Thermal Expansion for Solid Questions in Hindi

(D) छड़ को एक घर्षणहीन क्षैतिज सतह पर रखा गया है और इसके सिरे किसी भी तरह से बंधे हुए नहीं हैं।
जब छड़ का तापमान बढ़ाया जाता है,तो यह तापीय प्रसार का अनुभव करती है।
चूंकि इस प्रसार को रोकने के लिए कोई बाहरी बाधा (जैसे दीवार) नहीं है,इसलिए छड़ स्वतंत्र रूप से फैलती है।
चूंकि छड़ बिना किसी प्रतिरोध के स्वतंत्र रूप से फैलती है,इसलिए सामग्री के भीतर कोई तापीय प्रतिबल उत्पन्न नहीं होता है।
परिणामस्वरूप,तांबे की छड़ में उत्पन्न तनाव (या संपीड़न बल) $0 \,N$ है।

(D) पेंडुलम का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
तापीय प्रसार के कारण आवर्तकाल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ है।
यहाँ $\alpha = 1.2 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ और $\Delta \theta = 35^{\circ} C - 25^{\circ} C = 10^{\circ} C$ दिया गया है।
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 10^{-5} \times 10 = 6.0 \times 10^{-5}$.
चूंकि तापमान बढ़ता है,पेंडुलम की लंबाई बढ़ती है,इसलिए आवर्तकाल बढ़ता है और घड़ी समय खो देती है।
एक सप्ताह $(7 \times 24 \times 3600 \, s)$ में खोया गया समय:
$\Delta t = \frac{\Delta T}{T} \times \text{कुल समय} = 6.0 \times 10^{-5} \times (7 \times 24 \times 3600) = 36.288 \, s \approx 36.28 \, s$.

(B) तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_f - T_i = -15^{\circ} C - 20^{\circ} C = -35^{\circ} C$ है।
ऊष्मीय प्रसार के कारण लंबाई में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = \alpha \Delta T \times 100$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\text{प्रतिशत त्रुटि} = (1.2 \times 10^{-5} {}^{\circ} C^{-1}) \times (-35^{\circ} C) \times 100$.
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = -42 \times 10^{-3} \% = -0.042 \%$.

(C) धात्विक टेप की लंबाई $T_0 = 25^{\circ} C$ पर सही मापांकित की गई है。
जब तापमान घटकर $T = 10^{\circ} C$ हो जाता है, तो टेप में तापीय संकुचन होता है。
संकुचन के कारण, टेप पर अंकित निशानों के बीच की दूरी कम हो जाती है。
यदि टेप $L_{reading} = 30 \, cm$ की रीडिंग दिखाता है, तो इसका मतलब है कि टेप पर $0$ और $30$ के निशानों के बीच की भौतिक दूरी कम हो गई है。
चूंकि टेप अपनी मूल लंबाई से छोटा हो गया है, इसलिए वस्तु की कम भौतिक लंबाई ही उतने ही निशानों को कवर करेगी。
अतः, लकड़ी के टुकड़े की वास्तविक लंबाई टेप पर दिखाई गई रीडिंग से कम होगी $(L_{real} < 30 \, cm)$。

(D) थर्मोस्टेट में अक्सर एक द्विधात्विक पट्टी (bimetallic strip) का उपयोग किया जाता है, जो एक साथ जुड़ी दो अलग-अलग धातुओं से बनी होती है।
इन दो धातुओं को विशेष रूप से इसलिए चुना जाता है क्योंकि उनके रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ अलग-अलग होते हैं।
जब तापमान बदलता है, तो दोनों धातुएं अपने अलग-अलग $\alpha$ मानों के कारण अलग-अलग मात्रा में फैलती या सिकुड़ती हैं, जिससे पट्टी मुड़ जाती है।
इस मुड़ने की क्रिया का उपयोग विद्युत परिपथ को खोलने या बंद करने के लिए किया जाता है, जिससे तापमान का विनियमन होता है।
इसलिए, सही उत्तर रेखीय प्रसार गुणांक है।

(C) आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$,तीन परस्पर लंबवत दिशाओं में रेखीय प्रसार गुणांकों का योग होता है।
दिया गया है:
$\alpha_1 = 2 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C$
$\alpha_2 = 3 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C$
$\alpha_3 = 3 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C$
चूंकि पदार्थ क्रिस्टलीय है,इसलिए पहली दिशा के लंबवत दिशाओं में प्रसार समान होता है।
$\gamma = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$
$\gamma = (2 + 3 + 3) \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C$
$\gamma = 8 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C$
अतः,आयतन प्रसार गुणांक $8 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C$ है।

(B) मान लीजिए पट्टियों की लंबाई $\ell$ और मोटाई $t$ है। जब $\Delta T$ तापमान बढ़ाया जाता है,तो नई लंबाई $\ell_1 = \ell(1 + \alpha_1 \Delta T)$ और $\ell_2 = \ell(1 + \alpha_2 \Delta T)$ होती है।
मान लीजिए $\alpha_2 > \alpha_1$,तो $\alpha_2$ वाली पट्टी बाहरी चाप बनाती है।
मान लीजिए $r$ तटस्थ अक्ष की त्रिज्या है। प्रत्येक पट्टी की मोटाई तटस्थ अक्ष से $t/2$ है,इसलिए दोनों पट्टियों की त्रिज्या $r_1 = r - t/2$ और $r_2 = r + t/2$ है।
चाप द्वारा बनाया गया कोण $\theta$ दोनों के लिए समान है: $\theta = \ell_1 / r_1 = \ell_2 / r_2$.
मान रखने पर: $\frac{\ell(1 + \alpha_1 \Delta T)}{r - t/2} = \frac{\ell(1 + \alpha_2 \Delta T)}{r + t/2}$.
चूंकि $\alpha \Delta T$ बहुत छोटा है,हम हर के लिए $1 + \alpha \Delta T \approx 1$ का अनुमान लगाते हैं,लेकिन अंश में अंतर रखते हैं: $\frac{\ell_2}{\ell_1} = \frac{r + t/2}{r - t/2}$.
योग-अंतर अनुपात नियम का उपयोग करने पर: $\frac{\ell_2 - \ell_1}{\ell_2 + \ell_1} = \frac{(r + t/2) - (r - t/2)}{(r + t/2) + (r - t/2)} = \frac{t}{2r}$.
चूंकि $\ell_2 - \ell_1 = \ell(\alpha_2 - \alpha_1) \Delta T$ और $\ell_2 + \ell_1 \approx 2\ell$,हमें $\frac{\ell(\alpha_2 - \alpha_1) \Delta T}{2\ell} = \frac{t}{2r}$ प्राप्त होता है।
$r$ के लिए हल करने पर,$r = \frac{t}{(\alpha_2 - \alpha_1) \Delta T}$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि $27^{\circ}C$ तापमान पर प्रारंभिक व्यास $d_0 = 5\,cm$ है।
जब शीट को $177^{\circ}C$ तापमान तक गर्म किया जाता है,तो तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 177^{\circ}C - 27^{\circ}C = 150^{\circ}C$ होता है।
व्यास में परिवर्तन $\Delta d$ को रेखीय प्रसार के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta d = d_0 \alpha \Delta T$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\Delta d = 5\,cm \times (1.6 \times 10^{-5} /^{\circ}C) \times 150^{\circ}C$.
$\Delta d = 5 \times 1.6 \times 150 \times 10^{-5}\,cm$.
$\Delta d = 1200 \times 10^{-5}\,cm = 12 \times 10^{-3}\,cm$.
इसकी तुलना $d \times 10^{-3}\,cm$ से करने पर,हमें $d = 12$ प्राप्त होता है।

(A) पीतल का रैखिक प्रसार गुणांक $(\alpha_b)$ लगभग $19 \times 10^{-6} /^{\circ}C$ है,जबकि स्टील का $(\alpha_s)$ लगभग $12 \times 10^{-6} /^{\circ}C$ है।
चूंकि $\alpha_b > \alpha_s$,इसलिए पीतल तापमान में समान परिवर्तन के लिए स्टील की तुलना में अधिक फैलता या सिकुड़ता है।
पीतल की डिस्क को स्टील की प्लेट से ढीला करने के लिए,डिस्क को स्टील की प्लेट के छेद की तुलना में अधिक सिकुड़ना चाहिए।
सिस्टम को ठंडा करने से दोनों सिकुड़ते हैं,लेकिन चूंकि पीतल की डिस्क स्टील के छेद की तुलना में अधिक सिकुड़ती है,इसलिए डिस्क ढीली हो जाएगी।
अतः,कथन और कारण दोनों सत्य हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(A) तापमान परिवर्तन के कारण पेंडुलम घड़ी द्वारा खोया या प्राप्त किया गया समय $\Delta t = \frac{1}{2} \alpha (\Delta \theta) T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\alpha$ रैखिक प्रसार गुणांक है,$\Delta \theta$ तापमान में परिवर्तन है और $T$ आवर्तकाल है।
मान लीजिए $\theta$ वह तापमान है जिस पर घड़ी सही समय दिखाती है।
$40^{\circ} C$ पर,घड़ी $12 \ s$ खो देती है: $12 = \frac{1}{2} \alpha (40 - \theta) T$ ... $(i)$
$20^{\circ} C$ पर,घड़ी $4 \ s$ प्राप्त करती है: $4 = \frac{1}{2} \alpha (\theta - 20) T$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{12}{4} = \frac{40 - \theta}{\theta - 20}$
$3 = \frac{40 - \theta}{\theta - 20}$
$3(\theta - 20) = 40 - \theta$
$3\theta - 60 = 40 - \theta$
$4\theta = 100$
$\theta = 25^{\circ} C$

(B) स्टील टेप को $20^{\circ} C$ पर सही माप देने के लिए अंशांकित (calibrated) किया गया है।
जब तापमान घटकर $0^{\circ} C$ हो जाता है, तो स्टील टेप में ऊष्मीय संकुचन होता है।
परिणामस्वरूप, टेप पर चिह्नों के बीच की दूरी कम हो जाती है।
विशेष रूप से, जो दूरी $20^{\circ} C$ पर $1 \ cm$ दर्शाती है, वह $0^{\circ} C$ पर $1 \ cm$ से कम दर्शाएगी।
इसलिए, यदि टेप $0^{\circ} C$ पर $25 \ cm$ पढ़ता है, तो मापी जा रही वस्तु की वास्तविक भौतिक लंबाई $25 \ cm$ से कम है क्योंकि टेप पर प्रत्येक 'सेंटीमीटर' का अंतराल सिकुड़ गया है।
अतः, लकड़ी के टुकड़े की वास्तविक लंबाई $ < 25 \ cm$ है।

(B) मान लीजिए कि तापमान $T$ पर दो छड़ों की लंबाई $\ell_1(T)$ और $\ell_2(T)$ है।
तापमान $T + \Delta T$ पर,नई लंबाई $\ell_1' = \ell_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$ और $\ell_2' = \ell_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$ होगी।
लंबाइयों के बीच का अंतर $\Delta \ell = \ell_1 - \ell_2$ है।
यदि यह अंतर तापमान से स्वतंत्र है,तो दोनों छड़ों में लंबाई का परिवर्तन समान होना चाहिए,अर्थात $\Delta \ell_1 = \Delta \ell_2$।
इसलिए,$\ell_1 \alpha_1 \Delta T = \ell_2 \alpha_2 \Delta T$।
इसे सरल करने पर $\ell_1 \alpha_1 = \ell_2 \alpha_2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1}$ प्राप्त होता है।

(A) आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ आयतन में परिवर्तन $\Delta V$ से सूत्र $\Delta V = V \gamma \Delta T$ द्वारा संबंधित है।
यहाँ $\frac{\Delta V}{V} = 0.33 \% = 0.0033$ और $\Delta T = 50^{\circ} C$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $0.0033 = \gamma \times 50$.
अतः,$\gamma = \frac{0.0033}{50} = 0.000066 = 6.6 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ के बीच संबंध $\gamma = 3\alpha$ है।
इसलिए,$\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{6.6 \times 10^{-5}}{3} = 2.2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.

(B) मान लीजिए कि $0^{\circ}C$ पर छड़ों $A$ और $B$ की लंबाई क्रमशः $\ell_A$ और $\ell_B$ है।
यह दिया गया है कि लंबाई का अंतर सभी तापमानों पर स्थिर रहता है,इसलिए किसी भी तापमान परिवर्तन $\Delta T$ के लिए दोनों छड़ों में लंबाई का परिवर्तन समान होना चाहिए।
$\Delta \ell_A = \Delta \ell_B$
$\ell_A \alpha_A \Delta T = \ell_B \alpha_B \Delta T$
$\ell_A \alpha_A = \ell_B \alpha_B$
$\ell_A (18 \times 10^{-6}) = \ell_B (27 \times 10^{-6})$
$\ell_A / \ell_B = 27 / 18 = 3 / 2$
अतः,$\ell_A = 1.5 \ell_B$.
यह दिया गया है कि लंबाई का अंतर $60 \ cm$ है,इसलिए $\ell_A - \ell_B = 60 \ cm$.
समीकरण में $\ell_A = 1.5 \ell_B$ रखने पर:
$1.5 \ell_B - \ell_B = 60 \ cm$
$0.5 \ell_B = 60 \ cm$
$\ell_B = 120 \ cm$.
तब,$\ell_A = 1.5 \times 120 \ cm = 180 \ cm$.
इस प्रकार,लंबाई $\ell_A = 180 \ cm$ और $\ell_B = 120 \ cm$ है।

(B) मान लीजिए कि तापमान $T$ पर स्टील और तांबे की छड़ की लंबाई क्रमशः $L_s$ और $L_c$ है।
यह दिया गया है कि सभी तापमानों पर $L_s - L_c = 5 \ cm$,इसलिए तापमान में किसी भी परिवर्तन $\Delta T$ के लिए दोनों छड़ों की लंबाई में परिवर्तन समान होना चाहिए।
अतः,$\Delta L_s = \Delta L_c$.
रेखीय प्रसार के सूत्र $\Delta L = L \alpha \Delta T$ का उपयोग करने पर:
$L_s \alpha_s \Delta T = L_c \alpha_c \Delta T$.
$L_s \alpha_s = L_c \alpha_c$.
दिए गए मानों को रखने पर: $L_s (1.1 \times 10^{-5}) = L_c (1.7 \times 10^{-5})$.
$L_s / L_c = 1.7 / 1.1 = 17 / 11$.
मान लीजिए $L_s = 17x$ और $L_c = 11x$.
चूंकि $L_s - L_c = 5 \ cm$,इसलिए $17x - 11x = 5$,जिससे $6x = 5$ प्राप्त होता है,अतः $x = 5/6 \approx 0.833$.
इस प्रकार,$L_s = 17 \times (5/6) \approx 14.16 \ cm$ और $L_c = 11 \times (5/6) \approx 9.16 \ cm$.
ये मान लगभग $14 \ cm$ और $9 \ cm$ हैं।

(C) रैखिक विस्तार का सूत्र $\Delta L = L_1 \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$L_1 = 10 \ m$,$\alpha = 1.2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$,और $\Delta T = (45 - 17)^{\circ} C = 28^{\circ} C$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\Delta L = 10 \times (1.2 \times 10^{-5}) \times 28$.
$\Delta L = 12 \times 10^{-5} \times 28$.
$\Delta L = 336 \times 10^{-5} \ m$.
इसे $x \times 10^{-5} \ m$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 336$ प्राप्त होता है।

(C) ऊष्मीय प्रसार के कारण छड़ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि दोनों छड़ों के लिए लंबाई में परिवर्तन समान है,इसलिए $\Delta L_1 = \Delta L_2$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $L_1 \alpha_1 t = L_2 \alpha_2 t$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $t$ को हटाने पर,हमें $L_1 \alpha_1 = L_2 \alpha_2$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1}$ है।
अनुपात $\frac{L_1}{L_1+L_2}$ ज्ञात करने के लिए,हम अनुपात के गुण का उपयोग करते हैं: यदि $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ है,तो $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ होता है।
इस गुण को अपने समीकरण पर लागू करने पर,हमें $\frac{L_1}{L_1+L_2} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1+\alpha_2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि दोनों छड़ों की लंबाई में वृद्धि समान है,इसलिए $\Delta L_1 = \Delta L_2$ है।
रेखीय प्रसार के सूत्र $\Delta L = L \alpha \Delta T$ का उपयोग करते हुए:
$L_1 \alpha_c t = L_2 \alpha_i t$
दोनों पक्षों को $t$ से विभाजित करने पर,हमें $L_1 \alpha_c = L_2 \alpha_i$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $L_1 = \frac{\alpha_i}{\alpha_c} L_2$।
अब,हमें अनुपात $\frac{L_1-L_2}{L_1+L_2}$ ज्ञात करना है।
$L_1 = \frac{\alpha_i}{\alpha_c} L_2$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{L_1-L_2}{L_1+L_2} = \frac{(\frac{\alpha_i}{\alpha_c}) L_2 - L_2}{(\frac{\alpha_i}{\alpha_c}) L_2 + L_2}$
$= \frac{L_2 (\frac{\alpha_i}{\alpha_c} - 1)}{L_2 (\frac{\alpha_i}{\alpha_c} + 1)}$
$= \frac{\frac{\alpha_i - \alpha_c}{\alpha_c}}{\frac{\alpha_i + \alpha_c}{\alpha_c}}$
$= \frac{\alpha_i - \alpha_c}{\alpha_c + \alpha_i}$।

(B) पदार्थ का थर्मल विस्तार सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$।
यहाँ,$L_0 = 10 \ m$,$\alpha = 1.3 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,और $\Delta T = (45^{\circ} C - 17^{\circ} C) = 28^{\circ} C$ है।
मान रखने पर:
$\Delta L = 10 \times (1.3 \times 10^{-5}) \times 28$
$\Delta L = 364 \times 10^{-5} \ m$
$\Delta L = 3.64 \times 10^{-3} \ m = 3.64 \ mm$।
अतः,रखा जाने वाला अंतर $3.64 \ mm$ है।

(C) रेखीय प्रसार का सूत्र $\Delta l = \alpha \cdot l \cdot \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.
प्रारंभिक लंबाई $l = 0.75 \ m$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 65^{\circ} C - 45^{\circ} C = 20^{\circ} C$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta l = (2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C) \times (0.75 \ m) \times (20^{\circ} C)$.
$\Delta l = 2 \times 10^{-5} \times 0.75 \times 20 \ m$.
$\Delta l = 30 \times 10^{-5} \ m = 0.3 \times 10^{-3} \ m$.
चूंकि $1 \ mm = 10^{-3} \ m$,इसलिए लंबाई में वृद्धि $0.30 \ mm$ है।

(C) प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = 40 \ cm \times 5 \ cm = 200 \ cm^2$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$.
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 1.4 \ cm^2$.
क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\Delta A}{A_1 \Delta T}$ है।
मान रखने पर: $\beta = \frac{1.4}{200 \times 100} = \frac{1.4}{20000} = 0.7 \times 10^{-4} = 7 \times 10^{-5} /^{\circ} C$.
चूंकि रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = \frac{\beta}{2}$,इसलिए $\alpha = \frac{7 \times 10^{-5}}{2} = 3.5 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ होगा।

(B) तापमान परिवर्तन $\Delta \theta$ पर छड़ की लंबाई $L' = L(1 + \alpha \Delta \theta)$ द्वारा दी जाती है।
छड़ $A$ के लिए,$L_A' = L_A(1 + \alpha_A \Delta \theta)$ और छड़ $B$ के लिए,$L_B' = L_B(1 + \alpha_B \Delta \theta)$ है।
लंबाई में अंतर $\Delta L = L_B' - L_A' = (L_B - L_A) + (L_B \alpha_B - L_A \alpha_A) \Delta \theta$ है।
सभी तापमानों पर अंतर स्थिर रहने के लिए,$\Delta \theta$ वाला पद शून्य होना चाहिए।
इसलिए,$L_B \alpha_B - L_A \alpha_A = 0$,जिसका अर्थ है कि $L_B \alpha_B = L_A \alpha_A$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{L_A}{L_B} = \frac{\alpha_B}{\alpha_A}$ प्राप्त होता है।

(C) ऊष्मीय प्रसार के कारण किसी ठोस के आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V \gamma \Delta T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ प्रारंभिक आयतन है,$\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
चूंकि दोनों छड़ें पीतल की बनी हैं,इसलिए दोनों के लिए $\gamma$ समान है। यह दिया गया है कि $\Delta T$ भी समान है,इसलिए आयतन में वृद्धि का अनुपात प्रारंभिक आयतनों के अनुपात के बराबर होगा।
छड़ $A$ का प्रारंभिक आयतन: $V_A = \pi (2r)^2 l = 4 \pi r^2 l$.
छड़ $B$ का प्रारंभिक आयतन: $V_B = \pi (r)^2 (2l) = 2 \pi r^2 l$.
आयतन में वृद्धि का अनुपात $\frac{\Delta V_A}{\Delta V_B} = \frac{V_A}{V_B} = \frac{4 \pi r^2 l}{2 \pi r^2 l} = \frac{2}{1}$ है।

(B) घन का प्रारंभिक आयतन $V = L^3 = (1 \ m)^3 = 1 \ m^3$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$ है।
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ के बीच संबंध $\gamma = 3\alpha$ है।
दिया गया है $\alpha = 18 \times 10^{-6} /^{\circ} C$,इसलिए $\gamma = 3 \times 18 \times 10^{-6} = 54 \times 10^{-6} /^{\circ} C$ है।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V \gamma \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\Delta V = 1 \times (54 \times 10^{-6}) \times 100 = 54 \times 10^{-4} \ m^3$.

$(A)$ रेखीय प्रसार गुणांक का सूत्र $\alpha = \frac{\Delta L}{L_1 \Delta T}$ है।
दिया गया है:
प्रारंभिक लंबाई $L_1 = 2 \,m$.
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 1.6 \,mm = 1.6 \times 10^{-3} \,m$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 60^{\circ} C - 0^{\circ} C = 60^{\circ} C$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\alpha = \frac{1.6 \times 10^{-3}}{2 \times 60}$
$\alpha = \frac{1.6 \times 10^{-3}}{120}$
$\alpha = \frac{1.6}{120} \times 10^{-3} = 0.01333 \times 10^{-3} = 1.33 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है: लंबाई का अंतर $\Delta l = l_{A} - l_{B} = 60 \text{ cm}$ सभी तापमानों पर स्थिर है।
इसका अर्थ है कि किसी भी तापमान परिवर्तन $\Delta T$ के लिए दोनों छड़ों की लंबाई में परिवर्तन समान होना चाहिए।
$\Delta l_{A} = \Delta l_{B}$
$l_{A} \alpha_{A} \Delta T = l_{B} \alpha_{B} \Delta T$
$l_{A} \alpha_{A} = l_{B} \alpha_{B}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$l_{A} (18 \times 10^{-6}) = l_{B} (27 \times 10^{-6})$
$l_{A} (18) = l_{B} (27)$
$l_{A} = \frac{27}{18} l_{B} = 1.5 l_{B}$
हम जानते हैं कि $l_{A} - l_{B} = 60 \text{ cm}$ है।
$l_{A} = 1.5 l_{B}$ रखने पर:
$1.5 l_{B} - l_{B} = 60 \text{ cm}$
$0.5 l_{B} = 60 \text{ cm}$
$l_{B} = 120 \text{ cm}$
अतः,$l_{A} = 1.5 \times 120 = 180 \text{ cm}$.

(C) आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = \frac{0.225}{100} = 0.00225$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 30^{\circ} C$ है।
हम जानते हैं कि आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ के बीच संबंध $\gamma = 3\alpha$ होता है।
आयतन प्रसार का सूत्र $\Delta V = V \gamma \Delta T$ है,जिसे $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\gamma = 3\alpha$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} = 3\alpha \Delta T$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $0.00225 = 3 \times \alpha \times 30$.
$\alpha$ के लिए हल करने पर: $\alpha = \frac{0.00225}{90} = 2.5 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.

(D) सही विकल्प $D$ है।
अवधारणा: तापमान $T$ पर धातु की छड़ की लंबाई $l = l_0(1 + \alpha \Delta T)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l_0$ प्रारंभिक लंबाई है,$\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है,और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
मान लीजिए कि तापमान $T$ पर पीतल और स्टील की छड़ों की लंबाई क्रमशः $l_b$ और $l_s$ है।
$l_b = l_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$
$l_s = l_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$
लंबाई में अंतर $l_s - l_b = l_2(1 + \alpha_2 \Delta T) - l_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$ द्वारा दिया जाता है।
$l_s - l_b = (l_2 - l_1) + (l_2 \alpha_2 - l_1 \alpha_1) \Delta T$।
चूंकि अंतर $(l_2 - l_1)$ सभी तापमानों पर स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta T$ वाला पद शून्य होना चाहिए।
अतः,$l_2 \alpha_2 - l_1 \alpha_1 = 0$,जिसका अर्थ है $l_1 \alpha_1 = l_2 \alpha_2$।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
अवकलन करने पर,आवर्तकाल में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$ होता है।
हम जानते हैं कि $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta \theta$,इसलिए $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta = 20^{\circ} C - 15^{\circ} C = 5^{\circ} C$ है।
एक दिन में कुल समय $T = 24 \times 60 \times 60 = 86,400 \ s$ है।
प्रति दिन समय में त्रुटि $\Delta T = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta \times T$ है।
मान रखने पर: $\Delta T = \frac{1}{2} \times (1.2 \times 10^{-5}) \times 5 \times 86,400$.
$\Delta T = 0.6 \times 10^{-5} \times 5 \times 86,400 = 3 \times 10^{-5} \times 86,400 = 2.592 \ s \approx 2.6 \ s$.

(A) आयतन में परिवर्तन $\Delta V$ को सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: $\Delta V = V \times \gamma \times \Delta T$, जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है।
चूंकि $\gamma = 3\alpha$, इसलिए सूत्र होगा: $\Delta V = V \times (3\alpha) \times \Delta T$.
दिया गया है: $V = 500 \,cm^3$, $\alpha = 12 \times 10^{-6} /^{\circ} C$, और $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$.
मान रखने पर:
$\Delta V = 500 \times (3 \times 12 \times 10^{-6}) \times 100$
$\Delta V = 500 \times (36 \times 10^{-6}) \times 100$
$\Delta V = 500 \times 0.0036 = 1.8 \,cm^3$.

(C) आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है।
यहाँ $\frac{\Delta V}{V} = 0.30 \% = 0.003$ और $\Delta T = 50^{\circ} C$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.003 = \gamma (50^{\circ} C) \Rightarrow \gamma = \frac{0.003}{50} = 6 \times 10^{-5} /^{\circ} C$.
हम जानते हैं कि आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ के बीच संबंध $\gamma = 3\alpha$ होता है।
अतः,$\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{6 \times 10^{-5}}{3} = 2 \times 10^{-5} /^{\circ} C$.

(D) मान लीजिए कि तापमान में परिवर्तन $\Delta T$ है। पहली छड़ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta L_1 = L_1 \alpha_1 \Delta T$ है।
दूसरी छड़ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta L_2 = L_2 \alpha_2 \Delta T$ है।
यह दिया गया है कि $(L_2 - L_1)$ सभी तापमानों पर स्थिर रहता है,इसलिए दोनों छड़ों की लंबाई में परिवर्तन समान होना चाहिए।
अतः,$\Delta L_1 = \Delta L_2$।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L_1 \alpha_1 \Delta T = L_2 \alpha_2 \Delta T$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $\Delta T$ को हटाने पर,हमें $L_1 \alpha_1 = L_2 \alpha_2$ संबंध प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ की लंबाई $L = 2 \,m$ है। छड़ें एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं। निकाय का द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ त्रिभुज के केंद्रक पर स्थित है।
$L$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए, ऊँचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2} L$ है। $COM$ का $y$-निर्देशांक $y_{COM} = \frac{1}{3} h = \frac{\sqrt{3}}{6} L$ है।
दिया गया है $\gamma = 12 \sqrt{3} \times 10^{-6} \,K^{-1}$, तो रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = \frac{\gamma}{3} = 4 \sqrt{3} \times 10^{-6} \,K^{-1}$ है।
प्रत्येक छड़ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L \alpha \Delta T = 2 \times (4 \sqrt{3} \times 10^{-6}) \times 50 = 400 \sqrt{3} \times 10^{-6} \,m = 4 \sqrt{3} \times 10^{-4} \,m$ है।
नई लंबाई $L' = L + \Delta L = L(1 + \alpha \Delta T)$ है।
$COM$ का नया $y$-निर्देशांक $y'_{COM} = \frac{\sqrt{3}}{6} L' = \frac{\sqrt{3}}{6} L(1 + \alpha \Delta T)$ है।
$y$-निर्देशांक में वृद्धि $\Delta y_{COM} = y'_{COM} - y_{COM} = \frac{\sqrt{3}}{6} L \alpha \Delta T$ है।
मान रखने पर: $\Delta y_{COM} = \frac{\sqrt{3}}{6} \times 2 \times (4 \sqrt{3} \times 10^{-6}) \times 50 = \frac{\sqrt{3}}{3} \times 4 \sqrt{3} \times 50 \times 10^{-6} = \frac{3}{3} \times 4 \times 50 \times 10^{-6} = 200 \times 10^{-6} \,m = 0.2 \times 10^{-3} \,m = 0.2 \,mm$.

(D) माना $0^{\circ} C$ पर छड़ की लंबाई $L_0$ है और $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है।
तापमान $T$ पर लंबाई का सूत्र $L_T = L_0(1 + \alpha T)$ है।
$10^{\circ} C$ पर लंबाई: $L_{10} = L_0(1 + 10\alpha)$.
$40^{\circ} C$ पर लंबाई: $L_{40} = L_0(1 + 40\alpha)$.
दिया गया है कि $L_{40} - L_{10} = 0.05 \ cm$.
मान रखने पर: $L_0(1 + 40\alpha) - L_0(1 + 10\alpha) = 0.05$.
$L_0(40\alpha - 10\alpha) = 0.05$.
$30 L_0 \alpha = 0.05$.
$L_0 = \frac{0.05}{30 \alpha}$.
$\alpha = 1.5 \times 10^{-5} \ {}^{\circ} C^{-1}$ का मान रखने पर:
$L_0 = \frac{0.05}{30 \times 1.5 \times 10^{-5}} = \frac{0.05}{45 \times 10^{-5}} = \frac{5000}{45} \approx 111.1 \ cm$.

(A) मान लीजिए कि $27^{\circ} C$ पर स्टील टेप की लंबाई $L_0 = 300 \,cm$ है।
$50^{\circ} C$ पर, टेप की लंबाई $L_T = L_0(1 + \alpha \Delta T)$ हो जाती है।
यहाँ, $\Delta T = 50^{\circ} C - 27^{\circ} C = 23^{\circ} C$ है।
$L_T = 300(1 + 1.2 \times 10^{-5} \times 23) = 300(1 + 0.000276) = 300.0828 \,cm$।
छड़ की मापी गई लंबाई $L_m = 110 \,cm$ है।
वास्तविक लंबाई $L_a$ का सूत्र $L_a = L_m \times \frac{L_T}{L_0}$ है।
$L_a = 110 \times \frac{300.0828}{300} = 110 \times (1 + 0.000276) = 110 + 0.03036 = 110.03036 \,cm$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, वास्तविक लंबाई $110.03 \,cm$ है।

(A) तापमान $T$ पर धातु के टेप की लंबाई $L = L_0 [1 + \alpha \Delta T]$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L_0$ अंशांकन तापमान $T_0 = 25^{\circ} C$ पर लंबाई है।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L - L_0 = L_0 \alpha (T - T_0)$ है।
मापन में प्रतिशत त्रुटि $|\frac{\Delta L}{L_0} \times 100\%|$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha = 1 \times 10^{-5} {}^{\circ} C^{-1}$,$T = -15^{\circ} C$,और $T_0 = 25^{\circ} C$.
प्रतिशत त्रुटि $= |\alpha (T - T_0) \times 100\%|$
$= |1 \times 10^{-5} (-15 - 25) \times 100\%|$
$= |1 \times 10^{-5} (-40) \times 100\%|$
$= |-40 \times 10^{-3}\%| = 0.04\%$.

(D) दिया गया है,गोले का व्यास $= D$ है।
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल,$A = 4 \pi R^2 = 4 \pi (D/2)^2 = \pi D^2$ है।
$\delta T$ तापमान बढ़ाने के बाद पृष्ठीय क्षेत्रफल $A' = \pi (D')^2$ है,जहाँ $D'$ नया व्यास है।
रेखीय प्रसार के समीकरण से,$D' = D(1 + \alpha \delta T)$ है।
$A'$ के व्यंजक में $D'$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $A' = \pi [D(1 + \alpha \delta T)]^2 = \pi D^2 (1 + 2\alpha \delta T + \alpha^2 \delta T^2)$।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A' - A = \pi D^2 (1 + 2\alpha \delta T + \alpha^2 \delta T^2) - \pi D^2$ है।
$\Delta A = \pi D^2 (2\alpha \delta T + \alpha^2 \delta T^2) = \pi D^2 \alpha \delta T (2 + \alpha \delta T)$।

(B) घनत्व $\rho$,आयतन $V$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $\rho \propto \frac{1}{V}$।
तापमान में छोटे परिवर्तन $\Delta \theta$ के लिए,आयतन $V_2 = V_1(1 + \gamma \Delta \theta)$ के अनुसार बदलता है,जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है।
अतः,नया घनत्व $\rho_2 = \frac{m}{V_2} = \frac{m}{V_1(1 + \gamma \Delta \theta)} = \rho_1(1 + \gamma \Delta \theta)^{-1}$ द्वारा प्राप्त होता है।
द्विपद सन्निकटन $(1 + x)^{-1} \approx 1 - x$ का उपयोग करने पर,$\rho_2 \approx \rho_1(1 - \gamma \Delta \theta)$ प्राप्त होता है।
घनत्व में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta \rho}{\rho_1} = \frac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_1} = -\gamma \Delta \theta$ है।
यहाँ $\gamma = 5 \times 10^{-4} {^{\circ}C}^{-1}$ और $\Delta \theta = 40^{\circ}C$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta \rho}{\rho_1} = -(5 \times 10^{-4} {^{\circ}C}^{-1}) \times (40^{\circ}C) = -200 \times 10^{-4} = -0.02$।
घनत्व में भिन्नात्मक परिवर्तन का परिमाण $0.02$ है।

(A) पिस्टन को सिलेंडर में बिल्कुल फिट होने के लिए,पिस्टन और सिलेंडर के बीच थर्मल विस्तार का अंतर व्यास के साथ कुल क्लीयरेंस की भरपाई करना चाहिए।
दिया गया है कि क्लीयरेंस चारों ओर $0.08 \ mm$ है,इसलिए व्यास पर कुल क्लीयरेंस $\delta = 2 \times 0.08 \ mm = 0.16 \ mm$ है।
रैखिक विस्तार का सूत्र $\Delta L = \alpha L \Delta T$ है।
पिस्टन और सिलेंडर के बीच विस्तार का अंतर $\delta = (\alpha_p - \alpha_c) L \Delta T$ है।
यहाँ,$L = 15 \ cm = 150 \ mm$,$\alpha_p = 1.6 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,और $\alpha_c = 1.2 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ है।
मान रखने पर: $0.16 \ mm = (1.6 \times 10^{-5} - 1.2 \times 10^{-5}) \times 150 \ mm \times \Delta T$.
$0.16 = (0.4 \times 10^{-5}) \times 150 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{0.16}{60 \times 10^{-5}} = 266.67^{\circ} C \approx 268^{\circ} C$ (दिए गए विकल्पों का उपयोग करते हुए)।
अंतिम तापमान $T = T_0 + \Delta T = 30^{\circ} C + 268^{\circ} C = 298^{\circ} C$।

(D) पहली छड़ के लिए लंबाई में परिवर्तन $\Delta L_1 = \alpha \Delta T L$ है।
दूसरी छड़ के लिए लंबाई में परिवर्तन $\Delta L_2 = (2\alpha) \Delta T (2L) = 4\alpha \Delta T L$ है।
चूंकि छड़ें सिरे से सिरे तक जुड़ी हुई हैं,इसलिए लंबाई में कुल परिवर्तन $\Delta L_{net} = \Delta L_1 + \Delta L_2 = \alpha \Delta T L + 4\alpha \Delta T L = 5\alpha \Delta T L$ है।
संयुक्त छड़ की कुल लंबाई $L_{total} = L + 2L = 3L$ है।
संयुक्त छड़ के लिए,$\Delta L_{net} = \alpha_{eff} \Delta T L_{total}$ होता है।
मान रखने पर,$5\alpha \Delta T L = \alpha_{eff} \Delta T (3L)$ प्राप्त होता है।
$\alpha_{eff}$ के लिए हल करने पर,$\alpha_{eff} = \frac{5\alpha}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 0.12 \% = \frac{0.12}{100} = 1.2 \times 10^{-3}$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 20^{\circ} C$ दिया गया है।
आयतन प्रसार का सूत्र $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ है,जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है।
मान रखने पर: $1.2 \times 10^{-3} = \gamma \times 20$.
$\gamma = \frac{1.2 \times 10^{-3}}{20} = 0.06 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-5} {}^{\circ} C^{-1}$.
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ के बीच संबंध $\gamma = 3\alpha$ है।
अतः,$\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{6 \times 10^{-5}}{3} = 2 \times 10^{-5} {}^{\circ} C^{-1}$.

(D) तापीय प्रसार के कारण किसी पदार्थ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta l = l_0 \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l_0$ प्रारंभिक लंबाई है,$\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
चूंकि $\alpha_{Al} > \alpha_{\text{steel}}$ है,इसलिए तापमान में समान परिवर्तन $\Delta T$ के लिए,एल्युमीनियम वाला हिस्सा स्टील वाले हिस्से की तुलना में अधिक फैलेगा $(\Delta l_{Al} > \Delta l_{\text{steel}})$।
चूंकि एल्युमीनियम अधिक फैलता है,यह वक्र के बाहरी (उत्तल) तरफ होगा,जबकि स्टील,जो कम फैलता है,वक्र के अंदरूनी (अवतल) तरफ होगा।
इसलिए,पट्टी स्टील को अवतल तरफ रखते हुए मुड़ जाएगी।

(C) दिया गया है: चांदी की छड़ की लंबाई,$L = 1 \ m = 100 \ cm$.
प्रारंभिक तापमान,$T_1 = 0^{\circ}C$.
अंतिम तापमान,$T_2 = 100^{\circ}C$.
तापमान में परिवर्तन,$\Delta T = T_2 - T_1 = 100^{\circ}C$.
लंबाई में वृद्धि,$\Delta L = 0.19 \ cm$.
रेखीय प्रसार का सूत्र $\Delta L = L \alpha \Delta T$ है,जहाँ $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है।
मान रखने पर: $0.19 = 100 \times \alpha \times 100$.
$\alpha = \frac{0.19}{10000} = 0.19 \times 10^{-4} \ ^{\circ}C^{-1} = 1.9 \times 10^{-5} \ ^{\circ}C^{-1}$.
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ और $\alpha$ के बीच संबंध $\gamma = 3\alpha$ है।
$\gamma = 3 \times 1.9 \times 10^{-5} \ ^{\circ}C^{-1} = 5.7 \times 10^{-5} \ ^{\circ}C^{-1}$.

(C) रेखीय प्रसार $\alpha$, क्षेत्रीय प्रसार $\beta$ और आयतन प्रसार $\gamma$ के गुणांकों का अनुपात $\alpha : \beta : \gamma = 1 : 2 : 3$ होता है।
चूंकि $\gamma = 3\alpha$ और $\beta = 2\alpha$ है, इसलिए आयतन प्रसार गुणांक तीनों में सबसे अधिक है।
अतः, जब किसी वस्तु को गर्म किया जाता है, तो उसके आयतन में अधिकतम वृद्धि होती है।

(D) दिया गया है, गोलीय दर्पण की फोकस दूरी $f = 150 \,cm$ है। स्टील का रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 12 \times 10^{-6} \,^{\circ}C^{-1}$ है।
हम जानते हैं कि वक्रता त्रिज्या $R$ और फोकस दूरी $f$ के बीच संबंध $f = R/2$ होता है। इसलिए, फोकस दूरी में परिवर्तन $\Delta f$ और त्रिज्या में परिवर्तन $\Delta R$ के बीच संबंध $\Delta f = \Delta R / 2$ है।
रेखीय प्रसार गुणांक की परिभाषा है: $\alpha = \frac{\Delta R}{R \Delta T}$.
$\Delta R = 2 \Delta f$ और $R = 2f$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $\alpha = \frac{2 \Delta f}{(2f) \Delta T} = \frac{\Delta f}{f \Delta T}$.
अतः, $\Delta f = f \alpha \Delta T$.
अंतिम फोकस दूरी $f'$ इस प्रकार होगी: $f' = f + \Delta f = f(1 + \alpha \Delta T)$.
मान रखने पर: $f' = 150(1 + 12 \times 10^{-6} \times 200)$.
$f' = 150(1 + 2400 \times 10^{-6}) = 150(1 + 0.0024) = 150(1.0024)$.
$f' = 150.36 \,cm$.

(B) जब किसी धातु की प्लेट को गर्म किया जाता है,तो उसमें ऊष्मीय प्रसार होता है,जिसका अर्थ है कि उसके सभी आयाम मूल लंबाई के अनुपात में बढ़ जाते हैं।
यह वस्तु के फोटोग्राफिक विस्तार के समान है।
दिए गए चित्र में,अंतराल $x$ और $y$ अनिवार्य रूप से धातु की प्लेटों की सीमाओं द्वारा परिभाषित खाली स्थान हैं।
जैसे-जैसे प्लेटें गर्म होने पर फैलती हैं,प्लेटों का पदार्थ उस स्थान में चला जाता है जो पहले अंतराल द्वारा कब्जा कर लिया गया था।
चूंकि पूरी प्लेट समान रूप से फैलती है,इसलिए $x$ और $y$ अंतराल को परिभाषित करने वाली सीमाएं एक-दूसरे के करीब आ जाती हैं।
इसलिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अंतराल $x$ और $y$ के आयाम कम हो जाएंगे।

(B) दिया गया है: छड़ की लंबाई $L = 10 \ m$,तापमान में वृद्धि $\Delta T = 40^{\circ} C$,और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 2.5 \times 10^{-6} {}^{\circ} C^{-1}$।
ऊष्मीय प्रसार के कारण लंबाई में परिवर्तन:
$\Delta L = L \alpha \Delta T = 10 \times 2.5 \times 10^{-6} \times 40 = 0.01 \ m = 1 \ cm$.
छड़ की नई कुल लंबाई $L' = L + \Delta L = 10 + 0.01 = 10.01 \ m$.
जब छड़ मुड़ती है,तो यह मूल लंबाई को आधार मानकर एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाती है। छड़ का मध्य बिंदु $x$ दूरी तक ऊपर उठता है। छड़ के दो आधे भाग $5 \ m$ आधार और $x$ ऊंचाई वाले दो समकोण त्रिभुजों के कर्ण बनाते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$x^2 + 5^2 = (L'/2)^2$
$x^2 + 25 = (10.01 / 2)^2 = (5.005)^2$
$x^2 = 25.050025 - 25 = 0.050025$
$x = \sqrt{0.050025} \approx 0.2236 \ m = 22.36 \ cm$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ की लंबाई $l$ है। समकोण त्रिभुज $ADC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$DC^2 = AC^2 - AD^2$
चूंकि $D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AD = \frac{l}{2}$.
अतः,$DC^2 = l^2 - (\frac{l}{2})^2 = l^2 - \frac{l^2}{4} = \frac{3l^2}{4}$.
जब तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है,तो नई लंबाई $l' = l(1 + \alpha \Delta T)$ होती है।
$AC' = l(1 + \alpha_2 \Delta T)$ और $AD' = \frac{l}{2}(1 + \alpha_1 \Delta T)$.
नई लंबाई $DC'$ इस प्रकार दी जाती है:
$DC'^2 = AC'^2 - AD'^2 = [l(1 + \alpha_2 \Delta T)]^2 - [\frac{l}{2}(1 + \alpha_1 \Delta T)]^2$
$DC'^2 = l^2(1 + 2\alpha_2 \Delta T + \alpha_2^2 \Delta T^2) - \frac{l^2}{4}(1 + 2\alpha_1 \Delta T + \alpha_1^2 \Delta T^2)$
$\Delta T$ के उच्च-क्रम के पदों की उपेक्षा करने पर (अर्थात,$\alpha^2 \Delta T^2 \approx 0$):
$DC'^2 \approx l^2(1 + 2\alpha_2 \Delta T) - \frac{l^2}{4}(1 + 2\alpha_1 \Delta T)$
$DC'^2 \approx (l^2 - \frac{l^2}{4}) + (2l^2\alpha_2 \Delta T - \frac{l^2}{2}\alpha_1 \Delta T)$
$DC$ को स्थिर रहने के लिए,$DC^2$ में परिवर्तन शून्य होना चाहिए:
$2l^2\alpha_2 \Delta T - \frac{l^2}{2}\alpha_1 \Delta T = 0$
$2\alpha_2 = \frac{\alpha_1}{2} \Rightarrow \alpha_1 = 4\alpha_2$.

(B) रेखीय प्रसार का सूत्र $\Delta L = L \alpha \Delta T$ है,जहाँ $\Delta L$ लंबाई में परिवर्तन है,$L$ मूल लंबाई है,$\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
दिए गए मान हैं:
$\Delta L = 5 \times 10^{-5} \,m$
$L = 1 \,m$
$\alpha = 10 \times 10^{-6} \,K^{-1}$
$\Delta T$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\Delta T = \frac{\Delta L}{L \alpha}$
मान रखने पर:
$\Delta T = \frac{5 \times 10^{-5}}{1 \times 10 \times 10^{-6}}$
$\Delta T = \frac{5 \times 10^{-5}}{10^{-5}} = 5^{\circ} C$
अतः,अनुमेय अधिकतम तापमान भिन्नता $5^{\circ} C$ है।