Motion of Charge particle in Electric filed Questions in Hindi

(B) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेशित कण पर कार्य करने वाला स्थिर विद्युत बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,आवेश का परिमाण $e$ है,इसलिए बल $F_e = eE$ है। त्वरण $a_e = \frac{F_e}{m_e} = \frac{eE}{m_e}$ है।
प्रोटॉन के लिए,आवेश का परिमाण भी $e$ है,इसलिए बल $F_p = eE$ है। त्वरण $a_p = \frac{F_p}{m_p} = \frac{eE}{m_p}$ है।
इलेक्ट्रॉन के त्वरण और प्रोटॉन के त्वरण का अनुपात लेने पर:
$\frac{a_e}{a_p} = \frac{eE / m_e}{eE / m_p} = \frac{m_p}{m_e}$.

(C) एकसमान विद्युत क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = qE$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन बल की दिशा में गति कर रहा है,इसलिए $L$ दूरी तय करने में विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = F \times L = qEL$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
अतः,$\frac{1}{2} mv^2 = qEL$ है।
वेग $v$ के लिए हल करने पर,हमें $v^2 = \frac{2qEL}{m}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2qEL}{m}}$।

(A) हम जानते हैं कि इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाला बल $F = ma$ और $F = qE$ है।
इन दोनों को बराबर करने पर,$qE = ma$,जिसका अर्थ है $a = \frac{qE}{m} \quad ...(i)$.
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$,$s = l$,और $v$ अंतिम वेग है:
$v^2 - 0^2 = 2al$
$v^2 = 2al$
$a = \frac{v^2}{2l} \quad ...(ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{qE}{m} = \frac{v^2}{2l}$.
$\frac{q}{m}$ के अनुपात के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\frac{q}{m} = \frac{v^2}{2El}$.

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ में एक आवेश $q$ पर कार्य करने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया आवेश $q = 2e$ और विद्युत क्षेत्र $E$ है,इसलिए बल $F = 2eE$ होगा।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार त्वरण $a = \frac{F}{m_{total}}$ होता है।
दिया गया द्रव्यमान $m_{total} = 4m$ है,इसलिए त्वरण $a = \frac{2eE}{4m}$ होगा।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $a = \frac{eE}{2m}$ प्राप्त होता है।

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ में $e$ आवेश वाले इलेक्ट्रॉन द्वारा अनुभव किया गया बल $F = eE$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,जहाँ $m_e$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $a$ इसका त्वरण है।
बल के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $ma = eE$।
इसलिए,त्वरण $a = \frac{eE}{m_e}$ है।
दिया गया है:
इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
विद्युत क्षेत्र $E = 2.0 \times 10^4 \ NC^{-1}$
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$
मान रखने पर:
$a = \frac{(1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (2.0 \times 10^4 \ NC^{-1})}{9.1 \times 10^{-31} \ kg}$
$a = \frac{3.2 \times 10^{-15}}{9.1 \times 10^{-31}} \ ms^{-2}$
$a \approx 0.3516 \times 10^{16} \ ms^{-2}$
$a \approx 3.52 \times 10^{15} \ ms^{-2}$.

(D) विद्युत क्षेत्र के कारण कण पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है और बल की दिशा में गति करता है,इसलिए $x$ दूरी तय करने में विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = F \cdot x = (qE) \cdot x = qEx$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी कण पर किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा किए गए कार्य के बराबर यानी $qEx$ होगी।

(A) आवेश $q_2$ के वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए,$q_1$ और $q_2$ के बीच का स्थिर-वैद्युत बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{m v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ कक्षीय वेग है।
स्थिर-वैद्युत बल कूलम्ब के नियम के अनुसार $F_e = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{m v^2}{r} = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$.
चूंकि $v = r \omega$,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है,हमारे पास $\frac{m (r \omega)^2}{r} = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ है।
सरल करने पर,$m r \omega^2 = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$,जिससे $\omega^2 = \frac{k q_1 q_2}{m r^3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\omega = \frac{2 \pi}{T}$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है,हमारे पास $\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^2 = \frac{k q_1 q_2}{m r^3}$ है।
$\frac{4 \pi^2}{T^2} = \frac{k q_1 q_2}{m r^3}$.
अतः,$T^2 = \frac{4 \pi^2 m r^3}{k q_1 q_2}$.
वर्गमूल लेने पर,$T = \left[\frac{4 \pi^2 m r^3}{k q_1 q_2}\right]^{\frac{1}{2}}$.

(C) $\text{V विभवांतर के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा } K.E. = eV \text{ द्वारा दी जाती है।}
\text{चूंकि इलेक्ट्रॉन स्थिर अवस्था से शुरू होता है, इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा } \frac{1}{2}mv^2 \text{ है।}
\text{दोनों को बराबर करने पर, हमें } \frac{1}{2}mv^2 = eV \text{ प्राप्त होता है।}
\text{वेग } v \text{ के लिए हल करने पर, } v = \sqrt{\frac{2eV}{m}} \text{ प्राप्त होता है।}
\text{मान रखने पर: } e = 1.6 \times 10^{-19} \,C, m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg, \text{और } V = 1200 \,V.
v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1200}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{3.84 \times 10^{-16}}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{0.42198 \times 10^{15}} = \sqrt{42.198 \times 10^{13}} \approx 2.05 \times 10^{7} \,ms^{-1}.
\text{इस मान को पूर्णांकित करने पर, हमें } v \approx 2.1 \times 10^{7} \,ms^{-1} \text{ प्राप्त होता है।}$

(A) दिया गया है: इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $= m$,आवेश $= e$,दूरी $= h$,विद्युत क्षेत्र $= E$।
विद्युत क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = eE$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m}$ है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ और $S = h$ है:
$h = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m} \right) t^2$।
$t^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$t^2 = \frac{2hm}{eE}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$t = \sqrt{\frac{2hm}{eE}}$।

(C) एक समान विद्युत क्षेत्र में आवेशित कण पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कण का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ है।
चूंकि कण को विरामावस्था से छोड़ा गया है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0$ है। $t$ समय के बाद वेग $v$ समीकरण $v = u + at = 0 + \frac{qE}{m}t = \frac{qEt}{m}$ द्वारा प्राप्त होता है।
कण की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = \frac{1}{2}m\left(\frac{qEt}{m}\right)^2 = \frac{1}{2}m \cdot \frac{q^2 E^2 t^2}{m^2} = \frac{E^2 q^2 t^2}{2m}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \ g = 2 \times 10^{-3} \ kg$.
विद्युत क्षेत्र $E = 300 \ NC^{-1}$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE)_1 = 0$ ($x = 0$ पर).
अंतिम गतिज ऊर्जा $(KE)_2 = 0.12 \ J$ ($x = 0.5 \ m$ पर).
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = F \cdot d = (QE) \cdot d$.
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta KE = KE_2 - KE_1 = 0.12 \ J - 0 \ J = 0.12 \ J$.
दोनों को बराबर करने पर: $Q \times 300 \times 0.5 = 0.12$.
$Q \times 150 = 0.12$.
$Q = \frac{0.12}{150} = 0.0008 \ C$.
$Q = 800 \times 10^{-6} \ C = 800 \ \mu C$.
चूंकि पिंड विद्युत क्षेत्र की दिशा में गति करके गतिज ऊर्जा प्राप्त करता है,इसलिए आवेश $Q$ धनात्मक होना चाहिए।

(C) चूंकि आवेश परिमाण में समान हैं और एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखे गए हैं,इसलिए प्रत्येक आवेश पर कार्य करने वाले बल का परिमाण $F = qE$ है।
चूंकि बल $F$ का परिमाण दोनों आवेशों के लिए समान है,इसलिए $F_{1} = F_{2}$ होगा।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F = ma$ का उपयोग करते हुए,हम $m_{1}a_{1} = m_{2}a_{2}$ लिख सकते हैं।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर त्वरणों का अनुपात $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{m_{1}}{m_{2}} = 0.5$,इसलिए $\frac{m_{2}}{m_{1}} = \frac{1}{0.5} = 2$ होगा।
अतः,उनके त्वरणों का अनुपात $\frac{a_{1}}{a_{2}} = 2$ है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = qEx = \frac{1}{2}mv^2$.
वेग $v$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$v = \sqrt{\frac{2qEx}{m}} = \sqrt{2 \left(\frac{e}{m}\right) Ex}$.
दिए गए मान: $\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11} \text{ C kg}^{-1}$,$E = 1 \times 10^{4} \text{ N C}^{-1}$,और $x = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{2 \times (1.8 \times 10^{11}) \times (1 \times 10^{4}) \times (2 \times 10^{-2})}$
$v = \sqrt{7.2 \times 10^{13}} = \sqrt{72 \times 10^{12}}$
$v \approx 8.485 \times 10^{6} \text{ m s}^{-1} \approx 8.5 \times 10^{6} \text{ m s}^{-1}$.

(B) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में $q$ आवेश वाले कण द्वारा अनुभव किया गया बल $F = qE$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F = ma$ होता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $a$ त्वरण है।
बल के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $ma = qE$ प्राप्त होता है।
अतः,त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ होगा।

(D) दिया गया है: $\alpha$-कण का द्रव्यमान $m = 6.4 \times 10^{-27} \ kg$,आवेश $q = 3.2 \times 10^{-19} \ C$,विद्युत क्षेत्र $E = 1.6 \times 10^{5} \ Vm^{-1}$,और दूरी $s = 2 \times 10^{-2} \ m$ है।
$\alpha$-कण पर लगने वाला बल $F = qE = (3.2 \times 10^{-19}) \times (1.6 \times 10^{5}) = 5.12 \times 10^{-14} \ N$ है।
कण का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{5.12 \times 10^{-14}}{6.4 \times 10^{-27}} = 0.8 \times 10^{13} \ ms^{-2} = 8 \times 10^{12} \ ms^{-2}$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है:
$v^2 = 0 + 2 \times (8 \times 10^{12}) \times (2 \times 10^{-2}) = 32 \times 10^{10}$.
वर्गमूल लेने पर,$v = \sqrt{32 \times 10^{10}} = \sqrt{16 \times 2} \times 10^{5} = 4 \sqrt{2} \times 10^{5} \ ms^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि तेल की बूंद स्थिर है,इसलिए नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल ऊपर की ओर कार्य करने वाले विद्युत बल द्वारा संतुलित होता है।
$qE = mg$
चूंकि दो प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहां $V$ विभवांतर है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है:
$q \left(\frac{V}{d}\right) = mg$
आवेश $q$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$q = \frac{mgd}{V}$
दिए गए मान:
$m = 10^{-6} \,kg$
$g = 10 \,ms^{-2}$
$d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$
$V = 500 \,V$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$q = \frac{10^{-6} \times 10 \times 10^{-3}}{500}$
$q = \frac{10^{-8}}{500} = \frac{10^{-8}}{5 \times 10^2} = 0.2 \times 10^{-10} \,C = 2 \times 10^{-11} \,C$

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.2 \ g = 0.2 \times 10^{-3} \ kg$,आवेश $q = 2 \ C$,विद्युत क्षेत्र $E = 20 \ N \ C^{-1}$,दूरी $d = 20 \ cm = 0.2 \ m$,प्रारंभिक वेग $u = 0$.
कण पर कार्य करने वाला बल $F = qE = 2 \times 20 = 40 \ N$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = F \times d = 40 \ N \times 0.2 \ m = 8 \ J$.
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
अतः,अंतिम गतिज ऊर्जा $K.E. = W = 8 \ J$ होगी।

(A) दिया गया है: ड्यूटेरॉन का द्रव्यमान $m = 3.2 \times 10^{-27} \ kg$,ड्यूटेरॉन का आवेश $q = e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$.
ड्यूटेरॉन को हवा में स्वतंत्र रूप से लटकाने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाले विद्युत बल को नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
बलों को बराबर करने पर: $qE = mg$.
विद्युत क्षेत्र के लिए सूत्र: $E = \frac{mg}{q}$.
मान रखने पर: $E = \frac{3.2 \times 10^{-27} \times 9.8}{1.6 \times 10^{-19}}$.
$E = 2 \times 9.8 \times 10^{-27+19} \ NC^{-1}$.
$E = 19.6 \times 10^{-8} \ NC^{-1}$.

(D) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 0.5 \ g = 0.5 \times 10^{-3} \ kg$
आवेश $q = 10 \ \mu C = 10 \times 10^{-6} \ C$
विद्युत क्षेत्र $E = 8 \ NC^{-1}$
प्रारंभिक वेग $u = 0 \ ms^{-1}$
समय $t = 5 \ s$
कण पर कार्य करने वाला बल $F = qE$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ है।
मान रखने पर:
$a = \frac{10 \times 10^{-6} \times 8}{0.5 \times 10^{-3}} = \frac{80 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}} = 160 \times 10^{-3} = 0.16 \ ms^{-2}$।
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$v = 0 + (0.16 \times 5) = 0.8 \ ms^{-1}$।

(A, B) कॉर्क गेंद का द्रव्यमान,$m=1 \text{ g}=10^{-3} \text{ kg}$.
विद्युत क्षेत्र,$E=(3 \hat{i}+5 \hat{j}) \times 10^5 \text{ NC}^{-1}$.
कोण,$\theta=37^{\circ}$.
विद्युत क्षेत्र $E$ के कारण कॉर्क गेंद पर लगने वाला बल $F=qE$ है।
दिए गए चित्र के अनुसार,सभी बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में वियोजित करने पर:
$T \sin \theta = q E_x \quad \dots (i)$
$T \cos \theta + q E_y = mg \implies T \cos \theta = mg - q E_y \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{q E_x}{mg - q E_y}$
मान रखने पर $(\tan 37^{\circ} = 3/4)$:
$\frac{3}{4} = \frac{q \times 3 \times 10^5}{10^{-3} \times 10 - q \times 5 \times 10^5}$
$\frac{3}{4} = \frac{3q \times 10^5}{10^{-2} - 5q \times 10^5}$
$3(10^{-2} - 5q \times 10^5) = 12q \times 10^5$
$0.03 - 15q \times 10^5 = 12q \times 10^5$
$0.03 = 27q \times 10^5 \implies q = \frac{0.03}{27 \times 10^5} = \frac{1}{9} \times 10^{-7} \approx 1.11 \times 10^{-8} \text{ C}$.
अतः,$q \approx 11 \times 10^{-9} \text{ C}$ या $1.1 \times 10^{-8} \text{ C}$.
समीकरण $(i)$ से:
$T \sin 37^{\circ} = q E_x$
$T \times 0.6 = (1.11 \times 10^{-8}) \times (3 \times 10^5)$
$T \times 0.6 = 3.33 \times 10^{-3}$
$T = \frac{3.33 \times 10^{-3}}{0.6} = 5.55 \times 10^{-3} \text{ N}$.
इसलिए,विकल्प $A$ और $B$ सही हैं।

(D) इलेक्ट्रॉन को $A$ से $B$ की ओर निर्देशित एक समान विद्युत क्षेत्र में प्रक्षेपित किया जाता है। चूंकि इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक रूप से आवेशित होता है,यह विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में,यानी प्लेट $A$ की ओर $F = q_e E$ बल का अनुभव करता है। इलेक्ट्रॉन प्लेट $B$ से न टकराए,इसके लिए उसका अधिकतम ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h_{\max}$ प्लेटों के बीच की दूरी $d = 4 \ cm = 0.04 \ m$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = v \sin 30^{\circ} = \frac{v}{2}$ है।
त्वरण $a = \frac{q_e E}{m_e} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 45.5}{9.1 \times 10^{-31}} = 8 \times 10^{12} \ m \ s^{-2}$ है।
गति के समीकरण $v_y^2 = u_y^2 - 2ah$ का उपयोग करते हुए,अधिकतम ऊंचाई पर $v_y = 0$:
$0 = (\frac{v}{2})^2 - 2ah_{\max} \implies h_{\max} = \frac{v^2}{8a}$.
$h_{\max} = 0.04 \ m$ रखने पर:
$0.04 = \frac{v^2}{8 \times 8 \times 10^{12}}$
$v^2 = 0.04 \times 64 \times 10^{12} = 2.56 \times 10^{12}$
$v = \sqrt{2.56 \times 10^{12}} = 1.6 \times 10^6 \ m \ s^{-1} = 1600 \ km \ s^{-1}$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \text{ g} = 10^{-3} \text{ kg}$, आवेश $q = 20 \mu\text{C} = 20 \times 10^{-6} \text{ C}$, लंबाई $r = 0.9 \text{ m}$, विद्युत क्षेत्र $E = 100 \text{ NC}^{-1}$, और $g = 10 \text{ ms}^{-2}$।
विद्युत क्षेत्र द्वारा आवेश पर लगाया गया बल $F_e = qE = 20 \times 10^{-6} \times 100 = 2 \times 10^{-3} \text{ N}$ (ऊपर की ओर)।
गेंद पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = mg = 10^{-3} \times 10 = 10 \times 10^{-3} \text{ N}$ (नीचे की ओर)।
नीचे की ओर लगने वाला कुल प्रभावी बल $F_{\text{eff}} = F_g - F_e = 10 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3} = 8 \times 10^{-3} \text{ N}$।
प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{\text{eff}} = \frac{F_{\text{eff}}}{m} = \frac{8 \times 10^{-3}}{10^{-3}} = 8 \text{ ms}^{-2}$।
किसी कण के ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए, निम्नतम बिंदु पर न्यूनतम वेग $v = \sqrt{5g_{\text{eff}}r}$ होता है।
मान रखने पर: $v = \sqrt{5 \times 8 \times 0.9} = \sqrt{40 \times 0.9} = \sqrt{36} = 6 \text{ ms}^{-1}$।

(D) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $v$ है। संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = q \vec{E} \Delta t$ है। पहली गेंद के लिए,अंतिम वेग $\vec{v}_1$ का परिमाण $v/2$ है और यह $\vec{v}$ के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर है। संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p}_1 = m_1(\vec{v}_1 - \vec{v})$ को $\vec{v}_1$ के लंबवत होना चाहिए। कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $(v/2)^2 = v^2 + (\Delta p_1/m_1)^2 - 2v(\Delta p_1/m_1)\cos(120^{\circ})$। इसे हल करने पर,$\Delta p_1 = m_1 v \sin(60^{\circ}) = m_1 v \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है। दूसरी गेंद के लिए,वेग $90^{\circ}$ बदल जाता है,इसलिए $\vec{v}_2 \perp \vec{v}$। अतः,$v_2 = v \tan(30^{\circ}) = v/\sqrt{3}$ प्राप्त होता है। अनुपात $\frac{q_2/m_2}{q_1/m_1} = \frac{4}{3}$ है,इसलिए $k_2 = \frac{4}{3} k_1$ है।

(D) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण का त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: $q_p = e$, $m_p = m$. अतः, $a_p = \frac{eE}{m}$.
$\alpha$-कण $(\alpha)$ के लिए: $q_{\alpha} = 2e$, $m_{\alpha} = 4m$. अतः, $a_{\alpha} = \frac{2eE}{4m} = \frac{eE}{2m}$.
चूंकि वे विरामावस्था से शुरू करते हैं, $t$ समय में तय की गई दूरी $s = \frac{1}{2}at^2$ है। दोनों के लिए $s$ समान है, इसलिए $\frac{1}{2}a_p t_p^2 = \frac{1}{2}a_{\alpha} t_{\alpha}^2$.
$\frac{t_p^2}{t_{\alpha}^2} = \frac{a_{\alpha}}{a_p} = \frac{eE/2m}{eE/m} = \frac{1}{2}$.
अतः, प्रोटॉन और $\alpha$-कण द्वारा लिए गए समय का अनुपात $\frac{t_p}{t_{\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(D) माना द्रव्यमान $m_1 = m$ और $m_2 = 3m$ हैं। द्रव्यमानों का अनुपात $m_1 : m_2 = 1 : 3$ है।
आवेश उनके द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती हैं,इसलिए $q_1 : q_2 = 3 : 1$ है। माना $q_1 = 3q$ और $q_2 = q$ है।
जब उन्हें एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखा जाता है,तो प्रत्येक कण पर बल $F = qE$ होता है।
प्रत्येक कण का त्वरण $a = F/m = qE/m$ है।
मान लीजिए कि वे विरामावस्था से शुरू करते हैं,तो समय $t$ के बाद,वेग $v = at = (qE/m)t$ होगा।
गतिज ऊर्जा $K = (1/2)mv^2 = (1/2)m(qEt/m)^2 = (q^2 E^2 t^2) / (2m)$ है।
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $K_1 / K_2 = [(q_1^2) / (2m_1)] / [(q_2^2) / (2m_2)] = (q_1/q_2)^2 * (m_2/m_1)$ है।
मान रखने पर: $K_1 / K_2 = (3/1)^2 * (3/1) = 9 * 3 = 27 / 1$ है।
अतः,अनुपात $27: 1$ है।

(B) प्रारंभ में,मनका स्थिर है,जिसका अर्थ है कि ऊपर की ओर लगने वाला विद्युत बल $F_e = qE$ नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ को संतुलित करता है। अतः,$qE = mg$.
जब विद्युत क्षेत्र को बंद कर दिया जाता है,तो मनके पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण $(mg)$ होता है। मनका $g$ के निरंतर त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करना शुरू कर देगा।
जब विद्युत क्षेत्र को फिर से चालू किया जाता है,तो विद्युत बल $F_e = qE$ फिर से ऊपर की ओर कार्य करता है। चूंकि मनके ने उस समय के दौरान नीचे की ओर कुछ वेग प्राप्त कर लिया है जब क्षेत्र बंद था,इसलिए यह नीचे की ओर गति करना जारी रखेगा और मंदित होगा जब तक कि उसका वेग शून्य न हो जाए।
वेग शून्य होने के बाद,विद्युत बल $F_e$ (जो $mg$ के बराबर है) मनके को ऊपर की ओर त्वरित करेगा जब तक कि वह अपनी मूल स्थिति में वापस न आ जाए।
इसलिए,मनका नीचे की ओर गति करता है और फिर ऊपर की ओर गति करता है।

(D) विद्युत क्षेत्र $E$ ऊपर की ओर कार्य करता है। चूंकि आवेश $q$ ऋणात्मक है,इसलिए बल $F = qE$ नीचे की ओर कार्य करता है। कण का त्वरण $a = \frac{|q|E}{m} = \frac{1 \times 10^{-6} \times 10^3}{2 \times 10^{-3}} = 0.5 \ ms^{-2}$ नीचे की ओर है।
कण के ऊपरी प्लेट से न टकराने के लिए,इसका अधिकतम ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h_{\max}$ प्लेटों के बीच की दूरी $d = 2 \ cm = 0.02 \ m$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin 45^{\circ} = \frac{u}{\sqrt{2}}$ है।
अधिकतम ऊंचाई पर,ऊर्ध्वाधर वेग शून्य हो जाता है। $v_y^2 = u_y^2 - 2ah_{\max}$ का उपयोग करने पर,हमें $0 = (\frac{u}{\sqrt{2}})^2 - 2ah_{\max}$ प्राप्त होता है,इसलिए $h_{\max} = \frac{u^2}{4a}$ है।
$h_{\max} = 0.02 \ m$ और $a = 0.5 \ ms^{-2}$ रखने पर:
$0.02 = \frac{u^2}{4 \times 0.5} = \frac{u^2}{2}$
$u^2 = 0.04 \implies u = 0.2 \ ms^{-1}$।

(B) $E$ विद्युत क्षेत्र में $e$ आवेश वाले इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = eE$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a = \frac{F}{m_e} = \frac{eE}{m_e}$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन को विरामावस्था से छोड़ा जाता है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
$t$ समय में तय की गई दूरी $S$ के लिए गति के समीकरण का उपयोग करने पर:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
$S = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m_e} \right) t^2$
$S = \frac{eEt^2}{2m_e}$.

(D) $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K.E. = eV$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2$ के बराबर होती है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = eV$.
वेग $v$ के लिए हल करने पर: $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$.
दिया गया है: $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$V = 180 \ V$,$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$.
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 180}{9 \times 10^{-31}}}$.
$v = \sqrt{\frac{576 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-31}}} = \sqrt{64 \times 10^{12}} = 8 \times 10^6 \ m/s$.
$km/s$ में बदलने पर: $v = 8000 \ km/s$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \ g = 2 \times 10^{-3} \ kg$,आवेश $q = 6 \ \mu C = 6 \times 10^{-6} \ C$,विभवांतर $V = 60 \ V$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा विद्युत क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है:
$K.E. = qV$
$\frac{1}{2}mv^2 = qV$
$v^2 = \frac{2qV}{m}$
$v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$
मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{2 \times (6 \times 10^{-6} \ C) \times (60 \ V)}{2 \times 10^{-3} \ kg}}$
$v = \sqrt{\frac{720 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-3}}}$
$v = \sqrt{360 \times 10^{-3}} = \sqrt{0.36} = 0.6 \ ms^{-1}$।

(B) विद्युत क्षेत्र एक समान है और धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए $\vec{E} = E \hat{i}$ है।
आवेश $q$ पर लगने वाला विद्युत बल $\vec{F} = q \vec{E} = q E \hat{i}$ है।
चूंकि विद्युत बल एक संरक्षी बल है,इसलिए किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है,न कि तय किए गए पथ पर।
प्रारंभिक स्थिति $P(a, b, 0)$ है और अंतिम स्थिति $S(0, 0, 0)$ है।
विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{S} - \vec{P} = (0 - a) \hat{i} + (0 - b) \hat{j} + (0 - 0) \hat{k} = -a \hat{i} - b \hat{j}$ है।
विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ है।
$W = (q E \hat{i}) \cdot (-a \hat{i} - b \hat{j}) = -q E a (\hat{i} \cdot \hat{i}) - q E b (\hat{i} \cdot \hat{j})$ है।
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,इसलिए $W = -q E a$ प्राप्त होता है।

(D) माना डोरी की लंबाई $L$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K
\Rightarrow qEL = \frac{1}{2}mv^2 - 0
\Rightarrow v^2 = \frac{2qEL}{m}$.
जब डोरी विद्युत क्षेत्र के समानांतर हो जाती है,तो ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (केंद्र की ओर) और विद्युत बल $qE$ (केंद्र से दूर) हैं।
अभिकेंद्री बल का समीकरण:
$T - qE = \frac{mv^2}{L}$.
$v^2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T = qE + \frac{m}{L} \left( \frac{2qEL}{m} \right)
\Rightarrow T = qE + 2qE
\Rightarrow T = 3qE$.

(D) प्रारंभ में,तेल की बूंद संतुलन में है,इसलिए विद्युत बल गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है: $qE = mg$।
यहाँ,$m = 4.8 \times 10^{-13} \,kg$,$q = 2.4 \times 10^{-18} \,C$,और $g = 10 \,m/s^2$ है।
जब प्लेटों की ध्रुवता बदल दी जाती है,तो विद्युत बल $qE$ की दिशा उलट जाती है और यह गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ के साथ नीचे की ओर कार्य करता है।
बूंद पर लगने वाला नया कुल बल $F_{net} = qE + mg$ है।
चूंकि $qE = mg$,इसलिए $F_{net} = mg + mg = 2mg$।
तात्कालिक त्वरण $a$ का मान $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{2mg}{m} = 2g$ है।
$g = 10 \,m/s^2$ रखने पर,हमें $a = 2 \times 10 = 20 \,m/s^2$ प्राप्त होता है।

(D) विद्युत क्षेत्र में कण पर लगने वाला बल $F = qE$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,क्षेत्र की दिशा में कण का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ है।
चूंकि कण को क्षेत्र के लंबवत फेंका गया है,इसलिए क्षेत्र की दिशा में प्रारंभिक वेग $0$ है।
$x$-दिशा में (क्षेत्र के लंबवत) कोई त्वरण नहीं है,इसलिए वेग $v$ स्थिर रहता है। अतः,$t$ समय में तय की गई दूरी $x = vt$ है,जिससे $t = \frac{x}{v}$ प्राप्त होता है।
$y$-दिशा में (क्षेत्र के समानांतर),गति के दूसरे समीकरण $y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u_y = 0$ और $a_y = a = \frac{qE}{m}$ है,हमें मिलता है:
$y = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{x}{v} \right)^2$.
$y = \frac{qE}{2mv^2} x^2$.
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $y = \alpha x^2$ से करने पर,हमें $\alpha = \frac{qE}{2mv^2}$ प्राप्त होता है।

(A) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में $u$ वेग से गति करने वाले और $L$ दूरी तय करने वाले आवेशित कण का विक्षेप $y = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} (\frac{qE}{m}) (\frac{L}{u})^2 = \frac{qEL^2}{2mu^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि संवेग $p = mu$ है, इसलिए $u = p/m$ होगा। इसे प्रतिस्थापित करने पर, $y = \frac{qEL^2}{2m(p/m)^2} = \frac{qEL^2m}{2p^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $E, L$ और $p$ सभी कणों के लिए स्थिर हैं, इसलिए विक्षेप $y \propto qm$ है।
प्रोटॉन $(p)$, ड्यूटेरॉन $(d)$ और $\alpha$-कण $(\alpha)$ के लिए:
आवेश का अनुपात: $q_p : q_d : q_\alpha = 1 : 1 : 2$.
द्रव्यमान का अनुपात: $m_p : m_d : m_\alpha = 1 : 2 : 4$.
अतः, विक्षेप का अनुपात $y_p : y_d : y_\alpha = (q_p m_p) : (q_d m_d) : (q_\alpha m_\alpha) = (1 \times 1) : (1 \times 2) : (2 \times 4) = 1 : 2 : 8$ है।

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,$q = -e$,इसलिए बल $F_e = -eE$ है। त्वरण $a_e = \frac{-eE}{m}$ है।
पॉज़िट्रॉन के लिए,$q = +e$,इसलिए बल $F_p = +eE$ है। त्वरण $a_p = \frac{eE}{m}$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,और चूंकि क्षेत्र की दिशा में प्रारंभिक वेग शून्य है $(u = 0)$:
क्षेत्र की दिशा में इलेक्ट्रॉन का विस्थापन: $y_e = \frac{1}{2} a_e t^2 = -\frac{eE t^2}{2m}$।
क्षेत्र की दिशा में पॉज़िट्रॉन का विस्थापन: $y_p = \frac{1}{2} a_p t^2 = \frac{eE t^2}{2m}$।
क्षेत्र की दिशा में उनके बीच की दूरी $d = |y_p - y_e| = |\frac{eE t^2}{2m} - (-\frac{eE t^2}{2m})| = \frac{eE t^2}{m}$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \ mg = 10 \times 10^{-6} \ kg = 10^{-5} \ kg$,आवेश $q = 2 \ \mu C = 2 \times 10^{-6} \ C$,विभवांतर $V = 160 \ V$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K$
$qV = \frac{1}{2}mv^2 - 0$
$v^2 = \frac{2qV}{m}$
$v^2 = \frac{2 \times (2 \times 10^{-6} \ C) \times 160 \ V}{10^{-5} \ kg}$
$v^2 = \frac{640 \times 10^{-6}}{10^{-5}} = 640 \times 10^{-1} = 64$
$v = \sqrt{64} = 8 \ ms^{-1}$.

(C) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाले कण का त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होते हैं $(u = 0)$,हमें $s = \frac{1}{2}at^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = \sqrt{\frac{2s}{a}} = \sqrt{\frac{2sm}{qE}}$.
समान विस्थापन $s$ के लिए,समय $t$,$\sqrt{\frac{m}{q}}$ के समानुपाती होता है।
मान लीजिए $m_p$ और $q_p$ प्रोटॉन का द्रव्यमान और आवेश हैं,और $m_\alpha$ और $q_\alpha$ अल्फा कण का द्रव्यमान और आवेश हैं।
हम जानते हैं कि $m_\alpha = 4m_p$ और $q_\alpha = 2q_p$.
समय का अनुपात $\frac{t_p}{t_\alpha} = \sqrt{\frac{m_p}{q_p} \cdot \frac{q_\alpha}{m_\alpha}} = \sqrt{\frac{m_p}{q_p} \cdot \frac{2q_p}{4m_p}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(C) घर्षणहीन नत समतल पर ब्लॉक के स्थिर रहने के लिए, नत समतल की दिशा में नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का घटक, समतल के ऊपर की ओर कार्य करने वाले विद्युत बल द्वारा संतुलित होना चाहिए。
$mg \sin \theta = qE$
$E = \frac{mg \sin \theta}{q}$
दिया गया है: $m = 5 \, g = 5 \times 10^{-3} \, kg$, $q = 5 \, \mu C = 5 \times 10^{-6} \, C$, $\theta = 60^{\circ}$, $g = 10 \, m/s^2$.
$E = \frac{5 \times 10^{-3} \times 10 \times \sin(60^{\circ})}{5 \times 10^{-6}}$
$E = \frac{5 \times 10^{-2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{5 \times 10^{-6}}$
$E = 10^4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \, N/C$
अतः, विद्युत क्षेत्र का परिमाण $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 10^4 \, N/C$ है।

(B) प्रोटॉन एक धनावेशित कण है। जब इसे विद्युत क्षेत्र $E$ में रखा जाता है,तो यह विद्युत क्षेत्र की दिशा में एक स्थिर विद्युत बल $F = qE$ का अनुभव करता है।
प्रोटॉन को इस कूलम्ब बल के विरुद्ध ले जाने के लिए,प्रोटॉन पर कार्य करने हेतु एक बाहरी बल का अनुप्रयोग आवश्यक है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र स्वाभाविक रूप से प्रोटॉन को अपनी दिशा में धकेलता है,इसलिए इसे विपरीत दिशा में ले जाने के लिए सिस्टम को ऊर्जा प्रदान करने हेतु एक बाहरी एजेंसी की आवश्यकता होती है।
अतः,इस कार्य को करने के लिए किसी बाहरी स्रोत से ऊर्जा का उपयोग किया जाता है।

(C) दिया गया है: विद्युत क्षेत्र $E = 10^3 \ Vm^{-1}$ ($Y$-अक्ष के अनुदिश),द्रव्यमान $m = 1 \ g = 10^{-3} \ kg$,आवेश $q = 10^{-6} \ C$,प्रारंभिक वेग $u_x = 10 \ ms^{-1}$ ($X$-अक्ष के अनुदिश)।
आवेश पर लगने वाला बल $F = qE = 10^{-6} \times 10^3 = 10^{-3} \ N$ ($Y$-अक्ष के अनुदिश)।
$Y$-अक्ष के अनुदिश त्वरण $a_y = F/m = 10^{-3} / 10^{-3} = 1 \ ms^{-2}$ है।
$X$-अक्ष के अनुदिश वेग स्थिर रहता है क्योंकि उस दिशा में कोई बल नहीं है: $v_x = u_x = 10 \ ms^{-1}$।
$10 \ s$ के बाद $Y$-अक्ष के अनुदिश वेग $v_y = u_y + a_y t = 0 + 1 \times 10 = 10 \ ms^{-1}$ है।
अंतिम चाल $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \ ms^{-1}$ है।

(C) कण $x$-अक्ष के अनुदिश अचर वेग $v$ से गति करता है, इसलिए $x = vt$, जिसका अर्थ है $t = x/v$.
$y$-अक्ष पर, कण एक अचर बल $F = qE$ का अनुभव करता है, जिससे त्वरण $a = qE/m$ प्राप्त होता है।
गति के समीकरण $y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $u_y = 0$ है:
$y = \frac{1}{2} (\frac{qE}{m}) (\frac{x}{v})^2 = (\frac{qE}{2mv^2}) x^2$.
यह समीकरण $y = kx^2$ के रूप में है, जो एक परवलय को दर्शाता है।
अतः, कण का प्रक्षेप पथ परवलयाकार होगा।

(A) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेशित कण का त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण विरामावस्था $(u = 0)$ से शुरू होते हैं, इसलिए $t$ समय के बाद वेग $v = at = \left(\frac{qE}{m}\right)t$ होगा।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W$, गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K$ के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2$.
$v$ का मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2}m\left(\frac{qEt}{m}\right)^2 = \frac{q^2 E^2 t^2}{2m}$.
चूंकि $E$ और $t$ दोनों कणों के लिए समान हैं, इसलिए $W \propto \frac{q^2}{m}$ होगा।
प्रोटॉन के लिए, $q_p = e$ और $m_p = m$। $\alpha$-कण के लिए, $q_\alpha = 2e$ और $m_\alpha = 4m$।
अतः, अनुपात है:
$\frac{W_p}{W_\alpha} = \left(\frac{q_p}{q_\alpha}\right)^2 \left(\frac{m_\alpha}{m_p}\right) = \left(\frac{e}{2e}\right)^2 \left(\frac{4m}{m}\right) = \left(\frac{1}{4}\right) \times 4 = 1: 1$.

(B) कण पर लगने वाला बल $F = qE = qE_0 \sin(\omega t)$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, $ma = qE_0 \sin(\omega t)$, इसलिए $a = \frac{qE_0}{m} \sin(\omega t)$।
वेग $v(t)$ त्वरण का समाकलन है: $v(t) = \int a \, dt = \int \frac{qE_0}{m} \sin(\omega t) \, dt = -\frac{qE_0}{m\omega} \cos(\omega t) + C$।
चूंकि कण $t = 0$ पर विरामावस्था से शुरू होता है, $v(0) = 0$, जिससे $C = \frac{qE_0}{m\omega}$ प्राप्त होता है।
अतः, $v(t) = \frac{qE_0}{m\omega} (1 - \cos(\omega t))$।
अधिकतम चाल तब प्राप्त होती है जब $\cos(\omega t) = -1$ हो, इसलिए $v_{\max} = \frac{2qE_0}{m\omega}$।
मान रखने पर: $q = 1 \text{ C}$, $E_0 = 2 \text{ N/C}$, $m = 1 \text{ g} = 10^{-3} \text{ kg}$, और $\omega = 1000 \text{ rad/s}$।
$v_{\max} = \frac{2 \times 1 \times 2}{10^{-3} \times 1000} = \frac{4}{1} = 4 \text{ m/s}$।

(B) प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ है।
$e$ आवेश वाले इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = eE = \frac{eV}{d}$ है।
अनुप्रस्थ दिशा ($y$-अक्ष) में इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a_y = \frac{F}{m} = \frac{eV}{md}$ है।
स्थिर क्षैतिज वेग $v_0$ के साथ $L$ अक्षीय दूरी तय करने में लगा समय $t = \frac{L}{v_0}$ है।
समय $t$ के बाद प्राप्त अनुप्रस्थ वेग $v_y = a_y t = \left(\frac{eV}{md}\right) \left(\frac{L}{v_0}\right) = \frac{eVL}{mdv_0}$ है।
क्षैतिज वेग $v_x = v_0$ स्थिर रहता है।
प्लेटों के साथ किरण द्वारा बनाया गया कोण $\theta$, $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $\tan \theta = \frac{eVL / mdv_0}{v_0} = \frac{eVL}{mdv_0^2}$ प्राप्त होता है।
अतः, $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{eVL}{mdv_0^2}\right)$।

(D) कण $X$-अक्ष के अनुदिश $u$ के स्थिर वेग से गति करता है, इसलिए $x = ut$, जिसका अर्थ है $t = x/u$।
$Y$-अक्ष के अनुदिश, कण पर बल $F = eE$ है, इसलिए त्वरण $a_y = \frac{eE}{m}$ है।
$Y$-अक्ष के अनुदिश विस्थापन $y = \frac{1}{2} a_y t^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m} \right) \left( \frac{x}{u} \right)^2 = \left( \frac{eE}{2mu^2} \right) x^2$ है।
यह $x^2 = 4ay$ के रूप वाले परवलय का समीकरण है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 = \left( \frac{2mu^2}{eE} \right) y$।
इसे मानक रूप $x^2 = 4ay$ के साथ तुलना करने पर, हमें $4a = \frac{2mu^2}{eE}$ प्राप्त होता है।
अतः, फोकस दूरी $a = \frac{2mu^2}{4eE} = \frac{mu^2}{2eE}$ है।

(A) दिया गया है: कण का द्रव्यमान $= M$, आवेश $= q$, विद्युत क्षेत्र $= E$, प्रारंभिक वेग $u = 0$.
त्वरण $a = F/M = qE/M$.
तय की गई दूरी $S = ut + (1/2)at^2 = (1/2)(qE/M)t^2$.
अंतिम वेग $v = u + at = (qE/M)t$.
गतिज ऊर्जा $T = (1/2)Mv^2 = (1/2)M(qEt/M)^2 = (1/2)(q^2E^2t^2/M)$.
अब, अनुपात $T/S = [(1/2)(q^2E^2t^2/M)] / [(1/2)(qE/M)t^2] = qE$.
चूंकि $q$ और $E$ स्थिर हैं, इसलिए अनुपात $T/S = qE$ समय $t$ से स्वतंत्र है और स्थिर रहता है।