का निरूपण:
हम $5$ को दो प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के रूप में लिखते हैं:
$5 = 1 + 4 = 1^{2} + 2^{2}$
संख्या रेखा पर,$OA = 2$ इकाई लीजिए।
$OA$ पर लंब $BA = 1$ इकाई खींचिए। $OB$ को मिलाइए।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OB = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$।
प्रकार का उपयोग करके,$O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $C$ पर काटता है। अतः,$C$ बिंदु $\sqrt{5}$ को दर्शाता है।
संख्या रेखा पर $\sqrt{10}$ का निरूपण:
हम $10$ को दो प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के रूप में लिखते हैं:
$10 = 1 + 9 = 1^{2} + 3^{2}$
संख्या रेखा पर,$OA = 3$ इकाई लीजिए।
$OA$ पर लंब $BA = 1$ इकाई खींचिए। $OB$ को मिलाइए।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OB = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}$।
प्रकार का उपयोग करके,$O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $C$ पर काटता है। अतः,$C$ बिंदु $\sqrt{10}$ को दर्शाता है।
संख्या रेखा पर $\sqrt{17}$ का निरूपण:
हम $17$ को दो प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के रूप में लिखते हैं:
$17 = 1 + 16 = 1^{2} + 4^{2}$
संख्या रेखा पर,$OA = 4$ इकाई लीजिए।
$OA$ पर लंब $BA = 1$ इकाई खींचिए। $OB$ को मिलाइए।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OB = \sqrt{4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{17}$।
प्रकार का उपयोग करके,$O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $C$ पर काटता है। अतः,$C$ बिंदु $\sqrt{17}$ को दर्शाता है।

(N/A) $1$. एक संख्या रेखा पर $AB = 8.1$ इकाई का एक रेखाखंड खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ से $1$ इकाई की दूरी अंकित कीजिए और उस नए बिंदु को $C$ नाम दीजिए। अब,$AC = 8.1 + 1 = 9.1$ इकाई है।
$3$. $AC$ का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए और उसे $O$ अंकित कीजिए।
$4$. $O$ को केंद्र और $OC$ (या $OA$) को त्रिज्या मानकर एक अर्धवृत्त खींचिए।
$5$. बिंदु $B$ पर $AC$ के लंबवत एक रेखा खींचिए,जो अर्धवृत्त को बिंदु $D$ पर काटती है। $BD$ की लंबाई $\sqrt{8.1}$ है।
$6$. $B$ को केंद्र और $BD$ को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $E$ पर काटता है। इस प्रकार,$BE$ संख्या रेखा पर $\sqrt{8.1}$ को निरूपित करता है।

(C) सबसे पहले, प्रत्येक पद को भिन्न में बदलें:
$0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$x = 0.\overline{7} = 0.777\ldots$ के लिए
$10x = 7.777\ldots$
$10x$ में से $x$ घटाने पर $9x = 7$ प्राप्त होता है, इसलिए $x = \frac{7}{9}$।
$y = 0.4\overline{7} = 0.4777\ldots$ के लिए
$10y = 4.777\ldots$
$100y = 47.777\ldots$
$100y$ में से $10y$ घटाने पर $90y = 43$ प्राप्त होता है, इसलिए $y = \frac{43}{90}$।
अब, भिन्नों को जोड़ें:
$\frac{6}{10} + \frac{7}{9} + \frac{43}{90} = \frac{54}{90} + \frac{70}{90} + \frac{43}{90} = \frac{54 + 70 + 43}{90} = \frac{167}{90}$।
अतः, व्यंजक $\frac{167}{90}$ है।

(A) $-\frac{3}{4}$ और $-\frac{1}{3}$ के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,पहले $4$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करके हर को समान करें,जो $12$ है।
$-\frac{3}{4} = -\frac{3 \times 3}{4 \times 3} = -\frac{9}{12}$
$-\frac{1}{3} = -\frac{1 \times 4}{3 \times 4} = -\frac{4}{12}$
चूँकि $-9$ और $-4$ के बीच पर्याप्त पूर्णांक नहीं हैं,इसलिए अंश और हर को $2$ जैसे बड़े गुणक से गुणा करें ताकि अधिक स्थान मिल सके।
$-\frac{9}{12} = -\frac{18}{24}$
$-\frac{4}{12} = -\frac{8}{24}$
अब,हम $-\frac{18}{24}$ और $-\frac{8}{24}$ के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ चुन सकते हैं,जो $-\frac{17}{24}, -\frac{16}{24}, -\frac{15}{24}, -\frac{14}{24}, -\frac{13}{24}$ हैं।

(B) यह कथन असत्य है।
प्राकृत संख्याएँ $1, 2, 3, ...$ से शुरू होने वाली गिनती की संख्याओं का समूह हैं।
पूर्ण संख्याएँ प्राकृत संख्याओं में $0$ को शामिल करने पर बनने वाला समूह हैं,अर्थात $0, 1, 2, 3, ...$।
चूँकि $0$ एक पूर्ण संख्या है लेकिन प्राकृत संख्या नहीं है,इसलिए यह कथन कि प्रत्येक पूर्ण संख्या एक प्राकृत संख्या होती है,असत्य है।

(A) पूर्ण संख्याओं के समुच्चय को $W = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
पूर्णांकों के समुच्चय को $Z = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि पूर्ण संख्याओं के समुच्चय का प्रत्येक अवयव पूर्णांकों के समुच्चय में मौजूद होता है,इसलिए प्रत्येक पूर्ण संख्या एक पूर्णांक होती है।
अतः,यह कथन सत्य है।

(FALSE) यह कथन असत्य है।
पूर्ण संख्याएँ ${0, 1, 2, 3, ...}$ का समूह होती हैं।
पूर्णांक ${..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}$ का समूह होते हैं।
चूंकि ऋणात्मक संख्याएँ (जैसे $-1, -2, -3$) पूर्णांक तो हैं लेकिन पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं,इसलिए यह कथन कि 'प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है' गलत है।

(D) संख्या $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{98}}$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम व्यंजक को सरल करते हैं:
$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{98}} = \sqrt{\frac{50}{98}}$
अंश और हर दोनों को $2$ से विभाजित करने पर:
$\sqrt{\frac{50 \div 2}{98 \div 2}} = \sqrt{\frac{25}{49}}$
चूंकि $\sqrt{25} = 5$ और $\sqrt{49} = 7$ है,इसलिए व्यंजक का सरल रूप $\frac{5}{7}$ प्राप्त होता है।
वह संख्या जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है,एक परिमेय संख्या कहलाती है।
अतः,$\frac{5}{7}$ एक परिमेय संख्या है।

(D) $\sqrt{5^{2}+12^{2}}$ संख्या की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम सबसे पहले वर्गमूल के अंदर के मान की गणना करते हैं।
चरण $1$: वर्गों की गणना करें: $5^{2} = 25$ और $12^{2} = 144$।
चरण $2$: मानों को जोड़ें: $25 + 144 = 169$।
चरण $3$: वर्गमूल ज्ञात करें: $\sqrt{169} = 13$।
चूंकि $13$ एक धनात्मक पूर्णांक है,यह प्राकृत संख्याओं के समूह में आता है। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया व्यंजक $\sqrt{5} \times \sqrt{5}$ है।
वर्गमूल के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी $a \ge 0$ के लिए $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ होता है।
इसलिए,$\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$ प्राप्त होता है।
संख्या $5$ एक धनात्मक पूर्णांक है,जो प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots\}$ में आती है।
अतः,$\sqrt{5} \times \sqrt{5}$ एक प्राकृत संख्या है।

(D) प्राकृत संख्याएँ $1$ से शुरू होने वाली गिनती की संख्याओं का समूह हैं, अर्थात
$N = \{1, 2, 3, \ldots\}$।
पूर्ण संख्याएँ प्राकृत संख्याओं का वह समूह हैं जिसमें शून्य भी शामिल होता है, अर्थात
$W = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$।
दोनों समूहों की तुलना करने पर, संख्या $0$ पूर्ण संख्याओं के समूह में मौजूद है लेकिन प्राकृत संख्याओं के समूह में शामिल नहीं है।
अतः, सही उत्तर $0$ है।