Laws of Exponents for Real Numbers Questions in Hindi

(A) दिया गया व्यंजक $\left[\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{5}}\right]^{-\frac{1}{6}}$ है।
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{5} \times (-\frac{1}{6})} = \left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$.
अब,विकल्पों की जाँच करते हैं:
$A$: $\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{5}-\frac{1}{6}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{6-5}{30}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{30}}$. यह $\left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$ के बराबर नहीं है।
$B$: $\frac{1}{\left[\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{5}}\right]^{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{30}}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$. यह बराबर है।
$C$: $\left(\frac{6}{5}\right)^{\frac{1}{30}} = \left(\left(\frac{5}{6}\right)^{-1}\right)^{\frac{1}{30}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$. यह बराबर है।
$D$: $\left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$. यह बराबर है।
अतः,विकल्प $A$ दिए गए व्यंजक के बराबर नहीं है।

(B) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{2^{2}}}$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम घातांक के नियमों का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,करणी (radicals) को भिन्नात्मक घातांक के रूप में लिखें: $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$.
$\sqrt[4]{\sqrt[3]{2^{2}}} = \sqrt[4]{(2^{2})^{\frac{1}{3}}}$.
घात के घात के नियम $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए,हमें $(2^{2})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ प्राप्त होता है।
अब,बाहरी करणी को लागू करें: $(2^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{2}{3} \times \frac{1}{4}}$.
घातांक को सरल करने पर: $\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
इस प्रकार,व्यंजक का सरल रूप $2^{\frac{1}{6}}$ है।
अतः,$(B)$ सही उत्तर है।

(C) हमारे पास है,
$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[12]{32} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} \cdot (2^5)^{\frac{1}{12}}$
$= 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{5}{12}}$
घातांक के नियम $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 2^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12}}$
$= 2^{\frac{4+3+5}{12}}$
$= 2^{\frac{12}{12}}$
$= 2^1 = 2$
अतः,$(c)$ सही उत्तर है.

(D) दिया गया व्यंजक: $\sqrt[4]{(81)^{-2}}$
हम जानते हैं कि $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$,इसलिए $(81)^{-2} = \frac{1}{81^2}$.
अतः,$\sqrt[4]{(81)^{-2}} = \sqrt[4]{\frac{1}{81^2}} = \left(\frac{1}{81^2}\right)^{1/4}$.
चूंकि $81 = 9^2$,इसलिए $81^2 = (9^2)^2 = 9^4$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\left(\frac{1}{9^4}\right)^{1/4} = \left(\frac{1}{9}\right)^{4 \times \frac{1}{4}} = \frac{1}{9}$.
अतः,$(d)$ सही उत्तर है।

(A) घातांक के नियम $a^m \times a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए।
दी गई अभिव्यक्ति: $(256)^{0.16} \times (256)^{0.09} = (256)^{0.16 + 0.09}$।
घातांकों को जोड़ने पर: $(256)^{0.25}$।
चूंकि $0.25 = \frac{1}{4}$,इसलिए $(256)^{\frac{1}{4}}$ प्राप्त होता है।
$256$ को $4$ की घात के रूप में व्यक्त करने पर: $256 = 4^4$।
अतः,$(4^4)^{\frac{1}{4}} = 4^{4 \times \frac{1}{4}} = 4^1 = 4$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करते हैं कि कौन सा $x^1 = x$ में सरल होता है:
$(A)$ $x^{\frac{12}{7}} - x^{\frac{5}{7}}$ को $x$ के रूप में सरल नहीं किया जा सकता है।
$(B)$ $\left(\sqrt{x^{3}}\right)^{\frac{2}{3}} = \left((x^3)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = x^{3 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}} = x^1 = x$.
$(C)$ $\sqrt[12]{\left(x^{4}\right)^{\frac{1}{3}}} = \left(x^{4 \times \frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{12}} = x^{\frac{4}{3} \times \frac{1}{12}} = x^{\frac{1}{9}} \neq x$.
$(D)$ $x^{\frac{12}{7}} \times x^{\frac{7}{12}} = x^{\frac{12}{7} + \frac{7}{12}} = x^{\frac{144+49}{84}} = x^{\frac{193}{84}} \neq x$.
अतः,विकल्प $(B)$ सही उत्तर है।

(C) दी गई व्यंजक: $\left[5\left(8^{\frac{1}{3}}+27^{\frac{1}{3}}\right)^{3}\right]^{\frac{1}{4}}$
सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करें:
$8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2$
$27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \left[5(2+3)^{3}\right]^{\frac{1}{4}}$
$= \left[5(5)^{3}\right]^{\frac{1}{4}}$
$= \left[5^1 \cdot 5^3\right]^{\frac{1}{4}}$
$= \left[5^{1+3}\right]^{\frac{1}{4}}$
$= \left[5^4\right]^{\frac{1}{4}}$
$= 5^{4 \cdot \frac{1}{4}}$
$= 5^1 = 5$

इन व्यंजकों को सरल करने के लिए,हम घातांक के नियमों का उपयोग करते हैं:
$(i)$ गुणन नियम $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए:
$2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right)} = 2^{\frac{3}{3}} = 2^1 = 2$.
$(ii)$ घात की घात के नियम $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ का उपयोग करते हुए:
$\left(3^{\frac{1}{5}}\right)^4 = 3^{\left(\frac{1}{5} \cdot 4\right)} = 3^{\frac{4}{5}}$.
$(iii)$ भागफल नियम $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{7^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{3}}} = 7^{\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{3}\right)} = 7^{\left(\frac{3-5}{15}\right)} = 7^{-\frac{2}{15}}$.
$(iv)$ समान घातांक वाले अलग-अलग आधारों के गुणन नियम $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ का उपयोग करते हुए:
$13^{\frac{1}{5}} \cdot 17^{\frac{1}{5}} = (13 \times 17)^{\frac{1}{5}} = 221^{\frac{1}{5}}$.

$(i)$ $64^{\frac{1}{2}} = (8^2)^{\frac{1}{2}} = 8^{2 \times \frac{1}{2}} = 8^1 = 8$
$(ii)$ $32^{\frac{1}{5}} = (2^5)^{\frac{1}{5}} = 2^{5 \times \frac{1}{5}} = 2^1 = 2$
$(iii)$ $125^{\frac{1}{3}} = (5^3)^{\frac{1}{3}} = 5^{3 \times \frac{1}{3}} = 5^1 = 5$

$(i)$ $9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^{2 \times \frac{3}{2}} = 3^3 = 27$
$(ii)$ $32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^{5 \times \frac{2}{5}} = 2^2 = 4$
$(iii)$ $16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \times \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$
$(iv)$ $125^{-\frac{1}{3}} = (5^3)^{-\frac{1}{3}} = 5^{3 \times (-\frac{1}{3})} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

(N/A) $(i)$ घातांक के नियम $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए:
$2^{2/3} \cdot 2^{1/5} = 2^{(2/3 + 1/5)} = 2^{(10+3)/15} = 2^{13/15}$
$(ii)$ घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ का उपयोग करते हुए:
$(1/3^3)^7 = (3^{-3})^7 = 3^{-3 \cdot 7} = 3^{-21}$
$(iii)$ घातांक के नियम $a^m / a^n = a^{m-n}$ का उपयोग करते हुए:
$11^{1/2} / 11^{1/4} = 11^{(1/2 - 1/4)} = 11^{(2-1)/4} = 11^{1/4}$
$(iv)$ घातांक के नियम $a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$ का उपयोग करते हुए:
$7^{1/2} \cdot 8^{1/2} = (7 \cdot 8)^{1/2} = 56^{1/2}$

(B) चरण $1$: कोष्ठक के अंदर की संख्याओं के घन ज्ञात कीजिए।
$1^{3} = 1 \times 1 \times 1 = 1$
$2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$
$3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27$
चरण $2$: परिणामों को जोड़िए।
$1 + 8 + 27 = 36$
चरण $3$: घातांक $\frac{1}{2}$ लागू कीजिए,जो वर्गमूल को दर्शाता है।
$(36)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$
अतः,सरल मान $6$ है।

(25/9) व्यंजक $(\frac{3}{5})^4 \times (\frac{3}{5})^{-12} \times (\frac{3}{5})^{6}$ को सरल करने के लिए,हम घातांक के नियम का उपयोग करते हैं: $a^m \times a^n \times a^p = a^{m+n+p}$।
यहाँ,आधार $a = \frac{3}{5}$,$m = 4$,$n = -12$,और $p = 6$ है।
नियम लागू करने पर: $(\frac{3}{5})^{4 + (-12) + 6}$।
घातांक की गणना करने पर: $4 - 12 + 6 = -2$।
अतः,व्यंजक $(\frac{3}{5})^{-2}$ हो जाता है।
नियम $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$ का उपयोग करने पर,हमें $(\frac{5}{3})^2$ प्राप्त होता है।
अंतिम मान की गणना करने पर: $(\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$।

(B) दी गई व्यंजक: $(\frac{1}{27})^{\frac{-2}{3}}$
सबसे पहले,$27$ को $3$ की घात के रूप में लिखें: $27 = 3^3$.
अतः,$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$(3^{-3})^{\frac{-2}{3}}$
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए:
$3^{-3 \times \frac{-2}{3}} = 3^2$
अंत में,मान की गणना करें:
$3^2 = 9$.

(A) व्यंजक ${{(625)^{-\frac{1}{2}}}^{-\frac{1}{4}}}^{2}$ को सरल करने के लिए,हम घात के घात के नियम का उपयोग करते हैं: $(a^m)^n = a^{m \times n}$.
चरण $1$: घातांकों का गुणा करें।
$(-1/2) \times (-1/4) \times 2 = (1/8) \times 2 = 1/4$.
चरण $2$: परिणाम को आधार पर लागू करें।
$625^{1/4}$.
चरण $3$: $625$ को $5$ की घात के रूप में व्यक्त करें।
$625 = 5^4$.
चरण $4$: मान प्रतिस्थापित करें और सरल करें।
$(5^4)^{1/4} = 5^{4 \times (1/4)} = 5^1 = 5$.

(D) व्यंजक $\frac{9^{\frac{1}{3}} \times 27^{-\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{6}} \times 3^{-\frac{2}{3}}}$ को सरल करने के लिए,हम सभी आधारों को $3$ की घात के रूप में व्यक्त करेंगे।
चरण $1$: आधारों को फिर से लिखें:
$9 = 3^2$ और $27 = 3^3$।
चरण $2$: इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$\frac{(3^2)^{\frac{1}{3}} \times (3^3)^{-\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{6}} \times 3^{-\frac{2}{3}}}$
चरण $3$: घात का नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ लागू करें:
$\frac{3^{\frac{2}{3}} \times 3^{-\frac{3}{2}}}{3^{\frac{1}{6}} \times 3^{-\frac{2}{3}}}$
चरण $4$: अंश और हर के लिए गुणन नियम $a^m \times a^n = a^{m+n}$ लागू करें:
अंश: $3^{\frac{2}{3} - \frac{3}{2}} = 3^{\frac{4-9}{6}} = 3^{-\frac{5}{6}}$
हर: $3^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3}} = 3^{\frac{1-4}{6}} = 3^{-\frac{3}{6}} = 3^{-\frac{1}{2}}$
चरण $5$: भाग का नियम $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ लागू करें:
$3^{-\frac{5}{6} - (-\frac{1}{2})} = 3^{-\frac{5}{6} + \frac{3}{6}} = 3^{-\frac{2}{6}} = 3^{-\frac{1}{3}}$
अतः,सरल रूप $3^{-\frac{1}{3}}$ है।

(A) दी गई व्यंजक: $64^{-\frac{1}{3}} + 64^{\frac{1}{3}} - 64^{\frac{2}{3}}$
सबसे पहले,$64$ को $4$ की घात के रूप में लिखें: $64 = 4^3$.
व्यंजक में $4^3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(4^3)^{-\frac{1}{3}} + (4^3)^{\frac{1}{3}} - (4^3)^{\frac{2}{3}}$
घातांक नियम $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ का उपयोग करते हुए:
$4^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} + 4^{3 \cdot \frac{1}{3}} - 4^{3 \cdot \frac{2}{3}}$
घातांकों को सरल करने पर:
$4^{-1} + 4^1 - 4^2$
मानों की गणना करने पर:
$\frac{1}{4} + 4 - 16$
पदों को संयोजित करने पर:
$\frac{1}{4} - 12$
समान हर (denominator) प्राप्त करने पर:
$\frac{1 - 48}{4} = -\frac{47}{4}$

(B) व्यंजक $\frac{8^{\frac{1}{3}} \times 16^{\frac{1}{3}}}{32^{-\frac{1}{3}}}$ को सरल करने के लिए,प्रत्येक आधार को $2$ की घात के रूप में व्यक्त करें:
$8 = 2^3$,$16 = 2^4$,और $32 = 2^5$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(2^3)^{\frac{1}{3}} \times (2^4)^{\frac{1}{3}}}{(2^5)^{-\frac{1}{3}}}$
घातांक नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{2^{3 \times \frac{1}{3}} \times 2^{4 \times \frac{1}{3}}}{2^{5 \times -\frac{1}{3}}} = \frac{2^1 \times 2^{\frac{4}{3}}}{2^{-\frac{5}{3}}}$
अंश में गुणन नियम $a^m \times a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{2^{1 + \frac{4}{3}}}{2^{-\frac{5}{3}}} = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{2^{-\frac{5}{3}}}$
भाग नियम $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ का उपयोग करते हुए:
$2^{\frac{7}{3} - (-\frac{5}{3})} = 2^{\frac{7}{3} + \frac{5}{3}} = 2^{\frac{12}{3}} = 2^4 = 16$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति: $(256)^{4^{-\frac{3}{2}}}$
सबसे पहले,घातांक $4^{-\frac{3}{2}}$ को सरल करें:
$4^{-\frac{3}{2}} = (2^2)^{-\frac{3}{2}} = 2^{2 \times (-\frac{3}{2})} = 2^{-3} = \frac{1}{8}$
अब,इस मान को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें:
$(256)^{\frac{1}{8}}$
हम जानते हैं कि $256 = 2^8$,इसलिए:
$(2^8)^{\frac{1}{8}} = 2^{8 \times \frac{1}{8}} = 2^1 = 2$
यदि अभिव्यक्ति $(256)^{-\left(4^{-\frac{3}{2}}\right)}$ है,तो:
$(2^8)^{-\left(\frac{1}{8}\right)} = 2^{8 \times (-\frac{1}{8})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दी गई व्यंजक: $\frac{4}{(216)^{-\frac{2}{3}}} + \frac{1}{(256)^{-\frac{3}{4}}} + \frac{2}{(243)^{-\frac{1}{5}}}$
घातांक के नियम $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$4(216)^{\frac{2}{3}} + (256)^{\frac{3}{4}} + 2(243)^{\frac{1}{5}}$
आधार को घात के रूप में व्यक्त करने पर:
$216 = 6^3$,$256 = 4^4$,$243 = 3^5$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= 4(6^3)^{\frac{2}{3}} + (4^4)^{\frac{3}{4}} + 2(3^5)^{\frac{1}{5}}$
घात के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए:
$= 4(6^{3 \times \frac{2}{3}}) + (4^{4 \times \frac{3}{4}}) + 2(3^{5 \times \frac{1}{5}})$
$= 4(6^2) + 4^3 + 2(3^1)$
मानों की गणना करने पर:
$= 4(36) + 64 + 2(3)$
$= 144 + 64 + 6$
$= 214$

(D) $3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}}$ को सरल करने के लिए,हम घातांक के नियम का उपयोग करते हैं: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$।
इस नियम को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} = 3^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}$
$= 3^{\frac{2+4}{3}}$
$= 3^{\frac{6}{3}}$
$= 3^2$
$= 9$

(A) व्यंजक $\left(4^{\frac{1}{5}}\right)^{3}$ को सरल करने के लिए,हम घातांक के नियम का उपयोग करते हैं: $(a^m)^n = a^{m \times n}$।
इस नियम को लागू करने पर:
$\left(4^{\frac{1}{5}}\right)^{3} = 4^{\frac{1}{5} \times 3}$
$= 4^{\frac{3}{5}}$
अतः,सरल रूप $4^{\frac{3}{5}}$ है।

(A) व्यंजक $\frac{11^{\frac{1}{3}}}{11^{\frac{1}{5}}}$ को सरल करने के लिए,हम घातांक के नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$।
इस नियम को लागू करने पर,हमें $11^{\frac{1}{3} - \frac{1}{5}}$ प्राप्त होता है।
घातांक में भिन्नों को घटाने के लिए,हम उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करते हैं,जो $15$ है।
अतः,$\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15}$।
इसलिए,सरल रूप $11^{\frac{2}{15}}$ है।

(A) घातांक के नियम का उपयोग करते हुए,$a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$.
दी गई अभिव्यक्ति: $7^{\frac{1}{4}} \cdot 12^{\frac{1}{4}}$.
नियम लागू करने पर: $(7 \times 12)^{\frac{1}{4}}$.
गुणनफल ज्ञात करने पर: $84^{\frac{1}{4}}$.

(D) $64^{\frac{2}{3}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले $64$ को $2$ या $4$ की घात के रूप में व्यक्त करते हैं।
चूंकि $64 = 4^3$,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$64^{\frac{2}{3}} = (4^3)^{\frac{2}{3}}$.
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4^{3 \times \frac{2}{3}} = 4^2$.
मान की गणना करने पर,$4^2 = 16$।

(A) $625^{\frac{3}{4}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले $625$ को $5$ की घात के रूप में व्यक्त करते हैं।
चूँकि $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$,इसलिए हम $625 = 5^{4}$ लिख सकते हैं।
अब,इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $625^{\frac{3}{4}} = (5^{4})^{\frac{3}{4}}$.
घात के घात के नियम $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए,हमें $5^{4 \times \frac{3}{4}}$ प्राप्त होता है।
घातांक को सरल करने पर,$4 \times \frac{3}{4} = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $5^{3}$ हो जाता है।
$5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125$ की गणना करने पर उत्तर $125$ प्राप्त होता है।

(B) $64^{\frac{5}{6}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,सबसे पहले $64$ को $2$ की घात के रूप में व्यक्त करते हैं।
हम जानते हैं कि $64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{6}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$64^{\frac{5}{6}} = (2^{6})^{\frac{5}{6}}$.
घातांक के नियम $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए,हम घातों का गुणा करते हैं:
$2^{6 \times \frac{5}{6}} = 2^{5}$.
अंत में,$2^{5}$ की गणना करने पर:
$2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\left(\frac{125}{64}\right)^{-\frac{2}{3}}$
सबसे पहले,ऋणात्मक घातांक को हटाने के लिए $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$ गुणधर्म का उपयोग करते हैं:
$\left(\frac{64}{125}\right)^{\frac{2}{3}}$
इसके बाद,$64$ को $4^3$ और $125$ को $5^3$ के रूप में व्यक्त करते हैं:
$\left(\frac{4^3}{5^3}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\left(\frac{4}{5}\right)^3\right)^{\frac{2}{3}}$
घातांक नियम $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$ का उपयोग करते हुए:
$\left(\frac{4}{5}\right)^{3 \cdot \frac{2}{3}} = \left(\frac{4}{5}\right)^2$
अंत में,वर्ग की गणना करते हैं:
$\frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25}$

(A) दिया गया व्यंजक: $(343)^{-\frac{2}{3}}$
हम जानते हैं कि $343 = 7^3$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $(7^3)^{-\frac{2}{3}}$
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $7^{3 \times (-\frac{2}{3})}$
$= 7^{-2}$
$= \frac{1}{7^2}$
$= \frac{1}{49}$

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $(625)^{-\frac{3}{4}}$
हम जानते हैं कि $625 = 5^4$ होता है।
इस मान को अभिव्यक्ति में रखने पर: $(5^4)^{-\frac{3}{4}}$
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $5^{4 \times (-\frac{3}{4})}$
$= 5^{-3}$
$= \frac{1}{5^3}$
$= \frac{1}{125}$

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\sqrt[5]{(243)^{-3}}$ है।
हम जानते हैं कि $243 = 3^5$ होता है।
इस मान को अभिव्यक्ति में रखने पर: $\sqrt[5]{(3^5)^{-3}}$।
घातांक नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर,हमें $(3^5)^{-3} = 3^{-15}$ प्राप्त होता है।
अब,अभिव्यक्ति $\sqrt[5]{3^{-15}}$ हो जाती है।
करणी नियम $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ का उपयोग करने पर,हमें $(3^{-15})^{1/5} = 3^{-15 \times 1/5} = 3^{-3}$ प्राप्त होता है।
$3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$।

(B) दी गई व्यंजक: $\frac{(25)^{\frac{3}{2}} \times (243)^{\frac{3}{5}}}{(16)^{\frac{5}{4}} \times (8)^{\frac{4}{3}}}$
चरण $1$: प्रत्येक आधार को उसके अभाज्य गुणनखंडों की घात के रूप में लिखें।
$25 = 5^2$,$243 = 3^5$,$16 = 2^4$,$8 = 2^3$.
चरण $2$: इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$= \frac{(5^2)^{\frac{3}{2}} \times (3^5)^{\frac{3}{5}}}{(2^4)^{\frac{5}{4}} \times (2^3)^{\frac{4}{3}}}$
चरण $3$: घात का नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ लागू करें:
$= \frac{5^{2 \times \frac{3}{2}} \times 3^{5 \times \frac{3}{5}}}{2^{4 \times \frac{5}{4}} \times 2^{3 \times \frac{4}{3}}}$
$= \frac{5^3 \times 3^3}{2^5 \times 2^4}$
चरण $4$: घातों को सरल करें:
$= \frac{125 \times 27}{2^{5+4}}$
$= \frac{3375}{2^9}$
$= \frac{3375}{512}$

(D) चरण $1$: प्रत्येक पद को अलग-अलग सरल करें।
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125$
चरण $2$: $(0.01)^{-\frac{1}{2}}$ को सरल करें।
$(0.01)^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{100})^{-\frac{1}{2}} = (100)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10$
चरण $3$: $(27)^{\frac{2}{3}}$ को सरल करें।
$(27)^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \times \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$
चरण $4$: परिणामों को संयोजित करें।
$0.125 + 10 - 9 = 0.125 + 1 = 1.125$
अतः,सरल मान $1.125$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $125^{x} = \frac{25}{5^{x}}$
सभी पदों को आधार $5$ में व्यक्त करें:
$(5^{3})^{x} = \frac{5^{2}}{5^{x}}$
घात के घात नियम $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ का उपयोग करते हुए:
$5^{3x} = 5^{2} \cdot 5^{-x}$
गुणन नियम $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए:
$5^{3x} = 5^{2-x}$
चूंकि आधार समान हैं,इसलिए घातांकों की तुलना करें:
$3x = 2 - x$
$3x + x = 2$
$4x = 2$
$x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(C) दिया गया समीकरण: $2^{x-2} \cdot 3^{2x-6} = 36$
हम जानते हैं कि $36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2$.
अतः,समीकरण इस प्रकार होगा: $2^{x-2} \cdot 3^{2x-6} = 2^2 \cdot 3^2$.
दोनों पक्षों में $2$ और $3$ के घातों की तुलना करने पर:
$2$ के आधार के लिए: $x - 2 = 2 \implies x = 4$.
$3$ के आधार के लिए: $2x - 6 = 2 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.
चूंकि दोनों स्थितियों में $x = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $x$ का मान $4$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $(\frac{2}{5})^{5} \times (\frac{25}{4})^{3} = (\frac{5}{2})^{3x-2}$
सबसे पहले,सभी आधारों को $(\frac{5}{2})$ के रूप में व्यक्त करें:
$(\frac{2}{5})^{5} = (\frac{5}{2})^{-5}$
$(\frac{25}{4})^{3} = ((\frac{5}{2})^{2})^{3} = (\frac{5}{2})^{6}$
अब इन मानों को समीकरण में रखें:
$(\frac{5}{2})^{-5} \times (\frac{5}{2})^{6} = (\frac{5}{2})^{3x-2}$
घातांक के नियम $a^m \times a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए:
$(\frac{5}{2})^{-5+6} = (\frac{5}{2})^{3x-2}$
$(\frac{5}{2})^{1} = (\frac{5}{2})^{3x-2}$
चूंकि आधार समान हैं,इसलिए घातांकों की तुलना करने पर:
$1 = 3x - 2$
$3x = 3$
$x = 1$

(B) संख्याओं $\sqrt{3}, \sqrt[3]{4}, \sqrt[4]{10}$ की तुलना करने के लिए,हम उन्हें एक सामान्य घातांक (common index) के साथ घात के रूप में व्यक्त करते हैं।
$1$. घातांक $2, 3, 4$ हैं। $2, 3, 4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ है।
$2$. प्रत्येक संख्या को $12$ वें मूल में बदलें:
$\sqrt{3} = 3^{1/2} = 3^{6/12} = \sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729}$
$\sqrt[3]{4} = 4^{1/3} = 4^{4/12} = \sqrt[12]{4^4} = \sqrt[12]{256}$
$\sqrt[4]{10} = 10^{1/4} = 10^{3/12} = \sqrt[12]{10^3} = \sqrt[12]{1000}$
$3$. $12$ वें मूल के अंदर के मानों की तुलना करने पर: $256 < 729 < 1000$।
$4$. अतः,आरोही क्रम $\sqrt[12]{256} < \sqrt[12]{729} < \sqrt[12]{1000}$ है,जो $\sqrt[3]{4} < \sqrt{3} < \sqrt[4]{10}$ के अनुरूप है।

(N/A) घातांक के नियमों का उपयोग करते हुए,विशेष रूप से $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ और $(x^m)^n = x^{m \times n}$:
चरण $1$: प्रत्येक पद को सरल करें।
$\left(\frac{x^a}{x^b}\right)^{a+b} = (x^{a-b})^{a+b} = x^{(a-b)(a+b)} = x^{a^2-b^2}$.
$\left(\frac{x^b}{x^c}\right)^{b+c} = (x^{b-c})^{b+c} = x^{(b-c)(b+c)} = x^{b^2-c^2}$.
$\left(\frac{x^c}{x^a}\right)^{c+a} = (x^{c-a})^{c+a} = x^{(c-a)(c+a)} = x^{c^2-a^2}$.
चरण $2$: $x^m \times x^n = x^{m+n}$ का उपयोग करके सरल किए गए पदों का गुणा करें।
$x^{a^2-b^2} \times x^{b^2-c^2} \times x^{c^2-a^2} = x^{(a^2-b^2) + (b^2-c^2) + (c^2-a^2)}$.
चरण $3$: घातांक को सरल करें।
$a^2 - b^2 + b^2 - c^2 + c^2 - a^2 = 0$.
अतः,$x^0 = 1$। इसलिए,व्यंजक का मान $1$ है।

(N/A) चरण $1$: बाएँ पक्ष $(LHS)$ पर कोष्ठक के अंदर का योग ज्ञात करें:
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225$.
चरण $2$: $LHS$ का मान ज्ञात करें:
$(225)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{225} = 15$.
चरण $3$: दाएँ पक्ष $(RHS)$ पर पहले कोष्ठक के अंदर का योग ज्ञात करें:
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$.
चरण $4$: $RHS$ का मान ज्ञात करें:
$(100)^{\frac{1}{2}} + (5^{3})^{\frac{1}{3}} = \sqrt{100} + 5^{(3 \times \frac{1}{3})} = 10 + 5^{1} = 10 + 5 = 15$.
चरण $5$: चूँकि $LHS = 15$ और $RHS = 15$,इसलिए समीकरण सिद्ध होता है।

(D) दी गई व्यंजक: $\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}$
सबसे पहले,$27$ को $3$ की घात के रूप में व्यक्त करें: $27 = 3^3$.
अतः,$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $(3^{-3})^{-\frac{2}{3}}$.
घात के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है: $3^{-3 \times -\frac{2}{3}}$.
घातांक को सरल करने पर: $-3 \times -\frac{2}{3} = 2$.
इसलिए,व्यंजक का मान $3^2 = 9$ है।

(A) दिया गया व्यंजक: $64^{-\frac{1}{3}}\left(64^{\frac{1}{3}}-64^{\frac{2}{3}}\right)$
हम जानते हैं कि $64 = 4^3$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (4^3)^{-\frac{1}{3}} \left((4^3)^{\frac{1}{3}} - (4^3)^{\frac{2}{3}}\right)$
$= 4^{3 \times -\frac{1}{3}} \left(4^{3 \times \frac{1}{3}} - 4^{3 \times \frac{2}{3}}\right)$
$= 4^{-1} \left(4^1 - 4^2\right)$
$= \frac{1}{4} \left(4 - 16\right)$
$= \frac{1}{4} \left(-12\right)$
$= -3$

(B) $\frac{8^{1/3} \times 16^{1/3}}{32^{-1/3}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक आधार को $2$ की घात के रूप में व्यक्त करते हैं:
$8 = 2^3$,$16 = 2^4$,और $32 = 2^5$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{(2^3)^{1/3} \times (2^4)^{1/3}}{(2^5)^{-1/3}} = \frac{2^{3 \times 1/3} \times 2^{4 \times 1/3}}{2^{5 \times -1/3}} = \frac{2^1 \times 2^{4/3}}{2^{-5/3}}$.
घातांक के नियमों $a^m \times a^n = a^{m+n}$ और $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ का उपयोग करते हुए:
$= 2^{1 + 4/3 - (-5/3)} = 2^{1 + 4/3 + 5/3} = 2^{1 + 9/3} = 2^{1 + 3} = 2^4$.
$2^4 = 16$.

(C) दी गई व्यंजक: $\frac{4}{(216)^{-\frac{2}{3}}} + \frac{1}{(256)^{-\frac{3}{4}}} + \frac{2}{(243)^{-\frac{1}{5}}}$
चरण $1$: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ या $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$ के गुणधर्म का उपयोग करके प्रत्येक पद को सरल करें।
प्रथम पद: $\frac{4}{(216)^{-\frac{2}{3}}} = 4 \times (216)^{\frac{2}{3}} = 4 \times ((6^3)^{\frac{2}{3}}) = 4 \times 6^2 = 4 \times 36 = 144$.
द्वितीय पद: $\frac{1}{(256)^{-\frac{3}{4}}} = 1 \times (256)^{\frac{3}{4}} = (4^4)^{\frac{3}{4}} = 4^3 = 64$.
तृतीय पद: $\frac{2}{(243)^{-\frac{1}{5}}} = 2 \times (243)^{\frac{1}{5}} = 2 \times ((3^5)^{\frac{1}{5}}) = 2 \times 3^1 = 6$.
चरण $2$: परिणामों को जोड़ें:
$144 + 64 + 6 = 214$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) यह कथन असत्य है।
गणना: $(-5)^{2} = (-5) \times (-5) = 25$।
चूंकि $25 \neq -25$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(A) यह कथन सत्य है।
जब किसी ऋणात्मक संख्या की घात एक विषम संख्या होती है,तो परिणाम ऋणात्मक होता है।
चूंकि $11$ एक विषम संख्या है,इसलिए $(-1)^{11} = -1 \times -1 \times ... \times -1$ ($11$ बार) $= -1$ होगा।

(A) घातांक के नियम का उपयोग करते हुए,$(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ होता है।
दी गई अभिव्यक्ति पर इसे लागू करने पर: $(5^{-2})^{3} = 5^{-2 \times 3} = 5^{-6}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$,इसलिए $5^{-6} = \frac{1}{5^{6}}$ होगा।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$(5^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{3}} = 5^{\frac{3}{4} \times \frac{4}{3}}$
$= 5^{\frac{12}{12}}$
$= 5^1$
$= 5$

(1/2) $(64)^{-\frac{1}{6}}$ को हल करने के लिए,हम सबसे पहले $64$ को $2$ की घात के रूप में व्यक्त करते हैं।
हम जानते हैं कि $64 = 2^6$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2^6)^{-\frac{1}{6}}$
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए,हम घातों का गुणा करते हैं:
$2^{6 \times (-\frac{1}{6})} = 2^{-1}$
चूंकि $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ होता है,इसलिए:
$2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$

(B) $1$ का $n$-वाँ मूल उस संख्या $x$ के रूप में परिभाषित है जिसके लिए $x^n = 1$ होता है।
किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$1^n = 1 \times 1 \times \dots \times 1 = 1$ होता है।
अतः,$\sqrt[11]{1} = 1$ है।

(C) $(729)^{\frac{1}{3}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $729$ का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे।
$729 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^6$.
वैकल्पिक रूप से,$729 = 9 \times 9 \times 9 = 9^3$.
अतः,$(729)^{\frac{1}{3}} = (9^3)^{\frac{1}{3}}$.
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर,हमें $9^{3 \times \frac{1}{3}} = 9^1 = 9$ प्राप्त होता है।