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Thermal Expansion for Solid Questions in Hindi
Class 11 Physics · 1 Thermal Properties of Matter: Thermometry, Expansion and Calorimetry · Thermal Expansion for Solid
233+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 233 questions in Hindi
101
MediumMCQ
एक धातु की शीट में दो बड़े छेद किए गए हैं। यदि इस शीट को गर्म किया जाता है,तो चित्र में दिखाए गए अनुसार दूरियों $AB$ और $BC$ का क्या होगा?
A
दोनों बढ़ेंगे
B
दोनों घटेंगे
C
$AB$ बढ़ेगा,$BC$ घटेगा
D
$AB$ घटेगा,$BC$ बढ़ेगा
Solution
(A) जब छेदों वाली धातु की शीट को गर्म किया जाता है,तो पदार्थ ऐसे फैलता है जैसे कि पूरी शीट ठोस हो। पदार्थ का विस्तार ठोस पिंड के विस्तार के समान नियमों का पालन करता है। इसलिए,गर्म करने पर शीट पर किन्हीं भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी बढ़ जाती है। चूंकि $A$,$B$,और $C$ धातु की शीट पर स्थित बिंदु हैं,इसलिए ऊष्मीय विस्तार के कारण दूरियां $AB$ (छेद का व्यास) और $BC$ (दो छेदों के बीच की दूरी) दोनों बढ़ जाएंगी।
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MediumMCQ
$L_0$ लंबाई की एक बेलनाकार धातु की छड़ को चित्र में दिखाए अनुसार एक छोटे अंतराल (gap) के साथ एक वलय (ring) के आकार में मोड़ा गया है। इस निकाय को गर्म करने पर,
A
$x$ घटता है,$r$ और $d$ बढ़ते हैं
B
$x$ और $r$ बढ़ते हैं,$d$ घटता है
C
$x$,$r$ और $d$ सभी बढ़ते हैं
D
निष्कर्ष पर पहुँचने के लिए डेटा अपर्याप्त है
Solution
(C) जब किसी समदैशिक (isotropic) ठोस को गर्म किया जाता है,तो वह सभी आयामों में ऊष्मीय प्रसार का अनुभव करता है। यह प्रसार एक फोटोग्राफिक आवर्धन (enlargement) के समान है,जहाँ वस्तु का प्रत्येक रैखिक आयाम बढ़ जाता है।
$1$. रैखिक प्रसार के कारण वलय की त्रिज्या $r$ बढ़ जाती है।
$2$. अंतराल की चौड़ाई $x$ भी बढ़ जाती है क्योंकि वलय की पूरी परिधि फैलती है,और अंतराल परिधि के एक खंड की तरह व्यवहार करता है।
$3$. छड़ की मोटाई $d$ भी बढ़ जाती है क्योंकि पदार्थ स्वयं सभी दिशाओं में फैलता है।
अतः,$x$,$r$ और $d$ सभी बढ़ते हैं।
$1$. रैखिक प्रसार के कारण वलय की त्रिज्या $r$ बढ़ जाती है।
$2$. अंतराल की चौड़ाई $x$ भी बढ़ जाती है क्योंकि वलय की पूरी परिधि फैलती है,और अंतराल परिधि के एक खंड की तरह व्यवहार करता है।
$3$. छड़ की मोटाई $d$ भी बढ़ जाती है क्योंकि पदार्थ स्वयं सभी दिशाओं में फैलता है।
अतः,$x$,$r$ और $d$ सभी बढ़ते हैं।
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DifficultMCQ
जब एक छड़ का तापमान $t$ से बढ़कर $(t + \Delta t)$ हो जाता है,तो उसका जड़त्व आघूर्ण $I$ से बढ़कर $(I + \Delta I)$ हो जाता है। यदि $\alpha$ छड़ का रेखीय प्रसार गुणांक है,तो $(\frac{\Delta I}{I})$ का मान क्या होगा?
A
$2\alpha \Delta t$
B
$\alpha \Delta t$
C
$\frac{\alpha \Delta t}{2}$
D
$\frac{\Delta t}{\alpha}$
Solution
(A) छड़ के केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण का सूत्र है:
$I = \frac{1}{12} ML^2$ --- $(i)$
जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $L$ छड़ की लंबाई है।
चूंकि ऊष्मीय प्रसार के दौरान द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है,इसलिए हम $L$ के सापेक्ष समीकरण का अवकलन करते हैं:
$\Delta I = \frac{1}{12} M (2L \Delta L) = 2 (\frac{1}{12} ML^2) \frac{\Delta L}{L} = 2I \frac{\Delta L}{L}$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \frac{\Delta L}{L}$ --- $(iii)$
हम जानते हैं कि ऊष्मीय प्रसार के कारण लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L \alpha \Delta t$ होता है,जिसका अर्थ है:
$\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta t$
इस मान को समीकरण $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \alpha \Delta t$
$I = \frac{1}{12} ML^2$ --- $(i)$
जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $L$ छड़ की लंबाई है।
चूंकि ऊष्मीय प्रसार के दौरान द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है,इसलिए हम $L$ के सापेक्ष समीकरण का अवकलन करते हैं:
$\Delta I = \frac{1}{12} M (2L \Delta L) = 2 (\frac{1}{12} ML^2) \frac{\Delta L}{L} = 2I \frac{\Delta L}{L}$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \frac{\Delta L}{L}$ --- $(iii)$
हम जानते हैं कि ऊष्मीय प्रसार के कारण लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L \alpha \Delta t$ होता है,जिसका अर्थ है:
$\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta t$
इस मान को समीकरण $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \alpha \Delta t$
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MediumMCQ
यदि एक द्विधात्विक (bimetallic) पट्टी को गर्म किया जाता है, तो यह
A
कम रैखिक तापीय प्रसार गुणांक वाली धातु की ओर मुड़ जाएगी
B
अधिक रैखिक तापीय प्रसार गुणांक वाली धातु की ओर मुड़ जाएगी
C
बिल्कुल नहीं मुड़ेगी
D
कोई नहीं
Solution
(A) एक द्विधात्विक पट्टी अलग-अलग रैखिक तापीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ वाली दो धातु की पट्टियों से बनी होती है जो आपस में जुड़ी होती हैं।
जब पट्टी को गर्म किया जाता है, तो जिस धातु का रैखिक तापीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ अधिक होता है, वह कम गुणांक वाली धातु की तुलना में अधिक फैलती है।
चूंकि दोनों धातुएं आपस में जुड़ी होती हैं, इसलिए लंबाई में अंतर को समायोजित करने के लिए पट्टी को मुड़ना पड़ता है।
अधिक प्रसार गुणांक वाली तरफ बाहरी चाप बन जाती है और कम प्रसार गुणांक वाली तरफ आंतरिक चाप बन जाती है।
इसलिए, पट्टी कम रैखिक तापीय प्रसार गुणांक वाली धातु की ओर मुड़ जाती है।
जब पट्टी को गर्म किया जाता है, तो जिस धातु का रैखिक तापीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ अधिक होता है, वह कम गुणांक वाली धातु की तुलना में अधिक फैलती है।
चूंकि दोनों धातुएं आपस में जुड़ी होती हैं, इसलिए लंबाई में अंतर को समायोजित करने के लिए पट्टी को मुड़ना पड़ता है।
अधिक प्रसार गुणांक वाली तरफ बाहरी चाप बन जाती है और कम प्रसार गुणांक वाली तरफ आंतरिक चाप बन जाती है।
इसलिए, पट्टी कम रैखिक तापीय प्रसार गुणांक वाली धातु की ओर मुड़ जाती है।
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MediumMCQ
एक द्विधात्विक पट्टी (bimetallic strip) धातुओं $X$ और $Y$ से बनी है। इसे आधार पर मजबूती से लगाया गया है जैसा कि दिखाया गया है। धातु $X$ का रेखीय प्रसार गुणांक धातु $Y$ की तुलना में अधिक है। जब द्विधात्विक पट्टी को ठंडे बाथ में रखा जाता है:
A
यह दाईं ओर मुड़ जाएगी
B
यह बाईं ओर मुड़ जाएगी
C
यह मुड़ेगी नहीं बल्कि सिकुड़ जाएगी
D
यह न तो मुड़ेगी और न ही सिकुड़ेगी
Solution
(B) रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ यह निर्धारित करता है कि तापमान परिवर्तन के साथ कोई पदार्थ अपनी लंबाई में कितना परिवर्तन करता है,जिसे $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धातु $X$ का रेखीय प्रसार गुणांक धातु $Y$ से अधिक है $(\alpha_X > \alpha_Y)$,इसलिए तापमान कम होने (ठंडा करने) पर धातु $X$,धातु $Y$ की तुलना में अधिक सिकुड़ेगी।
चूंकि धातु $X$ बाईं ओर है और यह धातु $Y$ की तुलना में अधिक सिकुड़ती है,इसलिए पट्टी उस तरफ मुड़ जाएगी जो अधिक सिकुड़ती है।
अतः,द्विधात्विक पट्टी बाईं ओर मुड़ जाएगी।
चूंकि धातु $X$ का रेखीय प्रसार गुणांक धातु $Y$ से अधिक है $(\alpha_X > \alpha_Y)$,इसलिए तापमान कम होने (ठंडा करने) पर धातु $X$,धातु $Y$ की तुलना में अधिक सिकुड़ेगी।
चूंकि धातु $X$ बाईं ओर है और यह धातु $Y$ की तुलना में अधिक सिकुड़ती है,इसलिए पट्टी उस तरफ मुड़ जाएगी जो अधिक सिकुड़ती है।
अतः,द्विधात्विक पट्टी बाईं ओर मुड़ जाएगी।
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MediumMCQ
एक क्रिस्टल का एक दिशा में रेखीय प्रसार गुणांक $13 \times 10^{-7} \ K^{-1}$ है और इसके लंबवत प्रत्येक दिशा में $231 \times 10^{-7} \ K^{-1}$ है। तो आयतन प्रसार गुणांक क्या होगा?
A
$475 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
B
$244 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
C
$462 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
D
$257 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
Solution
(A) एक विषमदैशिक (anisotropic) ठोस के लिए आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$,तीन परस्पर लंबवत अक्षों के अनुदिश रेखीय प्रसार गुणांकों के योग के बराबर होता है।
दिया गया है:
$\alpha_1 = 13 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\alpha_2 = 231 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\alpha_3 = 231 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
सूत्र:
$\gamma = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$
गणना:
$\gamma = (13 + 231 + 231) \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\gamma = 475 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
दिया गया है:
$\alpha_1 = 13 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\alpha_2 = 231 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\alpha_3 = 231 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
सूत्र:
$\gamma = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$
गणना:
$\gamma = (13 + 231 + 231) \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\gamma = 475 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
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MediumMCQ
$88\; cm$ की तांबे की छड़ और अज्ञात लंबाई की एल्यूमीनियम की छड़ की लंबाई में वृद्धि तापमान में वृद्धि से स्वतंत्र है। एल्यूमीनियम की छड़ की लंबाई....$cm$ है।
$(\alpha_{Cu} = 1.7 \times 10^{-5}\; K^{-1}$ और $\alpha_{Al} = 2.2 \times 10^{-5}\; K^{-1})$
$(\alpha_{Cu} = 1.7 \times 10^{-5}\; K^{-1}$ और $\alpha_{Al} = 2.2 \times 10^{-5}\; K^{-1})$
A
$6.8$
B
$113.9$
C
$88$
D
$68$
Solution
(D) प्रश्न के अनुसार,दोनों छड़ों की लंबाई में वृद्धि तापमान में वृद्धि से स्वतंत्र है,जिसका अर्थ है कि तापमान में किसी भी परिवर्तन $(\Delta T)$ के लिए दोनों छड़ों की लंबाई में परिवर्तन $(\Delta \ell)$ समान होना चाहिए।
दिया गया है:
$\ell_{Cu} = 88\; cm$
$\alpha_{Cu} = 1.7 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
$\alpha_{Al} = 2.2 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
ऊष्मीय प्रसार का सूत्र $\Delta \ell = \ell \alpha \Delta T$ है।
चूंकि $(\Delta \ell)_{Cu} = (\Delta \ell)_{Al}$,इसलिए:
$\ell_{Cu} \alpha_{Cu} \Delta T = \ell_{Al} \alpha_{Al} \Delta T$
दोनों पक्षों से $\Delta T$ को हटाने पर:
$\ell_{Cu} \alpha_{Cu} = \ell_{Al} \alpha_{Al}$
मान रखने पर:
$88 \times 1.7 \times 10^{-5} = \ell_{Al} \times 2.2 \times 10^{-5}$
$\ell_{Al}$ के लिए हल करने पर:
$\ell_{Al} = \frac{88 \times 1.7}{2.2}$
$\ell_{Al} = 40 \times 1.7 = 68\; cm$.
दिया गया है:
$\ell_{Cu} = 88\; cm$
$\alpha_{Cu} = 1.7 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
$\alpha_{Al} = 2.2 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
ऊष्मीय प्रसार का सूत्र $\Delta \ell = \ell \alpha \Delta T$ है।
चूंकि $(\Delta \ell)_{Cu} = (\Delta \ell)_{Al}$,इसलिए:
$\ell_{Cu} \alpha_{Cu} \Delta T = \ell_{Al} \alpha_{Al} \Delta T$
दोनों पक्षों से $\Delta T$ को हटाने पर:
$\ell_{Cu} \alpha_{Cu} = \ell_{Al} \alpha_{Al}$
मान रखने पर:
$88 \times 1.7 \times 10^{-5} = \ell_{Al} \times 2.2 \times 10^{-5}$
$\ell_{Al}$ के लिए हल करने पर:
$\ell_{Al} = \frac{88 \times 1.7}{2.2}$
$\ell_{Al} = 40 \times 1.7 = 68\; cm$.
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MediumMCQ
एक नॉन-आइसोट्रोपिक ठोस धातु के घन के लिए रेखीय प्रसार गुणांक इस प्रकार हैं:
$x$-अक्ष के अनुदिश $5 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ और $y$ तथा $z$-अक्ष के अनुदिश $5 \times 10^{-6} /^{\circ} C$। यदि ठोस का आयतन प्रसार गुणांक $C \times 10^{-6} /^{\circ} C$ है,तो $C$ का मान ज्ञात कीजिए।
$x$-अक्ष के अनुदिश $5 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ और $y$ तथा $z$-अक्ष के अनुदिश $5 \times 10^{-6} /^{\circ} C$। यदि ठोस का आयतन प्रसार गुणांक $C \times 10^{-6} /^{\circ} C$ है,तो $C$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$55$
B
$63$
C
$67$
D
$60$
Solution
(D) एक नॉन-आइसोट्रोपिक ठोस के लिए,आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ तीन परस्पर लंबवत अक्षों के अनुदिश रेखीय प्रसार गुणांकों का योग होता है:
$\gamma = \alpha_{x} + \alpha_{y} + \alpha_{z}$
दिया गया है:
$\alpha_{x} = 5 \times 10^{-5} /^{\circ} C = 50 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
$\alpha_{y} = 5 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
$\alpha_{z} = 5 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\gamma = (50 \times 10^{-6} + 5 \times 10^{-6} + 5 \times 10^{-6}) /^{\circ} C$
$\gamma = (50 + 5 + 5) \times 10^{-6} /^{\circ} C$
$\gamma = 60 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
इसे दिए गए रूप $C \times 10^{-6} /^{\circ} C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $C = 60$ प्राप्त होता है।
$\gamma = \alpha_{x} + \alpha_{y} + \alpha_{z}$
दिया गया है:
$\alpha_{x} = 5 \times 10^{-5} /^{\circ} C = 50 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
$\alpha_{y} = 5 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
$\alpha_{z} = 5 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\gamma = (50 \times 10^{-6} + 5 \times 10^{-6} + 5 \times 10^{-6}) /^{\circ} C$
$\gamma = (50 + 5 + 5) \times 10^{-6} /^{\circ} C$
$\gamma = 60 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
इसे दिए गए रूप $C \times 10^{-6} /^{\circ} C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $C = 60$ प्राप्त होता है।
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Easy
सिद्ध कीजिए कि किसी ठोस की आयताकार शीट का क्षेत्रीय प्रसार गुणांक,$(\Delta A / A) / \Delta T,$ उसके रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_{l}$ का दोगुना होता है।
Solution
(N/A) मान लीजिए कि एक ठोस पदार्थ की आयताकार शीट की लंबाई $a$ और चौड़ाई $b$ है। जब तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है,तो लंबाई $a$ में $\Delta a = \alpha_{l} a \Delta T$ की वृद्धि होती है और चौड़ाई $b$ में $\Delta b = \alpha_{l} b \Delta T$ की वृद्धि होती है।
क्षेत्रफल में वृद्धि $\Delta A$ आरेख में दिखाए गए तीन छायांकित क्षेत्रों के योग के बराबर है:
$\Delta A = \Delta A_{1} + \Delta A_{2} + \Delta A_{3}$
$\Delta A = a \Delta b + b \Delta a + (\Delta a)(\Delta b)$
$\Delta a$ और $\Delta b$ के व्यंजक रखने पर:
$\Delta A = a(\alpha_{l} b \Delta T) + b(\alpha_{l} a \Delta T) + (\alpha_{l} a \Delta T)(\alpha_{l} b \Delta T)$
$\Delta A = 2 \alpha_{l} ab \Delta T + \alpha_{l}^{2} ab (\Delta T)^{2}$
चूंकि $A = ab$,हमारे पास है:
$\Delta A = 2 \alpha_{l} A \Delta T + \alpha_{l}^{2} A (\Delta T)^{2}$
$\Delta A = \alpha_{l} A \Delta T (2 + \alpha_{l} \Delta T)$
$A \Delta T$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\Delta A}{A \Delta T} = \alpha_{l} (2 + \alpha_{l} \Delta T)$
चूंकि $\alpha_{l}$ बहुत छोटा है (आमतौर पर $\approx 10^{-5} \text{ K}^{-1}$),पद $\alpha_{l} \Delta T$ को $2$ की तुलना में नगण्य माना जा सकता है। इसलिए:
$\frac{\Delta A}{A \Delta T} \approx 2 \alpha_{l}$
क्षेत्रफल में वृद्धि $\Delta A$ आरेख में दिखाए गए तीन छायांकित क्षेत्रों के योग के बराबर है:
$\Delta A = \Delta A_{1} + \Delta A_{2} + \Delta A_{3}$
$\Delta A = a \Delta b + b \Delta a + (\Delta a)(\Delta b)$
$\Delta a$ और $\Delta b$ के व्यंजक रखने पर:
$\Delta A = a(\alpha_{l} b \Delta T) + b(\alpha_{l} a \Delta T) + (\alpha_{l} a \Delta T)(\alpha_{l} b \Delta T)$
$\Delta A = 2 \alpha_{l} ab \Delta T + \alpha_{l}^{2} ab (\Delta T)^{2}$
चूंकि $A = ab$,हमारे पास है:
$\Delta A = 2 \alpha_{l} A \Delta T + \alpha_{l}^{2} A (\Delta T)^{2}$
$\Delta A = \alpha_{l} A \Delta T (2 + \alpha_{l} \Delta T)$
$A \Delta T$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\Delta A}{A \Delta T} = \alpha_{l} (2 + \alpha_{l} \Delta T)$
चूंकि $\alpha_{l}$ बहुत छोटा है (आमतौर पर $\approx 10^{-5} \text{ K}^{-1}$),पद $\alpha_{l} \Delta T$ को $2$ की तुलना में नगण्य माना जा सकता है। इसलिए:
$\frac{\Delta A}{A \Delta T} \approx 2 \alpha_{l}$
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EasyMCQ
एक लोहार घोड़ागाड़ी के लकड़ी के पहिये की रिम पर लोहे की रिंग लगाता है। $27^{\circ}C$ पर रिम और लोहे की रिंग का व्यास क्रमशः $5.243\; m$ और $5.231\; m$ है। रिंग को रिम पर फिट करने के लिए उसे किस तापमान ($^{\circ}C$ में) तक गर्म किया जाना चाहिए? (दिया गया है: लोहे का रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 1.20 \times 10^{-5} K^{-1}$)
A
$186$
B
$218$
C
$293$
D
$312$
Solution
(B) दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 27^{\circ}C$
लोहे की रिंग की प्रारंभिक लंबाई (व्यास) $L_{T1} = 5.231\; m$
आवश्यक अंतिम लंबाई (व्यास) $L_{T2} = 5.243\; m$
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 1.20 \times 10^{-5} K^{-1}$
रेखीय प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$L_{T2} = L_{T1} [1 + \alpha(T_{2} - T_{1})]$
मान रखने पर:
$5.243 = 5.231 [1 + 1.20 \times 10^{-5} (T_{2} - 27)]$
$5.231$ से भाग देने पर:
$1.002294 = 1 + 1.20 \times 10^{-5} (T_{2} - 27)$
$0.002294 = 1.20 \times 10^{-5} (T_{2} - 27)$
$T_{2} - 27 = \frac{0.002294}{1.20 \times 10^{-5}}$
$T_{2} - 27 \approx 191.17$
$T_{2} \approx 191.17 + 27 = 218.17^{\circ}C$
निकटतम पूर्णांक में,तापमान $218^{\circ}C$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 27^{\circ}C$
लोहे की रिंग की प्रारंभिक लंबाई (व्यास) $L_{T1} = 5.231\; m$
आवश्यक अंतिम लंबाई (व्यास) $L_{T2} = 5.243\; m$
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 1.20 \times 10^{-5} K^{-1}$
रेखीय प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$L_{T2} = L_{T1} [1 + \alpha(T_{2} - T_{1})]$
मान रखने पर:
$5.243 = 5.231 [1 + 1.20 \times 10^{-5} (T_{2} - 27)]$
$5.231$ से भाग देने पर:
$1.002294 = 1 + 1.20 \times 10^{-5} (T_{2} - 27)$
$0.002294 = 1.20 \times 10^{-5} (T_{2} - 27)$
$T_{2} - 27 = \frac{0.002294}{1.20 \times 10^{-5}}$
$T_{2} - 27 \approx 191.17$
$T_{2} \approx 191.17 + 27 = 218.17^{\circ}C$
निकटतम पूर्णांक में,तापमान $218^{\circ}C$ है।
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Medium
$1 \; m$ लंबी स्टील की टेप $27.0 \; ^{\circ}C$ तापमान के लिए सही ढंग से अंशांकित है। एक गर्म दिन जब तापमान $45.0 \; ^{\circ}C$ होता है,तब इस टेप द्वारा मापी गई स्टील की छड़ की लंबाई $63.0 \; cm$ पाई जाती है। उस दिन स्टील की छड़ की वास्तविक लंबाई क्या है? जब तापमान $27.0 \; ^{\circ}C$ हो,तो उसी स्टील की छड़ की लंबाई क्या होगी? (स्टील का रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 1.20 \times 10^{-5} \; K^{-1}$)
Solution
(N/A) $T = 27.0 \; ^{\circ}C$ तापमान पर स्टील टेप की लंबाई $l = 100 \; cm$ है।
$T_1 = 45.0 \; ^{\circ}C$ तापमान पर,ऊष्मीय प्रसार के कारण टेप की लंबाई $l'$ बढ़ जाती है:
$l' = l(1 + \alpha \Delta T) = 100 \times [1 + 1.20 \times 10^{-5} \times (45.0 - 27.0)]$
$l' = 100 \times [1 + 1.20 \times 10^{-5} \times 18] = 100 \times [1 + 0.000216] = 100.0216 \; cm$.
विस्तारित टेप का उपयोग करके छड़ की मापी गई लंबाई $63.0 \; cm$ है। $45.0 \; ^{\circ}C$ पर वास्तविक लंबाई $l_2$ है:
$l_2 = \frac{l'}{l} \times 63.0 = \frac{100.0216}{100} \times 63.0 = 63.0136 \; cm$.
$27.0 \; ^{\circ}C$ पर लंबाई ज्ञात करने के लिए,हम $l_2 = l_0(1 + \alpha \Delta T)$ का उपयोग करते हैं:
$63.0136 = l_0(1 + 1.20 \times 10^{-5} \times 18) = l_0(1.000216)$
$l_0 = \frac{63.0136}{1.000216} \approx 63.0 \; cm$.
$T_1 = 45.0 \; ^{\circ}C$ तापमान पर,ऊष्मीय प्रसार के कारण टेप की लंबाई $l'$ बढ़ जाती है:
$l' = l(1 + \alpha \Delta T) = 100 \times [1 + 1.20 \times 10^{-5} \times (45.0 - 27.0)]$
$l' = 100 \times [1 + 1.20 \times 10^{-5} \times 18] = 100 \times [1 + 0.000216] = 100.0216 \; cm$.
विस्तारित टेप का उपयोग करके छड़ की मापी गई लंबाई $63.0 \; cm$ है। $45.0 \; ^{\circ}C$ पर वास्तविक लंबाई $l_2$ है:
$l_2 = \frac{l'}{l} \times 63.0 = \frac{100.0216}{100} \times 63.0 = 63.0136 \; cm$.
$27.0 \; ^{\circ}C$ पर लंबाई ज्ञात करने के लिए,हम $l_2 = l_0(1 + \alpha \Delta T)$ का उपयोग करते हैं:
$63.0136 = l_0(1 + 1.20 \times 10^{-5} \times 18) = l_0(1.000216)$
$l_0 = \frac{63.0136}{1.000216} \approx 63.0 \; cm$.
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MediumMCQ
एक बड़े स्टील के पहिये को उसी पदार्थ के शाफ्ट पर फिट किया जाना है। $27^{\circ}C$ पर,शाफ्ट का बाहरी व्यास $8.70\;cm$ है और पहिये में केंद्रीय छेद का व्यास $8.69\;cm$ है। शाफ्ट को 'ड्राई आइस' का उपयोग करके ठंडा किया जाता है। शाफ्ट के किस तापमान ($^{\circ}C$ में) पर पहिया शाफ्ट पर फिसल जाएगा? मान लें कि स्टील का रेखीय प्रसार गुणांक आवश्यक तापमान सीमा में स्थिर है: $\alpha_{steel} = 1.20 \times 10^{-5}\;K^{-1}$.
A
$42$
B
$-42$
C
$-69$
D
$69$
Solution
(C) प्रारंभिक तापमान $T = 27^{\circ}C = 300\;K$.
शाफ्ट का प्रारंभिक व्यास $d_1 = 8.70\;cm$.
पहिये के छेद का व्यास $d_2 = 8.69\;cm$.
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 1.20 \times 10^{-5}\;K^{-1}$.
पहिया शाफ्ट पर तब फिसलेगा जब शाफ्ट का व्यास छेद के व्यास के बराबर हो जाएगा,यानी $d_2 = 8.69\;cm$.
व्यास में परिवर्तन $\Delta d = d_2 - d_1 = 8.69 - 8.70 = -0.01\;cm$.
रेखीय प्रसार के सूत्र $\Delta d = d_1 \alpha \Delta T$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\Delta T = T_f - T_i$:
$-0.01 = 8.70 \times (1.20 \times 10^{-5}) \times (T_f - 300)$.
$T_f - 300 = \frac{-0.01}{8.70 \times 1.20 \times 10^{-5}} = \frac{-0.01}{0.0001044} \approx -95.78\;K$.
$T_f = 300 - 95.78 = 204.22\;K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_f(^{\circ}C) = 204.22 - 273.15 \approx -68.93^{\circ}C$.
निकटतम पूर्णांक में,तापमान $-69^{\circ}C$ है।
शाफ्ट का प्रारंभिक व्यास $d_1 = 8.70\;cm$.
पहिये के छेद का व्यास $d_2 = 8.69\;cm$.
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 1.20 \times 10^{-5}\;K^{-1}$.
पहिया शाफ्ट पर तब फिसलेगा जब शाफ्ट का व्यास छेद के व्यास के बराबर हो जाएगा,यानी $d_2 = 8.69\;cm$.
व्यास में परिवर्तन $\Delta d = d_2 - d_1 = 8.69 - 8.70 = -0.01\;cm$.
रेखीय प्रसार के सूत्र $\Delta d = d_1 \alpha \Delta T$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\Delta T = T_f - T_i$:
$-0.01 = 8.70 \times (1.20 \times 10^{-5}) \times (T_f - 300)$.
$T_f - 300 = \frac{-0.01}{8.70 \times 1.20 \times 10^{-5}} = \frac{-0.01}{0.0001044} \approx -95.78\;K$.
$T_f = 300 - 95.78 = 204.22\;K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_f(^{\circ}C) = 204.22 - 273.15 \approx -68.93^{\circ}C$.
निकटतम पूर्णांक में,तापमान $-69^{\circ}C$ है।
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MediumMCQ
तांबे की एक शीट में एक छेद किया गया है। $27.0 \; ^{\circ}C$ पर छेद का व्यास $4.24 \; cm$ है। जब शीट को $227 \; ^{\circ}C$ तक गर्म किया जाता है,तो छेद के व्यास में परिवर्तन क्या होगा? (तांबे का रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 1.70 \times 10^{-5} \; K^{-1}$)
A
$3.21 \times 10^{-3} \; cm$
B
$8.96 \times 10^{-1} \; cm$
C
$4.98 \times 10^{-2} \; cm$
D
$1.44 \times 10^{-2} \; cm$
Solution
(D) प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 27.0 \; ^{\circ}C$.
प्रारंभिक व्यास $d_{1} = 4.24 \; cm$.
अंतिम तापमान $T_{2} = 227 \; ^{\circ}C$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_{2} - T_{1} = 227 - 27 = 200 \; K$.
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 1.70 \times 10^{-5} \; K^{-1}$.
किसी पदार्थ में छेद का ऊष्मीय प्रसार उसी पदार्थ की ठोस डिस्क के प्रसार के नियम का पालन करता है।
व्यास में परिवर्तन $\Delta d$ को सूत्र $\Delta d = d_{1} \alpha \Delta T$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर:
$\Delta d = 4.24 \times (1.70 \times 10^{-5}) \times 200$.
$\Delta d = 4.24 \times 3.40 \times 10^{-3}$.
$\Delta d = 14.416 \times 10^{-3} \; cm$.
$\Delta d = 1.4416 \times 10^{-2} \; cm \approx 1.44 \times 10^{-2} \; cm$.
प्रारंभिक व्यास $d_{1} = 4.24 \; cm$.
अंतिम तापमान $T_{2} = 227 \; ^{\circ}C$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_{2} - T_{1} = 227 - 27 = 200 \; K$.
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 1.70 \times 10^{-5} \; K^{-1}$.
किसी पदार्थ में छेद का ऊष्मीय प्रसार उसी पदार्थ की ठोस डिस्क के प्रसार के नियम का पालन करता है।
व्यास में परिवर्तन $\Delta d$ को सूत्र $\Delta d = d_{1} \alpha \Delta T$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर:
$\Delta d = 4.24 \times (1.70 \times 10^{-5}) \times 200$.
$\Delta d = 4.24 \times 3.40 \times 10^{-3}$.
$\Delta d = 14.416 \times 10^{-3} \; cm$.
$\Delta d = 1.4416 \times 10^{-2} \; cm \approx 1.44 \times 10^{-2} \; cm$.
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Medium
$50\; cm$ लंबाई और $3.0\; mm$ व्यास वाली पीतल की एक छड़ को समान लंबाई और व्यास वाली स्टील की छड़ से जोड़ा जाता है। यदि मूल लंबाई $40.0\; ^{\circ}C$ पर है,तो $250\; ^{\circ}C$ पर संयुक्त छड़ की लंबाई में परिवर्तन क्या होगा? क्या जंक्शन पर कोई 'थर्मल स्ट्रेस' (तापीय प्रतिबल) विकसित होता है? छड़ के सिरे स्वतंत्र रूप से फैल सकते हैं। (पीतल का रैखिक प्रसार गुणांक $= 2.0 \times 10^{-5}\; K^{-1}$,स्टील $= 1.2 \times 10^{-5}\; K^{-1}$)
Solution
(N/A) प्रारंभिक तापमान,$T_{1} = 40.0\; ^{\circ}C$
अंतिम तापमान,$T_{2} = 250\; ^{\circ}C$
तापमान में परिवर्तन,$\Delta T = T_{2} - T_{1} = 210\; ^{\circ}C$
प्रत्येक छड़ की लंबाई,$l = 50\; cm$
पीतल का रैखिक प्रसार गुणांक,$\alpha_{b} = 2.0 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
स्टील का रैखिक प्रसार गुणांक,$\alpha_{s} = 1.2 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
पीतल की छड़ की लंबाई में परिवर्तन,$\Delta l_{b} = l \alpha_{b} \Delta T = 50 \times (2.0 \times 10^{-5}) \times 210 = 0.21\; cm$
स्टील की छड़ की लंबाई में परिवर्तन,$\Delta l_{s} = l \alpha_{s} \Delta T = 50 \times (1.2 \times 10^{-5}) \times 210 = 0.126\; cm$
संयुक्त छड़ की लंबाई में कुल परिवर्तन,$\Delta l = \Delta l_{b} + \Delta l_{s} = 0.21 + 0.126 = 0.336\; cm$
चूंकि छड़ के सिरे स्वतंत्र रूप से फैल सकते हैं,इसलिए विस्तार पर कोई बाधा नहीं है,और इसलिए जंक्शन पर कोई 'थर्मल स्ट्रेस' विकसित नहीं होता है।
अंतिम तापमान,$T_{2} = 250\; ^{\circ}C$
तापमान में परिवर्तन,$\Delta T = T_{2} - T_{1} = 210\; ^{\circ}C$
प्रत्येक छड़ की लंबाई,$l = 50\; cm$
पीतल का रैखिक प्रसार गुणांक,$\alpha_{b} = 2.0 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
स्टील का रैखिक प्रसार गुणांक,$\alpha_{s} = 1.2 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
पीतल की छड़ की लंबाई में परिवर्तन,$\Delta l_{b} = l \alpha_{b} \Delta T = 50 \times (2.0 \times 10^{-5}) \times 210 = 0.21\; cm$
स्टील की छड़ की लंबाई में परिवर्तन,$\Delta l_{s} = l \alpha_{s} \Delta T = 50 \times (1.2 \times 10^{-5}) \times 210 = 0.126\; cm$
संयुक्त छड़ की लंबाई में कुल परिवर्तन,$\Delta l = \Delta l_{b} + \Delta l_{s} = 0.21 + 0.126 = 0.336\; cm$
चूंकि छड़ के सिरे स्वतंत्र रूप से फैल सकते हैं,इसलिए विस्तार पर कोई बाधा नहीं है,और इसलिए जंक्शन पर कोई 'थर्मल स्ट्रेस' विकसित नहीं होता है।
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Difficult
एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ दो तांबे की छड़ों $AB$ और $BC$ तथा एक एल्युमीनियम की छड़ $AC$ से बना है। निकाय को इस प्रकार गर्म किया जाता है कि प्रत्येक छड़ का तापमान $\Delta T$ बढ़ जाता है। कोण $\angle ABC$ में परिवर्तन ज्ञात कीजिए। (तांबे के लिए रैखिक प्रसार गुणांक $\alpha_1$ और एल्युमीनियम के लिए $\alpha_2$ है)।
Solution
(N/A) माना भुजाओं की लंबाई $AB = l_1$,$BC = l_3$,और $AC = l_2$ है। प्रारंभ में,$l_1 = l_2 = l_3 = l$.
कोण $\angle ABC = \theta$ के लिए कोज्या नियम (law of cosines) का उपयोग करने पर:
$\cos \theta = \frac{l_1^2 + l_3^2 - l_2^2}{2 l_1 l_3}$
$2 l_1 l_3 \cos \theta = l_1^2 + l_3^2 - l_2^2$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2(l_3 dl_1 + l_1 dl_3) \cos \theta - 2 l_1 l_3 \sin \theta d\theta = 2 l_1 dl_1 + 2 l_3 dl_3 - 2 l_2 dl_2$
चूंकि $AB$ और $BC$ तांबे $(\alpha_1)$ की हैं और $AC$ एल्युमीनियम $(\alpha_2)$ की है:
$dl_1 = l_1 \alpha_1 \Delta T$,$dl_3 = l_3 \alpha_1 \Delta T$,$dl_2 = l_2 \alpha_2 \Delta T$
इन मानों को समीकरण में रखने पर और $l_1 = l_2 = l_3 = l$ तथा $\theta = 60^\circ$ का उपयोग करने पर:
$2(l^2 \alpha_1 \Delta T + l^2 \alpha_1 \Delta T) \cos 60^\circ - 2 l^2 \sin 60^\circ d\theta = 2 l^2 \alpha_1 \Delta T + 2 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$4 l^2 \alpha_1 \Delta T (1/2) - 2 l^2 (\sqrt{3}/2) d\theta = 4 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$2 l^2 \alpha_1 \Delta T - \sqrt{3} l^2 d\theta = 4 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$-\sqrt{3} d\theta = 2 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$d\theta = \frac{2(\alpha_2 - \alpha_1) \Delta T}{\sqrt{3}}$
कोण $\angle ABC = \theta$ के लिए कोज्या नियम (law of cosines) का उपयोग करने पर:
$\cos \theta = \frac{l_1^2 + l_3^2 - l_2^2}{2 l_1 l_3}$
$2 l_1 l_3 \cos \theta = l_1^2 + l_3^2 - l_2^2$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2(l_3 dl_1 + l_1 dl_3) \cos \theta - 2 l_1 l_3 \sin \theta d\theta = 2 l_1 dl_1 + 2 l_3 dl_3 - 2 l_2 dl_2$
चूंकि $AB$ और $BC$ तांबे $(\alpha_1)$ की हैं और $AC$ एल्युमीनियम $(\alpha_2)$ की है:
$dl_1 = l_1 \alpha_1 \Delta T$,$dl_3 = l_3 \alpha_1 \Delta T$,$dl_2 = l_2 \alpha_2 \Delta T$
इन मानों को समीकरण में रखने पर और $l_1 = l_2 = l_3 = l$ तथा $\theta = 60^\circ$ का उपयोग करने पर:
$2(l^2 \alpha_1 \Delta T + l^2 \alpha_1 \Delta T) \cos 60^\circ - 2 l^2 \sin 60^\circ d\theta = 2 l^2 \alpha_1 \Delta T + 2 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$4 l^2 \alpha_1 \Delta T (1/2) - 2 l^2 (\sqrt{3}/2) d\theta = 4 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$2 l^2 \alpha_1 \Delta T - \sqrt{3} l^2 d\theta = 4 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$-\sqrt{3} d\theta = 2 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$d\theta = \frac{2(\alpha_2 - \alpha_1) \Delta T}{\sqrt{3}}$
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Medium
ऊष्मीय प्रसार क्या है? केवल इसके प्रकार लिखिए।
Solution
(N/A) ऊष्मीय प्रसार वह घटना है जिसमें तापमान में वृद्धि के कारण किसी पिंड के आयामों में वृद्धि होती है। जब किसी पदार्थ को गर्म किया जाता है,तो उसके कण गतिज ऊर्जा प्राप्त करते हैं और अधिक तीव्रता से कंपन करते हैं,जिससे उनके बीच की औसत दूरी बढ़ जाती है,जिसके परिणामस्वरूप स्थूल प्रसार होता है।
ऊष्मीय प्रसार के तीन प्रकार हैं:
$(a)$ रेखीय प्रसार: किसी ठोस की लंबाई में होने वाले प्रसार को रेखीय प्रसार कहते हैं।
$(b)$ क्षेत्रीय प्रसार: किसी ठोस के पृष्ठीय क्षेत्रफल में होने वाले प्रसार को क्षेत्रीय प्रसार कहते हैं।
$(c)$ आयतन प्रसार: किसी ठोस या तरल के आयतन में होने वाले प्रसार को आयतन प्रसार कहते हैं।
इन्हें नीचे दर्शाया गया है:
$(a)$ रेखीय प्रसार: $\frac{\Delta l}{l} = \alpha_l \Delta T$
$(b)$ क्षेत्रीय प्रसार: $\frac{\Delta A}{A} = 2\alpha_l \Delta T$
$(c)$ आयतन प्रसार: $\frac{\Delta V}{V} = 3\alpha_l \Delta T$
ऊष्मीय प्रसार के तीन प्रकार हैं:
$(a)$ रेखीय प्रसार: किसी ठोस की लंबाई में होने वाले प्रसार को रेखीय प्रसार कहते हैं।
$(b)$ क्षेत्रीय प्रसार: किसी ठोस के पृष्ठीय क्षेत्रफल में होने वाले प्रसार को क्षेत्रीय प्रसार कहते हैं।
$(c)$ आयतन प्रसार: किसी ठोस या तरल के आयतन में होने वाले प्रसार को आयतन प्रसार कहते हैं।
इन्हें नीचे दर्शाया गया है:
$(a)$ रेखीय प्रसार: $\frac{\Delta l}{l} = \alpha_l \Delta T$
$(b)$ क्षेत्रीय प्रसार: $\frac{\Delta A}{A} = 2\alpha_l \Delta T$
$(c)$ आयतन प्रसार: $\frac{\Delta V}{V} = 3\alpha_l \Delta T$
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Medium
रेखीय प्रसार (linear expansion) को समझाइए। इसका मात्रक लिखिए।
Solution
जब किसी ठोस पदार्थ का तापमान बढ़ाया जाता है,तो उसकी लंबाई में होने वाली वृद्धि को रेखीय प्रसार कहते हैं।
लंबाई में वृद्धि $(\Delta l)$,मूल लंबाई $(l)$ और तापमान में परिवर्तन $(\Delta T)$ के सीधे समानुपाती होती है।
$\Delta l \propto l$ और $\Delta l \propto \Delta T$
इन्हें संयोजित करने पर,$\Delta l \propto l \Delta T$ प्राप्त होता है।
$\frac{\Delta l}{l} = \alpha_{l} \Delta T$,जहाँ $\alpha_{l}$ रेखीय प्रसार गुणांक है।
अतः,$\Delta l = \alpha_{l} l \Delta T$।
गुणांक $\alpha_{l}$ पदार्थ का एक अभिलक्षणिक गुण है और यह पदार्थ के प्रकार पर निर्भर करता है।
$\alpha_{l}$ का मात्रक $(^{\circ}C)^{-1}$ या $K^{-1}$ होता है।
यदि $T_{1}$ तापमान पर प्रारंभिक लंबाई $l_{1}$ है और $T_{2}$ तापमान पर अंतिम लंबाई $l_{2}$ है,तो:
$l_{2} - l_{1} = \alpha_{l} l_{1} (T_{2} - T_{1})$
$l_{2} = l_{1} [1 + \alpha_{l} (T_{2} - T_{1})]$
लंबाई में वृद्धि $(\Delta l)$,मूल लंबाई $(l)$ और तापमान में परिवर्तन $(\Delta T)$ के सीधे समानुपाती होती है।
$\Delta l \propto l$ और $\Delta l \propto \Delta T$
इन्हें संयोजित करने पर,$\Delta l \propto l \Delta T$ प्राप्त होता है।
$\frac{\Delta l}{l} = \alpha_{l} \Delta T$,जहाँ $\alpha_{l}$ रेखीय प्रसार गुणांक है।
अतः,$\Delta l = \alpha_{l} l \Delta T$।
गुणांक $\alpha_{l}$ पदार्थ का एक अभिलक्षणिक गुण है और यह पदार्थ के प्रकार पर निर्भर करता है।
$\alpha_{l}$ का मात्रक $(^{\circ}C)^{-1}$ या $K^{-1}$ होता है।
यदि $T_{1}$ तापमान पर प्रारंभिक लंबाई $l_{1}$ है और $T_{2}$ तापमान पर अंतिम लंबाई $l_{2}$ है,तो:
$l_{2} - l_{1} = \alpha_{l} l_{1} (T_{2} - T_{1})$
$l_{2} = l_{1} [1 + \alpha_{l} (T_{2} - T_{1})]$
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Medium
आयतन प्रसार गुणांक $(\alpha_V)$ और रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha_l)$ के बीच संबंध प्राप्त कीजिए।
Solution
(A) मान लीजिए $l$ भुजा की लंबाई वाला एक घन है। जब इसके तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि की जाती है,तो यह सभी विमाओं में समान रूप से फैलता है।
आयतन के सूत्र से,$V = l^3$ है।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = (l + \Delta l)^3 - l^3$ है।
इसका विस्तार करने पर,$\Delta V = l^3 + 3l^2 \Delta l + 3l(\Delta l)^2 + (\Delta l)^3 - l^3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\Delta l$ बहुत छोटा है,इसलिए $(\Delta l)^2$ और $(\Delta l)^3$ नगण्य हैं। अतः,$\Delta V \approx 3l^2 \Delta l$ ... $(1)$.
रेखीय प्रसार की परिभाषा से,$\Delta l = \alpha_l l \Delta T$ ... $(2)$.
समीकरण $(2)$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\Delta V = 3l^2 (\alpha_l l \Delta T) = 3l^3 \alpha_l \Delta T$ प्राप्त होता है।
चूंकि $V = l^3$,इसलिए $\Delta V = 3 V \alpha_l \Delta T$ ... $(3)$.
आयतन प्रसार के सामान्य समीकरण $\Delta V = \alpha_V V \Delta T$ के साथ समीकरण $(3)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha_V = 3 \alpha_l$.
आयतन के सूत्र से,$V = l^3$ है।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = (l + \Delta l)^3 - l^3$ है।
इसका विस्तार करने पर,$\Delta V = l^3 + 3l^2 \Delta l + 3l(\Delta l)^2 + (\Delta l)^3 - l^3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\Delta l$ बहुत छोटा है,इसलिए $(\Delta l)^2$ और $(\Delta l)^3$ नगण्य हैं। अतः,$\Delta V \approx 3l^2 \Delta l$ ... $(1)$.
रेखीय प्रसार की परिभाषा से,$\Delta l = \alpha_l l \Delta T$ ... $(2)$.
समीकरण $(2)$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\Delta V = 3l^2 (\alpha_l l \Delta T) = 3l^3 \alpha_l \Delta T$ प्राप्त होता है।
चूंकि $V = l^3$,इसलिए $\Delta V = 3 V \alpha_l \Delta T$ ... $(3)$.
आयतन प्रसार के सामान्य समीकरण $\Delta V = \alpha_V V \Delta T$ के साथ समीकरण $(3)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha_V = 3 \alpha_l$.
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MediumMCQ
यदि एक छड़ को दोनों सिरों पर मजबूती से बांधा जाए और उसका तापमान बढ़ाया जाए तो क्या होगा?
A
छड़ स्वतंत्र रूप से फैल जाएगी।
B
छड़ में संपीड़ित प्रतिबल (compressive stress) उत्पन्न होगा और वह मुड़ सकती है।
C
छड़ में तन्य प्रतिबल (tensile stress) उत्पन्न होगा।
D
बिना किसी प्रतिबल के छड़ की लंबाई स्थिर रहेगी।
Solution
(B) जब एक छड़ को दोनों सिरों पर मजबूती से बांधा जाता है,तो गर्म करने पर वह स्वतंत्र रूप से नहीं फैल सकती।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,छड़ $\Delta l = l \alpha \Delta T$ के अनुसार फैलने का प्रयास करती है। चूंकि आधार कठोर होते हैं,वे छड़ पर अंदर की ओर बल लगाते हैं,जो इस विस्तार को रोकता है।
यह बाधा सामग्री के भीतर संपीड़ित विकृति (compressive strain) और परिणामस्वरूप तापीय प्रतिबल (thermal stress) के विकास का कारण बनती है। तापीय प्रतिबल $\sigma = Y \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
यदि आंतरिक संपीड़ित बल छड़ या उसके आधारों की संरचनात्मक सीमा से अधिक हो जाता है,तो छड़ मुड़ सकती है या झुक सकती है।
उदाहरण के लिए,यदि $40 \text{ cm}^2$ के अनुप्रस्थ काट वाले स्टील की छड़ को बांधा जाए,तो $10^{\circ}C$ का तापमान परिवर्तन $1.2 \times 10^{-4}$ की संपीड़ित विकृति उत्पन्न करता है।
परिणामी बल $F = Y A \epsilon = (2 \times 10^{11} \text{ Pa}) \times (40 \times 10^{-4} \text{ m}^2) \times (1.2 \times 10^{-4}) = 96,000 \text{ N}$ होता है,जो कई संरचनाओं में झुकने या मुड़ने का कारण बनने के लिए पर्याप्त है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,छड़ $\Delta l = l \alpha \Delta T$ के अनुसार फैलने का प्रयास करती है। चूंकि आधार कठोर होते हैं,वे छड़ पर अंदर की ओर बल लगाते हैं,जो इस विस्तार को रोकता है।
यह बाधा सामग्री के भीतर संपीड़ित विकृति (compressive strain) और परिणामस्वरूप तापीय प्रतिबल (thermal stress) के विकास का कारण बनती है। तापीय प्रतिबल $\sigma = Y \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
यदि आंतरिक संपीड़ित बल छड़ या उसके आधारों की संरचनात्मक सीमा से अधिक हो जाता है,तो छड़ मुड़ सकती है या झुक सकती है।
उदाहरण के लिए,यदि $40 \text{ cm}^2$ के अनुप्रस्थ काट वाले स्टील की छड़ को बांधा जाए,तो $10^{\circ}C$ का तापमान परिवर्तन $1.2 \times 10^{-4}$ की संपीड़ित विकृति उत्पन्न करता है।
परिणामी बल $F = Y A \epsilon = (2 \times 10^{11} \text{ Pa}) \times (40 \times 10^{-4} \text{ m}^2) \times (1.2 \times 10^{-4}) = 96,000 \text{ N}$ होता है,जो कई संरचनाओं में झुकने या मुड़ने का कारण बनने के लिए पर्याप्त है।
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Medium
क्षेत्रीय प्रसार क्या है? क्षेत्रीय प्रसार गुणांक की परिभाषा और मात्रक दीजिए।
Solution
(N/A) क्षेत्रीय प्रसार (या पृष्ठीय प्रसार) तापमान में वृद्धि के कारण किसी ठोस वस्तु के पृष्ठीय क्षेत्रफल में होने वाली वृद्धि है।
क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $(\beta)$ की परिभाषा: इसे प्रति इकाई तापमान परिवर्तन पर क्षेत्रफल में होने वाले आंशिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\beta = \frac{\Delta A}{A_0 \Delta T}$,जहाँ $\Delta A$ क्षेत्रफल में परिवर्तन है,$A_0$ प्रारंभिक क्षेत्रफल है,और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
मात्रक: क्षेत्रीय प्रसार गुणांक का $SI$ मात्रक $\text{K}^{-1}$ या $^\circ\text{C}^{-1}$ है।
क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $(\beta)$ की परिभाषा: इसे प्रति इकाई तापमान परिवर्तन पर क्षेत्रफल में होने वाले आंशिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\beta = \frac{\Delta A}{A_0 \Delta T}$,जहाँ $\Delta A$ क्षेत्रफल में परिवर्तन है,$A_0$ प्रारंभिक क्षेत्रफल है,और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
मात्रक: क्षेत्रीय प्रसार गुणांक का $SI$ मात्रक $\text{K}^{-1}$ या $^\circ\text{C}^{-1}$ है।
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MediumMCQ
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_l$ का मान किस पर निर्भर करता है? इसका मात्रक लिखिए।
A
Material of the rod,$K^{-1}$
B
Length of the rod,$K^{-1}$
C
Temperature change,$K$
D
Area of the rod,$m^2$
Solution
(A) रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_l$ को संबंध $\Delta L = L_0 \alpha_l \Delta T$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\Delta L$ लंबाई में परिवर्तन है,$L_0$ मूल लंबाई है,और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
इससे,$\alpha_l = \frac{\Delta L}{L_0 \Delta T}$ प्राप्त होता है।
$\alpha_l$ पूरी तरह से पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है।
इसका $SI$ मात्रक प्रति केल्विन $(K^{-1})$ या प्रति डिग्री सेल्सियस $(^{\circ}C^{-1})$ है।
इससे,$\alpha_l = \frac{\Delta L}{L_0 \Delta T}$ प्राप्त होता है।
$\alpha_l$ पूरी तरह से पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है।
इसका $SI$ मात्रक प्रति केल्विन $(K^{-1})$ या प्रति डिग्री सेल्सियस $(^{\circ}C^{-1})$ है।
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Medium
रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha_l)$,क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $(\alpha_A)$ और आयतन प्रसार गुणांक $(\alpha_V)$ के बीच संबंध लिखिए।
Solution
(N/A) रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha_l)$ को तापमान में प्रति इकाई परिवर्तन के लिए लंबाई में आंशिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $(\alpha_A)$ को तापमान में प्रति इकाई परिवर्तन के लिए क्षेत्रफल में आंशिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो लगभग $2\alpha_l$ होता है।
आयतन प्रसार गुणांक $(\alpha_V)$ को तापमान में प्रति इकाई परिवर्तन के लिए आयतन में आंशिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो लगभग $3\alpha_l$ होता है।
अतः,उनके बीच का संबंध इस अनुपात द्वारा दिया जाता है: $\alpha_l : \alpha_A : \alpha_V = 1 : 2 : 3$.
क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $(\alpha_A)$ को तापमान में प्रति इकाई परिवर्तन के लिए क्षेत्रफल में आंशिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो लगभग $2\alpha_l$ होता है।
आयतन प्रसार गुणांक $(\alpha_V)$ को तापमान में प्रति इकाई परिवर्तन के लिए आयतन में आंशिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो लगभग $3\alpha_l$ होता है।
अतः,उनके बीच का संबंध इस अनुपात द्वारा दिया जाता है: $\alpha_l : \alpha_A : \alpha_V = 1 : 2 : 3$.
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MediumMCQ
ठोस के लिए आयतन प्रसार गुणांक $(\alpha_V)$ बनाम तापमान $(T)$ का ग्राफ खींचिए।
A
मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा।
B
तापमान अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा।
C
तापमान के साथ बढ़ने वाला एक वक्र।
D
तापमान के साथ घटने वाला एक वक्र।
Solution
(C) ठोस के लिए आयतन प्रसार गुणांक $(\alpha_V)$ को तापमान में प्रति इकाई परिवर्तन के लिए आयतन में आंशिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात,$\alpha_V = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$।
अधिकांश ठोस पदार्थों के लिए,$\alpha_V$ स्थिर नहीं होता है बल्कि तापमान पर निर्भर करता है।
बहुत कम तापमान पर ($0 \ K$ के करीब),$\alpha_V$ बहुत छोटा होता है और तापमान के साथ बढ़ता है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,$\alpha_V$ बढ़ता है और अंततः उच्च तापमान पर एक स्थिर मान के करीब पहुंच जाता है।
इसलिए,$\alpha_V$ बनाम $T$ का ग्राफ एक वक्र है जो कम मान से शुरू होता है और बढ़ता है,और अंततः उच्च तापमान पर लगभग स्थिर हो जाता है।
अधिकांश ठोस पदार्थों के लिए,$\alpha_V$ स्थिर नहीं होता है बल्कि तापमान पर निर्भर करता है।
बहुत कम तापमान पर ($0 \ K$ के करीब),$\alpha_V$ बहुत छोटा होता है और तापमान के साथ बढ़ता है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,$\alpha_V$ बढ़ता है और अंततः उच्च तापमान पर एक स्थिर मान के करीब पहुंच जाता है।
इसलिए,$\alpha_V$ बनाम $T$ का ग्राफ एक वक्र है जो कम मान से शुरू होता है और बढ़ता है,और अंततः उच्च तापमान पर लगभग स्थिर हो जाता है।
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Medium
रेखीय प्रसार गुणांक और आयतन प्रसार गुणांक के बीच संबंध लिखिए।
Solution
(N/A) मान लीजिए कि $T$ तापमान पर एक ठोस घन की भुजा की लंबाई $L$ है। इसका प्रारंभिक आयतन $V = L^3$ है।
जब तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है,तो नई लंबाई $L' = L(1 + \alpha \Delta T)$ हो जाती है,जहाँ $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है।
नया आयतन $V' = (L')^3 = [L(1 + \alpha \Delta T)]^3$ द्वारा प्राप्त होता है।
द्विपद विस्तार $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x$ बहुत छोटा है,हमें $V' \approx L^3(1 + 3\alpha \Delta T) = V(1 + 3\alpha \Delta T)$ प्राप्त होता है।
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ को $V' = V(1 + \gamma \Delta T)$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।
इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $\gamma = 3\alpha$ प्राप्त होता है।
जब तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है,तो नई लंबाई $L' = L(1 + \alpha \Delta T)$ हो जाती है,जहाँ $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है।
नया आयतन $V' = (L')^3 = [L(1 + \alpha \Delta T)]^3$ द्वारा प्राप्त होता है।
द्विपद विस्तार $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x$ बहुत छोटा है,हमें $V' \approx L^3(1 + 3\alpha \Delta T) = V(1 + 3\alpha \Delta T)$ प्राप्त होता है।
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ को $V' = V(1 + \gamma \Delta T)$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।
इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $\gamma = 3\alpha$ प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
तापमान में वृद्धि के साथ ठोस पदार्थों का घनत्व क्यों बदल जाता है?
A
द्रव्यमान बढ़ता है,आयतन स्थिर रहता है।
B
द्रव्यमान स्थिर रहता है,ऊष्मीय प्रसार के कारण आयतन बढ़ता है।
C
द्रव्यमान घटता है,आयतन स्थिर रहता है।
D
द्रव्यमान स्थिर रहता है,ऊष्मीय संकुचन के कारण आयतन घटता है।
Solution
(B) किसी पदार्थ का घनत्व $\rho$ उसके द्रव्यमान $m$ और आयतन $V$ के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है,जिसका सूत्र $\rho = \frac{m}{V}$ है।
जब किसी ठोस पदार्थ का तापमान बढ़ता है,तो उसके परमाणु अधिक आयाम के साथ कंपन करते हैं,जिससे उनके बीच की औसत दूरी बढ़ जाती है। इस घटना को ऊष्मीय प्रसार कहा जाता है।
ऊष्मीय प्रसार के परिणामस्वरूप,ठोस का आयतन $V$ बढ़ जाता है।
चूंकि इस प्रक्रिया के दौरान पदार्थ का द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है,इसलिए आयतन $V$ में वृद्धि घनत्व $\rho$ में कमी का कारण बनती है क्योंकि $\rho$,$V$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
जब किसी ठोस पदार्थ का तापमान बढ़ता है,तो उसके परमाणु अधिक आयाम के साथ कंपन करते हैं,जिससे उनके बीच की औसत दूरी बढ़ जाती है। इस घटना को ऊष्मीय प्रसार कहा जाता है।
ऊष्मीय प्रसार के परिणामस्वरूप,ठोस का आयतन $V$ बढ़ जाता है।
चूंकि इस प्रक्रिया के दौरान पदार्थ का द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है,इसलिए आयतन $V$ में वृद्धि घनत्व $\rho$ में कमी का कारण बनती है क्योंकि $\rho$,$V$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
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MediumMCQ
रेखीय प्रसार गुणांक का मान किस पर निर्भर करता है?
A
केवल छड़ के पदार्थ पर।
B
केवल छड़ की प्रारंभिक लंबाई पर।
C
पदार्थ की प्रकृति और तापमान की सीमा पर।
D
छड़ के आकार पर।
Solution
(C) रेखीय प्रसार गुणांक,जिसे $\alpha$ द्वारा दर्शाया जाता है,एक ऐसा गुण है जो यह बताता है कि तापमान के साथ पदार्थ की लंबाई कैसे बदलती है।
यह मुख्य रूप से पदार्थ की प्रकृति (परमाणु संरचना और बंधन) और उस तापमान सीमा पर निर्भर करता है जिसमें प्रसार को मापा जाता है।
हालाँकि तापमान में छोटे बदलावों के लिए इसे अक्सर एक स्थिरांक माना जाता है,लेकिन तकनीकी रूप से यह तापमान का एक फलन है।
यह मुख्य रूप से पदार्थ की प्रकृति (परमाणु संरचना और बंधन) और उस तापमान सीमा पर निर्भर करता है जिसमें प्रसार को मापा जाता है।
हालाँकि तापमान में छोटे बदलावों के लिए इसे अक्सर एक स्थिरांक माना जाता है,लेकिन तकनीकी रूप से यह तापमान का एक फलन है।
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Medium
एक छात्र एक छड़ की प्रारंभिक लंबाई $l$,तापमान में परिवर्तन $\Delta T$ और लंबाई में परिवर्तन $\Delta l$ को इस प्रकार रिकॉर्ड करता है:
यदि पहला अवलोकन सही है,तो आप अवलोकनों $(2)$,$(3)$ और $(4)$ के बारे में क्या कह सकते हैं?
| क्र.सं. | $l (m)$ | $\Delta T (^{\circ}C)$ | $\Delta l (m)$ |
|---|---|---|---|
| $(1)$ | $2$ | $10$ | $4 \times 10^{-4}$ |
| $(2)$ | $1$ | $10$ | $4 \times 10^{-4}$ |
| $(3)$ | $2$ | $20$ | $2 \times 10^{-4}$ |
| $(4)$ | $3$ | $10$ | $6 \times 10^{-4}$ |
यदि पहला अवलोकन सही है,तो आप अवलोकनों $(2)$,$(3)$ और $(4)$ के बारे में क्या कह सकते हैं?
Solution
(N/A) रैखिक तापीय प्रसार का सूत्र $\Delta l = \alpha l \Delta T$ है,जहाँ $\alpha$ रैखिक प्रसार गुणांक है।
पहले अवलोकन से:
$\alpha = \frac{\Delta l}{l \Delta T} = \frac{4 \times 10^{-4}}{2 \times 10} = 2 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$.
अब,हम $\alpha = 2 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$ का उपयोग करके अन्य अवलोकनों की जाँच करते हैं:
अवलोकन $(2)$ के लिए:
$\Delta l = \alpha l \Delta T = (2 \times 10^{-5}) \times 1 \times 10 = 2 \times 10^{-4} \, m$.
चूंकि रिकॉर्ड किया गया मान $4 \times 10^{-4} \, m$ है,इसलिए अवलोकन $(2)$ गलत है।
अवलोकन $(3)$ के लिए:
$\Delta l = \alpha l \Delta T = (2 \times 10^{-5}) \times 2 \times 20 = 8 \times 10^{-4} \, m$.
चूंकि रिकॉर्ड किया गया मान $2 \times 10^{-4} \, m$ है,इसलिए अवलोकन $(3)$ गलत है।
अवलोकन $(4)$ के लिए:
$\Delta l = \alpha l \Delta T = (2 \times 10^{-5}) \times 3 \times 10 = 6 \times 10^{-4} \, m$.
चूंकि रिकॉर्ड किया गया मान $6 \times 10^{-4} \, m$ है,इसलिए अवलोकन $(4)$ सही है।
पहले अवलोकन से:
$\alpha = \frac{\Delta l}{l \Delta T} = \frac{4 \times 10^{-4}}{2 \times 10} = 2 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$.
अब,हम $\alpha = 2 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$ का उपयोग करके अन्य अवलोकनों की जाँच करते हैं:
अवलोकन $(2)$ के लिए:
$\Delta l = \alpha l \Delta T = (2 \times 10^{-5}) \times 1 \times 10 = 2 \times 10^{-4} \, m$.
चूंकि रिकॉर्ड किया गया मान $4 \times 10^{-4} \, m$ है,इसलिए अवलोकन $(2)$ गलत है।
अवलोकन $(3)$ के लिए:
$\Delta l = \alpha l \Delta T = (2 \times 10^{-5}) \times 2 \times 20 = 8 \times 10^{-4} \, m$.
चूंकि रिकॉर्ड किया गया मान $2 \times 10^{-4} \, m$ है,इसलिए अवलोकन $(3)$ गलत है।
अवलोकन $(4)$ के लिए:
$\Delta l = \alpha l \Delta T = (2 \times 10^{-5}) \times 3 \times 10 = 6 \times 10^{-4} \, m$.
चूंकि रिकॉर्ड किया गया मान $6 \times 10^{-4} \, m$ है,इसलिए अवलोकन $(4)$ सही है।
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Difficult
हम एक ऐसा पैमाना तैयार करना चाहते हैं जिसकी लंबाई तापमान के साथ न बदले। इस प्रकार का एक इकाई पैमाना तैयार करने का प्रस्ताव है जिसकी लंबाई,मान लीजिए $10 \ cm$ बनी रहे। हम पीतल (brass) और लोहे (iron) से बनी एक द्वि-धातु पट्टी का उपयोग कर सकते हैं,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई अलग-अलग हो और जिनकी लंबाई (दोनों घटकों की) इस तरह से बदले कि उनकी लंबाई के बीच का अंतर स्थिर रहे। यदि $\alpha_{\text{iron}} = 1.2 \times 10^{-5} \ K^{-1}$ और $\alpha_{\text{brass}} = 1.8 \times 10^{-5} \ K^{-1}$ है,तो प्रत्येक पट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए?
Solution
(N/A) मान लीजिए लोहे की पट्टी की लंबाई $l_{\text{iron}}$ और पीतल की पट्टी की लंबाई $l_{\text{brass}}$ है।
प्रश्न के अनुसार,किसी भी तापमान परिवर्तन $\Delta T$ के लिए उनकी लंबाई का अंतर $10 \ cm$ स्थिर रहना चाहिए।
अतः,$l_{\text{iron}} - l_{\text{brass}} = 10 \ cm \ldots (1)$
जब तापमान $\Delta T$ से बदलता है,तो नई लंबाई $l_{\text{iron}}' = l_{\text{iron}}(1 + \alpha_{\text{iron}} \Delta T)$ और $l_{\text{brass}}' = l_{\text{brass}}(1 + \alpha_{\text{brass}} \Delta T)$ होती है।
अंतर स्थिर रहने के लिए,$l_{\text{iron}}' - l_{\text{brass}}' = l_{\text{iron}} - l_{\text{brass}}$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $l_{\text{iron}} \alpha_{\text{iron}} \Delta T = l_{\text{brass}} \alpha_{\text{brass}} \Delta T$.
इसलिए,$l_{\text{iron}} \alpha_{\text{iron}} = l_{\text{brass}} \alpha_{\text{brass}}$.
$\frac{l_{\text{iron}}}{l_{\text{brass}}} = \frac{\alpha_{\text{brass}}}{\alpha_{\text{iron}}} = \frac{1.8 \times 10^{-5}}{1.2 \times 10^{-5}} = \frac{3}{2}$.
अतः,$l_{\text{iron}} = 1.5 \ l_{\text{brass}}$.
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$1.5 \ l_{\text{brass}} - l_{\text{brass}} = 10 \ cm$.
$0.5 \ l_{\text{brass}} = 10 \ cm \implies l_{\text{brass}} = 20 \ cm$.
तब,$l_{\text{iron}} = 1.5 \times 20 \ cm = 30 \ cm$.
इस प्रकार,लोहे की लंबाई $30 \ cm$ और पीतल की लंबाई $20 \ cm$ होनी चाहिए।
प्रश्न के अनुसार,किसी भी तापमान परिवर्तन $\Delta T$ के लिए उनकी लंबाई का अंतर $10 \ cm$ स्थिर रहना चाहिए।
अतः,$l_{\text{iron}} - l_{\text{brass}} = 10 \ cm \ldots (1)$
जब तापमान $\Delta T$ से बदलता है,तो नई लंबाई $l_{\text{iron}}' = l_{\text{iron}}(1 + \alpha_{\text{iron}} \Delta T)$ और $l_{\text{brass}}' = l_{\text{brass}}(1 + \alpha_{\text{brass}} \Delta T)$ होती है।
अंतर स्थिर रहने के लिए,$l_{\text{iron}}' - l_{\text{brass}}' = l_{\text{iron}} - l_{\text{brass}}$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $l_{\text{iron}} \alpha_{\text{iron}} \Delta T = l_{\text{brass}} \alpha_{\text{brass}} \Delta T$.
इसलिए,$l_{\text{iron}} \alpha_{\text{iron}} = l_{\text{brass}} \alpha_{\text{brass}}$.
$\frac{l_{\text{iron}}}{l_{\text{brass}}} = \frac{\alpha_{\text{brass}}}{\alpha_{\text{iron}}} = \frac{1.8 \times 10^{-5}}{1.2 \times 10^{-5}} = \frac{3}{2}$.
अतः,$l_{\text{iron}} = 1.5 \ l_{\text{brass}}$.
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$1.5 \ l_{\text{brass}} - l_{\text{brass}} = 10 \ cm$.
$0.5 \ l_{\text{brass}} = 10 \ cm \implies l_{\text{brass}} = 20 \ cm$.
तब,$l_{\text{iron}} = 1.5 \times 20 \ cm = 30 \ cm$.
इस प्रकार,लोहे की लंबाई $30 \ cm$ और पीतल की लंबाई $20 \ cm$ होनी चाहिए।
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Difficult
हम एक ऐसा पात्र बनाना चाहते हैं जिसका आयतन तापमान के साथ न बदले। $100 \, cc$ का आयतन बनाने के लिए हम पीतल (brass) और लोहे (iron) $\left( {{\gamma _{{\text{brass}}}} = 6 \times {{10}^{ - 5}}/K} \right.$ और $\left. {{\gamma _{{\text{iron}}}} = 3.55 \times {{10}^{ - 5}}/K} \right)$ का उपयोग कर सकते हैं। आप इसे कैसे प्राप्त कर सकते हैं?
Solution
(N/A) मान लीजिए $0^{\circ} C$ पर लोहे और पीतल के आयतन क्रमशः $V_{i,0}$ और $V_{b,0}$ हैं।
मान लीजिए $\Delta T^{\circ} C$ तापमान पर लोहे और पीतल के आयतन क्रमशः $V_i$ और $V_b$ हैं।
मान लीजिए $\gamma_i$ और $\gamma_b$ क्रमशः लोहे और पीतल के आयतन प्रसार गुणांक हैं।
पात्र का कुल आयतन $V_c = V_i - V_b = 100 \, cc$ है।
तापमान के साथ आयतन स्थिर रहने के लिए,आयतन में परिवर्तन शून्य होना चाहिए:
$\Delta V_c = \Delta V_i - \Delta V_b = 0$
$V_{i,0} \gamma_i \Delta T - V_{b,0} \gamma_b \Delta T = 0$
$V_{i,0} \gamma_i = V_{b,0} \gamma_b$
$\frac{V_{i,0}}{V_{b,0}} = \frac{\gamma_b}{\gamma_i} = \frac{6 \times 10^{-5}}{3.55 \times 10^{-5}} = \frac{6}{3.55} \approx 1.69$
दिया गया है कि $V_{i,0} - V_{b,0} = 100 \, cc$,इसलिए $V_{i,0} = \frac{6}{3.55} V_{b,0}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( \frac{6}{3.55} - 1 \right) V_{b,0} = 100$
$\left( \frac{6 - 3.55}{3.55} \right) V_{b,0} = 100$
$\frac{2.45}{3.55} V_{b,0} = 100$
$V_{b,0} = \frac{355}{2.45} \approx 144.9 \, cc$
$V_{i,0} = 100 + 144.9 = 244.9 \, cc$.
मान लीजिए $\Delta T^{\circ} C$ तापमान पर लोहे और पीतल के आयतन क्रमशः $V_i$ और $V_b$ हैं।
मान लीजिए $\gamma_i$ और $\gamma_b$ क्रमशः लोहे और पीतल के आयतन प्रसार गुणांक हैं।
पात्र का कुल आयतन $V_c = V_i - V_b = 100 \, cc$ है।
तापमान के साथ आयतन स्थिर रहने के लिए,आयतन में परिवर्तन शून्य होना चाहिए:
$\Delta V_c = \Delta V_i - \Delta V_b = 0$
$V_{i,0} \gamma_i \Delta T - V_{b,0} \gamma_b \Delta T = 0$
$V_{i,0} \gamma_i = V_{b,0} \gamma_b$
$\frac{V_{i,0}}{V_{b,0}} = \frac{\gamma_b}{\gamma_i} = \frac{6 \times 10^{-5}}{3.55 \times 10^{-5}} = \frac{6}{3.55} \approx 1.69$
दिया गया है कि $V_{i,0} - V_{b,0} = 100 \, cc$,इसलिए $V_{i,0} = \frac{6}{3.55} V_{b,0}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( \frac{6}{3.55} - 1 \right) V_{b,0} = 100$
$\left( \frac{6 - 3.55}{3.55} \right) V_{b,0} = 100$
$\frac{2.45}{3.55} V_{b,0} = 100$
$V_{b,0} = \frac{355}{2.45} \approx 144.9 \, cc$
$V_{i,0} = 100 + 144.9 = 244.9 \, cc$.
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Difficult
स्टील से बना $10\,m$ लंबाई का एक रेल ट्रैक चित्र में दिखाए अनुसार अपने दोनों सिरों पर क्लैंप किया गया है। गर्मी के एक दिन तापमान में $20\,^oC$ की वृद्धि के कारण,यह चित्र में दिखाए अनुसार विकृत हो जाता है। यदि $\alpha_{steel} = 1.2 \times 10^{-5} \,^oC^{-1}$ है,तो $x$ (केंद्र का विस्थापन) ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) दिए गए समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{L+\Delta L}{2}\right)^{2} = \left(\frac{L}{2}\right)^{2} + x^{2}$
$x = \sqrt{\left(\frac{L+\Delta L}{2}\right)^{2} - \left(\frac{L}{2}\right)^{2}}$
$x = \frac{1}{2} \sqrt{(L+\Delta L)^{2} - L^{2}}$
$x = \frac{1}{2} \sqrt{L^{2} + 2L\Delta L + (\Delta L)^{2} - L^{2}}$
$x = \frac{1}{2} \sqrt{2L\Delta L + (\Delta L)^{2}}$
चूंकि $\Delta L$ बहुत छोटा है,इसलिए $(\Delta L)^{2}$ को नगण्य माना जा सकता है।
$x \approx \frac{1}{2} \sqrt{2L\Delta L}$
हम जानते हैं कि $\Delta L = L \alpha \Delta T$,इसलिए:
$x = \frac{1}{2} \sqrt{2L(L \alpha \Delta T)} = \frac{L}{2} \sqrt{2 \alpha \Delta T}$
मान रखने पर $L = 10\,m$,$\alpha = 1.2 \times 10^{-5} \,^oC^{-1}$,और $\Delta T = 20\,^oC$:
$x = \frac{10}{2} \sqrt{2 \times 1.2 \times 10^{-5} \times 20}$
$x = 5 \sqrt{48 \times 10^{-5}} = 5 \sqrt{4.8 \times 10^{-4}}$
$x = 5 \times 2.19 \times 10^{-2} \approx 0.1095\,m \approx 11\,cm$.
$\left(\frac{L+\Delta L}{2}\right)^{2} = \left(\frac{L}{2}\right)^{2} + x^{2}$
$x = \sqrt{\left(\frac{L+\Delta L}{2}\right)^{2} - \left(\frac{L}{2}\right)^{2}}$
$x = \frac{1}{2} \sqrt{(L+\Delta L)^{2} - L^{2}}$
$x = \frac{1}{2} \sqrt{L^{2} + 2L\Delta L + (\Delta L)^{2} - L^{2}}$
$x = \frac{1}{2} \sqrt{2L\Delta L + (\Delta L)^{2}}$
चूंकि $\Delta L$ बहुत छोटा है,इसलिए $(\Delta L)^{2}$ को नगण्य माना जा सकता है।
$x \approx \frac{1}{2} \sqrt{2L\Delta L}$
हम जानते हैं कि $\Delta L = L \alpha \Delta T$,इसलिए:
$x = \frac{1}{2} \sqrt{2L(L \alpha \Delta T)} = \frac{L}{2} \sqrt{2 \alpha \Delta T}$
मान रखने पर $L = 10\,m$,$\alpha = 1.2 \times 10^{-5} \,^oC^{-1}$,और $\Delta T = 20\,^oC$:
$x = \frac{10}{2} \sqrt{2 \times 1.2 \times 10^{-5} \times 20}$
$x = 5 \sqrt{48 \times 10^{-5}} = 5 \sqrt{4.8 \times 10^{-4}}$
$x = 5 \times 2.19 \times 10^{-2} \approx 0.1095\,m \approx 11\,cm$.
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Medium
$0\,^{\circ}C$ पर $L_0$ लंबाई और रैखिक प्रसार गुणांक $\alpha$ वाली एक पतली छड़ के दो सिरों को क्रमशः $\theta_1$ और $\theta_2$ तापमान पर रखा गया है। इसकी नई लंबाई ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) ऊष्मीय स्थायी अवस्था में,छड़ के अनुदिश तापमान प्रवणता स्थिर रहती है। तापमान $\theta_1$ से $\theta_2$ तक रैखिक रूप से बदलता है। छड़ का औसत तापमान $\theta_{avg} = \frac{\theta_1 + \theta_2}{2}$ है।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta T$ संदर्भ तापमान $(0\,^{\circ}C)$ से तापमान में परिवर्तन है।
अतः,नई लंबाई $L$ है:
$L = L_0(1 + \alpha \theta_{avg})$
$L = L_0 \left( 1 + \alpha \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} \right) \right)$
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta T$ संदर्भ तापमान $(0\,^{\circ}C)$ से तापमान में परिवर्तन है।
अतः,नई लंबाई $L$ है:
$L = L_0(1 + \alpha \theta_{avg})$
$L = L_0 \left( 1 + \alpha \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} \right) \right)$
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DifficultMCQ
जब एक धातु के तार का तापमान $0^{\circ} \,C$ से $10^{\circ} \,C$ तक बढ़ाया जाता है,तो इसकी लंबाई $0.02 \%$ बढ़ जाती है। इसके द्रव्यमान घनत्व में प्रतिशत परिवर्तन किसके निकटतम होगा ($\%$ में)?
A
$0.008$
B
$0.06$
C
$0.8$
D
$2.3$
Solution
(B) दिया गया है कि लंबाई में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta L}{L} = 0.02 \% = 2 \times 10^{-4}$ है।
चूंकि $\Delta L = L \alpha \Delta T$,इसलिए $\alpha \Delta T = 2 \times 10^{-4}$ है।
तार का आयतन $V = A \times L$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{AL}$ द्वारा दिया जाता है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta \rho}{\rho} = - (\frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta L}{L})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{\Delta A}{A} = 2 \alpha \Delta T$ और $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$,इसलिए घनत्व में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta \rho}{\rho} = -(2 \alpha \Delta T + \alpha \Delta T) = -3 \alpha \Delta T$ होगा।
$\alpha \Delta T = 0.02 \%$ रखने पर,हमें $\frac{\Delta \rho}{\rho} = -3 \times 0.02 \% = -0.06 \%$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिशत परिवर्तन का परिमाण $0.06 \%$ है।
चूंकि $\Delta L = L \alpha \Delta T$,इसलिए $\alpha \Delta T = 2 \times 10^{-4}$ है।
तार का आयतन $V = A \times L$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{AL}$ द्वारा दिया जाता है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta \rho}{\rho} = - (\frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta L}{L})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{\Delta A}{A} = 2 \alpha \Delta T$ और $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$,इसलिए घनत्व में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta \rho}{\rho} = -(2 \alpha \Delta T + \alpha \Delta T) = -3 \alpha \Delta T$ होगा।
$\alpha \Delta T = 0.02 \%$ रखने पर,हमें $\frac{\Delta \rho}{\rho} = -3 \times 0.02 \% = -0.06 \%$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिशत परिवर्तन का परिमाण $0.06 \%$ है।
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DifficultMCQ
$L_{1}$ और $L_{2}$ लंबाई वाले और क्रमशः $\alpha_{1}$ और $\alpha_{2}$ रेखीय प्रसार गुणांक वाले दो अलग-अलग तारों को सिरे से सिरे तक जोड़ा जाता है। तो रेखीय प्रसार का प्रभावी तापमान गुणांक क्या होगा?
A
$4 \frac{\alpha_{1} \alpha_{2}}{\alpha_{1}+\alpha_{2}} \frac{L_{2} L_{1}}{(L_{2}+L_{1})^{2}}$
B
$2 \sqrt{\alpha_{1} \alpha_{2}}$
C
$\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2}$
D
$\frac{\alpha_{1} L_{1}+\alpha_{2} L_{2}}{L_{1}+L_{2}}$
Solution
(D) $T$ तापमान पर,कुल लंबाई $L = L_{1} + L_{2}$ है।
जब तापमान $T + \Delta T$ तक बढ़ता है,तो नई लंबाईयाँ इस प्रकार हैं:
$L_{1}' = L_{1}(1 + \alpha_{1} \Delta T)$
$L_{2}' = L_{2}(1 + \alpha_{2} \Delta T)$
कुल नई लंबाई $L_{eq}'$ व्यक्तिगत नई लंबाईयों का योग है:
$L_{eq}' = L_{1}' + L_{2}' = L_{1}(1 + \alpha_{1} \Delta T) + L_{2}(1 + \alpha_{2} \Delta T)$
$L_{eq}' = L_{1} + L_{1} \alpha_{1} \Delta T + L_{2} + L_{2} \alpha_{2} \Delta T$
$L_{eq}' = (L_{1} + L_{2}) + (L_{1} \alpha_{1} + L_{2} \alpha_{2}) \Delta T$
प्रभावी गुणांक $\alpha_{avg}$ वाले समतुल्य निकाय के लिए,नई लंबाई है:
$L_{eq}' = (L_{1} + L_{2})(1 + \alpha_{avg} \Delta T) = (L_{1} + L_{2}) + (L_{1} + L_{2}) \alpha_{avg} \Delta T$
$L_{eq}'$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$(L_{1} + L_{2}) \alpha_{avg} \Delta T = (L_{1} \alpha_{1} + L_{2} \alpha_{2}) \Delta T$
$\alpha_{avg} = \frac{L_{1} \alpha_{1} + L_{2} \alpha_{2}}{L_{1} + L_{2}}$
जब तापमान $T + \Delta T$ तक बढ़ता है,तो नई लंबाईयाँ इस प्रकार हैं:
$L_{1}' = L_{1}(1 + \alpha_{1} \Delta T)$
$L_{2}' = L_{2}(1 + \alpha_{2} \Delta T)$
कुल नई लंबाई $L_{eq}'$ व्यक्तिगत नई लंबाईयों का योग है:
$L_{eq}' = L_{1}' + L_{2}' = L_{1}(1 + \alpha_{1} \Delta T) + L_{2}(1 + \alpha_{2} \Delta T)$
$L_{eq}' = L_{1} + L_{1} \alpha_{1} \Delta T + L_{2} + L_{2} \alpha_{2} \Delta T$
$L_{eq}' = (L_{1} + L_{2}) + (L_{1} \alpha_{1} + L_{2} \alpha_{2}) \Delta T$
प्रभावी गुणांक $\alpha_{avg}$ वाले समतुल्य निकाय के लिए,नई लंबाई है:
$L_{eq}' = (L_{1} + L_{2})(1 + \alpha_{avg} \Delta T) = (L_{1} + L_{2}) + (L_{1} + L_{2}) \alpha_{avg} \Delta T$
$L_{eq}'$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$(L_{1} + L_{2}) \alpha_{avg} \Delta T = (L_{1} \alpha_{1} + L_{2} \alpha_{2}) \Delta T$
$\alpha_{avg} = \frac{L_{1} \alpha_{1} + L_{2} \alpha_{2}}{L_{1} + L_{2}}$
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MediumMCQ
कांच के पात्र में पारे का आभासी प्रसार गुणांक $153 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ है और स्टील के पात्र में $144 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ है। यदि स्टील के लिए $\alpha = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ है, तो कांच के लिए रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ क्या होगा?
A
$9 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
B
$6 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
C
$36 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
D
$27 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
Solution
(A) पारे का वास्तविक आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_{\text{real}})$ पात्र के बदलने पर भी स्थिर रहता है।
वास्तविक प्रसार, आभासी प्रसार और पात्र के प्रसार के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}}$
चूंकि दोनों स्थितियों में $\gamma_{\text{real}}$ समान है:
$(\gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}})_{\text{glass}} = (\gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}})_{\text{steel}}$
हम जानते हैं कि ठोस के लिए आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_{\text{vessel}} = 3\alpha$ होता है।
स्टील के लिए:
$\gamma_{\text{vessel, steel}} = 3 \times (12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C) = 36 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
समीकरण में मान रखने पर:
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{\text{vessel, glass}} = 144 \times 10^{-6} + 36 \times 10^{-6}$
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{\text{vessel, glass}} = 180 \times 10^{-6}$
$\gamma_{\text{vessel, glass}} = (180 - 153) \times 10^{-6} = 27 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
चूंकि $\gamma_{\text{vessel, glass}} = 3\alpha_{\text{glass}}$:
$3\alpha_{\text{glass}} = 27 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
$\alpha_{\text{glass}} = 9 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
वास्तविक प्रसार, आभासी प्रसार और पात्र के प्रसार के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}}$
चूंकि दोनों स्थितियों में $\gamma_{\text{real}}$ समान है:
$(\gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}})_{\text{glass}} = (\gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}})_{\text{steel}}$
हम जानते हैं कि ठोस के लिए आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_{\text{vessel}} = 3\alpha$ होता है।
स्टील के लिए:
$\gamma_{\text{vessel, steel}} = 3 \times (12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C) = 36 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
समीकरण में मान रखने पर:
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{\text{vessel, glass}} = 144 \times 10^{-6} + 36 \times 10^{-6}$
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{\text{vessel, glass}} = 180 \times 10^{-6}$
$\gamma_{\text{vessel, glass}} = (180 - 153) \times 10^{-6} = 27 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
चूंकि $\gamma_{\text{vessel, glass}} = 3\alpha_{\text{glass}}$:
$3\alpha_{\text{glass}} = 27 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
$\alpha_{\text{glass}} = 9 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
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$0^{\circ} C$ पर $100 \; cm$ लंबी चांदी की एक छड़ को $100^{\circ} C$ तक गर्म किया जाता है। इसकी लंबाई में $0.19 \; cm$ की वृद्धि होती है। चांदी की छड़ का आयतन प्रसार गुणांक क्या है?
A
$5.7 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
B
$0.63 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
C
$1.9 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
D
$16.1 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
Solution
(A) सबसे पहले,हम रैखिक प्रसार गुणांक $(\alpha)$ की गणना करेंगे:
$\alpha = \frac{\Delta L}{L_{0} \Delta \theta}$
$\alpha = \frac{0.19 \; cm}{100 \; cm \times (100^{\circ} C - 0^{\circ} C)}$
$\alpha = \frac{0.19}{100 \times 100} = \frac{0.19}{10000} = 1.9 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma)$ और रैखिक प्रसार गुणांक के बीच का संबंध $\gamma = 3\alpha$ है।
$\gamma = 3 \times (1.9 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C)$
$\gamma = 5.7 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
$\alpha = \frac{\Delta L}{L_{0} \Delta \theta}$
$\alpha = \frac{0.19 \; cm}{100 \; cm \times (100^{\circ} C - 0^{\circ} C)}$
$\alpha = \frac{0.19}{100 \times 100} = \frac{0.19}{10000} = 1.9 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma)$ और रैखिक प्रसार गुणांक के बीच का संबंध $\gamma = 3\alpha$ है।
$\gamma = 3 \times (1.9 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C)$
$\gamma = 5.7 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
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DifficultMCQ
एक द्विधात्विक (bimetallic) पट्टी धातुओं $A$ और $B$ से बनी है। इसे चित्रानुसार मजबूती से लगाया गया है। धातु $A$ का रेखीय प्रसार गुणांक धातु $B$ की तुलना में अधिक है। जब इस द्विधात्विक पट्टी को ठंडे बाथ में रखा जाता है,तो यह:
A
दाईं ओर मुड़ जाएगी
B
मुड़ेगी नहीं बल्कि सिकुड़ जाएगी
C
न तो मुड़ेगी और न ही सिकुड़ेगी
D
बाईं ओर मुड़ जाएगी
Solution
(D) धातु की पट्टी की लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
चूंकि पट्टी को ठंडे बाथ में रखा जाता है,तापमान कम हो जाता है,इसलिए $\Delta T$ ऋणात्मक है,जिसका अर्थ है कि दोनों धातुएं सिकुड़ेंगी।
यह दिया गया है कि $\alpha_{A} > \alpha_{B}$,इसलिए धातु $A$ में संकुचन धातु $B$ की तुलना में अधिक होगा (अर्थात $|\Delta L_{A}| > |\Delta L_{B}|$) ।
चूंकि धातु $A$ बाईं ओर है और यह धातु $B$ की तुलना में अधिक सिकुड़ती है,इसलिए पट्टी उस तरफ मुड़ जाएगी जो अधिक सिकुड़ती है,यानी बाईं ओर।
चूंकि पट्टी को ठंडे बाथ में रखा जाता है,तापमान कम हो जाता है,इसलिए $\Delta T$ ऋणात्मक है,जिसका अर्थ है कि दोनों धातुएं सिकुड़ेंगी।
यह दिया गया है कि $\alpha_{A} > \alpha_{B}$,इसलिए धातु $A$ में संकुचन धातु $B$ की तुलना में अधिक होगा (अर्थात $|\Delta L_{A}| > |\Delta L_{B}|$) ।
चूंकि धातु $A$ बाईं ओर है और यह धातु $B$ की तुलना में अधिक सिकुड़ती है,इसलिए पट्टी उस तरफ मुड़ जाएगी जो अधिक सिकुड़ती है,यानी बाईं ओर।
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कमरे के तापमान $T$ पर एक धातु के घनाकार बक्से की प्रत्येक भुजा $a$ है। धातु की शीट का रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ है। धातु के बक्से को समान रूप से $\Delta T$ छोटे तापमान तक गर्म किया जाता है,ताकि उसका नया तापमान $T + \Delta T$ हो जाए। धातु के बक्से के आयतन में हुई वृद्धि की गणना करें।
A
$3 a^{3} \alpha \Delta T$
B
$4 a^{3} \alpha \Delta T$
C
$4 \pi a^{3} \alpha \Delta T$
D
$\frac{4}{3} \pi a^{3} \alpha \Delta T$
Solution
(A) घनाकार बक्से का प्रारंभिक आयतन $V = a^{3}$ है।
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ के बीच संबंध $\gamma = 3\alpha$ होता है।
तापमान में $\Delta T$ परिवर्तन के लिए आयतन में परिवर्तन $\Delta V$ को सूत्र $\Delta V = V \gamma \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
इस सूत्र में $V$ और $\gamma$ के मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta V = a^{3} \times (3\alpha) \times \Delta T$.
अतः,धातु के बक्से के आयतन में हुई वृद्धि $\Delta V = 3 a^{3} \alpha \Delta T$ है।
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ के बीच संबंध $\gamma = 3\alpha$ होता है।
तापमान में $\Delta T$ परिवर्तन के लिए आयतन में परिवर्तन $\Delta V$ को सूत्र $\Delta V = V \gamma \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
इस सूत्र में $V$ और $\gamma$ के मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta V = a^{3} \times (3\alpha) \times \Delta T$.
अतः,धातु के बक्से के आयतन में हुई वृद्धि $\Delta V = 3 a^{3} \alpha \Delta T$ है।
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नीचे दो कथन दिए गए हैं: एक को अभिकथन $A$ और दूसरे को कारण $R$ के रूप में लेबल किया गया है।
अभिकथन $A$: जब एक स्वतंत्र रूप से रखी गई छड़ को गर्म किया जाता है,तो इसमें कोई तापीय प्रतिबल (thermal stress) विकसित नहीं होता है।
कारण $R$: गर्म करने पर छड़ की लंबाई बढ़ जाती है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
अभिकथन $A$: जब एक स्वतंत्र रूप से रखी गई छड़ को गर्म किया जाता है,तो इसमें कोई तापीय प्रतिबल (thermal stress) विकसित नहीं होता है।
कारण $R$: गर्म करने पर छड़ की लंबाई बढ़ जाती है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
A
$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं लेकिन $R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।
B
$A$ असत्य है लेकिन $R$ सत्य है।
C
$A$ सत्य है लेकिन $R$ असत्य है।
D
$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।
Solution
(A) अभिकथन $A$ सत्य है: जब किसी छड़ को स्वतंत्र रूप से गर्म किया जाता है,तो वह बिना किसी बाहरी बाधा के फैलती है। चूंकि प्रसार को रोकने के लिए कोई बाधा नहीं है,इसलिए इसमें कोई आंतरिक प्रत्यानयन बल या तापीय प्रतिबल उत्पन्न नहीं होता है।
कारण $R$ सत्य है: तापीय प्रसार के कारण गर्म करने पर छड़ की लंबाई बढ़ जाती है,जो एक भौतिक तथ्य है।
हालाँकि,कारण $R$ यह नहीं बताता है कि तापीय प्रतिबल क्यों विकसित नहीं होता है। तापीय प्रतिबल का अभाव बाहरी बाधाओं की अनुपस्थिति (फैलने की स्वतंत्रता) के कारण है,न कि केवल इसलिए कि लंबाई बढ़ती है। इसलिए,$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं,लेकिन $R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।
कारण $R$ सत्य है: तापीय प्रसार के कारण गर्म करने पर छड़ की लंबाई बढ़ जाती है,जो एक भौतिक तथ्य है।
हालाँकि,कारण $R$ यह नहीं बताता है कि तापीय प्रतिबल क्यों विकसित नहीं होता है। तापीय प्रतिबल का अभाव बाहरी बाधाओं की अनुपस्थिति (फैलने की स्वतंत्रता) के कारण है,न कि केवल इसलिए कि लंबाई बढ़ती है। इसलिए,$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं,लेकिन $R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।
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रेलवे ट्रैक के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $0.01\, m^2$ है। तापमान में परिवर्तन $10^{\circ}C$ है। ट्रैक की सामग्री का रेखीय प्रसार गुणांक $10^{-5} /^{\circ}C$ है। ट्रैक में प्रति मीटर संग्रहीत ऊर्जा ...... $J/m$ है। (ट्रैक की सामग्री का यंग मापांक $10^{11}\, Nm^{-2}$ है)
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
Solution
(B) प्रति इकाई आयतन में संग्रहीत प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $u = \frac{1}{2} \times \text{यंग मापांक} \times (\text{विकृति})^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि ट्रैक प्रतिबंधित है,तापीय विकृति $\text{विकृति} = \alpha \Delta T$ होगी।
यहाँ $\alpha = 10^{-5} /^{\circ}C$ और $\Delta T = 10^{\circ}C$ दिया गया है,इसलिए विकृति $\text{विकृति} = 10^{-5} \times 10 = 10^{-4}$ है।
प्रति इकाई लंबाई में संग्रहीत ऊर्जा $U = u \times \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} Y (\text{विकृति})^2 \times A$ है।
मान रखने पर: $U = \frac{1}{2} \times 10^{11} \times (10^{-4})^2 \times 0.01$.
$U = 0.5 \times 10^{11} \times 10^{-8} \times 10^{-2} = 0.5 \times 10^1 = 5\, J/m$.
चूंकि ट्रैक प्रतिबंधित है,तापीय विकृति $\text{विकृति} = \alpha \Delta T$ होगी।
यहाँ $\alpha = 10^{-5} /^{\circ}C$ और $\Delta T = 10^{\circ}C$ दिया गया है,इसलिए विकृति $\text{विकृति} = 10^{-5} \times 10 = 10^{-4}$ है।
प्रति इकाई लंबाई में संग्रहीत ऊर्जा $U = u \times \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} Y (\text{विकृति})^2 \times A$ है।
मान रखने पर: $U = \frac{1}{2} \times 10^{11} \times (10^{-4})^2 \times 0.01$.
$U = 0.5 \times 10^{11} \times 10^{-8} \times 10^{-2} = 0.5 \times 10^1 = 5\, J/m$.
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$24 \; m^{2}$ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले एक ठोस धात्विक घन को समान रूप से गर्म किया जाता है। यदि इसके तापमान में $10 \; ^{\circ}C$ की वृद्धि की जाती है,तो घन के आयतन में हुई वृद्धि की गणना कीजिए। (दिया गया है: $\alpha = 5.0 \times 10^{-4} \; ^{\circ}C^{-1}$)
A
$2.4 \times 10^{6} \; cm^{3}$
B
$1.2 \times 10^{5} \; cm^{3}$
C
$6.0 \times 10^{4} \; cm^{3}$
D
$4.8 \times 10^{5} \; cm^{3}$
Solution
(B) आयतन में वृद्धि $\Delta V = \gamma V_{0} \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\gamma = 3\alpha$,इसलिए $\Delta V = (3\alpha) V_{0} \Delta T$ होगा।
एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $6a^{2}$ होता है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
दिया गया है $6a^{2} = 24 \; m^{2}$,इसलिए $a^{2} = 4 \; m^{2}$,जिसका अर्थ है $a = 2 \; m$।
प्रारंभिक आयतन $V_{0} = a^{3} = (2)^{3} = 8 \; m^{3}$ है।
मान रखने पर: $\Delta V = (3 \times 5.0 \times 10^{-4} \; ^{\circ}C^{-1}) \times (8 \; m^{3}) \times (10 \; ^{\circ}C)$।
$\Delta V = 15 \times 10^{-4} \times 80 = 1200 \times 10^{-4} = 0.12 \; m^{3}$।
चूंकि $1 \; m^{3} = 10^{6} \; cm^{3}$,इसलिए $\Delta V = 0.12 \times 10^{6} \; cm^{3} = 1.2 \times 10^{5} \; cm^{3}$।
चूंकि $\gamma = 3\alpha$,इसलिए $\Delta V = (3\alpha) V_{0} \Delta T$ होगा।
एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $6a^{2}$ होता है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
दिया गया है $6a^{2} = 24 \; m^{2}$,इसलिए $a^{2} = 4 \; m^{2}$,जिसका अर्थ है $a = 2 \; m$।
प्रारंभिक आयतन $V_{0} = a^{3} = (2)^{3} = 8 \; m^{3}$ है।
मान रखने पर: $\Delta V = (3 \times 5.0 \times 10^{-4} \; ^{\circ}C^{-1}) \times (8 \; m^{3}) \times (10 \; ^{\circ}C)$।
$\Delta V = 15 \times 10^{-4} \times 80 = 1200 \times 10^{-4} = 0.12 \; m^{3}$।
चूंकि $1 \; m^{3} = 10^{6} \; cm^{3}$,इसलिए $\Delta V = 0.12 \times 10^{6} \; cm^{3} = 1.2 \times 10^{5} \; cm^{3}$।
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$6.230 \,cm$ व्यास वाली सोने की अंगूठी को किस तापमान ($^{\circ} C$ में) पर गर्म किया जाना चाहिए ताकि इसे $6.241 \,cm$ व्यास वाली लकड़ी की चूड़ी पर फिट किया जा सके ($.7$ में)? दोनों व्यास कमरे के तापमान $(27^{\circ} C)$ पर मापे गए हैं। (दिया गया है: सोने का रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_{L}=1.4 \times 10^{-5} \,K ^{-1}$)
A
$125$
B
$91$
C
$425$
D
$152$
Solution
(D) आवश्यक लंबाई (व्यास) में परिवर्तन $\Delta L = L_2 - L_1 = 6.241 \,cm - 6.230 \,cm = 0.011 \,cm$ है।
रेखीय तापीय प्रसार का सूत्र $\Delta L = L_1 \alpha_L \Delta T$ है,जहाँ $\Delta T = T_f - T_i$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.011 = 6.230 \times (1.4 \times 10^{-5}) \times (T_f - 27)$।
$\Delta T$ के लिए हल करने पर: $\Delta T = \frac{0.011}{6.230 \times 1.4 \times 10^{-5}} = \frac{0.011 \times 10^5}{8.722} \approx 126.11^{\circ} C$।
अतः,अंतिम तापमान $T_f = 27 + 126.11 = 153.11^{\circ} C$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सबसे निकटतम मान $152.7^{\circ} C$ है।
रेखीय तापीय प्रसार का सूत्र $\Delta L = L_1 \alpha_L \Delta T$ है,जहाँ $\Delta T = T_f - T_i$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.011 = 6.230 \times (1.4 \times 10^{-5}) \times (T_f - 27)$।
$\Delta T$ के लिए हल करने पर: $\Delta T = \frac{0.011}{6.230 \times 1.4 \times 10^{-5}} = \frac{0.011 \times 10^5}{8.722} \approx 126.11^{\circ} C$।
अतः,अंतिम तापमान $T_f = 27 + 126.11 = 153.11^{\circ} C$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सबसे निकटतम मान $152.7^{\circ} C$ है।
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DifficultMCQ
एक यूनिट स्केल तैयार करना है जिसकी लंबाई तापमान के साथ नहीं बदलती है और $20\,cm$ रहती है,इसके लिए पीतल (brass) और लोहे (iron) से बनी एक द्विधात्विक पट्टी (bimetallic strip) का उपयोग किया जाता है,जिनकी लंबाई अलग-अलग है। दोनों घटकों की लंबाई इस तरह से बदलती है कि उनकी लंबाई के बीच का अंतर स्थिर रहता है। यदि पीतल की लंबाई $40\,cm$ है,तो लोहे की लंबाई $cm$ में क्या होगी?
($\alpha_{\text{iron}} = 1.2 \times 10^{-5} K^{-1}$ और $\alpha_{\text{brass}} = 1.8 \times 10^{-5} K^{-1}$)
($\alpha_{\text{iron}} = 1.2 \times 10^{-5} K^{-1}$ और $\alpha_{\text{brass}} = 1.8 \times 10^{-5} K^{-1}$)
A
$59$
B
$6$
C
$60$
D
$600$
Solution
(C) मान लीजिए कि पीतल की लंबाई $\ell_{B}$ है और लोहे की लंबाई $\ell_{i}$ है।
शर्त यह है कि तापमान परिवर्तन $\Delta T$ के साथ उनकी लंबाई के बीच का अंतर स्थिर रहता है:
$\ell_{B}(1 + \alpha_{B} \Delta T) - \ell_{i}(1 + \alpha_{i} \Delta T) = \ell_{B} - \ell_{i}$
पदों का विस्तार करने पर:
$\ell_{B} + \ell_{B} \alpha_{B} \Delta T - \ell_{i} - \ell_{i} \alpha_{i} \Delta T = \ell_{B} - \ell_{i}$
इसे सरल करने पर:
$\ell_{B} \alpha_{B} \Delta T = \ell_{i} \alpha_{i} \Delta T$
$\Delta T$ से भाग देने पर:
$\ell_{B} \alpha_{B} = \ell_{i} \alpha_{i}$
दिया गया है कि $\ell_{B} = 40\,cm$,$\alpha_{B} = 1.8 \times 10^{-5} K^{-1}$,और $\alpha_{i} = 1.2 \times 10^{-5} K^{-1}$:
$40 \times 1.8 \times 10^{-5} = \ell_{i} \times 1.2 \times 10^{-5}$
$\ell_{i}$ के लिए हल करने पर:
$\ell_{i} = \frac{40 \times 1.8}{1.2} = \frac{40 \times 3}{2} = 60\,cm$.
शर्त यह है कि तापमान परिवर्तन $\Delta T$ के साथ उनकी लंबाई के बीच का अंतर स्थिर रहता है:
$\ell_{B}(1 + \alpha_{B} \Delta T) - \ell_{i}(1 + \alpha_{i} \Delta T) = \ell_{B} - \ell_{i}$
पदों का विस्तार करने पर:
$\ell_{B} + \ell_{B} \alpha_{B} \Delta T - \ell_{i} - \ell_{i} \alpha_{i} \Delta T = \ell_{B} - \ell_{i}$
इसे सरल करने पर:
$\ell_{B} \alpha_{B} \Delta T = \ell_{i} \alpha_{i} \Delta T$
$\Delta T$ से भाग देने पर:
$\ell_{B} \alpha_{B} = \ell_{i} \alpha_{i}$
दिया गया है कि $\ell_{B} = 40\,cm$,$\alpha_{B} = 1.8 \times 10^{-5} K^{-1}$,और $\alpha_{i} = 1.2 \times 10^{-5} K^{-1}$:
$40 \times 1.8 \times 10^{-5} = \ell_{i} \times 1.2 \times 10^{-5}$
$\ell_{i}$ के लिए हल करने पर:
$\ell_{i} = \frac{40 \times 1.8}{1.2} = \frac{40 \times 3}{2} = 60\,cm$.
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AdvancedMCQ
ठोस का ऊष्मीय प्रसार किसके कारण होता है?
A
ठोस के अंतर-परमाण्विक स्थितिज ऊर्जा वक्र की सममित विशेषता
B
ठोस के अंतर-परमाण्विक स्थितिज ऊर्जा वक्र की असममित विशेषता
C
ठोस के अंतर-परमाण्विक स्थितिज ऊर्जा वक्र की डबल वेल प्रकृति
D
ठोस के परमाणुओं की घूर्णन गति
Solution
(B) ठोस में दो परमाणुओं की स्थितिज ऊर्जा $U$ को उनके पृथक्करण $r$ के फलन के रूप में एक असममित वक्र द्वारा दर्शाया जाता है।
जैसे-जैसे ठोस का तापमान बढ़ता है,परमाणुओं की कंपन ऊर्जा बढ़ती है।
स्थितिज ऊर्जा वक्र की असममितता के कारण,परमाणु उच्च ऊर्जा पर बड़े आयामों के साथ कंपन करते हैं।
चूंकि वक्र $r < r_0$ (जहां $r_0$ संतुलन पृथक्करण है) के लिए अधिक तीव्र है और $r > r_0$ के लिए कम तीव्र है,इसलिए जैसे-जैसे कुल ऊर्जा बढ़ती है,परमाणुओं के बीच का औसत पृथक्करण बढ़ जाता है।
परमाणुओं के औसत पृथक्करण में यह वृद्धि ठोस के स्थूल ऊष्मीय प्रसार के रूप में प्रकट होती है।
जैसे-जैसे ठोस का तापमान बढ़ता है,परमाणुओं की कंपन ऊर्जा बढ़ती है।
स्थितिज ऊर्जा वक्र की असममितता के कारण,परमाणु उच्च ऊर्जा पर बड़े आयामों के साथ कंपन करते हैं।
चूंकि वक्र $r < r_0$ (जहां $r_0$ संतुलन पृथक्करण है) के लिए अधिक तीव्र है और $r > r_0$ के लिए कम तीव्र है,इसलिए जैसे-जैसे कुल ऊर्जा बढ़ती है,परमाणुओं के बीच का औसत पृथक्करण बढ़ जाता है।
परमाणुओं के औसत पृथक्करण में यह वृद्धि ठोस के स्थूल ऊष्मीय प्रसार के रूप में प्रकट होती है।
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DifficultMCQ
एक ठोस गर्म करने पर फैलता है क्योंकि
A
ठोस में परमाणुओं के बीच अन्योन्यक्रिया की स्थितिज ऊर्जा परमाणुओं की संतुलन स्थितियों के सापेक्ष असममित होती है
B
परमाणुओं के कंपन की आवृत्ति बढ़ जाती है
C
गर्म करने से विपरीत पक्षों के बीच एक तापीय प्रवणता उत्पन्न होती है
D
कैलोरिक नामक एक तरल गर्म करने के दौरान ठोस के अंतर-परमाणु अंतराल में प्रवाहित होता है जिससे यह फैल जाता है
Solution
(A) सही उत्तर $(A)$ है।
ठोस में दो परमाणुओं के लिए स्थितिज ऊर्जा $U$ बनाम अंतर-परमाणु पृथक्करण $r$ का आलेख संतुलन स्थिति के सापेक्ष असममित होता है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,परमाणुओं की कुल ऊर्जा बढ़ती है $(E_3 > E_2 > E_1)$।
स्थितिज ऊर्जा वक्र की असममितता के कारण,जैसे-जैसे ऊर्जा बढ़ती है,परमाणुओं के बीच का औसत पृथक्करण बढ़ जाता है $(r_3 > r_2 > r_1)$।
परिणामस्वरूप,क्रिस्टलीय ठोस सामान्यतः गर्म करने पर फैलते हैं।
ठोस में दो परमाणुओं के लिए स्थितिज ऊर्जा $U$ बनाम अंतर-परमाणु पृथक्करण $r$ का आलेख संतुलन स्थिति के सापेक्ष असममित होता है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,परमाणुओं की कुल ऊर्जा बढ़ती है $(E_3 > E_2 > E_1)$।
स्थितिज ऊर्जा वक्र की असममितता के कारण,जैसे-जैसे ऊर्जा बढ़ती है,परमाणुओं के बीच का औसत पृथक्करण बढ़ जाता है $(r_3 > r_2 > r_1)$।
परिणामस्वरूप,क्रिस्टलीय ठोस सामान्यतः गर्म करने पर फैलते हैं।
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MediumMCQ
$R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार धात्विक वलय (ring) में $d$ चौड़ाई का एक छोटा अंतराल (gap) है। धातु का रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ है। यदि हम वलय का तापमान $\Delta T$ से बढ़ाते हैं,तो अंतराल की चौड़ाई:
A
$d \alpha \Delta T$ की मात्रा से बढ़ेगी
B
नहीं बदलेगी
C
$(2 \pi R - d) \alpha \Delta T$ की मात्रा से बढ़ेगी
D
$d \alpha \Delta T$ की मात्रा से घटेगी
Solution
(A) किसी ठोस में मौजूद छिद्र या अंतराल का ऊष्मीय प्रसार उसी तरह होता है जैसे कि वह अंतराल उसी पदार्थ से बना हो जिससे ठोस बना है।
जब वलय का तापमान $\Delta T$ से बढ़ता है,तो वलय का प्रत्येक रेखीय आयाम,जिसमें अंतराल की चौड़ाई $d$ भी शामिल है,रेखीय प्रसार के सूत्र $\Delta L = L \alpha \Delta T$ के अनुसार फैलता है।
अतः,अंतराल की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta d = d \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\Delta T > 0$ है,इसलिए अंतराल की चौड़ाई $d \alpha \Delta T$ की मात्रा से बढ़ जाएगी।
जब वलय का तापमान $\Delta T$ से बढ़ता है,तो वलय का प्रत्येक रेखीय आयाम,जिसमें अंतराल की चौड़ाई $d$ भी शामिल है,रेखीय प्रसार के सूत्र $\Delta L = L \alpha \Delta T$ के अनुसार फैलता है।
अतः,अंतराल की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta d = d \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\Delta T > 0$ है,इसलिए अंतराल की चौड़ाई $d \alpha \Delta T$ की मात्रा से बढ़ जाएगी।
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MediumMCQ
एक धातु के सिक्के का तापमान $100^{\circ} C$ बढ़ाया जाता है और इसका व्यास $0.15 \%$ बढ़ जाता है। इसके क्षेत्रफल में लगभग कितनी वृद्धि होगी ($\%$ में)?
A
$0.15$
B
$0.30$
C
$0.60$
D
$0.0225$
Solution
(B) वृत्ताकार सिक्के का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
चूँकि व्यास $D = 2r$ है,व्यास में प्रतिशत परिवर्तन त्रिज्या में प्रतिशत परिवर्तन के समान होता है: $\frac{\Delta D}{D} \times 100 = \frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.15 \%$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है। सापेक्ष त्रुटि (या अवकलन) की अवधारणा का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta r}{r} \times 100)$
$= 2 \times 0.15 \% = 0.30 \%$.
चूँकि व्यास $D = 2r$ है,व्यास में प्रतिशत परिवर्तन त्रिज्या में प्रतिशत परिवर्तन के समान होता है: $\frac{\Delta D}{D} \times 100 = \frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.15 \%$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है। सापेक्ष त्रुटि (या अवकलन) की अवधारणा का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta r}{r} \times 100)$
$= 2 \times 0.15 \% = 0.30 \%$.
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MediumMCQ
ठोस गर्म करने पर फैलते हैं क्योंकि ................
A
परमाणु की गतिज ऊर्जा बढ़ती है
B
परमाणु की स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है
C
परमाणु की कुल ऊर्जा बढ़ती है
D
स्थितिज ऊर्जा वक्र पड़ोसी परमाणुओं के बीच संतुलन दूरी के सापेक्ष असममित होता है
Solution
(D)
ठोसों के प्रसार को एक क्रिस्टलीय ठोस में दो निकटवर्ती परमाणुओं के लिए उनकी अंतर-परमाणु दूरी $(r)$ के फलन के रूप में स्थितिज ऊर्जा वक्र द्वारा अच्छी तरह से समझा जा सकता है।
सामान्य तापमान पर: ठोस का प्रत्येक अणु अपनी संतुलन स्थिति $P_1$ के चारों ओर $A$ और $B$ के बीच कंपन करता है,जहाँ $r_0$ किसी अन्य अणु से उसकी संतुलन दूरी है।
उच्च तापमान पर: कंपन का आयाम बढ़ जाता है ($C \leftrightarrow D$ से $E \leftrightarrow F$ तक)।
स्थितिज ऊर्जा वक्र की असममितता के कारण,अणुओं की औसत संतुलन स्थितियाँ ($P_2$ और $P_3$) बाहर की ओर विस्थापित हो जाती हैं। अतः,अन्य अणुओं से औसत दूरी बढ़ जाती है $(r_2 > r_1 > r_0)$।
इस प्रकार,तापमान बढ़ाने पर,अणुओं के बीच औसत संतुलन दूरी बढ़ जाती है और पूरा ठोस फैल जाता है।
ठोसों के प्रसार को एक क्रिस्टलीय ठोस में दो निकटवर्ती परमाणुओं के लिए उनकी अंतर-परमाणु दूरी $(r)$ के फलन के रूप में स्थितिज ऊर्जा वक्र द्वारा अच्छी तरह से समझा जा सकता है।
सामान्य तापमान पर: ठोस का प्रत्येक अणु अपनी संतुलन स्थिति $P_1$ के चारों ओर $A$ और $B$ के बीच कंपन करता है,जहाँ $r_0$ किसी अन्य अणु से उसकी संतुलन दूरी है।
उच्च तापमान पर: कंपन का आयाम बढ़ जाता है ($C \leftrightarrow D$ से $E \leftrightarrow F$ तक)।
स्थितिज ऊर्जा वक्र की असममितता के कारण,अणुओं की औसत संतुलन स्थितियाँ ($P_2$ और $P_3$) बाहर की ओर विस्थापित हो जाती हैं। अतः,अन्य अणुओं से औसत दूरी बढ़ जाती है $(r_2 > r_1 > r_0)$।
इस प्रकार,तापमान बढ़ाने पर,अणुओं के बीच औसत संतुलन दूरी बढ़ जाती है और पूरा ठोस फैल जाता है।
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EasyMCQ
तांबे की एक शीट में एक छेद किया गया है। $27.0^{\circ} C$ पर छेद का व्यास $4.24 \,cm$ है। जब इसे $35^{\circ} C$ तक गर्म किया जाता है,तो छेद का व्यास क्या होगा?
A
$4.24 \,cm$ से कम
B
$4.24 \,cm$ के बराबर
C
$4.24 \,cm$ से अधिक
D
आंकड़े अपर्याप्त हैं
Solution
(C) जब किसी छेद वाली ठोस वस्तु को गर्म किया जाता है,तो पदार्थ सभी दिशाओं में फैलता है,जिसमें छेद के चारों ओर का पदार्थ भी शामिल है।
इसके परिणामस्वरूप छेद ऐसे फैलता है जैसे कि पूरी शीट उसी पदार्थ से बनी हो।
गणितीय रूप से,व्यास में परिवर्तन $\Delta D = D \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\alpha$ तांबे के लिए रैखिक प्रसार गुणांक है।
चूंकि $\Delta T = 35^{\circ} C - 27.0^{\circ} C = 8.0^{\circ} C$ धनात्मक है,इसलिए व्यास $D$ में वृद्धि होगी।
अतः,नया व्यास $4.24 \,cm$ से अधिक होगा।
इसके परिणामस्वरूप छेद ऐसे फैलता है जैसे कि पूरी शीट उसी पदार्थ से बनी हो।
गणितीय रूप से,व्यास में परिवर्तन $\Delta D = D \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\alpha$ तांबे के लिए रैखिक प्रसार गुणांक है।
चूंकि $\Delta T = 35^{\circ} C - 27.0^{\circ} C = 8.0^{\circ} C$ धनात्मक है,इसलिए व्यास $D$ में वृद्धि होगी।
अतः,नया व्यास $4.24 \,cm$ से अधिक होगा।
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EasyMCQ
एक समान धात्विक बेलन को गर्म करने पर उसकी लंबाई में $3 \%$ की वृद्धि होती है। इसके आधार के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल ........... $\%$ बढ़ जाएगा।
A
$1.5$
B
$3$
C
$9$
D
$6$
Solution
(D) मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $L$ है और प्रारंभिक त्रिज्या $r$ है। अनुप्रस्थ काट का प्रारंभिक क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
जब बेलन को गर्म किया जाता है, तो लंबाई में $3 \%$ की वृद्धि होती है, इसलिए नई लंबाई $L' = L(1 + 0.03)$ है।
चूंकि पदार्थ समान है, रैखिक प्रसार गुणांक $\alpha$ स्थिर रहता है। लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L \alpha \Delta T$ है, जहाँ $\Delta L / L = 0.03$ है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल त्रिज्या $r$ पर निर्भर करता है। त्रिज्या में परिवर्तन $\Delta r = r \alpha \Delta T$ है।
नया क्षेत्रफल $A' = \pi (r + \Delta r)^2 = \pi (r^2 + 2r \Delta r + (\Delta r)^2)$ है।
उच्च-क्रम के पद $(\Delta r)^2$ की उपेक्षा करने पर, हमें $A' \approx \pi r^2 + 2 \pi r \Delta r = A + 2A (\Delta r / r)$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल में आंशिक परिवर्तन $\Delta A / A = 2 (\Delta r / r) = 2 \alpha \Delta T$ है।
चूंकि $\Delta L / L = \alpha \Delta T = 0.03$ है, इसलिए $\Delta A / A = 2 \times 0.03 = 0.06$ है।
अतः, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $6 \%$ बढ़ जाएगा।
जब बेलन को गर्म किया जाता है, तो लंबाई में $3 \%$ की वृद्धि होती है, इसलिए नई लंबाई $L' = L(1 + 0.03)$ है।
चूंकि पदार्थ समान है, रैखिक प्रसार गुणांक $\alpha$ स्थिर रहता है। लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L \alpha \Delta T$ है, जहाँ $\Delta L / L = 0.03$ है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल त्रिज्या $r$ पर निर्भर करता है। त्रिज्या में परिवर्तन $\Delta r = r \alpha \Delta T$ है।
नया क्षेत्रफल $A' = \pi (r + \Delta r)^2 = \pi (r^2 + 2r \Delta r + (\Delta r)^2)$ है।
उच्च-क्रम के पद $(\Delta r)^2$ की उपेक्षा करने पर, हमें $A' \approx \pi r^2 + 2 \pi r \Delta r = A + 2A (\Delta r / r)$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल में आंशिक परिवर्तन $\Delta A / A = 2 (\Delta r / r) = 2 \alpha \Delta T$ है।
चूंकि $\Delta L / L = \alpha \Delta T = 0.03$ है, इसलिए $\Delta A / A = 2 \times 0.03 = 0.06$ है।
अतः, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $6 \%$ बढ़ जाएगा।
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EasyMCQ
$R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार धात्विक डिस्क में $r$ त्रिज्या की एक छोटी वृत्ताकार गुहा (cavity) है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इस निकाय को गर्म करने पर:
A
$R$ बढ़ता है और $r$ घटता है
B
$R$ घटता है और $r$ बढ़ता है
C
$R$ और $r$ दोनों बढ़ते हैं
D
$R$ और $r$ दोनों घटते हैं
Solution
(C) जब किसी धात्विक वस्तु को गर्म किया जाता है,तो उसमें ऊष्मीय प्रसार होता है। किसी ठोस का प्रसार एक फोटोग्राफिक विस्तार के समान होता है,जिसका अर्थ है कि वस्तु के सभी रैखिक आयाम आनुपातिक रूप से बढ़ते हैं।
गुहा वाली एक वृत्ताकार डिस्क के लिए,पदार्थ सभी दिशाओं में फैलता है। बाहरी त्रिज्या $R$ बढ़ती है क्योंकि परिधि का विस्तार होता है। इसी तरह,आंतरिक त्रिज्या $r$ भी बढ़ती है क्योंकि गुहा के चारों ओर का पदार्थ बाहर की ओर फैलता है,जो प्रभावी रूप से गुहा की सीमा को केंद्र से और दूर धकेलता है।
इसलिए,गर्म करने पर $R$ और $r$ दोनों बढ़ते हैं।
गुहा वाली एक वृत्ताकार डिस्क के लिए,पदार्थ सभी दिशाओं में फैलता है। बाहरी त्रिज्या $R$ बढ़ती है क्योंकि परिधि का विस्तार होता है। इसी तरह,आंतरिक त्रिज्या $r$ भी बढ़ती है क्योंकि गुहा के चारों ओर का पदार्थ बाहर की ओर फैलता है,जो प्रभावी रूप से गुहा की सीमा को केंद्र से और दूर धकेलता है।
इसलिए,गर्म करने पर $R$ और $r$ दोनों बढ़ते हैं।
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View Solution1 Thermal Properties of Matter: Thermometry, Expansion and Calorimetry — Thermal Expansion for Solid · Frequently Asked Questions
1Are these 1 Thermal Properties of Matter: Thermometry, Expansion and Calorimetry questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
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