Laws of Exponents for Real Numbers Questions in Gujarati

(A) આપેલ પદ $\left[\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{5}}\right]^{-\frac{1}{6}}$ છે.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{5} \times (-\frac{1}{6})} = \left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$A$: $\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{5}-\frac{1}{6}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{6-5}{30}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{30}}$. આ $\left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$ ને સમાન નથી.
$B$: $\frac{1}{\left[\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{5}}\right]^{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{30}}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$. આ સમાન છે.
$C$: $\left(\frac{6}{5}\right)^{\frac{1}{30}} = \left(\left(\frac{5}{6}\right)^{-1}\right)^{\frac{1}{30}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$. આ સમાન છે.
$D$: $\left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$. આ સમાન છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ આપેલ પદને સમાન નથી.

(B) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{2^{2}}}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરીશું.
સૌ પ્રથમ,કરણીઓને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક તરીકે દર્શાવો: $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$.
$\sqrt[4]{\sqrt[3]{2^{2}}} = \sqrt[4]{(2^{2})^{\frac{1}{3}}}$.
ઘાતનો ઘાતનો નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(2^{2})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ મળે છે.
હવે,બહારની કરણી લાગુ કરો: $(2^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{2}{3} \times \frac{1}{4}}$.
ઘાતાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
આમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ $2^{\frac{1}{6}}$ થાય છે.
તેથી,$(B)$ સાચો જવાબ છે.

(C) આપણી પાસે છે,
$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[12]{32} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} \cdot (2^5)^{\frac{1}{12}}$
$= 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{5}{12}}$
ઘાતાંકના નિયમ $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= 2^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12}}$
$= 2^{\frac{4+3+5}{12}}$
$= 2^{\frac{12}{12}}$
$= 2^1 = 2$
આમ,$(c)$ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ પદ: $\sqrt[4]{(81)^{-2}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$,તેથી $(81)^{-2} = \frac{1}{81^2}$.
આમ,$\sqrt[4]{(81)^{-2}} = \sqrt[4]{\frac{1}{81^2}} = \left(\frac{1}{81^2}\right)^{1/4}$.
કારણ કે $81 = 9^2$,તેથી $81^2 = (9^2)^2 = 9^4$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\left(\frac{1}{9^4}\right)^{1/4} = \left(\frac{1}{9}\right)^{4 \times \frac{1}{4}} = \frac{1}{9}$.
તેથી,$(d)$ સાચો જવાબ છે.

(A) ઘાતાંકના નિયમ $a^m \times a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ પદાવલિ: $(256)^{0.16} \times (256)^{0.09} = (256)^{0.16 + 0.09}$.
ઘાતાંકોનો સરવાળો કરતા: $(256)^{0.25}$.
અહીં $0.25 = \frac{1}{4}$ હોવાથી,$(256)^{\frac{1}{4}}$ મળે.
$256$ ને $4$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવતા: $256 = 4^4$.
તેથી,$(4^4)^{\frac{1}{4}} = 4^{4 \times \frac{1}{4}} = 4^1 = 4$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) દરેક વિકલ્પનું મૂલ્યાંકન કરીએ કે કયું સાદું રૂપ $x^1 = x$ આપે છે:
$(A)$ $x^{\frac{12}{7}} - x^{\frac{5}{7}}$ ને $x$ માં સાદું રૂપ આપી શકાતું નથી.
$(B)$ $\left(\sqrt{x^{3}}\right)^{\frac{2}{3}} = \left((x^3)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = x^{3 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}} = x^1 = x$.
$(C)$ $\sqrt[12]{\left(x^{4}\right)^{\frac{1}{3}}} = \left(x^{4 \times \frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{12}} = x^{\frac{4}{3} \times \frac{1}{12}} = x^{\frac{1}{9}} \neq x$.
$(D)$ $x^{\frac{12}{7}} \times x^{\frac{7}{12}} = x^{\frac{12}{7} + \frac{7}{12}} = x^{\frac{144+49}{84}} = x^{\frac{193}{84}} \neq x$.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\left[5\left(8^{\frac{1}{3}}+27^{\frac{1}{3}}\right)^{3}\right]^{\frac{1}{4}}$
સૌ પ્રથમ,કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપો:
$8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2$
$27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \left[5(2+3)^{3}\right]^{\frac{1}{4}}$
$= \left[5(5)^{3}\right]^{\frac{1}{4}}$
$= \left[5^1 \cdot 5^3\right]^{\frac{1}{4}}$
$= \left[5^{1+3}\right]^{\frac{1}{4}}$
$= \left[5^4\right]^{\frac{1}{4}}$
$= 5^{4 \cdot \frac{1}{4}}$
$= 5^1 = 5$

આ પદાવલિઓને સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરીશું:
$(i)$ ગુણાકારના નિયમ $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right)} = 2^{\frac{3}{3}} = 2^1 = 2$.
$(ii)$ ઘાતની ઘાતના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(3^{\frac{1}{5}}\right)^4 = 3^{\left(\frac{1}{5} \cdot 4\right)} = 3^{\frac{4}{5}}$.
$(iii)$ ભાગાકારના નિયમ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{7^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{3}}} = 7^{\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{3}\right)} = 7^{\left(\frac{3-5}{15}\right)} = 7^{-\frac{2}{15}}$.
$(iv)$ સમાન ઘાતાંક ધરાવતા અલગ આધારના ગુણાકારના નિયમ $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$13^{\frac{1}{5}} \cdot 17^{\frac{1}{5}} = (13 \times 17)^{\frac{1}{5}} = 221^{\frac{1}{5}}$.

$(i)$ $64^{\frac{1}{2}} = (8^2)^{\frac{1}{2}} = 8^{2 \times \frac{1}{2}} = 8^1 = 8$
$(ii)$ $32^{\frac{1}{5}} = (2^5)^{\frac{1}{5}} = 2^{5 \times \frac{1}{5}} = 2^1 = 2$
$(iii)$ $125^{\frac{1}{3}} = (5^3)^{\frac{1}{3}} = 5^{3 \times \frac{1}{3}} = 5^1 = 5$

$(i)$ $9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^{2 \times \frac{3}{2}} = 3^3 = 27$
$(ii)$ $32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^{5 \times \frac{2}{5}} = 2^2 = 4$
$(iii)$ $16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \times \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$
$(iv)$ $125^{-\frac{1}{3}} = (5^3)^{-\frac{1}{3}} = 5^{3 \times (-\frac{1}{3})} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

(N/A) $(i)$ ઘાતાંકના નિયમ $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2^{2/3} \cdot 2^{1/5} = 2^{(2/3 + 1/5)} = 2^{(10+3)/15} = 2^{13/15}$
$(ii)$ ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1/3^3)^7 = (3^{-3})^7 = 3^{-3 \cdot 7} = 3^{-21}$
$(iii)$ ઘાતાંકના નિયમ $a^m / a^n = a^{m-n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$11^{1/2} / 11^{1/4} = 11^{(1/2 - 1/4)} = 11^{(2-1)/4} = 11^{1/4}$
$(iv)$ ઘાતાંકના નિયમ $a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$ નો ઉપયોગ કરતા:
$7^{1/2} \cdot 8^{1/2} = (7 \cdot 8)^{1/2} = 56^{1/2}$

(B) પગલું $1$: કૌંસની અંદરની સંખ્યાઓના ઘન શોધો.
$1^{3} = 1 \times 1 \times 1 = 1$
$2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$
$3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27$
પગલું $2$: પરિણામોનો સરવાળો કરો.
$1 + 8 + 27 = 36$
પગલું $3$: ઘાતાંક $\frac{1}{2}$ લાગુ કરો,જે વર્ગમૂળ દર્શાવે છે.
$(36)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$
તેથી,સાદું રૂપ $6$ મળે છે.

(25/9) પદાવલિ $(\frac{3}{5})^4 \times (\frac{3}{5})^{-12} \times (\frac{3}{5})^{6}$ ને સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $a^m \times a^n \times a^p = a^{m+n+p}$.
અહીં,આધાર $a = \frac{3}{5}$,$m = 4$,$n = -12$,અને $p = 6$ છે.
નિયમ લાગુ પાડતા: $(\frac{3}{5})^{4 + (-12) + 6}$.
ઘાતાંકની ગણતરી કરતા: $4 - 12 + 6 = -2$.
તેથી,પદાવલિ $(\frac{3}{5})^{-2}$ બને છે.
નિયમ $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(\frac{5}{3})^2$ મળે છે.
અંતિમ કિંમતની ગણતરી કરતા: $(\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(\frac{1}{27})^{\frac{-2}{3}}$
પ્રથમ,$27$ ને $3$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવો: $27 = 3^3$.
તેથી,$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકો:
$(3^{-3})^{\frac{-2}{3}}$
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3^{-3 \times \frac{-2}{3}} = 3^2$
અંતે,કિંમતની ગણતરી કરો:
$3^2 = 9$.

(A) પદાવલિ ${{(625)^{-\frac{1}{2}}}^{-\frac{1}{4}}}^{2}$ ને સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે ઘાતનો ઘાતનો નિયમ વાપરીશું: $(a^m)^n = a^{m \times n}$.
પગલું $1$: ઘાતાંકોનો ગુણાકાર કરો.
$(-1/2) \times (-1/4) \times 2 = (1/8) \times 2 = 1/4$.
પગલું $2$: પરિણામને આધાર પર લાગુ કરો.
$625^{1/4}$.
પગલું $3$: $625$ ને $5$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવો.
$625 = 5^4$.
પગલું $4$: કિંમત મૂકીને સાદું રૂપ આપો.
$(5^4)^{1/4} = 5^{4 \times (1/4)} = 5^1 = 5$.

(D) પદાવલિ $\frac{9^{\frac{1}{3}} \times 27^{-\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{6}} \times 3^{-\frac{2}{3}}}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે બધા આધારને $3$ ના ઘાતાંક તરીકે દર્શાવીશું.
પગલું $1$: આધારને ફરીથી લખો:
$9 = 3^2$ અને $27 = 3^3$.
પગલું $2$: આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$\frac{(3^2)^{\frac{1}{3}} \times (3^3)^{-\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{6}} \times 3^{-\frac{2}{3}}}$
પગલું $3$: ઘાતનો નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ લાગુ કરો:
$\frac{3^{\frac{2}{3}} \times 3^{-\frac{3}{2}}}{3^{\frac{1}{6}} \times 3^{-\frac{2}{3}}}$
પગલું $4$: અંશ અને છેદ માટે ગુણાકારનો નિયમ $a^m \times a^n = a^{m+n}$ લાગુ કરો:
અંશ: $3^{\frac{2}{3} - \frac{3}{2}} = 3^{\frac{4-9}{6}} = 3^{-\frac{5}{6}}$
છેદ: $3^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3}} = 3^{\frac{1-4}{6}} = 3^{-\frac{3}{6}} = 3^{-\frac{1}{2}}$
પગલું $5$: ભાગાકારનો નિયમ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ લાગુ કરો:
$3^{-\frac{5}{6} - (-\frac{1}{2})} = 3^{-\frac{5}{6} + \frac{3}{6}} = 3^{-\frac{2}{6}} = 3^{-\frac{1}{3}}$
આમ,સાદું રૂપ $3^{-\frac{1}{3}}$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $64^{-\frac{1}{3}} + 64^{\frac{1}{3}} - 64^{\frac{2}{3}}$
પ્રથમ,$64$ ને $4$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવો: $64 = 4^3$.
પદાવલિમાં $4^3$ મૂકતા:
$(4^3)^{-\frac{1}{3}} + (4^3)^{\frac{1}{3}} - (4^3)^{\frac{2}{3}}$
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} + 4^{3 \cdot \frac{1}{3}} - 4^{3 \cdot \frac{2}{3}}$
ઘાતાંકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$4^{-1} + 4^1 - 4^2$
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$\frac{1}{4} + 4 - 16$
પદોને ભેગા કરતા:
$\frac{1}{4} - 12$
સમાન છેદ મેળવતા:
$\frac{1 - 48}{4} = -\frac{47}{4}$

(B) પદાવલિ $\frac{8^{\frac{1}{3}} \times 16^{\frac{1}{3}}}{32^{-\frac{1}{3}}}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,દરેક આધારને $2$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવો:
$8 = 2^3$,$16 = 2^4$,અને $32 = 2^5$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(2^3)^{\frac{1}{3}} \times (2^4)^{\frac{1}{3}}}{(2^5)^{-\frac{1}{3}}}$
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2^{3 \times \frac{1}{3}} \times 2^{4 \times \frac{1}{3}}}{2^{5 \times -\frac{1}{3}}} = \frac{2^1 \times 2^{\frac{4}{3}}}{2^{-\frac{5}{3}}}$
અંશમાં ગુણાકારના નિયમ $a^m \times a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2^{1 + \frac{4}{3}}}{2^{-\frac{5}{3}}} = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{2^{-\frac{5}{3}}}$
ભાગાકારના નિયમ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2^{\frac{7}{3} - (-\frac{5}{3})} = 2^{\frac{7}{3} + \frac{5}{3}} = 2^{\frac{12}{3}} = 2^4 = 16$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $(256)^{4^{-\frac{3}{2}}}$
પ્રથમ,ઘાતાંક $4^{-\frac{3}{2}}$ નું સાદું રૂપ આપો:
$4^{-\frac{3}{2}} = (2^2)^{-\frac{3}{2}} = 2^{2 \times (-\frac{3}{2})} = 2^{-3} = \frac{1}{8}$
હવે,આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(256)^{\frac{1}{8}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $256 = 2^8$,તેથી:
$(2^8)^{\frac{1}{8}} = 2^{8 \times \frac{1}{8}} = 2^1 = 2$
જો પ્રશ્ન $(256)^{-\left(4^{-\frac{3}{2}}\right)}$ હોય,તો:
$(2^8)^{-\left(\frac{1}{8}\right)} = 2^{8 \times (-\frac{1}{8})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{4}{(216)^{-\frac{2}{3}}} + \frac{1}{(256)^{-\frac{3}{4}}} + \frac{2}{(243)^{-\frac{1}{5}}}$
ઘાતાંકના નિયમ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$4(216)^{\frac{2}{3}} + (256)^{\frac{3}{4}} + 2(243)^{\frac{1}{5}}$
આધારને ઘાત સ્વરૂપે દર્શાવતા:
$216 = 6^3$,$256 = 4^4$,$243 = 3^5$
આ કિંમતો મૂકતા:
$= 4(6^3)^{\frac{2}{3}} + (4^4)^{\frac{3}{4}} + 2(3^5)^{\frac{1}{5}}$
ઘાતનો નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 4(6^{3 \times \frac{2}{3}}) + (4^{4 \times \frac{3}{4}}) + 2(3^{5 \times \frac{1}{5}})$
$= 4(6^2) + 4^3 + 2(3^1)$
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$= 4(36) + 64 + 2(3)$
$= 144 + 64 + 6$
$= 214$

(D) $3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
આ નિયમ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} = 3^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}$
$= 3^{\frac{2+4}{3}}$
$= 3^{\frac{6}{3}}$
$= 3^2$
$= 9$

(A) $\left(4^{\frac{1}{5}}\right)^{3}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(a^m)^n = a^{m \times n}$.
આ નિયમ લાગુ પાડતા:
$\left(4^{\frac{1}{5}}\right)^{3} = 4^{\frac{1}{5} \times 3}$
$= 4^{\frac{3}{5}}$
આમ,સાદું રૂપ $4^{\frac{3}{5}}$ મળે છે.

(A) પદાવલિ $\frac{11^{\frac{1}{3}}}{11^{\frac{1}{5}}}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
આ નિયમ લાગુ પાડતા,આપણને $11^{\frac{1}{3} - \frac{1}{5}}$ મળે છે.
ઘાતાંકમાં રહેલા અપૂર્ણાંકોની બાદબાકી કરવા માટે,આપણે સામાન્ય છેદ શોધીએ છીએ,જે $15$ છે.
તેથી,$\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15}$.
આમ,સાદું રૂપ $11^{\frac{2}{15}}$ છે.

(A) ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$.
આપેલ પદાવલિ: $7^{\frac{1}{4}} \cdot 12^{\frac{1}{4}}$.
નિયમ લાગુ પાડતા: $(7 \times 12)^{\frac{1}{4}}$.
ગુણાકાર કરતા: $84^{\frac{1}{4}}$.

(D) $64^{\frac{2}{3}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પહેલા $64$ ને $2$ અથવા $4$ ના ઘાત તરીકે દર્શાવીએ.
કારણ કે $64 = 4^3$,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$64^{\frac{2}{3}} = (4^3)^{\frac{2}{3}}$.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$4^{3 \times \frac{2}{3}} = 4^2$.
કિંમતની ગણતરી કરતા,$4^2 = 16$.

(A) $625^{\frac{3}{4}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પહેલા $625$ ને $5$ ના ઘાત તરીકે દર્શાવીએ.
કારણ કે $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$,તેથી આપણે $625 = 5^{4}$ લખી શકીએ.
હવે,આને પદાવલિમાં મૂકતા: $625^{\frac{3}{4}} = (5^{4})^{\frac{3}{4}}$.
ઘાતનો ઘાતનો નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $5^{4 \times \frac{3}{4}}$ મળે છે.
ઘાતાંકનું સાદું રૂપ આપતા,$4 \times \frac{3}{4} = 3$.
તેથી,પદાવલિ $5^{3}$ બને છે.
$5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125$ ની ગણતરી કરતા જવાબ $125$ મળે છે.

(B) $64^{\frac{5}{6}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ $64$ ને $2$ ના ઘાત તરીકે દર્શાવીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{6}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$64^{\frac{5}{6}} = (2^{6})^{\frac{5}{6}}$.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ઘાતાંકોનો ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$2^{6 \times \frac{5}{6}} = 2^{5}$.
અંતે,$2^{5}$ ની ગણતરી કરતા:
$2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\left(\frac{125}{64}\right)^{-\frac{2}{3}}$
સૌ પ્રથમ,ઋણ ઘાતાંક દૂર કરવા માટે $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ:
$\left(\frac{64}{125}\right)^{\frac{2}{3}}$
ત્યારબાદ,$64$ ને $4^3$ અને $125$ ને $5^3$ તરીકે દર્શાવીએ:
$\left(\frac{4^3}{5^3}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\left(\frac{4}{5}\right)^3\right)^{\frac{2}{3}}$
ઘાતાંકના નિયમ $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{4}{5}\right)^{3 \cdot \frac{2}{3}} = \left(\frac{4}{5}\right)^2$
અંતે,વર્ગની ગણતરી કરતા:
$\frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25}$

(A) આપેલ પદ: $(343)^{-\frac{2}{3}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $343 = 7^3$.
આ કિંમત પદમાં મૂકતા: $(7^3)^{-\frac{2}{3}}$
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $7^{3 \times (-\frac{2}{3})}$
$= 7^{-2}$
$= \frac{1}{7^2}$
$= \frac{1}{49}$

(A) આપેલ પદાવલિ: $(625)^{-\frac{3}{4}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $625 = 5^4$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $(5^4)^{-\frac{3}{4}}$
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $5^{4 \times (-\frac{3}{4})}$
$= 5^{-3}$
$= \frac{1}{5^3}$
$= \frac{1}{125}$

(A) આપેલ પદાવલિ $\sqrt[5]{(243)^{-3}}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $243 = 3^5$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $\sqrt[5]{(3^5)^{-3}}$.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(3^5)^{-3} = 3^{-15}$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $\sqrt[5]{3^{-15}}$ બને છે.
કરણીના નિયમ $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(3^{-15})^{1/5} = 3^{-15 \times 1/5} = 3^{-3}$ મળે છે.
$3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{(25)^{\frac{3}{2}} \times (243)^{\frac{3}{5}}}{(16)^{\frac{5}{4}} \times (8)^{\frac{4}{3}}}$
પગલું $1$: દરેક આધારને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ઘાત તરીકે દર્શાવો.
$25 = 5^2$,$243 = 3^5$,$16 = 2^4$,$8 = 2^3$.
પગલું $2$: આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$= \frac{(5^2)^{\frac{3}{2}} \times (3^5)^{\frac{3}{5}}}{(2^4)^{\frac{5}{4}} \times (2^3)^{\frac{4}{3}}}$
પગલું $3$: ઘાતનો નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ લાગુ કરો:
$= \frac{5^{2 \times \frac{3}{2}} \times 3^{5 \times \frac{3}{5}}}{2^{4 \times \frac{5}{4}} \times 2^{3 \times \frac{4}{3}}}$
$= \frac{5^3 \times 3^3}{2^5 \times 2^4}$
પગલું $4$: ઘાતનું સાદું રૂપ આપો:
$= \frac{125 \times 27}{2^{5+4}}$
$= \frac{3375}{2^9}$
$= \frac{3375}{512}$

(D) પગલું $1$: દરેક પદનું અલગ-અલગ સાદું રૂપ આપો.
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125$
પગલું $2$: $(0.01)^{-\frac{1}{2}}$ નું સાદું રૂપ આપો.
$(0.01)^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{100})^{-\frac{1}{2}} = (100)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10$
પગલું $3$: $(27)^{\frac{2}{3}}$ નું સાદું રૂપ આપો.
$(27)^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \times \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$
પગલું $4$: પરિણામોને ભેગા કરો.
$0.125 + 10 - 9 = 0.125 + 1 = 1.125$
આમ,સાદું રૂપ આપતા મળતી કિંમત $1.125$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $125^{x} = \frac{25}{5^{x}}$
બધા પદોને આધાર $5$ માં દર્શાવો:
$(5^{3})^{x} = \frac{5^{2}}{5^{x}}$
ઘાતનો ઘાતનો નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ વાપરતા:
$5^{3x} = 5^{2} \cdot 5^{-x}$
ગુણાકારનો નિયમ $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$ વાપરતા:
$5^{3x} = 5^{2-x}$
આધાર સમાન હોવાથી,ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$3x = 2 - x$
$3x + x = 2$
$4x = 2$
$x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $2^{x-2} \cdot 3^{2x-6} = 36$
આપણે જાણીએ છીએ કે $36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2$.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ થશે: $2^{x-2} \cdot 3^{2x-6} = 2^2 \cdot 3^2$.
બંને બાજુ $2$ અને $3$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$2$ ના આધાર માટે: $x - 2 = 2 \implies x = 4$.
$3$ ના આધાર માટે: $2x - 6 = 2 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.
બંને શરતો માટે $x = 4$ મળે છે,તેથી $x$ ની કિંમત $4$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(\frac{2}{5})^{5} \times (\frac{25}{4})^{3} = (\frac{5}{2})^{3x-2}$
સૌ પ્રથમ,બધા પાયાને $(\frac{5}{2})$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો:
$(\frac{2}{5})^{5} = (\frac{5}{2})^{-5}$
$(\frac{25}{4})^{3} = ((\frac{5}{2})^{2})^{3} = (\frac{5}{2})^{6}$
હવે આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકો:
$(\frac{5}{2})^{-5} \times (\frac{5}{2})^{6} = (\frac{5}{2})^{3x-2}$
ઘાતાંકના નિયમ $a^m \times a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{5}{2})^{-5+6} = (\frac{5}{2})^{3x-2}$
$(\frac{5}{2})^{1} = (\frac{5}{2})^{3x-2}$
પાયા સમાન હોવાથી,ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$1 = 3x - 2$
$3x = 3$
$x = 1$

(B) સંખ્યાઓ $\sqrt{3}, \sqrt[3]{4}, \sqrt[4]{10}$ ની સરખામણી કરવા માટે,આપણે તેમને સમાન ઘાતાંક (common index) વાળી ઘાત તરીકે દર્શાવીએ.
$1$. ઘાતાંક $2, 3, 4$ છે. $2, 3, 4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ છે.
$2$. દરેક સંખ્યાને $12$ મા મૂળમાં ફેરવો:
$\sqrt{3} = 3^{1/2} = 3^{6/12} = \sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729}$
$\sqrt[3]{4} = 4^{1/3} = 4^{4/12} = \sqrt[12]{4^4} = \sqrt[12]{256}$
$\sqrt[4]{10} = 10^{1/4} = 10^{3/12} = \sqrt[12]{10^3} = \sqrt[12]{1000}$
$3$. $12$ મા મૂળની અંદરની કિંમતોની સરખામણી કરતા: $256 < 729 < 1000$.
$4$. તેથી,ચડતો ક્રમ $\sqrt[12]{256} < \sqrt[12]{729} < \sqrt[12]{1000}$ છે,જે $\sqrt[3]{4} < \sqrt{3} < \sqrt[4]{10}$ ને અનુરૂપ છે.

(N/A) ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને,ખાસ કરીને $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ અને $(x^m)^n = x^{m \times n}$:
પગલું $1$: દરેક પદનું સાદું રૂપ આપો.
$\left(\frac{x^a}{x^b}\right)^{a+b} = (x^{a-b})^{a+b} = x^{(a-b)(a+b)} = x^{a^2-b^2}$.
$\left(\frac{x^b}{x^c}\right)^{b+c} = (x^{b-c})^{b+c} = x^{(b-c)(b+c)} = x^{b^2-c^2}$.
$\left(\frac{x^c}{x^a}\right)^{c+a} = (x^{c-a})^{c+a} = x^{(c-a)(c+a)} = x^{c^2-a^2}$.
પગલું $2$: $x^m \times x^n = x^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરીને સાદું રૂપ આપેલા પદોનો ગુણાકાર કરો.
$x^{a^2-b^2} \times x^{b^2-c^2} \times x^{c^2-a^2} = x^{(a^2-b^2) + (b^2-c^2) + (c^2-a^2)}$.
પગલું $3$: ઘાતાંકનું સાદું રૂપ આપો.
$a^2 - b^2 + b^2 - c^2 + c^2 - a^2 = 0$.
તેથી,$x^0 = 1$. આમ,પદાવલિનું મૂલ્ય $1$ થાય છે.

(N/A) પગલું $1$: ડાબી બાજુ $(LHS)$ પર કૌંસની અંદરનો સરવાળો ગણો:
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225$.
પગલું $2$: $LHS$ ની કિંમત શોધો:
$(225)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{225} = 15$.
પગલું $3$: જમણી બાજુ $(RHS)$ પર પ્રથમ કૌંસની અંદરનો સરવાળો ગણો:
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$.
પગલું $4$: $RHS$ ની કિંમત શોધો:
$(100)^{\frac{1}{2}} + (5^{3})^{\frac{1}{3}} = \sqrt{100} + 5^{(3 \times \frac{1}{3})} = 10 + 5^{1} = 10 + 5 = 15$.
પગલું $5$: કારણ કે $LHS = 15$ અને $RHS = 15$,તેથી સમીકરણ સાબિત થાય છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}$
પ્રથમ,$27$ ને $3$ ના ઘાત તરીકે દર્શાવો: $27 = 3^3$.
તેથી,$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $(3^{-3})^{-\frac{2}{3}}$.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $3^{-3 \times -\frac{2}{3}}$.
ઘાતાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $-3 \times -\frac{2}{3} = 2$.
તેથી,પદાવલિ $3^2 = 9$ થાય છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $64^{-\frac{1}{3}}\left(64^{\frac{1}{3}}-64^{\frac{2}{3}}\right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $64 = 4^3$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (4^3)^{-\frac{1}{3}} \left((4^3)^{\frac{1}{3}} - (4^3)^{\frac{2}{3}}\right)$
$= 4^{3 \times -\frac{1}{3}} \left(4^{3 \times \frac{1}{3}} - 4^{3 \times \frac{2}{3}}\right)$
$= 4^{-1} \left(4^1 - 4^2\right)$
$= \frac{1}{4} \left(4 - 16\right)$
$= \frac{1}{4} \left(-12\right)$
$= -3$

(B) $\frac{8^{1/3} \times 16^{1/3}}{32^{-1/3}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,દરેક આધારને $2$ ના ઘાત તરીકે દર્શાવીએ:
$8 = 2^3$,$16 = 2^4$,અને $32 = 2^5$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(2^3)^{1/3} \times (2^4)^{1/3}}{(2^5)^{-1/3}} = \frac{2^{3 \times 1/3} \times 2^{4 \times 1/3}}{2^{5 \times -1/3}} = \frac{2^1 \times 2^{4/3}}{2^{-5/3}}$.
ઘાતાંકના નિયમો $a^m \times a^n = a^{m+n}$ અને $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2^{1 + 4/3 - (-5/3)} = 2^{1 + 4/3 + 5/3} = 2^{1 + 9/3} = 2^{1 + 3} = 2^4$.
$2^4 = 16$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{4}{(216)^{-\frac{2}{3}}} + \frac{1}{(256)^{-\frac{3}{4}}} + \frac{2}{(243)^{-\frac{1}{5}}}$
પગલું $1$: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ અથવા $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને દરેક પદનું સાદું રૂપ આપો.
પ્રથમ પદ: $\frac{4}{(216)^{-\frac{2}{3}}} = 4 \times (216)^{\frac{2}{3}} = 4 \times ((6^3)^{\frac{2}{3}}) = 4 \times 6^2 = 4 \times 36 = 144$.
બીજું પદ: $\frac{1}{(256)^{-\frac{3}{4}}} = 1 \times (256)^{\frac{3}{4}} = (4^4)^{\frac{3}{4}} = 4^3 = 64$.
ત્રીજું પદ: $\frac{2}{(243)^{-\frac{1}{5}}} = 2 \times (243)^{\frac{1}{5}} = 2 \times ((3^5)^{\frac{1}{5}}) = 2 \times 3^1 = 6$.
પગલું $2$: પરિણામોનો સરવાળો કરો:
$144 + 64 + 6 = 214$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
ગણતરી: $(-5)^{2} = (-5) \times (-5) = 25$.
અહીં $25 \neq -25$ હોવાથી,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(A) આ વિધાન સત્ય છે.
જ્યારે કોઈ ઋણ સંખ્યાનો ઘાત એકી સંખ્યા હોય,ત્યારે પરિણામ ઋણ મળે છે.
અહીં $11$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{11} = -1 \times -1 \times ... \times -1$ ($11$ વખત) $= -1$ થાય છે.

(A) ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$.
આપેલ પદાવલિ પર આ નિયમ લાગુ પાડતા: $(5^{-2})^{3} = 5^{-2 \times 3} = 5^{-6}$.
કારણ કે $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$,તેથી $5^{-6} = \frac{1}{5^{6}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(5^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{3}} = 5^{\frac{3}{4} \times \frac{4}{3}}$
$= 5^{\frac{12}{12}}$
$= 5^1$
$= 5$

(1/2) $(64)^{-\frac{1}{6}}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $64$ ને $2$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $64 = 2^6$.
આ કિંમતને પદમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(2^6)^{-\frac{1}{6}}$
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ઘાતાંકોનો ગુણાકાર કરીએ:
$2^{6 \times (-\frac{1}{6})} = 2^{-1}$
કારણ કે $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$,તેથી:
$2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$

(B) $1$ નું $n$-મું મૂળ એ સંખ્યા $x$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે કે જેથી $x^n = 1$ થાય.
કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$1^n = 1 \times 1 \times \dots \times 1 = 1$ થાય છે.
તેથી,$\sqrt[11]{1} = 1$ થાય.

(C) $(729)^{\frac{1}{3}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $729$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું.
$729 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^6$.
વૈકલ્પિક રીતે,$729 = 9 \times 9 \times 9 = 9^3$.
તેથી,$(729)^{\frac{1}{3}} = (9^3)^{\frac{1}{3}}$.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $9^{3 \times \frac{1}{3}} = 9^1 = 9$ મળે છે.