Time and Distances Questions in Hindi

(D) माना ट्रेन की गति $x \, km/h$ है।
जब ट्रेन व्यक्ति की विपरीत दिशा में चलती है,तो सापेक्ष गति $(x + 6) \, km/h$ होती है।
इसे $m/s$ में बदलने पर: $(x + 6) \times \frac{5}{18} \, m/s$।
$\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$110 = (x + 6) \times \frac{5}{18} \times 6$
$110 = (x + 6) \times \frac{5}{3}$
$x + 6 = \frac{110 \times 3}{5} = 66$
$x = 60 \, km/h$।
जब ट्रेन व्यक्ति की समान दिशा में चलती है,तो सापेक्ष गति $(60 - 6) \, km/h = 54 \, km/h$ होती है।
इसे $m/s$ में बदलने पर: $54 \times \frac{5}{18} = 15 \, m/s$।
दूसरे व्यक्ति को पार करने में लगा समय $= \frac{\text{ट्रेन की लंबाई}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{110}{15} = \frac{22}{3} = 7 \frac{1}{3} \, s$।

(D) माना कुल यात्रा $x \ km$ है।
रेल द्वारा तय की गई यात्रा का भाग $\frac{2}{15}x$ है और तांगे द्वारा तय की गई यात्रा का भाग $\frac{9}{20}x$ है।
पैदल तय की गई शेष दूरी $10 \ km$ है।
अतः,समीकरण होगा: $\frac{2}{15}x + \frac{9}{20}x + 10 = x$.
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,$15$ और $20$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $60$ है।
पूरे समीकरण को $60$ से गुणा करने पर: $60 \times (\frac{2}{15}x) + 60 \times (\frac{9}{20}x) + 60 \times 10 = 60 \times x$.
इसे सरल करने पर: $8x + 27x + 600 = 60x$.
$35x + 600 = 60x$.
$600 = 60x - 35x$.
$600 = 25x$.
$x = \frac{600}{25} = 24$.
अतः,कुल यात्रा $24 \ km$ है।

(D) औसत चाल का सूत्र $\text{औसत चाल} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$ होता है।
यहाँ,$\text{कुल दूरी} = 720 \text{ किमी}$ और $\text{कुल समय} = 20 \text{ घंटे}$ दिया गया है।
सबसे पहले,$\text{किमी/घंटा}$ में चाल ज्ञात करें:
$\text{औसत चाल} = \frac{720 \text{ किमी}}{20 \text{ घंटे}} = 36 \text{ किमी/घंटा}$।
$\text{किमी/घंटा}$ को $\text{मीटर/सेकंड}$ में बदलने के लिए,$\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
$\text{औसत चाल} = 36 \times \frac{5}{18} \text{ मीटर/सेकंड} = 2 \times 5 \text{ मीटर/सेकंड} = 10 \text{ मीटर/सेकंड}$।

(B) माना कि दोनों शहरों के बीच की दूरी $D\, km$ है।
कार $A$ द्वारा लिया गया समय $T_A = \frac{D}{72}\, hours$ है।
कार $B$ द्वारा लिया गया समय $T_B = \frac{D}{90}\, hours$ है।
यह दिया गया है कि कार $B$ को कार $A$ से $1\, hour$ कम समय लगता है,इसलिए $T_A - T_B = 1$ है।
मान रखने पर: $\frac{D}{72} - \frac{D}{90} = 1$।
$72$ और $90$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $360$ है:
$\frac{5D - 4D}{360} = 1$।
$\frac{D}{360} = 1$।
अतः,$D = 360\, km$।

(B) दूरी का सूत्र $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ होता है।
यहाँ,$\text{गति} = 40 \, km/h$ और $\text{समय} = 6 \, hours$ दिया गया है।
अतः,$\text{कुल दूरी} = 40 \times 6 = 240 \, km$.
अब,उसी $240 \, km$ की दूरी को $4 \, hours$ में तय करने के लिए आवश्यक गति:
$\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{240}{4} = 60 \, km/h$.

(A) जब दो बिंदुओं के बीच की दूरी स्थिर होती है,तो औसत गति की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $\text{औसत गति} = \frac{2xy}{x+y}$,जहाँ $x$ और $y$ यात्रा के दो चरणों की गति हैं।
यहाँ,$x = 55 \text{ km/hr}$ और $y = 65 \text{ km/hr}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{औसत गति} = \frac{2 \times 55 \times 65}{55 + 65}$
$= \frac{7150}{120}$
$= 59.5833... \text{ km/hr}$.
दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,औसत गति $59.58 \text{ km/hr}$ है।

(C) पहला व्यक्ति सुबह $11:00$ बजे शुरू करता है और $10 \, km/hr$ की गति से दौड़ता है।
वह $2 \, \text{घंटे}$ (सुबह $11:00$ से दोपहर $1:00$ तक) दौड़ता है और $20 \, km$ की दूरी तय करता है।
इसके बाद वह $1 \, \text{घंटा}$ (दोपहर $1:00$ से $2:00$ तक) आराम करता है।
दोपहर $2:00$ बजे,पहला व्यक्ति बिंदु $P$ से $20 \, km$ की दूरी पर है।
दोपहर $2:00$ बजे,दूसरा व्यक्ति बिंदु $P$ से $15 \, km/hr$ की गति से शुरू करता है।
दोनों व्यक्तियों के बीच सापेक्ष गति $15 - 10 = 5 \, km/hr$ है।
दूसरे व्यक्ति द्वारा पहले व्यक्ति को पकड़ने में लगा समय = $\frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{20 \, km}{5 \, km/hr} = 4 \, \text{घंटे}$ है।
अतः,पहला व्यक्ति दोपहर $2:00 + 4 \, \text{घंटे }= 6:00 \, p.m.$ बजे पकड़ा जाएगा।

(C) मान लीजिए मोटरसाइकिल सवार की सामान्य गति $x \, km/h$ है।
तय की जाने वाली दूरी $21 \, km$ है।
सामान्य गति पर लिया गया समय $T_1 = \frac{21}{x} \, \text{घंटे}$ है।
बढ़ी हुई गति पर लिया गया समय $T_2 = \frac{21}{x+12} \, \text{घंटे}$ है।
देरी $6 \frac{2}{3} \, \text{मिनट }= \frac{20}{3} \, \text{मिनट }= \frac{20}{3 \times 60} \, \text{घंटे }= \frac{1}{9} \, \text{घंटे}$ है।
प्रश्न के अनुसार,समय का अंतर $\frac{1}{9} \, \text{घंटे}$ है:
$\frac{21}{x} - \frac{21}{x+12} = \frac{1}{9}$
$21 \left( \frac{x+12-x}{x(x+12)} \right) = \frac{1}{9}$
$21 \left( \frac{12}{x^2+12x} \right) = \frac{1}{9}$
$252 \times 9 = x^2 + 12x$
$x^2 + 12x - 2268 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 4(1)(-2268)}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 9072}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{9216}}{2} = \frac{-12 \pm 96}{2}$
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = \frac{84}{2} = 42 \, km/h$।

(C) पुलिसकर्मी और चोर के बीच की प्रारंभिक दूरी $= 400\, m$।
चोर के सापेक्ष पुलिसकर्मी की सापेक्ष गति $= 9\, km/h - 5\, km/h = 4\, km/h$।
सापेक्ष गति को $m/s$ में बदलने पर: $4 \times \frac{5}{18} = \frac{10}{9}\, m/s$।
पुलिसकर्मी द्वारा चोर को पकड़ने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{400}{10/9} = 400 \times \frac{9}{10} = 360\, s$।
चोर की गति $m/s$ में $= 5 \times \frac{5}{18} = \frac{25}{18}\, m/s$।
$360\, s$ में चोर द्वारा तय की गई दूरी $= \text{गति} \times \text{समय} = \frac{25}{18} \times 360 = 25 \times 20 = 500\, m$।

(D) पुलिसकर्मी और चोर के बीच की प्रारंभिक दूरी $= 150\, m$ है।
चोर के सापेक्ष पुलिसकर्मी की सापेक्ष गति $= 9\, km/h - 7\, km/h = 2\, km/h$ है।
सापेक्ष गति को $m/s$ में बदलने पर: $2 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{9}\, m/s$।
पुलिसकर्मी द्वारा चोर को पकड़ने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{150}{5/9} = 150 \times \frac{9}{5} = 270\, s$ है।
चोर की गति $m/s$ में $= 7 \times \frac{5}{18} = \frac{35}{18}\, m/s$ है।
$270\, s$ में चोर द्वारा तय की गई दूरी $= \text{गति} \times \text{समय} = \frac{35}{18} \times 270 = 35 \times 15 = 525\, m$ है।

(D) मान लीजिए कि पहली ट्रेन ($100\, m$ लंबाई) की गति $v\, km/h$ है।
दूसरी ट्रेन ($150\, m$ लंबाई) की गति $40\, km/h$ है।
चूंकि वे विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति $(v + 40)\, km/h$ होगी।
सापेक्ष गति को $m/s$ में बदलने पर: $(v + 40) \times \frac{5}{18}\, m/s.$
एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है: $100\, m + 150\, m = 250\, m.$
सूत्र $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}}$ का उपयोग करते हुए:
$9 = \frac{250}{(v + 40) \times \frac{5}{18}}$
$9 = \frac{250 \times 18}{5(v + 40)}$
$9 = \frac{50 \times 18}{v + 40}$
$9(v + 40) = 900$
$v + 40 = 100$
$v = 60\, km/h.$

(C) पुल को पार करने के लिए ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी, ट्रेन की लंबाई और पुल की लंबाई का योग होती है।
कुल दूरी = $200 \, m + 400 \, m = 600 \, m$.
ट्रेन की गति $20 \, m/s$ है।
लिया गया समय = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{गति}}$.
समय = $\frac{600 \, m}{20 \, m/s} = 30 \, s$.
अतः, ट्रेन $30 \, \text{सेकंड}$ में पुल को पार कर लेगी।

(B) चरण $1$: ट्रेन की गति $km/h$ में ज्ञात करें।
गति = $\frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{12 \, km}{10 \, \text{minutes}} = \frac{12 \, km}{(10/60) \, h} = 12 \times 6 = 72 \, km/h$.
चरण $2$: गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलें।
$m/s$ में गति = $72 \times \frac{5}{18} = 4 \times 5 = 20 \, m/s$.
चरण $3$: ट्रेन की लंबाई की गणना करें।
जब कोई ट्रेन टेलीग्राफ पोस्ट को पार करती है,तो तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई $(L)$ के बराबर होती है।
$L = \text{गति} \times \text{समय} = 20 \, m/s \times 6 \, s = 120 \, \text{meters}$.

(A) माना कि दो क्रमागत पेड़ों के बीच की दूरी $d$ है।
$13$ वें पेड़ और $34$ वें पेड़ के बीच के अंतरालों की संख्या $(34 - 13) = 21$ है।
$18 \, \text{सेकंड}$ में तय की गई दूरी $= 21d$ है।
कार की गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{21d}{18} = \frac{7d}{6} \, \text{इकाई/सेकंड}$ है।
$1$ ले पेड़ और $50$ वें पेड़ के बीच के अंतरालों की संख्या $(50 - 1) = 49$ है।
तय की जाने वाली कुल दूरी $= 49d$ है।
लिया गया समय $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{गति}} = \frac{49d}{7d/6} = 49 \times \frac{6}{7} = 7 \times 6 = 42 \, \text{सेकंड}$।

(B) दोनों गधों के बीच की दूरी $D = 400 \, m$ है。
पहले गधे की गति $v_1 = 3 \, m/s$ है。
दूसरे गधे की गति $v_2 = 2 \, m/s$ है。
चूंकि वे एक-दूसरे की ओर दौड़ रहे हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगी:
$v_{rel} = v_1 + v_2 = 3 \, m/s + 2 \, m/s = 5 \, m/s$.
मिलने में लगा समय इस सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$t = \frac{D}{v_{rel}} = \frac{400 \, m}{5 \, m/s} = 80 \, \text{सेकंड}$.

(B) सबसे पहले,व्यक्ति की गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
गति $= 3 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{6} \, m/s$.
अब,$2 \, minutes$ $(120 \, seconds)$ में तय की गई दूरी ज्ञात करें:
दूरी $= \text{गति} \times \text{समय} = \frac{5}{6} \times 120 = 100 \, m$.
चूंकि व्यक्ति वर्गाकार खेत को विकर्णतः पार करता है,इसलिए वर्ग का विकर्ण $d = 100 \, m$ है।
वर्ग के विकर्ण का सूत्र $d = a\sqrt{2}$ है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
$a\sqrt{2} = 100 \Rightarrow a = \frac{100}{\sqrt{2}}$.
वर्ग का क्षेत्रफल $a^2$ होता है:
क्षेत्रफल $= \left(\frac{100}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{10000}{2} = 5000 \, m^2$.

(D) माना कार की गति $v_{car}$ है।
ट्रेन की गति $v_{train} = 1.2 v_{car}$ है।
कार द्वारा $240\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{240}{v_{car}}$.
ट्रेन द्वारा $240\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{240}{1.2 v_{car}} + \frac{48}{60} = \frac{200}{v_{car}} + 0.8$.
चूँकि दोनों एक ही समय पर पहुँचते हैं,इसलिए $\frac{240}{v_{car}} = \frac{200}{v_{car}} + 0.8$.
$\frac{40}{v_{car}} = 0.8 \implies v_{car} = \frac{40}{0.8} = 50\, km/hr$.

(A) मान लीजिए कि कार्यालय पहुँचने का निर्धारित समय $T$ है।
जब $50 \, km/h$ की गति से कार द्वारा यात्रा की जाती है,तो लिया गया समय $T_1 = \frac{25}{50} = 0.5 \, hours = 30 \, minutes$ है।
चूंकि वह $5 \, minutes$ देरी से पहुँचती है,इसलिए निर्धारित समय $T = 30 - 5 = 25 \, minutes$ है।
जब मोटरबाइक द्वारा यात्रा की जाती है,तो वह $3 \, minutes$ जल्दी पहुँच जाती है,इसलिए लिया गया समय $T_2 = 25 - 3 = 22 \, minutes$ है।
$T_2$ को घंटों में बदलने पर: $T_2 = \frac{22}{60} \, hours = \frac{11}{30} \, hours$.
मोटरबाइक की गति $S = \frac{\text{Distance}}{\text{Time}} = \frac{25}{11/30} = \frac{25 \times 30}{11} = \frac{750}{11} \approx 68.18 \, km/h$.
निकटतम पूर्णांक में,गति $68 \, km/h$ है।

(B) गति का सूत्र $\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$ है।
कार की गति = $\frac{80 \, \text{km}}{2 \, \text{घंटे}} = 40 \, \text{km/h}$.
ट्रेन की गति = $\frac{80 \, \text{km}}{3 \, \text{घंटे}} = \frac{80}{3} \, \text{km/h}$.
कार की गति और ट्रेन की गति का अनुपात = $40 : \frac{80}{3}$.
सरल बनाने के लिए दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर: $(40 \times 3) : 80 = 120 : 80$.
दोनों को $40$ से विभाजित करने पर, हमें $3 : 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना मालगाड़ी की गति $y \text{ km/h}$ है।
मालगाड़ी यात्री ट्रेन के शुरू होने से $6 \text{ घंटे}$ पहले चल चुकी है।
इन $6 \text{ घंटों}$ में मालगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी $= 6y \text{ km}$ है।
जब यात्री ट्रेन शुरू होती है,तो दोनों ट्रेनों के बीच सापेक्ष गति $(80 - y) \text{ km/h}$ होती है।
यात्री ट्रेन $4 \text{ घंटे}$ में मालगाड़ी को पीछे छोड़ देती है।
इसलिए,$6y = 4 \times (80 - y)$
$6y = 320 - 4y$
$10y = 320$
$y = 32 \text{ km/h}$.
अतः,मालगाड़ी की गति $32 \text{ km/h}$ है।

(B) माना कार की गति $x\, km/h$ है।
व्यक्ति के सापेक्ष कार की सापेक्ष गति $(x - 4)\, km/h$ होगी।
व्यक्ति कार को $3\, \text{मिनट}$ तक देख सकता है,जो $\frac{3}{60} = \frac{1}{20}\, \text{घंटे}$ है।
दृश्यता की दूरी $130\, m$ है,जो $\frac{130}{1000} = 0.13\, km$ है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{सापेक्ष गति} \times \text{समय} = \text{दूरी}$
$(x - 4) \times \frac{1}{20} = \frac{130}{1000}$
$(x - 4) \times \frac{1}{20} = \frac{13}{100}$
$x - 4 = \frac{13}{100} \times 20$
$x - 4 = \frac{13}{5} = 2.6$
$x = 2.6 + 4 = 6.6\, km/h$
$6.6$ को भिन्न में बदलने पर: $6.6 = 6 \frac{6}{10} = 6 \frac{3}{5}\, km/h$।

(A) प्लेटफॉर्म को पार करने के लिए ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी = ट्रेन की लंबाई + प्लेटफॉर्म की लंबाई
कुल दूरी = $150 \, m + 450 \, m = 600 \, m$
लिया गया समय = $20 \, s$
$m/s$ में ट्रेन की गति = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{लिया गया समय}} = \frac{600}{20} = 30 \, m/s$
गति को $m/s$ से $km/h$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें:
$km/h$ में गति = $30 \times \frac{18}{5} = 6 \times 18 = 108 \, km/h$

(B) चूंकि व्यक्ति ट्रेन की विपरीत दिशा में दौड़ रहा है, इसलिए सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगी।
सापेक्ष गति $= 60 + 6 = 66 \, km/h$.
गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलने के लिए, $\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
सापेक्ष गति $= 66 \times \frac{5}{18} = \frac{11 \times 5}{3} = \frac{55}{3} \, m/s$.
व्यक्ति को पार करने के लिए तय की जाने वाली दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर है, जो कि $110 \, m$ है।
लिया गया समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{110}{\frac{55}{3}} = 110 \times \frac{3}{55} = 2 \times 3 = 6 \, \text{सेकंड}$.

(B) माना $A$ की चाल $x \, km/hr$ है।
चूंकि उनकी चालों का योग $7 \, km/hr$ है,इसलिए $B$ की चाल $(7 - x) \, km/hr$ होगी।
दोनों $24 \, km$ चलते हैं,इसलिए $A$ द्वारा लिया गया समय $t_A = \frac{24}{x}$ और $B$ द्वारा लिया गया समय $t_B = \frac{24}{7-x}$ है।
समय का योग $14 \, hours$ है,इसलिए $\frac{24}{x} + \frac{24}{7-x} = 14$ है।
$2$ से भाग देने पर,$\frac{12}{x} + \frac{12}{7-x} = 7$ प्राप्त होता है।
$x(7-x)$ से गुणा करने पर,$12(7-x) + 12x = 7x(7-x)$ प्राप्त होता है।
$84 - 12x + 12x = 49x - 7x^2$।
$7x^2 - 49x + 84 = 0$।
$7$ से भाग देने पर,$x^2 - 7x + 12 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 4)(x - 3) = 0$।
अतः,$x = 4$ या $x = 3$।
चूंकि $A$,$B$ से तेज है,इसलिए $A$ की चाल $4 \, km/hr$ और $B$ की चाल $3 \, km/hr$ होगी।

(A) मान लीजिए उड़ान $A$ की गति $v_A$ है और उड़ान $B$ की गति $v_B$ है ($\text{km/hr}$ में)।
दूरी $D = 7200 \, \text{km}$.
मान लीजिए $T_A$ और $T_B$ क्रमशः उड़ान $A$ और उड़ान $B$ द्वारा लिया गया सामान्य समय है।
पहली शर्त से: $T_A = T_B + 1$,जहाँ $T_A = \frac{7200}{v_A}$ और $T_B = \frac{7200}{v_B}$ है।
जब उड़ान $B$ की गति $\frac{1}{6}$ कम हो जाती है,तो इसकी नई गति $v_B' = v_B(1 - \frac{1}{6}) = \frac{5}{6}v_B$ हो जाती है।
उड़ान $B$ द्वारा लिया गया नया समय $T_B' = \frac{D}{v_B'} = \frac{7200}{\frac{5}{6}v_B} = \frac{6}{5} \times \frac{7200}{v_B} = 1.2 T_B$ है।
दूसरी शर्त से,$T_B' = T_A + 0.6$ (क्योंकि $36 \, \text{minutes} = 0.6 \, \text{hours}$)।
समीकरण में $T_A = T_B + 1$ रखने पर: $1.2 T_B = (T_B + 1) + 0.6$.
$1.2 T_B = T_B + 1.6$.
$0.2 T_B = 1.6 \implies T_B = 8 \, \text{hours}$.
अतः $T_A = 8 + 1 = 9 \, \text{hours}$.
उड़ान $A$ की गति = $\frac{7200}{9} = 800 \, \text{km/hr}$।

(D) माना बिंदु $A$ और $B$ के बीच की दूरी $D \, km$ है और निर्धारित समय $T$ घंटे है।
जब गति $5 \, km/h$ होती है,तो लिया गया समय $T + \frac{48}{60}$ घंटे होता है।
अतः,$\frac{D}{5} = T + \frac{48}{60} \quad (1)$
जब गति $8 \, km/h$ होती है,तो लिया गया समय $T - \frac{15}{60}$ घंटे होता है।
अतः,$\frac{D}{8} = T - \frac{15}{60} \quad (2)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$\frac{D}{5} - \frac{D}{8} = (T + \frac{48}{60}) - (T - \frac{15}{60})$
$\frac{8D - 5D}{40} = \frac{48 + 15}{60}$
$\frac{3D}{40} = \frac{63}{60}$
$\frac{3D}{40} = \frac{21}{20}$
$D = \frac{21}{20} \times \frac{40}{3} = 7 \times 2 = 14 \, km$.
इस प्रकार,दूरी $14 \, km$ है।

(B) माना कि पैदल तय की गई दूरी $x \, km$ है।
अतः,साइकिल पर तय की गई दूरी $(61 - x) \, km$ होगी।
हम जानते हैं कि $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$.
प्रश्न के अनुसार,कुल लगा समय $9 \, hrs$ है:
$\frac{x}{4} + \frac{61 - x}{9} = 9$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $36$ ($4$ और $9$ का ल.स.प.) से गुणा करने पर:
$9x + 4(61 - x) = 9 \times 36$
$9x + 244 - 4x = 324$
$5x = 324 - 244$
$5x = 80$
$x = 16 \, km$.
अतः,पैदल तय की गई दूरी $16 \, km$ है।

(B) सबसे पहले, समय को घंटों में बदलें: $2 \, \text{घंटे} \, 45 \, \text{मिनट} = 2 + \frac{45}{60} = 2 + 0.75 = 2.75 \, \text{घंटे}$ या $\frac{11}{4} \, \text{घंटे}$।
दूरी ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: $\text{दूरी} = \text{चाल} \times \text{समय}$।
$\text{दूरी} = 4 \, km/h \times \frac{11}{4} \, \text{घंटे} = 11 \, km$।
अब, $16.5 \, km/h$ की नई गति पर लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}$।
$\text{समय} = \frac{11}{16.5} \, \text{घंटे} = \frac{110}{165} \, \text{घंटे} = \frac{2}{3} \, \text{घंटे}$।
समय को मिनटों में बदलें: $\frac{2}{3} \times 60 \, \text{मिनट} = 40 \, \text{मिनट}$।

(D) माना $P$ और $Q$ के बीच की कुल दूरी $D \, km$ है।
दूरी का पहला $\frac{1}{4}$ भाग $10 \, km/h$ की गति से तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{D/4}{10} = \frac{D}{40} \, hours$ है।
शेष दूरी $D - \frac{D}{4} = \frac{3D}{4} \, km$ है।
शेष दूरी को $12 \, km/h$ की गति से तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{3D/4}{12} = \frac{3D}{48} = \frac{D}{16} \, hours$ है।
कुल लगा समय $t_1 + t_2 = 7 \, hours$ है।
$\frac{D}{40} + \frac{D}{16} = 7$.
$40$ और $16$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $80$ लेने पर:
$\frac{2D + 5D}{80} = 7$.
$\frac{7D}{80} = 7$.
$D = 80 \, km$.

(B) माना प्रत्येक खंड के लिए दूरी $d = 7 \, km$ है। चूँकि दूरियाँ समान हैं,हम औसत गति के लिए हरात्मक माध्य (harmonic mean) सूत्र का उपयोग करते हैं।
माना गति $v_1 = 10 \, km/h$,$v_2 = 20 \, km/h$,$v_3 = 30 \, km/h$,और $v_4 = 60 \, km/h$ है।
जब दूरियाँ समान हों तो औसत गति का सूत्र $V_{avg} = \frac{n}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3} + \frac{1}{v_4}}$ है,जहाँ $n = 4$ है।
$V_{avg} = \frac{4}{\frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{60}}$
भिन्नों के लिए सामान्य हर (denominator) $60$ है।
$V_{avg} = \frac{4}{\frac{6+3+2+1}{60}} = \frac{4}{\frac{12}{60}} = \frac{4}{\frac{1}{5}}$
$V_{avg} = 4 \times 5 = 20 \, km/h$.

(D) मान लीजिए $Q$ से चलने वाली ट्रेन की गति $x \, km/h$ है।
चूंकि $P$ से चलने वाली ट्रेन $8 \, km/h$ तेज है,इसलिए उसकी गति $(x + 8) \, km/h$ होगी।
जब दो वस्तुएं एक-दूसरे की ओर चलती हैं,तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होती है: $(x + 8 + x) = (2x + 8) \, km/h$.
$P$ और $Q$ के बीच की दूरी $162 \, km$ है और वे $6 \, hours$ में मिलती हैं।
सूत्र $\text{दूरी} = \text{सापेक्ष गति} \times \text{समय}$ का उपयोग करते हुए:
$162 = (2x + 8) \times 6$
दोनों पक्षों को $6$ से विभाजित करने पर:
$27 = 2x + 8$
$2x = 27 - 8$
$2x = 19$
$x = 9.5 \, km/h$ या $9 \frac{1}{2} \, km/h$.

(B) माना स्टेशन की दूरी $D\, km$ है और ट्रेन का निर्धारित समय $T\, \text{hours}$ है।
स्थिति $1$: जब $5\, km/h$ की गति से चलते हैं,तो वह $7\, \text{minutes}$ $(7/60\, \text{hours})$ देरी से पहुँचता है।
लिया गया समय = $D/5 = T + 7/60$.
स्थिति $2$: जब $6\, km/h$ की गति से चलते हैं,तो वह $5\, \text{minutes}$ $(5/60\, \text{hours})$ पहले पहुँच जाता है।
लिया गया समय = $D/6 = T - 5/60$.
पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर:
$(D/5) - (D/6) = (T + 7/60) - (T - 5/60)$.
$(6D - 5D) / 30 = 12/60$.
$D/30 = 1/5$.
$D = 30/5 = 6\, km$.
अतः,स्टेशन की दूरी $6\, km$ है।

(A) पहिये की परिधि $\pi \times d = \frac{22}{7} \times 70 = 220 \, cm$ द्वारा दी जाती है।
$1$ चक्कर में तय की गई दूरी $= 220 \, cm$.
$1$ मिनट में तय की गई दूरी $= 400 \times 220 = 88,000 \, cm$.
$1$ घंटे में तय की गई दूरी $= 88,000 \times 60 = 5,280,000 \, cm$.
सेंटीमीटर को किलोमीटर में बदलने के लिए, $100,000$ से भाग दें ($100 \, cm = 1 \, m$ और $1,000 \, m = 1 \, km$):
गति $= \frac{5,280,000}{100,000} = 52.8 \, km/hr$.

(A) चूंकि राज और प्रेम विपरीत दिशाओं में चल रहे हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगी。
सापेक्ष गति $= 3 \, km/h + 2 \, km/h = 5 \, km/h$.
$2 \, \text{घंटे}$ में तय की गई दूरी $= \text{सापेक्ष गति} \times \text{समय}$.
दूरी $= 5 \, km/h \times 2 \, h = 10 \, km$.
अतः, $2 \, \text{घंटे}$ बाद वे एक-दूसरे से $10 \, km$ की दूरी पर होंगे。

(D) मान लीजिए स्टेशन $A$ और $B$ के बीच की दूरी $D$ है।
पहली ट्रेन द्वारा $A$ से $B$ तक लिया गया समय = $4$ घंटे।
पहली ट्रेन की गति $(v_1)$ = $D/4$।
दूसरी ट्रेन द्वारा $B$ से $A$ तक लिया गया समय = $3.5$ घंटे = $7/2$ घंटे।
दूसरी ट्रेन की गति $(v_2)$ = $D / (7/2) = 2D/7$।
पहली ट्रेन सुबह $5$ बजे चलती है। सुबह $7$ बजे तक,उसने $2$ घंटे की यात्रा की होगी।
$2$ घंटे में पहली ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी = $(D/4) \times 2 = D/2$।
सुबह $7$ बजे शेष दूरी = $D - D/2 = D/2$।
चूंकि ट्रेनें एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं,उनकी सापेक्ष गति = $v_1 + v_2 = D/4 + 2D/7 = (7D + 8D) / 28 = 15D/28$।
सुबह $7$ बजे के बाद मिलने में लगा समय $(t)$ = $\text{शेष दूरी} / \text{सापेक्ष गति} = (D/2) / (15D/28) = (D/2) \times (28/15D) = 14/15$ घंटे।
$14/15$ घंटे को मिनटों में बदलने पर: $(14/15) \times 60 = 56$ मिनट।
अतः,दोनों ट्रेनें सुबह $7:56$ बजे एक-दूसरे से मिलेंगी।

(C) समय का सूत्र इस प्रकार है: $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$.
दिया गया है:
$\text{गति} = 75\, km/hr$
$\text{दूरी} = 1050\, km$
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{समय} = \frac{1050}{75} = 14\, hrs$.
अतः, ट्रेन को दूरी तय करने में $14\, \text{घंटे}$ लगेंगे।

(D) ट्रेन की लंबाई $= 180 \, m$ है।
ट्रेन की गति $= 90 \, km/h$ है।
गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलने के लिए,हम $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
गति $= 90 \times \frac{5}{18} = 5 \times 5 = 25 \, m/s$ है।
एक खंभे को पार करने के लिए,ट्रेन को अपनी लंबाई के बराबर दूरी तय करनी होगी।
लिया गया समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{180}{25} \, s$ है।
लिया गया समय $= 7.2 \, s$ है।

(C) माना $Q$ से चलने वाली ट्रेन की गति $x \, km/h$ है।
चूंकि $P$ से चलने वाली ट्रेन $8 \, km/h$ तेज है,इसलिए उसकी गति $(x + 8) \, km/h$ होगी।
जब दो वस्तुएं एक-दूसरे की ओर चलती हैं,तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होती है: $(x + x + 8) = (2x + 8) \, km/h$.
यह दिया गया है कि वे $6 \, \text{hours}$ बाद मिलती हैं और कुल दूरी $162 \, km$ है,इसलिए सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{दूरी} = \text{सापेक्ष गति} \times \text{समय}$.
$162 = (2x + 8) \times 6$.
दोनों पक्षों को $6$ से विभाजित करने पर: $27 = 2x + 8$.
दोनों पक्षों से $8$ घटाने पर: $2x = 19$.
$2$ से विभाजित करने पर: $x = 9.5 \, km/h$,जो कि $9 \frac{1}{2} \, km/h$ है।

(A) क्रमिक मिनटों में तय की गई दूरी इस प्रकार है:
$1^{st}$ मिनट में दूरी $= 50\, m$।
$2^{nd}$ मिनट में दूरी $= 90 - 50 = 40\, m$।
$3^{rd}$ मिनट में दूरी $= 130 - 90 = 40\, m$।
यहाँ कुल दूरी $50, 90, 130, \dots$ एक समांतर श्रेणी (Arithmetic Progression) में है जहाँ प्रथम पद $a = 50$ और सार्व अंतर $d = 40$ है।
$15\, \text{minutes}$ में तय की गई कुल दूरी श्रेणी का $15\text{-वाँ}$ पद है:
$a_{15} = a + (n - 1)d$
$a_{15} = 50 + (15 - 1)40$
$a_{15} = 50 + 14 \times 40$
$a_{15} = 50 + 560 = 610\, m$।

(C) वह न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए जिसे तीनों व्यक्ति पूर्ण कदमों में तय कर सकें,हमें उनके कदमों की लंबाई का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ निकालना होगा: $63 \, cm$,$70 \, cm$ और $77 \, cm$।
चरण $1$: संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन:
$63 = 3^2 \times 7$
$70 = 2 \times 5 \times 7$
$77 = 7 \times 11$
चरण $2$: प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेकर $LCM$ की गणना करें:
$LCM = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1 \times 11^1$
$LCM = 2 \times 9 \times 5 \times 7 \times 11$
$LCM = 10 \times 9 \times 77$
$LCM = 90 \times 77 = 6930$
अतः,न्यूनतम दूरी $6930 \, cm$ है।

(A) माना पैदल तय की गई दूरी $x\, km$ है।
अतः,साइकिल पर तय की गई दूरी $(80 - x)\, km$ होगी।
हम जानते हैं कि $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}$.
प्रश्न के अनुसार,कुल समय $7\, \text{घंटे}$ लगता है:
$\frac{x}{8} + \frac{80 - x}{16} = 7$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $16$ से गुणा करने पर:
$2x + (80 - x) = 16 \times 7$
$x + 80 = 112$
$x = 112 - 80$
$x = 32\, km$.
अतः,पैदल तय की गई दूरी $32\, km$ है।

(A) माना कि प्रत्येक ट्रेन की लंबाई $x \, m$ है।
चूंकि ट्रेनें एक ही दिशा में चल रही हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का अंतर होगी:
सापेक्ष गति $= (46 - 36) \, km/h = 10 \, km/h$.
सापेक्ष गति को $\frac{5}{18}$ से गुणा करके $m/s$ में बदलें:
सापेक्ष गति $= 10 \times \frac{5}{18} = \frac{50}{18} = \frac{25}{9} \, m/s$.
जब तेज ट्रेन धीमी ट्रेन को पार करती है,तो तय की गई कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग होती है,जो $x + x = 2x \, m$ है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$
$2x = \left( \frac{25}{9} \right) \times 36$
$2x = 25 \times 4$
$2x = 100$
$x = 50 \, m$.
अतः,प्रत्येक ट्रेन की लंबाई $50 \, m$ है।

(D) तय की जाने वाली कुल दूरी $= 300 \, km$।
उपलब्ध कुल समय $= 12:30 \, pm - 8:30 \, am = 4 \, \text{घंटे}$।
$2 \, \text{घंटे}$ में तय की गई दूरी (सुबह $8:30$ से $10:30$ तक) $= 300 \, km \text{ का } 40 \% = \frac{40}{100} \times 300 = 120 \, km$।
कार की मूल गति $= \frac{120 \, km}{2 \, \text{घंटे}} = 60 \, km/h$।
शेष दूरी $= 300 \, km - 120 \, km = 180 \, km$।
शेष समय $= 4 \, \text{घंटे} - 2 \, \text{घंटे} = 2 \, \text{घंटे}$।
शेष दूरी को समय पर तय करने के लिए आवश्यक गति $= \frac{180 \, km}{2 \, \text{घंटे}} = 90 \, km/h$।
गति में आवश्यक वृद्धि $= 90 \, km/h - 60 \, km/h = 30 \, km/h$।

(A) ट्रेन की गति $54 \ km/h$ दी गई है।
गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलने के लिए,हम इसे $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
$\text{गति} = 54 \times \frac{5}{18} = 3 \times 5 = 15 \ m/s$.
जब कोई ट्रेन किसी स्थिर खंभे को पार करती है,तो तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर होती है।
$\text{दूरी} = 300 \ m$.
$\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{300}{15} = 20 \ seconds$.

(B) $10 \, km/h$ की गति से $5 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय:
समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{5}{10} = 0.5 \, \text{घंटे}$.
चूंकि $1 \, \text{घंटा} = 60 \, \text{minutes}$ होता है, इसलिए $0.5 \, \text{घंटे} = 30 \, \text{minutes}$ होगा।
आदमी हर $1 \, km$ के बाद आराम करता है। $5 \, km$ की दूरी तय करने के लिए, वह $1, 2, 3$ और $4 \, km$ के अंत में आराम करेगा। $5 \, km$ के बाद वह आराम नहीं करेगा क्योंकि वह अपने गंतव्य पर पहुँच चुका है।
कुल विश्राम की संख्या $= 4$.
कुल विश्राम का समय $= 4 \times 5 \, \text{minutes} = 20 \, \text{minutes}$.
कुल लगा समय $= 30 \, \text{minutes} + 20 \, \text{minutes} = 50 \, \text{minutes}$.

(A) दोनों ट्रेनों की सापेक्ष गति $= 93 + 51 = 144 \, km/h$.
$m/s$ में परिवर्तन: $144 \times \frac{5}{18} = 40 \, m/s$.
माना पहली ट्रेन की लंबाई $L$ है। दूसरी ट्रेन की लंबाई $\frac{L}{2}$ है।
पार करते समय तय की गई कुल दूरी $= L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$.
कुल दूरी $= \text{सापेक्ष गति} \times \text{समय} = 40 \times 24 = 960 \, m$.
अतः,$\frac{3L}{2} = 960 \implies L = 960 \times \frac{2}{3} = 640 \, m$.
पहली ट्रेन $93 \, km/h$ की गति से $x$ लंबाई के पुल को $66 \, s$ में पार करती है।
ट्रेन की गति $m/s$ में $= 93 \times \frac{5}{18} = \frac{155}{6} \, m/s$.
तय की गई दूरी $= \text{ट्रेन की लंबाई} + \text{पुल की लंबाई} = 640 + x$.
$640 + x = \frac{155}{6} \times 66 = 155 \times 11 = 1705$.
$x = 1705 - 640 = 1065 \, m$.

(C) मान लीजिए कि पुलिसकर्मी के एक कदम की दूरी $P$ है और चोर के एक कदम की दूरी $T$ है।
दिया गया है कि $5P = 7T$, इसलिए $P/T = 7/5$ है।
समान समय अंतराल में, पुलिसकर्मी $8$ कदम चलता है और चोर $10$ कदम चलता है।
पुलिसकर्मी द्वारा $8$ कदमों में तय की गई दूरी $= 8P$ है।
चोर द्वारा $10$ कदमों में तय की गई दूरी $= 10T$ है।
उनकी गति का अनुपात समान समय में तय की गई दूरियों का अनुपात है:
$\text{अनुपात} = (8P) / (10T) = (8/10) \times (P/T)$ है।
$P/T = 7/5$ रखने पर:
$\text{अनुपात} = (8/10) \times (7/5) = 56 / 50 = 28 / 25$ है।
अतः, पुलिसकर्मी और चोर की गति का अनुपात $28:25$ है।

(C) और $B$ के बीच की कुल दूरी $20 \text{ km}$ है।
चूंकि वे एक-दूसरे की ओर चल रहे हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष चाल (relative speed) का योग होगा: $4 \text{ km/hr} + 6 \text{ km/hr} = 10 \text{ km/hr}$.
मिलने में लगा समय ज्ञात करने का सूत्र: $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष चाल}}$.
$\text{समय} = \frac{20 \text{ km}}{10 \text{ km/hr}} = 2 \text{ घंटे}$.
चूंकि उन्होंने सुबह $7$ बजे चलना शुरू किया था,इसलिए वे $7 + 2 = 9$ बजे (सुबह) मिलेंगे।

(B) माना दूरी $d \, km$ है और प्रारंभिक गति $s \, km/h$ है।
गति $s$ पर लिया गया समय $t = \frac{d}{s} \, \text{घंटे}$ है।
स्थिति $1$: यदि गति $10 \, km/h$ बढ़ाई जाती है,तो लिया गया समय $t - 1$ है।
$\frac{d}{s+10} = \frac{d}{s} - 1 \implies \frac{d}{s} - \frac{d}{s+10} = 1 \implies \frac{10d}{s(s+10)} = 1 \implies 10d = s(s+10) \dots (i)$.
स्थिति $2$: यदि गति $20 \, km/h$ बढ़ाई जाती है (कुल वृद्धि),तो लिया गया समय $t - 1 - \frac{45}{60} = t - 1.75 = t - \frac{7}{4}$ है।
$\frac{d}{s+20} = \frac{d}{s} - \frac{7}{4} \implies \frac{d}{s} - \frac{d}{s+20} = \frac{7}{4} \implies \frac{20d}{s(s+20)} = \frac{7}{4} \implies 80d = 7s(s+20) \dots (ii)$.
$(i)$ से,$d = \frac{s(s+10)}{10}$. इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$80 \left( \frac{s(s+10)}{10} \right) = 7s(s+20) \implies 8s(s+10) = 7s(s+20)$.
चूंकि $s \neq 0$,$8s + 80 = 7s + 140 \implies s = 60 \, km/h$.
$s = 60$ को $(i)$ में रखने पर:
$10d = 60(60+10) = 60 \times 70 = 4200 \implies d = 420 \, km$.

(D) पहली ट्रेन द्वारा लिया गया समय $= 4 \text{ घंटे}.$
दूसरी ट्रेन द्वारा लिया गया समय $= 3.5 \text{ घंटे} = \frac{7}{2} \text{ घंटे}.$
मान लीजिए $A$ और $B$ के बीच की दूरी $D$ है।
पहली ट्रेन की गति $(v_1) = \frac{D}{4}.$
दूसरी ट्रेन की गति $(v_2) = \frac{D}{3.5} = \frac{2D}{7}.$
पहली ट्रेन सुबह $7:00$ बजे और दूसरी ट्रेन सुबह $8:00$ बजे चलती है।
$1 \text{ घंटे में}$ (सुबह $7:00$ से $8:00$ बजे तक),पहली ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी $= v_1 \times 1 = \frac{D}{4}.$
सुबह $8:00$ बजे शेष दूरी $= D - \frac{D}{4} = \frac{3D}{4}.$
चूंकि ट्रेनें एक-दूसरे की ओर आ रही हैं,उनकी सापेक्ष गति $= v_1 + v_2 = \frac{D}{4} + \frac{2D}{7} = \frac{7D + 8D}{28} = \frac{15D}{28}.$
सुबह $8:00$ बजे के बाद मिलने में लगा समय $= \frac{\text{शेष दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{3D/4}{15D/28} = \frac{3}{4} \times \frac{28}{15} = \frac{7}{5} \text{ घंटे}.$
$\frac{7}{5} \text{ घंटे} = 1 \text{ घंटा और } 24 \text{ मिनट}.$
मिलने का समय $= 8:00 \text{ am} + 1 \text{ घंटा } 24 \text{ मिनट} = 9:24 \text{ am}.$