Free Fall and Acceleration due to Gravity Questions in Hindi

(N/A) ऊपर की गति के लिए:
$u = u, v = 0$
मान लीजिए $t_{1}$ ऊपर जाने का समय है। गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$0 = u - gt_{1}$
$t_{1} = u/g$
नीचे की गति (अवरोहण) के लिए:
वस्तु अधिकतम ऊँचाई पर विराम अवस्था से शुरू होती है,इसलिए $u = 0$। मान लीजिए $t_{2}$ नीचे आने का समय है। $s = ut + (1/2)at^{2}$ का उपयोग करने पर जहाँ $s = h$:
$h = 0 + (1/2)gt_{2}^{2} \implies t_{2} = \sqrt{2h/g}$
चूँकि $h = u^{2}/(2g)$,इस मान को रखने पर $t_{2} = \sqrt{2(u^{2}/2g)/g} = u/g$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_{1} = t_{2}$,जो यह सिद्ध करता है कि ऊपर जाने का समय और नीचे आने का समय बराबर है।

(A) मान लीजिए पत्थर $A$,$h = 100 \, m$ ऊँचे टॉवर के शीर्ष से नीचे गिरता है। इसका प्रारंभिक वेग $u_1 = 0$ और त्वरण $a_1 = +g = 10 \, m s^{-2}$ है।
दूसरा पत्थर $B$ जमीन से $u_2 = 25 \, m s^{-1}$ के प्रारंभिक वेग से ऊपर की ओर फेंका जाता है और इसका त्वरण $a_2 = -g = -10 \, m s^{-2}$ है।
मान लीजिए कि दोनों पत्थर $t$ समय के बाद टॉवर के शीर्ष से $y$ दूरी नीचे बिंदु $C$ पर मिलते हैं। पत्थर $A$ के लिए:
$y = u_1 t + \frac{1}{2} a_1 t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 = 5t^2$ ... $(1)$
पत्थर $B$ के लिए,जमीन से तय की गई दूरी $(100 - y)$ है:
$100 - y = u_2 t + \frac{1}{2} a_2 t^2 = 25t - \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 = 25t - 5t^2$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$y + (100 - y) = 5t^2 + 25t - 5t^2$
$100 = 25t$
$t = 4 \, s$
समीकरण $(1)$ में $t = 4 \, s$ रखने पर:
$y = 5 \times (4)^2 = 5 \times 16 = 80 \, m$.
अतः,दोनों पत्थर $4 \, s$ के बाद टॉवर के शीर्ष से $80 \, m$ की दूरी पर (या जमीन से $20 \, m$ की दूरी पर) मिलेंगे।

(B) $100 \, m$ की ऊँचाई से गिराए गए पत्थर $A$ के लिए:
समीकरण $v^2 - u^2 = 2gh$ का उपयोग करने पर,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है:
$v_A^2 = 2 \times 10 \times 100 = 2000$
$v_A = \sqrt{2000} \approx 44.72 \, m s^{-1}$।
$50 \, m$ की ऊँचाई से गिराए गए पत्थर $B$ के लिए:
समीकरण $v^2 - u^2 = 2gh$ का उपयोग करने पर,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है:
$v_B^2 = 2 \times 10 \times 50 = 1000$
$v_B = \sqrt{1000} \approx 31.62 \, m s^{-1}$।
चूँकि $v_A \neq v_B$,इसलिए जमीन पर पहुँचते समय पत्थरों का वेग समान नहीं होगा। पत्थर $A$ का वेग अधिक होगा।

(N/A) न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम बताता है कि ब्रह्मांड का प्रत्येक कण दूसरे कण को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$
जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$m_1$ और $m_2$ दो वस्तुओं के द्रव्यमान हैं,और $r$ उनके केंद्रों के बीच की दूरी है।
यह दर्शाने के लिए कि गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ गिरती हुई वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र है,पृथ्वी (द्रव्यमान $M$,त्रिज्या $R$) की ओर गिरती हुई $m$ द्रव्यमान की वस्तु पर विचार करें।
गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G M m}{R^2}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = m \times a$। यहाँ,$a = g$ है,इसलिए $F = m \times g$।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $m \times g = \frac{G M m}{R^2}$।
दोनों पक्षों से $m$ को काटने पर,हमें $g = \frac{G M}{R^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g$ केवल पृथ्वी के द्रव्यमान $(M)$,गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$ और पृथ्वी की त्रिज्या $(R)$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह गिरती हुई वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ से स्वतंत्र है।

(N/A) गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ और गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$ के बीच तीन अंतर निम्नलिखित हैं:
$(i)$ पृथ्वी की सतह पर $g$ का मान $9.8 \, m/s^2$ होता है,जबकि $G$ का मान $6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2/kg^2$ होता है।
$(ii)$ $g$ का मान स्थान के अनुसार बदलता रहता है,जबकि $G$ का मान पूरे ब्रह्मांड में स्थिर रहता है।
$(iii)$ $g$ एक सदिश राशि है,जबकि $G$ एक अदिश राशि है।

(N/A) गुरुत्वीय त्वरण वह त्वरण है जो किसी वस्तु में तब उत्पन्न होता है जब उसे केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में स्वतंत्र रूप से गिरने दिया जाता है। किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $R$ उसकी त्रिज्या है।
दिया गया है:
ग्रह का द्रव्यमान $(M_P)$ = $\frac{M_E}{2}$
ग्रह की त्रिज्या $(R_P)$ = $\frac{R_E}{2}$
पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_E)$ = $9.8 \, m/s^2$
अनुपात का उपयोग करते हुए:
$\frac{g_P}{g_E} = \frac{GM_P / R_P^2}{GM_E / R_E^2} = \frac{M_P}{M_E} \times (\frac{R_E}{R_P})^2$
मान रखने पर:
$\frac{g_P}{g_E} = \frac{M_E / 2}{M_E} \times (\frac{R_E}{R_E / 2})^2 = \frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$
अतः,$g_P = 2 \times g_E = 2 \times 9.8 \, m/s^2 = 19.6 \, m/s^2$.

(N/A) गुरुत्वीय त्वरण को $g = \frac{GM}{R^2}$ व्यंजक द्वारा दिया जाता है।
यह पृथ्वी की त्रिज्या $(R)$ पर निर्भर करता है। चूंकि पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है और इसकी त्रिज्या ध्रुवों से भूमध्य रेखा तक बदलती रहती है,इसलिए $g$ का मान हर जगह स्थिर नहीं होता है। इसके अतिरिक्त,$g$ ऊंचाई और गहराई के साथ भी बदलता है।
$(b)$ गिरती हुई वस्तु पर कार्य करने वाला गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यह व्यंजक दर्शाता है कि $g$ गिरती हुई वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर नहीं करता है,बल्कि केवल ग्रह के द्रव्यमान $(M)$ और उसके केंद्र से दूरी $(R)$ पर निर्भर करता है। इसलिए,सभी वस्तुएं अपने द्रव्यमान की परवाह किए बिना समान त्वरण के साथ गिरती हैं और निर्वात में एक निश्चित ऊंचाई से गिरने में समान समय लेती हैं।
$(c)$ '$G$' को सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक कहा जाता है क्योंकि इसका मान पूरे ब्रह्मांड में सभी स्थानों पर समान रहता है और यह माध्यम या शामिल पिंडों की प्रकृति से स्वतंत्र होता है।

(N/A) मुक्त पतन किसी वस्तु की वह गति है जो केवल गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में,स्थिर त्वरण के साथ होती है।
$(b)$ मुक्त पतन के दौरान गति की दिशा में कोई परिवर्तन नहीं होता है (यह हमेशा ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर होती है)।
$(c)$ दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$,ऊँचाई $h = 19.6 \, m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$।
$(i)$ गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर:
$19.6 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$19.6 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = 4$
$t = 2 \, s$।
$(ii)$ वेग ज्ञात करने के लिए $v = u + gt$ का उपयोग करने पर:
$v = 0 + 9.8 \times 2$
$v = 19.6 \, m/s$।
$(iii)$ चूँकि वस्तु मुक्त पतन में है,इसलिए इसका त्वरण स्थिर रहता है और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$ के बराबर होता है,अतः $1 \, s$ के बाद भी त्वरण $9.8 \, m/s^2$ ही रहेगा।

(A) दिया गया है:
वस्तु की ऊँचाई,$h = 10 \, m$
उच्चतम बिंदु पर अंतिम वेग,$v = 0 \, m/s$
गुरुत्वीय त्वरण,$a = -g = -9.8 \, m/s^2$
$(i)$ गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 - u^2 = 2ah$:
$0^2 - u^2 = 2 \times (-9.8) \times 10$
$-u^2 = -196$
$u^2 = 196$
$u = 14 \, m/s$
अतः,प्रारंभिक वेग $14 \, m/s$ है।
$(ii)$ गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,$v = u + at$:
$0 = 14 + (-9.8) \times t$
$9.8t = 14$
$t = 14 / 9.8 \approx 1.43 \, s$
अतः,उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लिया गया समय लगभग $1.43 \, s$ है।

(B) हम जानते हैं कि पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $g_{e} = \frac{GM_{e}}{R_{e}^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M_{p} = \frac{M_{e}}{2}$ और त्रिज्या $R_{p} = \frac{R_{e}}{2}$ है।
इन मानों को ग्रह के गुरुत्वाकर्षण के सूत्र $g_{p} = \frac{GM_{p}}{R_{p}^{2}}$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$g_{p} = \frac{G(M_{e}/2)}{(R_{e}/2)^{2}} = \frac{GM_{e}/2}{R_{e}^{2}/4} = \frac{GM_{e}}{2} \times \frac{4}{R_{e}^{2}} = 2 \times \frac{GM_{e}}{R_{e}^{2}}$.
चूंकि $\frac{GM_{e}}{R_{e}^{2}} = g_{e}$,इसलिए $g_{p} = 2g_{e}$ होता है।

(B) जब कोई वस्तु गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त रूप से गिरती है,तो वह गुरुत्वीय त्वरण $(g \approx 9.8 \ m/s^2)$ के कारण एक स्थिर त्वरण का अनुभव करती है।
चूंकि पूरी गिरावट के दौरान त्वरण स्थिर रहता है,इसलिए वस्तु का वेग समान समय अंतराल में समान मात्रा में बढ़ता है।
अतः,गति की प्रकृति एक आयाम में एकसमान त्वरित गति है।

(B) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का मान सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $g \propto M$ है।
अतः,गुरुत्वीय त्वरण ग्रह के द्रव्यमान के सीधे अनुक्रमानुपाती होता है।

(A) ऊँचाई बढ़ने के साथ गुरुत्वीय त्वरण घटता है क्योंकि कम ऊँचाई के लिए $g' = g(1 - 2h/R_e)$ होता है।
$(b)$ गहराई बढ़ने के साथ गुरुत्वीय त्वरण घटता है क्योंकि $g' = g(1 - d/R_e)$ होता है।
$(c)$ गुरुत्वीय त्वरण पिंड के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है,क्योंकि $g = GM/R^2$ होता है,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है।

(B) चंद्रमा की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$,पृथ्वी की सतह के गुरुत्वीय त्वरण का लगभग $1/6$ भाग होता है।
चूंकि चंद्रमा पर गुरुत्वाकर्षण बल बहुत कम है,इसलिए समान शारीरिक प्रयास करने पर एक व्यक्ति पृथ्वी की तुलना में चंद्रमा पर $6$ गुना अधिक ऊँचा कूद सकता है।

(A) $1$. सबसे पहले,वस्तु का द्रव्यमान $(m)$ ज्ञात करें। दिया गया भार $W = mg = 63 \, N$ है। $g = 10 \, m/s^2$ मानते हुए,$m = 63 / 10 = 6.3 \, kg$ होगा।
$2$. पृथ्वी के केंद्र से वस्तु की दूरी $(r)$,जब ऊँचाई $h = R/2$ हो,तो $r = R + h = R + R/2 = 1.5R$ होगी।
$3$. चूँकि $R = 6.4 \times 10^6 \, m$ दिया गया है,इसलिए $r = 1.5 \times 6.4 \times 10^6 = 9.6 \times 10^6 \, m$ होगा।
$4$. गुरुत्वाकर्षण बल का सूत्र $F = \frac{GMm}{r^2}$ है।
$5$. मान रखने पर: $F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 6.3}{(9.6 \times 10^6)^2}$।
$6$. $F = \frac{252.186 \times 10^{13}}{92.16 \times 10^{12}} = \frac{2521.86}{92.16} \approx 27.35 \, N$।

गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^{2}}$ है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ खगोलीय पिंड का द्रव्यमान है और $R$ उसकी त्रिज्या है।
द्रव्यमान $(M)$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $M = \frac{g R^{2}}{G}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान हैं:
$g = 1.67 \, m s^{-2}$
$R = 1.74 \times 10^{6} \, m$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \, N m^{2} kg^{-2}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = \frac{1.67 \times (1.74 \times 10^{6})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M = \frac{1.67 \times 3.0276 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M \approx 0.758 \times 10^{23} \, kg = 7.58 \times 10^{22} \, kg$.
अतः,चंद्रमा का द्रव्यमान लगभग $7.58 \times 10^{22} \, kg$ है।

(N/A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग,$u = 0 \, m/s$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8 \, m/s^2$.
$(a)$ गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$4.9 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$4.9 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = 1 \Rightarrow t = 1 \, s$.
अतः,$4.9 \, m$ गिरने में $1 \, s$ का समय लगता है।
$(b)$ $v^2 - u^2 = 2aS$ का उपयोग करने पर:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 4.9$
$v^2 = 96.04$
$v = 9.8 \, m/s$.
अतः,$4.9 \, m$ के अंत में पत्थर की गति $9.8 \, m/s$ होगी।
$(c)$ $v^2 - u^2 = 2aS$ का उपयोग करने पर:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 7.9$
$v^2 = 154.84$
$v = \sqrt{154.84} \approx 12.44 \, m/s$.
अतः,$7.9 \, m$ के अंत में पत्थर की गति $12.44 \, m/s$ होगी।
$(d)$ मुक्त पतन के दौरान,गुरुत्वीय त्वरण स्थिर रहता है।
$1 \, s$ के बाद त्वरण = $9.8 \, m/s^2$.
$2 \, s$ के बाद त्वरण = $9.8 \, m/s^2$.

(12.1 M/S) पहले पत्थर के लिए,हमें दिया गया है:
$u = 0\, m\, s^{-1}, h = 49\, m, g = 9.8\, m\, s^{-2}$
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$49 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$t^2 = \frac{98}{9.8} = 10$
$t = \sqrt{10} \approx 3.16\, s$
अतः,पहले पत्थर को जमीन पर पहुँचने में $3.16\, s$ का समय लगता है।
दूसरे पत्थर के लिए,इसे $1\, s$ बाद फेंका जाता है लेकिन यह एक ही समय पर जमीन पर पहुँचता है। इसलिए,दूसरे पत्थर द्वारा लिया गया समय $t_2 = 3.16 - 1 = 2.16\, s$ है।
दूसरे पत्थर के लिए $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$49 = u \times 2.16 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2.16)^2$
$49 = 2.16u + 4.9 \times 4.6656$
$49 = 2.16u + 22.86$
$2.16u = 49 - 22.86 = 26.14$
$u = \frac{26.14}{2.16} \approx 12.10\, m\, s^{-1}$
अतः,दूसरा पत्थर $12.1\, m\, s^{-1}$ की गति से फेंका गया था।

(19.42 M) माना कि खिड़की के ऊपरी हिस्से और छत के बीच की दूरी $S$ है। खिड़की को पार करने की यात्रा के लिए,अर्थात $B$ से $C$ तक:
माना $B$ पर वेग $u \, m/s$ है।
तय की गई दूरी,$S = 2 \, m$.
लिया गया समय,$t = 0.1 \, s$.
त्वरण,$a = g = 9.8 \, m/s^2$.
समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$2 = u(0.1) + \frac{1}{2}(9.8)(0.1)^2$
$2 = 0.1u + 0.049$
$0.1u = 1.951$
$u = 19.51 \, m/s$.
अतः,खिड़की के ऊपरी हिस्से पर पत्थर का वेग $19.51 \, m/s$ है।
अब,छत से खिड़की के ऊपरी हिस्से तक पत्थर के मुक्त पतन के लिए,अर्थात $A$ से $B$ तक:
प्रारंभिक वेग $u_i = 0 \, m/s$.
अंतिम वेग $v = 19.51 \, m/s$.
तय की गई दूरी $S = ?$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$.
समीकरण $v^2 - u_i^2 = 2gS$ का उपयोग करने पर:
$(19.51)^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times S$
$S = \frac{(19.51)^2}{19.6} \approx 19.42 \, m$.

(A) ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद के लिए:
प्रारंभिक वेग $= u \text{ m/s}$.
अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $= v = 0 \text{ m/s}$.
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -g$ (गुरुत्वीय त्वरण नीचे की ओर कार्य करता है):
$0 = u - gt \implies t = u/g$ (अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय)।
वापसी की यात्रा के लिए,गेंद अधिकतम ऊँचाई पर विरामावस्था से शुरू होती है $(u_{return} = 0)$ और गुरुत्वाकर्षण के तहत नीचे गिरती है $(a = +g)$:
समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए:
$v^2 = 0^2 + 2gH$,जहाँ $H$ अधिकतम ऊँचाई है।
ऊपर की गति से,$H = u^2 / (2g)$।
वापसी के समीकरण में $H$ का मान रखने पर: $v^2 = 2g(u^2 / 2g) = u^2$।
अतः,$v = u$।
इस प्रकार,गेंद उसी वेग $u$ के साथ प्रक्षेपण बिंदु पर वापस आती है जिस वेग से उसे फेंका गया था।

(78.4 M) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m \, s^{-1}$,समय $t = 4 \, s$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m \, s^{-2}$।
मुक्त पतन के लिए गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करने पर:
$h = ut + \frac{1}{2}gt^2$
मान रखने पर:
$h = (0 \times 4) + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4)^2$
$h = 0 + 0.5 \times 9.8 \times 16$
$h = 4.9 \times 16$
$h = 78.4 \, m$
अतः,इमारत की ऊँचाई $78.4 \, m$ है।

(N/A) दिया गया है: कुल समय $T = 6 \, s$,अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $v = 0 \, m s^{-1}$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m s^{-2}$।
चूँकि ऊपर जाने का समय और नीचे आने का समय समान होता है,इसलिए अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t = T / 2 = 6 / 2 = 3 \, s$ है।
$(a)$ गति के प्रथम समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = -g$:
$0 = u + (-9.8 \times 3)$
$u = 29.4 \, m s^{-1}$।
अतः,प्रारंभिक वेग $29.4 \, m s^{-1}$ है।
$(b)$ गति के तीसरे समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर:
$0^2 - (29.4)^2 = 2 \times (-9.8) \times h$
$-864.36 = -19.6 \times h$
$h = 864.36 / 19.6 = 44.1 \, m$।
अतः,प्राप्त की गई अधिकतम ऊँचाई $44.1 \, m$ है।

(N/A) दिया गया है: ऊँचाई $h = 20\, m$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m s^{-2}$।
गति के दूसरे समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $S = h$ और $a = g$ है:
$20 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$20 = 5t^2$
$t^2 = 4$
$t = 2\, s$।
अतः,इसे जमीन तक पहुँचने में $2\, s$ का समय लगेगा।
$(b)$ गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$v = 0 + 10 \times 2$
$v = 20\, m s^{-1}$।
इस प्रकार,जमीन से टकराते समय इसकी गति $20\, m s^{-1}$ होगी।

(D) गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है।
चूंकि पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है,बल्कि ध्रुवों पर थोड़ी चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है,इसलिए त्रिज्या $R$ ध्रुवों पर सबसे कम और भूमध्य रेखा पर सबसे अधिक होती है।
चूंकि $g$ त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(g \propto \frac{1}{R^2})$,इसलिए $g$ का मान वहां अधिकतम होता है जहाँ त्रिज्या $R$ न्यूनतम होती है।
पृथ्वी की त्रिज्या ध्रुवों पर न्यूनतम होती है (अंटार्कटिका दक्षिणी ध्रुव के पास स्थित है)।
इसलिए,अंटार्कटिका में एक कैंप साइट पर $g$ का मान अधिकतम होता है।

(B) जब किसी गेंद को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो उसका वेग ऊपर की दिशा में होता है।
हालाँकि,गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा में कार्य करता है।
चूंकि गेंद की गति ऊपर की ओर है और गुरुत्वीय त्वरण नीचे की ओर है,इसलिए त्वरण गति की दिशा के विपरीत होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) जब कोई प्रक्षेप्य अपने प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु पर होता है,तो उसका ऊर्ध्वाधर वेग $0 \ m/s$ हो जाता है,लेकिन उसमें अभी भी क्षैतिज वेग का घटक बना रहता है।
हालाँकि,गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ पूरी उड़ान के दौरान प्रक्षेप्य पर लगातार कार्य करता रहता है।
यह त्वरण हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा में होता है।
इसलिए,अपने पथ के शीर्ष पर भी,प्रक्षेप्य $g$ के बराबर निरंतर नीचे की ओर त्वरण का अनुभव करता है।

(D) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का सूत्र $g_h = g(1 - 2h/R)$ है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है। जैसे-जैसे $h$ बढ़ता है,$g_h$ घटता है।
इसी प्रकार,पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_d = g(1 - d/R)$ है। जैसे-जैसे $d$ बढ़ता है,$g_d$ घटता है।
अतः,वैज्ञानिक $A$ (खदान में गहराई में जाने वाले) और वैज्ञानिक $B$ (गुब्बारे में ऊपर जाने वाले) दोनों के लिए,मापा गया गुरुत्वीय त्वरण घटता जाता है।

(B) भूमध्य रेखा पर गुरुत्वीय त्वरण '$g$' का प्रभावी मान सूत्र $g' = g - R\omega^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ '$g$' ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण है (या यदि पृथ्वी स्थिर होती),'$R$' पृथ्वी की त्रिज्या है,और '$\omega$' पृथ्वी के घूर्णन की कोणीय गति है।
यदि पृथ्वी घूमना बंद कर देती है,तो कोणीय गति '$\omega$' का मान $0$ हो जाता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $g' = g - R(0)^2 = g$।
चूंकि मूल मान $g' = g - R\omega^2$ था (जो '$g$' से कम है),इसलिए नया मान '$g$',भूमध्य रेखा पर मूल मान '$g'$ से अधिक है।
अतः,भूमध्य रेखा पर '$g$' का मान बढ़ जाएगा।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण को मानक मान $g$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
परिभाषा के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर किसी वस्तु द्वारा अनुभव किए जाने वाले गुरुत्वीय त्वरण को $g$ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है,जिसका मान लगभग $9.8 \ m/s^2$ होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) निर्वात में,गिरती हुई वस्तु की गति का विरोध करने के लिए कोई वायु प्रतिरोध नहीं होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,और किसी वस्तु पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = mg$ होता है,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इन दोनों को बराबर करने पर,$ma = mg$,जो सरल होकर $a = g$ हो जाता है।
चूंकि $g$ एक स्थिर मान है (पृथ्वी की सतह के पास लगभग $9.8 \ m/s^2$) और यह वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है,इसलिए निर्वात में मुक्त रूप से गिरने वाली सभी वस्तुएं समान त्वरण का अनुभव करती हैं।

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g' = \frac{GM}{r^2}$ होता है।
पृथ्वी की सतह पर,दूरी $r = R$ (जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है),इसलिए $g = \frac{GM}{R^2} = 9.8\, m s^{-2}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि अंतरिक्ष यान पृथ्वी के केंद्र से $r = 2R$ की दूरी पर है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $g' = \frac{GM}{(2R)^2} = \frac{GM}{4R^2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,हम लिख सकते हैं कि $g' = \frac{g}{4}$।
$g = 9.8\, m s^{-2}$ का मान रखने पर,$g' = \frac{9.8}{4} = 2.45\, m s^{-2}$ प्राप्त होता है।

(D) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $R$ उसकी त्रिज्या है।
पृथ्वी के लिए,$g_e = \frac{GM_e}{R_e^2} = 9.8 \, m s^{-2}$ है।
नए ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M_p = \frac{M_e}{2}$ और त्रिज्या $R_p = \frac{R_e}{2}$ है।
इन मानों को नए ग्रह के गुरुत्वीय त्वरण $g_p$ के सूत्र में रखने पर:
$g_p = \frac{G(M_e/2)}{(R_e/2)^2} = \frac{G M_e / 2}{R_e^2 / 4} = 2 \times \frac{GM_e}{R_e^2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\frac{GM_e}{R_e^2} = g_e$ है,इसलिए $g_p = 2 \times g_e$ होगा।
$g_p = 2 \times 9.8 \, m s^{-2} = 19.6 \, m s^{-2}$।

(A) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m s^{-1}$ (चूंकि पत्थर को गिराया गया है)।
तय की गई दूरी $s = 100 \, m$।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m s^{-2}$।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 - u^2 = 2as$।
मान रखने पर: $v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 100$।
$v^2 = 1960$।
$v = \sqrt{1960} \approx 44.27 \, m s^{-1}$।
अतः,पत्थर की गति लगभग $44.2 \, m s^{-1}$ होगी।

(C) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $(u)$ = $0\, m/s$ (चूंकि पत्थर को गिराया गया है)।
समय $(t)$ = $4\, s$।
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ = $9.8\, m/s^2$।
गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करने पर:
$s = ut + \frac{1}{2}gt^2$
मान रखने पर:
$h = (0 \times 4) + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4)^2$
$h = 0 + 4.9 \times 16$
$h = 78.4\, m$
अतः,ऊँचाई $78.4\, m$ है।

(A) प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g$ है।
गति के समीकरण $s = ut + (1/2)gt^2$ का उपयोग करते हुए,कुल ऊँचाई $H = 100 \, m$ और समय $T$ के लिए:
$100 = 0 \cdot T + (1/2)gT^2 \implies 100 = (1/2)gT^2 \implies T^2 = 200/g$.
अब,मान लीजिए कि $t = T/2$ समय में तय की गई दूरी $h$ है:
$h = (1/2)g(T/2)^2 = (1/2)g(T^2/4) = (1/8)gT^2$.
समीकरण में $gT^2 = 200$ रखने पर:
$h = (1/8) \cdot 200 = 25 \, m$.
चूँकि $h$ शीर्ष से तय की गई दूरी है,इसलिए बोतल शीर्ष से $25 \, m$ की दूरी पर होगी।

(A) मान लीजिए कि दो पिंड $A$ और $B$ हैं। पिंड $A$,पिंड $B$ से $1 \, m$ ऊपर है।
दोनों पिंडों को एक साथ मुक्त किया जाता है और वे गुरुत्वाकर्षण के अधीन स्वतंत्र रूप से गिरते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$ और त्वरण $a = g = 9.8 \, m/s^2$ दोनों के लिए समान है।
समय $t$ पर पिंड $A$ की स्थिति $y_A = y_{A,0} + ut + \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
समय $t$ पर पिंड $B$ की स्थिति $y_B = y_{B,0} + ut + \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
किसी भी समय $t$ पर पिंडों के बीच का सापेक्ष पृथक्करण $|y_A - y_B| = |(y_{A,0} + ut + \frac{1}{2}gt^2) - (y_{B,0} + ut + \frac{1}{2}gt^2)|$ द्वारा प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $|y_A - y_B| = |y_{A,0} - y_{B,0}|$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर पृथक्करण $|y_{A,0} - y_{B,0}|$ $1 \, m$ है,इसलिए सापेक्ष पृथक्करण $1 \, m$ स्थिर रहेगा,क्योंकि दोनों पिंड गुरुत्वाकर्षण के कारण समान त्वरण का अनुभव करते हैं।

(TRUE) सत्य। जब किसी वस्तु को पकड़े हुए स्प्रिंग बैलेंस को मुक्त किया जाता है,तो वह गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त रूप से गिरता है (free fall)। मुक्त पतन की स्थिति में,स्प्रिंग बैलेंस और वस्तु दोनों समान गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का अनुभव करते हैं। परिणामस्वरूप,वस्तु द्वारा स्प्रिंग पर कोई नेट बल कार्य नहीं करता है,जिसके कारण स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक शून्य भार दर्शाता है।

(TRUE) सत्य।
जब किसी वस्तु को लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो वह गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर एक स्थिर त्वरण $(g)$ का अनुभव करती है,जो लगभग $9.8 \ m/s^2$ होता है।
जब कोई वस्तु नीचे गिरती है,तो वह भी गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर समान स्थिर त्वरण $(g = 9.8 \ m/s^2)$ का अनुभव करती है।
भौतिकी में,यदि हम ऊपर की दिशा को धनात्मक $(+)$ मानते हैं,तो नीचे की ओर के त्वरण को ऋणात्मक $(-g)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
इसलिए,परिमाण समान रहता है $(9.8 \ m/s^2)$,लेकिन चुने गए निर्देशांक तंत्र के आधार पर चिह्न विपरीत होता है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण के सूत्र के अनुसार,$g_d = g(1 - d/R)$,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है,$d$ गहराई है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
पृथ्वी के केंद्र पर,गहराई $d$ त्रिज्या $R$ के बराबर होती है $(d = R)$।
सूत्र में $d = R$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $g_d = g(1 - R/R) = g(1 - 1) = g(0) = 0$.
अतः,पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का मान शून्य होता है।

(TRUE) सत्य।
किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ को $g = GM/R^2$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $(m) = 10 \, kg$,प्रारंभिक वेग $(u) = 0 \, m s^{-1}$,ऊँचाई $(S) = 0.8 \, m$,गुरुत्वीय त्वरण $(g) = 10 \, m s^{-2}$।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2gS$ का उपयोग करने पर:
$v^2 - (0)^2 = 2 \times 10 \times 0.8$
$v^2 = 16$
$v = 4 \, m s^{-1}$।
संवेग $(p)$ द्रव्यमान और वेग का गुणनफल होता है:
$p = m \times v$
$p = 10 \, kg \times 4 \, m s^{-1} = 40 \, kg \, m s^{-1}$ (या $40 \, N s$)।
अतः,डंबल फर्श पर $40 \, kg \, m s^{-1}$ का संवेग स्थानांतरित करेगा।