Criteria for Congruence of Triangles Questions in Gujarati

(N/A) વિકર્ણ $PR$ એ $\angle QPS$ અને $\angle QRS$ ને દુભાગે છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે બે ત્રિકોણ $\triangle PQR$ અને $\triangle PSR$ ને ધ્યાનમાં લઈએ.
$1$. $\triangle PQR$ અને $\triangle PSR$ માં:
- $PQ = PS$ (આપેલ છે)
- $QR = RS$ (આપેલ છે)
- $PR = PR$ (સામાન્ય બાજુ)
$2$. $SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle PQR \cong \triangle PSR$ થાય.
$3$. ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ભાગો સમાન હોય છે $(CPCT)$:
- $\angle QPR = \angle SPR$. આ સૂચવે છે કે $PR$ એ $\angle QPS$ ને દુભાગે છે.
- $\angle QRP = \angle SRP$. આ સૂચવે છે કે $PR$ એ $\angle QRS$ ને દુભાગે છે.
આમ,સાબિત થાય છે કે વિકર્ણ $PR$ એ $\angle QPS$ અને $\angle QRS$ બંનેને દુભાગે છે.

(N/A) $1$. બે ત્રિકોણ $\triangle PQR$ અને $\triangle PSR$ નો વિચાર કરો.
$2$. આ ત્રિકોણોમાં,આપણને આપેલ છે કે $PQ = PS$ (બાજુ).
$3$. આપણને એ પણ આપેલ છે કે $RQ = RS$ (બાજુ).
$4$. બાજુ $PR$ બંને ત્રિકોણ માટે સામાન્ય છે,તેથી $PR = PR$ (બાજુ).
$5$. $SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle PQR \cong \triangle PSR$.
$6$. ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ભાગો સમાન હોય છે ($CPCT$ - એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ ભાગો).
$7$. તેથી,$\angle PQR = \angle PSR$.

(N/A) $1$. કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PLQ$ અને $\Delta QMP$ ધ્યાનમાં લો.
$2$. આ ત્રિકોણોમાં,$PL = QM$ (આપેલ છે),$PQ = QP$ (સામાન્ય બાજુ),અને $\angle PLQ = \angle QMP = 90^{\circ}$ (વેધ).
$3$. $RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PLQ \cong \Delta QMP$.
$4$. $CPCT$ મુજબ,$\angle PQL = \angle QPM$,જેનો અર્થ છે કે $\angle PQR = \angle QPR$.
$5$. પાયાના ખૂણા સમાન હોવાથી,તેમની સામેની બાજુઓ સમાન હોય,તેથી $PR = QR$.
$6$. તેવી જ રીતે,$\Delta QMR$ અને $\Delta RNP$ ને ધ્યાનમાં લેતા,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $\Delta QMR \cong \Delta RNP$,જેનો અર્થ છે કે $\angle QRM = \angle RPN$,જેનાથી $PQ = QR$ મળે છે.
$7$. $PR = QR$ અને $PQ = QR$ હોવાથી,$PQ = QR = PR$ થાય છે.
$8$. તેથી,$\Delta PQR$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(N/A) $1$. $\Delta PQR$ માં,ધારો કે $PL \perp QR$,$QM \perp PR$,અને $RN \perp PQ$ છે. આપેલ છે કે $PL = QM = RN$.
$2$. $\Delta QRN$ અને $\Delta RQM$ ને ધ્યાનમાં લો. અહીં $\angle QNR = \angle RMQ = 90^{\circ}$,$QR = RQ$ (સામાન્ય બાજુ),અને $RN = QM$ (આપેલ છે).
$3$. $RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta QRN \cong \Delta RQM$. તેથી,$\angle RQN = \angle QRM$,જેનો અર્થ છે કે $\angle RQP = \angle QRP$.
$4$. તેવી જ રીતે,$\Delta PQL$ અને $\Delta QPM$ ને ધ્યાનમાં લેતા,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $\angle QPR = \angle PQR$.
$5$. કારણ કે $\angle PQR = \angle QRP$ અને $\angle QPR = \angle PQR$,તેથી $\angle PQR = \angle QRP = \angle QPR$ થાય.
$6$. ત્રણેય ખૂણા સમાન હોવાથી,$\Delta PQR$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) $(1)$ ખોટું. પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ત્રિકોણમાં,મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો મોટો હોય છે. અહીં $XY > XZ$ હોવાથી,$XY$ ની સામેનો ખૂણો $(\angle Z)$ એ $XZ$ ની સામેના ખૂણા $(\angle Y)$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ. તેથી,$\angle Z > \angle Y$ સાચું છે.
$(2)$ સાચું. આપેલ છે કે $\frac{AB}{PR} = \frac{BC}{QP} = \frac{CA}{RQ} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $AB = PR$,$BC = QP$,અને $CA = RQ$. $SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \cong \Delta RPQ$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં:
$1$. $AB = PR$
$2$. $BC = RQ$
$3$. $\angle B = \angle R$
$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,આ બંને ત્રિકોણો એકરૂપ છે.
આપેલ સમાનતાઓના આધારે શિરોબિંદુઓને સરખાવતા:
- શિરોબિંદુ $A$ એ શિરોબિંદુ $P$ ને અનુરૂપ છે.
- શિરોબિંદુ $B$ એ શિરોબિંદુ $R$ ને અનુરૂપ છે.
- શિરોબિંદુ $C$ એ શિરોબિંદુ $Q$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$\Delta ABC \cong \Delta PRQ$.

(C) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ અને $\Delta XYZ$ માં:
$1$. $\angle P = \angle Z$
$2$. $\angle Q = \angle Y$
$3$. $PQ = YZ$
$ASA$ (ખૂબાખૂ - ખૂણો-બાજુ-ખૂણો) એકરૂપતાની શરત મુજબ,શિરોબિંદુઓનો ક્રમ સમાન હોવો જોઈએ.
અહીં $\angle P$ એ $\angle Z$ ને અનુરૂપ છે,$\angle Q$ એ $\angle Y$ ને અનુરૂપ છે,અને બાજુ $PQ$ એ $ZY$ (અથવા $YZ$) ને અનુરૂપ છે,તેથી બાકી રહેલું શિરોબિંદુ $R$ એ $X$ ને અનુરૂપ હશે.
તેથી,સંગતતા $P \leftrightarrow Z$,$Q \leftrightarrow Y$ અને $R \leftrightarrow X$ છે.
આમ,$\Delta PQR \cong \Delta ZYX$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta XYZ$ માં:
$1$. $\angle A = \angle X$
$2$. $\angle C = \angle Z$
$3$. $AB = XY$
ખૂ-ખૂ-બા $(AAS)$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,અહીં $\angle A$ એ $\angle X$ ને અનુરૂપ છે,$\angle C$ એ $\angle Z$ ને અનુરૂપ છે અને બાજુ $AB$ એ $XY$ ને અનુરૂપ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રીજો ખૂણો $\angle B$ એ $\angle Y$ ને સમાન થશે.
આમ,સંગતતા $A \leftrightarrow X$,$B \leftrightarrow Y$ અને $C \leftrightarrow Z$ છે.
તેથી,$\Delta ABC \cong \Delta XYZ$.

(A) આપેલ છે કે $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{RQ} = \frac{AC}{PR} = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $AB = PQ$,$BC = RQ$,અને $AC = PR$.
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,જો એક ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓ બીજા ત્રિકોણની અનુરૂપ ત્રણેય બાજુઓને સમાન હોય,તો તે ત્રિકોણો એકરૂપ થાય છે.
બાજુઓની સમાનતાના આધારે શિરોબિંદુઓને સરખાવતા:
$AB = PQ$ (શિરોબિંદુ $A$ એ $P$ ને અનુરૂપ છે,$B$ એ $Q$ ને)
$BC = RQ$ (શિરોબિંદુ $B$ એ $R$ ને અનુરૂપ છે,$C$ એ $Q$ ને)
$AC = PR$ (શિરોબિંદુ $A$ એ $P$ ને અનુરૂપ છે,$C$ એ $R$ ને)
આમ,$\Delta ABC \cong \Delta PQR$.

(B) આપેલ છે: $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,$\angle B = \angle P = 90^{\circ}$.
$AC = RQ$ ($\Delta ABC$ નો કર્ણ = $\Delta PQR$ નો કર્ણ).
$AB = RP$ ($\Delta ABC$ ની એક બાજુ = $\Delta PQR$ ની એક બાજુ).
$RHS$ (કાટખૂણો-કર્ણ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,ત્રિકોણો એકરૂપ છે.
શિરોબિંદુઓને સરખાવતા: $A$ ને સંગત $R$,$B$ ને સંગત $P$,અને $C$ ને સંગત $Q$ છે.
તેથી,$\Delta ABC \cong \Delta RPQ$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta PRQ \cong \Delta ZXY$.
એકરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
બંને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓની સરખામણી કરતા:
$P$ ને અનુરૂપ $Z$ છે.
$R$ ને અનુરૂપ $X$ છે.
$Q$ ને અનુરૂપ $Y$ છે.
તેથી,$\angle P = \angle Z$,$\angle R = \angle X$,અને $\angle Q = \angle Y$.
પ્રશ્નમાં પૂછવામાં આવ્યું છે કે $\Delta XYZ$ માં કયો ખૂણો $\angle R$ ને સમાન છે,તો અનુરૂપતા જોતા: $\angle R$ એ $\angle X$ ને સમાન છે.
આમ,$\angle R = \angle X$.