Operations on Real Numbers Questions in Gujarati

(A) આપેલ પદોનો સરવાળો કરવા માટે,સમાન પદો (જેમાં વર્ગમૂળનો અવયવ સમાન હોય) ને સાથે લો:
$(2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3}) + (\sqrt{2} - 3 \sqrt{3})$
$= (2 \sqrt{2} + \sqrt{2}) + (5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3})$
$= (2 + 1) \sqrt{2} + (5 - 3) \sqrt{3}$
$= 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$

(B) $6 \sqrt{5}$ નો $2 \sqrt{5}$ સાથે ગુણાકાર કરવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
$1$. સંમેય સહગુણકોનો ગુણાકાર કરો: $6 \times 2 = 12$.
$2$. વર્ગમૂળ વાળા પદોનો ગુણાકાર કરો: $\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$.
$3$. પરિણામોનો ગુણાકાર કરો: $12 \times 5 = 60$.
આમ,$6 \sqrt{5} \times 2 \sqrt{5} = 60$.

(C) $8 \sqrt{15}$ ને $2 \sqrt{3}$ વડે ભાગવા માટે,આપણે તેને અપૂર્ણાંક તરીકે લખીએ છીએ:
$\frac{8 \sqrt{15}}{2 \sqrt{3}}$
આપણે $\sqrt{15}$ ને $\sqrt{3} \times \sqrt{5}$ માં વિભાજિત કરીને પદને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$= \frac{8 \times \sqrt{3} \times \sqrt{5}}{2 \sqrt{3}}$
અંશ અને છેદમાંથી સામાન્ય પદ $\sqrt{3}$ ને દૂર કરતા:
$= \frac{8}{2} \times \sqrt{5}$
$= 4 \sqrt{5}$

$(i)$ વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $(5+\sqrt{7})(2+\sqrt{5}) = 5(2) + 5(\sqrt{5}) + \sqrt{7}(2) + \sqrt{7}(\sqrt{5}) = 10 + 5\sqrt{5} + 2\sqrt{7} + \sqrt{35}$.
$(ii)$ નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા: $(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5}) = 5^2 - (\sqrt{5})^2 = 25 - 5 = 20$.
$(iii)$ નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા: $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{7}) + (\sqrt{7})^2 = 3 + 2\sqrt{21} + 7 = 10 + 2\sqrt{21}$.
$(iv)$ નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા: $(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{11}+\sqrt{7}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{7})^2 = 11 - 7 = 4$.

(A) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદ બંનેને $\sqrt{2}$ વડે ગુણીશું.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$
કારણ કે $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ થાય છે,તેથી આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
આમ,સંમેયીકરણ કરેલું સ્વરૂપ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ છે.

(B) $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(2-\sqrt{3})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{1}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2)^2 - (\sqrt{3})^2}$
નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3}$.

(B) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{3}+\sqrt{5})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
છેદમાં બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}$
$= \frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{3 - 5}$
$= \frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{-2}$
$= -\frac{5}{2}(\sqrt{3}+\sqrt{5})$

(A) $\frac{1}{7+3 \sqrt{2}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(7-3 \sqrt{2})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{1}{7+3 \sqrt{2}} = \frac{1}{7+3 \sqrt{2}} \times \frac{7-3 \sqrt{2}}{7-3 \sqrt{2}}$
છેદમાં $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{7-3 \sqrt{2}}{(7)^2 - (3 \sqrt{2})^2}$
$= \frac{7-3 \sqrt{2}}{49 - (9 \times 2)}$
$= \frac{7-3 \sqrt{2}}{49 - 18}$
$= \frac{7-3 \sqrt{2}}{31}$

(N/A) $(i)$ $2-\sqrt{5}$: આ એક સંમેય અને એક અસંમેય સંખ્યાનો તફાવત હોવાથી,તે અસંમેય સંખ્યા છે.
$(ii)$ $(3+\sqrt{23})-\sqrt{23} = 3+\sqrt{23}-\sqrt{23} = 3$. કારણ કે $3$ ને $\frac{3}{1}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
$(iii)$ $\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}} = \frac{2}{7}$. આ $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
$(iv)$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$: સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાનો ભાગાકાર હંમેશા અસંમેય સંખ્યા હોય છે. તેથી,તે અસંમેય સંખ્યા છે.
$(v)$ $2 \pi$: શૂન્યતર સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાનો ગુણાકાર હંમેશા અસંમેય સંખ્યા હોય છે. તેથી,$2 \pi$ અસંમેય સંખ્યા છે.

(C) આપેલ પદોનો સરવાળો કરવા માટે,આપણે $\sqrt{3}$ ને સામાન્ય પદ તરીકે લઈશું.
આપેલ પદાવલિ: $2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$.
આને $(2 + 1) \sqrt{3}$ તરીકે લખી શકાય.
કૌંસમાં રહેલા પદોનો સરવાળો કરતા: $3 \sqrt{3}$ મળે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) કરણીના ગુણધર્મ $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sqrt{10} \times \sqrt{15} = \sqrt{10 \times 15}$
$= \sqrt{150}$
$= \sqrt{25 \times 6}$
$= \sqrt{25} \times \sqrt{6}$
$= 5 \sqrt{6}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $\frac{1}{7-\sqrt{2}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદ બંનેને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(7+\sqrt{2})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{1}{7-\sqrt{2}} = \frac{1}{7-\sqrt{2}} \times \frac{7+\sqrt{2}}{7+\sqrt{2}}$
છેદમાં નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{7+\sqrt{2}}{(7)^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{7+\sqrt{2}}{49-2}$
$= \frac{7+\sqrt{2}}{47}$
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ પદ: $\frac{1}{\sqrt{9}-\sqrt{8}}$
અહીં $\sqrt{9} = 3$ અને $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ હોવાથી,પદ આ મુજબ થશે:
$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $(3+2\sqrt{2})$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{3-2\sqrt{2}} \times \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{(3)^2 - (2\sqrt{2})^2}$
છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$(3)^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \times 2) = 9 - 8 = 1$
આમ,પદનું સાદું રૂપ:
$\frac{3+2\sqrt{2}}{1} = 3+2\sqrt{2}$
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો જવાબ છે.

(C) $\frac{7}{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{7}{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}} \times \frac{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}} = \frac{7(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{(3 \sqrt{3})^2 - (2 \sqrt{2})^2}$
$= \frac{7(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{(9 \times 3) - (4 \times 2)} = \frac{7(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{27 - 8}$
$= \frac{7(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{19}$
આમ,છેદ $19$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sqrt{32}+\sqrt{48}}{\sqrt{8}+\sqrt{12}}$
અંશ અને છેદમાં રહેલા વર્ગમૂળનું સાદું રૂપ આપતા:
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{4\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}$
સામાન્ય પદ બહાર કાઢતા:
$\frac{4(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}$
સમાન પદ $(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ ને છેદતા:
$\frac{4}{2} = 2$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) પદાવલિ $\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}$ ને સરળ બનાવવા માટે,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું:
$\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1) \times (\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1) \times (\sqrt{2}-1)}}$
$= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}}$
$= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}}$
$= \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}$
$= \sqrt{2}-1$
આપેલ છે કે $\sqrt{2} = 1.4142$,તેથી:
$1.4142 - 1 = 0.4142$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(A) હા,$x+y$ હંમેશા એક અસંમેય સંખ્યા જ હોય છે.
અનિષ્ટત્તિની રીત (Proof by contradiction):
ધારો કે $x+y = r$,જ્યાં $r$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
અહીં $x$ સંમેય સંખ્યા છે,તેથી આપણે $y = r - x$ લખી શકીએ.
બે સંમેય સંખ્યાઓ ($r$ અને $x$) ની બાદબાકી હંમેશા સંમેય સંખ્યા જ હોય છે,તેથી $y$ પણ સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
પરંતુ,આ આપેલ માહિતીનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $y$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $x+y$ એક અસંમેય સંખ્યા જ હોવી જોઈએ.
ઉદાહરણ:
ધારો કે $x = 5$ (સંમેય) અને $y = \sqrt{2}$ (અસંમેય).
તો,$x+y = 5 + \sqrt{2} = 6.4142...$,જે અનંત અને અનાવૃત દશાંશ છે.
આમ,$x+y$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(NO) ધારો કે $x = 0$ (એક સંમેય સંખ્યા) અને $y = \sqrt{3}$ (એક અસંમેય સંખ્યા) છે.
તેથી,તેમનો ગુણાકાર $xy = 0 \times \sqrt{3} = 0$ થાય.
કારણ કે $0$ ને $\frac{0}{1}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
આમ,$xy$ હંમેશા અસંમેય સંખ્યા હોય તે જરૂરી નથી.

(A) પદાવલિ $(3 \sqrt{5}-5 \sqrt{2})(4 \sqrt{5}+3 \sqrt{2})$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીશું:
$= (3 \sqrt{5} \times 4 \sqrt{5}) + (3 \sqrt{5} \times 3 \sqrt{2}) - (5 \sqrt{2} \times 4 \sqrt{5}) - (5 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2})$
$= (12 \times 5) + (9 \sqrt{10}) - (20 \sqrt{10}) - (15 \times 2)$
$= 60 + 9 \sqrt{10} - 20 \sqrt{10} - 30$
$= (60 - 30) + (9 \sqrt{10} - 20 \sqrt{10})$
$= 30 - 11 \sqrt{10}$

(B) $\frac{6}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું,જેમાં અંશ અને છેદને $(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{6}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}} = \frac{6(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}$
નિત્યસમ $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $(3 \sqrt{2})^2 - (2 \sqrt{3})^2 = (9 \times 2) - (4 \times 3) = 18 - 12 = 6$ થશે.
તેથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $\frac{6(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{6} = 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ મળે છે.
આને આપેલા સમીકરણ $3 \sqrt{2} - a \sqrt{3} = 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $-a \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ મળે છે.
બંને બાજુને $-\sqrt{3}$ વડે ભાગતા,આપણને $a = -2$ મળે છે.

(N/A) $(i)$ $(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2}) = 3(2+\sqrt{2}) + \sqrt{3}(2+\sqrt{2})$
$= 6 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{6}$
$(ii)$ નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3}) = (3)^2 - (\sqrt{3})^2 = 9 - 3 = 6$
$(iii)$ નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{2}) = 5 + 2 + 2\sqrt{10} = 7 + 2\sqrt{10}$
$(iv)$ નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

(N/A) $(i)$ $\frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{1 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$
$(ii)$ $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}} = \frac{1 \times (\sqrt{7}+\sqrt{6})}{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{7-6} = \sqrt{7}+\sqrt{6}$
$(iii)$ $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$
$(iv)$ $\frac{1}{\sqrt{7}-2} = \frac{1 \times (\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)} = \frac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7})^2 - (2)^2} = \frac{\sqrt{7}+2}{7-4} = \frac{\sqrt{7}+2}{3}$

(A) $\frac{5}{7}$ અને $\frac{6}{7}$ ની વચ્ચે ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે બંને અપૂર્ણાંકોના અંશ અને છેદને $(3+1) = 4$ અથવા $10$ જેવી કોઈ મોટી સંખ્યા વડે ગુણી શકીએ છીએ.
$10$ વડે ગુણતા:
$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 10}{7 \times 10} = \frac{50}{70}$
$\frac{6}{7} = \frac{6 \times 10}{7 \times 10} = \frac{60}{70}$
હવે,આપણે $\frac{50}{70}$ અને $\frac{60}{70}$ ની વચ્ચેની કોઈપણ ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ,જેમ કે $\frac{51}{70}, \frac{52}{70}, \text{ અને } \frac{53}{70}$.
આમ,$\frac{5}{7}$ અને $\frac{6}{7}$ ની વચ્ચેની ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ $\frac{51}{70}, \frac{52}{70}, \text{ અને } \frac{53}{70}$ છે.

(C) પદાવલિ $\sqrt{45}-3 \sqrt{20}+4 \sqrt{5}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વર્ગમૂળની અંદરની સંખ્યાઓના અવયવ પાડીશું:
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3 \sqrt{5}$
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5}$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$3 \sqrt{5} - 3(2 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5}$
$= 3 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5}$
$= (3 - 6 + 4) \sqrt{5}$
$= 1 \sqrt{5} = \sqrt{5}$

(D) સૌ પ્રથમ,વર્ગમૂળનું સાદું રૂપ આપો:
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2 \sqrt{6}$
$\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3 \sqrt{6}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{2 \sqrt{6}}{8} + \frac{3 \sqrt{6}}{9} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{3}$
છેદ સમાન કરતા,જે $12$ છે:
$\frac{3 \sqrt{6}}{12} + \frac{4 \sqrt{6}}{12} = \frac{3 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6}}{12} = \frac{7 \sqrt{6}}{12}$

(A) પદાવલિ $4 \sqrt{12} \times 7 \sqrt{6}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વર્ગમૂળની અંદરની સંખ્યાઓના અવયવો પાડીશું:
$4 \sqrt{12} = 4 \sqrt{4 \times 3} = 4 \times 2 \sqrt{3} = 8 \sqrt{3}$
$7 \sqrt{6} = 7 \sqrt{2 \times 3}$
હવે,આ બંને પદાવલિઓનો ગુણાકાર કરીએ:
$8 \sqrt{3} \times 7 \sqrt{2 \times 3} = (8 \times 7) \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) \times \sqrt{2}$
$= 56 \times 3 \times \sqrt{2}$
$= 168 \sqrt{2}$

(B) પદાવલિ $4 \sqrt{28} \div 3 \sqrt{7}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,સૌ પ્રથમ ભાગાકારને અપૂર્ણાંક તરીકે લખીએ:
$\frac{4 \sqrt{28}}{3 \sqrt{7}}$
હવે,$28$ નું વર્ગમૂળ મેળવવા માટે તેના અવયવ પાડીએ,$28 = 4 \times 7$:
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2 \sqrt{7}$
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{4 \times (2 \sqrt{7})}{3 \sqrt{7}}$
અંશ અને છેદમાંથી સામાન્ય પદ $\sqrt{7}$ ને દૂર કરતા:
$\frac{4 \times 2}{3} = \frac{8}{3}$

(B) આપેલ પદાવલિ: $3 \sqrt{3}+2 \sqrt{27}+\frac{7}{\sqrt{3}}$
પ્રથમ,$\sqrt{27}$ નું સાદું રૂપ આપો:
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3 \sqrt{3}$
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$=3 \sqrt{3}+2(3 \sqrt{3})+\frac{7}{\sqrt{3}}$
$=3 \sqrt{3}+6 \sqrt{3}+\frac{7}{\sqrt{3}}$
ત્રીજા પદના છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{7 \sqrt{3}}{3}$
હવે પદોનો સરવાળો કરતા:
$=3 \sqrt{3}+6 \sqrt{3}+\frac{7 \sqrt{3}}{3}$
$=9 \sqrt{3}+\frac{7 \sqrt{3}}{3}$
$= \sqrt{3} \left(9+\frac{7}{3}\right)$
$= \sqrt{3} \left(\frac{27+7}{3}\right)$
$= \frac{34}{3} \sqrt{3}$

(D) પદાવલિ $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a-b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = \sqrt{3}$ અને $b = \sqrt{2}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2} = (\sqrt{3})^{2} + (\sqrt{2})^{2} - 2(\sqrt{3})(\sqrt{2})$
કારણ કે $(\sqrt{x})^{2} = x$ અને $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ થાય છે:
$= 3 + 2 - 2\sqrt{3 \times 2}$
$= 5 - 2\sqrt{6}$

(A) પદાવલિ $\sqrt[4]{81}-8 \sqrt[3]{216}+15 \sqrt[5]{32}+\sqrt{225}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે દરેક પદની કિંમત શોધીશું:
$1$. $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^{4}} = 3$
$2$. $\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{6^{3}} = 6$,તેથી $8 \sqrt[3]{216} = 8 \times 6 = 48$
$3$. $\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^{5}} = 2$,તેથી $15 \sqrt[5]{32} = 15 \times 2 = 30$
$4$. $\sqrt{225} = \sqrt{15^{2}} = 15$
આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$3 - 48 + 30 + 15$
$= (3 + 30 + 15) - 48$
$= 48 - 48 = 0$

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{3}{\sqrt{8}} + \frac{1}{\sqrt{2}}$
પ્રથમ,$\sqrt{8}$ ને $\sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ તરીકે સાદું રૂપ આપો.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{3}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આ અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવા માટે,સામાન્ય છેદ $2\sqrt{2}$ મેળવો.
$\frac{3}{2\sqrt{2}} + \frac{1 \times 2}{\sqrt{2} \times 2} = \frac{3}{2\sqrt{2}} + \frac{2}{2\sqrt{2}}$.
$= \frac{3 + 2}{2\sqrt{2}} = \frac{5}{2\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણો:
$= \frac{5 \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2 \times 2} = \frac{5\sqrt{2}}{4}$.

(C) પદાવલિ $\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ અપૂર્ણાંકો માટે સામાન્ય છેદ શોધીશું,જે $6$ છે.
$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{2 \sqrt{3} \times 2}{3 \times 2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$
$= \frac{4 \sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{6}$
$= \frac{4 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{6}$
$= \frac{3 \sqrt{3}}{6}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}$

(D) $\frac{2}{3 \sqrt{3}}$ નો છેદ સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદ બંનેને $\sqrt{3}$ વડે ગુણીશું:
$\frac{2}{3 \sqrt{3}} = \frac{2}{3 \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$= \frac{2 \sqrt{3}}{3 \times 3}$
$= \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

(A) $\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{3}}$ નો છેદ સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદ બંનેને $\sqrt{3}$ વડે ગુણીશું.
$\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{40} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$
કારણ કે $\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}$,તેથી:
$= \frac{2\sqrt{10} \times \sqrt{3}}{3}$
$= \frac{2\sqrt{30}}{3}$

(B) $\frac{3+\sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદ બંનેને $\sqrt{2}$ વડે ગુણીશું:
$\frac{3+\sqrt{2}}{4 \sqrt{2}} = \frac{3+\sqrt{2}}{4 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{2}(3+\sqrt{2})}{4 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2})}$
$= \frac{3 \sqrt{2} + 2}{4 \times 2}$
$= \frac{3 \sqrt{2} + 2}{8}$

(C) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{41}+5)$ વડે ગુણો.
$\frac{16}{\sqrt{41}-5} = \frac{16}{\sqrt{41}-5} \times \frac{\sqrt{41}+5}{\sqrt{41}+5}$
છેદમાં નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{16(\sqrt{41}+5)}{(\sqrt{41})^2 - (5)^2}$
$= \frac{16(\sqrt{41}+5)}{41 - 25}$
$= \frac{16(\sqrt{41}+5)}{16}$
$= \sqrt{41}+5$

(D) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(2+\sqrt{3})$ વડે ગુણો.
$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$
છેદમાં $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ અને અંશમાં $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(2+\sqrt{3})^2}{2^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{2^2 + (\sqrt{3})^2 + 2(2)(\sqrt{3})}{4 - 3}$
$= \frac{4 + 3 + 4\sqrt{3}}{1}$
$= 7 + 4\sqrt{3}$

(A) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{2}-\sqrt{3})$ વડે ગુણો:
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$
છેદમાં $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{\sqrt{12} - \sqrt{18}}{2 - 3}$
$= \frac{\sqrt{12} - \sqrt{18}}{-1}$
$= \sqrt{18} - \sqrt{12}$
$= \sqrt{9 \times 2} - \sqrt{4 \times 3}$
$= 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$

(B) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{3}+\sqrt{2})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
છેદમાં $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ અને અંશમાં $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{3 + 2 + 2\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{3 - 2}$
$= \frac{5 + 2\sqrt{6}}{1}$
$= 5 + 2\sqrt{6}$

(C) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{5}+\sqrt{3})$ વડે ગુણો.
$\frac{3 \sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
$= \frac{3(\sqrt{5})^2 + 3\sqrt{15} + \sqrt{15} + (\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{3(5) + 4\sqrt{15} + 3}{5 - 3}$
$= \frac{15 + 4\sqrt{15} + 3}{2}$
$= \frac{18 + 4\sqrt{15}}{2}$
$= \frac{2(9 + 2\sqrt{15})}{2}$
$= 9 + 2\sqrt{15}$

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}}{\sqrt{48}+\sqrt{18}}$
છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4 \sqrt{3}$ અને $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3 \sqrt{2}$.
તેથી,પદાવલિ આ મુજબ થશે: $\frac{4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}}{4 \sqrt{3}+3 \sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})$ વડે ગુણો:
$= \frac{(4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})}{(4 \sqrt{3}+3 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})}$
$= \frac{(4 \sqrt{3})^2 - (4 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}) + (5 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}) - (5 \sqrt{2})(3 \sqrt{2})}{(4 \sqrt{3})^2 - (3 \sqrt{2})^2}$
$= \frac{48 - 12 \sqrt{6} + 20 \sqrt{6} - 30}{48 - 18}$
$= \frac{18 + 8 \sqrt{6}}{30}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા:
$= \frac{9 + 4 \sqrt{6}}{15}$

(A) આ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું. આ માટે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(7-4 \sqrt{3})$ વડે ગુણીશું.
$L.H.S. = \frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}} \times \frac{7-4 \sqrt{3}}{7-4 \sqrt{3}}$
$= \frac{(5+2 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}{(7)^2 - (4 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{35 - 20 \sqrt{3} + 14 \sqrt{3} - 24}{49 - 48}$
$= \frac{11 - 6 \sqrt{3}}{1} = 11 - 6 \sqrt{3}$
આપેલ છે કે $11 - 6 \sqrt{3} = a - 6 \sqrt{3}$,બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $a = 11$ મળે છે.

(NONE) આ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું:
$L.H.S. = \frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}} \times \frac{3-2 \sqrt{5}}{3-2 \sqrt{5}}$
$= \frac{9 - 6\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 2(5)}{3^2 - (2\sqrt{5})^2}$
$= \frac{9 - 9\sqrt{5} + 10}{9 - 20} = \frac{19 - 9\sqrt{5}}{-11}$
$= -\frac{19}{11} + \frac{9}{11}\sqrt{5}$
આને $a\sqrt{5} - \frac{19}{11}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a\sqrt{5} - \frac{19}{11} = \frac{9}{11}\sqrt{5} - \frac{19}{11}$
તેથી,$a = \frac{9}{11}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}} = 2 - b\sqrt{6}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે અંશ અને છેદને $(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$ વડે ગુણતા:
$= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}$
$= \frac{3(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} + 2(\sqrt{3})^2}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2}$
$= \frac{3(2) + 5\sqrt{6} + 2(3)}{18 - 12}$
$= \frac{6 + 5\sqrt{6} + 6}{6} = \frac{12 + 5\sqrt{6}}{6} = 2 + \frac{5}{6}\sqrt{6}$
$2 + \frac{5}{6}\sqrt{6}$ ની સરખામણી $2 - b\sqrt{6}$ સાથે કરતા:
$-b = \frac{5}{6} \Rightarrow b = -\frac{5}{6}$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{7+\sqrt{5}}{7-\sqrt{5}}-\frac{7-\sqrt{5}}{7+\sqrt{5}}=a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{(7+\sqrt{5})^2}{(7-\sqrt{5})(7+\sqrt{5})} - \frac{(7-\sqrt{5})^2}{(7+\sqrt{5})(7-\sqrt{5})} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$ અને $(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{49+5+14\sqrt{5}}{49-5} - \frac{49+5-14\sqrt{5}}{49-5} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
$\frac{54+14\sqrt{5}}{44} - \frac{54-14\sqrt{5}}{44} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
$\frac{54+14\sqrt{5}-54+14\sqrt{5}}{44} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
$\frac{28\sqrt{5}}{44} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
અપૂર્ણાંક $\frac{28}{44}$ ને $4$ વડે ભાગીને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{7\sqrt{5}}{11} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $a=0$ અને $b=1$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $a = 2 + \sqrt{3}$.
પ્રથમ,છેદનું સંમેયીકરણ કરીને $\frac{1}{a}$ ની કિંમત શોધીએ:
$\frac{1}{a} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ કરણી $(2 - \sqrt{3})$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{a} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$
છેદમાં નિત્યસમ $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{a} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2}$
$\frac{1}{a} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{2 - \sqrt{3}}{1} = 2 - \sqrt{3}$
હવે,$a - \frac{1}{a}$ ની ગણતરી કરીએ:
$a - \frac{1}{a} = (2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})$
$a - \frac{1}{a} = 2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3}$
$a - \frac{1}{a} = 2\sqrt{3}$

(B) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $\sqrt{3}$ વડે ગુણો:
$\frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$= \frac{4\sqrt{3}}{3}$
$\sqrt{3} = 1.732$ ની કિંમત મૂકતા:
$= \frac{4 \times 1.732}{3}$
$= \frac{6.928}{3}$
$= 2.309$

(C) $\frac{6}{\sqrt{6}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $\sqrt{6}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{6 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{6} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{2} \times \sqrt{3}$.
આપેલ છે કે $\sqrt{2} = 1.414$ અને $\sqrt{3} = 1.732$,તેથી:
$\sqrt{6} = 1.414 \times 1.732 = 2.449048$
દશાંશના ત્રણ સ્થાન સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $2.449$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{2}$
પગલું $1$: અંશમાંથી $\sqrt{5}$ સામાન્ય કાઢીને સાદું રૂપ આપો:
$\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{2} - \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{2}-1)}{2}$
પગલું $2$: આપેલ કિંમતો $\sqrt{5} = 2.236$ અને $\sqrt{2} = 1.414$ મૂકો:
$= \frac{2.236(1.414 - 1)}{2}$
પગલું $3$: કૌંસમાં બાદબાકી કરો:
$= \frac{2.236(0.414)}{2}$
પગલું $4$: $2.236$ ને $2$ વડે ભાગો:
$= 1.118 \times 0.414$
પગલું $5$: ગુણાકાર કરો:
$= 0.462852$
દશાંશના ત્રણ સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.463$ મળે છે.

(A) $\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(2-\sqrt{2})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \times \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$
છેદમાં $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{(2)^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{2\sqrt{2} - 2}{4 - 2}$
$= \frac{2\sqrt{2} - 2}{2}$
$= \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{2}$
$= \sqrt{2} - 1$
અહીં $\sqrt{2} = 1.414$ આપેલ છે,તેથી કિંમત મૂકતા:
$= 1.414 - 1 = 0.414$