Mix Examples - Number Systems Questions in Gujarati

(N/A) $(i)$ અસત્ય,કારણ કે $0$ એ પૂર્ણ સંખ્યા છે પરંતુ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી.
$(ii)$ સત્ય,કારણ કે દરેક પૂર્ણાંક $m$ ને $\frac{m}{1}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $m$ એ પૂર્ણાંક છે અને $1$ એ શૂન્યતર પૂર્ણાંક છે,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
$(iii)$ અસત્ય,કારણ કે $\frac{3}{5}$ એ સંમેય સંખ્યા છે પરંતુ તે પૂર્ણાંક સંખ્યા નથી.

(A) આ પ્રશ્નને ઉકેલવા માટે આપણે ઓછામાં ઓછી બે રીતોનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
રીત $1$: $r$ અને $s$ ની વચ્ચે સંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $\frac{r+s}{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
પ્રથમ સંખ્યા: $\frac{1+2}{2} = \frac{3}{2}$.
બીજી સંખ્યા: $\frac{1 + 3/2}{2} = \frac{5/2}{2} = \frac{5}{4}$.
ત્રીજી સંખ્યા: $\frac{1 + 5/4}{2} = \frac{9/4}{2} = \frac{9}{8}$.
ચોથી સંખ્યા: $\frac{3/2 + 2}{2} = \frac{7/2}{2} = \frac{7}{4}$.
પાંચમી સંખ્યા: $\frac{7/4 + 2}{2} = \frac{15/4}{2} = \frac{15}{8}$.
રીત $2$: બે સંખ્યાઓ વચ્ચે $n$ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે તેમને $n+1$ છેદ સાથે દર્શાવી શકીએ છીએ.
અહીં $n=5$ છે,તેથી આપણે $5+1=6$ છેદનો ઉપયોગ કરીશું.
$1 = \frac{6}{6}$ અને $2 = \frac{12}{6}$.
પાંચ સંમેય સંખ્યાઓ $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}$ અને $\frac{11}{6}$ છે.
તેનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપતા,આપણને $\frac{7}{6}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}$ અને $\frac{11}{6}$ મળે છે.

(N/A) $3$ અને $4$ ની વચ્ચે અસંખ્ય સંમેય સંખ્યાઓ આવેલી છે.
$n = 6$ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે $3$ અને $4$ ને $n + 1 = 7$ છેદ વાળી અપૂર્ણાંક સંખ્યા તરીકે દર્શાવી શકીએ.
$3 = \frac{3 \times 7}{7} = \frac{21}{7}$
$4 = \frac{4 \times 7}{7} = \frac{28}{7}$
આમ,$\frac{21}{7}$ અને $\frac{28}{7}$ ની વચ્ચેની છ સંમેય સંખ્યાઓ $\frac{22}{7}, \frac{23}{7}, \frac{24}{7}, \frac{25}{7}, \frac{26}{7}$ અને $\frac{27}{7}$ છે.

(N/A) $(i)$ સત્ય; પૂર્ણ સંખ્યાઓનો સમૂહ ${0, 1, 2, 3, ...}$ છે અને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ ${1, 2, 3, ...}$ છે. કારણ કે તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ પૂર્ણ સંખ્યાઓના ગણમાં સમાવિષ્ટ છે,તેથી આ વિધાન સત્ય છે.
$(ii)$ અસત્ય; પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં ઋણ સંખ્યાઓ,શૂન્ય અને ધન સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે,જ્યારે પૂર્ણ સંખ્યાઓમાં માત્ર શૂન્ય અને ધન સંખ્યાઓનો જ સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,$-3$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે પરંતુ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
$(iii)$ અસત્ય; સંમેય સંખ્યાઓમાં અપૂર્ણાંક અને દશાંશ સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે,જ્યારે પૂર્ણ સંખ્યાઓ માત્ર અ-ઋણ પૂર્ણાંકો છે. ઉદાહરણ તરીકે,$\frac{1}{5}$ એ સંમેય સંખ્યા છે પરંતુ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.

(N/A) $(i)$ સત્ય; વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાઓનો બનેલો છે. તેથી,દરેક અસંમેય સંખ્યા એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
$(ii)$ અસત્ય; સંખ્યા રેખા પરની ઋણ સંખ્યાઓને કોઈ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $m$ ના વર્ગમૂળ તરીકે દર્શાવી શકાતી નથી,કારણ કે કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાનું વર્ગમૂળ હંમેશા અઋણ હોય છે.
$(iii)$ અસત્ય; વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાં સંમેય અને અસંમેય બંને પ્રકારની સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,$2$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે પરંતુ તે સંમેય સંખ્યા છે,અસંમેય સંખ્યા નથી.

(N/A) $(i)$ $\sqrt{23} \approx 4.79583152331 \ldots$
દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને અનાવૃત હોવાથી,તે અસંમેય સંખ્યા છે.
$(ii)$ $\sqrt{225} = 15 = \frac{15}{1}$
તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
$(iii)$ $0.3796 = \frac{3796}{10000} = \frac{949}{2500}$
દશાંશ અભિવ્યક્તિ શાંત હોવાથી,તે સંમેય સંખ્યા છે.
$(iv)$ $7.478478 \ldots = 7.\overline{478}$
દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને આવૃત હોવાથી,તે સંમેય સંખ્યા છે.
$(v)$ $1.101001000100001 \ldots$
દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને અનાવૃત હોવાથી,તે અસંમેય સંખ્યા છે.

(C) કોઈપણ બે ભિન્ન સંમેય સંખ્યાઓની વચ્ચે અસંખ્ય સંમેય સંખ્યાઓ આવેલી હોય છે. આ ગુણધર્મને સંમેય સંખ્યાઓનો ઘનતાનો ગુણધર્મ (density property) કહેવામાં આવે છે.

(A) બે અસંમેય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર સંમેય અથવા અસંમેય હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે:
$1$. જો આપણે $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ લઈએ,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
$2$. જો આપણે $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ લઈએ,જે એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,ગુણાકાર ક્યારેક સંમેય અને ક્યારેક અસંમેય હોય છે.

(FALSE, FALSE) $(i)$ આપેલ વિધાન ખોટું છે. સંમેય સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે અને $q \neq 0$. અહીં,$\frac{\sqrt{2}}{3}$ માં $p = \sqrt{2}$ છે,જે અસંમેય સંખ્યા છે,પૂર્ણાંક નથી. તેથી,$\frac{\sqrt{2}}{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
$(ii)$ આપેલ વિધાન ખોટું છે. વ્યાખ્યા મુજબ,પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ (...,$-2, -1, 0, 1, 2, ...$) છે. કોઈપણ બે ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ,જેમ કે $3$ અને $4$ ની વચ્ચે કોઈ અન્ય પૂર્ણાંક સંખ્યા હોતી નથી.

(N/A) $(i)$ આ વિધાન ખોટું છે. કોઈપણ બે ભિન્ન સંમેય સંખ્યાઓની વચ્ચે અસંખ્ય સંમેય સંખ્યાઓ આવેલી હોય છે. તેથી,$15$ અને $18$ ની વચ્ચે સંમેય સંખ્યાઓની સંખ્યા અનંત છે.
$(ii)$ આ વિધાન સાચું છે. જે સંખ્યાઓને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં (જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$) દર્શાવી શકાતી નથી,તેને અસંમેય સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,અને $\pi$ આવી સંખ્યાઓ છે.

(N/A) $(i)$ આ વિધાન ખોટું છે. અસંમેય સંખ્યા $\sqrt[4]{2}$ લો. તેનો વર્ગ $(\sqrt[4]{2})^{2} = \sqrt{2}$ થાય છે,જે એક અસંમેય સંખ્યા છે.
$(ii)$ આ વિધાન ખોટું છે. આપણે પદાવલિનું સાદું રૂપ આપી શકીએ: $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$. કારણ કે $2$ ને $\frac{2}{1}$ તરીકે લખી શકાય છે,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $(i)$ $\sqrt{196} = 14$. કારણ કે $14$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ (એટલે કે $\frac{14}{1}$),તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
$(ii)$ $3\sqrt{18} = 3\sqrt{9 \times 2} = 3 \times 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$. કારણ કે $\sqrt{2}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે અને શૂન્યતર સંમેય સંખ્યા તથા અસંમેય સંખ્યાનો ગુણાકાર હંમેશા અસંમેય હોય છે,તેથી $9\sqrt{2}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $(i)$ $0.5918$ એ શાંત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે. જે સંખ્યાને શાંત દશાંશ તરીકે દર્શાવી શકાય તે સંમેય સંખ્યા છે કારણ કે તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$. અહીં,$0.5918 = \frac{5918}{10000}$,જે સંમેય છે.
$(ii)$ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $(1+\sqrt{5})-(4+\sqrt{5}) = 1 + \sqrt{5} - 4 - \sqrt{5} = 1 - 4 = -3$. કારણ કે $-3$ ને $\frac{-3}{1}$ તરીકે લખી શકાય છે,જે $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $-1$ અને $-2$ ની વચ્ચેની સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે તેમને સમાન છેદ ધરાવતા અપૂર્ણાંકો તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
ધારો કે સંખ્યાઓ $-1 = -10/10$ અને $-2 = -20/10$ છે.
$-20/10$ અને $-10/10$ ની વચ્ચેની કોઈપણ ત્રણ સંખ્યાઓ સંમેય સંખ્યાઓ છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$-11/10, -12/10, -13/10$ એ $-1$ અને $-2$ ની વચ્ચેની ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આને $-1.1, -1.2, -1.3$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(B) $\frac{1}{4}$ અને $\frac{1}{5}$ ની વચ્ચેની સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદ સમાન બનાવીશું.
$4$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $20$ છે.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = \frac{5}{20}$
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 4}{5 \times 4} = \frac{4}{20}$
ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $(3+1) = 4$ વડે ગુણીશું.
$\frac{5}{20} = \frac{5 \times 4}{20 \times 4} = \frac{20}{80}$
$\frac{4}{20} = \frac{4 \times 4}{20 \times 4} = \frac{16}{80}$
$\frac{16}{80}$ અને $\frac{20}{80}$ ની વચ્ચેની સંમેય સંખ્યાઓ $\frac{17}{80}, \frac{18}{80}, \frac{19}{80}$ છે.
આમ,$\frac{1}{4}$ અને $\frac{1}{5}$ ની વચ્ચેની ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ $\frac{17}{80}, \frac{18}{80}, \frac{19}{80}$ (અથવા $\frac{9}{40}$) છે.

(A) સંમેય સંખ્યા એવી સંખ્યા છે જેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$. $2$ અને $3$ ની સરેરાશ $\frac{2+3}{2} = 2.5$ છે,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
અસંમેય સંખ્યા એવી સંખ્યા છે જેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતી નથી અને તેનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને અનાવૃત હોય છે.
$2$ અને $3$ ની વચ્ચેની એક અસંમેય સંખ્યાનું ઉદાહરણ $2.1010010001...$ (અનંત અને અનાવૃત દશાંશ) છે.

(N/A) $\frac{1}{3}$ અને $\frac{1}{2}$ ની વચ્ચે એક સંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે તેમને સમાન છેદ સાથે દર્શાવી શકીએ છીએ:
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$ અને $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 6}{2 \times 6} = \frac{6}{12}$.
અહીં $\frac{4}{12} < \frac{5}{12} < \frac{6}{12}$ હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{5}{12}$ એ $\frac{1}{3}$ અને $\frac{1}{2}$ ની વચ્ચે આવેલી છે.
અસંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંકોને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવીએ:
$\frac{1}{3} = 0.3333\ldots$ અને $\frac{1}{2} = 0.5$.
અસંમેય સંખ્યા એ અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સંખ્યા છે. આપણે $0.414114111\ldots$ જેવી સંખ્યા પસંદ કરી શકીએ છીએ,જે $0.3333\ldots$ કરતા મોટી અને $0.5$ કરતા નાની છે.

(N/A) સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંકોને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો:
$\frac{-2}{5} = -0.4$ અને $\frac{1}{2} = 0.5$
$1$. સંમેય સંખ્યા:
સંમેય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા જેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$. કોઈપણ શાંત દશાંશ એ સંમેય સંખ્યા છે. આપણે $0$ (અથવા $0.1$,$0.2$ વગેરે) પસંદ કરી શકીએ છીએ કારણ કે તે $-0.4$ અને $0.5$ ની વચ્ચે આવે છે.
આમ,$0$ એ $\frac{-2}{5}$ અને $\frac{1}{2}$ ની વચ્ચેની એક સંમેય સંખ્યા છે.
$2$. અસંમેય સંખ્યા:
અસંમેય સંખ્યા એ અનંત અને અનાવૃત દશાંશ છે. આપણે એક એવી સંખ્યા બનાવી શકીએ જેનું પુનરાવર્તન ન થતું હોય. ઉદાહરણ તરીકે,$0.1010010001...$ એ $-0.4$ અને $0.5$ ની વચ્ચે આવે છે.
આમ,$0.1010010001...$ એ $\frac{-2}{5}$ અને $\frac{1}{2}$ ની વચ્ચેની એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) સંમેય સંખ્યા એ એવી સંખ્યા છે જેને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$. કોઈપણ શાંત દશાંશ સંખ્યા એ સંમેય સંખ્યા છે.
$1.$ $0.15$ અને $0.16$ ની વચ્ચે એક સંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $0.151$ જેવી કોઈપણ શાંત દશાંશ સંખ્યા પસંદ કરી શકીએ છીએ. કારણ કે $0.15 < 0.151 < 0.16$,તેથી $0.151$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
$2.$ અસંમેય સંખ્યા એ એવી સંખ્યા છે જેનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને અનાવૃત (non-terminating and non-recurring) હોય છે. $0.15$ અને $0.16$ ની વચ્ચે એક અસંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે એવી પેટર્ન બનાવી શકીએ જેનું પુનરાવર્તન ન થતું હોય.
$0.15101101110...$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે તે અનંત અને અનાવૃત છે,અને તે $0.15$ તથા $0.16$ ની વચ્ચે આવેલી છે.

દશાંશ વિસ્તરણ આ મુજબ છે: $\sqrt{2} \approx 1.4142135 \ldots$ અને $\sqrt{3} \approx 1.7320508 \ldots$
$1$. સંમેય સંખ્યા: $1.5$ જેવી શાંત દશાંશ સંખ્યા $1.4142135 \ldots$ અને $1.7320508 \ldots$ ની વચ્ચે આવેલી છે. કારણ કે $1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
$2$. અસંમેય સંખ્યા: $1.575575557 \ldots$ જેવી અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સંખ્યા $1.4142135 \ldots$ અને $1.7320508 \ldots$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આમ,$1.575575557 \ldots$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) સંમેય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા જેને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે. અહીં $2.357 < 3 < 3.121$ હોવાથી,પૂર્ણાંક $3$ એ $2.357$ અને $3.121$ ની વચ્ચેની એક સંમેય સંખ્યા છે.
અસંમેય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા કે જેનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને અનાવૃત હોય. $3.101101110\dots$ જેવી સંખ્યા $2.357 < 3.101101110\dots < 3.121$ ની શરતનું પાલન કરે છે,તેથી તે આપેલી સંખ્યાઓ વચ્ચેની એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) સંમેય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા જેને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે. શાંત દશાંશ સંખ્યા એ સંમેય સંખ્યા છે.
$1$. સંમેય સંખ્યા: આપણે $0.0005$ પસંદ કરી શકીએ છીએ. કારણ કે $0.0005 = 5/10000 = 1/2000$,તેથી તે $0.0001$ અને $0.001$ ની વચ્ચે આવેલી એક સંમેય સંખ્યા છે.
$2$. અસંમેય સંખ્યા: અસંમેય સંખ્યા એ અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સંખ્યા છે. આપણે એક ચોક્કસ ભાત (pattern) અનુસરીને તેને બનાવી શકીએ છીએ: $0.0001010010001...$ આ સંખ્યા સ્પષ્ટપણે $0.0001$ કરતા મોટી અને $0.001$ કરતા નાની છે,અને તે શાંત કે પુનરાવર્તિત થતી નથી,તેથી તે એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $0.484848$ અને $3.623623$ ની વચ્ચે એક સંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે આ શ્રેણીમાં કોઈપણ શાંત દશાંશ અથવા પૂર્ણાંક પસંદ કરી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે,$1$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે કારણ કે તેને $\frac{1}{1}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$0.484848$ અને $3.623623$ ની વચ્ચે એક અસંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણને અનંત અને અનાવૃત દશાંશની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે,$1.909009000\dots$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત થતું નથી કે પુનરાવર્તિત થતું નથી.

(N/A) આપેલ સંખ્યાઓને સંખ્યા રેખા પર દર્શાવવા માટે:
$1$. $7$: આ એક ધન પૂર્ણાંક છે. સંખ્યા રેખા પર $0$ ની જમણી બાજુએ $7$ ને શોધો.
$2$. $7.2$: આ $7 + 0.2$ છે. $7$ અને $8$ વચ્ચેના ભાગને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો. $7$ પછીનું બીજું નિશાન $7.2$ દર્શાવે છે.
$3$. $\frac{-3}{2} = -1.5$: આ એક ઋણ સંમેય સંખ્યા છે. તે $0$ ની ડાબી બાજુએ $-1$ અને $-2$ ની બરાબર વચ્ચે આવેલી છે.
$4$. $\frac{-12}{5} = -2.4$: આ એક ઋણ સંમેય સંખ્યા છે. $-2$ અને $-3$ વચ્ચેના ભાગને $5$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો. $-2$ ની ડાબી બાજુનું ચોથું નિશાન $-2.4$ દર્શાવે છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{5}$ નું નિરૂપણ:
અમે $5$ ને બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળા તરીકે લખીએ છીએ:
$5 = 1 + 4 = 1^{2} + 2^{2}$
સંખ્યા રેખા પર,$OA = 2$ એકમ લો.
$OA$ ને લંબ $BA = 1$ એકમ દોરો. $OB$ ને જોડો.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OB = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$.
પરિકરનો ઉપયોગ કરીને,$O$ ને કેન્દ્ર અને $OB$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $C$ પર છેદે છે. આમ,$C$ એ $\sqrt{5}$ ને અનુરૂપ છે.
સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{10}$ નું નિરૂપણ:
અમે $10$ ને બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળા તરીકે લખીએ છીએ:
$10 = 1 + 9 = 1^{2} + 3^{2}$
સંખ્યા રેખા પર,$OA = 3$ એકમ લો.
$OA$ ને લંબ $BA = 1$ એકમ દોરો. $OB$ ને જોડો.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OB = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}$.
પરિકરનો ઉપયોગ કરીને,$O$ ને કેન્દ્ર અને $OB$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $C$ પર છેદે છે. આમ,$C$ એ $\sqrt{10}$ ને અનુરૂપ છે.
સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{17}$ નું નિરૂપણ:
અમે $17$ ને બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળા તરીકે લખીએ છીએ:
$17 = 1 + 16 = 1^{2} + 4^{2}$
સંખ્યા રેખા પર,$OA = 4$ એકમ લો.
$OA$ ને લંબ $BA = 1$ એકમ દોરો. $OB$ ને જોડો.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OB = \sqrt{4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{17}$.
પરિકરનો ઉપયોગ કરીને,$O$ ને કેન્દ્ર અને $OB$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $C$ પર છેદે છે. આમ,$C$ એ $\sqrt{17}$ ને અનુરૂપ છે.

(N/A) $1$. સંખ્યા રેખા પર $AB = 8.1$ એકમનો રેખાખંડ દોરો.
$2$. બિંદુ $B$ થી $1$ એકમનું અંતર માપો અને તે નવા બિંદુને $C$ નામ આપો. હવે,$AC = 8.1 + 1 = 9.1$ એકમ થશે.
$3$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ શોધો અને તેને $O$ નામ આપો.
$4$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $OC$ (અથવા $OA$) ને ત્રિજ્યા લઈને એક અર્ધવર્તુળ દોરો.
$5$. બિંદુ $B$ આગળ $AC$ ને લંબ રેખા દોરો,જે અર્ધવર્તુળને બિંદુ $D$ માં છેદે છે. $BD$ ની લંબાઈ $\sqrt{8.1}$ છે.
$6$. $B$ ને કેન્દ્ર અને $BD$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $E$ માં છેદે છે. આમ,$BE$ નું અંતર સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{8.1}$ દર્શાવે છે.

(C) પ્રથમ, દરેક પદને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$x = 0.\overline{7} = 0.777\ldots$ માટે
$10x = 7.777\ldots$
$10x$ માંથી $x$ બાદ કરતા $9x = 7$ મળે, તેથી $x = \frac{7}{9}$.
$y = 0.4\overline{7} = 0.4777\ldots$ માટે
$10y = 4.777\ldots$
$100y = 47.777\ldots$
$100y$ માંથી $10y$ બાદ કરતા $90y = 43$ મળે, તેથી $y = \frac{43}{90}$.
હવે, અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરો:
$\frac{6}{10} + \frac{7}{9} + \frac{43}{90} = \frac{54}{90} + \frac{70}{90} + \frac{43}{90} = \frac{54 + 70 + 43}{90} = \frac{167}{90}$.
આમ, અભિવ્યક્તિ $\frac{167}{90}$ છે.

(A) $-\frac{3}{4}$ અને $-\frac{1}{3}$ ની વચ્ચે સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ $4$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીને છેદ સમાન કરો,જે $12$ છે.
$-\frac{3}{4} = -\frac{3 \times 3}{4 \times 3} = -\frac{9}{12}$
$-\frac{1}{3} = -\frac{1 \times 4}{3 \times 4} = -\frac{4}{12}$
$-9$ અને $-4$ ની વચ્ચે પૂરતી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ ન હોવાથી,અંશ અને છેદને $2$ જેવા મોટા અવયવ વડે ગુણો જેથી વધુ જગ્યા મળે.
$-\frac{9}{12} = -\frac{18}{24}$
$-\frac{4}{12} = -\frac{8}{24}$
હવે,આપણે $-\frac{18}{24}$ અને $-\frac{8}{24}$ ની વચ્ચે પાંચ સંમેય સંખ્યાઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ,જે $-\frac{17}{24}, -\frac{16}{24}, -\frac{15}{24}, -\frac{14}{24}, -\frac{13}{24}$ છે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ એ $1, 2, 3, ...$ થી શરૂ થતી ગણતરીની સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.
પૂર્ણ સંખ્યાઓ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં $0$ નો સમાવેશ કરીને બનતો સમૂહ છે,એટલે કે $0, 1, 2, 3, ...$.
કારણ કે $0$ એ પૂર્ણ સંખ્યા છે પરંતુ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી,તેથી દરેક પૂર્ણ સંખ્યા પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે તે વિધાન ખોટું છે.

(A) પૂર્ણ સંખ્યાઓનો ગણ $W = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ $Z = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
પૂર્ણ સંખ્યાઓના ગણનો દરેક ઘટક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણમાં સમાવિષ્ટ હોવાથી,દરેક પૂર્ણ સંખ્યા એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
તેથી,આ વિધાન ખરું છે.

(FALSE) આ વિધાન ખોટું છે.
પૂર્ણ સંખ્યાઓનો સમૂહ ${0, 1, 2, 3, ...}$ છે.
પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સમૂહ ${..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}$ છે.
કારણ કે ઋણ સંખ્યાઓ (જેમ કે $-1, -2, -3$) એ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે પરંતુ તે પૂર્ણ સંખ્યાઓ નથી,તેથી 'દરેક પૂર્ણાંક સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા છે' તે વિધાન ખોટું છે.

(D) સંખ્યા $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{98}}$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીએ:
$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{98}} = \sqrt{\frac{50}{98}}$
અંશ અને છેદ બંનેને $2$ વડે ભાગતા:
$\sqrt{\frac{50 \div 2}{98 \div 2}} = \sqrt{\frac{25}{49}}$
કારણ કે $\sqrt{25} = 5$ અને $\sqrt{49} = 7$ છે,તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ $\frac{5}{7}$ મળે છે.
જે સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક હોય અને $q \neq 0$ હોય,તેને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
આથી,$\frac{5}{7}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.

(D) $\sqrt{5^{2}+12^{2}}$ સંખ્યાનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વર્ગમૂળની અંદરની કિંમતની ગણતરી કરીએ.
પગલું $1$: વર્ગની ગણતરી કરો: $5^{2} = 25$ અને $12^{2} = 144$.
પગલું $2$: કિંમતોનો સરવાળો કરો: $25 + 144 = 169$.
પગલું $3$: વર્ગમૂળ શોધો: $\sqrt{169} = 13$.
કારણ કે $13$ એ ધન પૂર્ણાંક છે,તે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણમાં આવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $\sqrt{5} \times \sqrt{5}$ છે.
વર્ગમૂળના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ $a \ge 0$ માટે $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ થાય છે.
તેથી,$\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$ મળે.
સંખ્યા $5$ એ ધન પૂર્ણાંક છે,જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $\{1, 2, 3, \dots\}$ માં આવે છે.
આમ,$\sqrt{5} \times \sqrt{5}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

(D) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ એ $1$ થી શરૂ થતી ગણતરીની સંખ્યાઓનો સમૂહ છે, એટલે કે $N = \{1, 2, 3, ...\}.$
પૂર્ણ સંખ્યાઓ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે જેમાં શૂન્યનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે $W = \{0, 1, 2, 3, ...\}.$
બંને સમૂહોની સરખામણી કરતા, સંખ્યા $0$ એ પૂર્ણ સંખ્યાઓના સમૂહમાં છે પરંતુ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં તેનો સમાવેશ થતો નથી.
તેથી, સાચો જવાબ $0$ છે.