Operations on Real Numbers Questions in Gujarati

(B) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ વડે ગુણો.
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
છેદમાં $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}$
$= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$
હવે,આપેલી કિંમતો $\sqrt{3} = 1.732$ અને $\sqrt{2} = 1.414$ મૂકતા:
$= 1.732 - 1.414$
$= 0.318$

(B) આપેલ છે કે $a = 5 + 2\sqrt{6}$.
$b = \frac{1}{a}$ હોવાથી,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ કરીએ:
$b = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} \times \frac{5 - 2\sqrt{6}}{5 - 2\sqrt{6}} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{5^2 - (2\sqrt{6})^2} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{25 - 24} = 5 - 2\sqrt{6}$.
આપણે $a^2 + b^2$ શોધવાનું છે. નિત્યસમ $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ,$a + b = (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 10$ મેળવીએ.
ત્યારબાદ,$ab = (5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 24 = 1$ મેળવીએ.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$a^2 + b^2 = (10)^2 - 2(1) = 100 - 2 = 98$.

(D) આપેલ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે દરેક પદના છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું:
$\frac{7 \sqrt{3}}{\sqrt{10}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{10}-\sqrt{3}}{\sqrt{10}-\sqrt{3}} = \frac{7 \sqrt{3}(\sqrt{10}-\sqrt{3})}{10-3} = \frac{7 \sqrt{3}(\sqrt{10}-\sqrt{3})}{7} = \sqrt{30}-3$
$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{6-5} = 2 \sqrt{30}-10$
$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{15}+3 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{15}-3 \sqrt{2}}{\sqrt{15}-3 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}(\sqrt{15}-3 \sqrt{2})}{15-18} = \frac{3 \sqrt{30}-18}{-3} = -\sqrt{30}+6$
હવે,આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\sqrt{30}-3) - (2 \sqrt{30}-10) - (-\sqrt{30}+6)$
$= \sqrt{30}-3-2 \sqrt{30}+10+\sqrt{30}-6$
$= (\sqrt{30}-2 \sqrt{30}+\sqrt{30}) + (-3+10-6)$
$= 0 + 1 = 1$

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{4}{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}+\frac{3}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}$
છેદ સમાન કરતા $(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})(3\sqrt{3}+2\sqrt{2})$:
$= \frac{4(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}) + 3(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})}{(3\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{2})^2}$
$= \frac{12\sqrt{3} + 8\sqrt{2} + 9\sqrt{3} - 6\sqrt{2}}{27 - 8}$
$= \frac{21\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{19}$
$\sqrt{3}=1.732$ અને $\sqrt{2}=1.414$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{21(1.732) + 2(1.414)}{19}$
$= \frac{36.372 + 2.828}{19}$
$= \frac{39.2}{19} \approx 2.063$

(B) આપેલ છે,$a = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
પ્રથમ,$a^{2}$ ની ગણતરી કરો:
$a^{2} = \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{2} = \frac{9 + 5 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$.
ત્યારબાદ,છેદનું સંમેયીકરણ કરીને $\frac{1}{a^{2}}$ ની ગણતરી કરો:
$\frac{1}{a^{2}} = \frac{2}{7 + 3\sqrt{5}} = \frac{2(7 - 3\sqrt{5})}{(7 + 3\sqrt{5})(7 - 3\sqrt{5})} = \frac{2(7 - 3\sqrt{5})}{49 - 45} = \frac{2(7 - 3\sqrt{5})}{4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$.
અંતે,$a^{2}$ અને $\frac{1}{a^{2}}$ નો સરવાળો કરો:
$a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} + \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{7 + 3\sqrt{5} + 7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

(C) $x$ માટે છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$x = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}{3-2} = 3+2+2\sqrt{6} = 5+2\sqrt{6}$.
તે જ રીતે,$y$ માટે:
$y = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}}{3-2} = 3+2-2\sqrt{6} = 5-2\sqrt{6}$.
હવે,$x+y$ અને $xy$ ની ગણતરી કરતા:
$x+y = (5+2\sqrt{6}) + (5-2\sqrt{6}) = 10$.
$xy = (5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}) = 5^{2} - (2\sqrt{6})^{2} = 25 - 24 = 1$.
નિત્યસમ $x^{2}+y^{2} = (x+y)^{2} - 2xy$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^{2}+y^{2} = (10)^{2} - 2(1) = 100 - 2 = 98$.

(N/A) $\frac{2}{9}$ અને $\frac{2}{7}$ ની વચ્ચે સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદ સમાન કરીએ છીએ. $9$ અને $7$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $63$ છે.
$\frac{2}{9} = \frac{2 \times 7}{9 \times 7} = \frac{14}{63}$
$\frac{2}{7} = \frac{2 \times 9}{7 \times 9} = \frac{18}{63}$
$14$ અને $18$ ની વચ્ચે માત્ર ત્રણ પૂર્ણાંકો $(15, 16, 17)$ હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણીએ છીએ.
$\frac{14}{63} = \frac{14 \times 2}{63 \times 2} = \frac{28}{126}$
$\frac{18}{63} = \frac{18 \times 2}{63 \times 2} = \frac{36}{126}$
હવે,આપણે $\frac{28}{126}$ અને $\frac{36}{126}$ ની વચ્ચે કોઈપણ ચાર સંમેય સંખ્યાઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ,જેમ કે $\frac{29}{126}, \frac{30}{126}, \frac{31}{126}$ અને $\frac{32}{126}$.
તેનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપતા,આપણને $\frac{29}{126}, \frac{5}{21}, \frac{31}{126}$ અને $\frac{16}{63}$ મળે છે.

(A) $\frac{2}{3}$ અને $\frac{4}{5}$ ની વચ્ચેની ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ $3$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીને છેદ સમાન કરો,જે $15$ છે.
અપૂર્ણાંકોને રૂપાંતરિત કરો: $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$ અને $\frac{4}{5} = \frac{4 \times 3}{5 \times 3} = \frac{12}{15}$.
આપણને ત્રણ સંખ્યાઓની જરૂર હોવાથી,બંને અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને $(3 + 1) = 4$ (અથવા $3$ થી મોટી કોઈપણ સંખ્યા) વડે ગુણો.
$\frac{10}{15} = \frac{10 \times 4}{15 \times 4} = \frac{40}{60}$ અને $\frac{12}{15} = \frac{12 \times 4}{15 \times 4} = \frac{48}{60}$.
$\frac{40}{60}$ અને $\frac{48}{60}$ ની વચ્ચેની ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ $\frac{41}{60}, \frac{42}{60}$ અને $\frac{43}{60}$ છે.

(B) $\frac{1}{7}$ અને $\frac{3}{7}$ ની વચ્ચે ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે બંને અપૂર્ણાંકોના અંશ અને છેદને $(3 + 1) = 4$ અથવા તેનાથી મોટી કોઈપણ પૂર્ણાંક સંખ્યા વડે ગુણી શકીએ છીએ જેથી તેમની વચ્ચેનો તફાવત વધે.
$2$ વડે ગુણતા (કારણ કે $2$ એ $1$ અને $3$ ની વચ્ચે છે):
$\frac{1}{7} = \frac{1 \times 2}{7 \times 2} = \frac{2}{14}$
$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 2}{7 \times 2} = \frac{6}{14}$
$\frac{2}{14}$ અને $\frac{6}{14}$ ની વચ્ચેની સંમેય સંખ્યાઓ $\frac{3}{14}, \frac{4}{14}$ અને $\frac{5}{14}$ છે.
આમ,ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ $\frac{3}{14}, \frac{2}{7}$ અને $\frac{5}{14}$ છે.

$\frac{2}{7}$ અને $\frac{2}{5}$ ની વચ્ચે પાંચ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ આપણે $7$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીને છેદ સમાન બનાવીશું,જે $35$ છે.
$\frac{2}{7} = \frac{2 \times 5}{7 \times 5} = \frac{10}{35}$
$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 7}{5 \times 7} = \frac{14}{35}$
આપણને પાંચ સંમેય સંખ્યાઓની જરૂર હોવાથી,આપણે બંને અપૂર્ણાંકોના અંશ અને છેદને $6$ (અથવા $5$ થી મોટી કોઈપણ સંખ્યા) વડે ગુણી શકીએ છીએ:
$\frac{10 \times 6}{35 \times 6} = \frac{60}{210}$
$\frac{14 \times 6}{35 \times 6} = \frac{84}{210}$
હવે,આપણે $\frac{60}{210}$ અને $\frac{84}{210}$ ની વચ્ચેની કોઈપણ પાંચ સંમેય સંખ્યાઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ,જેમ કે $\frac{61}{210}, \frac{62}{210}, \frac{63}{210}, \frac{64}{210}, \text{ અને } \frac{65}{210}$.

(B) $-\frac{2}{3}$ અને $\frac{1}{5}$ ની વચ્ચે પાંચ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ $3$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીને છેદ સમાન કરો,જે $15$ છે.
$-\frac{2}{3} = -\frac{2 \times 5}{3 \times 5} = -\frac{10}{15}$
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{3}{15}$
હવે,આપણે $-\frac{10}{15}$ અને $\frac{3}{15}$ ની વચ્ચે પાંચ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવાની છે.
$-10$ અને $3$ ની વચ્ચેના પૂર્ણાંકો $-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$ છે.
આપણે આમાંથી કોઈપણ પાંચ પસંદ કરી શકીએ છીએ,ઉદાહરણ તરીકે: $-\frac{9}{15}, -\frac{8}{15}, -\frac{7}{15}, -\frac{6}{15}, -\frac{5}{15}$.
તેનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $-\frac{3}{5}, -\frac{8}{15}, -\frac{7}{15}, -\frac{2}{5}, -\frac{1}{3}$.

(TRUE) આ વિધાન સત્ય છે.
પૂર્ણ સંખ્યા એ $W = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ ગણની કોઈપણ સંખ્યા છે.
સંમેય સંખ્યાની વ્યાખ્યા મુજબ,જે સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે અને $q \neq 0$ હોય,તેને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
કોઈપણ પૂર્ણ સંખ્યા $n$ ને $\frac{n}{1}$ તરીકે લખી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$0 = \frac{0}{1}$,$1 = \frac{1}{1}$,$2 = \frac{2}{1}$,વગેરે.
આમ,દરેક પૂર્ણ સંખ્યાને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાતી હોવાથી,દરેક પૂર્ણ સંખ્યા એ સંમેય સંખ્યા છે.

(A) આપેલ પદોનો સરવાળો કરવા માટે,આપણે $\sqrt{3}$ અને $\sqrt{5}$ વાળા સજાતીય પદોને સાથે જૂથબદ્ધ કરીશું.
$(4 \sqrt{3}+2 \sqrt{5})+(6 \sqrt{3}-4 \sqrt{5})$
$= (4 \sqrt{3}+6 \sqrt{3}) + (2 \sqrt{5}-4 \sqrt{5})$
$= (4+6) \sqrt{3} + (2-4) \sqrt{5}$
$= 10 \sqrt{3} - 2 \sqrt{5}$

(B) $3 \sqrt{7}$ અને $5 \sqrt{7}$ નો ગુણાકાર કરવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: સહગુણકો (વર્ગમૂળની બહારની સંખ્યાઓ) નો ગુણાકાર કરો: $3 \times 5 = 15$.
પગલું $2$: વર્ગમૂળ વાળા પદોનો ગુણાકાર કરો: $\sqrt{7} \times \sqrt{7} = 7$.
પગલું $3$: પગલું $1$ અને પગલું $2$ ના પરિણામોનો ગુણાકાર કરો: $15 \times 7 = 105$.
તેથી,$3 \sqrt{7} \times 5 \sqrt{7} = 105$.

(A) $12 \sqrt{30}$ ને $3 \sqrt{5}$ વડે ભાગવા માટે,આપણે તેને અપૂર્ણાંક તરીકે લખીએ છીએ:
$\frac{12 \sqrt{30}}{3 \sqrt{5}}$
આપણે સહગુણકોનું સાદું રૂપ આપી શકીએ છીએ: $\frac{12}{3} = 4$.
ત્યારબાદ,આપણે $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને વર્ગમૂળનું સાદું રૂપ આપીએ છીએ:
$\sqrt{\frac{30}{5}} = \sqrt{6}$
આ બંનેને જોડતા,આપણને $4 \times \sqrt{6} = 4 \sqrt{6}$ મળે છે.

(A) પદાવલિ $(3+\sqrt{5})(4-\sqrt{11})$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીશું:
$(3+\sqrt{5})(4-\sqrt{11}) = 3(4-\sqrt{11}) + \sqrt{5}(4-\sqrt{11})$
$= (3 \times 4) - (3 \times \sqrt{11}) + (\sqrt{5} \times 4) - (\sqrt{5} \times \sqrt{11})$
$= 12 - 3\sqrt{11} + 4\sqrt{5} - \sqrt{5 \times 11}$
$= 12 - 3\sqrt{11} + 4\sqrt{5} - \sqrt{55}$

(A) પદાવલિ $(\sqrt{15}+\sqrt{7})(\sqrt{15}-\sqrt{7})$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = \sqrt{15}$ અને $b = \sqrt{7}$ છે.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$(\sqrt{15})^2 - (\sqrt{7})^2 = 15 - 7 = 8$.

(A) પદાવલિ $(\sqrt{11}-\sqrt{3})^{2}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = \sqrt{11}$ અને $b = \sqrt{3}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(\sqrt{11}-\sqrt{3})^{2} = (\sqrt{11})^{2} - 2(\sqrt{11})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^{2}$
$= 11 - 2\sqrt{11 \times 3} + 3$
$= 11 - 2\sqrt{33} + 3$
$= 14 - 2\sqrt{33}$

(N/A) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5})$ વડે ગુણો.
$\frac{30}{5 \sqrt{3}-3 \sqrt{5}} = \frac{30}{5 \sqrt{3}-3 \sqrt{5}} \times \frac{5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5}}{5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5}}$
$= \frac{30(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}{(5 \sqrt{3})^{2}-(3 \sqrt{5})^{2}}$
$= \frac{30(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}{75-45}$
$= \frac{30(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}{30}$
$= 5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5}$

(A) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(5-2 \sqrt{3})$ વડે ગુણો.
$\frac{1}{5+2 \sqrt{3}} = \frac{1}{5+2 \sqrt{3}} \times \frac{5-2 \sqrt{3}}{5-2 \sqrt{3}}$
છેદમાં નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{5-2 \sqrt{3}}{(5)^2 - (2 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{5-2 \sqrt{3}}{25 - (4 \times 3)}$
$= \frac{5-2 \sqrt{3}}{25 - 12}$
$= \frac{5-2 \sqrt{3}}{13}$

છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી (conjugate) એટલે કે $\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m$ વડે ગુણો.
$\frac{n^{2}}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}+m} = \frac{n^{2}}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}+m} \times \frac{\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m}$
છેદમાં $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{n^{2}(\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m)}{(\sqrt{m^{2}+n^{2}})^{2} - (m)^{2}}$
$= \frac{n^{2}(\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m)}{m^{2}+n^{2}-m^{2}}$
$= \frac{n^{2}(\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m)}{n^{2}}$
$= \sqrt{m^{2}+n^{2}}-m$

(A) આપેલ છે: $\frac{2 \sqrt{6}-\sqrt{5}}{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{6}}=a+b \sqrt{30}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $(3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6})$ વડે ગુણતા:
$\frac{2 \sqrt{6}-\sqrt{5}}{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{6}} \times \frac{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6}}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6}}=a+b \sqrt{30}$
છેદમાં $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(2 \sqrt{6}-\sqrt{5})(3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6})}{(3 \sqrt{5})^{2}-(2 \sqrt{6})^{2}}=a+b \sqrt{30}$
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$(2 \sqrt{6})(3 \sqrt{5}) + (2 \sqrt{6})(2 \sqrt{6}) - (\sqrt{5})(3 \sqrt{5}) - (\sqrt{5})(2 \sqrt{6}) = 6 \sqrt{30} + 24 - 15 - 2 \sqrt{30} = 9 + 4 \sqrt{30}$
છેદની ગણતરી કરતા:
$(3 \sqrt{5})^2 - (2 \sqrt{6})^2 = 45 - 24 = 21$
તેથી,$\frac{9+4 \sqrt{30}}{21} = a+b \sqrt{30}$
$\frac{9}{21} + \frac{4 \sqrt{30}}{21} = a+b \sqrt{30}$
$\frac{3}{7} + \frac{4}{21} \sqrt{30} = a+b \sqrt{30}$
સંમેય અને અસંમેય ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $a=\frac{3}{7}$ અને $b=\frac{4}{21}$ મળે છે.

(N/A) આપેલ છે: $x = 5 + 2\sqrt{6}$.
પ્રથમ,$\frac{1}{x}$ શોધો:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} \times \frac{5 - 2\sqrt{6}}{5 - 2\sqrt{6}} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{25 - 24} = 5 - 2\sqrt{6}$.
હવે,$x + \frac{1}{x}$ ની ગણતરી કરો:
$x + \frac{1}{x} = (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 10$.
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ શોધવા માટે:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = (10)^{2} - 2 = 100 - 2 = 98$.
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ શોધવા માટે:
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3(x + \frac{1}{x}) = (10)^{3} - 3(10) = 1000 - 30 = 970$.

(N/A) આપેલ પદોનો સરવાળો કરવા માટે,આપણે સજાતીય પદોને સાથે લઈએ છીએ:
$(4 \sqrt{6}-8 \sqrt{10}) + (3 \sqrt{6}+12 \sqrt{10})$
$= (4 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6}) + (-8 \sqrt{10} + 12 \sqrt{10})$
$= (4 + 3) \sqrt{6} + (-8 + 12) \sqrt{10}$
$= 7 \sqrt{6} + 4 \sqrt{10}$

(A) $5 \sqrt{3}$ અને $4 \sqrt{12}$ નો ગુણાકાર કરવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ:
$1$. પદાવલિને $(5 \sqrt{3}) \times (4 \sqrt{12})$ તરીકે લખો.
$2$. સહગુણકોનો ગુણાકાર કરો: $5 \times 4 = 20$.
$3$. કરણીઓનો ગુણાકાર કરો: $\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36}$.
$4$. વર્ગમૂળની ગણતરી કરો: $\sqrt{36} = 6$.
$5$. પરિણામોનો ગુણાકાર કરો: $20 \times 6 = 120$.
તેથી,ગુણાકાર $120$ છે.

(B) પદાવલિ $5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{8} - 3 \sqrt{32} + 4 \sqrt{128}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે, આપણે દરેક કરણીના પદને સરળ બનાવીએ:
$1$. $5 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$
$2$. $2 \sqrt{8} = 2 \sqrt{4 \times 2} = 2 \times 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$
$3$. $3 \sqrt{32} = 3 \sqrt{16 \times 2} = 3 \times 4 \sqrt{2} = 12 \sqrt{2}$
$4$. $4 \sqrt{128} = 4 \sqrt{64 \times 2} = 4 \times 8 \sqrt{2} = 32 \sqrt{2}$
હવે, આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$5 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 12 \sqrt{2} + 32 \sqrt{2}$
સહગુણકોનો સરવાળો અને બાદબાકી કરતા:
$(5 + 4 - 12 + 32) \sqrt{2} = 29 \sqrt{2}$

(A) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{5} + \sqrt{3})$ વડે ગુણો.
$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5 - 3}$
$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$

(A) $\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{6}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{10}-\sqrt{6})$ વડે ગુણો.
$\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$
$= \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{6})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2}$
$= \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{6})}{10-6}$
$= \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{6})}{4}$
$= \sqrt{10}-\sqrt{6}$

(N/A) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{18}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}} \times \frac{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}$
$= \frac{18(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2})^2 - (2 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{18(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{(9 \times 2) - (4 \times 3)}$
$= \frac{18(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{18 - 12}$
$= \frac{18(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{6}$
$= 3(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})$

(A) $\frac{1}{7-4 \sqrt{3}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $7+4 \sqrt{3}$ વડે ગુણીશું.
$\frac{1}{7-4 \sqrt{3}} \times \frac{7+4 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}} = \frac{7+4 \sqrt{3}}{(7)^2 - (4 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{7+4 \sqrt{3}}{49 - (16 \times 3)}$
$= \frac{7+4 \sqrt{3}}{49 - 48}$
$= \frac{7+4 \sqrt{3}}{1}$
$= 7+4 \sqrt{3}$

$(17+12 \sqrt{2})$ છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(3+2 \sqrt{2})$ વડે ગુણો.
$\frac{3+2 \sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}} \times \frac{3+2 \sqrt{2}}{3+2 \sqrt{2}}$
$= \frac{(3+2 \sqrt{2})^2}{(3)^2 - (2 \sqrt{2})^2}$
$= \frac{3^2 + (2 \sqrt{2})^2 + 2(3)(2 \sqrt{2})}{9 - (4 \times 2)}$
$= \frac{9 + 8 + 12 \sqrt{2}}{9 - 8}$
$= \frac{17 + 12 \sqrt{2}}{1}$
$= 17 + 12 \sqrt{2}$

(A) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(5-2 \sqrt{6})$ વડે ગુણો.
$\frac{5-2 \sqrt{6}}{5+2 \sqrt{6}} \times \frac{5-2 \sqrt{6}}{5-2 \sqrt{6}}$
$= \frac{(5-2 \sqrt{6})^2}{(5)^2 - (2 \sqrt{6})^2}$
$= \frac{5^2 - 2(5)(2 \sqrt{6}) + (2 \sqrt{6})^2}{25 - (4 \times 6)}$
$= \frac{25 - 20 \sqrt{6} + 24}{25 - 24}$
$= \frac{49 - 20 \sqrt{6}}{1}$
$= 49 - 20 \sqrt{6}$

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$ છે.
આને આપણે $\sqrt{\frac{5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
આ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ની બરાબર છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,આપણને $\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ મળે છે.
$\sqrt{2} = 1.4142$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{1.4142}{2} = 0.7071$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\sqrt{5} = 2.236$.
આપણે $\frac{4 - \sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આ પદાવલિને $\frac{4}{\sqrt{5}} - 1$ તરીકે લખી શકાય.
$\sqrt{5}$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{4}{2.236} - 1$.
$\frac{4}{2.236}$ ની ગણતરી કરતા $\approx 1.788895$ મળે છે.
આ કિંમતમાંથી $1$ બાદ કરતા $1.788895 - 1 = 0.788895$ મળે છે.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.7889$ મળે છે.
જોકે,$\frac{4 - 2.236}{2.236} = \frac{1.764}{2.236} \approx 0.788886$ ની ગણતરી કરતા,ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી $0.7889$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$0.7888$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $x = 3 + 2\sqrt{2}$.
પ્રથમ,$\frac{1}{x}$ શોધો:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} \times \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 - 2\sqrt{2}$.
હવે,$x + \frac{1}{x}$ ની ગણતરી કરો:
$x + \frac{1}{x} = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6$.
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ શોધવા માટે,નિત્યસમ $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2$ નો ઉપયોગ કરો:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = (6)^{2} - 2 = 36 - 2 = 34$.
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ શોધવા માટે,નિત્યસમ $(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(x + \frac{1}{x})$ નો ઉપયોગ કરો:
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3(x + \frac{1}{x}) = (6)^{3} - 3(6) = 216 - 18 = 198$.
આમ,કિંમતો $34$ અને $198$ છે.

(D) આપેલ છે કે $x = 7 - 4\sqrt{3}$.
પ્રથમ,$\frac{1}{x}$ શોધો:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} \times \frac{7 + 4\sqrt{3}}{7 + 4\sqrt{3}} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - (16 \times 3)} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - 48} = 7 + 4\sqrt{3}$.
હવે,$x + \frac{1}{x}$ શોધો:
$x + \frac{1}{x} = (7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) = 14$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2$.
તેથી,$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2$.
કિંમત મૂકતા:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (14)^{2} - 2 = 196 - 2 = 194$.

(A) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=a+b \sqrt{35}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $(\sqrt{7}+\sqrt{5})$ વડે ગુણીને છેદનું સંમેયીકરણ કરીએ છીએ.
$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2}$
$= \frac{7+5+2\sqrt{35}}{7-5}$
$= \frac{12+2\sqrt{35}}{2}$
$= 6+\sqrt{35}$
$6+\sqrt{35}$ ની સરખામણી $a+b\sqrt{35}$ સાથે કરતા,આપણને $a=6$ અને $b=1$ મળે છે.

(N/A) આને ઉકેલવા માટે,આપણે પદાવલિના દરેક પદનું સંમેયીકરણ કરીશું.
પગલું $1$: પ્રથમ પદનું સંમેયીકરણ: $\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$.
પગલું $2$: બીજા પદનું સંમેયીકરણ: $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$.
પગલું $3$: ત્રીજા પદનું સંમેયીકરણ: $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} = \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{4}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3} = \sqrt{4}-\sqrt{3} = 2-\sqrt{3}$.
પગલું $4$: પરિણામોનો સરવાળો કરો: $(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (2-\sqrt{3})$.
પગલું $5$: પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો: $\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + 2 - \sqrt{3} = -1 + 2 = 1$.
આમ,પદાવલિનું મૂલ્ય $1$ થાય છે.

(A) અને $b$ ની કિંમતો શોધવા માટે,આપણે આપેલ પદના છેદનું સંમેયીકરણ કરીએ:
$\frac{5+3 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}} \times \frac{7-4 \sqrt{3}}{7-4 \sqrt{3}}$
$= \frac{(5+3 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}{(7)^2 - (4 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{35 - 20 \sqrt{3} + 21 \sqrt{3} - 12(3)}{49 - 16(3)}$
$= \frac{35 + \sqrt{3} - 36}{49 - 48}$
$= \frac{-1 + \sqrt{3}}{1}$
$= -1 + 1 \sqrt{3}$
આને $a+b \sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -1$ અને $b = 1$ મળે છે.

(N/A) આપેલ છે કે $x = 2 + \sqrt{3}.$
પ્રથમ,$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ શોધો.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}.$
હવે,$x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4.$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ શોધવા માટે,નિત્યસમ $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2$ નો ઉપયોગ કરો.
$4^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 \implies 16 = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 \implies x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 14.$
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ શોધવા માટે,નિત્યસમ $(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(x + \frac{1}{x})$ નો ઉપયોગ કરો.
$4^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(4) \implies 64 = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 12 \implies x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 52.$
આમ,કિંમતો $14$ અને $52$ છે.

(D) $\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $(2-\sqrt{2})$ વડે ગુણીને છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું:
$\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \times \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - (\sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{2\sqrt{2} - 2}{4 - 2} = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{2} = \sqrt{2} - 1$
આપેલ છે કે $\sqrt{2} = 1.414$,તેથી આ કિંમત મૂકતા:
$1.414 - 1 = 0.414$
આમ,સાચી કિંમત $0.414$ છે.

(A) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ વડે ગુણીને છેદનું સંમેયીકરણ કરીએ છીએ.
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
આપેલ છે કે $\sqrt{3} = 1.732$ અને $\sqrt{2} = 1.414$,આ કિંમતો મૂકતા:
$1.732 - 1.414 = 0.318$
આમ,જવાબ $0.318$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{2}$
આપણે $\sqrt{10}$ ને $\sqrt{2} \times \sqrt{5}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી, પદાવલિ આ મુજબ થશે: $\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{5} - \sqrt{5}}{2}$
અંશમાંથી $\sqrt{5}$ સામાન્ય લેતા: $\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} - 1)}{2}$
આપેલ કિંમતો $\sqrt{5} = 2.236$ અને $\sqrt{2} = 1.414$ મૂકતા:
$= \frac{2.236(1.414 - 1)}{2}$
$= \frac{2.236(0.414)}{2}$
$= 1.118 \times 0.414$
$= 0.462852$
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $0.463$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{4}{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}} + \frac{3}{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}$
પ્રથમ પદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{4(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})} = \frac{12 \sqrt{3}+8 \sqrt{2}}{27-8} = \frac{12 \sqrt{3}+8 \sqrt{2}}{19}$
બીજા પદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{3(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})}{(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})} = \frac{9 \sqrt{3}-6 \sqrt{2}}{27-8} = \frac{9 \sqrt{3}-6 \sqrt{2}}{19}$
બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $\frac{12 \sqrt{3}+8 \sqrt{2} + 9 \sqrt{3}-6 \sqrt{2}}{19} = \frac{21 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}{19}$
$\sqrt{3} = 1.732$ અને $\sqrt{2} = 1.414$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{21(1.732) + 2(1.414)}{19} = \frac{36.372 + 2.828}{19} = \frac{39.2}{19} \approx 2.06315...$
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $2.063$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $a = \frac{\sqrt{5}}{8}$.
આપણને સમીકરણ $\frac{8}{a} = b \sqrt{5}$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{8}{\frac{\sqrt{5}}{8}} = b \sqrt{5}$
$8 \times \frac{8}{\sqrt{5}} = b \sqrt{5}$
$\frac{64}{\sqrt{5}} = b \sqrt{5}$
$b$ શોધવા માટે,બંને બાજુ $\frac{1}{\sqrt{5}}$ વડે ગુણતા:
$b = \frac{64}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}$
$b = \frac{64}{5}$.

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
કરણીના નિયમો મુજબ,કોઈપણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ થાય છે.
આ નિયમ લાગુ પાડતા: $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}$.
અહીં $\sqrt{15} \neq \sqrt{8}$ હોવાથી,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(C) પદાવલિ $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = \sqrt{5}$ અને $b = \sqrt{3}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $a - \sqrt{b}$ સ્વરૂપની પદાવલિનો સંમેયીકરણ અવયવ શોધવા માટે,આપણે તેને તેના અનુબદ્ધ પદ $a + \sqrt{b}$ વડે ગુણીએ છીએ જેથી વર્ગમૂળ દૂર થાય.
અહીં,આપેલી પદાવલિ $4 - \sqrt{5}$ છે.
$4 - \sqrt{5}$ ને $4 + \sqrt{5}$ વડે ગુણતા $(4)^2 - (\sqrt{5})^2 = 16 - 5 = 11$ મળે છે,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$4 - \sqrt{5}$ નો સંમેયીકરણ અવયવ $4 + \sqrt{5}$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(\sqrt{5}+3)^{2} = a+b\sqrt{5}$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x+y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = \sqrt{5}$ અને $y = 3$ છે:
$(\sqrt{5})^{2} + 2(\sqrt{5})(3) + (3)^{2} = a+b\sqrt{5}$.
$5 + 6\sqrt{5} + 9 = a+b\sqrt{5}$.
$14 + 6\sqrt{5} = a+b\sqrt{5}$.
બંને બાજુના સંમેય અને અસંમેય ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $a = 14$ અને $b = 6$ મળે છે.

(A) કોઈ સંખ્યા $x$ નું વર્ગમૂળ એ એવી કિંમત $y$ છે કે જેથી $y^2 = x$ થાય.
અહીં $7^2 = 7 \times 7 = 49$ હોવાથી,$49$ નું મુખ્ય વર્ગમૂળ $7$ છે.
તેથી,$\sqrt{49} = 7$.