Real Numbers and their Decimal Expansions Questions in Gujarati

(N/A) ધારો કે $x = 0.142857142857...$ (સમીકરણ $1$).
અહીં $6$ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી સમીકરણ $1$ ની બંને બાજુએ $10^6 = 1,000,000$ વડે ગુણતા:
$1,000,000x = 142857.142857142857...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$1,000,000x - x = 142857.142857... - 0.142857...$
$999,999x = 142857$.
$x = \frac{142857}{999999}$.
અંશ અને છેદને $142857$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{1}{7}$.
આમ,$0.\overline{142857} = \frac{1}{7}$.

(N/A) ધારો કે $x = 0.\overline{076923}$.
આને $x = 0.076923076923...$ તરીકે લખી શકાય (સમીકરણ $1$).
અહીં $6$ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે, તેથી બંને બાજુ $10^6 = 1,000,000$ વડે ગુણતા:
$1,000,000x = 76923.076923076923...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$1,000,000x - x = 76923.076923... - 0.076923...$
$999,999x = 76923$.
$x = \frac{76923}{999999}$.
અંશ અને છેદને $76923$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{76923 \div 76923}{999999 \div 76923} = \frac{1}{13}$.
આમ, $0.\overline{076923} = \frac{1}{13}$ સાબિત થાય છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $2.64444$ ને દર્શાવવા માટે,આપણે ક્રમિક વિવર્ધન (successive magnification) ની પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. $2.64444$ એ $2$ અને $3$ ની વચ્ચે આવેલું હોવાથી,આપણે $2$ અને $3$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ અને $2.6$ તથા $2.7$ ને શોધીએ છીએ.
$2$. હવે,$2.64444$ એ $2.6$ અને $2.7$ ની વચ્ચે છે. આપણે આ વિસ્તારને મોટો કરીએ છીએ અને $2.64$ તથા $2.65$ ને શોધવા માટે તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ.
$3$. ત્યારબાદ,$2.64444$ એ $2.64$ અને $2.65$ ની વચ્ચે છે. આપણે આ વિસ્તારને મોટો કરીએ છીએ અને $2.644$ તથા $2.645$ ને શોધવા માટે તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ.
$4$. આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,$2.64444$ એ $2.644$ અને $2.645$ ની વચ્ચે છે. આપણે $2.6444$ અને $2.6445$ ને શોધવા માટે આ વિસ્તારને મોટો કરીએ છીએ.
$5$. અંતે,આપણે સંખ્યા રેખા પર $2.64444$ બિંદુને શોધવા માટે $2.6444$ અને $2.6445$ વચ્ચેના વિસ્તારને મોટો કરીએ છીએ.

(N/A) પગલું $1$: સંખ્યા રેખા પર $2.3$ અને $2.4$ શોધો. $2.3$ અને $2.4$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો. પ્રથમ નિશાન $2.31$ દર્શાવે છે,બીજું $2.32$ અને આ રીતે આગળ વધો.
પગલું $2$: સંખ્યા રેખા પર $2.36$ અને $2.37$ શોધો. $2.36$ અને $2.37$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો.
પગલું $3$: $2.36$ અને $2.37$ ની વચ્ચેનું $5$મું નિશાન $2.365$ દર્શાવે છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર ક્રમિક વિવર્ધનનો ઉપયોગ કરીને $-4.126$ ને દર્શાવવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
$1$. $-4.126$ એ $-4$ અને $-5$ ની વચ્ચે આવેલી હોવાથી,આપણે $-4$ અને $-5$ વચ્ચેના ભાગને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ અને $-4.1$ તથા $-4.2$ ને શોધીએ છીએ.
$2$. હવે,$-4.126$ એ $-4.1$ અને $-4.2$ ની વચ્ચે આવે છે. આપણે આ ભાગને મોટો (magnify) કરીએ છીએ અને તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $-4.12$ અને $-4.13$ ને શોધીએ છીએ.
$3$. અંતે,$-4.126$ એ $-4.12$ અને $-4.13$ ની વચ્ચે આવે છે. આપણે આ ભાગને ફરીથી મોટો કરીએ છીએ અને તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $-4.126$ ને દર્શાવતું બિંદુ ચોકસાઈપૂર્વક મેળવીએ છીએ.

$3.\overline{42}$ ને $4$ દશાંશ સ્થળ સુધી દર્શાવવા માટે, આપણે સંખ્યા રેખા પર $3.4242$ ને શોધવાની જરૂર છે.
પગલું $1$: $3.4242$ એ $3$ અને $4$ ની વચ્ચે આવેલી છે। અંતરાલ $[3, 4]$ ને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો અને અંતરાલ $[3.4, 3.5]$ ને મોટું કરો.
પગલું $2$: $3.4242$ એ $3.4$ અને $3.5$ ની વચ્ચે આવેલી છે। અંતરાલ $[3.4, 3.5]$ ને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો અને અંતરાલ $[3.42, 3.43]$ ને મોટું કરો.
પગલું $3$: $3.4242$ એ $3.42$ અને $3.43$ ની વચ્ચે આવેલી છે। અંતરાલ $[3.42, 3.43]$ ને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો અને અંતરાલ $[3.424, 3.425]$ ને મોટું કરો.
પગલું $4$: $3.4242$ એ $3.424$ અને $3.425$ ની વચ્ચે આવેલી છે। અંતરાલ $[3.424, 3.425]$ ને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો। બિંદુ $3.4242$ એ $3.424$ પછીનું $2$જું નિશાન છે।

(D) ક્રમિક વિવર્ધનનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યા રેખા પર $5.4949$ દર્શાવવા માટે:
$1$. $5$ અને $6$ ની વચ્ચે $5.4949$ શોધો. $5.4$ અને $5.5$ મેળવવા માટે અંતરાલને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો.
$2$. $5.4$ અને $5.5$ વચ્ચેના અંતરાલને મોટું કરો. $5.49$ અને $5.50$ શોધવા માટે તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો.
$3$. $5.49$ અને $5.50$ વચ્ચેના અંતરાલને મોટું કરો. $5.494$ અને $5.495$ શોધવા માટે તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો.
$4$. $5.494$ અને $5.495$ વચ્ચેના અંતરાલને મોટું કરો. તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો. બિંદુ $5.4949$ એ $5.494$ અને $5.495$ ની વચ્ચે,ખાસ કરીને $9$ મા પેટા-વિભાગ પર આવેલું છે.

(A) ધારો કે $x = 0.\overline{3} = 0.333\dots$ (સમીકરણ $1$).
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 3.333\dots$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$10x - x = 3.333\dots - 0.333\dots$
$9x = 3$
$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
આમ,$0.\overline{3} = \frac{1}{3}$ થાય.

(B) ધારો કે $x = 4.185185185...$ (સમીકરણ $1$)
અહીં $3$ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી $1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 4185.185185...$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 4185.185185... - 4.185185...$
$999x = 4181$
$x = \frac{4181}{999}$
આને મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$x = 4 + \frac{185}{999}$
અપૂર્ણાંક $\frac{185}{999}$ ને $37$ વડે ભાગતા:
$185 \div 37 = 5$
$999 \div 37 = 27$
તેથી,$x = 4 \frac{5}{27}$.

(C) ધારો કે $x = 0.3\overline{6} = 0.3666...$ (સમીકરણ $1$)
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા: $10x = 3.666...$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને $100$ વડે ગુણતા: $100x = 36.666...$ (સમીકરણ $3$)
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$100x - 10x = 36.666... - 3.666...$
$90x = 33$
$x = \frac{33}{90}$
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{11}{30}$

(D) $7$ અને $8$ ની વચ્ચેની સંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પની કિંમત ચકાસીએ:
$A) \frac{33}{5} = 6.6$ (આ $7$ કરતા નાની છે)
$B) \frac{51}{6} = 8.5$ (આ $8$ કરતા મોટી છે)
$C) \frac{60}{7} \approx 8.57$ (આ $8$ કરતા મોટી છે)
$D) \frac{61}{8} = 7.625$ (કારણ કે $7 < 7.625 < 8$,તેથી આ $7$ અને $8$ ની વચ્ચેની સાચી સંમેય સંખ્યા છે).

(B) સંમેય સંખ્યા $-\frac{11}{4}$ નું દશાંશ નિરૂપણ નક્કી કરવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$11 \div 4 = 2.75$.
ભાગાકાર કરવાથી દશાંશ ચિહ્ન પછી અંકોની સંખ્યા મર્યાદિત હોવાથી,આ દશાંશ નિરૂપણ સાંત છે.
તેથી,$-\frac{11}{4} = -2.75$,જે એક સાંત દશાંશ છે.

(N/A) કોઈ સંખ્યા $x$ નું વર્ગમૂળ એવી કિંમત છે કે જેનો પોતાની સાથે ગુણાકાર કરવાથી $x$ મળે.
કારણ કે $11 \times 11 = 121$ અને $(-11) \times (-11) = 121$ થાય છે,તેથી $121$ નું વર્ગમૂળ $11$ અથવા $-11$ છે.

(B) $\frac{2}{3}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે, આપણે $2$ ને $3$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ.
જ્યારે આપણે $2$ ને $3$ વડે ભાગીએ છીએ, ત્યારે આપણને $0.666...$ મળે છે, જેને $0.\overline{6}$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં શેષ ક્યારેય $0$ થતી નથી અને અંક $6$ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થાય છે, તેથી આ દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત પ્રકારનું છે.

(TERMINATING) $\frac{47}{50}$ ના દશાંશ નિરૂપણનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે પહેલા અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપીએ અથવા છેદ તપાસીએ.
આપેલ અપૂર્ણાંક: $\frac{47}{50}$.
છેદ $50 = 2^1 \times 5^2$ છે.
જેহেতু છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તેથી દશાંશ નિરૂપણ શાંત (terminating) છે.
ગણતરી: $\frac{47}{50} = \frac{47 \times 2}{50 \times 2} = \frac{94}{100} = 0.94$.
તેથી,દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.

(A) ધારો કે $x = 3.\overline{5} = 3.555...$ (સમીકરણ $1$).
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 35.555...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$10x - x = 35.555... - 3.555...$
$9x = 32$.
તેથી, $x = \frac{32}{9}$.

(B) ધારો કે $x = 0.272727...$ (સમીકરણ $1$)
અહીં બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે, તેથી બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 27.272727...$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$100x - x = 27.272727... - 0.272727...$
$99x = 27$
$x = \frac{27}{99}$
અંશ અને છેદને $9$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{3}{11}$

(B) $\frac{1}{7}$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ નક્કી કરવા માટે,આપણે $1$ ને $7$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ.
$1$ ને $7$ વડે ભાગતા $0.142857142857...$ મળે છે.
અહીં શેષ ક્યારેય $0$ થતી નથી અને અંકોની શ્રેણી $142857$ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી આ દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત આવૃત છે.

(A) જો કોઈ સંખ્યાને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$,તો તે સંખ્યાને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
કોઈપણ પુનરાવર્તિત દશાંશ સંખ્યા એ સંમેય સંખ્યા હોય છે.
ધારો કે $x = 0.3\overline{7} = 0.3777...$
$10$ વડે ગુણતા: $10x = 3.777...$
$100$ વડે ગુણતા: $100x = 37.777...$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $100x - 10x = 37.777... - 3.777...$
$90x = 34$
$x = 34/90 = 17/45$.
આમ,$0.3\overline{7}$ ને $17/45$ તરીકે દર્શાવી શકાતી હોવાથી,તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) આપેલી સંખ્યા $3.8232323 \ldots$ છે.
અહીં,દશાંશ ચિહ્ન પછી $23$ અંકનું પુનરાવર્તન થાય છે.
તેથી,આપણે આ પુનરાવર્તિત દશાંશને પુનરાવર્તિત અંકો પર બાર $( \overline{ } )$ મૂકીને દર્શાવી શકીએ છીએ.
આમ,તેનું ટૂંકું સ્વરૂપ $3.8 \overline{23}$ છે.