Criteria for Congruence of Triangles Questions in Gujarati

$(i)$ $\Delta AOB$ અને $\Delta DOC$ ને ધ્યાનમાં લો.
$\angle OAB = \angle ODC$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $AD$ એ છેદિકા છે)
$\angle AOB = \angle DOC$ (અભિકોણ)
$OA = OD$ (આપેલ છે,કારણ કે $O$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે)
તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOB \cong \Delta DOC$.
$(ii)$ કારણ કે $\Delta AOB \cong \Delta DOC$,તેથી $CPCT$ (એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો) મુજબ,
$OB = OC$
આમ,$O$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.

(N/A) $(i)$ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,આપણી પાસે $AD = BC$ અને $\angle DAB = \angle CBA$ છે.
$\Delta ABD$ અને $\Delta BAC$ ને ધ્યાનમાં લેતા:
$AD = BC$ (આપેલ છે)
$AB = BA$ (સામાન્ય બાજુ)
$\angle DAB = \angle CBA$ (આપેલ છે)
તેથી,$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABD \cong \Delta BAC$ થાય.
$(ii)$ કારણ કે $\Delta ABD \cong \Delta BAC$,તેથી તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
તેથી,$BD = AC$.
$(iii)$ કારણ કે $\Delta ABD \cong \Delta BAC$,તેથી તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
તેથી,$\angle ABD = \angle BAC$.

(N/A) આપેલ છે: $l \parallel m$ અને $p \parallel q$.
સાબિત કરવાનું છે: $\Delta ABC \cong \Delta CDA$.
સાબિતી:
અહીં $l \parallel m$ છે અને $AC$ તેમની છેદિકા છે,
તેથી,$\angle BAC = \angle DCA$ [યુગ્મકોણ]
તે જ રીતે,$p \parallel q$ છે અને $AC$ તેમની છેદિકા છે,
તેથી,$\angle BCA = \angle DAC$ [યુગ્મકોણ]
હવે,$\Delta ABC$ અને $\Delta CDA$ માં:
$\angle BAC = \angle DCA$ [ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ]
$\angle BCA = \angle DAC$ [ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ]
$AC = CA$ [સામાન્ય બાજુ]
તેથી,$ASA$ (ખૂબાખૂ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \cong \Delta CDA$.

(N/A) $\Delta ABD$ અને $\Delta ACD$ માં:
$\angle BAD = \angle CAD$ (આપેલ છે,કારણ કે $AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે)
$AD = AD$ (સામાન્ય બાજુ)
$\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$ (આપેલ છે,કારણ કે $AD \perp BC$)
તેથી,$ASA$ (ખૂણો-બાજુ-ખૂણો) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABD \cong \Delta ACD$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$AB = AC$.
$\Delta ABC$ ની બે બાજુઓ સમાન હોવાથી,$\Delta ABC$ એ સમদ্বિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(N/A) $\Delta ABF$ અને $\Delta ACE$ માં:
$AB = AC$ (આપેલ છે)
$\angle A = \angle A$ (સામાન્ય ખૂણો)
$AF = AE$ (કારણ કે $F$ અને $E$ એ સમાન બાજુઓ $AC$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,તેથી $AF = \frac{1}{2} AC$ અને $AE = \frac{1}{2} AB$. $AB = AC$ હોવાથી,$AF = AE$ થાય.)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABF \cong \Delta ACE$ થાય.
એકરૂપ ત્રિકોણોના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે.
આમ,$BF = CE$ ($CPCT$ દ્વારા).

(N/A) $\Delta ABD$ અને $\Delta ACE$ માં:
$AB = AC$ (આપેલ છે) ........... $(1)$
$\angle B = \angle C$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ) ........... $(2)$
વળી,$BE = CD$
બંને બાજુથી $DE$ બાદ કરતાં:
$BE - DE = CD - DE$
$BD = CE$ ........... $(3)$
તેથી,$\Delta ABD \cong \Delta ACE$ ($(1)$,$(2)$,$(3)$ અને $SAS$ એકરૂપતાની શરતનો ઉપયોગ કરતાં).
આથી $AD = AE$ ($CPCT$ - એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો).

(N/A) આપેલ છે: $AD$ એ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે,જેનો અર્થ છે કે $BD = CD$ અને $\angle ADB = \angle ADC = 90^o$.
$\Delta ABD$ અને $\Delta ACD$ માં:
$AD = AD$ (સામાન્ય બાજુ)
$\angle ADB = \angle ADC = 90^o$ (આપેલ છે)
$BD = CD$ (કારણ કે $AD$ એ $BC$ નો દ્વિભાજક છે)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta ABD \cong \Delta ACD$ થાય.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ભાગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$AB = AC$.
$\Delta ABC$ ની બે બાજુઓ સમાન હોવાથી,તે એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ એ એક સમদ্বિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $AB = AC$ છે.
વેધ $BE \perp AC$ અને $CF \perp AB$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $BE = CF$.
સાબિતી:
$\Delta ABE$ અને $\Delta ACF$ માં:
$1$. $\angle A = \angle A$ (સામાન્ય ખૂણો)
$2$. $AB = AC$ (આપેલ છે)
$3$. $\angle AEB = \angle AFC = 90^\circ$ (કારણ કે $BE$ અને $CF$ વેધ છે)
તેથી,$AAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABE \cong \Delta ACF$ થાય.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$BE = CF$.

(N/A) આપેલ છે: $PA = PB$ અને $QA = QB$. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $PQ \perp AB$ અને $PQ$ એ $AB$ ને દુભાગે છે. ધારો કે $PQ$ એ $AB$ ને $C$ માં છેદે છે.
$\Delta PAQ$ અને $\Delta PBQ$ ને ધ્યાનમાં લો:
$AP = BP$ (આપેલ છે)
$AQ = BQ$ (આપેલ છે)
$PQ = PQ$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta PAQ \cong \Delta PBQ$.
આનો અર્થ એ છે કે $CPCT$ મુજબ $\angle APQ = \angle BPQ$.
હવે,$\Delta PAC$ અને $\Delta PBC$ ને ધ્યાનમાં લો:
$AP = BP$ (આપેલ છે)
$\angle APC = \angle BPC$ (કારણ કે $\angle APQ = \angle BPQ$)
$PC = PC$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta PAC \cong \Delta PBC$.
આનો અર્થ એ છે કે $CPCT$ મુજબ $AC = BC$ અને $\angle ACP = \angle BCP$.
કારણ કે $\angle ACP + \angle BCP = 180^o$ (રૈખિક જોડના ખૂણા),
$2 \angle ACP = 180^o \implies \angle ACP = 90^o$.
$AC = BC$ અને $\angle ACP = 90^o$ હોવાથી,$PQ$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે.

(N/A) આપેલ છે: રેખાઓ $l$ અને $m$ બિંદુ $A$ માં છેદે છે. $P$ એવું બિંદુ છે કે જેથી $PB \perp l$ અને $PC \perp m$ થાય,જ્યાં $PB = PC$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: રેખા $AP$ એ રેખાઓ $l$ અને $m$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,એટલે કે $\angle PAB = \angle PAC$.
સાબિતી: $\Delta PAB$ અને $\Delta PAC$ નો વિચાર કરો.
આ બે ત્રિકોણોમાં:
$1$. $PB = PC$ (આપેલ છે,કારણ કે $P$ રેખાઓથી સમાન અંતરે છે)
$2$. $\angle PBA = \angle PCA = 90^o$ (આપેલ છે,કારણ કે $PB \perp l$ અને $PC \perp m$)
$3$. $PA = PA$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PAB \cong \Delta PAC$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$\angle PAB = \angle PAC$.
આ દર્શાવે છે કે રેખા $AP$ એ રેખાઓ $l$ અને $m$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે.

(N/A) $(i)$ $\Delta ABD$ અને $\Delta ACD$ માં,આપણી પાસે છે:
$AB = AC$ [આપેલ છે]
$\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$ [કારણ કે $AD$ વેધ છે]
$AD = AD$ [સામાન્ય બાજુ]
તેથી,$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABD \cong \Delta ACD$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
તેથી,$BD = CD$,જેનો અર્થ છે કે $AD$ એ $BC$ ને દુભાગે છે.
$(ii)$ $\Delta ABD \cong \Delta ACD$ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે $(CPCT)$.
તેથી,$\angle BAD = \angle CAD$,જેનો અર્થ છે કે $AD$ એ $\angle A$ ને દુભાગે છે.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$AM$ એ મધ્યગા છે [આપેલ છે].
$\therefore BM = \frac{1}{2} BC$ ........... $(1)$
$\Delta PQR$ માં,$PN$ એ મધ્યગા છે.
$\therefore QN = \frac{1}{2} QR$ ........... $(2)$
$\because BC = QR$ [આપેલ છે]
$\therefore \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} QR$
$\Rightarrow BM = QN$ [$(1)$ અને $(2)$ પરથી]
$(i)$ $\Delta ABM$ અને $\Delta PQN$ માં,આપણી પાસે છે:
$AB = PQ$ [આપેલ છે]
$AM = PN$ [આપેલ છે]
$BM = QN$ [ઉપર સાબિત કર્યું]
$\therefore \Delta ABM \cong \Delta PQN$ [$SSS$ એકરૂપતાની શરત]
$(ii)$ $\because \Delta ABM \cong \Delta PQN$
$\therefore$ તેમના અનુરૂપ ભાગો એકરૂપ છે $(CPCT)$.
$\Rightarrow \angle B = \angle Q$
હવે,$\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,આપણી પાસે છે:
$AB = PQ$ [આપેલ છે]
$\angle B = \angle Q$ [ઉપર સાબિત કર્યું]
$BC = QR$ [આપેલ છે]
$\therefore \Delta ABC \cong \Delta PQR$ [$SAS$ એકરૂપતાની શરત]

(N/A) આપેલ છે: $BE \perp AC$ અને $CF \perp AB$ જ્યાં $BE = CF$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\Delta ABC$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે,એટલે કે $AB = AC$.
સાબિતી:
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta BEC$ અને $\Delta CFB$ માં:
$1$. $\angle BEC = \angle CFB = 90^\circ$ (વેધ બાજુઓને લંબ હોય છે).
$2$. $BC = CB$ (સામાન્ય કર્ણ).
$3$. $BE = CF$ (આપેલ છે).
તેથી,$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta BEC \cong \Delta CFB$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$:
$\angle BCE = \angle CBF$
આનો અર્થ એ છે કે $\angle BCA = \angle CBA$.
$\Delta ABC$ માં,સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$AB = AC$.
આમ,$\Delta ABC$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABC$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $AB = AC$ છે. $AP \perp BC$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle B = \angle C$.
સાબિતી:
$\Delta ABP$ અને $\Delta ACP$ માં:
$1$. $\angle APB = \angle APC = 90^\circ$ (કારણ કે $AP \perp BC$)
$2$. $AB = AC$ (આપેલ છે)
$3$. $AP = AP$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABP \cong \Delta ACP$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ભાગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$\angle B = \angle C$.

(A) આપેલ છે કે $\triangle ABC \cong \triangle PQR$. એકરૂપ ત્રિકોણોમાં સંગતતાના નિયમ મુજબ,અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે:
$AB = PQ$,$BC = QR$,અને $AC = PR$.
તેમજ,ખૂણાઓ સમાન હોય છે: $\angle A = \angle P$,$\angle B = \angle Q$,અને $\angle C = \angle R$.
આપણને આપેલ છે કે $\triangle ABC$ એ $\triangle RPQ$ ને એકરૂપ નથી. આનો અર્થ એ છે કે સંગતતા $A \leftrightarrow R$,$B \leftrightarrow P$,અને $C \leftrightarrow Q$ સાચી નથી.
ચાલો $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ ના આધારે વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $A$: $BC = PQ$. સંગતતા મુજબ,$BC = QR$ થાય. તેથી,$BC = PQ$ સામાન્ય રીતે સત્ય નથી.
વિકલ્પ $B$: $AC = PR$. સંગતતા મુજબ આ સત્ય છે.
વિકલ્પ $C$: $QR = BC$. સંગતતા મુજબ આ સત્ય છે.
વિકલ્પ $D$: $AB = PQ$. સંગતતા મુજબ આ સત્ય છે.
તેથી,જે વિધાન સત્ય નથી તે $BC = PQ$ છે.

(B) ત્રિકોણની એકરૂપતા માટેના માપદંડો $SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ),$ASA$ (ખૂણો-બાજુ-ખૂણો),$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ),$AAS$ (ખૂણો-ખૂણો-બાજુ) અને $RHS$ (કાટખૂણો-કર્ણ-બાજુ) છે.
$SSA$ (બાજુ-બાજુ-ખૂણો) એ ત્રિકોણની એકરૂપતા માટેનો માન્ય માપદંડ નથી,કારણ કે તે ત્રિકોણને અનન્ય રીતે નક્કી કરતું નથી.

(C) આપેલ છે કે બાજુઓ સમાન છે: $AB = QR$,$BC = PR$ અને $CA = PQ$.
એકરૂપતા નક્કી કરવા માટે,આપણે સમાન બાજુઓના આધારે શિરોબિંદુઓને જોડીએ:
$1$. $AB = QR$ હોવાથી,શિરોબિંદુ $A$ એ $Q$ ને સંગત છે અને $B$ એ $R$ ને સંગત છે.
$2$. $BC = PR$ હોવાથી,શિરોબિંદુ $B$ એ $P$ ને સંગત છે અને $C$ એ $R$ ને સંગત છે.
$3$. $CA = PQ$ હોવાથી,શિરોબિંદુ $C$ એ $P$ ને સંગત છે અને $A$ એ $Q$ ને સંગત છે.
આમ,શિરોબિંદુઓની સંગતતા $A \leftrightarrow Q, B \leftrightarrow R, C \leftrightarrow P$ છે.
તેથી,$\triangle CBA \cong \triangle PRQ$ સાચું છે કારણ કે $CB=PR, BA=RQ, AC=QP$ થાય છે.

(D) $SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની પૂર્વધારણા મુજબ,જો એક ત્રિકોણની બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો બીજા ત્રિકોણની અનુરૂપ બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાને સમાન હોય,તો તે બે ત્રિકોણો એકરૂપ થાય છે.
આપેલ છે: $AB = FD$ અને $\angle A = \angle D$.
ત્રિકોણો $SAS$ દ્વારા એકરૂપ થાય તે માટે,$\angle A$ બનાવતી બાજુઓ ($AB$ અને $AC$) એ $\angle D$ બનાવતી બાજુઓ ($FD$ અને $DE$) ને સમાન હોવી જોઈએ.
અહીં $AB = FD$ આપેલ હોવાથી,$SAS$ શરત સંતોષવા માટે $AC = DE$ હોવું જરૂરી છે.

(A) $SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરતનો ઉપયોગ કરીને $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ સાબિત કરવા માટે,ખૂણો આપેલી બે બાજુઓની વચ્ચેનો હોવો જોઈએ.
$\triangle ABC$ માટે,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ છે,તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\angle A$ છે.
$\triangle DEF$ માટે,બાજુઓ $DE$ અને $EF$ છે,તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\angle E$ છે.
તેથી,જો $\angle A = \angle E$ હોય,તો $SAS$ એકરૂપતાના નિયમ મુજબ,$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ થાય.

(NO) આ બે ત્રિકોણો એકરૂપ હોય તે જરૂરી નથી. બે ત્રિકોણો $ASA$ (ખૂણો-બાજુ-ખૂણો) શરત મુજબ એકરૂપ થવા માટે,બાજુ બંને ખૂણાઓની વચ્ચેની હોવી જોઈએ. $\triangle ABC$ માં,$\angle A$ અને $\angle B$ ની વચ્ચેની બાજુ $AB$ છે. $\triangle DEF$ માં,$\angle D$ અને $\angle E$ ની વચ્ચેની બાજુ $DE$ છે. આપેલી શરત $AB = EF$ છે,$AB = DE$ નથી,તેથી ત્રિકોણો $ASA$ એકરૂપતાની શરતનું પાલન કરતા નથી. તેથી,તેઓ એકરૂપ હોય તે જરૂરી નથી.

(N/A) ત્રિકોણ $ABC$ અને $PQR$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle A = \angle Q$ (આપેલ છે)
$\angle B = \angle R$ (આપેલ છે)
બંને ત્રિકોણ $ASA$ (ખૂણો-બાજુ-ખૂણો) એકરૂપતાની શરત મુજબ એકરૂપ થાય તે માટે,બે ખૂણાઓની વચ્ચેની બાજુ સમાન હોવી જોઈએ.
$\triangle ABC$ માં,$\angle A$ અને $\angle B$ ની વચ્ચેની બાજુ $AB$ છે.
$\triangle PQR$ માં,$\angle Q$ અને $\angle R$ ની વચ્ચેની બાજુ $QR$ છે.
તેથી,ત્રિકોણ એકરૂપ થાય તે માટે,બાજુ $AB$ એ બાજુ $QR$ ને સમાન હોવી જોઈએ $(AB = QR)$.

(N/A) ત્રિકોણ $ABC$ અને $PQR$ માં,આપણને આપેલ છે:
$\angle A = \angle Q$ અને $\angle B = \angle R$.
બંને ત્રિકોણો $AAS$ (ખૂણો-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ એકરૂપ થાય તે માટે,$\triangle ABC$ ની બાજુ $BC$ ને અનુરૂપ $\triangle PQR$ ની બાજુ $RP$ ને સમાન હોવી જોઈએ.
તેથી,$BC = RP$.
આનાથી ખાતરી થાય છે કે બંને ત્રિકોણો $AAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ એકરૂપ છે.

(B) આ વિધાન અસત્ય છે. બે ત્રિકોણો $SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાના નિયમ દ્વારા એકરૂપ થાય તે માટે,ખૂણો એ બે બાજુઓની વચ્ચેનો અંતર્ગત ખૂણો હોવો જોઈએ. જો ખૂણો અંતર્ગત ખૂણો ન હોય,તો ત્રિકોણો એકરૂપ હોય તે જરૂરી નથી.

(A) આ વિધાન સાચું છે,જો તે બાજુ બે ખૂણાઓની વચ્ચેની અંતર્ગત બાજુ હોય ($ASA$ એકરૂપતાની શરત) અથવા તે બાજુ બંને ત્રિકોણોમાં સમાન સાપેક્ષ સ્થાન ધરાવતી અનુરૂપ બાજુ હોય ($AAS$ એકરૂપતાની શરત).
જો એક ત્રિકોણના બે ખૂણા અને કોઈપણ એક બાજુ બીજા ત્રિકોણના અનુરૂપ બે ખૂણા અને અનુરૂપ બાજુને સમાન હોય,તો તે ત્રિકોણો $AAS$ (ખૂણો-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ એકરૂપ થાય છે.
તેથી,ત્રિકોણો એકરૂપ થાય તે માટે અનુરૂપતાની શરત આવશ્યક છે.

(N/A) $\triangle PQS$ અને $\triangle PRT$ માં:
$1$. $PQ = PR$ (આપેલ છે)
$2$. $\angle Q = \angle R$ (આપેલ છે)
$3$. $\angle QPS = \angle RPT$ (સામાન્ય ખૂણો $\angle P$)
તેથી,$ASA$ (ખૂબાખૂ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle PQS \cong \triangle PRT$ થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $BC \parallel AD$ અને $BC = DA$.
$\triangle BOC$ અને $\triangle AOD$ ને ધ્યાનમાં લો:
$1$. $\angle CBO = \angle DAO$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $BC \parallel AD$)
$2$. $\angle BCO = \angle ADO$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $BC \parallel AD$)
$3$. $BC = DA$ (આપેલ છે)
$ASA$ (ખૂબાખૂ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle BOC \cong \triangle AOD$ થાય.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$:
$OB = OA$ અને $OC = OD$.
તેથી,$O$ એ રેખાખંડ $AB$ અને $CD$ બંનેનું મધ્યબિંદુ છે.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABC$ જેમાં $AB = AC$ છે.
$D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $E$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $BD = CE$.
સાબિતી: $\triangle ABD$ અને $\triangle ACE$ માં:
$1$. $AB = AC$ (આપેલ છે)
$2$. $\angle BAD = \angle CAE$ (સામાન્ય ખૂણો)
$3$. $AD = AE$ (કારણ કે $AB = AC$,તેથી તેમના અડધા ભાગ સમાન થાય,એટલે કે $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AC$)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABD \cong \triangle ACE$.
તેથી,$CPCT$ (એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો) મુજબ $BD = CE$ થાય.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABC$ જેમાં $BD = CE$ અને $AD = AE$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\triangle ABD \cong \triangle ACE$.
સાબિતી: $\triangle ADE$ માં,
$AD = AE$ [આપેલ છે]
$\Rightarrow \angle ADE = \angle AED$ [ત્રિકોણની સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે]
હવે,$\angle ADB + \angle ADE = 180^{\circ}$ [રેખિક જોડના ખૂણા]
$\angle AEC + \angle AED = 180^{\circ}$ [રેખિક જોડના ખૂણા]
આ સમીકરણો પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle ADB + \angle ADE = \angle AEC + \angle AED$
કારણ કે $\angle ADE = \angle AED$,તેથી $\angle ADB = \angle AEC$ થાય.
હવે,$\triangle ABD$ અને $\triangle ACE$ માં:
$AD = AE$ [આપેલ છે]
$\angle ADB = \angle AEC$ [ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ]
$BD = CE$ [આપેલ છે]
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,
$\triangle ABD \cong \triangle ACE$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: ચોરસ $ABCD$ ની બાજુ $CD$ પર એક સમબાજુ ત્રિકોણ $CDE$ રચાયેલ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\triangle ADE \cong \triangle BCE$.
સાબિતી: ચોરસ $ABCD$ માં,આપણી પાસે છે:
$AD = BC$ (ચોરસની બાજુઓ સમાન હોય છે) ... $(1)$
$\angle ADC = \angle BCD = 90^{\circ}$ (ચોરસના ખૂણા) ... $(2)$
સમબાજુ ત્રિકોણ $CDE$ માં,આપણી પાસે છે:
$DE = CE$ (સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુઓ સમાન હોય છે) ... $(3)$
$\angle CDE = \angle DCE = 60^{\circ}$ (સમબાજુ ત્રિકોણના ખૂણા) ... $(4)$
$(2)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$\angle ADC + \angle CDE = \angle BCD + \angle DCE$
$\angle ADE = \angle BCE$ ... $(5)$
હવે,$\triangle ADE$ અને $\triangle BCE$ માં:
$AD = BC$ ($(1)$ પરથી)
$\angle ADE = \angle BCE$ ($(5)$ પરથી)
$DE = CE$ ($(3)$ પરથી)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ADE \cong \triangle BCE$.

(N/A) આપેલ છે: $BA \perp AC$,$DE \perp DF$,$BA = DE$,અને $BF = EC$.
પગલું $1$: કર્ણની સમાનતા સ્થાપિત કરો.
આપણને $BF = EC$ આપેલ છે.
બંને બાજુ $FC$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$BF + FC = EC + FC$
$BC = EF$
પગલું $2$: બે ત્રિકોણની તુલના કરો.
$\triangle ABC$ અને $\triangle DEF$ માં:
$1$. $\angle A = \angle D = 90^{\circ}$ (આપેલ છે કે $BA \perp AC$ અને $DE \perp DF$)
$2$. $BA = DE$ (આપેલ છે)
$3$. $BC = EF$ (કર્ણ,ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ)
પગલું $3$: નિષ્કર્ષ.
$RHS$ (કાટખૂણો-કર્ણ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

(N/A) $\triangle AMC$ અને $\triangle BMD$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle MAC = \angle MBD$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $l \parallel m$)
$\angle AMC = \angle BMD$ (અભિકોણ)
$AM = BM$ (આપેલ છે,કારણ કે $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે)
તેથી,$\triangle AMC \cong \triangle BMD$ ($ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ)
આમ,$CM = DM$ ($CPCT$ મુજબ)
આમ,$M$ એ $CD$ નું પણ મધ્યબિંદુ છે.

(N/A) આપણી પાસે કાટકોણ $\Delta ABC$ છે જેમાં $BCED$,$ACFG$ અને $ABMN$ એ તેની બાજુઓ $BC$,$CA$ અને $AB$ પરના ચોરસ છે. રેખાખંડ $AX \perp DE$ એવી રીતે દોરવામાં આવ્યો છે કે તે $BC$ ને $Y$ માં મળે છે.
સાબિત કરવા માટે કે $\Delta MBC \cong \Delta ABD$:
$\Delta ABD$ અને $\Delta MBC$ માં,આપણી પાસે છે:
$AB = MB$ (ચોરસ $ABMN$ ની બાજુઓ)
$BD = BC$ (ચોરસ $BCED$ ની બાજુઓ)
$\angle MBA = 90^\circ$ અને $\angle CBD = 90^\circ$ (ચોરસના ખૂણા)
તેથી,$\angle MBA = \angle CBD = 90^\circ$.
બંને બાજુ $\angle ABC$ ઉમેરતા:
$\angle MBA + \angle ABC = \angle CBD + \angle ABC$
$\angle MBC = \angle ABD$
આમ,$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ:
$\Delta MBC \cong \Delta ABD$.

(N/A) સાબિત કરવાનું છે: $\Delta FCB \cong \Delta ACE$
$\Delta FCB$ અને $\Delta ACE$ માં:
$1$. $FC = AC$ (એક જ ચોરસ $ACFG$ ની બાજુઓ)
$2$. $CB = CE$ (એક જ ચોરસ $BCED$ ની બાજુઓ)
$3$. $\angle FCA = \angle BCE = 90^\circ$ (ચોરસના ખૂણાઓ)
બંને બાજુ $\angle ACB$ ઉમેરતા:
$\angle FCA + \angle ACB = \angle BCE + \angle ACB$
$\angle FCB = \angle ACE$
તેથી,$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ:
$\Delta FCB \cong \Delta ACE$

(N/A) આ $ASA$ (ખૂબાખૂ - ખૂણો-બાજુ-ખૂણો) એકરૂપતાની શરત છે.
ધારો કે બે ત્રિકોણો $\triangle ABC$ અને $\triangle DEF$ છે જેમાં $\angle B = \angle E$,$\angle C = \angle F$ અને $BC = EF$ છે.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.
કિસ્સો $1$: જો $AB = DE$ હોય,તો $SAS$ (બાખૂબા) એકરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ થાય.
કિસ્સો $2$: જો $AB < DE$ હોય,તો $DE$ પર એક બિંદુ $P$ એવું લો કે જેથી $DP = AB$ થાય. $PF$ ને જોડો. $\triangle ABC$ અને $\triangle DPF$ માં,$AB = DP$,$\angle B = \angle E$ અને $BC = EF$ છે. તેથી,$SAS$ મુજબ $\triangle ABC \cong \triangle DPF$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે $\angle ACB = \angle DPF$. પરંતુ આપણને આપેલ છે કે $\angle ACB = \angle DFE$. તેથી,$\angle DPF = \angle DFE$,જે ત્યારે જ શક્ય છે જો $P$ એ $E$ પર સંપાતી હોય. આમ,$AB = DE$ અને $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.
કિસ્સો $3$: જો $AB > DE$ હોય,તો સમાન તર્ક દ્વારા સાબિત કરી શકાય કે $AB = DE$ અને ત્રિકોણો એકરૂપ છે.

(N/A) વિદ્યાર્થીના તર્કમાં ખામી એ છે કે તેમણે $AAS$ (ખૂણો-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરતનો ઉપયોગ કર્યો છે,પરંતુ $\triangle ABD$ માં બાજુ $AD$ એ ખૂણા $\angle B$ અને $\angle ADB$ ની વચ્ચે આવતી નથી.
સાચી સાબિતી:
$\triangle ABD$ અને $\triangle ACD$ માં:
$AB = AC$ (આપેલ છે)
$AD = AD$ (સામાન્ય બાજુ)
$\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$ ($AD \perp BC$ આપેલ છે)
તેથી,$RHS$ (કાટખૂણો-કર્ણ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ:
$\triangle ABD \cong \triangle ACD$
આમ,$\angle BAD = \angle CAD$ $(CPCT)$.

(N/A) $\triangle ABD$ અને $\triangle CBD$ માં,આપણી પાસે છે:
$AB = CB$ [આપેલ છે]
$AD = CD$ [આપેલ છે]
$BD = BD$ [સામાન્ય બાજુ]
તેથી,$\triangle ABD \cong \triangle CBD$ [$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]
$\Rightarrow \angle ABD = \angle CBD$ [$CPCT$]
અને $\angle ADB = \angle CDB$ [$CPCT$]
આમ,$BD$ એ ખૂણા $ABC$ અને $ADC$ બંનેને દુભાગે છે.

(N/A) $\triangle ADC$ અને $\triangle BEC$ માં આપણી પાસે છે:
$AC = BC$ [આપેલ છે] ... $(1)$
$\angle ADC = \angle BEC = 90^{\circ}$ [વેધ હોવાથી]
$\angle ACD = \angle BCE$ [સામાન્ય ખૂણો]
તેથી,$\triangle ADC \cong \triangle BEC$ [$AAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]
તેથી,$CD = CE$ ... $(2)$ [$CPCT$]
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$AC - CE = BC - CD$
$AE = BD$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: રેખાઓ $l$ અને $m$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે. $P$ એ $O$ માંથી પસાર થતી રેખા $n$ પરનું બિંદુ છે,જેથી $PQ \perp l$ અને $PR \perp m$,જ્યાં $PQ = PR$.
સાબિત કરવાનું છે: $n$ એ $\angle QOR$ નો દ્વિભાજક છે.
સાબિતી: $\triangle OQP$ અને $\triangle ORP$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle OQP = \angle ORP = 90^{\circ}$ (આપેલ છે કે $P$ એ $l$ અને $m$ થી સમાન અંતરે છે)
$OP = OP$ (સામાન્ય બાજુ)
$PQ = PR$ (આપેલ છે)
$RHS$ (કાટખૂણો-કર્ણ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ:
$\triangle OQP \cong \triangle ORP$
તેથી,$\angle QOP = \angle ROP$ ($CPCT$ - એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ ભાગો દ્વારા).
આમ,$n$ એ $\angle QOR$ નો દ્વિભાજક છે. આમ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $\angle 1 = \angle 2$ અને $\angle 3 = \angle 4$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AB = AD$ અને $CB = CD.$
સાબિતી: $\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle 1 = \angle 2$ [આપેલ છે]
$AC = AC$ [સામાન્ય બાજુ]
$\angle 3 = \angle 4$ [આપેલ છે]
તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,આપણી પાસે છે:
$\triangle ABC \cong \triangle ADC$
તેથી,$AB = AD$ [$CPCT$ દ્વારા]
અને $CB = CD$ [$CPCT$ દ્વારા]
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $AB = AD$ અને $CB = CD$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AC$ એ $BD$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
સાબિતી: $\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ માં,
$AB = AD$ (આપેલ છે)
$BC = CD$ (આપેલ છે)
$AC = AC$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,
$\triangle ABC \cong \triangle ADC$
તેથી,$\angle 1 = \angle 2$ ($CPCT$ દ્વારા)
હવે,$\triangle AOB$ અને $\triangle AOD$ માં,
$AB = AD$ (આપેલ છે)
$\angle 1 = \angle 2$ (ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ)
$AO = AO$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,
$\triangle AOB \cong \triangle AOD$
તેથી,$BO = DO$ ($CPCT$ દ્વારા)
અને $\angle 3 = \angle 4$ ($CPCT$ દ્વારા)
પરંતુ,$\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા)
કારણ કે $\angle 3 = \angle 4$,તેથી:
$\angle 3 + \angle 3 = 180^{\circ}$
$2\angle 3 = 180^{\circ}$
$\angle 3 = 90^{\circ}$
આમ,$BO = DO$ અને $\angle 3 = 90^{\circ}$ હોવાથી,$AC$ એ $BD$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
આમ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $\angle PXR = \angle SXQ$
બંને બાજુથી $\angle QXR$ બાદ કરતાં:
$\angle PXR - \angle QXR = \angle SXQ - \angle QXR$
$\therefore \angle PXQ = \angle SXR \quad \dots(1)$
હવે,$\Delta XPQ$ અને $\Delta XSR$ માં:
$XP = XS$ (આપેલ છે)
$XQ = XR$ (આપેલ છે)
$\angle PXQ = \angle SXR$ [$(1)$ પરથી]
$\therefore \Delta XPQ \cong \Delta XSR$ ($SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ)
$\therefore PQ = SR$ ($CPCT$ મુજબ)

(N/A) લંબચોરસ $ABCD$ માં,
$AB = DC$ (લંબચોરસની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે)
અને $\angle B = \angle C = 90^{\circ}$ (લંબચોરસનો દરેક ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે).
વળી,$E$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BE = CE$.
હવે,$\Delta ABE$ અને $\Delta DCE$ ને ધ્યાનમાં લો:
$AB = DC$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
$\angle B = \angle C = 90^{\circ}$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
$BE = CE$ (આપેલ છે કે $E$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABE \cong \Delta DCE$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે.
તેથી,$AE = DE$ ($CPCT$ - એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો દ્વારા).

(N/A) આપેલ છે:
$1$. $PN \perp PQ$ અને $QM \perp PQ$.
$2$. $X$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $PX = QX$.
$3$. $X$ એ $MN$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $NX = MX$.
સાબિત કરવાનું છે: $\triangle PNX \cong \triangle QMX$.
સાબિતી:
$\triangle PNX$ અને $\triangle QMX$ માં:
$1$. $PX = QX$ (આપેલ છે,$X$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે).
$2$. $NX = MX$ (આપેલ છે,$X$ એ $MN$ નું મધ્યબિંદુ છે).
$3$. $\angle PNX = \angle QMX$ (કારણ કે $PN \parallel QM$ કારણ કે બંને $PQ$ ને લંબ છે,અને $MN$ એ છેદિકા છે,તેથી આ યુગ્મકોણ છે).
વૈકલ્પિક રીતે,$SAS$ એકરૂપતાની શરતનો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $PX = QX$ (આપેલ છે).
$2$. $\angle P = \angle Q = 90^\circ$ (આપેલ છે).
$3$. $NX = MX$ (આપેલ છે).
તેથી,$RHS$ એકરૂપતાની શરત (અથવા $SAS$) દ્વારા,$\triangle PNX \cong \triangle QMX$.

(N/A) $\triangle APM$ અને $\triangle BPN$ ને ધ્યાનમાં લો.
$1$. $\angle MAP = \angle NBP = 90^{\circ}$ (આપેલ છે કે $AM \perp AB$ અને $BN \perp AB$).
$2$. $AP = BP$ ($P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,આપેલ છે).
$3$. $\angle APM = \angle BPN$ (અભિકોણો).
તેથી,$ASA$ (ખૂબાખૂ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle APM \cong \triangle BPN$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$:
- $AM = BN$ (જે સાબિત થાય છે).
- $PM = PN$ (કારણ કે $PM$ અને $PN$ અનુરૂપ બાજુઓ છે).
$PM = PN$ હોવાથી,$P$ એ $MN$ નું મધ્યબિંદુ છે (જે સાબિત થાય છે).

(N/A) આપેલ છે: $PQ = ST$,$QU = TR$,$\angle PQT = 90^\circ$ અને $\angle STQ = 90^\circ$.
સાબિત કરવાનું છે: $PR = SU$.
સાબિતી:
$\triangle PQR$ અને $\triangle STU$ લો.
$1$. $PQ = ST$ (આપેલ છે)
$2$. $\angle PQR = \angle STU = 90^\circ$ (આપેલ છે)
$3$. $QR = QU + UR$ અને $TU = TR + UR$.
કારણ કે $QU = TR$,તેથી $QR = TR + UR = TU$.
આમ,$QR = TU$.
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle PQR \cong \triangle STU$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
તેથી,$PR = SU$.

(N/A) ધારો કે $PQ$ એક રેખાખંડ છે અને $L$ તેનો લંબદ્વિભાજક છે. ધારો કે $M$ એ $L$ પરનું એક બિંદુ છે જે $PQ$ પર નથી. ધારો કે $L$ એ $PQ$ ને બિંદુ $O$ માં છેદે છે. $L$ એ $PQ$ નો લંબદ્વિભાજક હોવાથી,$PO = OQ$ અને $\angle MOP = \angle MOQ = 90^{\circ}$ થાય. હવે $\triangle MOP$ અને $\triangle MOQ$ ને ધ્યાનમાં લો. આ ત્રિકોણોમાં: $1$. $PO = OQ$ (આપેલ છે). $2$. $\angle MOP = \angle MOQ = 90^{\circ}$ (આપેલ છે). $3$. $MO = MO$ (સામાન્ય બાજુ). $SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle MOP \cong \triangle MOQ$ થાય. ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$. તેથી,$MP = MQ$ થાય. આમ,બિંદુ $M$ એ $P$ અને $Q$ થી સમાન અંતરે છે.

(N/A) $\triangle ABC$ માં,$AB = AC$ (આપેલ છે).
$\therefore \angle ABC = \angle ACB$ ($\because$ સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે).
જેহেতু $P$ એ $BC$ પર છે અને $Q$ એ $BC$ પર છે,તેથી $\angle ABP = \angle ACQ$ થાય.
હવે,$\triangle ABP$ અને $\triangle ACQ$ માં:
$AB = AC$ (આપેલ છે)
$BP = CQ$ (આપેલ છે)
$\angle ABP = \angle ACQ$ (ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABP \cong \triangle ACQ$.
$\therefore AP = AQ$ ($CPCT$ દ્વારા).
હવે,$\triangle APQ$ માં,$AP = AQ$ હોવાથી,$\Delta APQ$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $AB$ અને $CD$ એકબીજાને $P$ બિંદુએ દુભાગે છે. આનો અર્થ એ છે કે $PA = PB$ અને $PC = PD$.
જોકે,પ્રશ્નમાં $PA = PD$ અને $PB = PC$ આપેલ છે.
$\triangle APC$ અને $\triangle BPD$ ને ધ્યાનમાં લો:
$1$. $PA = PD$ (આપેલ છે)
$2$. $\angle APC = \angle BPD$ (અભિકોણો)
$3$. $PC = PB$ (આપેલ છે)
$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle APC \cong \triangle BPD$.
એકરૂપ ત્રિકોણોના અનુરૂપ અંગો સમાન હોવાથી $(CPCT)$,
તેથી,$AC = BD$.

(N/A) $\Delta SPQ$ અને $\Delta RQP$ માં:
$PS = QR$ (આપેલ છે)
$QS = PR$ (આપેલ છે)
$PQ = QP$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta SPQ \cong \Delta RQP$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ભાગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$(1) \angle PSQ = \angle QRP$ અને $(2) \angle SPQ = \angle RQP$.

(N/A) આપેલ છે: $AB \perp BQ$,$PQ \perp QB$,$AC = PR$ અને $BR = QC$.
$AB \perp BQ$ હોવાથી,$\angle ABQ = 90^{\circ}$. તેથી,$\angle ABC = 90^{\circ}$.
$PQ \perp QB$ હોવાથી,$\angle PQB = 90^{\circ}$. તેથી,$\angle PQR = 90^{\circ}$.
આપેલ છે કે $BR = QC$.
બંને બાજુ $RC$ ઉમેરતા,આપણને $BR + RC = QC + RC$ મળે છે.
તેથી,$BC = QR$......$(1)$
$\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં:
$AC = PR$ (આપેલ છે)
$\angle ABC = \angle PQR = 90^{\circ}$ (ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ)
$BC = QR$ [$(1)$ પરથી]
$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \cong \Delta PQR$.
તેથી,$\angle BAC = \angle QPR$ ($CPCT$ દ્વારા).