Thermal Expansion for Solid Questions in Hindi

(A) तरल में वस्तु का आभासी वजन $W_{app} = W_{air} - F_B$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $F_B = V \rho g$ उत्प्लावन बल है।
$T_1 = 32^{\circ}C$ पर: $W_{app1} = 39 \ gm$, $W_{air} = 49 \ gm$, $\rho_1 = 1.2 \times 10^3 \ kg/m^3$.
$V_1 = \frac{W_{air} - W_{app1}}{\rho_1} = \frac{(49 - 39) \times 10^{-3} \ kg}{1.2 \times 10^3 \ kg/m^3} = 8.33 \times 10^{-6} \ m^3$.
$T_2 = 42^{\circ}C$ पर: $W_{app2} = 40 \ gm$, $W_{air} = 49 \ gm$, $\rho_2 = 1.0 \times 10^3 \ kg/m^3$.
$V_2 = \frac{W_{air} - W_{app2}}{\rho_2} = \frac{(49 - 40) \times 10^{-3} \ kg}{1.0 \times 10^3 \ kg/m^3} = 9 \times 10^{-6} \ m^3$.
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_2 - V_1 = V_1 (3\alpha \Delta T)$.
$9 \times 10^{-6} - 8.33 \times 10^{-6} = 8.33 \times 10^{-6} \times 3 \alpha \times (42 - 32)$.
$\alpha = \frac{0.67}{8.33 \times 30} \approx \frac{8}{3} \times 10^{-3} /^{\circ}C$.

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर, हमें $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dl}{l}$ प्राप्त होता है।
चूंकि रैखिक प्रसार $\frac{dl}{l} = \alpha \Delta \theta$ है, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$.
यहाँ $\alpha = 9 \times 10^{-7} /{ }^{\circ} C$ और $\Delta \theta = (30 - 20) = 10^{\circ} C$ दिया गया है,
$\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \times 9 \times 10^{-7} \times 10 = 4.5 \times 10^{-6}$.
प्रति दोलन समय की हानि $dT = T \times (4.5 \times 10^{-6})$ है।
$T = 0.5 \, s$ रखने पर, हमें $dT = 0.5 \times 4.5 \times 10^{-6} = 2.25 \times 10^{-6} \, s$ प्राप्त होता है।

(B) निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करने के कारण छड़ का कोणीय संवेग $J$ स्थिर रहता है।
$J = I \omega = \text{स्थिर}$.
प्रारंभ में, जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{3} M L^2$ है और कोणीय वेग $\omega_1 = \omega$ है।
जब तापमान $t^{\circ} C$ बढ़ता है, तो छड़ की लंबाई $L' = L(1 + \alpha t)$ हो जाती है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{3} M (L')^2 = \frac{1}{3} M L^2 (1 + \alpha t)^2 = I_1 (1 + \alpha t)^2$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से, $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$.
$\omega_2 = \omega_1 \left( \frac{I_1}{I_2} \right) = \omega \left( \frac{I_1}{I_1(1 + \alpha t)^2} \right) = \omega (1 + \alpha t)^{-2}$.
छोटे $\alpha t$ के लिए द्विपद सन्निकटन का उपयोग करने पर, $\omega_2 \approx \omega (1 - 2 \alpha t)$.
कोणीय वेग में परिवर्तन $\Delta \omega = \omega_2 - \omega_1 = \omega (1 - 2 \alpha t) - \omega = -2 \omega \alpha t$.
अतः, कोणीय वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \omega|$, $\omega$ के समानुपाती है।

(A) माना $30^{\circ} C$ तापमान पर तांबे की रिंग का क्षेत्रफल $A_c$ और स्टील की छड़ का क्षेत्रफल $A_s$ है।
दिया गया है: $A_c = 9.98 \ cm^2$, $A_s = 10 \ cm^2$.
रेखीय प्रसार गुणांक: $\alpha_c = 17 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$, $\alpha_s = 11 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
क्षेत्रफल प्रसार गुणांक: $\beta_c = 2\alpha_c = 34 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$, $\beta_s = 2\alpha_s = 22 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
रिंग को छड़ पर चढ़ाने के लिए, नए तापमान $T = T_0 + \Delta T$ पर रिंग का क्षेत्रफल छड़ के क्षेत्रफल के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
$A_c(1 + \beta_c \Delta T) = A_s(1 + \beta_s \Delta T)$
$9.98(1 + 34 \times 10^{-6} \Delta T) = 10(1 + 22 \times 10^{-6} \Delta T)$
$9.98 + 9.98 \times 34 \times 10^{-6} \Delta T = 10 + 10 \times 22 \times 10^{-6} \Delta T$
$(339.32 - 220) \times 10^{-6} \Delta T = 10 - 9.98$
$119.32 \times 10^{-6} \Delta T = 0.02$
$\Delta T = \frac{0.02}{119.32 \times 10^{-6}} \approx 167.6^{\circ} C$.

(C) रेखीय प्रसार का सूत्र $\Delta L = L \alpha \Delta T$ है, जहाँ $\Delta L$ लंबाई में परिवर्तन है, $L$ मूल लंबाई है, $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
यहाँ लंबाई में $0.4 \%$ की वृद्धि होती है, इसलिए $\frac{\Delta L}{L} = 0.4 \% = \frac{0.4}{100} = 0.004$ है।
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 20 \times 10^{-6} \ {}^{\circ}C^{-1}$ है।
इन मानों को सूत्र $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$ में रखने पर:
$0.004 = (20 \times 10^{-6}) \Delta T$ प्राप्त होता है।
$\Delta T$ के लिए हल करने पर:
$\Delta T = \frac{0.004}{20 \times 10^{-6}} = \frac{4 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-6}} = \frac{1}{5} \times 10^3 = 0.2 \times 1000 = 200 \ {}^{\circ}C$।
चूंकि सेल्सियस में तापमान का परिवर्तन केल्विन में तापमान के परिवर्तन के बराबर होता है, इसलिए $\Delta T = 200 \ K$।

(C) धातु की स्केल की लंबाई $L = 1 \ m = 1000 \ mm$ है। लंबाई में अधिकतम अनुमेय त्रुटि $\Delta L = 0.5 \ mm$ है। रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 10^{-5} /{ }^{\circ} C$ है। तापमान परिवर्तन $\Delta T$ के कारण लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर: $0.5 = 1000 \times 10^{-5} \times \Delta T$। इसे सरल करने पर $0.5 = 10^{-2} \times \Delta T$ प्राप्त होता है, जिससे $\Delta T = 0.5 / 10^{-2} = 50^{\circ} C$ मिलता है। चूंकि स्केल $25^{\circ} C$ पर अंशांकित है, इसलिए तापमान की सीमा $25^{\circ} C \pm 50^{\circ} C$ होगी। अतः, सीमा $25 - 50 = -25^{\circ} C$ से $25 + 50 = 75^{\circ} C$ तक है।

(D) पहली छड़ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta \ell_1 = L(2 \alpha) \Delta T = 2 \,L \alpha \Delta T$ है।
दूसरी छड़ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta \ell_2 = (2 \,L)(\alpha)(\Delta T) = 2 \,L \alpha \Delta T$ है।
संयुक्त छड़ की लंबाई में कुल परिवर्तन $\Delta l = \Delta l_1 + \Delta l_2 = 2 \,L \alpha \Delta T + 2 \,L \alpha \Delta T = 4 \,L \alpha \Delta T$ है।
$3 \,L$ लंबाई की संयुक्त छड़ के लिए, लंबाई में परिवर्तन $\Delta l = (3 \,L) \alpha_C \Delta T$ है।
$\Delta l$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $4 \,L \alpha \Delta T = 3 \,L \alpha_C \Delta T$।
$\alpha_C$ के लिए हल करने पर, हमें $\alpha_C = \frac{4 \alpha}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\alpha = \frac{\Delta L}{L \Delta T}$
दिया गया है:
प्रारंभिक लंबाई $L = 30 \ cm$
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 0.027 \ cm$
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 30^{\circ} C$
अंतिम तापमान $T_2 = 105^{\circ} C$
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 105^{\circ} C - 30^{\circ} C = 75^{\circ} C$
सूत्र में मान रखने पर:
$\alpha = \frac{0.027}{30 \times 75}$
$\alpha = \frac{0.027}{2250}$
$\alpha = 0.000012 /{ }^{\circ} C$
$\alpha = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$

(B) $27^{\circ} C$ पर लोहे की अंगूठी का व्यास $d_i = 5 \ m$ है।
लकड़ी के पहिये का व्यास $d_w = 5.012 \ m$ है।
हमें लोहे की अंगूठी को $5.012 \ m$ व्यास तक विस्तारित करने की आवश्यकता है।
रेखीय प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हुए: $d_w = d_i(1 + \alpha \Delta T)$.
$\Delta T = \frac{d_w - d_i}{d_i \alpha} = \frac{5.012 - 5}{5 \times 1.2 \times 10^{-5}} = \frac{0.012}{6 \times 10^{-5}} = \frac{1.2 \times 10^{-2}}{6 \times 10^{-5}} = 0.2 \times 10^3 = 200^{\circ} C$.
अंतिम तापमान $T_2 = T_1 + \Delta T = 27^{\circ} C + 200^{\circ} C = 227^{\circ} C$.

(A) मान लीजिए कि एक निश्चित तापमान पर स्टील और तांबे की छड़ों की लंबाई $L_s$ और $L_c$ है। उनकी लंबाई का अंतर $L_s - L_c = 4 \ cm$ दिया गया है, जो किसी भी तापमान पर स्थिर रहता है।
इसका अर्थ है कि तापमान में परिवर्तन $\Delta T$ के कारण दोनों छड़ों की लंबाई में होने वाला परिवर्तन समान होना चाहिए।
इसलिए, $\Delta L_s = \Delta L_c$।
रेखीय प्रसार के सूत्र $\Delta L = \alpha L \Delta T$ का उपयोग करने पर, हमें $\alpha_s L_s \Delta T = \alpha_c L_c \Delta T$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $\Delta T$ को हटाने पर, हमारे पास $\alpha_s L_s = \alpha_c L_c$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $(1.1 \times 10^{-5}) L_s = (1.7 \times 10^{-5}) L_c$।
अतः, अनुपात $\frac{L_s}{L_c} = \frac{1.7 \times 10^{-5}}{1.1 \times 10^{-5}} = \frac{17}{11}$ है।

(B) तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 230^{\circ} C - 30^{\circ} C = 200^{\circ} C$ है।
जब छेद वाली धातु की शीट को गर्म किया जाता है, तो छेद उसी तरह फैलता है जैसे कि वह उसी पदार्थ का एक ठोस टुकड़ा हो।
रेखीय प्रसार का सूत्र $L = L_0(1 + \alpha \Delta T)$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $L = 5 \times (1 + 2 \times 10^{-5} \times 200)$.
$L = 5 \times (1 + 400 \times 10^{-5}) = 5 \times (1 + 0.004) = 5 \times 1.004 = 5.02 \ cm$.

(C) संयुक्त छड़ की लंबाई में परिवर्तन व्यक्तिगत छड़ों की लंबाई में हुए परिवर्तनों का योग है।
$\Delta l = \Delta l_A + \Delta l_B$
रेखीय प्रसार के सूत्र $\Delta l = l \alpha \Delta T$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $l = 0.5 \ m$, $\Delta T = 230^{\circ} C - 30^{\circ} C = 200^{\circ} C$, $\alpha_A = 2.0 \times 10^{-5} /^{\circ} C$, और $\alpha_B = 1.0 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ है:
$\Delta l = (l_A \alpha_A \Delta T) + (l_B \alpha_B \Delta T)$
$\Delta l = l \Delta T (\alpha_A + \alpha_B)$
$\Delta l = 0.5 \times 200 \times (2.0 \times 10^{-5} + 1.0 \times 10^{-5})$
$\Delta l = 100 \times (3.0 \times 10^{-5})$
$\Delta l = 3.0 \times 10^{-3} \ m = 3 \ mm$
अतः, लंबाई में परिवर्तन $3 \ mm$ है।

(B) गर्म होने के कारण धातु का गोला फैलने की कोशिश करता है, लेकिन चूंकि इसका आयतन स्थिर रखा गया है, इसलिए सामग्री के भीतर थर्मल स्ट्रेस (तापीय प्रतिबल) उत्पन्न होता है।
बल्क मापांक $B$ को $B = \frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $\Delta P$ दबाव में परिवर्तन है।
तापीय प्रसार के कारण आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
ठोस के लिए, $\gamma = 3\alpha$, जहाँ $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है।
दिया गया है: $\alpha = 10^{-5} \ {^{\circ} C}^{-1}$, $\Delta T = 127^{\circ} C - 20^{\circ} C = 107^{\circ} C$, और $B = 2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$।
दबाव परिवर्तन के सूत्र में इन मानों को रखने पर: $\Delta P = B \times (3\alpha \Delta T)$।
$\Delta P = (2 \times 10^{11}) \times (3 \times 10^{-5} \times 107) = 6 \times 10^6 \times 107 = 6.42 \times 10^8 \ Pa$।
अंतिम दबाव $P_f = P_i + \Delta P = 10^5 \ Pa + 6.42 \times 10^8 \ Pa \approx 6.42 \times 10^8 \ Pa$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार, दबाव लगभग $6 \times 10^8 \ Pa$ हो जाता है।

(B) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक समान छड़ का उसके लंबवत द्विभाजक के परितः प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I$ है:
$I = \frac{1}{12} ML^2$
जब तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि की जाती है, तो छड़ की लंबाई बढ़कर $L' = L + \Delta L$ हो जाती है, जहाँ $\Delta L = L \alpha \Delta T$ है। द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I' = I + \Delta I$ है:
$I + \Delta I = \frac{1}{12} M(L + \Delta L)^2$
$I + \Delta I = \frac{1}{12} ML^2 \left(1 + \frac{\Delta L}{L}\right)^2$
चूंकि $I = \frac{1}{12} ML^2$, हमें प्राप्त होता है:
$I + \Delta I = I \left(1 + \frac{\Delta L}{L}\right)^2$
द्विपद सन्निकटन $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करते हुए (जहाँ $x \ll 1$):
$I + \Delta I \approx I \left(1 + 2 \frac{\Delta L}{L}\right)$
$I + \Delta I \approx I + 2I \frac{\Delta L}{L}$
$\Delta I = 2I \frac{\Delta L}{L}$
$\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta I = 2I \alpha \Delta T$
अतः, $\frac{\Delta I}{I} = 2 \alpha \Delta T$.

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $t_1 = 20^{\circ} C$
अंतिम तापमान $t_2 = 60^{\circ} C$
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = t_2 - t_1 = 60^{\circ} C - 20^{\circ} C = 40^{\circ} C$
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 10^{-5} {^{\circ} C}^{-1}$
प्रारंभिक आयाम $40 \text{ cm} \times 20 \text{ cm}$ हैं।
प्रारंभिक क्षेत्रफल $A = 40 \text{ cm} \times 20 \text{ cm} = 800 \text{ cm}^2$.
क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $\beta = 2\alpha$ होता है।
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$\Delta A = A \beta \Delta T = A (2\alpha) \Delta T$
मान रखने पर:
$\Delta A = 800 \text{ cm}^2 \times (2 \times 10^{-5} {^{\circ} C}^{-1}) \times 40^{\circ} C$
$\Delta A = 800 \times 2 \times 10^{-5} \times 40 \text{ cm}^2$
$\Delta A = 64000 \times 10^{-5} \text{ cm}^2$
$\Delta A = 0.64 \text{ cm}^2$.

(B) दिया गया है कि तांबे के एक वृत्ताकार सिक्के का क्षेत्रफल $0.4 \%$ बढ़ जाता है।
इसका अर्थ है, $\frac{\Delta A}{A} = 0.004$.
तापमान में वृद्धि $\Delta T = 100^{\circ} C$ है।
हम जानते हैं कि क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $\beta$ को $\beta = \frac{\Delta A}{A \cdot \Delta T}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर, $\beta = \frac{0.004}{100} = 4 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $\beta$ और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ के बीच संबंध $\beta = 2\alpha$ होता है।
अतः, $\alpha = \frac{\beta}{2} = \frac{4 \times 10^{-5}}{2} /^{\circ} C = 2 \times 10^{-5} /^{\circ} C$।

$(A)$ दिया गया है: स्टील का रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 11 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
आवश्यक सटीकता $\Delta l = 0.06 \,mm = 6 \times 10^{-5} \,m$, लंबाई $l = 1 \,m$.
रेखीय प्रसार का सूत्र: $\Delta l = l \alpha \Delta t$.
तापमान अंतर के लिए: $\Delta t = \frac{\Delta l}{l \alpha}$.
मान रखने पर: $\Delta t = \frac{6 \times 10^{-5}}{1 \times 11 \times 10^{-6}} = \frac{60}{11} \approx 5.45^{\circ} C$.
चूंकि स्केल $25^{\circ} C$ पर सटीक है, इसलिए मान्य तापमान सीमा $25^{\circ} C \pm 5.45^{\circ} C$ होगी।
यह सीमा $19.55^{\circ} C$ से $30.45^{\circ} C$ तक है।
विकल्पों में दिए गए निकटतम पूर्णांक मानों के अनुसार, सीमा लगभग $19^{\circ} C$ से $31^{\circ} C$ है।
अतः, विकल्प $A$ सही है।

(B) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$ सूत्र $I = Mk^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
चूंकि $M$ स्थिर है, इसलिए $I \propto k^2$ होगा।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln I = \ln M + 2 \ln k$।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{dI}{I} = 2 \frac{dk}{k}$।
ऊष्मीय प्रसार के लिए, लंबाई (या $k$ जैसी किसी भी रेखीय विमा) में परिवर्तन $\Delta k = k \alpha \Delta T$ होता है, जिसका अर्थ है $\frac{\Delta k}{k} = \alpha \Delta T$।
इस मान को $\frac{\Delta I}{I}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \alpha \Delta T$।

(B) मान लीजिए प्रत्येक छड़ की प्रारंभिक लंबाई $l$ है। समबाहु त्रिभुज $ABC$ में, शीर्षलंब $DC$ की लंबाई इस प्रकार दी गई है:
$DC^2 = AC^2 - AD^2 = l^2 - (l/2)^2 = 3l^2/4$.
तापमान में छोटे परिवर्तन $\Delta t$ के बाद, नई लंबाई $l' = l(1 + \alpha \Delta t)$ होती है।
छड़ $AC$ के लिए, नई लंबाई $l_{AC}' = l(1 + \alpha_2 \Delta t)$ है।
खंड $AD$ के लिए, नई लंबाई $l_{AD}' = (l/2)(1 + \alpha_1 \Delta t)$ है।
चूंकि $DC$ स्थिर रहता है, $DC^2 = (l_{AC}')^2 - (l_{AD}')^2$.
$3l^2/4 = [l(1 + \alpha_2 \Delta t)]^2 - [(l/2)(1 + \alpha_1 \Delta t)]^2$.
$3l^2/4 = l^2(1 + 2\alpha_2 \Delta t + \alpha_2^2 \Delta t^2) - (l^2/4)(1 + 2\alpha_1 \Delta t + \alpha_1^2 \Delta t^2)$.
उच्च-क्रम के पदों $\alpha^2 \Delta t^2$ की उपेक्षा करने और सरल करने पर:
$3l^2/4 = l^2 + 2l^2 \alpha_2 \Delta t - l^2/4 - (l^2/4)(2\alpha_1 \Delta t)$.
$3l^2/4 = 3l^2/4 + 2l^2 \alpha_2 \Delta t - (l^2/2)\alpha_1 \Delta t$.
$0 = 2l^2 \alpha_2 \Delta t - (l^2/2)\alpha_1 \Delta t$.
$2\alpha_2 = \alpha_1/2 \implies \alpha_1 = 4\alpha_2$.

(B) मान लीजिए $L_0$ गर्म करने से पहले प्रत्येक पट्टी की प्रारंभिक लंबाई है। गर्म करने के बाद, पीतल और तांबे की पट्टियों की लंबाई इस प्रकार है:
$L_B = L_0(1 + \alpha_B \Delta T) = (R + d)\theta$
$L_C = L_0(1 + \alpha_C \Delta T) = R\theta$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{R + d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
$1 + \frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
$\frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} - 1 = \frac{1 + \alpha_B \Delta T - 1 - \alpha_C \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} = \frac{(\alpha_B - \alpha_C) \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
चूंकि $\alpha \Delta T \ll 1$, हम $1 + \alpha_C \Delta T \approx 1$ मान सकते हैं। अतः:
$R \approx \frac{d}{(\alpha_B - \alpha_C) \Delta T}$
इसलिए, $R \propto \frac{1}{\Delta T}$.

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ होता है।
यहाँ $\alpha = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ और $\Delta \theta = 40^{\circ} C - 20^{\circ} C = 20^{\circ} C$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-6} \times 20 = 120 \times 10^{-6} = 1.2 \times 10^{-4}$।
एक दिन में $(T = 86400 ~s)$ खोया या प्राप्त किया गया समय $\Delta T = T \times \frac{\Delta T}{T} = 86400 \times 1.2 \times 10^{-4} \approx 10.368 ~s$ है।
तापमान बढ़ने से लोलक की लंबाई बढ़ती है, जिससे आवर्तकाल बढ़ जाता है और घड़ी समय खो देती है।

(B) मान लीजिए कि $25^{\circ} C$ पर धातु के पैमाने द्वारा मापी गई स्टील की छड़ की लंबाई $L_s$ है। पैमाना $0^{\circ} C$ पर अंशांकित है, इसलिए $25^{\circ} C$ पर इसकी लंबाई बढ़ जाती है। $25^{\circ} C$ पर पैमाने पर $1 \ m$ का माप वास्तविक लंबाई $L_{actual} = 1(1 + \alpha_{\text{metal}} \Delta T) = 1(1 + 20 \times 10^{-6} \times 25) = 1 + 0.0005 = 1.0005 \ m$ के बराबर है।
यह $25^{\circ} C$ पर स्टील की छड़ की वास्तविक लंबाई है। मान लीजिए $0^{\circ} C$ पर स्टील की छड़ की लंबाई $L_0$ है।
स्टील की छड़ के लिए तापीय प्रसार सूत्र का उपयोग करने पर: $L_{actual} = L_0(1 + \alpha_{\text{steel}} \Delta T)$.
$1.0005 = L_0(1 + 12 \times 10^{-6} \times 25)$.
$1.0005 = L_0(1 + 0.0003) = L_0(1.0003)$.
$L_0 = \frac{1.0005}{1.0003} \approx 1.0001999 \ m \approx 1.0002 \ m$.

(B) मान लीजिए कि एक वर्गाकार शीट की भुजा की लंबाई $L$ है। शीट का क्षेत्रफल $A = L^2$ है।
जब तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है, तो नई लंबाई $L' = L(1 + \alpha \Delta T)$ हो जाती है, जहाँ $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है।
नया क्षेत्रफल $A' = (L')^2 = L^2(1 + \alpha \Delta T)^2$ हो जाता है।
इसका विस्तार करने पर, हमें $A' = A(1 + 2\alpha \Delta T + \alpha^2 \Delta T^2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$ बहुत छोटा है, इसलिए $\alpha^2$ को नगण्य माना जा सकता है, अतः $A' \approx A(1 + 2\alpha \Delta T)$।
क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $\beta$ को संबंध $A' = A(1 + \beta \Delta T)$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें $\beta = 2\alpha$ प्राप्त होता है।
इसलिए, रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ और क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $(\beta)$ का अनुपात $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha}{2\alpha} = 0.5$ है।

(B) चूंकि छड़ स्वतंत्र रूप से घूम रही है, कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है।
$L = I \omega = \text{constant}$.
प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{mL^2}{3}$ है।
तापमान बढ़ने के बाद, नई लंबाई $L' = L(1 + \alpha \Delta T)$ है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{m(L')^2}{3} = \frac{m L^2 (1 + \alpha \Delta T)^2}{3} = I(1 + \alpha \Delta T)^2$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से: $I \omega = I' \omega'$.
दिया गया है कि $\omega' = \frac{\omega}{2}$, इसलिए $I \omega = I(1 + \alpha \Delta T)^2 \frac{\omega}{2}$.
$1 = \frac{(1 + \alpha \Delta T)^2}{2} \implies (1 + \alpha \Delta T)^2 = 2$.
वर्गमूल लेने पर: $1 + \alpha \Delta T = \sqrt{2}$.
चूंकि $\alpha \ll 1$, हम द्विपद सन्निकटन $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करते हैं:
$1 + 2 \alpha \Delta T \approx 2$.
$2 \alpha \Delta T = 1$.
$\Delta T = \frac{1}{2 \alpha}$.

(D) माना प्रारंभिक लंबाई $L_{0}$ और प्रारंभिक चौड़ाई $B_{0}$ है। प्रारंभिक क्षेत्रफल $S_{0} = L_{0} B_{0}$ है।
जब तापमान में $\Delta t$ की वृद्धि होती है, तो नई लंबाई $L_{t}$ और नई चौड़ाई $B_{t}$ इस प्रकार दी जाती हैं:
$L_{t} = L_{0}(1 + \alpha_{1} \Delta t)$
$B_{t} = B_{0}(1 + \alpha_{2} \Delta t)$
नया क्षेत्रफल $S_{t}$ है:
$S_{t} = L_{t} \times B_{t} = L_{0}(1 + \alpha_{1} \Delta t) \times B_{0}(1 + \alpha_{2} \Delta t)$
$S_{t} = L_{0} B_{0} (1 + \alpha_{1} \Delta t + \alpha_{2} \Delta t + \alpha_{1} \alpha_{2} (\Delta t)^{2})$
चूंकि $\alpha_{1} \Delta t \ll 1$ और $\alpha_{2} \Delta t \ll 1$, इसलिए $\alpha_{1} \alpha_{2} (\Delta t)^{2}$ पद नगण्य है।
$S_{t} \approx S_{0} (1 + (\alpha_{1} + \alpha_{2}) \Delta t)$
इसे पृष्ठीय प्रसार के मानक सूत्र $S_{t} = S_{0} (1 + \beta \Delta t)$ के साथ तुलना करने पर, जहाँ $\beta$ पृष्ठीय प्रसार गुणांक है:
$\beta = \alpha_{1} + \alpha_{2}$

(B) दिया गया है: $30^{\circ} C$ पर कुल लंबाई $L = 120 \ cm$ है। चूंकि दोनों की लंबाई समान है, इसलिए प्रत्येक छड़ के लिए $\ell_0 = 60 \ cm$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 100^{\circ} C - 30^{\circ} C = 70^{\circ} C$ है।
एल्युमीनियम के लिए रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_A = 24 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ है।
स्टील के लिए रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_S = 1.2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ है।
संयुक्त छड़ की अंतिम लंबाई व्यक्तिगत छड़ों की अंतिम लंबाई का योग है:
$\ell_{\text{final}} = \ell_0(1 + \alpha_A \Delta T) + \ell_0(1 + \alpha_S \Delta T)$
$\ell_{\text{final}} = \ell_0 [2 + (\alpha_A + \alpha_S) \Delta T]$
$\ell_{\text{final}} = 60 [2 + (24 \times 10^{-6} + 12 \times 10^{-6}) \times 70]$
$\ell_{\text{final}} = 60 [2 + (36 \times 10^{-6}) \times 70]$
$\ell_{\text{final}} = 60 [2 + 0.00252] = 120 + 0.1512 = 120.1512 \ cm$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, लंबाई $120.15 \ cm$ है।

(D) मान लीजिए कि $T_1$ तापमान पर प्रारंभिक लंबाई $L_0$ है।
पहले तापमान परिवर्तन $T_1$ से $T_2$ के लिए, लंबाई में वृद्धि $\Delta L_1 = L_0 \alpha (T_2 - T_1) = L_0 \alpha \Delta T$ है।
$T_2$ तापमान पर पट्टी की लंबाई $L_2 = L_0 + \Delta L_1 = L_0(1 + \alpha \Delta T)$ है।
दूसरे तापमान परिवर्तन $T_2$ से $T_3$ के लिए, लंबाई में वृद्धि $\Delta L_2 = L_2 \alpha (T_3 - T_2)$ है।
दिया गया है कि $T_3 + T_1 = 2T_2$, इसलिए हम लिख सकते हैं कि $T_3 - T_2 = T_2 - T_1 = \Delta T$ है।
$\Delta L_2$ के समीकरण में $L_2$ और $(T_3 - T_2)$ का मान रखने पर:
$\Delta L_2 = [L_0(1 + \alpha \Delta T)] \alpha \Delta T = (L_0 \alpha \Delta T)(1 + \alpha \Delta T)$।
चूंकि $\Delta L_1 = L_0 \alpha \Delta T$, इसलिए हमें $\Delta L_2 = \Delta L_1(1 + \alpha \Delta T)$ प्राप्त होता है।

(C) $R$ त्रिज्या वाले गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ द्वारा दिया जाता है।
तापमान $T$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें $\frac{dV}{dT} = \frac{4}{3}\pi (3R^2) \frac{dR}{dT} = 4\pi R^2 \frac{dR}{dT}$ प्राप्त होता है।
रेखीय प्रसार के लिए, त्रिज्या में परिवर्तन $\Delta R = R \alpha \Delta T$ है, जिसका अर्थ है $\frac{dR}{dT} = R \alpha$।
इस मान को आयतन के अवकलन समीकरण में रखने पर: $\Delta V \approx 4\pi R^2 (R \alpha \Delta T)$।
अतः, $\Delta V = 4\pi R^3 \alpha \Delta T$।