Irrational Numbers Questions in Hindi

(A) हाँ,शून्य एक परिमेय संख्या है। एक परिमेय संख्या को ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \ne 0$ है। चूँकि शून्य को $\frac{0}{1}$,$\frac{0}{2}$,$\frac{0}{3}$ आदि के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ अंश $p = 0$ (एक पूर्णांक है) और हर $q$ कोई भी शून्येतर पूर्णांक है,इसलिए यह परिमेय संख्या की परिभाषा को संतुष्ट करता है।

(N/A) $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
$5$ परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों भिन्नों के अंश और हर को $(5 + 1) = 6$ से गुणा कर सकते हैं।
$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 6}{5 \times 6} = \frac{18}{30}$
$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 6}{5 \times 6} = \frac{24}{30}$
अतः,$\frac{18}{30}$ और $\frac{24}{30}$ के बीच $5$ परिमेय संख्याएँ हैं:
$\frac{19}{30}, \frac{20}{30}, \frac{21}{30}, \frac{22}{30}, \frac{23}{30}$.

यह समझना आसान है कि यूनानियों ने $\sqrt{2}$ की खोज कैसे की होगी। एक वर्ग $OABC$ पर विचार करें,जिसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई $1$ इकाई है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OB = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ होता है।
संख्या रेखा पर $\sqrt{2}$ को निरूपित करने के लिए,वर्ग $OABC$ को संख्या रेखा पर इस प्रकार रखें कि शीर्ष $O$ शून्य पर स्थित हो और भुजा $OA$ संख्या रेखा की धनात्मक दिशा में हो।
हमने अभी देखा कि $OB = \sqrt{2}$ है। एक परकार (compass) का उपयोग करके,$O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर,एक चाप खींचें जो संख्या रेखा को बिंदु $P$ पर काटता है। अतः,बिंदु $P$ संख्या रेखा पर $\sqrt{2}$ को दर्शाता है।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{3}$ को निर्धारित करने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. सबसे पहले,$1$ इकाई आधार और $1$ इकाई ऊँचाई वाला एक समकोण त्रिभुज बनाकर संख्या रेखा पर $\sqrt{2}$ को निर्धारित करें। इसका कर्ण $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ होगा।
$2$. अब,कर्ण $OB$ (जहाँ $OB = \sqrt{2}$) पर लंबवत $1$ इकाई लंबाई का एक रेखाखंड $BD$ खींचें।
$3$. $OD$ को मिलाएँ। समकोण त्रिभुज $\triangle OBD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OD^2 = OB^2 + BD^2$
$OD^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$
$OD = \sqrt{3}$.
$4$. परकार का उपयोग करके,$O$ को केंद्र और $OD$ को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचें जो संख्या रेखा को बिंदु $Q$ पर काटता है। बिंदु $Q$ संख्या रेखा पर $\sqrt{3}$ को दर्शाता है।
इसी प्रकार,$\sqrt{n-1}$ को निर्धारित करने के बाद,आप किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $\sqrt{n}$ को निर्धारित कर सकते हैं।

(B) नहीं,सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं।
उदाहरण के लिए,पूर्ण वर्ग संख्याओं जैसे $\sqrt{4}$ और $\sqrt{9}$ के वर्गमूल पर विचार करें।
हम जानते हैं कि $\sqrt{4} = 2$ और $\sqrt{9} = 3$ होता है।
चूंकि $2$ और $3$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$),इसलिए ये परिमेय संख्याएँ हैं।
अतः,सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{5}$ को निरूपित करने के लिए,हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं: $\sqrt{5} = \sqrt{2^2 + 1^2}$।
$1$. एक संख्या रेखा खींचिए और $0$ को दर्शाने वाला बिंदु $O$ और $O$ से $2$ इकाई की दूरी पर $2$ को दर्शाने वाला बिंदु $A$ अंकित कीजिए।
$2$. बिंदु $A$ पर,$1$ इकाई लंबाई का एक लंब रेखाखंड $AB$ खींचिए।
$3$. $O$ और $B$ को मिलाइए। समकोण त्रिभुज $\triangle OAB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OB^2 = OA^2 + AB^2$
$OB^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
$OB = \sqrt{5}$
$4$. अब,$O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर,एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $C$ पर काटता है।
$5$. दूरी $OC$,$OB$ के बराबर है,जो $\sqrt{5}$ है। अतः,बिंदु $C$ संख्या रेखा पर $\sqrt{5}$ को निरूपित करता है।

(N/A) वर्गमूल सर्पिल का निर्माण पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित है,जो बताता है कि एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है $(h^2 = a^2 + b^2)$।
$1$. बिंदु $O$ से शुरू करें और $OP_1 = 1$ इकाई खींचें।
$2$. $OP_1$ पर लंब $P_1P_2$ खींचें ताकि $P_1P_2 = 1$ इकाई हो। $\triangle OP_1P_2$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OP_2 = \sqrt{OP_1^2 + P_1P_2^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$3$. $OP_2$ पर लंब $P_2P_3$ खींचें ताकि $P_2P_3 = 1$ इकाई हो। $\triangle OP_2P_3$ में,$OP_3 = \sqrt{OP_2^2 + P_2P_3^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$।
$4$. इसी प्रकार,$OP_3$ पर लंब $P_3P_4$ खींचें ताकि $P_3P_4 = 1$ इकाई हो। $\triangle OP_3P_4$ में,$OP_4 = \sqrt{OP_3^2 + P_3P_4^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$।
$5$. इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,कर्ण $OP_n$ की लंबाई $\sqrt{n}$ होगी।

(A) हम जानते हैं कि $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ और $\frac{2}{7} = 0.\overline{285714}$ होता है।
इन दो मानों के बीच एक अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें एक ऐसी संख्या की आवश्यकता है जो अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) हो।
$0.15015001500015...$ के रूप की कोई भी संख्या इस शर्त को पूरा करती है क्योंकि यह $0.142857...$ और $0.285714...$ के बीच स्थित है और इसमें अंकों का कोई निश्चित पैटर्न दोहराया नहीं जाता है।
अतः,ऐसी एक अपरिमेय संख्या $0.15015001500015...$ है।

(N/A) वह संख्या जिसका दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती होता है,एक अपरिमेय संख्या कहलाती है।
ऐसी तीन संख्याओं के उदाहरण निम्नलिखित हैं:
$1$. $\sqrt{2} = 1.414213562 \ldots$
$2$. $\sqrt{3} = 1.732050808 \ldots$
$3$. $\sqrt{5} = 2.236067978 \ldots$

(N/A) सबसे पहले,परिमेय संख्याओं को दशमलव रूप में बदलें:
$\frac{5}{7} = 0.\overline{714285}$
$\frac{9}{11} = 0.\overline{81}$
एक अपरिमेय संख्या वह होती है जिसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) होता है।
हमें $0.714285...$ और $0.818181...$ के बीच तीन ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जो अनवसानी अनावर्ती पैटर्न का पालन करती हों।
ऐसी तीन संख्याएँ निम्नलिखित हैं:
$1) 0.73073007300073...$
$2) 0.75075007500075...$
$3) 0.79079007900079...$

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि कोई संख्या अपरिमेय है या नहीं,हम जांचते हैं कि क्या इसे अनवसानी अनावर्ती दशमलव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$1$. $7 \sqrt{5}$: चूंकि $\sqrt{5} \approx 2.236$ एक अपरिमेय संख्या है,एक गैर-शून्य परिमेय संख्या $(7)$ और एक अपरिमेय संख्या $(\sqrt{5})$ का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है। अतः,$7 \sqrt{5} \approx 15.652...$ अपरिमेय है।
$2$. $\frac{7}{\sqrt{5}}$: हर का परिमेयकरण करने पर,हमें $\frac{7 \sqrt{5}}{5} \approx 3.1304...$ प्राप्त होता है। चूंकि एक गैर-शून्य परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का भागफल अपरिमेय होता है,इसलिए $\frac{7}{\sqrt{5}}$ अपरिमेय है।
$3$. $\sqrt{2}+21$: चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$ अपरिमेय है,एक अपरिमेय संख्या और एक परिमेय संख्या $(21)$ का योग हमेशा अपरिमेय होता है। अतः,$\sqrt{2}+21 \approx 22.414...$ अपरिमेय है।
$4$. $\pi-2$: चूंकि $\pi \approx 3.1415...$ एक अपरिमेय संख्या है,एक अपरिमेय संख्या और एक परिमेय संख्या $(2)$ का अंतर हमेशा अपरिमेय होता है। अतः,$\pi-2 \approx 1.1415...$ अपरिमेय है।
निष्कर्ष: दी गई सभी संख्याएँ अपरिमेय हैं।

(B) संख्या $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
परिभाषा के अनुसार,एक अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार हमेशा अनवसानी अनावर्ती (non-terminating non-recurring) होता है।
इसलिए,$\sqrt{2}$ का दशमलव प्रसार $1.41421356...$ है,जो न तो समाप्त होता है और न ही किसी पैटर्न को दोहराता है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सी संख्या अपरिमेय है,हम प्रत्येक विकल्प को सरल करते हैं:
$(a)$ $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$,जो एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
$(b)$ $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$,जो एक परिमेय संख्या है।
$(c)$ $\sqrt{7}$ को पूर्णांकों के भिन्न के रूप में सरल नहीं किया जा सकता है। चूँकि $7$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है,इसलिए $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।
$(d)$ $\sqrt{81} = 9$,जो एक परिमेय संख्या है।
अतः,$\sqrt{7}$ अपरिमेय संख्या है। इसलिए,$(C)$ सही उत्तर है।

(D) एक संख्या अपरिमेय होती है यदि और केवल यदि उसका दशमलव निरूपण अनवसानी-अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) हो।
$(A)$ $0.14$ एक सांत दशमलव है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(B)$ $0.14 \overline{16}$ एक अनवसानी-आवर्ती दशमलव है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(C)$ $0. \overline{1416}$ एक अनवसानी-आवर्ती दशमलव है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(D)$ $0.4014001400014 \ldots$ एक अनवसानी-अनावर्ती दशमलव है,जो कि एक अपरिमेय संख्या की परिभाषा है।
अतः,$(D)$ सही उत्तर है।

(A) हम जानते हैं कि $\sqrt{2} \approx 1.414$ और $\sqrt{3} \approx 1.732$ होता है।
परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर:
$1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$,जो एक परिमेय संख्या है।
चूंकि $1.414 < 1.5 < 1.732$,इसलिए $1.5$ का मान $\sqrt{2}$ और $\sqrt{3}$ के बीच स्थित है।
विकल्प $B$ और $C$ में अपरिमेय संख्याएं शामिल हैं,इसलिए वे परिमेय संख्याएं नहीं हैं।
विकल्प $D$ $(1.8)$ का मान $\sqrt{3} \approx 1.732$ से अधिक है,इसलिए यह उनके बीच स्थित नहीं है।
अतः,$1.5$ सही परिमेय संख्या है।

(N/A) हाँ,ऐसी अपरिमेय संख्याएँ मौजूद हैं।
माना दो अपरिमेय संख्याएँ $a = 3 + \sqrt{2}$ और $b = 3 - \sqrt{2}$ हैं।
योग: $(3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 6$,जो एक परिमेय संख्या है।
गुणनफल: $(3 + \sqrt{2}) \times (3 - \sqrt{2}) = (3)^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$,जो भी एक परिमेय संख्या है।
अतः,$3 + \sqrt{2}$ और $3 - \sqrt{2}$ दो ऐसी अपरिमेय संख्याएँ हैं जिनका योग और गुणनफल दोनों परिमेय हैं।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
मान लीजिए $x = \sqrt[4]{2}$ है।
अब,$x^{2}$ की गणना करते हैं:
$x^{2} = (\sqrt[4]{2})^{2} = \sqrt{2}$। चूंकि $\sqrt{2}$ को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
अब,$x^{4}$ की गणना करते हैं:
$x^{4} = (\sqrt[4]{2})^{4} = 2$। चूंकि $2$ को $\frac{2}{1}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
इस प्रकार,हमने एक ऐसी संख्या $x = \sqrt[4]{2}$ प्राप्त की है जिसके लिए $x^{2}$ अपरिमेय है और $x^{4}$ परिमेय है।

(B) दिया गया कथन असत्य है।
यह निर्धारित करने के लिए कि संख्या परिमेय है या नहीं,हमें पहले व्यंजक को सरल करना होगा।
$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{15}{3}} = \sqrt{5}$.
चूंकि $\sqrt{5}$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
एक परिमेय संख्या को ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
$\frac{\sqrt{5}}{1}$ व्यंजक में,हालांकि यह $\frac{p}{q}$ के रूप में है,लेकिन अंश $p = \sqrt{5}$ एक पूर्णांक नहीं है।
इसलिए,$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) $(i)$ $\sqrt{\frac{9}{27}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. चूँकि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए एक परिमेय संख्या $(1)$ और एक अपरिमेय संख्या $(\sqrt{3})$ का भागफल एक अपरिमेय संख्या होता है।
$(ii)$ $\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{343}} = \sqrt{\frac{28}{343}} = \sqrt{\frac{4 \times 7}{49 \times 7}} = \sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{2}{7}$. चूँकि $\frac{2}{7}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(N/A) $(i)$ $-\sqrt{0.4} = -\sqrt{\frac{4}{10}} = -\frac{2}{\sqrt{10}}$. चूँकि $\sqrt{10}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए एक परिमेय संख्या $(2)$ और एक अपरिमेय संख्या $(\sqrt{10})$ का भागफल अपरिमेय होता है। अतः,$-\sqrt{0.4}$ एक अपरिमेय संख्या है।
$(ii)$ $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{75}} = \sqrt{\frac{12}{75}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$. चूँकि $\frac{2}{5}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(N/A) हम $13$ को दो प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के रूप में लिखते हैं:
$13 = 9 + 4 = 3^{2} + 2^{2}$
संख्या रेखा पर,$OA = 3$ इकाई लीजिए।
$OA$ पर लंब $BA = 2$ इकाई खींचिए। $OB$ को मिलाइए।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OB = \sqrt{OA^{2} + AB^{2}} = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$।
प्रकार का उपयोग करके,$O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $C$ पर काटता है। अतः,$C$ बिंदु $\sqrt{13}$ को दर्शाता है।

(N/A) जब हम एक पैमाने या किसी अन्य उपकरण से किसी रेखा की लंबाई मापते हैं,तो हमें केवल एक अनुमानित परिमेय मान प्राप्त होता है। इसका अर्थ यह है कि $c$ या $d$ में से कम से कम एक अपरिमेय है। इसलिए,अनुपात $\frac{c}{d}$ अपरिमेय है,जो $\pi$ को एक अपरिमेय संख्या बनाता है। अतः,यह कहने में कोई विरोधाभास नहीं है कि $\pi$ अपरिमेय है।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{9.3}$ को निरूपित करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. एक रेखा $l$ पर $AB = 9.3 \text{ इकाई}$ का एक रेखाखंड खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ से $C$ एक ऐसा बिंदु अंकित कीजिए कि $BC = 1 \text{ इकाई}$ हो। अब,$AC = 9.3 + 1 = 10.3 \text{ इकाई}$ है।
$3$. $AC$ का मध्य-बिंदु $O$ ज्ञात कीजिए। $O$ को केंद्र मानकर और $OA$ त्रिज्या लेकर एक अर्धवृत्त खींचिए।
$4$. बिंदु $B$ पर रेखा $l$ के लंबवत एक रेखा खींचिए,जो अर्धवृत्त को बिंदु $D$ पर काटती है। $BD$ की लंबाई $\sqrt{9.3}$ है।
$5$. $B$ को केंद्र और $BD$ को त्रिज्या मानकर,संख्या रेखा $l$ पर एक चाप लगाइए जो इसे बिंदु $E$ पर काटता है। दूरी $BE$ संख्या रेखा पर $\sqrt{9.3}$ को निरूपित करती है।

(A) $(i)$ $x^{2}=5 \Rightarrow x=\sqrt{5},$ जो एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि $\sqrt{5}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
$(ii)$ $y^{2}=9 \Rightarrow y=\sqrt{9}=3,$ जो एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे $\frac{3}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(iii)$ $z^{2}=0.04 \Rightarrow z=\sqrt{0.04}=0.2,$ जो एक परिमेय संख्या है क्योंकि यह एक सांत दशमलव है और इसे $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(iv)$ $u^{2}=\frac{17}{4} \Rightarrow u=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}.$ चूँकि $\sqrt{17}$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए $u$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) $0.04$ एक सांत दशमलव है और यह $0$ और $0.1$ के बीच स्थित है। अतः,$0.04$ एक परिमेय संख्या है जो $0$ और $0.1$ के बीच स्थित है।
पुनः,$0.003000300003...$ एक अनवसानी अनावर्ती दशमलव है जो $0$ और $0.1$ के बीच स्थित है। अतः,$0.003000300003...$ एक अपरिमेय संख्या है जो $0$ और $0.1$ के बीच स्थित है।

(N/A) $6.3753$ (एक सांत दशमलव) $6.375289$ और $6.375738$ के बीच की एक परिमेय संख्या है।
$6.375414114111...$ (एक अनवसानी अनावर्ती दशमलव) $6.375289$ और $6.375738$ के बीच की एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) $1$. एक संख्या रेखा पर $AB = 4.5$ इकाई का एक रेखाखंड खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ से $1$ इकाई की दूरी अंकित कीजिए और उस नए बिंदु को $C$ नाम दीजिए। अब,$AC = 4.5 + 1 = 5.5$ इकाई है।
$3$. $AC$ का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए और उसे $O$ नाम दीजिए।
$4$. $O$ को केंद्र और $OC$ (या $OA$) को त्रिज्या मानकर एक अर्धवृत्त खींचिए।
$5$. बिंदु $B$ पर $AC$ के लंबवत एक रेखा खींचिए,जो अर्धवृत्त को बिंदु $D$ पर काटती है। $BD$ की लंबाई $\sqrt{4.5}$ है।
$6$. $B$ को केंद्र और $BD$ को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $E$ पर काटता है। बिंदु $E$ संख्या रेखा पर $\sqrt{4.5}$ को निरूपित करता है।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{5.6}$ को निरूपित करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. संख्या रेखा पर $AB = 5.6 \text{ इकाई}$ का एक रेखाखंड खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ से,एक बिंदु $C$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BC = 1 \text{ इकाई}$ हो। अब,$AC = 5.6 + 1 = 6.6 \text{ इकाई}$ है।
$3$. $AC$ का मध्य-बिंदु $O$ ज्ञात कीजिए। लंबाई $AO = OC = 6.6 / 2 = 3.3 \text{ इकाई}$ होगी।
$4$. $O$ को केंद्र और $OA = 3.3 \text{ इकाई}$ को त्रिज्या मानकर एक अर्धवृत्त खींचिए।
$5$. बिंदु $B$ पर रेखा $AC$ के लंबवत एक रेखा खींचिए,जो अर्धवृत्त को बिंदु $D$ पर काटती है।
$6$. $BD$ की लंबाई $\sqrt{5.6}$ के बराबर है।
$7$. $B$ को केंद्र और $BD$ को त्रिज्या मानकर,संख्या रेखा पर एक चाप खींचिए जो इसे बिंदु $E$ पर काटे। दूरी $BE$ संख्या रेखा पर $\sqrt{5.6}$ को दर्शाती है।

(N/A) $1$. एक रेखा पर $AB = 2.3$ इकाई का एक रेखाखंड खींचिए।
$2$. $B$ से $1$ इकाई की दूरी अंकित कीजिए और उस बिंदु को $C$ नाम दीजिए। अब,$AC = 2.3 + 1 = 3.3$ इकाई है।
$3$. $AC$ का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए और उसे $O$ अंकित कीजिए।
$4$. $O$ को केंद्र और $OC$ को त्रिज्या मानकर एक अर्धवृत्त खींचिए।
$5$. $B$ से होकर जाने वाली और $AC$ पर लंब एक रेखा खींचिए जो अर्धवृत्त को बिंदु $D$ पर प्रतिच्छेद करती है। $BD$ की लंबाई $\sqrt{2.3}$ के बराबर है।
$6$. $B$ को केंद्र और $BD$ को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $E$ पर काटता है। अतः,बिंदु $E$ संख्या रेखा पर $\sqrt{2.3}$ को निरूपित करता है।

(N/A) $1$. संख्या रेखा पर $0$ को निरूपित करने वाला एक बिंदु $O$ चुनिए।
$2$. एक इकाई लंबाई चुनिए और संख्या रेखा पर $O$ से $1$ इकाई की दूरी पर बिंदु $A$ अंकित कीजिए।
$3$. बिंदु $A$ पर $1$ इकाई लंबाई का एक लंब रेखाखंड $AB$ खींचिए।
$4$. $OB$ को मिलाइए। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$5$. बिंदु $B$ पर $1$ इकाई लंबाई का एक लंब रेखाखंड $BC$ खींचिए। $OC$ को मिलाइए। तब $OC = \sqrt{OB^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$।
$6$. बिंदु $C$ पर $1$ इकाई लंबाई का एक लंब रेखाखंड $CD$ खींचिए। $OD$ को मिलाइए। तब $OD = \sqrt{OC^2 + CD^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$।
$7$. बिंदु $D$ पर $1$ इकाई लंबाई का एक लंब रेखाखंड $DE$ खींचिए। $OE$ को मिलाइए। तब $OE = \sqrt{OD^2 + DE^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$।
$8$. $O$ को केंद्र और $OE$ को त्रिज्या मानकर,एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $P$ पर काटता है।
$9$. संख्या रेखा पर बिंदु $P$,$\sqrt{5}$ को निरूपित करता है।

(A) संख्या रेखा पर $\sqrt{6}$ को निरूपित करने के लिए,हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं: $a^2 + b^2 = c^2$।
हम $6 = 5 + 1$ लिख सकते हैं,इसलिए $\sqrt{6} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2}$।
$1$. सबसे पहले,$2$ इकाई आधार और $1$ इकाई ऊंचाई वाला एक समकोण त्रिभुज बनाकर संख्या रेखा पर $\sqrt{5}$ को निरूपित करें।
$2$. संख्या रेखा पर $0$ पर बिंदु $O$ और $2$ पर बिंदु $A$ अंकित करें।
$3$. बिंदु $A$ पर $1$ इकाई लंबाई का लंब $AB$ खींचें।
$4$. $OB$ को मिलाएं। पाइथागोरस के अनुसार,$OB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$।
$5$. अब,बिंदु $B$ पर $1$ इकाई लंबाई का लंब $BC$ खींचें।
$6$. $OC$ को मिलाएं। पाइथागोरस के अनुसार,$OC = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{6}$।
$7$. $O$ को केंद्र और $OC$ को त्रिज्या मानकर,एक चाप खींचें जो संख्या रेखा को बिंदु $P$ पर काटता है। दूरी $OP$,$\sqrt{6}$ को दर्शाती है।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{10}$ को निरूपित करने के लिए,हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं: $a^2 + b^2 = c^2$.
हम $10$ को $3^2 + 1^2 = 10$ के रूप में लिख सकते हैं,इसलिए $\sqrt{10} = \sqrt{3^2 + 1^2}$.
चरण $1$: एक संख्या रेखा खींचिए और $0$ पर बिंदु $O$ तथा $O$ से $3$ इकाई की दूरी पर बिंदु $A$ अंकित कीजिए।
चरण $2$: बिंदु $A$ पर,$1$ इकाई लंबाई का एक लंब रेखाखंड $AB$ खींचिए।
चरण $3$: $O$ और $B$ को मिलाइए। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OB$ की लंबाई $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ होगी।
चरण $4$: $O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर,एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $P$ पर काटता है।
बिंदु $P$ संख्या रेखा पर $\sqrt{10}$ को निरूपित करता है।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{20}$ को निरूपित करने के लिए,हम पाइथागोरस प्रमेय $a^2 + b^2 = c^2$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $20$ को $4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$ के रूप में लिख सकते हैं।
$1$. एक संख्या रेखा खींचिए और बिंदु $O$ को $0$ पर और बिंदु $A$ को $O$ से $4$ इकाई की दूरी पर अंकित कीजिए।
$2$. बिंदु $A$ पर,$2$ इकाई लंबाई का एक लंब रेखाखंड $AB$ खींचिए।
$3$. $O$ और $B$ को मिलाइए। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OB$ की लंबाई $\sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$ होगी।
$4$. परकार का उपयोग करके,$O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर,एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $P$ पर काटता है।
$5$. बिंदु $P$ संख्या रेखा पर $\sqrt{20}$ को निरूपित करता है।

(N/A) $\sqrt{6}$ तक वर्गमूल सर्पिल बनाने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. $1 \text{ unit}$ लंबाई का एक रेखाखंड $OA$ खींचिए।
$2$. बिंदु $A$ पर, $1 \text{ unit}$ लंबाई का एक लंब $AB$ खींचिए। $OB$ को मिलाइए। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $OB = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$3$. बिंदु $B$ पर, $OB$ पर $1 \text{ unit}$ लंबाई का एक लंब $BC$ खींचिए। $OC$ को मिलाइए। तब $OC = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$।
$4$. बिंदु $C$ पर, $OC$ पर $1 \text{ unit}$ लंबाई का एक लंब $CD$ खींचिए। $OD$ को मिलाइए। तब $OD = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$।
$5$. बिंदु $D$ पर, $OD$ पर $1 \text{ unit}$ लंबाई का एक लंब $DE$ खींचिए। $OE$ को मिलाइए। तब $OE = \sqrt{(\sqrt{4})^2 + 1^2} = \sqrt{5}$।
$6$. बिंदु $E$ पर, $OE$ पर $1 \text{ unit}$ लंबाई का एक लंब $EF$ खींचिए। $OF$ को मिलाइए। तब $OF = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{6}$।

(N/A) हम जानते हैं कि $\frac{1}{4} = 0.25$ और $\frac{4}{5} = 0.8$ होता है।
$\frac{1}{4}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हमें $0.25$ और $0.8$ के बीच ऐसी तीन संख्याएँ ढूँढनी होंगी जो अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) हों।
ऐसी तीन संख्याएँ निम्नलिखित हैं:
$1. 0.3030030003\dots$
$2. 0.4040040004\dots$
$3. 0.5050050005\dots$

दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के बीच एक अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $\sqrt{a \cdot b}$ सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
$1$. $\sqrt{3}$ और $\sqrt{5}$ के बीच पहली अपरिमेय संख्या:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{\sqrt{15}} = 15^{\frac{1}{4}}$.
$2$. $\sqrt{3}$ और $15^{\frac{1}{4}}$ के बीच दूसरी अपरिमेय संख्या:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot 15^{\frac{1}{4}}} = \sqrt{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}}} = \sqrt{3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}}} = 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$.
$3$. $\sqrt{3}$ और $3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$ के बीच तीसरी अपरिमेय संख्या:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = \sqrt{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = \sqrt{3^{\frac{7}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = 3^{\frac{7}{16}} \cdot 5^{\frac{1}{16}}$.
अतः,$\sqrt{3}$ और $\sqrt{5}$ के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ $15^{\frac{1}{4}}$,$3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$ और $3^{\frac{7}{16}} \cdot 5^{\frac{1}{16}}$ हैं।

(N/A) सबसे पहले,परिमेय संख्याओं को दशमलव रूप में बदलें:
$\frac{1}{3} = 0.3333\ldots$
$\frac{7}{9} = 0.7777\ldots$
$0.3333\ldots$ और $0.7777\ldots$ के बीच अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हमें ऐसी अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) दशमलव संख्याएँ लिखनी होंगी जो इस सीमा के भीतर हों।
ऐसी तीन संख्याएँ हैं:
$1) 0.4040040004\ldots$
$2) 0.5050050005\ldots$
$3) 0.6060060006\ldots$

(D) सबसे पहले,परिमेय संख्याओं को दशमलव रूप में बदलें: $\frac{3}{4} = 0.75$ और $\frac{4}{5} = 0.80$।
$0.75$ और $0.80$ के बीच अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हमें अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) दशमलव लिखने होंगे।
ऐसी संख्याओं के उदाहरण हैं:
$1. 0.75010010001...$
$2. 0.76010010001...$
$3. 0.77010010001...$
ये संख्याएँ स्पष्ट रूप से $0.75$ से बड़ी और $0.80$ से छोटी हैं,और ये अपरिमेय हैं क्योंकि इनका दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती है।

दो अपरिमेय संख्याओं $a$ और $b$ के बीच अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम $\sqrt{a \cdot b}$,$\sqrt{a \cdot \sqrt{a \cdot b}}$ आदि के रूप का उपयोग कर सकते हैं,या ऐसी संख्याएँ ढूँढ सकते हैं जिनका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) हो।
$1$. पहली संख्या: $\sqrt{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{\sqrt{10}} = 10^{\frac{1}{4}} \approx 1.778$.
$2$. दूसरी संख्या: $\sqrt{\sqrt{2} \cdot 10^{\frac{1}{4}}} = (2^{\frac{1}{2}} \cdot 10^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 10^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}} \approx 1.682$.
$3$. तीसरी संख्या: $\sqrt{10^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{5}} = (10^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{3}{8}} \approx 1.880$.
ये मान $\sqrt{2} \approx 1.414$ और $\sqrt{5} \approx 2.236$ के बीच स्थित हैं।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{8.2}$ को निरूपित करने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. संख्या रेखा पर $AB = 8.2 \text{ इकाई}$ का एक रेखाखंड खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ से एक बिंदु $C$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BC = 1 \text{ इकाई}$ हो। अब,$AC = 9.2 \text{ इकाई}$ होगा।
$3$. $AC$ का मध्य-बिंदु $O$ ज्ञात कीजिए। दूरी $AO = OC = 4.6 \text{ इकाई}$ होगी।
$4$. $O$ को केंद्र मानकर और $OA$ (या $OC$) को त्रिज्या लेकर एक अर्धवृत्त खींचिए।
$5$. बिंदु $B$ पर रेखा $AC$ के लंबवत एक रेखा खींचिए,जो अर्धवृत्त को बिंदु $D$ पर काटती है।
$6$. $BD$ की लंबाई $\sqrt{8.2}$ के बराबर है।
$7$. $B$ को केंद्र और $BD$ को त्रिज्या मानकर,संख्या रेखा पर एक चाप खींचिए। जिस बिंदु पर चाप संख्या रेखा को काटता है,वह $\sqrt{8.2}$ को निरूपित करता है।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{5.6}$ को निरूपित करने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. संख्या रेखा पर $AB = 5.6 \text{ इकाई}$ का एक रेखाखंड खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ से $C$ तक एक ऐसा बिंदु अंकित कीजिए कि $BC = 1 \text{ इकाई}$ हो। अब,$AC = 6.6 \text{ इकाई}$ होगा।
$3$. $AC$ का मध्य-बिंदु $O$ ज्ञात कीजिए। दूरी $AO = OC = 3.3 \text{ इकाई}$ होगी।
$4$. $O$ को केंद्र मानकर और $3.3 \text{ इकाई}$ की त्रिज्या लेकर $A$ और $C$ से गुजरता हुआ एक अर्धवृत्त खींचिए।
$5$. बिंदु $B$ पर $AC$ के लंबवत एक रेखा खींचिए,जो अर्धवृत्त को बिंदु $D$ पर काटती है।
$6$. $BD$ की लंबाई $\sqrt{5.6}$ के बराबर है।
$7$. $B$ को केंद्र और $BD$ को त्रिज्या मानकर संख्या रेखा पर एक चाप लगाइए। जिस बिंदु पर चाप संख्या रेखा को काटता है,वह $\sqrt{5.6}$ को निरूपित करता है।

(A) संख्या रेखा पर $\sqrt{7.5}$ को निरूपित करने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. $7.5 \text{ इकाई}$ लंबाई का एक रेखाखंड $AB$ खींचिए।
$2$. रेखाखंड $AB$ को $1 \text{ इकाई}$ आगे बढ़ाकर बिंदु $C$ प्राप्त कीजिए,ताकि $BC = 1 \text{ इकाई}$ हो। अब,$AC = 8.5 \text{ इकाई}$ होगा।
$3$. $AC$ का मध्य-बिंदु $O$ ज्ञात कीजिए। दूरी $AO = OC = 4.25 \text{ इकाई}$ होगी।
$4$. $O$ को केंद्र और $OA$ को त्रिज्या मानकर एक अर्धवृत्त खींचिए।
$5$. बिंदु $B$ पर रेखा $AC$ के लंबवत एक रेखा खींचिए,जो अर्धवृत्त को बिंदु $D$ पर काटती है।
$6$. $BD$ की लंबाई $\sqrt{7.5}$ के बराबर होगी।
$7$. $B$ को केंद्र और $BD$ को त्रिज्या मानकर संख्या रेखा पर एक चाप लगाइए,जो $\sqrt{7.5}$ को निरूपित करने वाला बिंदु होगा।

(B) यह कथन असत्य है।
व्याख्या:
हम जानते हैं कि $\sqrt{49} = 7$ होता है।
चूंकि $7$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है (उदाहरण के लिए,$\frac{7}{1}$),इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
अतः,यह कथन कि $\sqrt{49}$ एक अपरिमेय संख्या है,असत्य है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ है।
चूंकि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है और एक गैर-शून्य परिमेय संख्या $(2)$ तथा एक अपरिमेय संख्या $(\sqrt{5})$ का गुणनफल हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है,इसलिए $2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) संख्या $(\sqrt{5}+3)^{2}$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसे बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करके विस्तारित करते हैं।
यहाँ,$a = \sqrt{5}$ और $b = 3$ है।
$(\sqrt{5}+3)^{2} = (\sqrt{5})^{2} + 2(\sqrt{5})(3) + (3)^{2}$
$= 5 + 6\sqrt{5} + 9$
$= 14 + 6\sqrt{5}$.
चूंकि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए $6\sqrt{5}$ भी अपरिमेय है। एक परिमेय संख्या $(14)$ और एक अपरिमेय संख्या $(6\sqrt{5})$ का योग हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है।
अतः,$(\sqrt{5}+3)^{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(IRRATIONAL) यदि किसी संख्या को $\frac{p}{q}$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$,तो उसे अपरिमेय संख्या कहा जाता है। चूँकि $7$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है,इसलिए इसका वर्गमूल $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) संख्या $\pi$ को एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। इसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) होता है। इसलिए,$\pi$ एक अपरिमेय संख्या है।

(A) एक संख्या को परिमेय कहा जाता है यदि उसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
चूंकि $\frac{22}{7}$ को दो पूर्णांकों $22$ और $7$ के अनुपात के रूप में व्यक्त किया गया है,जहाँ $7 \neq 0$ है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या की परिभाषा को पूरा करती है।
अतः,$\frac{22}{7}$ एक परिमेय संख्या है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि $\sqrt{8^{2}+15^{2}}$ एक परिमेय संख्या है या अपरिमेय संख्या,हम पहले वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को सरल करते हैं।
चरण $1$: संख्याओं के वर्ग की गणना करें।
$8^{2} = 64$
$15^{2} = 225$
चरण $2$: परिणामों को जोड़ें।
$64 + 225 = 289$
चरण $3$: योग का वर्गमूल ज्ञात करें।
$\sqrt{289} = 17$
चूंकि $17$ को $\frac{17}{1}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जो $\frac{p}{q}$ के रूप में है जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(B) सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को सरल करें: $8 + 15 = 23$.
इसलिए,व्यंजक $\sqrt{23}$ हो जाता है।
चूंकि $23$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है,इसलिए इसके वर्गमूल को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$.
अतः,$\sqrt{23}$ एक अपरिमेय संख्या है।