Irrational Numbers Questions in Gujarati

(A) હા,શૂન્ય એક સંમેય સંખ્યા છે. સંમેય સંખ્યાની વ્યાખ્યા મુજબ,જે સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક હોય અને $q \ne 0$ હોય,તેને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે. શૂન્યને $\frac{0}{1}$,$\frac{0}{2}$,$\frac{0}{3}$ વગેરે સ્વરૂપે લખી શકાય છે,જ્યાં અંશ $p = 0$ (એક પૂર્ણાંક છે) અને છેદ $q$ એ શૂન્ય સિવાયનો કોઈપણ પૂર્ણાંક છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યાની વ્યાખ્યાનું પાલન કરે છે.

(N/A) $\frac{3}{5}$ અને $\frac{4}{5}$ ની વચ્ચે અસંખ્ય સંમેય સંખ્યાઓ આવેલી છે.
$5$ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે બંને અપૂર્ણાંકોના અંશ અને છેદને $(5 + 1) = 6$ વડે ગુણી શકીએ છીએ.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 6}{5 \times 6} = \frac{18}{30}$
$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 6}{5 \times 6} = \frac{24}{30}$
તેથી,$\frac{18}{30}$ અને $\frac{24}{30}$ ની વચ્ચેની $5$ સંમેય સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$\frac{19}{30}, \frac{20}{30}, \frac{21}{30}, \frac{22}{30}, \frac{23}{30}$.

ગ્રીકોએ $\sqrt{2}$ ની શોધ કેવી રીતે કરી હશે તે સમજવું સરળ છે. એક ચોરસ $OABC$ લો,જેની દરેક બાજુની લંબાઈ $1$ એકમ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OB = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ થાય છે.
સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{2}$ ને દર્શાવવા માટે,ચોરસ $OABC$ ને સંખ્યા રેખા પર એવી રીતે મૂકો કે જેથી શિરોબિંદુ $O$ શૂન્ય પર આવે અને બાજુ $OA$ સંખ્યા રેખાની ધન દિશામાં રહે.
આપણે જોયું કે $OB = \sqrt{2}$ છે. પરિકરનો ઉપયોગ કરીને,$O$ ને કેન્દ્ર અને $OB$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને,એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $P$ પર છેદે છે. આમ,બિંદુ $P$ એ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{2}$ દર્શાવે છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{3}$ નું નિરૂપણ કરવા માટે,નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. સૌ પ્રથમ,$1$ એકમ પાયો અને $1$ એકમ ઊંચાઈ ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવીને સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{2}$ નું નિરૂપણ કરો. તેનો કર્ણ $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ થશે.
$2$. હવે,કર્ણ $OB$ (જ્યાં $OB = \sqrt{2}$) ને લંબ હોય તેવો $1$ એકમ લંબાઈનો રેખાખંડ $BD$ દોરો.
$3$. $OD$ ને જોડો. કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OBD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OD^2 = OB^2 + BD^2$
$OD^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$
$OD = \sqrt{3}$.
$4$. પરિકરનો ઉપયોગ કરીને,$O$ ને કેન્દ્ર અને $OD$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $Q$ માં છેદે છે. બિંદુ $Q$ એ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{3}$ દર્શાવે છે.
આ જ રીતે,$\sqrt{n-1}$ નું નિરૂપણ કર્યા પછી,તમે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $\sqrt{n}$ નું નિરૂપણ કરી શકો છો.

(B) ના,તમામ ધન પૂર્ણાંકોના વર્ગમૂળ અસંમેય હોતા નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાઓ જેવી કે $\sqrt{4}$ અને $\sqrt{9}$ ના વર્ગમૂળને ધ્યાનમાં લો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{4} = 2$ અને $\sqrt{9} = 3$.
જેમ કે $2$ અને $3$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે (જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$),તેથી તે સંમેય સંખ્યાઓ છે.
આમ,તમામ ધન પૂર્ણાંકોના વર્ગમૂળ અસંમેય હોતા નથી.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{5}$ ને દર્શાવવા માટે,આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\sqrt{5} = \sqrt{2^2 + 1^2}$.
$1$. એક સંખ્યા રેખા દોરો અને $0$ દર્શાવતો બિંદુ $O$ અને $O$ થી $2$ એકમ દૂર $2$ દર્શાવતો બિંદુ $A$ અંકિત કરો.
$2$. બિંદુ $A$ પર,$1$ એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $AB$ દોરો.
$3$. $O$ અને $B$ ને જોડો. કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OB^2 = OA^2 + AB^2$
$OB^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
$OB = \sqrt{5}$
$4$. હવે,$O$ ને કેન્દ્ર અને $OB$ ને ત્રિજ્યા તરીકે લઈને,એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $C$ પર છેદે છે.
$5$. અંતર $OC$ એ $OB$ જેટલું છે,જે $\sqrt{5}$ છે. આમ,બિંદુ $C$ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{5}$ દર્શાવે છે.

(N/A) વર્ગમૂળ સર્પાકારની રચના પાયથાગોરસના પ્રમેય પર આધારિત છે,જે જણાવે છે કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે $(h^2 = a^2 + b^2)$.
$1$. બિંદુ $O$ થી શરૂઆત કરો અને $OP_1 = 1$ એકમ દોરો.
$2$. $OP_1$ ને લંબ $P_1P_2$ દોરો જેથી $P_1P_2 = 1$ એકમ થાય. $\triangle OP_1P_2$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OP_2 = \sqrt{OP_1^2 + P_1P_2^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$3$. $OP_2$ ને લંબ $P_2P_3$ દોરો જેથી $P_2P_3 = 1$ એકમ થાય. $\triangle OP_2P_3$ માં,$OP_3 = \sqrt{OP_2^2 + P_2P_3^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$.
$4$. તેવી જ રીતે,$OP_3$ ને લંબ $P_3P_4$ દોરો જેથી $P_3P_4 = 1$ એકમ થાય. $\triangle OP_3P_4$ માં,$OP_4 = \sqrt{OP_3^2 + P_3P_4^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
$5$. આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,કર્ણ $OP_n$ ની લંબાઈ $\sqrt{n}$ થશે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ અને $\frac{2}{7} = 0.\overline{285714}$ થાય છે.
આ બે કિંમતોની વચ્ચે એક અસંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે એવી સંખ્યાની જરૂર છે જે અનંત અને અનાવૃત (non-terminating and non-recurring) હોય.
$0.15015001500015...$ સ્વરૂપની કોઈપણ સંખ્યા આ શરતનું પાલન કરે છે કારણ કે તે $0.142857...$ અને $0.285714...$ ની વચ્ચે આવેલી છે અને તેમાં કોઈ નિશ્ચિત પેટર્નનું પુનરાવર્તન થતું નથી.
આમ,આવી એક અસંમેય સંખ્યા $0.15015001500015...$ છે.

(N/A) જે સંખ્યાની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને અનાવૃત હોય તેને અસંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
આવી ત્રણ સંખ્યાઓના ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. $\sqrt{2} = 1.414213562 \ldots$
$2$. $\sqrt{3} = 1.732050808 \ldots$
$3$. $\sqrt{5} = 2.236067978 \ldots$

(N/A) પ્રથમ,સંમેય સંખ્યાઓને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો:
$\frac{5}{7} = 0.\overline{714285}$
$\frac{9}{11} = 0.\overline{81}$
અસંમેય સંખ્યા એ અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સ્વરૂપ છે.
આપણે $0.714285...$ અને $0.818181...$ ની વચ્ચે ત્રણ એવી સંખ્યાઓ શોધવાની છે જે અનંત અને અનાવૃત હોય.
આવી ત્રણ સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$1) 0.73073007300073...$
$2) 0.75075007500075...$
$3) 0.79079007900079...$

(N/A) કોઈ સંખ્યા અસંમેય છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તપાસીએ છીએ કે શું તેને અનંત અનાવૃત દશાંશ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
$1$. $7 \sqrt{5}$: કારણ કે $\sqrt{5} \approx 2.236$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,શૂન્યતર સંમેય સંખ્યા $(7)$ અને અસંમેય સંખ્યા $(\sqrt{5})$ નો ગુણાકાર હંમેશા અસંમેય હોય છે. તેથી,$7 \sqrt{5} \approx 15.652...$ એ અસંમેય છે.
$2$. $\frac{7}{\sqrt{5}}$: છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,આપણને $\frac{7 \sqrt{5}}{5} \approx 3.1304...$ મળે છે. શૂન્યતર સંમેય સંખ્યા અને અસંમેય સંખ્યાનો ભાગાકાર અસંમેય હોવાથી,$\frac{7}{\sqrt{5}}$ એ અસંમેય છે.
$3$. $\sqrt{2}+21$: કારણ કે $\sqrt{2} \approx 1.414$ એ અસંમેય છે,અસંમેય સંખ્યા અને સંમેય સંખ્યા $(21)$ નો સરવાળો હંમેશા અસંમેય હોય છે. તેથી,$\sqrt{2}+21 \approx 22.414...$ એ અસંમેય છે.
$4$. $\pi-2$: કારણ કે $\pi \approx 3.1415...$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,અસંમેય સંખ્યા અને સંમેય સંખ્યા $(2)$ ની બાદબાકી હંમેશા અસંમેય હોય છે. તેથી,$\pi-2 \approx 1.1415...$ એ અસંમેય છે.
નિષ્કર્ષ: આપેલી તમામ સંખ્યાઓ અસંમેય છે.

(B) સંખ્યા $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,અસંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ હંમેશા અનંત અને અનાવૃત (પુનરાવર્તન ન થતું) હોય છે.
તેથી,$\sqrt{2}$ નું દશાંશ નિરૂપણ $1.41421356...$ છે,જે ક્યારેય પૂરું થતું નથી અને તેમાં કોઈ અંક કે અંકોના સમૂહનું પુનરાવર્તન થતું નથી.

(C) કઈ સંખ્યા અસંમેય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પનું સાદું રૂપ આપીએ:
$(a)$ $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$,જે એક સંમેય સંખ્યા છે કારણ કે તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
$(b)$ $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
$(c)$ $\sqrt{7}$ ને પૂર્ણાંકોના અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવી શકાતી નથી. $7$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા ન હોવાથી,$\sqrt{7}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
$(d)$ $\sqrt{81} = 9$,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\sqrt{7}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે. આમ,$(C)$ સાચો જવાબ છે.

(D) કોઈ સંખ્યા અસંમેય ત્યારે જ કહેવાય જો તેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને અનાવૃત (non-terminating and non-recurring) હોય.
$(A)$ $0.14$ એ શાંત દશાંશ છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
$(B)$ $0.14 \overline{16}$ એ અનંત અને આવૃત દશાંશ છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
$(C)$ $0. \overline{1416}$ એ અનંત અને આવૃત દશાંશ છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
$(D)$ $0.4014001400014 \ldots$ એ અનંત અને અનાવૃત દશાંશ છે,જે અસંમેય સંખ્યાની વ્યાખ્યા છે.
આમ,$(D)$ સાચો જવાબ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{2} \approx 1.414$ અને $\sqrt{3} \approx 1.732$ થાય છે.
સંમેય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા જેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
કારણ કે $1.414 < 1.5 < 1.732$,તેથી $1.5$ એ $\sqrt{2}$ અને $\sqrt{3}$ ની વચ્ચે આવેલી છે.
વિકલ્પ $B$ અને $C$ માં અસંમેય સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યાઓ નથી.
વિકલ્પ $D$ $(1.8)$ એ $\sqrt{3} \approx 1.732$ કરતા મોટી છે,તેથી તે તેમની વચ્ચે આવતી નથી.
તેથી,$1.5$ એ સાચી સંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) હા,આવી અસંમેય સંખ્યાઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
ધારો કે બે અસંમેય સંખ્યાઓ $a = 3 + \sqrt{2}$ અને $b = 3 - \sqrt{2}$ છે.
સરવાળો: $(3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 6$,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
ગુણાકાર: $(3 + \sqrt{2}) \times (3 - \sqrt{2}) = (3)^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$,જે પણ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આમ,$3 + \sqrt{2}$ અને $3 - \sqrt{2}$ એ બે એવી અસંમેય સંખ્યાઓ છે જેનો સરવાળો અને ગુણાકાર બંને સંમેય છે.

(TRUE) આ વિધાન સત્ય છે.
ધારો કે $x = \sqrt[4]{2}$ છે.
હવે,$x^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$x^{2} = (\sqrt[4]{2})^{2} = \sqrt{2}$. કારણ કે $\sqrt{2}$ ને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાતી નથી,તેથી તે એક અસંમેય સંખ્યા છે.
હવે,$x^{4}$ ની ગણતરી કરીએ:
$x^{4} = (\sqrt[4]{2})^{4} = 2$. કારણ કે $2$ ને $\frac{2}{1}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
આમ,આપણે એવી સંખ્યા $x = \sqrt[4]{2}$ શોધી છે જેના માટે $x^{2}$ અસંમેય છે અને $x^{4}$ સંમેય છે.

(B) આપેલ વિધાન અસત્ય છે.
સંખ્યા સંમેય છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે પહેલા પદનું સાદું રૂપ આપવું જોઈએ.
$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{15}{3}} = \sqrt{5}$.
$\sqrt{5}$ એ પૂર્ણ વર્ગ નથી,તેથી તે એક અસંમેય સંખ્યા છે.
સંમેય સંખ્યાની વ્યાખ્યા મુજબ,જે સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક હોય અને $q \neq 0$ હોય,તેને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
$\frac{\sqrt{5}}{1}$ પદમાં,જોકે તે $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં છે,પરંતુ અંશ $p = \sqrt{5}$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા નથી.
તેથી,$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $(i)$ $\sqrt{\frac{9}{27}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. અહીં $\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,તેથી સંમેય સંખ્યા $(1)$ અને અસંમેય સંખ્યા $(\sqrt{3})$ નો ભાગાકાર અસંમેય સંખ્યા થાય છે.
$(ii)$ $\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{343}} = \sqrt{\frac{28}{343}} = \sqrt{\frac{4 \times 7}{49 \times 7}} = \sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{2}{7}$. અહીં $\frac{2}{7}$ એ $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $(i)$ $-\sqrt{0.4} = -\sqrt{\frac{4}{10}} = -\frac{2}{\sqrt{10}}$. કારણ કે $\sqrt{10}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,તેથી સંમેય સંખ્યા $(2)$ અને અસંમેય સંખ્યા $(\sqrt{10})$ નો ભાગાકાર અસંમેય સંખ્યા થાય છે. તેથી,$-\sqrt{0.4}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
$(ii)$ $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{75}} = \sqrt{\frac{12}{75}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$. કારણ કે $\frac{2}{5}$ એ $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) આપણે $13$ ને બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળા તરીકે લખીએ છીએ:
$13 = 9 + 4 = 3^{2} + 2^{2}$
સંખ્યા રેખા પર,$OA = 3$ એકમ લો.
$OA$ ને લંબ $BA = 2$ એકમ દોરો. $OB$ ને જોડો.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OB = \sqrt{OA^{2} + AB^{2}} = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
પરિકરનો ઉપયોગ કરીને,$O$ ને કેન્દ્ર અને $OB$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $C$ પર છેદે છે. આમ,$C$ એ $\sqrt{13}$ ને અનુરૂપ બિંદુ છે.

(N/A) જ્યારે આપણે માપપટ્ટી અથવા અન્ય કોઈ સાધન વડે રેખાની લંબાઈ માપીએ છીએ,ત્યારે આપણને માત્ર અંદાજિત સંમેય મૂલ્ય જ મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે $c$ અથવા $d$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક અસંમેય છે. તેથી,ગુણોત્તર $\frac{c}{d}$ અસંમેય છે,જે $\pi$ ને અસંમેય સંખ્યા બનાવે છે. આમ,$\pi$ અસંમેય છે તેવું કહેવામાં કોઈ વિરોધાભાસ નથી.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{9.3}$ દર્શાવવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. રેખા $l$ પર $AB = 9.3 \text{ એકમ}$ લંબાઈનો રેખાખંડ દોરો.
$2$. બિંદુ $B$ થી $C$ એવું બિંદુ લો કે જેથી $BC = 1 \text{ એકમ}$ થાય. હવે,$AC = 9.3 + 1 = 10.3 \text{ એકમ}$ થશે.
$3$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ $O$ શોધો. $O$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $OA$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને એક અર્ધવર્તુળ દોરો.
$4$. બિંદુ $B$ આગળ રેખા $l$ ને લંબ રેખા દોરો,જે અર્ધવર્તુળને બિંદુ $D$ માં છેદે છે. $BD$ ની લંબાઈ $\sqrt{9.3}$ છે.
$5$. $B$ ને કેન્દ્ર અને $BD$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને,સંખ્યા રેખા $l$ પર એક ચાપ દોરો જે તેને બિંદુ $E$ માં છેદે. અંતર $BE$ એ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{9.3}$ દર્શાવે છે.

(A) $(i)$ $x^{2}=5 \Rightarrow x=\sqrt{5},$ જે એક અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે $\sqrt{5}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતી નથી,જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
$(ii)$ $y^{2}=9 \Rightarrow y=\sqrt{9}=3,$ જે એક સંમેય સંખ્યા છે કારણ કે તેને $\frac{3}{1}$ તરીકે લખી શકાય છે.
$(iii)$ $z^{2}=0.04 \Rightarrow z=\sqrt{0.04}=0.2,$ જે એક સંમેય સંખ્યા છે કારણ કે તે શાંત દશાંશ છે અને તેને $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ તરીકે લખી શકાય છે.
$(iv)$ $u^{2}=\frac{17}{4} \Rightarrow u=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}.$ કારણ કે $\sqrt{17}$ પૂર્ણાંક નથી,તેથી $u$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) $0.04$ એ શાંત દશાંશ છે અને તે $0$ અને $0.1$ ની વચ્ચે આવેલી છે. તેથી,$0.04$ એ $0$ અને $0.1$ ની વચ્ચેની એક સંમેય સંખ્યા છે.
વળી,$0.003000300003...$ એ અનંત અનાવૃત દશાંશ છે જે $0$ અને $0.1$ ની વચ્ચે આવેલી છે. તેથી,$0.003000300003...$ એ $0$ અને $0.1$ ની વચ્ચેની એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $6.3753$ (એક શાંત દશાંશ) એ $6.375289$ અને $6.375738$ ની વચ્ચેની એક સંમેય સંખ્યા છે.
$6.375414114111...$ (એક અનંત અનાવૃત દશાંશ) એ $6.375289$ અને $6.375738$ ની વચ્ચેની એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $1$. સંખ્યા રેખા પર $AB = 4.5$ એકમનો રેખાખંડ દોરો.
$2$. બિંદુ $B$ થી $1$ એકમનું અંતર માપો અને તે નવા બિંદુને $C$ નામ આપો. હવે,$AC = 4.5 + 1 = 5.5$ એકમ થશે.
$3$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ શોધો અને તેને $O$ નામ આપો.
$4$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $OC$ (અથવા $OA$) ને ત્રિજ્યા લઈને એક અર્ધવર્તુળ દોરો.
$5$. બિંદુ $B$ આગળ $AC$ ને લંબ રેખા દોરો,જે અર્ધવર્તુળને બિંદુ $D$ માં છેદે છે. $BD$ ની લંબાઈ $\sqrt{4.5}$ છે.
$6$. $B$ ને કેન્દ્ર અને $BD$ ને ત્રિજ્યા લઈને એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $E$ માં છેદે છે. બિંદુ $E$ એ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{4.5}$ દર્શાવે છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{5.6}$ ને દર્શાવવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. સંખ્યા રેખા પર $AB = 5.6 \text{ એકમ}$ લંબાઈનો રેખાખંડ દોરો.
$2$. બિંદુ $B$ થી,એક બિંદુ $C$ એ રીતે અંકિત કરો કે જેથી $BC = 1 \text{ એકમ}$ થાય. હવે,$AC = 5.6 + 1 = 6.6 \text{ એકમ}$ થશે.
$3$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ $O$ શોધો. લંબાઈ $AO = OC = 6.6 / 2 = 3.3 \text{ એકમ}$ થશે.
$4$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $OA = 3.3 \text{ એકમ}$ ત્રિજ્યા લઈને એક અર્ધવર્તુળ દોરો.
$5$. બિંદુ $B$ આગળ રેખા $AC$ ને લંબ રેખા દોરો,જે અર્ધવર્તુળને બિંદુ $D$ માં છેદે છે.
$6$. $BD$ ની લંબાઈ $\sqrt{5.6}$ જેટલી છે.
$7$. $B$ ને કેન્દ્ર અને $BD$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને,સંખ્યા રેખા પર એક ચાપ દોરો જે તેને બિંદુ $E$ માં છેદે. અંતર $BE$ એ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{5.6}$ દર્શાવે છે.

(N/A) $1$. એક રેખા પર $AB = 2.3$ એકમનો રેખાખંડ દોરો.
$2$. $B$ થી $1$ એકમનું અંતર માપો અને તે બિંદુને $C$ નામ આપો. હવે,$AC = 2.3 + 1 = 3.3$ એકમ થશે.
$3$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ શોધો અને તેને $O$ નામ આપો.
$4$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $OC$ ને ત્રિજ્યા લઈને એક અર્ધવર્તુળ દોરો.
$5$. $B$ માંથી પસાર થતી અને $AC$ ને લંબ હોય તેવી રેખા દોરો જે અર્ધવર્તુળને બિંદુ $D$ માં છેદે. $BD$ ની લંબાઈ $\sqrt{2.3}$ જેટલી થશે.
$6$. $B$ ને કેન્દ્ર અને $BD$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $E$ પર છેદે છે. આમ,બિંદુ $E$ એ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{2.3}$ દર્શાવે છે.

(N/A) $1$. સંખ્યા રેખા પર $0$ દર્શાવતો બિંદુ $O$ પસંદ કરો.
$2$. એક એકમ લંબાઈ પસંદ કરો અને સંખ્યા રેખા પર $O$ થી $1$ એકમના અંતરે બિંદુ $A$ અંકિત કરો.
$3$. બિંદુ $A$ પર $1$ એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $AB$ દોરો.
$4$. $OB$ ને જોડો. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$5$. બિંદુ $B$ પર $1$ એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $BC$ દોરો. $OC$ ને જોડો. તેથી $OC = \sqrt{OB^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$6$. બિંદુ $C$ પર $1$ એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $CD$ દોરો. $OD$ ને જોડો. તેથી $OD = \sqrt{OC^2 + CD^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$.
$7$. બિંદુ $D$ પર $1$ એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $DE$ દોરો. $OE$ ને જોડો. તેથી $OE = \sqrt{OD^2 + DE^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
$8$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $OE$ ને ત્રિજ્યા લઈને,એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $P$ પર છેદે છે.
$9$. સંખ્યા રેખા પરનું બિંદુ $P$ એ $\sqrt{5}$ દર્શાવે છે.

(A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{6}$ ને દર્શાવવા માટે,આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $a^2 + b^2 = c^2$.
આપણે $6 = 5 + 1$ લખી શકીએ છીએ,તેથી $\sqrt{6} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2}$.
$1$. પ્રથમ,સંખ્યા રેખા પર $2$ એકમનો પાયો અને $1$ એકમની ઊંચાઈ ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવીને $\sqrt{5}$ ને દર્શાવો.
$2$. સંખ્યા રેખા પર $0$ પર બિંદુ $O$ અને $2$ પર બિંદુ $A$ અંકિત કરો.
$3$. બિંદુ $A$ પર $1$ એકમ લંબાઈનો લંબ $AB$ દોરો.
$4$. $OB$ ને જોડો. પાયથાગોરસ મુજબ,$OB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
$5$. હવે,બિંદુ $B$ પર $1$ એકમ લંબાઈનો લંબ $BC$ દોરો.
$6$. $OC$ ને જોડો. પાયથાગોરસ મુજબ,$OC = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$7$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $OC$ ને ત્રિજ્યા લઈને,એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $P$ પર છેદે છે. અંતર $OP$ એ $\sqrt{6}$ દર્શાવે છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{10}$ દર્શાવવા માટે,આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $a^2 + b^2 = c^2$.
આપણે $10$ ને $3^2 + 1^2 = 10$ તરીકે લખી શકીએ છીએ,તેથી $\sqrt{10} = \sqrt{3^2 + 1^2}$.
પગલું $1$: એક સંખ્યા રેખા દોરો અને $0$ પર બિંદુ $O$ અને $O$ થી $3$ એકમ દૂર બિંદુ $A$ અંકિત કરો.
પગલું $2$: બિંદુ $A$ પર,$1$ એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $AB$ દોરો.
પગલું $3$: $O$ અને $B$ ને જોડો. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OB$ ની લંબાઈ $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ થશે.
પગલું $4$: $O$ ને કેન્દ્ર અને $OB$ ને ત્રિજ્યા તરીકે લઈને,એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $P$ પર છેદે છે.
બિંદુ $P$ એ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{10}$ દર્શાવે છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{20}$ દર્શાવવા માટે,આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેય $a^2 + b^2 = c^2$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $20$ ને $4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$1$. એક સંખ્યા રેખા દોરો અને $O$ બિંદુને $0$ પર અને $A$ બિંદુને $O$ થી $4$ એકમ દૂર અંકિત કરો.
$2$. $A$ બિંદુ પર,$2$ એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $AB$ દોરો.
$3$. $O$ અને $B$ ને જોડો. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OB$ ની લંબાઈ $\sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$ થશે.
$4$. પરિકરનો ઉપયોગ કરીને,$O$ ને કેન્દ્ર અને $OB$ ને ત્રિજ્યા લઈ,એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને $P$ બિંદુમાં છેદે.
$5$. બિંદુ $P$ એ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{20}$ દર્શાવે છે.

(N/A) $\sqrt{6}$ સુધી વર્ગમૂળ સર્પાકાર બનાવવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. $1 \text{ unit}$ લંબાઈનો રેખાખંડ $OA$ દોરો.
$2$. બિંદુ $A$ પર, $1 \text{ unit}$ લંબાઈનો લંબ $AB$ દોરો. $OB$ ને જોડો. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ, $OB = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$3$. બિંદુ $B$ પર, $OB$ ને લંબ $1 \text{ unit}$ લંબાઈનો રેખાખંડ $BC$ દોરો. $OC$ ને જોડો. તેથી $OC = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$4$. બિંદુ $C$ પર, $OC$ ને લંબ $1 \text{ unit}$ લંબાઈનો રેખાખંડ $CD$ દોરો. $OD$ ને જોડો. તેથી $OD = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$.
$5$. બિંદુ $D$ પર, $OD$ ને લંબ $1 \text{ unit}$ લંબાઈનો રેખાખંડ $DE$ દોરો. $OE$ ને જોડો. તેથી $OE = \sqrt{(\sqrt{4})^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
$6$. બિંદુ $E$ પર, $OE$ ને લંબ $1 \text{ unit}$ લંબાઈનો રેખાખંડ $EF$ દોરો. $OF$ ને જોડો. તેથી $OF = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{4} = 0.25$ અને $\frac{4}{5} = 0.8$ થાય છે.
$\frac{1}{4}$ અને $\frac{4}{5}$ ની વચ્ચે ત્રણ ભિન્ન અસંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે $0.25$ અને $0.8$ ની વચ્ચે એવી ત્રણ સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જે અનંત અને અનાવૃત (non-terminating and non-recurring) હોય.
આવી ત્રણ સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$1. 0.3030030003\dots$
$2. 0.4040040004\dots$
$3. 0.5050050005\dots$

બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ ની વચ્ચેની અસંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $\sqrt{a \cdot b}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
$1$. $\sqrt{3}$ અને $\sqrt{5}$ ની વચ્ચેની પ્રથમ અસંમેય સંખ્યા:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{\sqrt{15}} = 15^{\frac{1}{4}}$.
$2$. $\sqrt{3}$ અને $15^{\frac{1}{4}}$ ની વચ્ચેની બીજી અસંમેય સંખ્યા:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot 15^{\frac{1}{4}}} = \sqrt{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}}} = \sqrt{3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}}} = 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$.
$3$. $\sqrt{3}$ અને $3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$ ની વચ્ચેની ત્રીજી અસંમેય સંખ્યા:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = \sqrt{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = \sqrt{3^{\frac{7}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = 3^{\frac{7}{16}} \cdot 5^{\frac{1}{16}}$.
આમ,$\sqrt{3}$ અને $\sqrt{5}$ ની વચ્ચેની ત્રણ અસંમેય સંખ્યાઓ $15^{\frac{1}{4}}$,$3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$ અને $3^{\frac{7}{16}} \cdot 5^{\frac{1}{16}}$ છે.

(N/A) સૌ પ્રથમ,સંમેય સંખ્યાઓને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો:
$\frac{1}{3} = 0.3333\ldots$
$\frac{7}{9} = 0.7777\ldots$
$0.3333\ldots$ અને $0.7777\ldots$ ની વચ્ચે અસંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સંખ્યાઓ લખવી પડશે જે આ શ્રેણીમાં આવે.
આવી ત્રણ સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$1) 0.4040040004\ldots$
$2) 0.5050050005\ldots$
$3) 0.6060060006\ldots$

(D) સૌ પ્રથમ,સંમેય સંખ્યાઓને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો: $\frac{3}{4} = 0.75$ અને $\frac{4}{5} = 0.80$.
$0.75$ અને $0.80$ ની વચ્ચે અસંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સંખ્યાઓ લખવાની જરૂર છે.
આવી સંખ્યાઓના ઉદાહરણો છે:
$1. 0.75010010001...$
$2. 0.76010010001...$
$3. 0.77010010001...$
આ સંખ્યાઓ સ્પષ્ટપણે $0.75$ કરતા મોટી અને $0.80$ કરતા નાની છે,અને તે અસંમેય છે કારણ કે તેમનું દશાંશ વિસ્તરણ અનંત અને અનાવૃત છે.

બે અસંમેય સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ ની વચ્ચે અસંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે $\sqrt{a \cdot b}$,$\sqrt{a \cdot \sqrt{a \cdot b}}$ વગેરે સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ,અથવા એવી સંખ્યાઓ શોધી શકીએ છીએ જેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને અનાવૃત હોય.
$1$. પ્રથમ સંખ્યા: $\sqrt{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{\sqrt{10}} = 10^{\frac{1}{4}} \approx 1.778$.
$2$. બીજી સંખ્યા: $\sqrt{\sqrt{2} \cdot 10^{\frac{1}{4}}} = (2^{\frac{1}{2}} \cdot 10^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 10^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}} \approx 1.682$.
$3$. ત્રીજી સંખ્યા: $\sqrt{10^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{5}} = (10^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{3}{8}} \approx 1.880$.
આ કિંમતો $\sqrt{2} \approx 1.414$ અને $\sqrt{5} \approx 2.236$ ની વચ્ચે આવેલી છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{8.2}$ દર્શાવવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. સંખ્યા રેખા પર $AB = 8.2 \text{ એકમ}$ લંબાઈનો રેખાખંડ દોરો.
$2$. બિંદુ $B$ થી $C$ એવું બિંદુ લો કે જેથી $BC = 1 \text{ એકમ}$ થાય. હવે,$AC = 9.2 \text{ એકમ}$ થશે.
$3$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ $O$ મેળવો. અંતર $AO = OC = 4.6 \text{ એકમ}$ થશે.
$4$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $OA$ (અથવા $OC$) ને ત્રિજ્યા લઈને એક અર્ધવર્તુળ દોરો.
$5$. બિંદુ $B$ આગળ રેખા $AC$ ને લંબ રેખા દોરો,જે અર્ધવર્તુળને બિંદુ $D$ માં છેદે છે.
$6$. $BD$ ની લંબાઈ $\sqrt{8.2}$ જેટલી થશે.
$7$. $B$ ને કેન્દ્ર અને $BD$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને સંખ્યા રેખા પર એક ચાપ દોરો. જે બિંદુએ ચાપ સંખ્યા રેખાને છેદે છે,તે બિંદુ $\sqrt{8.2}$ દર્શાવે છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{5.6}$ દર્શાવવા માટે,નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. સંખ્યા રેખા પર $AB = 5.6 \text{ એકમ}$ લંબાઈનો રેખાખંડ દોરો.
$2$. બિંદુ $B$ થી $C$ એવું બિંદુ અંકિત કરો કે જેથી $BC = 1 \text{ એકમ}$ થાય. હવે,$AC = 6.6 \text{ એકમ}$ થશે.
$3$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ $O$ શોધો. અંતર $AO = OC = 3.3 \text{ એકમ}$ થશે.
$4$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $3.3 \text{ એકમ}$ ત્રિજ્યા લઈને $A$ અને $C$ માંથી પસાર થતું અર્ધવર્તુળ દોરો.
$5$. બિંદુ $B$ પર $AC$ ને લંબ રેખા દોરો,જે અર્ધવર્તુળને બિંદુ $D$ માં છેદે છે.
$6$. $BD$ ની લંબાઈ $\sqrt{5.6}$ જેટલી છે.
$7$. $B$ ને કેન્દ્ર અને $BD$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને સંખ્યા રેખા પર એક ચાપ દોરો. જે બિંદુએ ચાપ સંખ્યા રેખાને છેદે છે તે $\sqrt{5.6}$ દર્શાવે છે.

(A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{7.5}$ દર્શાવવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. $7.5 \text{ એકમ}$ લંબાઈનો રેખાખંડ $AB$ દોરો.
$2$. રેખાખંડ $AB$ ને $1 \text{ એકમ}$ લંબાવીને બિંદુ $C$ મેળવો,જેથી $BC = 1 \text{ એકમ}$ થાય. હવે,$AC = 8.5 \text{ એકમ}$ થશે.
$3$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ $O$ શોધો. અંતર $AO = OC = 4.25 \text{ એકમ}$ થશે.
$4$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $OA$ ને ત્રિજ્યા લઈને એક અર્ધવર્તુળ દોરો.
$5$. બિંદુ $B$ આગળ રેખા $AC$ ને લંબ રેખા દોરો,જે અર્ધવર્તુળને બિંદુ $D$ માં છેદે છે.
$6$. $BD$ ની લંબાઈ $\sqrt{7.5}$ જેટલી થશે.
$7$. $B$ ને કેન્દ્ર અને $BD$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને સંખ્યા રેખા પર એક ચાપ દોરો,જે $\sqrt{7.5}$ દર્શાવતું બિંદુ દર્શાવશે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
સમજૂતી:
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{49} = 7$ થાય છે.
કારણ કે $7$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે (દા.ત.,$\frac{7}{1}$),તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
આથી,$\sqrt{49}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
અહીં $\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે અને શૂન્યતર સંમેય સંખ્યા $(2)$ તથા અસંમેય સંખ્યા $(\sqrt{5})$ નો ગુણાકાર હંમેશા અસંમેય સંખ્યા જ હોય છે,તેથી $2\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) સંખ્યા $(\sqrt{5}+3)^{2}$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેને બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરીશું.
અહીં,$a = \sqrt{5}$ અને $b = 3$ છે.
$(\sqrt{5}+3)^{2} = (\sqrt{5})^{2} + 2(\sqrt{5})(3) + (3)^{2}$
$= 5 + 6\sqrt{5} + 9$
$= 14 + 6\sqrt{5}$.
કારણ કે $\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,તેથી $6\sqrt{5}$ પણ અસંમેય સંખ્યા છે. સંમેય સંખ્યા $(14)$ અને અસંમેય સંખ્યા $(6\sqrt{5})$ નો સરવાળો હંમેશા અસંમેય સંખ્યા જ હોય છે.
તેથી,$(\sqrt{5}+3)^{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(IRRATIONAL) જો કોઈ સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં ન લખી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$,તો તેને અસંમેય સંખ્યા કહેવામાં આવે છે. $7$ એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા ન હોવાથી,તેનું વર્ગમૂળ $\sqrt{7}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) સંખ્યા $\pi$ ને વર્તુળના પરિઘ અને તેના વ્યાસના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને અનાવૃત છે. તેથી,$\pi$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(A) જો કોઈ સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ હોય અને $q \neq 0$ હોય,તો તેને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
અહીં $\frac{22}{7}$ એ બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $22$ અને $7$ નો ગુણોત્તર છે,જ્યાં $7 \neq 0$,તેથી તે સંમેય સંખ્યાની વ્યાખ્યાનું પાલન કરે છે.
આથી,$\frac{22}{7}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.

(A) $\sqrt{8^{2}+15^{2}}$ એ સંમેય સંખ્યા છે કે અસંમેય સંખ્યા તે નક્કી કરવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિનું સાદું રૂપ આપીશું.
પગલું $1$: સંખ્યાઓના વર્ગની ગણતરી કરો.
$8^{2} = 64$
$15^{2} = 225$
પગલું $2$: પરિણામોનો સરવાળો કરો.
$64 + 225 = 289$
પગલું $3$: સરવાળાનું વર્ગમૂળ શોધો.
$\sqrt{289} = 17$
કારણ કે $17$ ને $\frac{17}{1}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જે $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(B) સૌ પ્રથમ,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો: $8 + 15 = 23$.
તેથી,પદાવલિ $\sqrt{23}$ બને છે.
અહીં $23$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા નથી,તેથી તેનું વર્ગમૂળ $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતું નથી,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
આમ,$\sqrt{23}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.