Mix Examples - Triangles Questions in Hindi

(C) दिए गए कोणों का योग $= 53^{\circ} + 64^{\circ} + 63^{\circ} = 180^{\circ}$ है।
चूंकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए इन कोणों से त्रिभुज बनाना संभव है।
हालाँकि,त्रिभुज का आकार निश्चित नहीं है क्योंकि भुजाओं की लंबाई नहीं दी गई है।
भुजाओं की लंबाई बदलकर हम अलग-अलग आकार के त्रिभुज बना सकते हैं।
इसलिए,इन कोणों वाले अनंत त्रिभुज खींचे जा सकते हैं।

(C) दिया है: $\triangle ABC$ में,$AB = AC$ है। इसलिए,$\angle B = \angle C$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
दिया है: $\angle C = \angle P$ और $\angle B = \angle Q$ है।
चूंकि $\angle B = \angle C$ है,इसलिए $\angle Q = \angle P$ होगा।
$\triangle PQR$ में,चूंकि $\angle Q = \angle P$ है,इसलिए इन कोणों के सम्मुख भुजाएं बराबर होनी चाहिए,अतः $PR = QR$ होगा। इस प्रकार,$\triangle PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हालाँकि,हमारे पास यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त जानकारी (जैसे कि भुजा की लंबाई या किसी विशिष्ट कोण का माप) नहीं है कि $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ है। उदाहरण के लिए,कोणों के समान संबंधों को बनाए रखते हुए भी त्रिभुजों के आकार अलग-अलग हो सकते हैं।
इसलिए,दोनों त्रिभुज समद्विबाहु हैं,लेकिन वे सर्वांगसम हों यह आवश्यक नहीं है।

(N/A) $\triangle ABD$ में,हमारे पास है:
$AB + BD > AD$ $\ldots(1)$
[चूंकि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए]
$\triangle ADC$ में,हमारे पास है:
$AC + CD > AD$ $\ldots(2)$
[चूंकि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए]
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB + BD + CD + AC > 2AD$
चूंकि $AD$,$\triangle ABC$ की माध्यिका है,इसलिए $BD = CD$। अतः,$BD + CD = BC$।
इस असमिका में मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB + BC + CA > 2AD$
हाँ,यह कथन सत्य है।

(N/A) मान लीजिए $AB$,$LM$ को $O$ पर प्रतिच्छेद करता है। हमें सिद्ध करना है कि $AO = BO$ है।
अब,$\angle i = \angle r$ ... $(1)$
[$\because$ आपतन कोण = परावर्तन कोण]
$\angle B = \angle i$ [संगत कोण] ... $(2)$
और $\angle A = \angle r$ [एकांतर अंतः कोण] ... $(3)$
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है $\angle B = \angle A$।
$\triangle BOC$ और $\triangle AOC$ में:
$\angle 1 = \angle 2 = 90^{\circ}$ [दिया गया है]
$OC = OC$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$\angle B = \angle A$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
अतः,$\triangle BOC \cong \triangle AOC$ [$AAS$ सर्वांगसमता नियम]।
इसलिए,$AO = BO$ [$CPCT$]।

(N/A) दिया है: एक समकोण त्रिभुज $ABC$ जिसमें $AB = AC$ है और $\angle A$ का समद्विभाजक $BC$ को $D$ पर मिलता है।
सिद्ध करना है: $BC = 2 AD$.
उपपत्ति: $\triangle ABC$ में,चूंकि $AB = AC$ है और यह एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए $\angle BAC = 90^{\circ}$ है।
$\triangle CAD$ और $\triangle BAD$ में:
$AC = AB$ (दिया है)
$\angle CAD = \angle BAD$ (चूंकि $AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है)
$AD = AD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle CAD \cong \triangle BAD$ है।
इसलिए,$CD = BD$ ($CPCT$ द्वारा)।
समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में,$AD$ कर्ण पर माध्यिका भी है।
एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
अतः,$AD = \frac{1}{2} BC$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2 AD = BC$ प्राप्त होता है।
अतः,$BC = 2 AD$ सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है: एक वर्ग $ABCD$ और $\triangle OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $OA = OB = AB$.
सिद्ध करना है: $\triangle OCD$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
उपपत्ति: वर्ग $ABCD$ में,$\angle DAB = \angle CBA = 90^{\circ}$.
चूंकि $\triangle OAB$ समबाहु है,$\angle OAB = \angle OBA = 60^{\circ}$.
अब,$\angle DAO = \angle DAB - \angle OAB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
इसी प्रकार,$\angle CBO = \angle CBA - \angle OBA = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
$\triangle DAO$ और $\triangle CBO$ में:
$AD = BC$ (वर्ग की भुजाएँ)
$\angle DAO = \angle CBO = 30^{\circ}$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$OA = OB$ (समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle DAO \cong \triangle CBO$.
अतः,$OD = OC$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
चूंकि $OD = OC$,इसलिए $\triangle OCD$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ और $\triangle DBC$ एक ही आधार $BC$ पर स्थित हैं। साथ ही,$AB = AC$ और $BD = CD$ है।
सिद्ध करना है: $AD$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है,अर्थात $OB = OC$ और $\angle AOB = \angle AOC = 90^{\circ}$ है।
उपपत्ति: $\triangle ABD$ और $\triangle ACD$ में,हमारे पास है:
$AB = AC$ [दिया है]
$BD = CD$ [दिया है]
$AD = AD$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,सर्वांगसमता की $SSS$ कसौटी से,हमारे पास है:
$\triangle ABD \cong \triangle ACD$
इसलिए,$\angle 1 = \angle 2$ [$CPCT$]
अब,$\triangle ABO$ और $\triangle ACO$ में,हमारे पास है:
$AB = AC$ [दिया है]
$\angle 1 = \angle 2$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$AO = AO$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,सर्वांगसमता की $SAS$ कसौटी से,हमारे पास है:
$\triangle ABO \cong \triangle ACO$
इसलिए,$BO = CO$ [$CPCT$]
और,$\angle 3 = \angle 4$ [$CPCT$]
परंतु,$\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$ [रैखिक युग्म अभिगृहीत]
$\Rightarrow \angle 3 + \angle 3 = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 2\angle 3 = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle 3 = 90^{\circ}$
चूंकि $BO = CO$ और $\angle 3 = 90^{\circ}$ है,इसलिए $AD$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है। इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ में भुजा $BC$ पर माध्यिका $AD$ है।
सिद्ध करना है: $AB + AC > 2AD$.
रचना: $AD$ को $E$ तक इस प्रकार बढ़ाया कि $DE = AD$ और $EC$ को मिलाया।
उपपत्ति: $\triangle ADB$ और $\triangle EDC$ में:
$AD = ED$ (रचना से)
$\angle 1 = \angle 2$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$DB = DC$ ($AD$ माध्यिका है)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\triangle ADB \cong \triangle EDC$.
अतः,$AB = EC$ ($CPCT$ - सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग).
अब,$\triangle AEC$ में,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है:
$AC + CE > AE$
चूँकि $AE = AD + DE = AD + AD = 2AD$ और $CE = AB$ है,इसलिए:
$AC + AB > 2AD$.
अतः,यह सिद्ध होता है कि दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा पर माध्यिका के दोगुने से अधिक होता है।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ है।
सिद्ध करना है: $AB + BC + CD + DA > AC + BD$ है।
उपपत्ति: $\triangle ABC$ में,हमारे पास $AB + BC > AC$ है $\ldots(1)$ [क्योंकि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए]।
$\triangle BCD$ में,हमारे पास $BC + CD > BD$ है $\ldots(2)$ [वही कारण]।
$\triangle CDA$ में,हमारे पास $CD + DA > AC$ है $\ldots(3)$ [वही कारण]।
$\triangle DAB$ में,हमारे पास $DA + AB > BD$ है $\ldots(4)$ [वही कारण]।
$(1), (2), (3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(AB + BC) + (BC + CD) + (CD + DA) + (DA + AB) > AC + BD + AC + BD$
$2AB + 2BC + 2CD + 2DA > 2AC + 2BD$
$2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)$
$AB + BC + CD + DA > AC + BD$ है।
अतः,सिद्ध हुआ।

(N/A) $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ है और $D$ कर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु है। हमें सिद्ध करना है कि $BD = \frac{1}{2} AC$ है।
रचना: $BD$ को $E$ तक इस प्रकार बढ़ाइए कि $BD = DE$ हो। $EC$ को मिलाइए।
$\Delta ADB$ और $\Delta CDE$ में:
$AD = CD$ ($D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है)
$\angle ADB = \angle CDE$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$BD = DE$ (रचना से)
अतः,$\Delta ADB \cong \Delta CDE$ ($SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से)।
इस प्रकार,$AB = EC$ $(CPCT)$ और $\angle 1 = \angle 2$ $(CPCT)$।
चूंकि $\angle 1$ और $\angle 2$ एकांतर अंतःकोण हैं,इसलिए $EC \parallel BA$ है।
अब,$EC \parallel BA$ और $BC$ तिर्यक रेखा है,इसलिए $\angle ABC + \angle BCE = 180^{\circ}$।
चूंकि $\angle ABC = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle BCE = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$।
$\Delta ABC$ और $\Delta ECB$ में:
$BC = CB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$AB = EC$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$\angle ABC = \angle ECB = 90^{\circ}$
अतः,$\Delta ABC \cong \Delta ECB$ ($SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से)।
इस प्रकार,$AC = EB$ $(CPCT)$।
चूंकि $BD = DE$ है,इसलिए $BD = \frac{1}{2} BE$ होगा।
$BE = AC$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $BD = \frac{1}{2} AC$ प्राप्त होता है।

(N/A) $MD$ और $MC$ को मिलाइए।
$\Delta DMN$ और $\Delta CMN$ में:
$DN = CN$ [चूंकि $N$,$DC$ का मध्य-बिंदु है]
$\angle DNM = \angle CNM = 90^{\circ}$ [दिया है]
$MN = MN$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,$\Delta DMN \cong \Delta CMN$ [$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इसका अर्थ है कि $DM = CM$ और $\angle NMD = \angle NMC$ ... $(1)$ [$CPCT$]
अब,$\Delta AMD$ और $\Delta BMC$ पर विचार कीजिए:
$AM = BM$ [चूंकि $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है]
$DM = CM$ [$(1)$ से]
$\angle AMD = \angle AMN - \angle NMD$
$\angle BMC = \angle BMN - \angle NMC$
चूंकि $\angle AMN = \angle BMN = 90^{\circ}$ और $\angle NMD = \angle NMC$,इसलिए $\angle AMD = \angle BMC$ ... $(2)$
अतः,$\Delta AMD \cong \Delta BMC$ [$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इस प्रकार,$AD = BC$ [$CPCT$]।

(N/A) दिया है: एक समकोण त्रिभुज $ABC$ जिसमें $AB = AC$ है और $CD$,$\angle C$ का समद्विभाजक है।
सिद्ध करना है: $AC + AD = BC$.
रचना: $DE \perp BC$ खींचिए।
उपपत्ति: समकोण त्रिभुज $ABC$ में,$AB = AC$ (दिया है)।
चूंकि $BC$ कर्ण है,$\angle A = 90^{\circ}$ है।
$\triangle DAC$ और $\triangle DEC$ में:
$\angle DAC = \angle DEC = 90^{\circ}$ (दिया है और रचना से)।
$\angle ACD = \angle ECD$ (चूंकि $CD$,$\angle C$ का समद्विभाजक है)।
$CD = CD$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
$AAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\triangle DAC \cong \triangle DEC$ है।
अतः,$AD = DE$ और $AC = CE$ ($CPCT$ से)।
$\triangle ABC$ में,चूंकि $AB = AC$ है,इसलिए $\angle B = \angle ACB$ है। चूंकि $\angle A = 90^{\circ}$ है,$\angle B + \angle ACB = 90^{\circ}$,इसलिए $2\angle B = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\angle B = 45^{\circ}$।
$\triangle DEB$ में,$\angle DEB = 90^{\circ}$ और $\angle B = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\angle EDB = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 45^{\circ}) = 45^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle EDB = \angle B = 45^{\circ}$ है,इसलिए उनके सम्मुख भुजाएँ बराबर होंगी: $DE = BE$।
चूंकि $AD = DE$ और $DE = BE$ है,इसलिए $AD = BE$ है।
अब,$BC = CE + BE$ है।
$CE = AC$ और $BE = AD$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $BC = AC + AD$ प्राप्त होता है।
अतः,$AC + AD = BC$ सिद्ध हुआ।

(A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AB$ सबसे छोटी भुजा है और $CD$ सबसे बड़ी भुजा है।
सिद्ध करना है: $\angle B > \angle D$.
रचना: $BD$ को मिलाइए।
उपपत्ति: $\triangle ABD$ में,चूँकि $AB$ चतुर्भुज की सबसे छोटी भुजा है,इसलिए $AD > AB$ होगा। बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है,इसलिए $\angle ABD > \angle ADB$ ... $(1)$.
$\triangle CBD$ में,चूँकि $CD$ चतुर्भुज की सबसे बड़ी भुजा है,इसलिए $CD > BC$ होगा। बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है,इसलिए $\angle CBD > \angle BDC$ ... $(2)$.
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$\angle ABD + \angle CBD > \angle ADB + \angle BDC$
$\Rightarrow \angle ABC > \angle ADC$
$\Rightarrow \angle B > \angle D$.
अतः,यह सिद्ध होता है कि $\angle B$,$\angle D$ से बड़ा है।

(A) श्रीयंत्र $9$ त्रिभुजों के परस्पर प्रतिच्छेदन से बनी एक जटिल ज्यामितीय आकृति है। ये $9$ त्रिभुज दो प्रकार के होते हैं: $4$ त्रिभुज जिनके शीर्ष ऊपर की ओर होते हैं (जो $\text{शिव}$ का प्रतीक हैं) और $5$ त्रिभुज जिनके शीर्ष नीचे की ओर होते हैं (जो $\text{शक्ति}$ का प्रतीक हैं)। ये $9$ मुख्य त्रिभुज आपस में मिलकर $43$ छोटे सहायक त्रिभुज बनाते हैं,जिन्हें श्रीयंत्र की संरचना में त्रिभुज के रूप में जाना जाता है। अतः,सहायक त्रिभुजों की कुल संख्या $43$ है।

(B) $(1)$ असत्य। यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है,तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं (उनका योग $180^{\circ}$ होता है),न कि बराबर।
$(2)$ असत्य। किसी भी त्रिभुज में तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। यह संभव है कि तीनों कोण न्यूनकोण हों (उदाहरण के लिए,एक समबाहु त्रिभुज में,सभी कोण $60^{\circ}$ होते हैं),इसलिए एक त्रिभुज में न्यूनकोणों की अधिकतम संख्या तीन होती है।

(B) $(1)$ असत्य: दो त्रिभुजों के $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम द्वारा सर्वांगसम होने के लिए,कोण को दोनों भुजाओं के बीच का होना चाहिए। यहाँ,$\Delta ABC$ में,$AB$ और $BC$ के बीच का कोण $\angle B$ है। $\Delta PQR$ में,$PQ$ और $PR$ के बीच का कोण $\angle P$ है। हालाँकि,दी गई शर्त $BC = PR$ है,लेकिन $\angle P$ बनाने वाली भुजाएँ $PQ$ और $PR$ हैं। चूँकि $BC$ भुजा $QR$ नहीं है,इसलिए $SAS$ कसौटी पूरी नहीं होती है।
$(2)$ सत्य: एक अंतःकोण और उसके संगत बहिष्कोण का योग $180^{\circ}$ होता है। यदि एक बहिष्कोण न्यूनकोण $(< 90^{\circ})$ है,तो संगत अंतःकोण अधिककोण $(> 90^{\circ})$ होना चाहिए। एक त्रिभुज में अधिकतम एक ही अधिककोण हो सकता है। इसलिए,दो बहिष्कोणों का न्यूनकोण होना असंभव है,क्योंकि इसका अर्थ यह होगा कि त्रिभुज में दो अधिककोण हैं,जो त्रिभुज के कोण योग गुण का उल्लंघन करता है।