Free Fall and Acceleration due to Gravity Questions in Hindi

(N/A) पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण बल प्रत्येक वस्तु को अपने केंद्र की ओर आकर्षित करता है। जब किसी वस्तु को ऊंचाई से छोड़ा जाता है,तो वह केवल गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में पृथ्वी की सतह की ओर गिरती है। वस्तु की इस गति को मुक्त पतन कहा जाता है।

(N/A) जब कोई वस्तु किसी ऊँचाई से जमीन की ओर गिरती है,तो उसके वेग में परिवर्तन होता है। वेग में होने वाले इस परिवर्तन के कारण वस्तु में त्वरण उत्पन्न होता है। इस त्वरण को गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ कहा जाता है। पृथ्वी की सतह पर इसका मानक मान लगभग $9.8 \, m/s^2$ होता है।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$। किसी वस्तु पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = G \frac{Mm}{r^2}$ होता है। इन दोनों को बराबर करने पर,$ma = G \frac{Mm}{r^2}$,जो सरल होकर $a = G \frac{M}{r^2}$ हो जाता है। यहाँ,$a$ गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ है,$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $r$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है। चूँकि $g$ केवल पृथ्वी के द्रव्यमान और उसके केंद्र से दूरी पर निर्भर करता है,यह गिरती हुई वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ से स्वतंत्र है। इसलिए,वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में,सभी वस्तुएँ समान त्वरण के साथ गिरती हैं और भारी वस्तुएँ हल्की वस्तुओं की तुलना में तेजी से नीचे नहीं गिरती हैं।

(B) गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार,$m$ द्रव्यमान की वस्तु पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{G M m}{r^2}$
जहाँ:
पृथ्वी का द्रव्यमान,$M = 6 \times 10^{24} \,kg$
वस्तु का द्रव्यमान,$m = 1 \,kg$
सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक,$G = 6.67 \times 10^{-11} \,Nm^2 \,kg^{-2}$
पृथ्वी की त्रिज्या,$r = R = 6.4 \times 10^6 \,m$
सूत्र में मान रखने पर:
$F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 1}{(6.4 \times 10^6)^2}$
$F = \frac{40.02 \times 10^{13}}{40.96 \times 10^{12}}$
$F \approx 9.8 \,N$
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण लगभग $9.8 \,N$ है।

(A) जब वस्तुएं केवल गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में पृथ्वी की ओर गिरती हैं,तो उन्हें मुक्त पतन में कहा जाता है।
पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के कारण किसी वस्तु में उत्पन्न त्वरण को गुरुत्वीय त्वरण या मुक्त पतन का त्वरण कहा जाता है।
इसका मान लगभग $9.8\, ms^{-2}$ होता है,जो वस्तु के द्रव्यमान की परवाह किए बिना सभी वस्तुओं के लिए स्थिर रहता है।

(B) जब कागज की एक शीट को गेंद के आकार में मोड़ा जाता है,तो हवा के संपर्क में आने वाला उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल कम हो जाता है।
चूंकि हवा का प्रतिरोध वस्तु के पृष्ठीय क्षेत्रफल पर निर्भर करता है,इसलिए गेंद के आकार में मोड़ा गया कागज,सपाट कागज की तुलना में बहुत कम हवा का प्रतिरोध अनुभव करता है।
परिणामस्वरूप,गेंद के आकार में मोड़ा गया कागज सपाट कागज की तुलना में तेजी से नीचे गिरता है।

(D) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 49\, m/s$
अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $v = 0\, m/s$
गुरुत्वीय त्वरण $g = -9.8\, m/s^2$ (नीचे की ओर)
$(i)$ अधिकतम ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करने के लिए:
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 - u^2 = 2gh$
$0^2 - (49)^2 = 2 \times (-9.8) \times h$
$-2401 = -19.6 \times h$
$h = 2401 / 19.6 = 122.5\, m$
$(ii)$ कुल उड़ान समय $(T)$ ज्ञात करने के लिए:
ऊपर जाते समय गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए: $v = u + gt$
$0 = 49 + (-9.8) \times t$
$9.8t = 49$
$t = 5\, s$
चूँकि चढ़ाई का समय और उतरने का समय समान होता है,इसलिए कुल समय $T = 2 \times t = 2 \times 5 = 10\, s$.

(A) गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2gs$ के अनुसार।
जहाँ,
$u = \text{पत्थर का प्रारंभिक वेग} = 0\, ms^{-1}$.
$v = \text{पत्थर का अंतिम वेग}$.
$s = \text{टॉवर की ऊँचाई} = 19.6\, m$.
$g = \text{गुरुत्वीय त्वरण} = 9.8\, ms^{-2}$.
समीकरण में मान रखने पर:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6$.
$v^2 = 19.6 \times 19.6 = (19.6)^2$.
$v = 19.6\, ms^{-1}$.
अतः,जमीन को छूने से ठीक पहले पत्थर का वेग $19.6\, ms^{-1}$ है।

(50 M) मान लीजिए प्रारंभिक ऊँचाइयाँ $H_1 = 150 \, m$ और $H_2 = 100 \, m$ हैं।
दोनों वस्तुएँ विरामावस्था से गिराई जाती हैं,इसलिए उनका प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$ है।
दोनों वस्तुएँ गुरुत्वीय त्वरण $g$ के साथ गिरती हैं।
समय $t$ में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $u = 0$ है,$t = 2 \, s$ में दोनों वस्तुओं द्वारा तय की गई दूरी $s = \frac{1}{2}g(2)^2 = 2g$ होगी।
$2 \, s$ के बाद,जमीन से पहली वस्तु की ऊँचाई $h_1 = H_1 - s = 150 - 2g$ होगी।
जमीन से दूसरी वस्तु की ऊँचाई $h_2 = H_2 - s = 100 - 2g$ होगी।
$2 \, s$ के बाद उनकी ऊँचाइयों में अंतर $h_1 - h_2 = (150 - 2g) - (100 - 2g) = 150 - 100 = 50 \, m$ होगा।
चूँकि दोनों के लिए त्वरण $g$ समान है,किसी भी समय $t$ पर दोनों वस्तुओं द्वारा तय की गई दूरी समान $(s = \frac{1}{2}gt^2)$ होगी।
इसलिए,किसी भी समय $t$ पर ऊँचाइयों में अंतर $(H_1 - s) - (H_2 - s) = H_1 - H_2 = 150 - 100 = 50 \, m$ होगा।
अतः,ऊँचाइयों में अंतर स्थिर रहता है और समय के साथ नहीं बदलता है।

(A) जब कोई वस्तु मुक्त रूप से गिरती है,तो उसका त्वरण केवल गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ पर निर्भर करता है और वस्तु के द्रव्यमान की इसमें कोई भूमिका नहीं होती है।
चूंकि दोनों वस्तुएं चंद्रमा की सतह के निकट मुक्त रूप से गिर रही हैं,इसलिए वे समान गुरुत्वीय त्वरण $(g_{moon})$ का अनुभव करेंगी।
यदि उन्हें समान ऊंचाई से और एक ही समय पर गिराया जाता है,तो किसी भी क्षण उनका वेग समान होगा।
अतः,वे किसी भी क्षण समान वेग रखेंगी।

(B) पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है; यह ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है।
परिणामस्वरूप,पृथ्वी के केंद्र से सतह की दूरी ध्रुवों की तुलना में भूमध्य रेखा पर अधिक होती है।
गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $g$ त्रिज्या $(R)$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
चूंकि भूमध्य रेखा पर त्रिज्या $R$ सबसे अधिक होती है,इसलिए $g$ का मान भूमध्य रेखा पर सबसे कम होता है।

(D) पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ शून्य होता है।
हम जानते हैं कि भार $(W)$,द्रव्यमान $(m)$ और गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का गुणनफल होता है,जिसे सूत्र $W = m \times g$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण $0$ है,इसलिए पृथ्वी के केंद्र पर वस्तु का भार $m \times 0 = 0$ होगा।

(NONE) दोनों पत्थर एक ही समय में जमीन पर पहुंचेंगे। इसका कारण यह है कि दोनों पत्थरों की ऊर्ध्वाधर गति समान गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ द्वारा नियंत्रित होती है और उन्हें समान ऊंचाई $(h)$ से छोड़ा जाता है। पहले पत्थर को दिया गया क्षैतिज वेग उसकी ऊर्ध्वाधर गति या गुरुत्वाकर्षण के तहत गिरने में लगने वाले समय को प्रभावित नहीं करता है,जैसा कि गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा वर्णित है,जहाँ $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।

(B) गुरुत्वीय त्वरण,जिसे $g$ द्वारा दर्शाया जाता है,पृथ्वी की सतह पर एक समान नहीं होता है।
पृथ्वी के घूर्णन और उसके भूमध्यरेखीय उभार के कारण,पृथ्वी की त्रिज्या ध्रुवों की तुलना में भूमध्य रेखा पर अधिक होती है।
सूत्र $g = GM/R^2$ के अनुसार,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है,$g$ का मान भूमध्य रेखा पर कम और ध्रुवों पर अधिक होता है।
गति के समीकरण $h = (1/2)gt^2$ का उपयोग करने पर,हमें $t = \sqrt{2h/g}$ प्राप्त होता है।
चूँकि भूमध्य रेखा पर $g$ का मान कम है,इसलिए सतह तक पहुँचने में लगने वाला समय $t$ ध्रुवों की तुलना में भूमध्य रेखा पर अधिक होगा।
अतः,पैकेटों को समान समय नहीं लगेगा; भूमध्य रेखा पर गिराए गए पैकेट को सतह तक पहुँचने में अधिक समय लगेगा।

(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र इस प्रकार है: $g = \frac{GM}{R^2}$,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है।
इससे,हम द्रव्यमान $M$ को इस प्रकार लिख सकते हैं: $M = \frac{g R^2}{G}$.
पृथ्वी का घनत्व $D$ प्रति इकाई आयतन द्रव्यमान के रूप में परिभाषित है: $D = \frac{M}{V}$.
पृथ्वी को एक गोला मानते हुए,इसका आयतन $V$ है: $V = \frac{4}{3} \pi R^3$.
घनत्व के सूत्र में $M$ और $V$ के मान रखने पर:
$D = \frac{g R^2 / G}{4/3 \pi R^3} = \frac{g R^2}{G} \times \frac{3}{4 \pi R^3}$.
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $D = \frac{3g}{4 \pi G R}$.

(N/A) $h$ ऊंचाई से गिराई गई वस्तु के लिए,जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$ गति के समीकरण $h = \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पहली वस्तु के लिए: $h_1 = \frac{1}{2} g t_1^2 \implies t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$.
दूसरी वस्तु के लिए: $h_2 = \frac{1}{2} g t_2^2 \implies t_2 = \sqrt{\frac{2h_2}{g}}$.
लिए गए समय का अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{2h_1/g}}{\sqrt{2h_2/g}} = \sqrt{\frac{h_1}{h_2}}$ है।
$(i)$ यदि एक वस्तु खोखली और दूसरी ठोस है,तो अनुपात समान रहता है क्योंकि गुरुत्वीय त्वरण $g$ वस्तु के द्रव्यमान और घनत्व पर निर्भर नहीं करता है।
(ii) यदि दोनों खोखली हैं,तो भी समान कारण से अनुपात वही रहता है। मुक्त पतन (free-fall) में,किसी वस्तु का त्वरण उसके द्रव्यमान,आकार या माप पर निर्भर नहीं करता है।

(N/A) मुक्त पतन को उस गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें कोई वस्तु केवल गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में नीचे गिरती है,और उस पर हवा के प्रतिरोध जैसे अन्य कोई बल कार्य नहीं करते हैं। इस स्थिति में,वस्तु गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के बराबर त्वरण का अनुभव करती है।

(B) गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में पृथ्वी की सतह की ओर मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु इसका एक उत्कृष्ट उदाहरण है। उदाहरण के लिए,जब किसी गेंद को ऊंचाई से गिराया जाता है,तो पृथ्वी द्वारा वस्तु पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण वह पृथ्वी की ओर त्वरित होती है।

(N/A) पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है; यह ध्रुवों पर थोड़ी चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है। गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है। चूँकि भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर त्रिज्या $R$ कम होती है,और $g$ का मान त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए ध्रुवों पर $g$ का मान अधिक होता है।

(B) गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है।
चूंकि पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है,बल्कि ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है,इसलिए भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर त्रिज्या $R$ कम होती है।
चूंकि $g$ त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(g \propto \frac{1}{R^2})$,इसलिए ध्रुवों पर कम त्रिज्या होने के कारण $g$ का मान अधिक होता है।
इसके विपरीत,भूमध्य रेखा पर त्रिज्या अधिक होने के कारण $g$ का मान कम होता है।

(C) मुक्त पतन के दौरान,वस्तु पर केवल पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,गुरुत्वाकर्षण के कारण किसी वस्तु में उत्पन्न त्वरण वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है। इस त्वरण को गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ कहा जाता है,जो पृथ्वी की सतह के निकट लगभग $9.8 \ m/s^2$ होता है। इसलिए,मुक्त पतन करने वाली सभी वस्तुओं के लिए,चाहे वे बड़ी हों या छोटी,त्वरण स्थिर रहता है।

(N/A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का व्यंजक निम्नलिखित है:
$g = \frac{GM}{R^2}$
जहाँ:
$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
$R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।

(C) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ होता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
चूँकि $G$,$\pi$ और $R$ स्थिर हैं,इसलिए $g \propto \rho$ होता है।
यदि घनत्व $\rho$ को दोगुना कर दिया जाए,तो नया गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = \frac{4}{3} \pi G (2\rho) R = 2g$ होगा।
अतः,ग्रह पर $g$ का मान दोगुना हो जाता है।

(B) पृथ्वी की ओर गिरते हुए किसी पिंड द्वारा अनुभव किया जाने वाला गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूंकि इस सूत्र में गिरते हुए पिंड का द्रव्यमान $(m)$ शामिल नहीं है,इसलिए त्वरण पिंड के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।
अतः,वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में सभी वस्तुएं अपने द्रव्यमान की परवाह किए बिना समान त्वरण के साथ नीचे गिरती हैं।

(D) जब वस्तुओं को ऊंचाई से गिराया जाता है,तो वे गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त पतन (free fall) करती हैं।
गति के नियमों के अनुसार,मुक्त पतन में वस्तु का त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के बराबर होता है,जो लगभग $9.8 \, m/s^2$ है।
यह गुरुत्वीय त्वरण गिरने वाली वस्तु के द्रव्यमान,आकार या आकृति पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि दोनों गोलों को एक ही ऊंचाई से एक ही समय पर गिराया जाता है,इसलिए किसी भी बिंदु पर (जैसे जमीन से $10 \, m$ ऊपर),उनका वेग समान होगा और परिणामस्वरूप उनका त्वरण भी समान होगा।
गतिज ऊर्जा $(1/2 mv^2)$,संवेग $(mv)$,और स्थितिज ऊर्जा $(mgh)$ सभी वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर करते हैं,जो दोनों गोलों के लिए अलग-अलग है। इसलिए,ये राशियाँ समान नहीं होंगी।

(D) गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का मान निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$1$. पृथ्वी का आकार: पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है; यह ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है। इस कारण,ध्रुवों पर त्रिज्या भूमध्य रेखा की तुलना में कम होती है,जिससे ध्रुवों पर $g$ का मान अधिक होता है।
$2$. पृथ्वी का घूर्णन: पृथ्वी का घूर्णन एक अपकेंद्री बल उत्पन्न करता है जो प्रभावी गुरुत्वाकर्षण को कम करता है,विशेष रूप से भूमध्य रेखा पर।
$3$. अक्षांश: चूंकि पृथ्वी की त्रिज्या अक्षांश के साथ बदलती है,इसलिए $g$ का मान भी उसी के अनुसार बदलता है।
$4$. ऊँचाई: जैसे-जैसे हम पृथ्वी की सतह से दूर जाते हैं (ऊँचाई बढ़ती है),$g$ का मान घटता जाता है।
$5$. गहराई: जैसे-जैसे हम पृथ्वी के अंदर जाते हैं (गहराई बढ़ती है),$g$ का मान घटता जाता है।
अतः,$g$ का मान पृथ्वी के आकार,घूर्णन,अक्षांश,ऊँचाई और गहराई पर निर्भर करता है।

(B) गुरुत्वीय त्वरण का मान $g = \frac{GM}{R^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है।
चूंकि पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है,बल्कि ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है,इसलिए ध्रुवों पर त्रिज्या $R$ का मान भूमध्य रेखा की त्रिज्या $R$ से कम होता है।
चूंकि $g$ त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(g \propto \frac{1}{R^2})$,इसलिए ध्रुवों पर कम त्रिज्या होने के कारण वहाँ $g$ का मान भूमध्य रेखा की तुलना में अधिक होता है।

(B) यह कथन असत्य है।
पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का मान स्थिर नहीं होता है।
चूँकि पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है (यह ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है),इसलिए पृथ्वी के केंद्र से सतह की दूरी ध्रुवों पर कम और भूमध्य रेखा पर अधिक होती है।
सूत्र $g = GM/R^2$ के अनुसार,$g$ का मान त्रिज्या $(R)$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
इसलिए,$g$ का मान ध्रुवों पर अधिकतम और भूमध्य रेखा पर न्यूनतम होता है।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $(r)$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का सूत्र $g' = g(1 - d/R)$ है,जहाँ $(d)$ सतह से गहराई है।
पृथ्वी के केंद्र पर,गहराई $(d)$ पृथ्वी की त्रिज्या $(R)$ के बराबर होती है।
सूत्र में $d = R$ रखने पर,हमें $g' = g(1 - R/R) = g(1 - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $0 \ m/s^2$ होता है।

(N/A) मुक्त पतन वह स्थिति है जिसमें कोई वस्तु केवल पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में नीचे गिरती है,और उस पर कोई अन्य बल (जैसे वायु का प्रतिरोध) कार्य नहीं करता है। मुक्त पतन के दौरान,वस्तु एक स्थिर त्वरण का अनुभव करती है जिसे गुरुत्वीय त्वरण कहा जाता है,जिसे $g$ द्वारा दर्शाया जाता है,जो पृथ्वी की सतह के पास लगभग $9.8 \ m/s^2$ होता है।

(N/A) कागज की एक शीट और एक पत्थर लीजिए। उन्हें एक इमारत की पहली मंजिल से एक साथ गिराइए। अवलोकन कीजिए कि क्या दोनों एक साथ जमीन पर पहुँचते हैं। हम देखते हैं कि कागज पत्थर की तुलना में थोड़ा देर से जमीन पर पहुँचता है।
ऐसा वायु प्रतिरोध (air resistance) के कारण होता है। हवा गिरती हुई वस्तुओं की गति के विरुद्ध घर्षण के कारण प्रतिरोध प्रदान करती है। कागज के बड़े पृष्ठीय क्षेत्रफल के कारण हवा द्वारा कागज पर लगाया गया प्रतिरोध पत्थर पर लगे प्रतिरोध से अधिक होता है। यदि हम इस प्रयोग को निर्वात (एक कांच का जार जिससे हवा निकाल दी गई हो) में करें,तो कागज और पत्थर समान दर से गिरेंगे और एक ही समय में जमीन पर पहुँचेंगे। यह सिद्ध करता है कि गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।

(D) दिया गया है: पत्थर द्वारा तय की गई दूरी,$S = 19.6 \, m$.
प्रारंभिक वेग,$u = 0 \, m/s$.
गुरुत्वीय त्वरण,$a = 9.8 \, m/s^2$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 - u^2 = 2aS$.
मान रखने पर: $v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6$.
$v^2 = 19.6 \times 19.6$.
$v = \sqrt{19.6^2} = 19.6 \, m/s$.
अतः,जमीन को छूने से ठीक पहले पत्थर का वेग $19.6 \, m/s$ होगा।

(N/A) वस्तु का द्रव्यमान,$m = 50 \, kg$।
पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8 \, m/s^2$।
काल्पनिक ग्रह पर गुरुत्वाकर्षण बल पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल का $6$ गुना है।
इसलिए,$g_{planet} = 6 \times g_{earth}$।
$g_{planet} = 6 \times 9.8 \, m/s^2 = 58.8 \, m/s^2$।
ग्रह पर वस्तु का भार,$W = m \times g_{planet}$।
$W = 50 \, kg \times 58.8 \, m/s^2 = 2940 \, N$।
अतः,ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $58.8 \, m/s^2$ है और वस्तु का भार $2940 \, N$ है।

(N/A) ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का मान भूमध्य रेखा की तुलना में अधिक होता है क्योंकि पृथ्वी ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है,जिससे पृथ्वी के केंद्र से सतह की दूरी ध्रुवों पर कम हो जाती है।
गति के समीकरण $s = ut + (1/2)gt^2$ के अनुसार,यदि किसी वस्तु को विरामावस्था से गिराया जाता है $(u = 0)$,तो $s = (1/2)gt^2$ होता है,जिसका अर्थ है $t = \sqrt{2s/g}$।
चूंकि दूरी $(s)$ समान है और ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ अधिक है,इसलिए जमीन तक पहुँचने में लगने वाला समय $(t)$ भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर कम होता है।

(A) हाँ,दोनों वस्तुएँ पृथ्वी पर एक ही समय में पहुँचेंगी।
इसका कारण यह है कि दोनों वस्तुओं की ऊर्ध्वाधर गति उनकी क्षैतिज गति से स्वतंत्र होती है।
दोनों वस्तुएँ $u_y = 0 \ m/s$ के प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग के साथ शुरू होती हैं।
दोनों वस्तुओं पर नीचे की ओर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ समान रूप से कार्य करता है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $s$ मीनार की ऊँचाई $(h)$ है,$u = 0$ है,और $a = g$ है,हमें $h = \frac{1}{2}gt^2$ प्राप्त होता है।
समय के लिए हल करने पर,$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$।
चूँकि $h$ और $g$ दोनों वस्तुओं के लिए समान हैं,इसलिए जमीन तक पहुँचने में लगा समय $(t)$ दोनों के लिए समान होगा।

(N/A) भारहीनता वह स्थिति है जिसमें किसी वस्तु पर कोई शुद्ध गुरुत्वाकर्षण बल कार्य नहीं करता है या ऐसा महसूस होता है कि उसका कोई वजन नहीं है। यह घटना तब होती है जब कोई पिंड केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त पतन (free fall) की स्थिति में होता है,जहाँ आधार देने वाला बल (अभिलंब बल) शून्य हो जाता है।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण बल का सूत्र $F = \frac{G M m}{R^2}$ है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,$m$ वस्तु का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
$(b)$ गुरुत्वीय त्वरण की दिशा हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर होती है।

(B) गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$(i)$ स्थान का अक्षांश: पृथ्वी के आकार और घूर्णन के कारण $g$ का मान ध्रुवों पर अधिकतम और भूमध्य रेखा पर न्यूनतम होता है।
$(ii)$ पृथ्वी की सतह से ऊँचाई: जैसे-जैसे हम पृथ्वी की सतह से दूर जाते हैं (ऊँचाई पर),$g$ का मान घटता जाता है।

(N/A) हवा में,सिक्का पहले जमीन पर पहुंचेगा क्योंकि कागज के टुकड़े पर लगने वाला वायु प्रतिरोध उसके द्रव्यमान के सापेक्ष उसके बड़े सतह क्षेत्र के कारण काफी अधिक होता है,जो उसे धीमा कर देता है।
निर्वात में,सिक्का और कागज दोनों एक साथ जमीन पर पहुंचेंगे।
ऐसा इसलिए होता है क्योंकि निर्वात में कोई वायु प्रतिरोध नहीं होता है। गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,सभी वस्तुएं अपने द्रव्यमान या आकार की परवाह किए बिना,गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के साथ समान रूप से नीचे गिरती हैं।

(B) दिया गया है कि ग्रह का द्रव्यमान $M_P = M/2$ और ग्रह की त्रिज्या $R_P = R/2$ है,जहाँ $M$ और $R$ क्रमशः पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।
किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = GM/R^2$ होता है।
दिए गए ग्रह के लिए,गुरुत्वीय त्वरण $g_P$ इस प्रकार होगा:
$g_P = \frac{GM_P}{R_P^2}$
$M_P = M/2$ और $R_P = R/2$ का मान रखने पर:
$g_P = \frac{G(M/2)}{(R/2)^2} = \frac{GM/2}{R^2/4} = \frac{GM}{2} \times \frac{4}{R^2} = 2 \times \frac{GM}{R^2}$
चूंकि $g = GM/R^2$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$g_P = 2g$
अतः,इस ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $2g$ है।

(N/A) $(i)$ गुरुत्वीय त्वरण वह त्वरण है जो पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण किसी वस्तु में उत्पन्न होता है।
$(ii)$ पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है; इसकी त्रिज्या भूमध्य रेखा पर अधिक और ध्रुवों पर कम होती है। चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $g$ का मान त्रिज्या $R$ के साथ बदलता रहता है,जिससे यह ध्रुवों पर अधिक और भूमध्य रेखा पर कम होता है।
$(iii)$ मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु का त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है। इस व्यंजक में गिरने वाली वस्तु का द्रव्यमान $(m)$ शामिल नहीं है। इसलिए,सभी वस्तुएं अपने द्रव्यमान की परवाह किए बिना समान त्वरण के साथ गिरती हैं,और एक निश्चित ऊंचाई से जमीन तक पहुंचने में समान समय लेती हैं।
$(iv)$ $G$ को सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक कहा जाता है क्योंकि इसका मान पूरे ब्रह्मांड में समान रहता है। इसका $SI$ मात्रक $N \ m^2 \ kg^{-2}$ है।

(N/A) $(i)$ हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है। अतः,पृथ्वी की सतह पर और सतह के बहुत करीब '$R$' (अर्थात पृथ्वी की त्रिज्या) स्थिर रहता है; इसलिए '$g$' भी स्थिर रहेगा। हालाँकि,पृथ्वी की सतह से बहुत दूर की दूरी पर,जब '$R$' बदलता है,तो '$g$' का मान स्थिर नहीं रहता है।
$(ii)$ नहीं,मुक्त पतन के दौरान सभी वस्तुएं समान त्वरण के साथ गिरती हैं क्योंकि '$g$' गिरने वाली वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है। '$g$' का मान लगभग $9.8 \, m/s^2$ होता है।

(N/A) पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के प्रभाव में स्वतंत्र रूप से गिरती हुई वस्तु में उत्पन्न एकसमान त्वरण को गुरुत्वीय त्वरण कहते हैं,जो पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
$(b)$ पृथ्वी की सतह पर $g$ का औसत मान $9.8 \, m/s^2$ है।
$(c)$ $g$ का मान निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है: $(i)$ पृथ्वी का आकार (यह ध्रुवों पर अधिक और भूमध्य रेखा पर कम होता है),$(ii)$ पृथ्वी की सतह से ऊँचाई (ऊँचाई के साथ यह घटता है),और $(iii)$ पृथ्वी की सतह से गहराई (जैसे-जैसे हम केंद्र की ओर बढ़ते हैं,यह घटता जाता है)।

(N/A) पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण पृथ्वी की सतह की ओर मुक्त रूप से गिरते हुए पिंड में उत्पन्न एकसमान त्वरण को गुरुत्वीय त्वरण कहते हैं।
नहीं,मुक्त रूप से गिरते हुए पिंड में उत्पन्न त्वरण पिंड के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$m$ द्रव्यमान वाले पिंड पर कार्य करने वाला बल $F$ है:
$F = m \times g$ --- $(1)$
न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी (द्रव्यमान $M$) और पिंड (द्रव्यमान $m$) के बीच $R$ (पृथ्वी की त्रिज्या) की दूरी पर गुरुत्वाकर्षण बल है:
$F = \frac{G M m}{R^2}$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$m \times g = \frac{G M m}{R^2}$
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर:
$g = \frac{G M}{R^2}$
यहाँ,$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है। चूंकि $g$ के व्यंजक में गिरते हुए पिंड का द्रव्यमान $(m)$ शामिल नहीं है,यह सिद्ध करता है कि गुरुत्वीय त्वरण पिंड के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।

(N/A) मान लीजिए कि $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ग्रह की सतह के पास $m$ द्रव्यमान की एक वस्तु है।
सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,वस्तु पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F$ है:
$F = \frac{GMm}{R^2} \dots (1)$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$m$ द्रव्यमान की वस्तु पर लगने वाला बल $F$ है:
$F = mg \dots (2)$
(जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है)।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$mg = \frac{GMm}{R^2}$
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है:
$g = \frac{GM}{R^2}$
चूंकि वस्तु का द्रव्यमान $m$ कट जाता है,इसलिए गुरुत्वीय त्वरण $g$ केवल ग्रह के द्रव्यमान $M$ और उसकी त्रिज्या $R$ पर निर्भर करता है। इस प्रकार,मुक्त पतन के दौरान वस्तु का त्वरण उसके द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$g = \frac{GM}{R^2}$
जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यदि पृथ्वी अपने वर्तमान आकार के एक-तिहाई तक सिकुड़ जाती है,तो नई त्रिज्या $R' = \frac{R}{3}$ हो जाएगी।
द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है।
अतः,नया गुरुत्वीय त्वरण $g'$ होगा:
$g' = \frac{GM}{(R')^2} = \frac{GM}{(\frac{R}{3})^2} = \frac{GM}{\frac{R^2}{9}} = 9 \times \frac{GM}{R^2}$
चूँकि $g = 9.8 \, m s^{-2}$ है,इसलिए:
$g' = 9 \times 9.8 \, m s^{-2} = 88.2 \, m s^{-2}$.

(N/A) दिया गया है:
गेंद द्वारा तय की गई दूरी,$S = 122.5 \, m$
प्रारंभिक वेग,$u = 0$
त्वरण,$a = g = 9.8 \, m s^{-2}$
$(i)$ यदि $t$ गेंद को जमीन पर गिरने में लगा समय है,तो गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$122.5 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$122.5 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = \frac{122.5}{4.9} = 25$
$t = \sqrt{25} = 5 \, s$
$(ii)$ पहले तीन सेकंड $(t = 3 \, s)$ में गेंद द्वारा तय की गई दूरी:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
$S = 0 \times 3 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3)^2$
$S = 4.9 \times 9 = 44.1 \, m$
$(iii)$ तीन सेकंड के अंत में $(t = 3 \, s)$ गेंद का वेग:
$v = u + at$
$v = 0 + 9.8 \times 3 = 29.4 \, m s^{-1}$

(A) जब कोई वस्तु केवल गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में पृथ्वी की ओर गिरती है,तो उसे मुक्त पतन कहा जाता है।
निर्वात में हवा का कोई प्रतिरोध नहीं होता है। मुक्त रूप से गिरती हुई किसी भी वस्तु द्वारा अनुभव किया गया त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ होता है,जो पृथ्वी की सतह के निकट लगभग $9.8\,m/s^2$ होता है।
चूँकि गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ गिरती हुई वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है,इसलिए दोनों वस्तुएँ समान त्वरण का अनुभव करेंगी।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ (प्रारंभिक वेग) और $s = h$ (ऊँचाई) है,हमें $h = \frac{1}{2}gt^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$।
चूँकि $h$ और $g$ दोनों वस्तुओं के लिए समान हैं,इसलिए लिया गया समय $(t)$ भी दोनों के लिए समान होगा। अतः,दोनों वस्तुएँ एक ही समय पर जमीन से टकराएंगी।

(N/A) ऊपर की गति के लिए:
$v = u - gt$
उच्चतम बिंदु पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
अतः,$0 = u - gt_1$,जिससे $t_1 = \frac{u}{g}$ प्राप्त होता है $....(1)$
नीचे की गति के लिए:
वस्तु उच्चतम बिंदु से विरामावस्था से गिरती है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u' = 0$ है।
सूत्र $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $s = h$ (अधिकतम ऊँचाई) और $a = g$:
$h = 0 + \frac{1}{2}gt_2^2 \implies t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$।
चूँकि $h = \frac{u^2}{2g}$,इस मान को रखने पर $t_2 = \sqrt{\frac{2(u^2/2g)}{g}} = \sqrt{\frac{u^2}{g^2}} = \frac{u}{g}$ प्राप्त होता है $....(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,$t_1 = t_2$। अतः,ऊपर जाने का समय नीचे आने के समय के बराबर होता है।

(C) जब वस्तुओं को ऊंचाई से गिराया जाता है,तो वे गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त पतन (free fall) करती हैं।
हवा के प्रतिरोध की अनुपस्थिति में,मुक्त पतन में वस्तु का त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के बराबर होता है,जो लगभग $9.8 \, m/s^2$ है।
यह त्वरण वस्तु के द्रव्यमान,आकार या पदार्थ पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि दोनों गोलों को एक ही ऊंचाई से एक साथ गिराया जाता है,इसलिए किसी भी बिंदु पर (जमीन से $10 \, m$ ऊपर सहित),उनका वेग और त्वरण $(g)$ समान होगा।
स्थितिज ऊर्जा $(PE = mgh)$ द्रव्यमान पर निर्भर करती है,इसलिए यह दोनों गोलों के लिए अलग होगी।
संवेग $(p = mv)$ द्रव्यमान पर निर्भर करता है,इसलिए यह भी अलग होगा।
गतिज ऊर्जा $(KE = 1/2 mv^2)$ द्रव्यमान पर निर्भर करती है,इसलिए यह भी अलग होगी।
अतः,केवल त्वरण ही वह राशि है जो दोनों गोलों के लिए समान रहती है।