Operations on Real Numbers Questions in Hindi

(B) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ से गुणा करें।
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
हर में $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}$
$= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$
अब,दिए गए मान $\sqrt{3} = 1.732$ और $\sqrt{2} = 1.414$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 1.732 - 1.414$
$= 0.318$

(B) दिया गया है $a = 5 + 2\sqrt{6}$।
चूंकि $b = \frac{1}{a}$ है,हम हर का परिमेयकरण करते हैं:
$b = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} \times \frac{5 - 2\sqrt{6}}{5 - 2\sqrt{6}} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{5^2 - (2\sqrt{6})^2} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{25 - 24} = 5 - 2\sqrt{6}$।
हमें $a^2 + b^2$ का मान ज्ञात करना है। सर्वसमिका $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ का उपयोग करते हुए:
सबसे पहले,$a + b = (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 10$ ज्ञात करें।
फिर,$ab = (5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 24 = 1$ ज्ञात करें।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$a^2 + b^2 = (10)^2 - 2(1) = 100 - 2 = 98$।

(D) व्यंजक को सरल करने के लिए,हम प्रत्येक पद के हर (denominator) का परिमेयकरण (rationalization) करेंगे:
$\frac{7 \sqrt{3}}{\sqrt{10}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{10}-\sqrt{3}}{\sqrt{10}-\sqrt{3}} = \frac{7 \sqrt{3}(\sqrt{10}-\sqrt{3})}{10-3} = \frac{7 \sqrt{3}(\sqrt{10}-\sqrt{3})}{7} = \sqrt{30}-3$
$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{6-5} = 2 \sqrt{30}-10$
$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{15}+3 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{15}-3 \sqrt{2}}{\sqrt{15}-3 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}(\sqrt{15}-3 \sqrt{2})}{15-18} = \frac{3 \sqrt{30}-18}{-3} = -\sqrt{30}+6$
अब,इन मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sqrt{30}-3) - (2 \sqrt{30}-10) - (-\sqrt{30}+6)$
$= \sqrt{30}-3-2 \sqrt{30}+10+\sqrt{30}-6$
$= (\sqrt{30}-2 \sqrt{30}+\sqrt{30}) + (-3+10-6)$
$= 0 + 1 = 1$

(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{4}{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}+\frac{3}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}$
हर का ल.स.प. $(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})(3\sqrt{3}+2\sqrt{2})$ लेने पर:
$= \frac{4(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}) + 3(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})}{(3\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{2})^2}$
$= \frac{12\sqrt{3} + 8\sqrt{2} + 9\sqrt{3} - 6\sqrt{2}}{27 - 8}$
$= \frac{21\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{19}$
$\sqrt{3}=1.732$ और $\sqrt{2}=1.414$ का मान रखने पर:
$= \frac{21(1.732) + 2(1.414)}{19}$
$= \frac{36.372 + 2.828}{19}$
$= \frac{39.2}{19} \approx 2.063$

(B) दिया गया है,$a = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
सबसे पहले,$a^{2}$ की गणना करें:
$a^{2} = \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{2} = \frac{9 + 5 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$.
इसके बाद,हर का परिमेयकरण करके $\frac{1}{a^{2}}$ की गणना करें:
$\frac{1}{a^{2}} = \frac{2}{7 + 3\sqrt{5}} = \frac{2(7 - 3\sqrt{5})}{(7 + 3\sqrt{5})(7 - 3\sqrt{5})} = \frac{2(7 - 3\sqrt{5})}{49 - 45} = \frac{2(7 - 3\sqrt{5})}{4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$.
अंत में,$a^{2}$ और $\frac{1}{a^{2}}$ को जोड़ें:
$a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} + \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{7 + 3\sqrt{5} + 7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

(C) $x$ के लिए हर का परिमेयकरण करने पर:
$x = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}{3-2} = 3+2+2\sqrt{6} = 5+2\sqrt{6}$.
इसी प्रकार,$y$ के लिए:
$y = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}}{3-2} = 3+2-2\sqrt{6} = 5-2\sqrt{6}$.
अब,$x+y$ और $xy$ की गणना करने पर:
$x+y = (5+2\sqrt{6}) + (5-2\sqrt{6}) = 10$.
$xy = (5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}) = 5^{2} - (2\sqrt{6})^{2} = 25 - 24 = 1$.
सर्वसमिका $x^{2}+y^{2} = (x+y)^{2} - 2xy$ का उपयोग करने पर:
$x^{2}+y^{2} = (10)^{2} - 2(1) = 100 - 2 = 98$.

(N/A) $\frac{2}{9}$ और $\frac{2}{7}$ के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके हर (denominators) को समान करते हैं। $9$ और $7$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $63$ है।
$\frac{2}{9} = \frac{2 \times 7}{9 \times 7} = \frac{14}{63}$
$\frac{2}{7} = \frac{2 \times 9}{7 \times 9} = \frac{18}{63}$
चूँकि $14$ और $18$ के बीच केवल तीन पूर्णांक $(15, 16, 17)$ हैं,इसलिए हम अंश और हर को $2$ से गुणा करते हैं।
$\frac{14}{63} = \frac{14 \times 2}{63 \times 2} = \frac{28}{126}$
$\frac{18}{63} = \frac{18 \times 2}{63 \times 2} = \frac{36}{126}$
अब,हम $\frac{28}{126}$ और $\frac{36}{126}$ के बीच कोई भी चार परिमेय संख्याएँ चुन सकते हैं,जैसे $\frac{29}{126}, \frac{30}{126}, \frac{31}{126}$ और $\frac{32}{126}$।
इन्हें सरल करने पर,हमें $\frac{29}{126}, \frac{5}{21}, \frac{31}{126}$ और $\frac{16}{63}$ प्राप्त होती हैं।

(A) $\frac{2}{3}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,पहले $3$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करके हर को समान करें,जो $15$ है।
भिन्नों को परिवर्तित करें: $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$ और $\frac{4}{5} = \frac{4 \times 3}{5 \times 3} = \frac{12}{15}$.
चूंकि हमें तीन संख्याओं की आवश्यकता है,इसलिए दोनों भिन्नों के अंश और हर को $(3 + 1) = 4$ (या $3$ से बड़ी किसी भी संख्या) से गुणा करें।
$\frac{10}{15} = \frac{10 \times 4}{15 \times 4} = \frac{40}{60}$ और $\frac{12}{15} = \frac{12 \times 4}{15 \times 4} = \frac{48}{60}$.
$\frac{40}{60}$ और $\frac{48}{60}$ के बीच तीन परिमेय संख्याएँ $\frac{41}{60}, \frac{42}{60}$ और $\frac{43}{60}$ हैं।

(B) $\frac{1}{7}$ और $\frac{3}{7}$ के बीच तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों भिन्नों के अंश और हर को $(3 + 1) = 4$ या किसी बड़ी पूर्णांक संख्या से गुणा कर सकते हैं ताकि उनके बीच का अंतर बढ़ जाए।
$2$ से गुणा करने पर (चूंकि $2$,$1$ और $3$ के बीच है):
$\frac{1}{7} = \frac{1 \times 2}{7 \times 2} = \frac{2}{14}$
$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 2}{7 \times 2} = \frac{6}{14}$
$\frac{2}{14}$ और $\frac{6}{14}$ के बीच की परिमेय संख्याएँ $\frac{3}{14}, \frac{4}{14}$ और $\frac{5}{14}$ हैं।
अतः,तीन परिमेय संख्याएँ $\frac{3}{14}, \frac{2}{7}$ और $\frac{5}{14}$ हैं।

$\frac{2}{7}$ और $\frac{2}{5}$ के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम पहले $7$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करके हर को समान बनाते हैं,जो $35$ है।
$\frac{2}{7} = \frac{2 \times 5}{7 \times 5} = \frac{10}{35}$
$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 7}{5 \times 7} = \frac{14}{35}$
चूँकि हमें पाँच परिमेय संख्याओं की आवश्यकता है,हम दोनों भिन्नों के अंश और हर को $6$ (या $5$ से बड़ी किसी भी संख्या) से गुणा कर सकते हैं:
$\frac{10 \times 6}{35 \times 6} = \frac{60}{210}$
$\frac{14 \times 6}{35 \times 6} = \frac{84}{210}$
अब,हम $\frac{60}{210}$ और $\frac{84}{210}$ के बीच कोई भी पाँच परिमेय संख्याएँ चुन सकते हैं,जैसे $\frac{61}{210}, \frac{62}{210}, \frac{63}{210}, \frac{64}{210}, \text{ और } \frac{65}{210}$।

(B) $-\frac{2}{3}$ और $\frac{1}{5}$ के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,सबसे पहले $3$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करके हर को समान करें,जो कि $15$ है।
$-\frac{2}{3} = -\frac{2 \times 5}{3 \times 5} = -\frac{10}{15}$
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{3}{15}$
अब,हमें $-\frac{10}{15}$ और $\frac{3}{15}$ के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करनी हैं।
$-10$ और $3$ के बीच के पूर्णांक $-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$ हैं।
हम इनमें से कोई भी पाँच चुन सकते हैं,उदाहरण के लिए: $-\frac{9}{15}, -\frac{8}{15}, -\frac{7}{15}, -\frac{6}{15}, -\frac{5}{15}$।
इन्हें सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $-\frac{3}{5}, -\frac{8}{15}, -\frac{7}{15}, -\frac{2}{5}, -\frac{1}{3}$।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
एक पूर्ण संख्या $W = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ समुच्चय की कोई भी संख्या होती है।
परिमेय संख्या को ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
किसी भी पूर्ण संख्या $n$ को $\frac{n}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
उदाहरण के लिए,$0 = \frac{0}{1}$,$1 = \frac{1}{1}$,$2 = \frac{2}{1}$,आदि।
चूंकि प्रत्येक पूर्ण संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए प्रत्येक पूर्ण संख्या एक परिमेय संख्या है।

(A) दिए गए व्यंजकों को जोड़ने के लिए,हम $\sqrt{3}$ और $\sqrt{5}$ वाले समान पदों को एक साथ समूहित करते हैं।
$(4 \sqrt{3}+2 \sqrt{5})+(6 \sqrt{3}-4 \sqrt{5})$
$= (4 \sqrt{3}+6 \sqrt{3}) + (2 \sqrt{5}-4 \sqrt{5})$
$= (4+6) \sqrt{3} + (2-4) \sqrt{5}$
$= 10 \sqrt{3} - 2 \sqrt{5}$

(B) $3 \sqrt{7}$ और $5 \sqrt{7}$ का गुणा करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: गुणांकों (वर्गमूल के बाहर की संख्याओं) का गुणा करें: $3 \times 5 = 15$.
चरण $2$: वर्गमूल वाले पदों का गुणा करें: $\sqrt{7} \times \sqrt{7} = 7$.
चरण $3$: चरण $1$ और चरण $2$ से प्राप्त परिणामों का गुणा करें: $15 \times 7 = 105$.
अतः,$3 \sqrt{7} \times 5 \sqrt{7} = 105$.

(A) $12 \sqrt{30}$ को $3 \sqrt{5}$ से विभाजित करने के लिए,हम इसे एक भिन्न के रूप में लिखते हैं:
$\frac{12 \sqrt{30}}{3 \sqrt{5}}$
हम गुणांकों को सरल कर सकते हैं: $\frac{12}{3} = 4$.
इसके बाद,हम $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ गुणधर्म का उपयोग करके वर्गमूल को सरल करते हैं:
$\sqrt{\frac{30}{5}} = \sqrt{6}$
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $4 \times \sqrt{6} = 4 \sqrt{6}$ प्राप्त होता है।

(A) व्यंजक $(3+\sqrt{5})(4-\sqrt{11})$ को सरल करने के लिए,हम योग पर गुणन के वितरण नियम का उपयोग करेंगे:
$(3+\sqrt{5})(4-\sqrt{11}) = 3(4-\sqrt{11}) + \sqrt{5}(4-\sqrt{11})$
$= (3 \times 4) - (3 \times \sqrt{11}) + (\sqrt{5} \times 4) - (\sqrt{5} \times \sqrt{11})$
$= 12 - 3\sqrt{11} + 4\sqrt{5} - \sqrt{5 \times 11}$
$= 12 - 3\sqrt{11} + 4\sqrt{5} - \sqrt{55}$

(A) व्यंजक $(\sqrt{15}+\sqrt{7})(\sqrt{15}-\sqrt{7})$ को सरल करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = \sqrt{15}$ और $b = \sqrt{7}$ है।
सर्वसमिका लागू करने पर:
$(\sqrt{15})^2 - (\sqrt{7})^2 = 15 - 7 = 8$.

(A) व्यंजक $(\sqrt{11}-\sqrt{3})^{2}$ को सरल करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$a = \sqrt{11}$ और $b = \sqrt{3}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sqrt{11}-\sqrt{3})^{2} = (\sqrt{11})^{2} - 2(\sqrt{11})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^{2}$
$= 11 - 2\sqrt{11 \times 3} + 3$
$= 11 - 2\sqrt{33} + 3$
$= 14 - 2\sqrt{33}$

(N/A) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5})$ से गुणा करें।
$\frac{30}{5 \sqrt{3}-3 \sqrt{5}} = \frac{30}{5 \sqrt{3}-3 \sqrt{5}} \times \frac{5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5}}{5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5}}$
$= \frac{30(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}{(5 \sqrt{3})^{2}-(3 \sqrt{5})^{2}}$
$= \frac{30(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}{75-45}$
$= \frac{30(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}{30}$
$= 5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5}$

(A) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(5-2 \sqrt{3})$ से गुणा करें।
$\frac{1}{5+2 \sqrt{3}} = \frac{1}{5+2 \sqrt{3}} \times \frac{5-2 \sqrt{3}}{5-2 \sqrt{3}}$
हर में सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{5-2 \sqrt{3}}{(5)^2 - (2 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{5-2 \sqrt{3}}{25 - (4 \times 3)}$
$= \frac{5-2 \sqrt{3}}{25 - 12}$
$= \frac{5-2 \sqrt{3}}{13}$

हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) यानी $\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m$ से गुणा करें।
$\frac{n^{2}}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}+m} = \frac{n^{2}}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}+m} \times \frac{\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m}$
हर में $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \frac{n^{2}(\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m)}{(\sqrt{m^{2}+n^{2}})^{2} - (m)^{2}}$
$= \frac{n^{2}(\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m)}{m^{2}+n^{2}-m^{2}}$
$= \frac{n^{2}(\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m)}{n^{2}}$
$= \sqrt{m^{2}+n^{2}}-m$

(A) दिया गया है: $\frac{2 \sqrt{6}-\sqrt{5}}{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{6}}=a+b \sqrt{30}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $(3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6})$ से गुणा करें:
$\frac{2 \sqrt{6}-\sqrt{5}}{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{6}} \times \frac{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6}}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6}}=a+b \sqrt{30}$
हर में $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{(2 \sqrt{6}-\sqrt{5})(3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6})}{(3 \sqrt{5})^{2}-(2 \sqrt{6})^{2}}=a+b \sqrt{30}$
अंश का विस्तार करने पर:
$(2 \sqrt{6})(3 \sqrt{5}) + (2 \sqrt{6})(2 \sqrt{6}) - (\sqrt{5})(3 \sqrt{5}) - (\sqrt{5})(2 \sqrt{6}) = 6 \sqrt{30} + 24 - 15 - 2 \sqrt{30} = 9 + 4 \sqrt{30}$
हर की गणना करने पर:
$(3 \sqrt{5})^2 - (2 \sqrt{6})^2 = 45 - 24 = 21$
अतः,$\frac{9+4 \sqrt{30}}{21} = a+b \sqrt{30}$
$\frac{9}{21} + \frac{4 \sqrt{30}}{21} = a+b \sqrt{30}$
$\frac{3}{7} + \frac{4}{21} \sqrt{30} = a+b \sqrt{30}$
परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना करने पर,हमें $a=\frac{3}{7}$ और $b=\frac{4}{21}$ प्राप्त होता है।

(N/A) दिया गया है: $x = 5 + 2\sqrt{6}$.
सबसे पहले,$\frac{1}{x}$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} \times \frac{5 - 2\sqrt{6}}{5 - 2\sqrt{6}} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{25 - 24} = 5 - 2\sqrt{6}$.
अब,$x + \frac{1}{x}$ की गणना करें:
$x + \frac{1}{x} = (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 10$.
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ ज्ञात करने के लिए:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = (10)^{2} - 2 = 100 - 2 = 98$.
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ ज्ञात करने के लिए:
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3(x + \frac{1}{x}) = (10)^{3} - 3(10) = 1000 - 30 = 970$.

(N/A) दिए गए व्यंजकों को जोड़ने के लिए,हम समान पदों को एक साथ रखते हैं:
$(4 \sqrt{6}-8 \sqrt{10}) + (3 \sqrt{6}+12 \sqrt{10})$
$= (4 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6}) + (-8 \sqrt{10} + 12 \sqrt{10})$
$= (4 + 3) \sqrt{6} + (-8 + 12) \sqrt{10}$
$= 7 \sqrt{6} + 4 \sqrt{10}$

(A) $5 \sqrt{3}$ और $4 \sqrt{12}$ का गुणा करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$1$. व्यंजक को $(5 \sqrt{3}) \times (4 \sqrt{12})$ के रूप में लिखें।
$2$. गुणांकों का गुणा करें: $5 \times 4 = 20$।
$3$. करणी (radicals) का गुणा करें: $\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36}$।
$4$. वर्गमूल की गणना करें: $\sqrt{36} = 6$।
$5$. परिणामों का गुणा करें: $20 \times 6 = 120$।
अतः,गुणनफल $120$ है।

(B) व्यंजक $5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{8} - 3 \sqrt{32} + 4 \sqrt{128}$ को सरल करने के लिए, हम प्रत्येक करणी (radical) पद को सरल करते हैं:
$1$. $5 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$
$2$. $2 \sqrt{8} = 2 \sqrt{4 \times 2} = 2 \times 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$
$3$. $3 \sqrt{32} = 3 \sqrt{16 \times 2} = 3 \times 4 \sqrt{2} = 12 \sqrt{2}$
$4$. $4 \sqrt{128} = 4 \sqrt{64 \times 2} = 4 \times 8 \sqrt{2} = 32 \sqrt{2}$
अब, इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$5 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 12 \sqrt{2} + 32 \sqrt{2}$
गुणांकों को संयोजित करने पर:
$(5 + 4 - 12 + 32) \sqrt{2} = 29 \sqrt{2}$

(A) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\sqrt{5} + \sqrt{3})$ से गुणा करें।
$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5 - 3}$
$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$

(A) $\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{6}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\sqrt{10}-\sqrt{6})$ से गुणा करें।
$\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$
$= \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{6})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2}$
$= \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{6})}{10-6}$
$= \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{6})}{4}$
$= \sqrt{10}-\sqrt{6}$

(N/A) हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{18}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}} \times \frac{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}$
$= \frac{18(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2})^2 - (2 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{18(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{(9 \times 2) - (4 \times 3)}$
$= \frac{18(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{18 - 12}$
$= \frac{18(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{6}$
$= 3(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})$

(A) $\frac{1}{7-4 \sqrt{3}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $7+4 \sqrt{3}$ से गुणा करेंगे।
$\frac{1}{7-4 \sqrt{3}} \times \frac{7+4 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}} = \frac{7+4 \sqrt{3}}{(7)^2 - (4 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{7+4 \sqrt{3}}{49 - (16 \times 3)}$
$= \frac{7+4 \sqrt{3}}{49 - 48}$
$= \frac{7+4 \sqrt{3}}{1}$
$= 7+4 \sqrt{3}$

$(17+12 \sqrt{2})$ हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(3+2 \sqrt{2})$ से गुणा करें।
$\frac{3+2 \sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}} \times \frac{3+2 \sqrt{2}}{3+2 \sqrt{2}}$
$= \frac{(3+2 \sqrt{2})^2}{(3)^2 - (2 \sqrt{2})^2}$
$= \frac{3^2 + (2 \sqrt{2})^2 + 2(3)(2 \sqrt{2})}{9 - (4 \times 2)}$
$= \frac{9 + 8 + 12 \sqrt{2}}{9 - 8}$
$= \frac{17 + 12 \sqrt{2}}{1}$
$= 17 + 12 \sqrt{2}$

(A) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(5-2 \sqrt{6})$ से गुणा करें।
$\frac{5-2 \sqrt{6}}{5+2 \sqrt{6}} \times \frac{5-2 \sqrt{6}}{5-2 \sqrt{6}}$
$= \frac{(5-2 \sqrt{6})^2}{(5)^2 - (2 \sqrt{6})^2}$
$= \frac{5^2 - 2(5)(2 \sqrt{6}) + (2 \sqrt{6})^2}{25 - (4 \times 6)}$
$= \frac{25 - 20 \sqrt{6} + 24}{25 - 24}$
$= \frac{49 - 20 \sqrt{6}}{1}$
$= 49 - 20 \sqrt{6}$

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$ है।
हम इसे $\sqrt{\frac{5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
यह $\frac{1}{\sqrt{2}}$ के बराबर है।
हर का परिमेयकरण करने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{2} = 1.4142$ का मान रखने पर,हमें $\frac{1.4142}{2} = 0.7071$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\sqrt{5} = 2.236$ है।
हमें $\frac{4 - \sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ का मान ज्ञात करना है।
इस व्यंजक को $\frac{4}{\sqrt{5}} - 1$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
$\sqrt{5}$ का मान रखने पर: $\frac{4}{2.236} - 1$।
$\frac{4}{2.236}$ की गणना करने पर $\approx 1.788895$ प्राप्त होता है।
इस मान से $1$ घटाने पर $1.788895 - 1 = 0.788895$ प्राप्त होता है।
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.7889$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,$\frac{4 - 2.236}{2.236} = \frac{1.764}{2.236} \approx 0.788886$ की गणना करने पर,चार दशमलव स्थानों तक $0.7889$ मिलता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$0.7888$ सबसे निकटतम उत्तर है।

(N/A) दिया गया है कि $x = 3 + 2\sqrt{2}$।
सबसे पहले,$\frac{1}{x}$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} \times \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 - 2\sqrt{2}$।
अब,$x + \frac{1}{x}$ की गणना करें:
$x + \frac{1}{x} = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6$।
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ ज्ञात करने के लिए,सर्वसमिका $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2$ का उपयोग करें:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = (6)^{2} - 2 = 36 - 2 = 34$।
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ ज्ञात करने के लिए,सर्वसमिका $(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(x + \frac{1}{x})$ का उपयोग करें:
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3(x + \frac{1}{x}) = (6)^{3} - 3(6) = 216 - 18 = 198$।
अतः,मान $34$ और $198$ हैं।

(D) दिया गया है $x = 7 - 4\sqrt{3}$।
सबसे पहले,$\frac{1}{x}$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}}$।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} \times \frac{7 + 4\sqrt{3}}{7 + 4\sqrt{3}} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - (16 \times 3)} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - 48} = 7 + 4\sqrt{3}$।
अब,$x + \frac{1}{x}$ ज्ञात करें:
$x + \frac{1}{x} = (7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) = 14$।
हम जानते हैं कि $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2$।
अतः,$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2$।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (14)^{2} - 2 = 196 - 2 = 194$।

(A) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=a+b \sqrt{35}$ को हल करने के लिए,हम अंश और हर को $(\sqrt{7}+\sqrt{5})$ से गुणा करके हर का परिमेयकरण करते हैं।
$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2}$
$= \frac{7+5+2\sqrt{35}}{7-5}$
$= \frac{12+2\sqrt{35}}{2}$
$= 6+\sqrt{35}$
$6+\sqrt{35}$ की तुलना $a+b\sqrt{35}$ से करने पर,हमें $a=6$ और $b=1$ प्राप्त होता है।

(N/A) इसे हल करने के लिए,हम व्यंजक के प्रत्येक पद का परिमेयकरण करेंगे।
चरण $1$: पहले पद का परिमेयकरण: $\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$.
चरण $2$: दूसरे पद का परिमेयकरण: $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$.
चरण $3$: तीसरे पद का परिमेयकरण: $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} = \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{4}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3} = \sqrt{4}-\sqrt{3} = 2-\sqrt{3}$.
चरण $4$: परिणामों को जोड़ें: $(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (2-\sqrt{3})$.
चरण $5$: व्यंजक को सरल करें: $\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + 2 - \sqrt{3} = -1 + 2 = 1$.
अतः,व्यंजक का मान $1$ है।

(A) और $b$ के मान ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए व्यंजक के हर का परिमेयकरण करते हैं:
$\frac{5+3 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}} \times \frac{7-4 \sqrt{3}}{7-4 \sqrt{3}}$
$= \frac{(5+3 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}{(7)^2 - (4 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{35 - 20 \sqrt{3} + 21 \sqrt{3} - 12(3)}{49 - 16(3)}$
$= \frac{35 + \sqrt{3} - 36}{49 - 48}$
$= \frac{-1 + \sqrt{3}}{1}$
$= -1 + 1 \sqrt{3}$
इसकी तुलना $a+b \sqrt{3}$ से करने पर,हमें $a = -1$ और $b = 1$ प्राप्त होता है।

(N/A) दिया गया है $x = 2 + \sqrt{3}.$
सबसे पहले,$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ज्ञात करें।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}.$
अब,$x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4.$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ ज्ञात करने के लिए,सर्वसमिका $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2$ का उपयोग करें।
$4^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 \implies 16 = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 \implies x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 14.$
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ ज्ञात करने के लिए,सर्वसमिका $(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(x + \frac{1}{x})$ का उपयोग करें।
$4^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(4) \implies 64 = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 12 \implies x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 52.$
अतः,मान $14$ और $52$ हैं।

(D) $\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर को $(2-\sqrt{2})$ से गुणा करके हर का परिमेयकरण करेंगे:
$\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \times \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - (\sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{2\sqrt{2} - 2}{4 - 2} = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{2} = \sqrt{2} - 1$
दिया गया है कि $\sqrt{2} = 1.414$,इसलिए यह मान रखने पर:
$1.414 - 1 = 0.414$
अतः,सही मान $0.414$ है।

(A) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर को $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ से गुणा करके हर का परिमेयकरण करते हैं।
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
दिया गया है $\sqrt{3} = 1.732$ और $\sqrt{2} = 1.414$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1.732 - 1.414 = 0.318$
अतः,मान $0.318$ है।

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{2}$
हम $\sqrt{10}$ को $\sqrt{2} \times \sqrt{5}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः, व्यंजक इस प्रकार होगा: $\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{5} - \sqrt{5}}{2}$
अंश से $\sqrt{5}$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} - 1)}{2}$
दिए गए मान $\sqrt{5} = 2.236$ और $\sqrt{2} = 1.414$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{2.236(1.414 - 1)}{2}$
$= \frac{2.236(0.414)}{2}$
$= 1.118 \times 0.414$
$= 0.462852$
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें $0.463$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया व्यंजक: $\frac{4}{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}} + \frac{3}{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}$
पहले पद का परिमेयकरण करने पर: $\frac{4(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})} = \frac{12 \sqrt{3}+8 \sqrt{2}}{27-8} = \frac{12 \sqrt{3}+8 \sqrt{2}}{19}$
दूसरे पद का परिमेयकरण करने पर: $\frac{3(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})}{(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})} = \frac{9 \sqrt{3}-6 \sqrt{2}}{27-8} = \frac{9 \sqrt{3}-6 \sqrt{2}}{19}$
दोनों पदों को जोड़ने पर: $\frac{12 \sqrt{3}+8 \sqrt{2} + 9 \sqrt{3}-6 \sqrt{2}}{19} = \frac{21 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}{19}$
$\sqrt{3} = 1.732$ और $\sqrt{2} = 1.414$ का मान रखने पर:
$= \frac{21(1.732) + 2(1.414)}{19} = \frac{36.372 + 2.828}{19} = \frac{39.2}{19} \approx 2.06315...$
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $2.063$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $a = \frac{\sqrt{5}}{8}$।
हमें समीकरण $\frac{8}{a} = b \sqrt{5}$ दिया गया है।
समीकरण में $a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{8}{\frac{\sqrt{5}}{8}} = b \sqrt{5}$
$8 \times \frac{8}{\sqrt{5}} = b \sqrt{5}$
$\frac{64}{\sqrt{5}} = b \sqrt{5}$
$b$ का मान ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $\frac{1}{\sqrt{5}}$ से गुणा करने पर:
$b = \frac{64}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}$
$b = \frac{64}{5}$।

(B) यह कथन असत्य है।
करणी (radicals) के नियमों के अनुसार,किन्हीं भी धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ होता है।
इस नियम को लागू करने पर: $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}$।
चूंकि $\sqrt{15} \neq \sqrt{8}$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(C) व्यंजक $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$ को हल करने के लिए,हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = \sqrt{5}$ और $b = \sqrt{3}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) $a - \sqrt{b}$ के रूप वाले व्यंजक का परिमेयकारी गुणक ज्ञात करने के लिए,हम इसे इसके संयुग्मी $a + \sqrt{b}$ से गुणा करते हैं ताकि वर्गमूल समाप्त हो जाए।
यहाँ,दिया गया व्यंजक $4 - \sqrt{5}$ है।
$4 - \sqrt{5}$ को $4 + \sqrt{5}$ से गुणा करने पर $(4)^2 - (\sqrt{5})^2 = 16 - 5 = 11$ प्राप्त होता है,जो एक परिमेय संख्या है।
अतः,$4 - \sqrt{5}$ का परिमेयकारी गुणक $4 + \sqrt{5}$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $(\sqrt{5}+3)^{2} = a+b\sqrt{5}$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x+y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = \sqrt{5}$ और $y = 3$ है:
$(\sqrt{5})^{2} + 2(\sqrt{5})(3) + (3)^{2} = a+b\sqrt{5}$.
$5 + 6\sqrt{5} + 9 = a+b\sqrt{5}$.
$14 + 6\sqrt{5} = a+b\sqrt{5}$.
दोनों पक्षों के परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना करने पर,हमें $a = 14$ और $b = 6$ प्राप्त होता है।

(A) किसी संख्या $x$ का वर्गमूल वह मान $y$ है जिसके लिए $y^2 = x$ होता है।
चूंकि $7^2 = 7 \times 7 = 49$ है,इसलिए $49$ का मुख्य वर्गमूल $7$ है।
अतः,$\sqrt{49} = 7$।