Transverse Stationary Waves and Sonometer Questions in Hindi

(A) माना ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है और सोनोमीटर के तार की आवृत्ति $f$ है। सोनोमीटर के तार की आवृत्ति उसकी लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $f \propto \frac{1}{l}$।
चूंकि $4$ बीट्स प्रति सेकंड उत्पन्न होते हैं,इसलिए तार की आवृत्ति $(n + 4)$ या $(n - 4)$ होगी।
जैसे-जैसे लंबाई बढ़ती है,आवृत्ति घटती है। इसलिए,$l_1 = 95 \ cm$ के लिए आवृत्ति $(n + 4)$ होगी और $l_2 = 100 \ cm$ के लिए आवृत्ति $(n - 4)$ होगी।
संबंध $f_1 l_1 = f_2 l_2$ का उपयोग करने पर,$(n + 4) \times 95 = (n - 4) \times 100$।
$5$ से विभाजित करने पर,$(n + 4) \times 19 = (n - 4) \times 20$।
$19n + 76 = 20n - 80$।
$n = 76 + 80 = 156 \ Hz$।

(A) माना ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है और सोनोमीटर तार की आवृत्ति $f$ है।
यह दिया गया है कि तार ट्यूनिंग फोर्क के साथ $4$ बीट्स उत्पन्न करता है,इसलिए तार की आवृत्ति $f = n \pm 4$ है।
चूंकि आवृत्ति $f \propto \frac{1}{l}$,इसलिए $f \cdot l = \text{स्थिरांक}$ होता है।
प्रारंभिक लंबाई $l_1 = 50 \ cm$ के लिए,$f_1 = n \pm 4$।
कम की गई लंबाई $l_2 = 49 \ cm$ के लिए,$f_2 = n \pm 4$।
चूंकि $l_2 < l_1$,इसलिए आवृत्ति $f_2 > f_1$ होगी।
अतः,$f_1 = n - 4$ और $f_2 = n + 4$।
संबंध $f_1 l_1 = f_2 l_2$ का उपयोग करने पर:
$(n - 4) \times 50 = (n + 4) \times 49$
$50n - 200 = 49n + 196$
$n = 196 + 200 = 396 \ Hz$.

(C) जब $l$ लंबाई की दोनों सिरों पर बंधी डोरी दो खंडों में कंपन करती है,तो यह दो लूप बनाती है।
प्रत्येक लूप आधी तरंगदैर्ध्य यानी $\frac{\lambda}{2}$ के बराबर होता है।
चूंकि यहाँ दो खंड हैं,इसलिए डोरी की कुल लंबाई $l = 2 \times \frac{\lambda}{2}$ होगी।
अतः,$l = \lambda$।
इस प्रकार,संबंधित तरंग की तरंगदैर्ध्य $l$ है।

(D) तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ स्थिर रहते हैं,इसलिए आवृत्ति लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $n \propto \frac{1}{l}$।
अतः,$\frac{n_2}{n_1} = \frac{l_1}{l_2}$।
दिया गया है $l_1 = 1 \, cm$,$l_2 = \frac{1}{4} \, cm$,और $n_1 = 256 \, Hz$।
मान रखने पर: $n_2 = n_1 \times \frac{l_1}{l_2} = 256 \times \frac{1}{1/4} = 256 \times 4 = 1024 \, Hz$।

(B) डोरी की लंबाई $l = 1 \ m = 100 \ cm$ है। द्रव्यमान $m = 5 \times 10^{-4} \ kg$ है। तनाव $T = 20 \ N$ है।
जब एक डोरी को एक सिरे से $x$ दूरी पर खींचा जाता है,तो यह $p$-वें हार्मोनिक में कंपन करती है ताकि $x = \frac{l}{2p}$ हो।
दिया गया है $x = 25 \ cm$,इसलिए $25 = \frac{100}{2p}$,जिससे $2p = 4$ प्राप्त होता है,अर्थात $p = 2$।
कंपन की आवृत्ति $f = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
यहाँ,$\mu = \frac{m}{l} = \frac{5 \times 10^{-4} \ kg}{1 \ m} = 5 \times 10^{-4} \ kg/m$।
मान रखने पर: $f = \frac{2}{2 \times 1} \sqrt{\frac{20}{5 \times 10^{-4}}} = 1 \times \sqrt{4 \times 10^4} = 200 \ Hz$।

(B) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $l$ और $\mu$ स्थिर हैं,$n \propto \sqrt{T}$,जिसका अर्थ है $T \propto n^2$।
अवकलन करने पर,हमें $\frac{\Delta T}{T} = 2 \frac{\Delta n}{n}$ प्राप्त होता है।
दी गई प्रारंभिक आवृत्ति $n = 500 \, Hz$ और बीट आवृत्ति $\Delta n = 5 \, Hz$ है,इसलिए आवश्यक नई आवृत्ति $n' = 505 \, Hz$ है।
आवृत्ति में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta n}{n} = \frac{5}{500} = 0.01$ या $1 \%$ है।
इसे तनाव संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta n}{n} \times 100) = 2 \times 1 \% = 2 \%$।
अतः,तनाव में $2 \%$ की वृद्धि की जानी चाहिए।

(A) सोनोमीटर के तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $n \propto \sqrt{T}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक तनाव $T_1$ है और प्रारंभिक आवृत्ति $n_1$ है। नया तनाव $T_2 = 4T_1$ और नई आवृत्ति $n_2$ है।
अतः,$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{4T_1}{T_1}} = \sqrt{4} = 2$ है।
इसलिए,मूल आवृत्ति $2$ गुना बढ़ जाएगी।

(C) एक तनी हुई डोरी के कंपन की आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $n$ आवृत्ति है,$L$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $n \propto \sqrt{T}$ है।
यदि आवृत्ति को दो गुना बढ़ाया जाता है,तो नई आवृत्ति $n' = 2n$ होगी।
इसलिए,$\frac{n'}{n} = \frac{\sqrt{T'}}{\sqrt{T}} = 2$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{T'}{T} = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $T' = 4T$।
अतः,तनाव को मूल तनाव का चार गुना करना होगा।

(D) खींचे गए तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि तारों की लंबाई,व्यास और पदार्थ समान हैं,इसलिए सभी तारों के लिए $L$ और $\mu$ स्थिर रहेंगे।
अतः,आवृत्ति तनाव के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है: $n \propto \sqrt{T}$।
तनाव का अनुपात $T_1 : T_2 : T_3 : T_4 = 1 : 4 : 9 : 16$ दिया गया है,इसलिए उनकी मूल आवृत्तियों का अनुपात होगा:
$n_1 : n_2 : n_3 : n_4 = \sqrt{1} : \sqrt{4} : \sqrt{9} : \sqrt{16}$।
वर्गमूल की गणना करने पर,हमें $1 : 2 : 3 : 4$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,सही अनुपात $1 : 2 : 3 : 4$ है।

(C) माना ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $N$ है।
चूंकि कंपन करने वाले तार की आवृत्ति उसकी लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(f \propto 1/l)$,इसलिए $f \cdot l = \text{स्थिरांक}$.
सोनोमीटर तार के लिए,आवृत्ति $f = k/l$ द्वारा दी जाती है।
जब लंबाई $20 \ cm$ होती है,तो आवृत्ति $f_1 = k/20$ होती है। यह ट्यूनिंग फोर्क के साथ प्रति सेकंड $5$ बीट्स उत्पन्न करता है,इसलिए $f_1 = N \pm 5$।
जब लंबाई $21 \ cm$ होती है,तो आवृत्ति $f_2 = k/21$ होती है। चूंकि बीट आवृत्ति समान रहती है,इसलिए $f_2 = N \mp 5$।
जैसे-जैसे लंबाई बढ़ती है,आवृत्ति घटती है। इसलिए,$f_1 = N + 5$ और $f_2 = N - 5$।
अतः,$(N + 5) \cdot 20 = (N - 5) \cdot 21$।
$20N + 100 = 21N - 105$।
$N = 205 \ Hz$।

(A) दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए $n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ हार्मोनिक संख्या है।
$9^{th}$ हार्मोनिक के लिए,$f_9 = \frac{9}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
$7^{th}$ हार्मोनिक के लिए,$f_7 = \frac{7}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
चूंकि $9 > 7$ है,इसलिए $f_9 > f_7$ होगा।
अतः,$9^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $7^{th}$ हार्मोनिक से अधिक है।

(D) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
इससे हम देख सकते हैं कि $n \propto \frac{1}{l} \sqrt{T}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $n$,प्रारंभिक लंबाई $l$ और प्रारंभिक तनाव $T$ है।
दिया गया है: नया तनाव $T' = 4T$ और नई लंबाई $l' = 2l$ है।
नई आवृत्ति $n'$ इस प्रकार है:
$\frac{n'}{n} = \frac{l}{l'} \times \sqrt{\frac{T'}{T}}$
मान रखने पर:
$\frac{n'}{n} = \frac{l}{2l} \times \sqrt{\frac{4T}{T}}$
$\frac{n'}{n} = \frac{1}{2} \times \sqrt{4} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$
अतः,$n' = n$।

(A) $Sonometer$ (सोनोमीटर) एक प्रयोगशाला उपकरण है जिसका उपयोग एक खींची हुई डोरी द्वारा उत्पन्न ध्वनि की आवृत्ति और डोरी के तनाव,लंबाई तथा प्रति इकाई लंबाई के द्रव्यमान के बीच के संबंध की जांच करने के लिए किया जाता है।
यह अनुनाद (resonance) के सिद्धांत पर कार्य करता है,जहाँ कंपन करती डोरी की आवृत्ति को बाहरी ध्वनि स्रोत की आवृत्ति के साथ मिलाया जाता है।

(A) एक तने हुए तार की मूल आवृत्ति $n$ उसकी लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे $n \propto \frac{1}{l}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसका अर्थ है $n_1 l_1 = n_2 l_2$।
दिया गया है: $l_1 = 50 \ cm$,$n_1 = 270 \ Hz$,और $n_2 = 1000 \ Hz$।
हमें $l_2$ ज्ञात करना है।
संबंध $l_2 = l_1 \left( \frac{n_1}{n_2} \right)$ का उपयोग करते हुए,
$l_2 = 50 \times \left( \frac{270}{1000} \right)$,
$l_2 = 50 \times 0.27 = 13.5 \ cm$।

(C) एक तने हुए तार की आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $l$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \sqrt{T}$ होता है।
अतः,$\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
दिया गया है कि $n_1 = n$,$n_2 = 2n$,और $T_1 = 10 \ N$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{n}{2n} = \sqrt{\frac{10}{T_2}}$.
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{10}{T_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{10}{T_2}$.
इस प्रकार,$T_2 = 40 \ N$।

(B) तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $L$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \sqrt{T}$ होता है।
माना प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = 100 \ Hz$ और अंतिम आवृत्ति $n_2 = 400 \ Hz$ है।
अतः,$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{400}{100} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \implies 4 = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{T_2}{T_1} = 4^2 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,तनाव को $16$ गुना बढ़ाना होगा।

(D) तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
इस सूत्र से,हमें प्राप्त होता है $n \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$।
माना प्रारंभिक आवृत्ति $n_1$ है और अंतिम आवृत्ति $n_2 = 2n_1$ है।
माना प्रारंभिक लंबाई $l_1$ है और अंतिम लंबाई $l_2 = \frac{3}{4}l_1$ है।
समानुपातिकता $n \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $\frac{n_2}{n_1} = \frac{\sqrt{T_2}/l_2}{\sqrt{T_1}/l_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \cdot \frac{l_1}{l_2}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $2 = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \cdot \frac{l_1}{(3/4)l_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \cdot \frac{4}{3}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{T_2}{T_1} \cdot \frac{16}{9}$।
अतः,$\frac{T_2}{T_1} = 4 \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{4} = 2.25$।

(A) $l$ लंबाई की डोरी में $p$-वां हार्मोनिक उत्पन्न करने के लिए,डोरी को एक सिरे से $x = \frac{l}{2p}$ की दूरी पर खींचना चाहिए ताकि वहां एक एंटीनोड (प्रस्पंद) बन सके,और अन्य हार्मोनिक्स को दबाने के लिए नोड (निस्पंद) पर छूना चाहिए।
दूसरे हार्मोनिक के लिए,$p = 2$ है।
इसलिए,खींचने का बिंदु एक सिरे से $x = \frac{l}{2 \times 2} = \frac{l}{4}$ की दूरी पर है।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि दूसरा हार्मोनिक मोड बने,डोरी को एक नोड पर छुआ जाना चाहिए। दूसरे हार्मोनिक में,डोरी के केंद्र में एक नोड होता है,जो दोनों सिरों से $\frac{l}{2}$ की दूरी पर है।
अतः,डोरी को $\frac{l}{4}$ पर खींचा जाना चाहिए और $\frac{l}{2}$ पर छुआ जाना चाहिए।

(A) सोनोमीटर के तार की कंपन आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $p$ लूप्स (प्रस्पंद) की संख्या है,$l$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
प्रथम स्थिति में,$p_1 = 5$ और $T_1 = 9g$ है। अतः,$n = \frac{5}{2l} \sqrt{\frac{9g}{\mu}}$।
द्वितीय स्थिति में,$p_2 = 3$ और $T_2 = Mg$ है। अतः,$n = \frac{3}{2l} \sqrt{\frac{Mg}{\mu}}$।
चूंकि ट्यूनिंग फोर्क समान है,इसलिए आवृत्ति $n$ स्थिर रहेगी। दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{5}{2l} \sqrt{\frac{9g}{\mu}} = \frac{3}{2l} \sqrt{\frac{Mg}{\mu}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$25 \times 9g = 9 \times Mg$
$225g = 9Mg$
$M = \frac{225}{9} = 25 \ kg$।

(B) तनी हुई डोरी की आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है,$l$ लंबाई है,और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूँकि $n$ और $\mu$ स्थिर हैं,हमारे पास $n \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$ है,जिसका अर्थ है $l \propto \sqrt{T}$।
दिया गया है कि तनाव $69\%$ बढ़ जाता है,इसलिए नया तनाव $T_2 = T_1 + 0.69 T_1 = 1.69 T_1$ है।
समानुपातिकता $l_2 / l_1 = \sqrt{T_2 / T_1}$ का उपयोग करने पर,हमें $l_2 / l_1 = \sqrt{1.69 T_1 / T_1} = \sqrt{1.69} = 1.3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$l_2 = 1.3 l_1 = l_1 + 0.3 l_1$।
यह लंबाई में $30\%$ की वृद्धि को दर्शाता है।

(B) सोनोमीटर तार के लिए जो अपनी मूल विधा (fundamental mode) में कंपन करता है,आवृत्ति $n$ तार की लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे संबंध $n \propto \frac{1}{l}$ या $nl = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिया गया है:
प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = 250 \ Hz$
प्रारंभिक लंबाई $l_1 = 0.60 \ m$
अंतिम लंबाई $l_2 = 0.40 \ m$
संबंध $n_1 l_1 = n_2 l_2$ का उपयोग करने पर:
$250 \times 0.60 = n_2 \times 0.40$
$n_2 = \frac{250 \times 0.60}{0.40}$
$n_2 = \frac{150}{0.40} = 375 \ Hz$.
अतः,ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $375 \ Hz$ है।

(C) एक तने हुए तार की मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{v}{2L}$ है,जहाँ $v$ तरंग की गति है और $L$ तार की लंबाई है।
चूंकि तार का तनाव और प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान स्थिर रहता है,इसलिए तरंग की गति $v$ स्थिर रहती है।
इसलिए,$f \propto \frac{1}{L}$,जिसका अर्थ है $f_1 L_1 = f_2 L_2$.
दिया गया है: $f_1 = 800 \ Hz$,$L_1 = 50 \ cm$,और $f_2 = 1000 \ Hz$.
मान रखने पर: $800 \times 50 = 1000 \times L_2$.
$L_2 = \frac{800 \times 50}{1000} = 40 \ cm$.
अतः,तार की आवश्यक लंबाई $40 \ cm$ है।

(D) तने हुए तार की आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T}{\pi d^2 \rho}}$ है,जहाँ $d$ व्यास है।
दो तारों के लिए आवृत्तियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2}{l_1} \sqrt{\frac{T_1}{T_2} \times \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2 \times \frac{\rho_2}{\rho_1}}$
दिए गए अनुपात: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{8}{1}$,$\frac{l_1}{l_2} = \frac{36}{35}$,$\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{1}$,$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{2}$.
इन मानों को रखने पर:
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{35}{36} \sqrt{\frac{8}{1} \times \left(\frac{1}{4}\right)^2 \times \frac{2}{1}}$
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{35}{36} \sqrt{8 \times \frac{1}{16} \times 2} = \frac{35}{36} \sqrt{1} = \frac{35}{36}$.
चूंकि $n_1 = 360 \ Hz$ कम आवृत्ति है,इसलिए $n_1 = 360 \ Hz$ और $n_2 = 360 \times \frac{36}{35} = 370 \ Hz$.
बीट आवृत्ति = $|n_2 - n_1| = |370 - 360| = 10 \ Hz$.

(B) दोनों सिरों पर बद्ध एक खींचे हुए तार के लिए,हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $n_k = k \cdot n_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n_1$ मूल आवृत्ति (पहला हार्मोनिक) है और $k = 1, 2, 3, \dots$ है।
पहला ओवरटोन दूसरे हार्मोनिक $(k = 2)$ के अनुरूप होता है।
दिया गया है कि पहला ओवरटोन $n_2 = 320 \ Hz$ है।
चूँकि $n_2 = 2 \cdot n_1$,इसलिए $320 \ Hz = 2 \cdot n_1$ होगा।
अतः,पहला हार्मोनिक $n_1 = \frac{320 \ Hz}{2} = 160 \ Hz$ प्राप्त होता है।

(D) एक तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति का सूत्र है: $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $n \propto \frac{1}{l} \sqrt{T}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = 200 \ Hz$,प्रारंभिक लंबाई $l_1$,और प्रारंभिक तनाव $T_1$ है।
मान लीजिए अंतिम आवृत्ति $n_2$,अंतिम लंबाई $l_2 = \frac{l_1}{4}$,और अंतिम तनाव $T_2 = 4T_1$ है।
समानुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{n_2}{n_1} = \frac{l_1}{l_2} \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{n_2}{200} = \frac{l_1}{l_1/4} \sqrt{\frac{4T_1}{T_1}} = 4 \times \sqrt{4} = 4 \times 2 = 8$.
अतः,$n_2 = 8 \times 200 = 1600 \ Hz$।

(B) एक तने हुए तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि तार समान हैं,इसलिए $\mu$ और $T$ सभी भागों के लिए समान हैं।
अतः,$n \propto \frac{1}{l}$,जिसका अर्थ है $nl = k$ (एक स्थिरांक)।
तीनों तारों के लिए,हमारे पास $n_1 l_1 = n_2 l_2 = n_3 l_3 = k$ है।
इससे $l_1 = \frac{k}{n_1}$,$l_2 = \frac{k}{n_2}$,और $l_3 = \frac{k}{n_3}$ प्राप्त होता है।
संयुक्त तार की कुल लंबाई $l = l_1 + l_2 + l_3$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{k}{n} = \frac{k}{n_1} + \frac{k}{n_2} + \frac{k}{n_3}$ प्राप्त होता है।
$k$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3}$ प्राप्त होता है।

(A) जब एक छड़ को उसके मध्य-बिंदु पर क्लैंप किया जाता है,तो मध्य-बिंदु एक निस्पंद $(N)$ के रूप में और मुक्त सिरे प्रस्पंद $(A)$ के रूप में कार्य करते हैं।
छड़ की लंबाई $l = 100 \ cm = 1 \ m$ है।
कंपन की मूल विधा के लिए,छड़ की लंबाई तरंग दैर्ध्य के आधे के बराबर होती है,अर्थात $l = \frac{\lambda}{2}$,या $\lambda = 2l$।
आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{v}{2l}$ है।
यहाँ $f = 2.53 \ kHz = 2530 \ Hz$ और $l = 1 \ m$ दिया गया है,इसलिए:
$2530 = \frac{v}{2 \times 1}$
$v = 2530 \times 2 = 5060 \ m/s$।
$km/s$ में बदलने पर,हमें $v = 5.06 \ km/s$ प्राप्त होता है।

(D) प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ इस प्रकार है: $\mu = \frac{M}{L} = \frac{2 \times 10^{-4} \ kg}{0.5 \ m} = 4 \times 10^{-4} \ kg/m$.
तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति $n_1$ का सूत्र $n_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
द्वितीय सन्नादी की आवृत्ति $n_2 = 2n_1 = 2 \times \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{1}{L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ होती है।
मान रखने पर: $n_2 = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{20}{4 \times 10^{-4}}} = 2 \times \sqrt{5 \times 10^4} = 2 \times 223.6 = 447.2 \ Hz$.

(D) खींची गई डोरी की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र है: $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$।
चूंकि दी गई डोरी के लिए $l$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए आवृत्ति तनाव के वर्गमूल के समानुपाती होती है: $n \propto \sqrt{T}$।
सप्तक (octave) का अर्थ है मूल आवृत्ति से दोगुनी आवृत्ति,इसलिए $n' = 2n$।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{n'}{n} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = 2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T'}{T} = 4$।
अतः,आवश्यक तनाव $T' = 4T = 4 \times 4 \ kg \ wt = 16 \ kg \ wt$ होगा।

(D) कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र है: $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,जहाँ $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि $\mu = \pi r^2 \rho$ (जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है),इसलिए आवृत्ति $n = \frac{1}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ होती है।
यह दिया गया है कि पदार्थ समान है,इसलिए $\rho$ स्थिर है। चूंकि तनाव $T$ भी समान है,इसलिए $n \propto \frac{1}{lr}$ प्राप्त होता है।
अतः,आवृत्तियों का अनुपात $\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2 r_2}{l_1 r_1}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $l_1 = L$,$l_2 = 2L$,$r_1 = 2r$,और $r_2 = r$.
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{2L \times r}{L \times 2r} = \frac{2Lr}{2Lr} = 1$.

(C) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र है: $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
अतः,$n \propto \sqrt{\frac{T}{r^2 \rho}}$.
मान लीजिए प्रारंभिक मान $T_1 = T$,$r_1 = r$,और $\rho_1 = \rho$ हैं। नए मान $T_2 = 2T$,$r_2 = 2r$,और $\rho_2 = \frac{\rho}{2}$ हैं।
आवृत्तियों का अनुपात:
$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1} \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \cdot \frac{\rho_1}{\rho_2}}$
मान रखने पर:
$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{2T}{T} \cdot \left(\frac{r}{2r}\right)^2 \cdot \frac{\rho}{\rho/2}} = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2} = \sqrt{1} = 1$.
इसलिए,$n_2 = n_1 = n$.

(A) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है। चूंकि $l$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \sqrt{T}$।
प्रारंभ में,तनाव $T_1 = M g = 50.7 \times 10 = 507 \, N$ है।
जब द्रव्यमान को पानी में डुबोया जाता है,तो उत्प्लावन बल $F_B = V \rho_{water} g = 0.0075 \times 1000 \times 10 = 75 \, N$ कार्य करता है।
नया तनाव $T_2 = M g - F_B = 507 - 75 = 432 \, N$ होगा।
अनुपात $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{260}{n_2} = \sqrt{\frac{507}{432}}$ प्राप्त होता है।
$\frac{260}{n_2} = \sqrt{1.1736} \approx 1.0833$।
$n_2 = \frac{260}{1.0833} \approx 240 \, Hz$।

(C) दोनों सिरों पर स्थिर डोरी के लिए,$p$-वें हार्मोनिक के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{2L}{p}$ है,जहाँ $L$ डोरी की लंबाई है और $p$ मोड संख्या है।
दिया गया है: $L = 2 \ m$,$p = 4$,और आवृत्ति $f = 500 \ Hz$ है।
सबसे पहले,तरंगदैर्ध्य की गणना करें: $\lambda = \frac{2 \times 2}{4} = 1 \ m$ है।
तरंग का वेग $v$,$v = f \times \lambda$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $v = 500 \ Hz \times 1 \ m = 500 \ m/s$ है।

(D) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
जहाँ $T$ तनाव है,$l$ लंबाई है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि $\mu = \pi r^2 \rho$ (जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\rho$ पदार्थ का घनत्व है),सूत्र बन जाता है:
$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{1}{2l} \frac{1}{r} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$
इसका अर्थ है $n \propto \frac{\sqrt{T}}{r}$।
दिया गया है कि नई त्रिज्या $r_2 = 2r_1$ और नया तनाव $T_2 = \frac{T_1}{2}$ है,इसलिए नई आवृत्ति $n_2$ और मूल आवृत्ति $n_1$ का अनुपात है:
$\frac{n_2}{n_1} = \frac{r_1}{r_2} \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \frac{r_1}{2r_1} \sqrt{\frac{T_1/2}{T_1}} = \frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$।
अतः,नई आवृत्ति $n_2 = \frac{n}{2\sqrt{2}}$ होगी।

(B) सोनोमीटर तार के लिए,मूल आवृत्ति $n$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$
चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $m$ स्थिर हैं,इसलिए आवृत्ति अनुनाद लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$n \propto \frac{1}{l}$
इसलिए,$n_1 l_1 = n_2 l_2$
दिया गया है:
$n_1 = 256 \ Hz$,$l_1 = 25 \ cm$,$l_2 = 16 \ cm$
मान रखने पर:
$256 \times 25 = n_2 \times 16$
$n_2 = \frac{256 \times 25}{16}$
$n_2 = 16 \times 25 = 400 \ Hz$
अतः,दूसरे ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $400 \ Hz$ है।

(B) अनुनाद की स्थिति में,प्रत्यावर्ती धारा $(n)$ की आवृत्ति कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति के बराबर होती है।
एक खींची हुई डोरी की मूल आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
दिया गया है:
लंबाई $l = 1 \, m$
तनाव $T = 10 \, kg \text{-} wt = 10 \times 9.8 \, N = 98 \, N$
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = 9.8 \, g/m = 9.8 \times 10^{-3} \, kg/m$
मान रखने पर:
$n = \frac{1}{2 \times 1} \sqrt{\frac{98}{9.8 \times 10^{-3}}}$
$n = \frac{1}{2} \sqrt{10000}$
$n = \frac{1}{2} \times 100 = 50 \, Hz$.

(B) एक खींचे हुए तार की मूल (न्यूनतम) आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
दिया गया है: घनत्व $\rho = 9 \times 10^3 \text{ kg/m}^3$,लंबाई $l = 1 \text{ m}$,विस्तार $\Delta l = 4.9 \times 10^{-4} \text{ m}$,और यंग मापांक $Y = 9 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$.
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $m = \frac{M}{l} = \frac{A \cdot l \cdot \rho}{l} = A\rho$.
यंग मापांक से,$Y = \frac{T/A}{\Delta l/l} \implies T = \frac{Y \cdot A \cdot \Delta l}{l}$.
आवृत्ति के सूत्र में $T$ और $m$ का मान रखने पर:
$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Y \cdot A \cdot \Delta l / l}{A \cdot \rho}} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Y \cdot \Delta l}{l \cdot \rho}}$.
मान रखने पर:
$n = \frac{1}{2 \times 1} \sqrt{\frac{9 \times 10^{10} \times 4.9 \times 10^{-4}}{1 \times 9 \times 10^3}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{9 \times 4.9 \times 10^6}{9 \times 10^3}} = \frac{1}{2} \sqrt{4.9 \times 10^3} = \frac{1}{2} \sqrt{4900} = \frac{70}{2} = 35 \text{ Hz}$.

(C) खींचे गए तार की कंपन आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि आवृत्ति $N$ स्थिर रहती है,इसलिए $L \propto \sqrt{T}$,जहाँ $T$ तार में तनाव है।
हवा में,तनाव $T_{air} = V \rho g$ है,जहाँ $V$ पत्थर का आयतन है और $\rho$ इसका घनत्व है।
पानी में डुबोने पर,तनाव $T_{water} = V(\rho - \sigma)g$ हो जाता है,जहाँ $\sigma$ पानी का घनत्व है। $\sigma = 1$ लेने पर,$T_{water} = V(\rho - 1)g$।
अतः,$\frac{L}{l} = \sqrt{\frac{T_{air}}{T_{water}}} = \sqrt{\frac{V \rho g}{V(\rho - 1)g}} = \sqrt{\frac{\rho}{\rho - 1}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{L^2}{l^2} = \frac{\rho}{\rho - 1}$.
$\rho(l^2) = L^2(\rho - 1) \implies \rho l^2 = L^2 \rho - L^2$.
$L^2 = \rho(L^2 - l^2)$.
इसलिए,$\rho = \frac{L^2}{L^2 - l^2}$।

(C) डोरी के कंपन की आवृत्ति $n = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ लूप की संख्या है,$l$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि $n$,$l$ और $m$ स्थिर हैं,हमारे पास $p \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$ है,जिसका अर्थ है $p_1 \sqrt{T_1} = p_2 \sqrt{T_2}$।
यहाँ $p_1 = 4$ और $T_1 = (50 + 15) \,g = 65 \,g$ दिया गया है।
$p_2 = 6$ के लिए,$4 \sqrt{65} = 6 \sqrt{T_2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $16 \times 65 = 36 \times T_2$।
$T_2 = \frac{16 \times 65}{36} = \frac{4 \times 65}{9} \approx 28.89 \,g$।
हटाया जाने वाला वजन $\Delta T = T_1 - T_2 = 65 - 28.89 = 36.11 \,g \approx 36 \,g$ है।
इसे $kg$ में बदलने पर,$36 \,g = 0.036 \,kg \,wt$ प्राप्त होता है।

(A) कंपन करते हुए तार की आवृत्ति $n$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$
जहाँ $p$ कंपन का प्रकार है,$l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,$r$ त्रिज्या है और $\rho$ घनत्व है।
यह देखते हुए कि $l$,$r$,और $T$ स्थिर हैं,आवृत्ति $n$ और घनत्व $\rho$ के बीच का संबंध है:
$n \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$
यह एक व्युत्क्रमानुपाती संबंध को दर्शाता है,जो ग्राफ़ में एक आयताकार हाइपरबोला (rectangular hyperbola) के रूप में दिखाई देता है। जैसे-जैसे $\sqrt{\rho}$ बढ़ता है,$n$ घटता है। अतः,सही ग्राफ एक हाइपरबोला है।

(A) सोनोमीटर तार की आवृत्ति $n$ उसकी लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $n \propto \frac{1}{l}$।
दिया गया है कि ट्यूनिंग फोर्क $95 \, cm$ और $100 \, cm$ लंबाई के साथ $4$ विस्पंद प्रति सेकंड उत्पन्न करता है।
माना ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है।
$l_1 = 95 \, cm$ के लिए,तार की आवृत्ति $n_1 = \frac{k}{95}$ है। चूंकि $l_1 < l_2$,इसलिए $n_1 > n_2$ होगा। अतः,$n_1 = n + 4$।
$l_2 = 100 \, cm$ के लिए,तार की आवृत्ति $n_2 = \frac{k}{100}$ है। अतः,$n_2 = n - 4$।
हमारे पास संबंध है: $(n + 4) \times 95 = (n - 4) \times 100$।
$95n + 380 = 100n - 400$।
$5n = 780$।
$n = 156 \, Hz$।

(C) तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि डोरी के लिए तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \frac{1}{l}$,जिसका अर्थ है $l = \frac{k}{n}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
जब डोरी को $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ लंबाई के तीन खंडों में विभाजित किया जाता है जिनकी मूल आवृत्तियाँ क्रमशः $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ हैं,तो $l_{1} = \frac{k}{n_{1}}$,$l_{2} = \frac{k}{n_{2}}$,और $l_{3} = \frac{k}{n_{3}}$ होता है।
डोरी की कुल लंबाई $l = l_{1} + l_{2} + l_{3}$ है।
आवृत्ति के संदर्भ में लंबाई के मान रखने पर,हमें $\frac{k}{n} = \frac{k}{n_{1}} + \frac{k}{n_{2}} + \frac{k}{n_{3}}$ प्राप्त होता है।
$k$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}} + \frac{1}{n_{3}}$ संबंध प्राप्त होता है।

(C) मूल आवृत्ति (प्रथम हार्मोनिक) $n_1 = 100 \, Hz$ दी गई है।
दो स्थिर बिंदुओं के बीच तनी हुई डोरी में,हार्मोनिक्स $n_k = k \times n_1$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $k$ हार्मोनिक संख्या है $(k = 1, 2, 3, \dots)$।
प्रथम ओवरटोन दूसरा हार्मोनिक होता है $(n_2 = 2n_1)$।
दूसरा ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक होता है $(n_3 = 3n_1)$।
तीसरा ओवरटोन चौथा हार्मोनिक होता है $(n_4 = 4n_1)$।
अतः,तीसरे ओवरटोन की आवृत्ति $n_4 = 4 \times 100 \, Hz = 400 \, Hz$ है।

(D) जब किसी तार को एक सिरे से उसकी लंबाई के $\frac{1}{n}$ भाग पर छेड़ा जाता है,तो $n$वां हार्मोनिक सबसे प्रमुख होता है।
इस मामले में,तार को उसके सिरे से उसकी लंबाई के $\frac{1}{4}$ भाग पर छेड़ा जाता है,जिसका अर्थ है $n = 4$ है।
हालाँकि,प्रश्न सबसे प्रमुख हार्मोनिक के बारे में पूछता है। यदि किसी तार को $\frac{L}{n}$ पर छेड़ा जाता है,तो $n$वां हार्मोनिक अनुपस्थित होता है यदि $n$ हार्मोनिक संख्या का गुणज हो। विशेष रूप से,यदि $\frac{1}{4}$ भाग पर छेड़ा जाए,तो $4$थे हार्मोनिक में छेड़ने के बिंदु पर एक नोड (node) होता है और इसलिए वह अनुपस्थित होता है।
उपस्थित हार्मोनिक्स वे हैं जहाँ छेड़ने का बिंदु एक एंटीनोड (antinode) होता है। $\frac{L}{4}$ पर छेड़े गए तार के लिए,$1$ला,$2$रा,$3$रा,$5$वां,आदि हार्मोनिक्स उपस्थित होते हैं। $2$रा हार्मोनिक निचले हार्मोनिक्स में सबसे प्रमुख है क्योंकि छेड़ने का बिंदु $2$रे हार्मोनिक के एंटीनोड के साथ मेल खाता है (जिसमें $\frac{L}{4}$ और $\frac{3L}{4}$ पर एंटीनोड होते हैं)। इस प्रकार,$2$रा हार्मोनिक सबसे प्रमुख है।

(C) कंपन करती हुई डोरी के लिए,आवृत्ति $n$ और लंबाई $l$ का गुणनफल स्थिर रहता है,अर्थात $n_1 l_1 = n_2 l_2 = n_3 l_3 = \dots = nl = k$ (स्थिरांक)।
चूंकि डोरी की कुल लंबाई उसके खंडों की लंबाई के योग के बराबर होती है,इसलिए $l_1 + l_2 + l_3 + \dots = l$ होता है।
समीकरण में $l_i = \frac{k}{n_i}$ और $l = \frac{k}{n}$ रखने पर,हमें $\frac{k}{n_1} + \frac{k}{n_2} + \frac{k}{n_3} + \dots = \frac{k}{n}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $k$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3} + \dots$ प्राप्त होता है।

(B) जब तार को ठंडा किया जाता है,तो यह संकुचित होने की प्रवृत्ति रखता है,लेकिन चूंकि यह दृढ़ आधारों के बीच बंधा हुआ है,इसलिए तार में तनाव $F$ उत्पन्न होता है।
तापीय विकृति $\alpha \Delta T$ प्रत्यास्थ विकृति $\frac{F}{AY}$ के बराबर होती है।
$\frac{F}{AY} = \alpha \Delta T \implies F = Y A \alpha \Delta T$
अनुप्रस्थ कंपन की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि $\mu = \rho A$,हम $F$ और $\mu$ का मान आवृत्ति के सूत्र में रखते हैं:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y A \alpha \Delta T}{\rho A}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \alpha \Delta T}{\rho}}$
चूंकि $L$ और $\Delta T$ स्थिरांक हैं,इसलिए $f \propto \sqrt{\frac{Y \alpha}{\rho}}$।

(D) सोनोमीटर तार की आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है। चूँकि $f \propto \sqrt{T}$,इसलिए $f \propto \sqrt{Mg}$ है।
जब द्रव्यमान $M$ को पानी में डुबोया जाता है,तो प्रभावी तनाव $T_w = Mg - V\rho_w g$ होता है,जहाँ $V$ द्रव्यमान का आयतन है और $\rho_w$ पानी का घनत्व है। दिया गया है कि $f_w = f/2$,इसलिए:
$\frac{f}{2} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Mg - V\rho_w g}{\mu}} \implies \frac{1}{4} = \frac{Mg - V\rho_w g}{Mg} = 1 - \frac{V\rho_w}{M}$.
अतः,$\frac{V\rho_w}{M} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,जिससे $V = \frac{3M}{4\rho_w}$ प्राप्त होता है।
जब द्रव्यमान को $\rho_L$ घनत्व वाले तरल में डुबोया जाता है,तो आवृत्ति $f_L = f/3$ होती है। प्रभावी तनाव $T_L = Mg - V\rho_L g$ है। इसलिए:
$\frac{f}{3} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Mg - V\rho_L g}{\mu}} \implies \frac{1}{9} = \frac{Mg - V\rho_L g}{Mg} = 1 - \frac{V\rho_L}{M}$.
$V = \frac{3M}{4\rho_w}$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{9} = 1 - \frac{3M}{4\rho_w} \cdot \frac{\rho_L}{M} \implies \frac{3}{4} \cdot \frac{\rho_L}{\rho_w} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
अतः,विशिष्ट गुरुत्व $\frac{\rho_L}{\rho_w} = \frac{8}{9} \cdot \frac{4}{3} = \frac{32}{27}$।

(C) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{v}{2L} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
चूंकि $\mu = A \rho$,इसलिए $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$ होगा।
यंग मापांक $Y = \frac{T/A}{\Delta L/L}$ से,हमें $\frac{T}{A} = Y \times \text{विकृति} = Y \times \frac{\Delta L}{L}$ प्राप्त होता है।
इस मान को आवृत्ति के सूत्र में रखने पर: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \times \text{विकृति}}{\rho}}$.
दिया गया है: $L = 1.5 \ m$,$\text{विकृति} = 1\% = 0.01$,$Y = 2.2 \times 10^{11} \ N/m^2$,$\rho = 7.7 \times 10^3 \ kg/m^3$.
$f = \frac{1}{2 \times 1.5} \sqrt{\frac{2.2 \times 10^{11} \times 0.01}{7.7 \times 10^3}}$.
$f = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2.2 \times 10^9}{7.7}} = \frac{1}{3} \sqrt{0.2857 \times 10^9} \approx 178.2 \ Hz$.

(C) मूल विधा के लिए समीकरण $L = \frac{1}{2f\sqrt{\mu}} \sqrt{T}$ है।
इसे रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = L$ और $x = \sqrt{T}$,ढाल (slope) $m = \frac{1}{2f\sqrt{\mu}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $m = 8.0 \times 10^{-3}$ और $\mu = 1.0 \times 10^{-4} \ kg/m$,इसलिए:
$8.0 \times 10^{-3} = \frac{1}{2f \sqrt{1.0 \times 10^{-4}}} = \frac{1}{2f \times 10^{-2}}$.
$f$ के लिए हल करने पर: $f = \frac{1}{2 \times 10^{-2} \times 8.0 \times 10^{-3}} = \frac{1}{16 \times 10^{-5}} = \frac{10^5}{16} = 6250 \ Hz$.
त्रुटि $\Delta f$ ज्ञात करने के लिए,हम $f = \frac{1}{2m\sqrt{\mu}}$ से सापेक्ष त्रुटि का सूत्र उपयोग करते हैं:
$\frac{\Delta f}{f} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{1}{2} \frac{\Delta \mu}{\mu}$.
दिया गया है $\Delta m = 0.3 \times 10^{-3}$ और $\Delta \mu = 0.1 \times 10^{-4}$:
$\frac{\Delta f}{f} = \frac{0.3 \times 10^{-3}}{8.0 \times 10^{-3}} + \frac{1}{2} \left( \frac{0.1 \times 10^{-4}}{1.0 \times 10^{-4}} \right) = \frac{0.3}{8.0} + \frac{0.1}{2} = 0.0375 + 0.05 = 0.0875$.
$\Delta f = 6250 \times 0.0875 = 546.875 \ Hz \approx 546.9 \ Hz$.
अतः,$f = (6250 \pm 546.9) \ Hz$.