Motion (or rest) on Rough Inclined Surface Questions in Gujarati

(B) ઘર્ષણવાળા ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકતા બ્લોકનો પ્રવેગ $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $g = 10\, ms^{-2}$,$\theta = 30^o$,$\mu = 0.2$,અને $t = 5\, s$.
કિંમતો મૂકતા:
$a = 10 \times (\sin 30^o - 0.2 \times \cos 30^o)$
$a = 10 \times (0.5 - 0.2 \times 0.866)$
$a = 10 \times (0.5 - 0.1732) = 10 \times 0.3268 = 3.268\, ms^{-2}$.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે:
$v = 0 + 3.268 \times 5 = 16.34\, ms^{-1}$.

(C) ઢળતી સપાટીને સમાંતર બ્લોકના વજનનો ઘટક $F = mg \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ બ્લોકનું દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $\theta$ એ ઢાળનો ખૂણો છે.
જેમ જેમ ઢળતી સપાટીને સમક્ષિતિજ બનાવવામાં આવે છે,તેમ ખૂણો $\theta$ ઘટે છે.
સાઇન વિધેય $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ માટે વધતું વિધેય હોવાથી,જેમ $\theta$ ઘટે છે,તેમ $\sin \theta$ પણ ઘટે છે.
તેથી,સપાટીને સમાંતર વજનનો ઘટક $mg \sin \theta$ ઘટે છે.

(D) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m$ છે. બ્લોકને શિરોલંબ રીતે ઊંચકવા માટે જરૂરી બળ $F_1 = mg$ છે.
બ્લોકને ઢાળ પર ઉપરની તરફ ખેંચવા માટે જરૂરી બળ $F_2 = mg \sin \theta + f_k$ છે,જ્યાં $f_k = \mu N = \mu mg \cos \theta$ છે.
તેથી,$F_2 = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$.
પ્રશ્ન મુજબ,$F_2 < F_1$,તેથી:
$mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta < mg$.
$mg$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\sin \theta + \mu \cos \theta < 1$.
$\theta = 30^o$ મૂકતા:
$\sin 30^o + \mu \cos 30^o < 1$.
$1/2 + \mu (\sqrt{3}/2) < 1$.
$\mu (\sqrt{3}/2) < 1 - 1/2$.
$\mu (\sqrt{3}/2) < 1/2$.
$\mu < 1/\sqrt{3}$.

(C) ઢાળની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનો ઘટક $a_g = g \sin \theta = 10 \sin 30^{\circ} = 5\, m/s^2$ છે.
ગતિનો વિરોધ કરતા ઘર્ષણને કારણે પ્રવેગ $a_f = \mu g \cos \theta = 0.5 \times 10 \times \cos 30^{\circ} = 5 \times 0.866 = 4.33\, m/s^2$ છે.
ઢાળ પર નીચેની તરફ કારનો ચોખ્ખો પ્રવેગ $a = a_g - a_f = 5 - 4.33 = 0.67\, m/s^2$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 6\, m/s$,$a = 0.67\, m/s^2$,અને $s = 15\, m$ છે:
$v^2 = (6)^2 + 2 \times 0.67 \times 15$
$v^2 = 36 + 20.1 = 56.1$
$v = \sqrt{56.1} \approx 7.49\, m/s$.

(A) ધારો કે ઢળતા સમતલની લંબાઈ $s$ છે.
લીસા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_1 = g \sin \theta$ છે. $v^2 - u^2 = 2as$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $(u=0)$,આપણને $v^2 = 2(g \sin \theta)s$ મળે છે --- $(1)$.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. અંતિમ વેગ $v' = v/n$ છે. $v'^2 = 2a_2s$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$(v/n)^2 = 2g(\sin \theta - \mu \cos \theta)s$ મળે છે --- $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $n^2 = \frac{\sin \theta}{\sin \theta - \mu \cos \theta}$.
પદોની ગોઠવણી કરતા: $n^2(\sin \theta - \mu \cos \theta) = \sin \theta$.
$n^2 \sin \theta - n^2 \mu \cos \theta = \sin \theta$.
$n^2 \mu \cos \theta = n^2 \sin \theta - \sin \theta = \sin \theta (n^2 - 1)$.
$\mu = \frac{\sin \theta (n^2 - 1)}{n^2 \cos \theta} = \tan \theta \left( \frac{n^2 - 1}{n^2} \right) = \tan \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.

(A) લીસા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_2 = g \sin \theta$ છે. લાગતો સમય $t_2 = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ છે.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_1 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_1 = \frac{4}{3} t_2$,તેથી $\frac{t_1}{t_2} = \frac{4}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{t_1^2}{t_2^2} = \frac{16}{9} = \frac{a_2}{a_1} = \frac{g \sin \theta}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{\sin \theta - \mu \cos \theta}$.
$\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\frac{16}{9} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2} - \mu(1/\sqrt{2})} = \frac{1}{1 - \mu}$.
$16(1 - \mu) = 9 \implies 16 - 16\mu = 9 \implies 16\mu = 7 \implies \mu = \frac{7}{16}$.

(A) $m = 15\,kg$ દળના બ્લોક પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજનબળ $mg = 15 \times 10 = 150\,N$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. લંબબળ $N_1$ જે ઢળતા સમતલને લંબ લાગે છે.
$3$. તણાવબળ $T = 50\,N$ જે આડી દિશામાં લાગે છે.
$4$. ઘર્ષણબળ $f$ જે ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગે છે.
ઢળતા સમતલને લંબ દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા:
$N_1 = mg \cos(45^{\circ}) + T \sin(45^{\circ})$
$N_1 = 150 \times \frac{1}{\sqrt{2}} + 50 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}}\,N$
ઢળતા સમતલને સમાંતર દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા:
$f + T \cos(45^{\circ}) = mg \sin(45^{\circ})$
$f = 150 \times \frac{1}{\sqrt{2}} - 50 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}}\,N$
સંબંધ $f = \mu N_1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{100}{\sqrt{2}} = \mu \times \frac{200}{\sqrt{2}}$
$\mu = \frac{100}{200} = \frac{1}{2}$

(C) ધારો કે દોરડાની કુલ લંબાઈ $L$ છે અને તેનું કુલ દળ $M$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = M/L$ છે.
લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = 0.25L = L/4$ છે. લટકતા ભાગનું દળ $m = \lambda l = M/4$ છે.
ટેબલ પર રહેલા ભાગની લંબાઈ $L - l = 0.75L = 3L/4$ છે. આ ભાગનું દળ $M' = \lambda(3L/4) = 3M/4$ છે.
દોરડાને નીચે ખેંચતું બળ એ લટકતા ભાગનું વજન છે: $F_g = mg = (M/4)g$.
ગતિનો વિરોધ કરતું સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_s = \mu_s N = \mu_s M' g = \mu_s (3M/4)g$ છે.
સરકવાની શરૂઆત થાય ત્યારે,નીચે ખેંચતું બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોય છે: $(M/4)g = \mu_s (3M/4)g$.
$\mu_s$ માટે ઉકેલતા: $\mu_s = (M/4) / (3M/4) = 1/3 \approx 0.33$.

(A) જીવજંતુ પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે,લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ જે ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ લાગે છે,અને ઘર્ષણ બળ $f$ જે સપાટી પર સ્પર્શકની દિશામાં ઉપરની તરફ લાગે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ના બે ઘટકો પાડતા:
$1$. $mg \cos \alpha$ જે ત્રિજ્યાવર્તી અંદરની તરફ લાગે છે ($N$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં).
$2$. $mg \sin \alpha$ જે સપાટી પર સ્પર્શકની દિશામાં નીચેની તરફ લાગે છે.
જીવજંતુ ખૂબ જ ધીમેથી ચઢતું હોવાથી,તે સંતુલનમાં છે. તેથી:
$N = mg \cos \alpha$
જીવજંતુ લપસી ન જાય તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ ગુરુત્વાકર્ષણના સ્પર્શકીય ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$f = mg \sin \alpha$
આપણે જાણીએ છીએ કે મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{max} = \mu N$ છે.
મહત્તમ ખૂણા $\alpha$ પર,$f = f_{max} = \mu N$ થાય.
$f$ અને $N$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$mg \sin \alpha = \mu (mg \cos \alpha)$
બંને બાજુ $mg \cos \alpha$ વડે ભાગતા:
$\tan \alpha = \mu$
આપેલ છે કે $\mu = 1/3$,તેથી:
$\tan \alpha = 1/3$
તેથી,$\cot \alpha = 1/\tan \alpha = 3$.

(B) ધારો કે કીટક મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે ત્યારે ત્રિજ્યા શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
આ બિંદુએ,સ્પર્શકની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ સાથે સંતુલિત થાય છે.
કીટક પર લાગતા બળો છે: નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ $(mg)$,સપાટીને લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $(N)$,અને સ્પર્શકની દિશામાં ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ $(f)$.
ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટકો લેતા: સ્પર્શકની દિશામાં $mg \sin \theta$ અને સપાટીને લંબ $mg \cos \theta$.
તેથી,$N = mg \cos \theta$.
સીમાંત ઘર્ષણ $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$ છે.
કીટક સંતુલનમાં રહે તે માટે,$f = mg \sin \theta$.
તેથી,$\mu mg \cos \theta = mg \sin \theta$,જે આપે છે $\tan \theta = \mu$.
વાટકાની ભૂમિતિ પરથી,તળિયેથી ઊંચાઈ $h = r - r \cos \theta = r(1 - \cos \theta)$ છે.
$\tan \theta = \mu$ હોવાથી,આપણને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}$ મળે છે.
આ કિંમત $h$ ના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $h = r\left[1 - \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}\right]$ મળે છે.

(A) ઢળતી સપાટી પર બ્લોક પર લાગતા બળોમાં નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin 30^{\circ}$,દોરીમાં ઉપરની તરફ લાગતું તણાવ બળ $T$ અને ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu mg \cos 30^{\circ}$.
અહીં $\mu = 0.8$,$m = 1 \text{ kg}$,$g = 9.8 \text{ m/s}^2$,અને $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
$f_{max} = 0.8 \times 1 \times 9.8 \times \cos 30^{\circ} = 0.8 \times 9.8 \times 0.866 \approx 6.79 \text{ N}$.
નીચેની તરફ લાગતું બળ $F_{down} = mg \sin 30^{\circ} = 1 \times 9.8 \times 0.5 = 4.9 \text{ N}$.
અહીં નીચેની તરફ લાગતું બળ $F_{down} = 4.9 \text{ N}$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} \approx 6.79 \text{ N}$ કરતા ઓછું હોવાથી,બ્લોકને નીચે સરકવાની કોઈ વૃત્તિ નથી.
તેથી,માત્ર સ્થિત ઘર્ષણ બળ જ ગુરુત્વાકર્ષણના નીચેના ઘટકને સંતુલિત કરવા માટે પૂરતું છે,અને દોરીમાં તણાવ $T = 0 \text{ N}$ થશે.

(B) ધારો કે $\lambda$ એ સાંકળની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
ધારો કે ટેબલની ધાર પર લટકતી સાંકળની લંબાઈ $l$ છે.
ટેબલ પર રહેલી સાંકળની લંબાઈ $(L - l)$ છે.
સાંકળને નીચે ખેંચતું બળ એ લટકતા ભાગનું વજન છે: $F_g = l \lambda g$.
ટેબલ પર રહેલી સાંકળ પર લાગતું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ છે: $f_{max} = \mu N = \mu (L - l) \lambda g$.
સાંકળ સીમાંત સંતુલનમાં રહે તે માટે,નીચે તરફનું બળ મહત્તમ ઘર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ:
$l \lambda g = \mu (L - l) \lambda g$
$l = \mu (L - l)$
$l = \mu L - \mu l$
$l(1 + \mu) = \mu L$
$\frac{l}{L} = \frac{\mu}{\mu + 1}$
આમ,સાંકળનો મહત્તમ અંશ જે લટકી શકે તે $\frac{\mu}{\mu + 1}$ છે.

(A) ઢળતા સમતલ પર દળ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = mg \sin \theta - f_r = ma$ છે.
ઘર્ષણ બળ $f_r = \mu N = \mu mg \cos \theta$ હોવાથી,$mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta = ma$ મળે.
$\mu = \mu_0 x$ મૂકતા,પ્રવેગ $a = g(\sin \theta - \mu_0 x \cos \theta)$ થાય.
સંબંધ $a = v \frac{dv}{dx}$ નો ઉપયોગ કરીને,ગતિના સમીકરણનું સંકલન કરતા: $\int_0^v v \, dv = \int_0^x g(\sin \theta - \mu_0 x \cos \theta) \, dx$.
જ્યારે દળ અટકે ત્યારે અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય.
તેથી,$0 = g [x \sin \theta - \frac{\mu_0 x^2}{2} \cos \theta]$.
કૌંસની અંદરના પદને શૂન્ય લેતા: $x \sin \theta = \frac{\mu_0 x^2}{2} \cos \theta$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{2 \sin \theta}{\mu_0 \cos \theta} = \frac{2}{\mu_0} \tan \theta$ મળે છે.

(A) પદાર્થનો પ્રવેગ $a = g(\sin \theta - \mu_0 x \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા અથવા $v dv = a dx$ નું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $\int_0^{v} v dv = \int_0^{x/2} g(\sin \theta - \mu_0 x \cos \theta) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{v^2}{2} = g[\sin \theta \cdot x' - \frac{\mu_0}{2} (x')^2 \cos \theta]$,જ્યાં $x' = x/2$.
$x' = \frac{x}{2} = \frac{1}{\mu_0} \tan \theta$ મૂકતા (કારણ કે મહત્તમ અંતર $x_{max} = \frac{2 \tan \theta}{\mu_0}$):
$\frac{v^2}{2} = g[\sin \theta (\frac{\tan \theta}{\mu_0}) - \frac{\mu_0}{2} (\frac{\tan \theta}{\mu_0})^2 \cos \theta]$.
$\frac{v^2}{2} = g[\frac{\sin \theta \tan \theta}{\mu_0} - \frac{\tan^2 \theta \cos \theta}{2 \mu_0}] = g[\frac{\sin \theta \tan \theta}{\mu_0} - \frac{\sin \theta \tan \theta}{2 \mu_0}] = \frac{g \sin \theta \tan \theta}{2 \mu_0}$.
આમ,$v^2 = \frac{g \sin \theta \tan \theta}{\mu_0}$,તેથી $v = \sqrt{\frac{g \tan \theta \sin \theta}{\mu_0}}$.

(D) ઢાળવાળા સમતલ પર પદાર્થ સંતુલનમાં રહે તે માટે, સમતલની નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું ઘટક સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
ઢાળની નીચેની તરફ લાગતું બળ $F_g = mg \sin \theta$ છે।
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu_s N$ છે, જ્યાં $N = mg \cos \theta$ એ લંબબળ છે।
સંતુલન માટે, શરત $mg \sin \theta \leq \mu_s mg \cos \theta$ છે।
આનું સાદું રૂપ આપતા $\mu_s \geq \tan \theta$ મળે છે।
અહીં ઢાળ $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ હોવાથી, $\mu_s \geq \tan 45^{\circ}$ થાય।
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$, તેથી શરત $\mu_s \geq 1$ બને છે।

(A) ઘર્ષણવાળા ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $a = g \sin \theta - \mu g \cos \theta$.
આપેલ છે: $g = 9.8\, m/s^2$,$\theta = 45^{\circ}$,અને $\mu = 0.5$.
કિંમતો મૂકતા:
$a = 9.8 \sin 45^{\circ} - 0.5 \times 9.8 \cos 45^{\circ}$
કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$a = 9.8 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - 0.5 \times 9.8 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$a = 9.8 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) (1 - 0.5)$
$a = 9.8 \times 0.5 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$a = 4.9 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4.9}{\sqrt{2}}\, m/s^2$.

(B) જ્યારે બ્લોક $A$ ખરબચડા ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકે છે,ત્યારે ઘર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય થાય છે,જે તેની સ્થિતિ ઊર્જાનો કેટલોક ભાગ ઉષ્મા ઊર્જામાં રૂપાંતરિત કરે છે.
પરિણામે,તળિયે બ્લોક $A$ ની ગતિ ઊર્જા તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા કરતા ઓછી હોય છે.
તેની સરખામણીમાં,બ્લોક $B$ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેની સ્થિતિ ઊર્જા સંપૂર્ણપણે ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે (હવાનો અવરોધ અવગણતા).
તેથી,જમીન પર પહોંચતી વખતે બ્લોક $B$ નો અંતિમ વેગ બ્લોક $A$ કરતા વધારે હશે.

(A) કિસ્સો $I$: જ્યારે બ્લોક અચળ વેગથી નીચે સરકે છે,ત્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે. આ કિસ્સામાં,ઘર્ષણ બળ $f$ એ સમતલની સમાંતર ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટકને સંતુલિત કરે છે:
$f = mg \sin \theta$ અને $f = \mu R = \mu mg \cos \theta$
તેથી,$\mu mg \cos \theta = mg \sin \theta$,જે આપે છે $\mu = \tan \theta$ ... $(i)$
કિસ્સો $II$: બ્લોકને $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે. તે સમતલ પર નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ અને ઘર્ષણ બંનેને કારણે $a$ જેટલો પ્રવેગ અનુભવે છે:
$mg \sin \theta + f = ma$
$mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta = ma$
$(i)$ પરથી $\mu = \tan \theta$ મૂકતા:
$mg \sin \theta + (\tan \theta) mg \cos \theta = ma$
$mg \sin \theta + mg \sin \theta = ma$
$2mg \sin \theta = ma \implies a = 2g \sin \theta$ ... $(ii)$
ધારો કે બ્લોક સ્થિર થાય તે પહેલાં $x$ જેટલું અંતર કાપે છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 - u^2 = 2(-a)x$
$-u^2 = -2(2g \sin \theta)x$
$x = \frac{u^2}{4g \sin \theta}$

(B) બ્લોક ઢળતા સમતલ પર સ્થિર છે. આનો અર્થ એ છે કે ઢળતા સમતલની દિશામાં બ્લોક પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
બ્લોક પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ છે,જેને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$1$. ઢળતા સમતલને લંબ ઘટક: $mg \cos \theta$.
$2$. ઢળતા સમતલને સમાંતર ઘટક: $mg \sin \theta$.
ઘટક $mg \sin \theta$ સમતલ પર નીચેની તરફ લાગે છે,જે બ્લોકને નીચે સરકાવવાનો પ્રયત્ન કરે છે. બ્લોક સ્થિર હોવાથી,સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f$ એ આ ઘટકને સંતુલિત કરે છે જેથી ગતિ અટકે.
તેથી,ઘર્ષણ બળ $f = mg \sin \theta$ થાય.

(A) બ્લોકને ઢળતી સપાટી પર ઉપર તરફ ગતિ કરાવવા માટે,લગાડવામાં આવતું બળ $F_1$ એ સપાટી પર નીચે તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટક અને નીચે તરફ લાગતા મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ બંનેને પાર કરવું જોઈએ.
$1$. ઢળતી સપાટી પર નીચે તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin \theta$ છે.
$2$. બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N = mg \cos \theta$ છે.
$3$. સપાટી પર નીચે તરફ લાગતું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$ છે.
$4$. તેથી,બ્લોકને સપાટી પર ઉપર તરફ ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી કુલ બળ $F_1 = mg \sin \theta + f = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ છે.

(C) ધારો કે $L$ લંબાઈની સાંકળનું કુલ દળ $M$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{M}{L}$ છે.
જ્યારે $l$ લંબાઈ ટેબલ પરથી લટકે છે,ત્યારે લટકતા ભાગનું દળ $m_1 = \lambda l = \frac{M}{L} l$ થાય.
ટેબલ પર રહેલા ભાગનું દળ $m_2 = \lambda (L - l) = \frac{M}{L} (L - l)$ થાય.
સાંકળ સંતુલનમાં રહે તે માટે,લટકતા ભાગને કારણે લાગતું અધોગામી બળ એ ટેબલ પર રહેલા ભાગ પર લાગતા મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
અધોગામી બળ $F_g = m_1 g = \frac{M}{L} l g$ છે.
મહત્તમ ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu m_2 g = \mu \frac{M}{L} (L - l) g$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{M}{L} l g = \mu \frac{M}{L} (L - l) g$.
$\mu$ માટે ઉકેલતા: $\mu = \frac{l}{L - l}$.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને $S$ અંતરે અટકે છે,તેથી ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta K = 0 - 0 = 0$ થાય.
તેથી,કુલ કાર્ય $W = \int_{0}^{S} (mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta) dx = 0$.
$\mu = kx$ મૂકતા,આપણને મળે $\int_{0}^{S} (mg \sin \theta - kx mg \cos \theta) dx = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $[mg \sin \theta \cdot x - \frac{1}{2} k mg \cos \theta \cdot x^2]_0^S = 0$.
આ સમીકરણ $mg \sin \theta \cdot S = \frac{1}{2} k mg \cos \theta \cdot S^2$ માં પરિણમે છે.
બંને બાજુ $mg \cos \theta \cdot S$ વડે ભાગતા ($S \neq 0$ ધારીને),આપણને $\tan \theta = \frac{1}{2} k S$ મળે છે.
$S$ માટે ઉકેલતા,આપણને $S = \frac{2 \tan \theta}{k}$ મળે છે.

(D) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે અને ઢાળનો ખૂણો $\theta$ છે.
$1$. પદાર્થને નીચે સરકતો અટકાવવા માટે જરૂરી બળ $(F_1)$:
ઢાળ પર નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણનું ઘટક $mg \sin \theta$ છે. ઘર્ષણ બળ સરકવાની વિરુદ્ધ દિશામાં એટલે કે ઉપરની તરફ લાગે છે,$f = \mu mg \cos \theta$.
તેથી,$F_1 = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$.
$2$. પદાર્થને ઢાળ પર ઉપરની તરફ ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી બળ $(F_2)$:
ગુરુત્વાકર્ષણનું ઘટક નીચેની તરફ લાગે છે અને ઘર્ષણ બળ પણ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં એટલે કે નીચેની તરફ લાગે છે,$f = \mu mg \cos \theta$.
તેથી,$F_2 = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$.
$3$. આપેલી શરત મુજબ: $F_2 = 2 F_1$.
$mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta = 2(mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta)$
$\sin \theta + \mu \cos \theta = 2 \sin \theta - 2 \mu \cos \theta$
$3 \mu \cos \theta = \sin \theta$
$\tan \theta = 3 \mu$
$\theta = \tan^{-1}(3 \mu)$.

(C) ઢળતા સમતલ પર પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = mg \sin \theta - f_k$ છે,જ્યાં $f_k = \mu N = \mu mg \cos \theta$ છે.
$\mu = 0.3x$ હોવાથી,પરિણામી બળ $F_{net} = mg \sin \theta - (0.3x) mg \cos \theta$ થશે.
પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = g \sin \theta - 0.3x g \cos \theta$ છે.
જ્યાં સુધી પ્રવેગ ધન હોય ત્યાં સુધી પદાર્થની ઝડપ વધે છે. જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય થાય ત્યારે ઝડપ મહત્તમ હોય છે.
$a = 0$ લેતા:
$g \sin 37^{\circ} - 0.3x g \cos 37^{\circ} = 0$
આપેલ છે કે $\sin 37^{\circ} = 0.6$ અને $\cos 37^{\circ} = 0.8$:
$10 \times 0.6 - 0.3 \times x \times 10 \times 0.8 = 0$
$6 - 2.4x = 0$
$2.4x = 6$
$x = \frac{6}{2.4} = 2.5 \, m$.

(A) ઢળતી સપાટી પર બ્લોક નીચે સરકવાનું શરૂ કરે તે માટેની શરત વિરામકોણ (angle of repose) $\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\tan \theta = \mu_s$ (સ્થિત ઘર્ષણાંક).
સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s$ માત્ર સંપર્કમાં રહેલી સપાટીઓના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે અને તે બ્લોકના સપાટીના ક્ષેત્રફળથી સ્વતંત્ર છે.
દળ અને સપાટીનો પ્રકાર સમાન રહેતો હોવાથી,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s$ પણ સમાન રહેશે.
તેથી,જે ખૂણે બ્લોક સરકવાનું શરૂ કરે છે તે ખૂણો $30^{\circ}$ જ રહેશે.

(C) ઢાળ પર બ્લોક પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ નીચેની તરફ અને ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $F_{net} = ma$ છે.
$mg \sin 30^o - \mu_k mg \cos 30^o = m \left( \frac{g}{4} \right)$.
બંને બાજુ $mg$ વડે ભાગતા,આપણને $\sin 30^o - \mu_k \cos 30^o = \frac{1}{4}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા $\sin 30^o = \frac{1}{2}$ અને $\cos 30^o = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\frac{1}{2} - \mu_k \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{4}$.
પદોને ગોઠવતા: $\mu_k \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
$\mu_k$ માટે ઉકેલતા: $\mu_k = \frac{1}{4} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.

(B) વિરામ કોણ $\theta$ એ ઢળતી સપાટીનો એવો ખૂણો છે કે જેના પર મૂકવામાં આવેલી વસ્તુ લપસવાની શરૂઆત કરે છે.
આ ખૂણે,સપાટી પર નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું ઘટક મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$mg \sin \theta = \mu_s mg \cos \theta$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\tan \theta = \mu_s$ મળે છે.
અહીં $\mu_s = \frac{3}{4}$ આપેલ છે,તેથી $\tan \theta = 0.75$.
આથી,$\theta = \tan^{-1}(0.75) = 37^o$ થાય.

(A) બ્લોક અને સમતલ વચ્ચેનું સંપર્ક બળ $F_c$ એ લંબબળ $N$ અને ઘર્ષણ બળ $f$ નું પરિણામી બળ છે.
$F_c = \sqrt{N^2 + f^2}$.
ઢળતા સમતલ પર રહેલા બ્લોક માટે,લંબબળ $N = mg \cos \theta$ છે.
જો બ્લોક સંતુલનમાં હોય,તો ઘર્ષણ બળ $f$ એ સમતલની સમાંતર ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટકને સંતુલિત કરે છે,તેથી $f = mg \sin \theta$.
આમ,$F_c = \sqrt{(mg \cos \theta)^2 + (mg \sin \theta)^2} = \sqrt{m^2g^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = mg$.
કારણ કે સંપર્ક બળ $F_c = mg$ એ ખૂણા $\theta$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી જેમ $\theta$ ને $0^o$ થી $90^o$ સુધી વધારવામાં આવે છે તેમ તે અચળ રહે છે.

(B) ધારો કે પાટિયા અને ઉમેરેલા વજનનું કુલ દળ $M_{total} = (M + m)$ છે.
જ્યારે પાટિયું સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે નમેલું હોય,ત્યારે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(M + m)g$ ને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$1$. પાટિયાને લંબ ઘટક: $(M + m)g \cos \theta$,જે લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$2$. પાટિયાને સમાંતર ઘટક: $(M + m)g \sin \theta$,જે પાટિયાને નીચે સરકાવવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
પાટિયું સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ પાટિયાને સમાંતર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
તેથી,$f = (M + m)g \sin \theta$.
પાટિયું સરકવાની અણી પર હોવાથી,ઘર્ષણ બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ છે,$f = \mu N$.
$N = (M + m)g \cos \theta$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$f = \mu (M + m)g \cos \theta$.
$f$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$(M + m)g \sin \theta = \mu (M + m)g \cos \theta$
$\mu = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.
તેથી,ઘર્ષણાંક $\tan \theta$ છે.

(A) ખરબચડા ઢળતા સમતલ પર નીચે તરફ સરકતા બ્લોકનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$a = g \sin \theta - \mu g \cos \theta = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$
આપેલ છે: $u = 0$,$s = 8 \ m$,$t = 2 \ s$,$\theta = 30^{\circ}$,$g = 10 \ m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$8 = 0 \times 2 + \frac{1}{2} \times a \times (2)^2$
$8 = 2a \implies a = 4 \ m/s^2$
હવે,$a$ માટેના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$4 = 10(\sin 30^{\circ} - \mu \cos 30^{\circ})$
$4 = 10(\frac{1}{2} - \mu \frac{\sqrt{3}}{2})$
$4 = 5 - 5\sqrt{3}\mu$
$5\sqrt{3}\mu = 5 - 4 = 1$
$\mu = \frac{1}{5\sqrt{3}}$

(B) લીસા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_1 = g \sin \theta$ છે. '$d$' અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2d}{g \sin \theta}}$ છે.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_2 = g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta$ છે. '$d$' અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \sqrt{\frac{2d}{g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_2 = n t_1$,તેથી $n = \frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{g \sin \theta}{g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta}} = \sqrt{\frac{\sin \theta}{\sin \theta - \mu_k \cos \theta}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $n^2 = \frac{\sin \theta}{\sin \theta - \mu_k \cos \theta}$.
અહીં $\theta = 45^\circ$ હોવાથી,$\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$n^2 = \frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2} - \mu_k (1/\sqrt{2})} = \frac{1}{1 - \mu_k}$.
આથી $1 - \mu_k = \frac{1}{n^2}$,એટલે કે $\mu_k = 1 - \frac{1}{n^2}$.

(A) સ્થિત ઘર્ષણનું મહત્તમ મૂલ્ય જ્યાં સુધી પદાર્થ ગતિ કરતું નથી તેને સીમાંત ઘર્ષણ કહેવામાં આવે છે.
વિરામ કોણ $(\alpha)$ એ સમક્ષિતિજ સાથે ઢળતા સમતલનો એવો ખૂણો છે કે જેના પર મૂકવામાં આવેલ પદાર્થ ગતિની શરૂઆત કરે છે.
સીમાંત સ્થિતિમાં, બળો સંતુલિત હોય છે:
$F = mg \sin \alpha$
$R = mg \cos \alpha$
આ સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{F}{R} = \tan \alpha$
સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s = \frac{F}{R} = \tan \theta$ હોવાથી, જ્યાં $\theta$ એ ઘર્ષણ કોણ છે, આપણને મળે છે:
$\tan \theta = \tan \alpha \implies \theta = \alpha$
આમ, વિરામ કોણ એ ઘર્ષણ કોણ જેટલો જ હોય છે. કારણ એ સીમાંત ઘર્ષણની વિભાવનાને યોગ્ય રીતે સમજાવે છે જેનો ઉપયોગ આ સમાનતા મેળવવા માટે થાય છે.

(A) $Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે. જો પર્વતના રસ્તાઓ સીધા ઉપર જતા હોત,તો ઢોળાવનો ખૂણો $\theta$ ખૂબ મોટો હોત. લપસતા અટકાવવા માટે જરૂરી ઘર્ષણ બળ $f = \mu mg \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $\theta$ વધે છે,તેમ $\cos \theta$ ઘટે છે,જેનાથી ઘર્ષણ બળ ઓછું થાય છે. આ ઓછા ઘર્ષણને કારણે વાહનના પૈડાં લપસી જવાની શક્યતા વધી જાય છે. વધુમાં,સીધા ઢોળાવ પર ચઢવા માટે એન્જિનની ઘણી વધારે શક્તિની જરૂર પડે છે,જે મોટાભાગના વાહનો માટે વ્યવહારુ નથી. તેથી,અસરકારક ઢોળાવ ઘટાડવા માટે રસ્તાઓ વળાંકવાળા બનાવવામાં આવે છે.

(C) ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^{2} = u^{2} - 2as$. મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
તેથી,$0 = u^{2} - 2as$,જે આપણને $s = \frac{u^{2}}{2a}$ આપે છે.
લીસા ઢળતા સમતલ પર પદાર્થ માટે,પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે.
આમ,કાપેલું અંતર $s = \frac{u^{2}}{2g \sin \theta}$ થાય.
અહીં $u$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$s \propto \frac{1}{\sin \theta}$ મળે.
તેથી,$\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{\sin \theta_{2}}{\sin \theta_{1}} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,ગુણોત્તર $x_{1}: x_{2}$ એ $1: \sqrt{3}$ છે.

(B) બોક્સને ખસેડવા માટે,લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F$ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ:
$F = \mu mg \dots (1)$
બોક્સ પલટી ન ખાય તે માટે,આગળની ધાર પર ટોર્ક શૂન્ય અથવા સંતુલિત હોવું જોઈએ. બળ $F$ એ પાયાથી $h = \frac{a}{2} + b$ ઊંચાઈ પર લગાડવામાં આવે છે. પલટી ખાતા અટકાવવા માટે લંબબળ $N$ આગળની ધાર પર સ્થાનાંતરિત થાય છે. આગળની ધાર પર ટોર્ક લેતા:
$F \left( \frac{a}{2} + b \right) = mg \left( \frac{a}{2} \right) \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $F = \mu mg$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\mu mg \left( \frac{a}{2} + b \right) = mg \left( \frac{a}{2} \right)$
$\mu \left( \frac{a}{2} + b \right) = \frac{a}{2}$
આપેલ છે કે $\mu = 0.4 = \frac{2}{5}$,તેથી:
$\frac{2}{5} \left( \frac{a}{2} + b \right) = \frac{a}{2}$
$5$ વડે ગુણતા:
$2 \left( \frac{a}{2} + b \right) = 2.5a$
$a + 2b = 2.5a$
$2b = 1.5a$
$\frac{b}{a} = \frac{1.5}{2} = 0.75$
તેથી,$100 \times \frac{b}{a} = 100 \times 0.75 = 75$.

(D) ઢળતી સપાટી પર સ્થિર રહેલા $m$ દળના બ્લોક પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ વજનબળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$(ii)$ સપાટી દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N$.
$(iii)$ સ્થિત ઘર્ષણબળ $f_{s}$ જે ગતિનો વિરોધ કરે છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,આ બળોનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. વજનબળ $mg$ ના ઘટકો લેતા:
$mg \sin \theta = f_{s}$
$mg \cos \theta = N$
જેમ જેમ $\theta$ વધે છે,તેમ સ્વયં-સમાયોજિત ઘર્ષણબળ $f_{s}$ વધે છે,જ્યાં સુધી $\theta = \theta_{\max}$ પર $f_{s}$ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે,$(f_{s})_{\max} = \mu_{s} N$.
તેથી,$\tan \theta_{\max} = \mu_{s}$.
જ્યારે $\theta$ એ $\theta_{\max}$ કરતા થોડો વધારે થાય,ત્યારે બ્લોક સરકવાનું શરૂ કરે છે.
$\theta_{\max} = 15^{\circ}$ માટે,સ્થિત ઘર્ષણાંક:
$\mu_{s} = \tan 15^{\circ} \approx 0.2679 \approx 0.27$.

(N/A) ઢાળવાળા રસ્તા પર વાહન લપસ્યા વગર પાર્ક કરી શકાય તે માટે,ઢાળની નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું ઘટક અને ઢાળની ઉપરની તરફ લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ સંતુલિત હોવા જોઈએ.
ધારો કે વાહનનું દળ $m$ છે,બેંકિંગનો ખૂણો $\theta$ છે,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s$ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ છે.
ઢાળની નીચેની તરફ લાગતું વજનનું ઘટક $mg \sin \theta$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s, \max} = \mu_s N$ છે,જ્યાં $N$ એ લંબબળ છે.
ઢાળ પર,લંબબળ $N = mg \cos \theta$ હોય છે.
વાહન સ્થિર રહે તે માટેની શરત $mg \sin \theta \leq \mu_s mg \cos \theta$ છે.
બંને બાજુ $mg \cos \theta$ વડે ભાગતા,આપણને $\tan \theta \leq \mu_s$ મળે છે.
આમ,જો $\mu_s \geq \tan \theta$ હોય,તો વાહન ઢાળ પર લપસ્યા વગર પાર્ક કરી શકાય છે.

(D) લીસા ઢળતા સમતલ માટે:
પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $a = g \sin 45^{\circ} = \frac{g}{\sqrt{2}}$.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી $T$ સમયમાં કાપેલું અંતર $d = \frac{1}{2} a T^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{g}{\sqrt{2}} \right) T^2 = \frac{g T^2}{2\sqrt{2}}$.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે:
પરિણામી બળ $F_{net} = mg \sin \theta - f_k = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે.
પ્રવેગ $a' = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે.
$\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $a' = g \left( \frac{1 - \mu}{\sqrt{2}} \right)$.
$pT$ સમયમાં કાપેલું અંતર $d = \frac{1}{2} a' (pT)^2 = \frac{1}{2} g \left( \frac{1 - \mu}{\sqrt{2}} \right) p^2 T^2$ છે.
$d$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{g T^2}{2\sqrt{2}} = \frac{g p^2 T^2 (1 - \mu)}{2\sqrt{2}}$
$1 = p^2 (1 - \mu)$
$1 - \mu = \frac{1}{p^2}$
$\mu = 1 - \frac{1}{p^2} = \frac{p^2 - 1}{p^2}$.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવેલ આકૃતિને ધ્યાનમાં લો.
$(a)$ બોક્સ ઢાળ પર નીચે સરકવાનું શરૂ કરે તે માટે:
$f = mg \sin \theta$
$N = mg \cos \theta$
કારણ કે $\mu = \frac{f}{N}$,તેથી $\mu = \frac{mg \sin \theta}{mg \cos \theta} = \tan \theta$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(\mu)$.
$(b)$ જ્યારે ઢાળનો ખૂણો વધારીને $\alpha > \theta$ કરવામાં આવે,ત્યારે સમતલ પર નીચેની દિશામાં લાગતું પરિણામી બળ $F_1$ એ ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક અને ગતિક ઘર્ષણનો તફાવત છે:
$F_1 = mg \sin \alpha - f_k = mg \sin \alpha - \mu N = mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = mg(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)$.
$(c)$ બોક્સને સ્થિર રાખવા અથવા સમાન ઝડપ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરાવવા માટે,લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F_2$ એ ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક અને ઘર્ષણ બળ (જે હવે નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે) બંનેને દૂર કરવું આવશ્યક છે:
$F_2 = mg \sin \alpha + f_k = mg \sin \alpha + \mu mg \cos \alpha = mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)$.
$(d)$ જ્યારે બોક્સને $a$ પ્રવેગ સાથે સમતલ પર ઉપરની તરફ ગતિ કરાવવાનું હોય,ત્યારે પરિણામી બળ $F_3$ એ પ્રવેગને ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ:
$F_3 = mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha) + ma$.

(N/A) હા,બ્લોક પર સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f$ લાગે છે.
બ્લોક ઢળતા સમતલની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોવાથી,ઘર્ષણ બળ $f = Mg \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. બ્લોક ઢળતા સમતલની સાપેક્ષમાં ગતિમાં ન હોવાથી (સ્થાનાંતર $d = 0$),ઘર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય છે.
કારણ કે કાર્ય શૂન્ય છે અને સપાટીઓ વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ નથી,તેથી ઉર્જાનો કોઈ વ્યય થતો નથી.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક પર લાગતા તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
બ્લોક $B$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને $A$ પર સ્થિર થાય છે,તેથી ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta K = 0 - 0 = 0$ છે.
બ્લોક પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ અને ઘર્ષણ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કાર્ય $(W_g)$ = $mg \sin \theta \times (BC + AC)$.
ઘર્ષણ દ્વારા કાર્ય $(W_f)$ = $-\mu mg \cos \theta \times AC$ (કારણ કે ઘર્ષણ ફક્ત ખરબચડા વિભાગ $CA$ પર જ લાગે છે).
કુલ કાર્ય શૂન્ય લેતા: $W_g + W_f = 0$.
$mg \sin \theta (BC + AC) - \mu mg \cos \theta (AC) = 0$.
આપેલ છે કે $BC = 2AC$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$mg \sin \theta (2AC + AC) = \mu mg \cos \theta (AC)$.
$3mg \sin \theta (AC) = \mu mg \cos \theta (AC)$.
$3 \sin \theta = \mu \cos \theta$.
$\mu = 3 \tan \theta$.
આને $\mu = k \tan \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 3$ મળે છે.

(D) ધારો કે ઢાળ પર કાપેલું અંતર $s$ છે. ઉપર તરફ ગતિ કરતી વખતે પ્રવેગ $a_{up} = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ છે.
$v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,ઉપરની મુસાફરી માટે: $0 - v_{0}^2 = -2 a_{up} s \implies s = \frac{v_{0}^2}{2g(\sin \theta + \mu \cos \theta)}$.
નીચે તરફ ગતિ કરતી વખતે પ્રવેગ $a_{down} = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે.
નીચેની મુસાફરી માટે: $(\frac{v_{0}}{2})^2 - 0 = 2 a_{down} s \implies s = \frac{v_{0}^2}{8g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}$.
$s$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{v_{0}^2}{2g(\sin \theta + \mu \cos \theta)} = \frac{v_{0}^2}{8g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}$.
$4(\sin \theta - \mu \cos \theta) = \sin \theta + \mu \cos \theta \implies 3 \sin \theta = 5 \mu \cos \theta$.
$\mu = \frac{3}{5} \tan 30^{\circ} = \frac{3}{5} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{5} \approx 0.3464$.
આપેલ છે કે $\mu = \frac{I}{1000}$,તેથી $I = 346.4$. નજીકનો પૂર્ણાંક $346$ છે.

(D) ધારો કે જે બિંદુએ જીવજંતુ લપસવાનું શરૂ કરે છે ત્યાં ત્રિજ્યા શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. આ બિંદુએ,સ્પર્શકની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે.
$mg \sin \theta = f_{max} = \mu N$
લંબબળ $N = mg \cos \theta$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$mg \sin \theta = \mu mg \cos \theta$
$\tan \theta = \mu = 0.75 = \frac{3}{4}$
અર્ધગોળાની ભૂમિતિ પરથી,તળિયેથી ઊંચાઈ $h$ નીચે મુજબ મળે છે:
$h = R - R \cos \theta = R(1 - \cos \theta)$
અહીં $\tan \theta = \frac{3}{4}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{4}{5}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$h = 1 \times (1 - \frac{4}{5}) = 1 \times \frac{1}{5} = 0.2\, m$.

(C) આપેલ છે: $\theta=45^{\circ}$, $t_{rough} = 2t_{smooth}$, $u=0$, $s$ બંને માટે સમાન છે.
ઘર્ષણરહિત ઢાળ પર પ્રવેગ: $a_{s} = g \sin \theta$।
ખરબચડા ઢાળ પર પ્રવેગ: $a_{r} = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$।
$s = \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા, $s$ અને $u$ સમાન હોવાથી: $a_{s} t_{s}^2 = a_{r} t_{r}^2$।
$t_{r} = 2t_{s}$ મૂકતા: $g \sin \theta \cdot t_{s}^2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta) \cdot (2t_{s})^2$।
$\sin \theta = 4(\sin \theta - \mu \cos \theta)$।
$4\mu \cos \theta = 3 \sin \theta$।
$\mu = \frac{3}{4} \tan \theta$।
$\theta = 45^{\circ}$ માટે, $\tan 45^{\circ} = 1$, તેથી $\mu = \frac{3}{4} \times 1 = 0.75$।

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ઢળતા સમતલ પર અચળ વેગથી નીચે સરકે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે સમતલની નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું ઘટક,સમતલની ઉપરની તરફ લાગતા ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
ધારો કે $m$ એ દળ છે,$\theta$ એ ઢાળનો ખૂણો છે,અને $\mu$ એ ઘર્ષણાંક છે.
સમતલની નીચેની તરફ લાગતું બળ $mg \sin \theta$ છે.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે $mg \sin \theta = \mu mg \cos \theta$.
તેથી,$\mu = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,$\mu = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) ઢળતી સપાટી પર બ્લોક સ્થિર રહે તે માટેની શરત એ છે કે નમનકોણ $\theta$ એ વિરામકોણ $\alpha$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,જ્યાં $\tan \alpha = \mu$.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર,બ્લોક સરકવાની અણી પર હોય છે,તેથી તે બિંદુએ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ ઘર્ષણાંક જેટલો હોય છે.
$\tan \theta = \frac{dy}{dx} = \mu$
આપેલ છે $y = \frac{x^2}{4}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}$.
$\frac{x}{2} = \mu = 0.5$ લેતા,આપણને $x = 1 \ m$ મળે છે.
હવે,$x = 1 \ m$ પર અનુરૂપ ઊંચાઈ $y$ શોધો:
$y = \frac{x^2}{4} = \frac{(1)^2}{4} = 0.25 \ m$.
કારણ કે $1 \ m = 100 \ cm$,તેથી ઊંચાઈ $0.25 \times 100 = 25 \ cm$ થશે.

(A) લીસા ઢળતા સમતલ માટે:
પ્રવેગ $a_1 = g \sin 30^{\circ} = \frac{g}{2}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$:
$S = \frac{1}{2} \left(\frac{g}{2}\right) T^2 = \frac{g T^2}{4} \quad \dots (i)$
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે:
પ્રવેગ $a_2 = g \sin 30^{\circ} - \mu g \cos 30^{\circ} = g(\sin 30^{\circ} - \mu \cos 30^{\circ}) = g\left(\frac{1}{2} - \mu \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{g}{2}(1 - \sqrt{3}\mu)$ છે.
તે જ અંતર $S$ અને સમય $\alpha T$ માટે:
$S = \frac{1}{2} \left[\frac{g}{2}(1 - \sqrt{3}\mu)\right] (\alpha T)^2 = \frac{g}{4}(1 - \sqrt{3}\mu) \alpha^2 T^2 \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{g T^2}{4} = \frac{g}{4}(1 - \sqrt{3}\mu) \alpha^2 T^2$
$1 = (1 - \sqrt{3}\mu) \alpha^2$
$\frac{1}{\alpha^2} = 1 - \sqrt{3}\mu$
$\sqrt{3}\mu = 1 - \frac{1}{\alpha^2} = \frac{\alpha^2 - 1}{\alpha^2}$
$\mu = \frac{1}{\sqrt{3}} \left(\frac{\alpha^2 - 1}{\alpha^2}\right)$
આપેલ પદ $\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\frac{\alpha^{2}-1}{\alpha^{2}}\right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(C) ધારો કે ઉપર જવાનો સમય $t_a$ અને નીચે આવવાનો સમય $t_d$ છે. આપેલ છે કે $t_a = \frac{1}{2} t_d$,જેનો અર્થ છે કે $t_d = 2 t_a$.
કાપેલું અંતર $s$ સમાન હોવાથી,$s = \frac{1}{2} a_a t_a^2 = \frac{1}{2} a_d t_d^2$.
$t_d = 2 t_a$ મૂકતા,$a_a t_a^2 = a_d (2 t_a)^2$,તેથી $a_a = 4 a_d$.
ઉપર જતી વખતે પ્રવેગ $a_a = g \sin \theta + \mu g \cos \theta = g \sin 30^{\circ} + \mu g \cos 30^{\circ} = \frac{g}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mu g$.
નીચે આવતી વખતે પ્રવેગ $a_d = g \sin \theta - \mu g \cos \theta = g \sin 30^{\circ} - \mu g \cos 30^{\circ} = \frac{g}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \mu g$.
$a_a = 4 a_d$ માં આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{g}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mu g = 4 (\frac{g}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \mu g)$.
$g$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mu = 2 - 2\sqrt{3} \mu$.
$\frac{5\sqrt{3}}{2} \mu = \frac{3}{2} \implies \mu = \frac{3}{5\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{5}$.
$\mu = \frac{\sqrt{3}}{5}$ ની સરખામણી $\frac{\sqrt{x}}{5}$ સાથે કરતા,$x = 3$ મળે છે.

(A) બ્લોક અચળ વેગથી નીચે સરકતો હોવાથી,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
બ્લોક પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(Mg)$,લંબબળ $(N)$ અને ગતિક ઘર્ષણ બળ $(f)$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકો પાડતા:
$N = Mg \cos \theta$ (સમતલને લંબ)
$f = Mg \sin \theta$ (સમતલને સમાંતર)
સંપર્ક બળ $(R)$ એ લંબબળ $(N)$ અને ઘર્ષણ બળ $(f)$ નું પરિણામી બળ છે:
$R = \sqrt{N^2 + f^2}$
$N$ અને $f$ ની કિંમતો મૂકતા:
$R = \sqrt{(Mg \cos \theta)^2 + (Mg \sin \theta)^2}$
$R = \sqrt{M^2g^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$R = \sqrt{M^2g^2(1)}$
$R = Mg$

(C) $1$. $A$ થી $B$ સુધીની ગતિ: બ્લોકને $u$ વેગથી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે જેથી તે બરાબર $B$ સુધી પહોંચે $(v=0)$. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $\frac{1}{2}mu^2 = mgh$. તેથી, $u = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = 10\sqrt{2} \ m/s$.
$2$. ઢળતા સમતલ $AB$ પર પ્રવેગ $a_1 = -g \sin 45^{\circ} = -\frac{10}{\sqrt{2}} \ m/s^2$ છે.
$3$. $v = u + a_1t_1$ નો ઉપયોગ કરતા, $0 = 10\sqrt{2} - \frac{10}{\sqrt{2}}t_1$, જે આપણને $t_1 = 2 \ s$ આપે છે.
$4$. $B$ થી $C$ સુધીની ગતિ: બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u=0)$ શરૂ થાય છે અને ઢળતા સમતલ $BC$ પર નીચે સરકે છે. $BC$ ની લંબાઈ $L = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{10}{0.5} = 20 \ m$ છે.
$5$. $BC$ પર પ્રવેગ $a_2 = g \sin 30^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5 \ m/s^2$ છે.
$6$. $s = ut_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2$ નો ઉપયોગ કરતા, $20 = 0 + \frac{1}{2}(5)t_2^2$, તેથી $t_2^2 = 8$, જેનો અર્થ છે કે $t_2 = 2\sqrt{2} \ s$.
$7$. કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = 2 + 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{2} + 1) \ s$.
$8$. $t(\sqrt{2}+1)$ સાથે સરખાવતા, આપણને $t = 2$ મળે છે.