અ Gujarati
Real Numbers and their Decimal Expansions Questions in Gujarati
Class 9 Mathematics · Number Systems · Real Numbers and their Decimal Expansions
70+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 70 questions in Gujarati
1
Medium
$\frac{10}{3}$,$\frac{7}{8}$ અને $\frac{1}{7}$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ શોધો.
Solution
(N/A) $\frac{10}{3} = 3.333... = 3.\overline{3}$ માટે,શેષ હંમેશા $1$ રહે છે,જેનું પુનરાવર્તન થાય છે. ભાજક $3$ છે.
$\frac{7}{8} = 0.875$ માટે,નિશ્ચિત સંખ્યાના પગલાં પછી શેષ $0$ થઈ જાય છે. ભાજક $8$ છે.
$\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ માટે,શેષ $3, 2, 6, 4, 5, 1$ છે જેનું પુનરાવર્તન થાય છે. ભાજક $7$ છે.
અવલોકનો:
$(i)$ શેષ કાં તો અમુક તબક્કા પછી $0$ થઈ જાય છે,અથવા તેનું પુનરાવર્તન શરૂ થાય છે.
$(ii)$ શેષની પુનરાવર્તિત શ્રેણીમાં રહેલી સંખ્યાઓ ભાજક કરતાં ઓછી હોય છે.
$(iii)$ જો શેષનું પુનરાવર્તન થાય,તો ભાગફળમાં અંકોનો એક પુનરાવર્તિત બ્લોક મળે છે.
$\frac{7}{8} = 0.875$ માટે,નિશ્ચિત સંખ્યાના પગલાં પછી શેષ $0$ થઈ જાય છે. ભાજક $8$ છે.
$\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ માટે,શેષ $3, 2, 6, 4, 5, 1$ છે જેનું પુનરાવર્તન થાય છે. ભાજક $7$ છે.
અવલોકનો:
$(i)$ શેષ કાં તો અમુક તબક્કા પછી $0$ થઈ જાય છે,અથવા તેનું પુનરાવર્તન શરૂ થાય છે.
$(ii)$ શેષની પુનરાવર્તિત શ્રેણીમાં રહેલી સંખ્યાઓ ભાજક કરતાં ઓછી હોય છે.
$(iii)$ જો શેષનું પુનરાવર્તન થાય,તો ભાગફળમાં અંકોનો એક પુનરાવર્તિત બ્લોક મળે છે.
0 likes
View Solution2
Easy
દર્શાવો કે $3.142678$ એ સંમેય સંખ્યા છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,$3.142678$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \ne 0$.
Solution
(N/A) જો કોઈ સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક હોય અને $q \ne 0$ હોય,તો તે સંખ્યાને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
આપેલ સંખ્યા $3.142678$ માં દશાંશ ચિહ્ન દૂર કરવા માટે આપણે તેને $10$ ની યોગ્ય ઘાત વડે ભાગીશું.
દશાંશ ચિહ્ન પછી $6$ અંકો હોવાથી,આપણે તેને $1,000,000$ વડે ગુણી અને ભાગીશું.
$3.142678 = \frac{3142678}{1000000}$.
આ અપૂર્ણાંકને તેના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.),જે $2$ છે,તેના વડે ભાગીને સાદું રૂપ આપી શકાય છે.
$\frac{3142678 \div 2}{1000000 \div 2} = \frac{1571339}{500000}$.
અહીં $1571339$ અને $500000$ પૂર્ણાંકો છે અને $500000 \ne 0$ હોવાથી,$3.142678$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
આપેલ સંખ્યા $3.142678$ માં દશાંશ ચિહ્ન દૂર કરવા માટે આપણે તેને $10$ ની યોગ્ય ઘાત વડે ભાગીશું.
દશાંશ ચિહ્ન પછી $6$ અંકો હોવાથી,આપણે તેને $1,000,000$ વડે ગુણી અને ભાગીશું.
$3.142678 = \frac{3142678}{1000000}$.
આ અપૂર્ણાંકને તેના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.),જે $2$ છે,તેના વડે ભાગીને સાદું રૂપ આપી શકાય છે.
$\frac{3142678 \div 2}{1000000 \div 2} = \frac{1571339}{500000}$.
અહીં $1571339$ અને $500000$ પૂર્ણાંકો છે અને $500000 \ne 0$ હોવાથી,$3.142678$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
0 likes
View Solution3
Medium
દર્શાવો કે $0.3333... = 0.\overline{3}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \ne 0$.
Solution
(N/A) ધારો કે $x = 0.3333...$ (સમીકરણ $1$).
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 3.3333...$ (સમીકરણ $2$).
કારણ કે $x = 0.3333...$,આપણે $10x = 3 + 0.3333... = 3 + x$ લખી શકીએ.
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા:
$10x - x = 3$
$9x = 3$
$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
આમ,$0.\overline{3}$ ને $\frac{1}{3}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p = 1$ અને $q = 3$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \ne 0$.
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 3.3333...$ (સમીકરણ $2$).
કારણ કે $x = 0.3333...$,આપણે $10x = 3 + 0.3333... = 3 + x$ લખી શકીએ.
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા:
$10x - x = 3$
$9x = 3$
$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
આમ,$0.\overline{3}$ ને $\frac{1}{3}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p = 1$ અને $q = 3$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \ne 0$.
0 likes
View Solution4
Medium
દર્શાવો કે $1.272727 \ldots = 1.\overline{27}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
Solution
(C) ધારો કે $x = 1.272727 \ldots$
અહીં બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી આપણે $x$ ને $100$ વડે ગુણીએ:
$100x = 127.2727 \ldots$
આને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$100x = 126 + 1.272727 \ldots$
કારણ કે $x = 1.272727 \ldots$,તેથી સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા:
$100x = 126 + x$
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા:
$100x - x = 126$
$99x = 126$
$x = \frac{126}{99}$
અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $9$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{14}{11}$
આમ,$1.\overline{27} = \frac{14}{11}$,જ્યાં $p = 14$ અને $q = 11$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
અહીં બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી આપણે $x$ ને $100$ વડે ગુણીએ:
$100x = 127.2727 \ldots$
આને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$100x = 126 + 1.272727 \ldots$
કારણ કે $x = 1.272727 \ldots$,તેથી સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા:
$100x = 126 + x$
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા:
$100x - x = 126$
$99x = 126$
$x = \frac{126}{99}$
અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $9$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{14}{11}$
આમ,$1.\overline{27} = \frac{14}{11}$,જ્યાં $p = 14$ અને $q = 11$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
0 likes
View Solution5
Medium
દર્શાવો કે $0.2353535 \ldots = 0.2 \overline{35}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
Solution
(N/A) ધારો કે $x = 0.2 \overline{35}$.
અહીં,અંક $2$ નું પુનરાવર્તન થતું નથી,પરંતુ $35$ બ્લોકનું પુનરાવર્તન થાય છે.
બે અંકોનું પુનરાવર્તન થતું હોવાથી,આપણે $x$ ને $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$100x = 23.53535 \ldots$
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$100x = 23.3 + 0.23535 \ldots$
કારણ કે $x = 0.23535 \ldots$,આપણે સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકીએ છીએ:
$100x = 23.3 + x$
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા:
$99x = 23.3$
દશાંશને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$99x = \frac{233}{10}$
$99$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{233}{990}$
આમ,$0.2 \overline{35} = \frac{233}{990}$.
અહીં,અંક $2$ નું પુનરાવર્તન થતું નથી,પરંતુ $35$ બ્લોકનું પુનરાવર્તન થાય છે.
બે અંકોનું પુનરાવર્તન થતું હોવાથી,આપણે $x$ ને $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$100x = 23.53535 \ldots$
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$100x = 23.3 + 0.23535 \ldots$
કારણ કે $x = 0.23535 \ldots$,આપણે સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકીએ છીએ:
$100x = 23.3 + x$
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા:
$99x = 23.3$
દશાંશને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$99x = \frac{233}{10}$
$99$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{233}{990}$
આમ,$0.2 \overline{35} = \frac{233}{990}$.
0 likes
View Solution6
Medium
નીચેનાને દશાંશ સ્વરૂપમાં લખો અને જણાવો કે દરેકનો દશાંશ પ્રકાર કેવો છે:
$(i)$ $\frac{36}{100}$
$(ii)$ $\frac{1}{11}$
$(iii)$ $4 \frac{1}{8}$
$(iv)$ $\frac{3}{13}$
$(v)$ $\frac{2}{11}$
$(vi)$ $\frac{329}{400}$
$(i)$ $\frac{36}{100}$
$(ii)$ $\frac{1}{11}$
$(iii)$ $4 \frac{1}{8}$
$(iv)$ $\frac{3}{13}$
$(v)$ $\frac{2}{11}$
$(vi)$ $\frac{329}{400}$
Solution
(N/A) $(i)$ $\frac{36}{100} = 0.36$. આ શાંત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
$(ii)$ $\frac{1}{11} = 0.090909 \ldots = 0.\overline{09}$. આ અનંત આવૃત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
$(iii)$ $4 \frac{1}{8} = \frac{33}{8} = 4.125$. આ શાંત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
$(iv)$ $\frac{3}{13} = 0.230769230769 \ldots = 0.\overline{230769}$. આ અનંત આવૃત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
$(v)$ $\frac{2}{11} = 0.18181818 \ldots = 0.\overline{18}$. આ અનંત આવૃત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
$(vi)$ $\frac{329}{400} = 0.8225$. આ શાંત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
$(ii)$ $\frac{1}{11} = 0.090909 \ldots = 0.\overline{09}$. આ અનંત આવૃત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
$(iii)$ $4 \frac{1}{8} = \frac{33}{8} = 4.125$. આ શાંત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
$(iv)$ $\frac{3}{13} = 0.230769230769 \ldots = 0.\overline{230769}$. આ અનંત આવૃત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
$(v)$ $\frac{2}{11} = 0.18181818 \ldots = 0.\overline{18}$. આ અનંત આવૃત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
$(vi)$ $\frac{329}{400} = 0.8225$. આ શાંત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
0 likes
View Solution7
Easy
તમે જાણો છો કે $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ છે. શું તમે ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર $\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ શું હશે તેનું અનુમાન કરી શકો છો? જો હા,તો કેવી રીતે?
Solution
(N/A) આપણને આપેલ છે કે $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ છે.
ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર આપેલ અપૂર્ણાંકોની દશાંશ અભિવ્યક્તિ શોધવા માટે,આપણે $\frac{1}{7}$ ના મૂલ્યને તેના સંબંધિત અંશ સાથે ગુણીશું:
$\frac{2}{7} = 2 \times \frac{1}{7} = 2 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{285714}$
$\frac{3}{7} = 3 \times \frac{1}{7} = 3 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{428571}$
$\frac{4}{7} = 4 \times \frac{1}{7} = 4 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{571428}$
$\frac{5}{7} = 5 \times \frac{1}{7} = 5 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{714285}$
$\frac{6}{7} = 6 \times \frac{1}{7} = 6 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{857142}$
આમ,$\frac{1}{7}$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિને સંબંધિત અંશ સાથે ગુણીને,આપણે ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર આ સંમેય સંખ્યાઓની દશાંશ અભિવ્યક્તિ નક્કી કરી શકીએ છીએ.
ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર આપેલ અપૂર્ણાંકોની દશાંશ અભિવ્યક્તિ શોધવા માટે,આપણે $\frac{1}{7}$ ના મૂલ્યને તેના સંબંધિત અંશ સાથે ગુણીશું:
$\frac{2}{7} = 2 \times \frac{1}{7} = 2 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{285714}$
$\frac{3}{7} = 3 \times \frac{1}{7} = 3 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{428571}$
$\frac{4}{7} = 4 \times \frac{1}{7} = 4 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{571428}$
$\frac{5}{7} = 5 \times \frac{1}{7} = 5 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{714285}$
$\frac{6}{7} = 6 \times \frac{1}{7} = 6 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{857142}$
આમ,$\frac{1}{7}$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિને સંબંધિત અંશ સાથે ગુણીને,આપણે ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર આ સંમેય સંખ્યાઓની દશાંશ અભિવ્યક્તિ નક્કી કરી શકીએ છીએ.
0 likes
View Solution8
Medium
નીચેની સંખ્યાઓને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \ne 0$.
$(i)$ $0.\overline{6}$
$(ii)$ $0.4\overline{7}$
$(iii)$ $0.\overline{001}$
$(i)$ $0.\overline{6}$
$(ii)$ $0.4\overline{7}$
$(iii)$ $0.\overline{001}$
Solution
(N/A) $(i)$ ધારો કે $x = 0.\overline{6} = 0.6666\ldots$
અહીં એક અંકનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 6.6666\ldots$
$10x$ માંથી $x$ બાદ કરતા:
$10x - x = 6.6666\ldots - 0.6666\ldots$
$9x = 6$
$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
આમ,$0.\overline{6} = \frac{2}{3}$.
$(ii)$ ધારો કે $x = 0.4\overline{7} = 0.4777\ldots$
$10$ વડે ગુણતા:
$10x = 4.777\ldots$ $(1)$
$100$ વડે ગુણતા:
$100x = 47.777\ldots$ $(2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$100x - 10x = 47.777\ldots - 4.777\ldots$
$90x = 43$
$x = \frac{43}{90}$
આમ,$0.4\overline{7} = \frac{43}{90}$.
$(iii)$ ધારો કે $x = 0.\overline{001} = 0.001001\ldots$ $(1)$
અહીં ત્રણ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી $1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 1.001001\ldots$ $(2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 1.001001\ldots - 0.001001\ldots$
$999x = 1$
$x = \frac{1}{999}$
આમ,$0.\overline{001} = \frac{1}{999}$.
અહીં એક અંકનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 6.6666\ldots$
$10x$ માંથી $x$ બાદ કરતા:
$10x - x = 6.6666\ldots - 0.6666\ldots$
$9x = 6$
$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
આમ,$0.\overline{6} = \frac{2}{3}$.
$(ii)$ ધારો કે $x = 0.4\overline{7} = 0.4777\ldots$
$10$ વડે ગુણતા:
$10x = 4.777\ldots$ $(1)$
$100$ વડે ગુણતા:
$100x = 47.777\ldots$ $(2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$100x - 10x = 47.777\ldots - 4.777\ldots$
$90x = 43$
$x = \frac{43}{90}$
આમ,$0.4\overline{7} = \frac{43}{90}$.
$(iii)$ ધારો કે $x = 0.\overline{001} = 0.001001\ldots$ $(1)$
અહીં ત્રણ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી $1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 1.001001\ldots$ $(2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 1.001001\ldots - 0.001001\ldots$
$999x = 1$
$x = \frac{1}{999}$
આમ,$0.\overline{001} = \frac{1}{999}$.
0 likes
View Solution9
Medium
$0.99999 \ldots$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો. શું તમે તમારા જવાબથી આશ્ચર્યચકિત છો? તમારા શિક્ષક અને સહપાઠીઓ સાથે ચર્ચા કરો કે આ જવાબ શા માટે તાર્કિક છે.
Solution
(A) ધારો કે $x = 0.9999 \ldots$ $(1)$
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$10x = 9.9999 \ldots$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$10x - x = (9.9999 \ldots) - (0.9999 \ldots)$
$9x = 9$
$x = \frac{9}{9} = 1$
આમ,$0.9999 \ldots = 1$.
જેમ કે $0.9999 \ldots$ અનંત સુધી ચાલે છે,તેથી $1$ અને $0.9999 \ldots$ ની વચ્ચે કોઈ તફાવત નથી. તેથી,બંને સમાન છે.
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$10x = 9.9999 \ldots$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$10x - x = (9.9999 \ldots) - (0.9999 \ldots)$
$9x = 9$
$x = \frac{9}{9} = 1$
આમ,$0.9999 \ldots = 1$.
જેમ કે $0.9999 \ldots$ અનંત સુધી ચાલે છે,તેથી $1$ અને $0.9999 \ldots$ ની વચ્ચે કોઈ તફાવત નથી. તેથી,બંને સમાન છે.
0 likes
View Solution10
MediumMCQ
$\frac{1}{17}$ ના દશાંશ નિરૂપણમાં પુનરાવર્તિત અંકોના બ્લોકમાં મહત્તમ કેટલા અંકો હોઈ શકે?
A
$16$
B
$17$
C
$15$
D
$18$
Solution
(A) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ ના દશાંશ નિરૂપણમાં,પુનરાવર્તિત અંકોના બ્લોકમાં રહેલા અંકોની સંખ્યા હંમેશા ભાજક $q$ કરતા ઓછી હોય છે.
અહીં અપૂર્ણાંક $\frac{1}{17}$ માં,ભાજક $17$ છે.
તેથી,પુનરાવર્તિત બ્લોકમાં અંકોની મહત્તમ સંખ્યા $17 - 1 = 16$ હોઈ શકે.
ભાગાકારની લાંબી રીત દ્વારા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{17} = 0.\overline{0588235294117647}$
આમ,$\frac{1}{17}$ ના દશાંશ નિરૂપણમાં પુનરાવર્તિત બ્લોકમાં $16$ અંકો છે.
અહીં અપૂર્ણાંક $\frac{1}{17}$ માં,ભાજક $17$ છે.
તેથી,પુનરાવર્તિત બ્લોકમાં અંકોની મહત્તમ સંખ્યા $17 - 1 = 16$ હોઈ શકે.
ભાગાકારની લાંબી રીત દ્વારા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{17} = 0.\overline{0588235294117647}$
આમ,$\frac{1}{17}$ ના દશાંશ નિરૂપણમાં પુનરાવર્તિત બ્લોકમાં $16$ અંકો છે.
0 likes
View Solution11
Difficult
$\frac{p}{q}$ $(q \neq 0)$ સ્વરૂપની સંમેય સંખ્યાઓના કેટલાક ઉદાહરણો જુઓ,જ્યાં $p$ અને $q$ એવા પૂર્ણાંકો છે કે જેનો $1$ સિવાય કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી અને જેનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે. શું તમે અનુમાન લગાવી શકો છો કે $q$ એ કયો ગુણધર્મ સંતોષવો જોઈએ?
Solution
(N/A) ચાલો નીચેની શાંત દશાંશ સંમેય સંખ્યાઓના દશાંશ નિરૂપણને તપાસીએ:
$\frac{3}{2} = \frac{3 \times 5}{2 \times 5} = \frac{15}{10} = 1.5$ [છેદ $= 2 = 2^1$]
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10} = 0.2$ [છેદ $= 5 = 5^1$]
$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 125}{8 \times 125} = \frac{875}{1000} = 0.875$ [છેદ $= 8 = 2^3$]
$\frac{8}{125} = \frac{8 \times 8}{125 \times 8} = \frac{64}{1000} = 0.064$ [છેદ $= 125 = 5^3$]
$\frac{13}{20} = \frac{13 \times 5}{20 \times 5} = \frac{65}{100} = 0.65$ [છેદ $= 20 = 2^2 \times 5^1$]
$\frac{17}{16} = \frac{17 \times 625}{16 \times 625} = \frac{10625}{10000} = 1.0625$ [છેદ $= 16 = 2^4$]
આપણે અવલોકન કરીએ છીએ કે $q$ (એટલે કે છેદ) ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં માત્ર $2$ ની ઘાત,$5$ ની ઘાત અથવા બંનેની ઘાત હોય છે. આમ,$q$ એ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવો જોઈએ,જ્યાં $n$ અને $m$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
$\frac{3}{2} = \frac{3 \times 5}{2 \times 5} = \frac{15}{10} = 1.5$ [છેદ $= 2 = 2^1$]
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10} = 0.2$ [છેદ $= 5 = 5^1$]
$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 125}{8 \times 125} = \frac{875}{1000} = 0.875$ [છેદ $= 8 = 2^3$]
$\frac{8}{125} = \frac{8 \times 8}{125 \times 8} = \frac{64}{1000} = 0.064$ [છેદ $= 125 = 5^3$]
$\frac{13}{20} = \frac{13 \times 5}{20 \times 5} = \frac{65}{100} = 0.65$ [છેદ $= 20 = 2^2 \times 5^1$]
$\frac{17}{16} = \frac{17 \times 625}{16 \times 625} = \frac{10625}{10000} = 1.0625$ [છેદ $= 16 = 2^4$]
આપણે અવલોકન કરીએ છીએ કે $q$ (એટલે કે છેદ) ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં માત્ર $2$ ની ઘાત,$5$ ની ઘાત અથવા બંનેની ઘાત હોય છે. આમ,$q$ એ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવો જોઈએ,જ્યાં $n$ અને $m$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
0 likes
View Solution12
Medium
સંખ્યા રેખા પર $5$ દશાંશ સ્થળ સુધી,એટલે કે $5.37777$ સુધી $5.3\overline{7}$ નું નિરૂપણ દર્શાવો.
Solution
(N/A) સંખ્યા રેખા પર $5$ દશાંશ સ્થળ સુધી $5.3\overline{7}$ નું નિરૂપણ દર્શાવવા માટે,આપણે ક્રમિક વિવર્ધન (successive magnification) ની પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. આપણે જાણીએ છીએ કે $5.3\overline{7}$ એ $5$ અને $6$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે $5$ અને $6$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ અને $5.3$ તથા $5.4$ ને શોધીએ છીએ. $5.3\overline{7}$ એ $5.3$ અને $5.4$ ની વચ્ચે આવે છે [આકૃતિ $(i)$].
$2$. ત્યારબાદ,આપણે $5.3$ અને $5.4$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $5.37$ અને $5.38$ ને શોધીએ છીએ. $5.3\overline{7}$ એ $5.37$ અને $5.38$ ની વચ્ચે આવે છે [આકૃતિ $(ii)$].
$3$. પછી આપણે $5.37$ અને $5.38$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $5.377$ અને $5.378$ ને શોધીએ છીએ. $5.3\overline{7}$ એ $5.377$ અને $5.378$ ની વચ્ચે આવે છે [આકૃતિ $(iii)$].
$4$. અંતે,આપણે $5.377$ અને $5.378$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $5.3777$ અને $5.3778$ ને શોધીએ છીએ. આ ભાગનું વિવર્ધન કરીને,આપણે સંખ્યા રેખા પર $5.37777$ નું નિરૂપણ કરી શકીએ છીએ [આકૃતિ $(iv)$].
$1$. આપણે જાણીએ છીએ કે $5.3\overline{7}$ એ $5$ અને $6$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે $5$ અને $6$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ અને $5.3$ તથા $5.4$ ને શોધીએ છીએ. $5.3\overline{7}$ એ $5.3$ અને $5.4$ ની વચ્ચે આવે છે [આકૃતિ $(i)$].
$2$. ત્યારબાદ,આપણે $5.3$ અને $5.4$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $5.37$ અને $5.38$ ને શોધીએ છીએ. $5.3\overline{7}$ એ $5.37$ અને $5.38$ ની વચ્ચે આવે છે [આકૃતિ $(ii)$].
$3$. પછી આપણે $5.37$ અને $5.38$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $5.377$ અને $5.378$ ને શોધીએ છીએ. $5.3\overline{7}$ એ $5.377$ અને $5.378$ ની વચ્ચે આવે છે [આકૃતિ $(iii)$].
$4$. અંતે,આપણે $5.377$ અને $5.378$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $5.3777$ અને $5.3778$ ને શોધીએ છીએ. આ ભાગનું વિવર્ધન કરીને,આપણે સંખ્યા રેખા પર $5.37777$ નું નિરૂપણ કરી શકીએ છીએ [આકૃતિ $(iv)$].
0 likes
View Solution13
Medium
ક્રમિક વિપુલદર્શિતા (successive magnification) નો ઉપયોગ કરીને સંખ્યા રેખા પર $3.765$ ને દર્શાવો.
Solution
(N/A) $3.765$ એ $3$ અને $4$ ની વચ્ચે આવેલી છે.
ચાલો અંતરાલ $(3, 4)$ ને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ.
જેમ કે,$3.765$ એ $3.7$ અને $3.8$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે ફરીથી અંતરાલ $[3.7, 3.8]$ ને $10$ ભાગોમાં વિભાજિત કરીને તેને મોટું કરીએ છીએ જેથી $3.76$ અને $3.77$ વચ્ચેનું અંતર સ્પષ્ટ થાય.
સંખ્યા $3.765$ એ $3.76$ અને $3.77$ ની વચ્ચે આવેલી છે. તેથી,આપણે અંતરાલ $[3.76, 3.77]$ ને વધુ $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ.
હવે,$3.765$ ને અનુરૂપ બિંદુ સ્પષ્ટપણે જોઈ શકાય છે,જે વિપુલદર્શિતાની પ્રક્રિયાના અંતિમ તબક્કામાં દર્શાવેલ છે.
ચાલો અંતરાલ $(3, 4)$ ને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ.
જેમ કે,$3.765$ એ $3.7$ અને $3.8$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે ફરીથી અંતરાલ $[3.7, 3.8]$ ને $10$ ભાગોમાં વિભાજિત કરીને તેને મોટું કરીએ છીએ જેથી $3.76$ અને $3.77$ વચ્ચેનું અંતર સ્પષ્ટ થાય.
સંખ્યા $3.765$ એ $3.76$ અને $3.77$ ની વચ્ચે આવેલી છે. તેથી,આપણે અંતરાલ $[3.76, 3.77]$ ને વધુ $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ.
હવે,$3.765$ ને અનુરૂપ બિંદુ સ્પષ્ટપણે જોઈ શકાય છે,જે વિપુલદર્શિતાની પ્રક્રિયાના અંતિમ તબક્કામાં દર્શાવેલ છે.
0 likes
View Solution14
Medium
સંખ્યા રેખા પર $4.\overline{26}$ ને $4$ દશાંશ સ્થળ સુધી દર્શાવો.
Solution
(N/A) આપણે ક્રમિક વિવર્ધન (successive magnification) ની પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યા રેખા પર $4.\overline{26}$ અથવા $4.2626\ldots$ સંખ્યાને જોઈ શકીએ છીએ.
$I$. સંખ્યા $4.2626\ldots$ એ $4$ અને $5$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે અંતરાલ $[4, 5]$ ને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ અને $4.2$ તથા $4.3$ ને શોધીએ છીએ.
$II$. સંખ્યા $4.2626\ldots$ એ $4.2$ અને $4.3$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે અંતરાલ $[4.2, 4.3]$ ને વિવર્ધિત કરીએ છીએ અને તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $4.26$ અને $4.27$ ને શોધીએ છીએ.
$III$. સંખ્યા $4.2626\ldots$ એ $4.26$ અને $4.27$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે અંતરાલ $[4.26, 4.27]$ ને વિવર્ધિત કરીએ છીએ અને તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $4.262$ અને $4.263$ ને શોધીએ છીએ.
$IV$. સંખ્યા $4.2626\ldots$ એ $4.262$ અને $4.263$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે અંતરાલ $[4.262, 4.263]$ ને વિવર્ધિત કરીએ છીએ અને તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ. હવે આપણે સંખ્યા રેખા પર $4.2626$ ને દર્શાવી શકીએ છીએ.
$I$. સંખ્યા $4.2626\ldots$ એ $4$ અને $5$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે અંતરાલ $[4, 5]$ ને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ અને $4.2$ તથા $4.3$ ને શોધીએ છીએ.
$II$. સંખ્યા $4.2626\ldots$ એ $4.2$ અને $4.3$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે અંતરાલ $[4.2, 4.3]$ ને વિવર્ધિત કરીએ છીએ અને તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $4.26$ અને $4.27$ ને શોધીએ છીએ.
$III$. સંખ્યા $4.2626\ldots$ એ $4.26$ અને $4.27$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે અંતરાલ $[4.26, 4.27]$ ને વિવર્ધિત કરીએ છીએ અને તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $4.262$ અને $4.263$ ને શોધીએ છીએ.
$IV$. સંખ્યા $4.2626\ldots$ એ $4.262$ અને $4.263$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે અંતરાલ $[4.262, 4.263]$ ને વિવર્ધિત કરીએ છીએ અને તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ. હવે આપણે સંખ્યા રેખા પર $4.2626$ ને દર્શાવી શકીએ છીએ.
0 likes
View Solution15
EasyMCQ
દરેક સંમેય સંખ્યા એ
A
પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે
B
વાસ્તવિક સંખ્યા છે
C
પૂર્ણાંક સંખ્યા છે
D
પૂર્ણ સંખ્યા છે
Solution
(B) આપણે જાણીએ છીએ કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ એ તમામ સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાઓનો બનેલો છે.
દરેક સંમેય સંખ્યા એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણમાં સમાવિષ્ટ હોવાથી,દરેક સંમેય સંખ્યા એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
દરેક સંમેય સંખ્યા એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણમાં સમાવિષ્ટ હોવાથી,દરેક સંમેય સંખ્યા એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
0 likes
View Solution16
EasyMCQ
સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ કયું ન હોઈ શકે?
A
સાંત
B
અનંત આવૃત
C
અસંખ્ય સંમેય સંખ્યાઓ છે
D
અનંત અનાવૃત
Solution
(D) સંમેય સંખ્યાને એવી સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે. સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ હંમેશા કાં તો સાંત હોય છે અથવા અનંત આવૃત હોય છે. અનંત અનાવૃત દશાંશ નિરૂપણ એ અસંમેય સંખ્યાનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે. તેથી,સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અનાવૃત હોઈ શકે નહીં.
1 likes
View Solution17
MediumMCQ
$1.999...$ ની કિંમત $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0,$ શું થાય?
A
$\frac{19}{10}$
B
$2$
C
$\frac{1999}{1000}$
D
$\frac{1}{9}$
Solution
(B) ધારો કે $x = 1.999... = 1.\overline{9} \quad \dots(1)$
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 19.999... = 19.\overline{9} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$10x - x = 19.999... - 1.999...$
$9x = 18$
$9$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{18}{9} = 2$
કારણ કે $2$ ને $\frac{2}{1}$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $p=2$ અને $q=1$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0,$ તેથી કિંમત $2$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો જવાબ છે.
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 19.999... = 19.\overline{9} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$10x - x = 19.999... - 1.999...$
$9x = 18$
$9$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{18}{9} = 2$
કારણ કે $2$ ને $\frac{2}{1}$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $p=2$ અને $q=1$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0,$ તેથી કિંમત $2$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો જવાબ છે.
0 likes
View Solution18
Easy
નીચેની સંખ્યાઓને સંમેય કે અસંમેય સંખ્યા તરીકે વર્ગીકૃત કરો અને કારણ આપો:
$(i)$ $10.124124 \ldots$
$(ii)$ $1.010010001 \ldots$
$(i)$ $10.124124 \ldots$
$(ii)$ $1.010010001 \ldots$
Solution
(N/A) $(i)$ $10.124124 \ldots$ એ દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે જે અનંત આવૃત છે. જે સંખ્યાની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત આવૃત હોય તેને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
$(ii)$ $1.010010001 \ldots$ એ દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે જે અનંત અનાવૃત છે. જે સંખ્યાની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અનાવૃત હોય તેને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતી નથી,તેથી તે એક અસંમેય સંખ્યા છે.
$(ii)$ $1.010010001 \ldots$ એ દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે જે અનંત અનાવૃત છે. જે સંખ્યાની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અનાવૃત હોય તેને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતી નથી,તેથી તે એક અસંમેય સંખ્યા છે.
0 likes
View Solution19
MediumMCQ
$0.12 \overline{3}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
A
$\frac{47}{300}$
B
$\frac{37}{300}$
C
$\frac{57}{300}$
D
$\frac{67}{300}$
Solution
(B) ધારો કે $x = 0.12333\ldots$ (સમીકરણ $1$)
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે $10$ વડે ગુણતા: $10x = 1.2333\ldots$ (સમીકરણ $2$)
અનાવૃત ભાગ પછી દશાંશ ચિહ્ન લાવવા માટે સમીકરણ $1$ ને $100$ વડે ગુણતા: $100x = 12.333\ldots$ (સમીકરણ $3$)
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$100x - 10x = 12.333\ldots - 1.2333\ldots$
$90x = 11.1$
$x = \frac{11.1}{90} = \frac{111}{900}$
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{111 \div 3}{900 \div 3} = \frac{37}{300}$
આમ,$0.12 \overline{3} = \frac{37}{300}$.
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે $10$ વડે ગુણતા: $10x = 1.2333\ldots$ (સમીકરણ $2$)
અનાવૃત ભાગ પછી દશાંશ ચિહ્ન લાવવા માટે સમીકરણ $1$ ને $100$ વડે ગુણતા: $100x = 12.333\ldots$ (સમીકરણ $3$)
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$100x - 10x = 12.333\ldots - 1.2333\ldots$
$90x = 11.1$
$x = \frac{11.1}{90} = \frac{111}{900}$
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{111 \div 3}{900 \div 3} = \frac{37}{300}$
આમ,$0.12 \overline{3} = \frac{37}{300}$.
0 likes
View Solution20
EasyMCQ
$0.1$ અને $0.11$ ની વચ્ચેની ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ શોધો.
A
$0.101, 0.102, 0.103$
B
$0.111, 0.112, 0.113$
C
$0.011, 0.012, 0.013$
D
$0.12, 0.13, 0.14$
Solution
(A) $0.1$ અને $0.11$ ની વચ્ચેની સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે તેમને વધુ અંકોવાળા દશાંશ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ.
$0.1 = 0.100$
$0.11 = 0.110$
હવે,આપણે $0.100$ અને $0.110$ ની વચ્ચેની સંખ્યાઓ સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ.
આવી ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ $0.101, 0.102$ અને $0.103$ છે.
$0.1 = 0.100$
$0.11 = 0.110$
હવે,આપણે $0.100$ અને $0.110$ ની વચ્ચેની સંખ્યાઓ સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ.
આવી ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ $0.101, 0.102$ અને $0.103$ છે.
0 likes
View Solution21
MediumMCQ
નીચેની સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ :
$0.2$
$0.2$
A
$\frac{1}{6}$
B
$\frac{1}{5}$
C
$\frac{2}{5}$
D
$\frac{3}{5}$
Solution
(B) દશાંશ સંખ્યા $0.2$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
$1$. દશાંશ ચિહ્ન પછી એક અંક હોવાથી,તેને $10$ ના છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે લખો: $0.2 = \frac{2}{10}$.
$2$. અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.),જે $2$ છે,તેના વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપો: $\frac{2 \div 2}{10 \div 2} = \frac{1}{5}$.
$3$. આમ,$0.2 = \frac{1}{5}$,જ્યાં $p = 1$ અને $q = 5$ એ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે.
$1$. દશાંશ ચિહ્ન પછી એક અંક હોવાથી,તેને $10$ ના છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે લખો: $0.2 = \frac{2}{10}$.
$2$. અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.),જે $2$ છે,તેના વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપો: $\frac{2 \div 2}{10 \div 2} = \frac{1}{5}$.
$3$. આમ,$0.2 = \frac{1}{5}$,જ્યાં $p = 1$ અને $q = 5$ એ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે.
0 likes
View Solution22
EasyMCQ
નીચેની સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ :
$0.888 \ldots$
$0.888 \ldots$
A
$\frac{8}{3}$
B
$\frac{5}{9}$
C
$\frac{8}{9}$
D
$\frac{8}{7}$
Solution
(C) ધારો કે $x = 0.888 \ldots = 0.\overline{8} \quad \dots(1)$
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$10x = 8.888 \ldots = 8.\overline{8} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$10x - x = 8.\overline{8} - 0.\overline{8}$
$9x = 8$
તેથી,$x = \frac{8}{9}$.
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$10x = 8.888 \ldots = 8.\overline{8} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$10x - x = 8.\overline{8} - 0.\overline{8}$
$9x = 8$
તેથી,$x = \frac{8}{9}$.
0 likes
View Solution23
MediumMCQ
નીચેની સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ :
$5. \overline{2}$
$5. \overline{2}$
A
$\frac{57}{2}$
B
$\frac{46}{9}$
C
$\frac{47}{3}$
D
$\frac{47}{9}$
Solution
(D) ધારો કે $x = 5. \overline{2} = 5.2222 \ldots \quad \dots(1)$
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે
$10x = 52.2222 \ldots = 52. \overline{2} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$10x - x = 52.2222 \ldots - 5.2222 \ldots$
$9x = 47$
$x = \frac{47}{9}$
આમ,$5. \overline{2} = \frac{47}{9}$ થાય.
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે
$10x = 52.2222 \ldots = 52. \overline{2} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$10x - x = 52.2222 \ldots - 5.2222 \ldots$
$9x = 47$
$x = \frac{47}{9}$
આમ,$5. \overline{2} = \frac{47}{9}$ થાય.
0 likes
View Solution24
EasyMCQ
નીચેની સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ :
$0 . \overline{001}$
$0 . \overline{001}$
A
$\frac{1}{999}$
B
$\frac{1}{9999}$
C
$\frac{-1}{999}$
D
$\frac{1}{990}$
Solution
(A) ધારો કે $x = 0.\overline{001} = 0.001001...$ $(1)$
અહીં ત્રણ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 1.001001...$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 1.001001... - 0.001001...$
$999x = 1$
$x = \frac{1}{999}$
આમ,સંખ્યા $0.\overline{001}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં $\frac{1}{999}$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં ત્રણ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 1.001001...$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 1.001001... - 0.001001...$
$999x = 1$
$x = \frac{1}{999}$
આમ,સંખ્યા $0.\overline{001}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં $\frac{1}{999}$ તરીકે લખી શકાય છે.
0 likes
View Solution25
MediumMCQ
નીચેની સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ :
$0.2555 \ldots$
$0.2555 \ldots$
A
$\frac{33}{90}$
B
$\frac{23}{90}$
C
$\frac{44}{90}$
D
$\frac{23}{45}$
Solution
(B) ધારો કે $x = 0.2555 \ldots = 0.2\overline{5} \quad ....(1)$
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 2.555 \ldots = 2.\overline{5} \quad ....(2)$
બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 25.555 \ldots = 25.\overline{5} \quad ....(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$100x - 10x = 25.\overline{5} - 2.\overline{5}$
$90x = 23$
તેથી,$x = \frac{23}{90}$.
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 2.555 \ldots = 2.\overline{5} \quad ....(2)$
બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 25.555 \ldots = 25.\overline{5} \quad ....(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$100x - 10x = 25.\overline{5} - 2.\overline{5}$
$90x = 23$
તેથી,$x = \frac{23}{90}$.
0 likes
View Solution26
DifficultMCQ
નીચેની સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ :
$0.1\overline{34}$
$0.1\overline{34}$
A
$\frac{123}{880}$
B
$\frac{123}{990}$
C
$\frac{133}{990}$
D
$\frac{133}{999}$
Solution
(C) ધારો કે $x = 0.1\overline{34} = 0.1343434... \quad ....(1)$
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 1.343434... \quad ....(2)$
હવે સમીકરણ $(2)$ ને $100$ વડે ગુણતા:
$1000x = 134.343434... \quad ....(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$1000x - 10x = 134.343434... - 1.343434...$
$990x = 133$
તેથી,$x = \frac{133}{990}$.
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 1.343434... \quad ....(2)$
હવે સમીકરણ $(2)$ ને $100$ વડે ગુણતા:
$1000x = 134.343434... \quad ....(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$1000x - 10x = 134.343434... - 1.343434...$
$990x = 133$
તેથી,$x = \frac{133}{990}$.
0 likes
View Solution27
DifficultMCQ
નીચેની સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ :
$0.00323232 \ldots$
$0.00323232 \ldots$
A
$\frac{9}{2470}$
B
$\frac{5}{2455}$
C
$\frac{7}{2475}$
D
$\frac{8}{2475}$
Solution
(D) ધારો કે $x = 0.00323232 \ldots = 0.00\overline{32} \quad \dots(1)$
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 0.323232 \ldots = 0.\overline{32} \quad \dots(2)$
પુનરાવર્તિત ભાગ પછી દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે સમીકરણ $(2)$ ને ફરીથી $100$ વડે ગુણતા:
$10000x = 32.323232 \ldots = 32.\overline{32} \quad \dots(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$10000x - 100x = 32.\overline{32} - 0.\overline{32}$
$9900x = 32$
$x = \frac{32}{9900}$
અંશ અને છેદ બંનેને $4$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપતા:
$x = \frac{32 \div 4}{9900 \div 4} = \frac{8}{2475}$
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 0.323232 \ldots = 0.\overline{32} \quad \dots(2)$
પુનરાવર્તિત ભાગ પછી દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે સમીકરણ $(2)$ ને ફરીથી $100$ વડે ગુણતા:
$10000x = 32.323232 \ldots = 32.\overline{32} \quad \dots(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$10000x - 100x = 32.\overline{32} - 0.\overline{32}$
$9900x = 32$
$x = \frac{32}{9900}$
અંશ અને છેદ બંનેને $4$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપતા:
$x = \frac{32 \div 4}{9900 \div 4} = \frac{8}{2475}$
0 likes
View Solution28
MediumMCQ
નીચેની સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ :
$0.404040 \ldots$
$0.404040 \ldots$
A
$\frac{40}{99}$
B
$\frac{50}{99}$
C
$\frac{40}{90}$
D
$\frac{50}{90}$
Solution
(A) ધારો કે $x = 0.404040 \ldots = 0.\overline{40} \quad \dots(1)$
અહીં બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 40.404040 \ldots = 40.\overline{40} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$100x - x = 40.\overline{40} - 0.\overline{40}$
$99x = 40$
$x = \frac{40}{99}$
આમ,$0.404040 \ldots$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં $\frac{40}{99}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
અહીં બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 40.404040 \ldots = 40.\overline{40} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$100x - x = 40.\overline{40} - 0.\overline{40}$
$99x = 40$
$x = \frac{40}{99}$
આમ,$0.404040 \ldots$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં $\frac{40}{99}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
0 likes
View Solution29
Difficult
દર્શાવો કે $0.142857142857 \ldots = \frac{1}{7}$.
Solution
(N/A) ધારો કે $x = 0.142857142857 \ldots$ $(1)$
અહીં પુનરાવર્તિત થતા અંકોની સંખ્યા $6$ હોવાથી,બંને બાજુ $1,000,000$ વડે ગુણતા:
$1,000,000 x = 142857.142857142857 \ldots$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$1,000,000 x - x = 142857.142857 \ldots - 0.142857 \ldots$
$999,999 x = 142857$
$x$ ની કિંમત શોધતા:
$x = \frac{142857}{999999}$
અંશ અને છેદને $142857$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{1}{7}$
આમ,$0.142857142857 \ldots = \frac{1}{7}$ સાબિત થાય છે.
અહીં પુનરાવર્તિત થતા અંકોની સંખ્યા $6$ હોવાથી,બંને બાજુ $1,000,000$ વડે ગુણતા:
$1,000,000 x = 142857.142857142857 \ldots$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$1,000,000 x - x = 142857.142857 \ldots - 0.142857 \ldots$
$999,999 x = 142857$
$x$ ની કિંમત શોધતા:
$x = \frac{142857}{999999}$
અંશ અને છેદને $142857$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{1}{7}$
આમ,$0.142857142857 \ldots = \frac{1}{7}$ સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution30
Medium
નીચેની સંખ્યાને દશાંશ સ્વરૂપમાં લખો અને જણાવો કે દરેકનું દશાંશ નિરૂપણ કેવા પ્રકારનું છે:
$\frac{2}{11}$
$\frac{2}{11}$
Solution
(N/A) $\frac{2}{11}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં લખવા માટે,આપણે $2$ ને $11$ વડે ભાગીને લાંબી ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
$2$ ને $11$ વડે ભાગતા:
$2 \div 11 = 0.1818...$
જેમ કે શેષ $2$ પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી ભાગફળ $0.18$ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થાય છે.
આમ,$\frac{2}{11} = 0.1818... = 0.\overline{18}$.
દશાંશ નિરૂપણ શાંત થતું નથી અને અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી $\frac{2}{11}$ નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત દશાંશ છે.
$2$ ને $11$ વડે ભાગતા:
$2 \div 11 = 0.1818...$
જેમ કે શેષ $2$ પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી ભાગફળ $0.18$ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થાય છે.
આમ,$\frac{2}{11} = 0.1818... = 0.\overline{18}$.
દશાંશ નિરૂપણ શાંત થતું નથી અને અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી $\frac{2}{11}$ નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત દશાંશ છે.
0 likes
View Solution31
Medium
નીચેની સંખ્યાને દશાંશ સ્વરૂપમાં લખો અને જણાવો કે દરેકનું દશાંશ નિરૂપણ કેવા પ્રકારનું છે:
$\frac{121}{400}$
$\frac{121}{400}$
Solution
(N/A) $\frac{121}{400}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં લખવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$121 \div 400 = 0.3025$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી $\frac{121}{400}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત દશાંશ છે.
$121 \div 400 = 0.3025$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી $\frac{121}{400}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત દશાંશ છે.
0 likes
View Solution32
Medium
નીચેનાને દશાંશ સ્વરૂપમાં લખો અને જણાવો કે દરેકનું દશાંશ નિરૂપણ કેવા પ્રકારનું છે:
$\frac{5}{13}$
$\frac{5}{13}$
Solution
(N/A) $\frac{5}{13}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે $5$ ને $13$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$5 \div 13 = 0.384615384615...$
જેમ કે શેષ અમુક પગલાં પછી પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી ભાગફળ પણ પુનરાવર્તિત થાય છે.
આમ,$\frac{5}{13} = 0.\overline{384615}$.
$\frac{5}{13}$ નું દશાંશ સ્વરૂપ અનંત આવૃત દશાંશ છે.
$5 \div 13 = 0.384615384615...$
જેમ કે શેષ અમુક પગલાં પછી પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી ભાગફળ પણ પુનરાવર્તિત થાય છે.
આમ,$\frac{5}{13} = 0.\overline{384615}$.
$\frac{5}{13}$ નું દશાંશ સ્વરૂપ અનંત આવૃત દશાંશ છે.
0 likes
View Solution33
Medium
નીચેની સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0 .$
$0 . \overline{35}$
$0 . \overline{35}$
Solution
(A) ધારો કે $x = 0 . \overline{35}$.
$\therefore x = 0.353535 \ldots$ $(1)$
અહીં બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 35.353535 \ldots$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$100x - x = 35.353535 \ldots - 0.353535 \ldots$
$99x = 35$
$\therefore x = \frac{35}{99}$
આમ,$0 . \overline{35} = \frac{35}{99}$.
$\therefore x = 0.353535 \ldots$ $(1)$
અહીં બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 35.353535 \ldots$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$100x - x = 35.353535 \ldots - 0.353535 \ldots$
$99x = 35$
$\therefore x = \frac{35}{99}$
આમ,$0 . \overline{35} = \frac{35}{99}$.
0 likes
View Solution34
Medium
નીચેની સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0.$
$0.5 \overline{7}$
$0.5 \overline{7}$
Solution
(N/A) ધારો કે $x = 0.5 \overline{7}.$
$\therefore x = 0.5777...$ $(1)$
દશાંશ ચિહ્નને પુનરાવર્તિત ભાગની આગળ લાવવા માટે બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 5.777...$ $(2)$
હવે,દશાંશ ચિહ્નને એક પુનરાવર્તિત અંક પછી લાવવા માટે સમીકરણ $(2)$ ને $10$ વડે ગુણતા:
$100x = 57.777...$ $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$100x - 10x = 57.777... - 5.777...$
$90x = 52$
$x = \frac{52}{90}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ મેળવતા:
$x = \frac{26}{45}$
આમ,$0.5 \overline{7} = \frac{26}{45}.$
$\therefore x = 0.5777...$ $(1)$
દશાંશ ચિહ્નને પુનરાવર્તિત ભાગની આગળ લાવવા માટે બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 5.777...$ $(2)$
હવે,દશાંશ ચિહ્નને એક પુનરાવર્તિત અંક પછી લાવવા માટે સમીકરણ $(2)$ ને $10$ વડે ગુણતા:
$100x = 57.777...$ $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$100x - 10x = 57.777... - 5.777...$
$90x = 52$
$x = \frac{52}{90}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ મેળવતા:
$x = \frac{26}{45}$
આમ,$0.5 \overline{7} = \frac{26}{45}.$
0 likes
View Solution35
Medium
નીચેની સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0.$
$0.\overline{125}$
$0.\overline{125}$
Solution
(N/A) ધારો કે $x = 0.\overline{125}$.
$\therefore x = 0.125125\ldots$ $(1)$
અહીં ત્રણ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 125.125125\ldots$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 125.125125\ldots - 0.125125\ldots$
$999x = 125$
$\therefore x = \frac{125}{999}$
આમ,$0.\overline{125} = \frac{125}{999}$.
$\therefore x = 0.125125\ldots$ $(1)$
અહીં ત્રણ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 125.125125\ldots$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 125.125125\ldots - 0.125125\ldots$
$999x = 125$
$\therefore x = \frac{125}{999}$
આમ,$0.\overline{125} = \frac{125}{999}$.
1 likes
View Solution36
Medium
નીચે આપેલી સંમેય સંખ્યાને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો અને તેના દશાંશ નિરૂપણનો પ્રકાર જણાવો: $\frac{71}{125}$
Solution
(N/A) $\frac{71}{125}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,આપણે અંશને છેદ વડે ભાગી શકીએ છીએ અથવા છેદમાં $10$ ની ઘાત મેળવવા માટે અંશ અને છેદ બંનેને $8$ વડે ગુણી શકીએ છીએ.
$\frac{71 \times 8}{125 \times 8} = \frac{568}{1000} = 0.568$
અહીં ભાગાકારની પ્રક્રિયામાં અમુક પગલાં પછી શેષ $0$ મળે છે,તેથી આ દશાંશ નિરૂપણ શાંત (Terminating) દશાંશ નિરૂપણ છે.
$\frac{71 \times 8}{125 \times 8} = \frac{568}{1000} = 0.568$
અહીં ભાગાકારની પ્રક્રિયામાં અમુક પગલાં પછી શેષ $0$ મળે છે,તેથી આ દશાંશ નિરૂપણ શાંત (Terminating) દશાંશ નિરૂપણ છે.
0 likes
View Solution37
Medium
નીચે આપેલી સંમેય સંખ્યાને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો અને તેના દશાંશ નિરૂપણનો પ્રકાર જણાવો:
$\frac{4}{13}$
$\frac{4}{13}$
Solution
(N/A) $\frac{4}{13}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,આપણે $4$ ને $13$ વડે ભાગાકાર કરીશું.
$4 \div 13 = 0.307692307692...$
અહીં અંકોની શ્રેણી $307692$ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી દશાંશ નિરૂપણ $0.\overline{307692}$ છે.
આથી,આ દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત દશાંશ છે.
$4 \div 13 = 0.307692307692...$
અહીં અંકોની શ્રેણી $307692$ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી દશાંશ નિરૂપણ $0.\overline{307692}$ છે.
આથી,આ દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત દશાંશ છે.
0 likes
View Solution38
Medium
નીચે આપેલી સંમેય સંખ્યાને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો અને તેના દશાંશ નિરૂપણનો પ્રકાર જણાવો: $\frac{25}{8}$
Solution
(N/A) $\frac{25}{8}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$25 \div 8 = 3.125$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી આ દશાંશ નિરૂપણ શાંત (Terminating) દશાંશ નિરૂપણ છે.
$25 \div 8 = 3.125$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી આ દશાંશ નિરૂપણ શાંત (Terminating) દશાંશ નિરૂપણ છે.
0 likes
View Solution39
Medium
નીચે આપેલી સંમેય સંખ્યાને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો અને તેના દશાંશ નિરૂપણનો પ્રકાર જણાવો: $\frac{37}{60}$
Solution
(N/A) $\frac{37}{60}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$37 \div 60 = 0.61666...$
આને $0.61\overline{6}$ તરીકે લખી શકાય છે.
દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકો અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થતા હોવાથી,આ દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત દશાંશ છે.
$37 \div 60 = 0.61666...$
આને $0.61\overline{6}$ તરીકે લખી શકાય છે.
દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકો અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થતા હોવાથી,આ દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત દશાંશ છે.
0 likes
View Solution40
Medium
નીચે આપેલી સંમેય સંખ્યાને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો અને તેના દશાંશ નિરૂપણનો પ્રકાર જણાવો:
$\frac{29}{12}$
$\frac{29}{12}$
Solution
(A) $\frac{29}{12}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ:
$29 \div 12 = 2.41666...$
અહીં અંક $6$ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી દશાંશ નિરૂપણ $2.41\overline{6}$ છે.
કારણ કે શેષ ક્યારેય શૂન્ય થતી નથી અને એક અંકનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી આ અનંત આવૃત દશાંશ છે.
$29 \div 12 = 2.41666...$
અહીં અંક $6$ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી દશાંશ નિરૂપણ $2.41\overline{6}$ છે.
કારણ કે શેષ ક્યારેય શૂન્ય થતી નથી અને એક અંકનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી આ અનંત આવૃત દશાંશ છે.
0 likes
View Solution41
MediumMCQ
$0.\overline{4}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે.
A
$\frac{4}{9}$
B
$\frac{4}{10}$
C
$\frac{4}{90}$
D
$\frac{4}{99}$
Solution
(A) ધારો કે $x = 0.\overline{4} = 0.4444...$ (સમીકરણ $1$).
દશાંશ ચિહ્ન પછી એક અંકનું પુનરાવર્તન થતું હોવાથી, બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 4.4444...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$10x - x = 4.4444... - 0.4444...$
$9x = 4$
$x = \frac{4}{9}$.
આમ, $0.\overline{4}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં $\frac{4}{9}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
દશાંશ ચિહ્ન પછી એક અંકનું પુનરાવર્તન થતું હોવાથી, બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 4.4444...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$10x - x = 4.4444... - 0.4444...$
$9x = 4$
$x = \frac{4}{9}$.
આમ, $0.\overline{4}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં $\frac{4}{9}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
0 likes
View Solution42
MediumMCQ
$0.\overline{83}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
A
$83/100$
B
$83/99$
C
$83/90$
D
$8/9$
Solution
(B) ધારો કે $x = 0.\overline{83}$.
આને $x = 0.838383...$ તરીકે લખી શકાય (સમીકરણ $1$)।
અહીં બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે, તેથી બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 83.838383...$ (સમીકરણ $2$)।
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$100x - x = 83.838383... - 0.838383...$
$99x = 83$.
તેથી, $x = \frac{83}{99}$.
આમ, $0.\overline{83} = \frac{83}{99}$।
આને $x = 0.838383...$ તરીકે લખી શકાય (સમીકરણ $1$)।
અહીં બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે, તેથી બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 83.838383...$ (સમીકરણ $2$)।
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$100x - x = 83.838383... - 0.838383...$
$99x = 83$.
તેથી, $x = \frac{83}{99}$.
આમ, $0.\overline{83} = \frac{83}{99}$।
0 likes
View Solution43
Medium
$2.\overline{137}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
Solution
(N/A) ધારો કે $x = 2.137137137...$ (સમીકરણ $1$).
દશાંશ ચિહ્ન પછી $3$ અંકોનું પુનરાવર્તન થતું હોવાથી, બંને બાજુને $1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 2137.137137137...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 2137.137137... - 2.137137...$
$999x = 2135$.
તેથી, $x = \frac{2135}{999}$.
દશાંશ ચિહ્ન પછી $3$ અંકોનું પુનરાવર્તન થતું હોવાથી, બંને બાજુને $1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 2137.137137137...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 2137.137137... - 2.137137...$
$999x = 2135$.
તેથી, $x = \frac{2135}{999}$.
0 likes
View Solution44
MediumMCQ
$0.5\overline{7}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
A
$\frac{26}{45}$
B
$\frac{52}{90}$
C
$\frac{57}{99}$
D
$\frac{5}{9}$
Solution
(A) ધારો કે $x = 0.5\overline{7} = 0.5777...$ (સમીકરણ $1$).
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે બંને બાજુ $10$ વડે ગુણો:
$10x = 5.777...$ (સમીકરણ $2$).
પુનરાવર્તિત અંક પછી દશાંશ ચિહ્ન લાવવા માટે સમીકરણ $2$ ને ફરીથી $10$ વડે ગુણો:
$100x = 57.777...$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરો:
$100x - 10x = 57.777... - 5.777...$
$90x = 52$.
$x = \frac{52}{90}$.
અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $2$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ મેળવો:
$x = \frac{26}{45}$.
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે બંને બાજુ $10$ વડે ગુણો:
$10x = 5.777...$ (સમીકરણ $2$).
પુનરાવર્તિત અંક પછી દશાંશ ચિહ્ન લાવવા માટે સમીકરણ $2$ ને ફરીથી $10$ વડે ગુણો:
$100x = 57.777...$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરો:
$100x - 10x = 57.777... - 5.777...$
$90x = 52$.
$x = \frac{52}{90}$.
અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $2$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ મેળવો:
$x = \frac{26}{45}$.
0 likes
View Solution45
MediumMCQ
$1.23\overline{4}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
A
$\frac{1111}{900}$
B
$\frac{1234}{999}$
C
$\frac{111}{90}$
D
$\frac{123}{100}$
Solution
(A) ધારો કે $x = 1.23444...$ (સમીકરણ $1$).
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે $100$ વડે ગુણતા: $100x = 123.444...$ (સમીકરણ $2$).
દશાંશ ચિહ્નને ફરીથી ખસેડવા માટે સમીકરણ $2$ ને $10$ વડે ગુણતા: $1000x = 1234.444...$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$1000x - 100x = 1234.444... - 123.444...$
$900x = 1111$.
તેથી,$x = \frac{1111}{900}$.
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે $100$ વડે ગુણતા: $100x = 123.444...$ (સમીકરણ $2$).
દશાંશ ચિહ્નને ફરીથી ખસેડવા માટે સમીકરણ $2$ ને $10$ વડે ગુણતા: $1000x = 1234.444...$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$1000x - 100x = 1234.444... - 123.444...$
$900x = 1111$.
તેથી,$x = \frac{1111}{900}$.
0 likes
View Solution46
MediumMCQ
$0.7\overline{39}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
A
$\frac{732}{990}$
B
$\frac{122}{165}$
C
$\frac{739}{1000}$
D
$\frac{244}{330}$
Solution
(B) ધારો કે $x = 0.7\overline{39} = 0.7393939...$ (સમીકરણ $1$).
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા: $10x = 7.393939...$ (સમીકરણ $2$).
પુનરાવર્તિત ભાગ પછી દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે સમીકરણ $2$ ને $100$ વડે ગુણતા: $1000x = 739.393939...$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$1000x - 10x = 739.393939... - 7.393939...$
$990x = 732$.
$x = \frac{732}{990}$.
અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $6$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ મેળવતા:
$x = \frac{732 \div 6}{990 \div 6} = \frac{122}{165}$.
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા: $10x = 7.393939...$ (સમીકરણ $2$).
પુનરાવર્તિત ભાગ પછી દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે સમીકરણ $2$ ને $100$ વડે ગુણતા: $1000x = 739.393939...$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$1000x - 10x = 739.393939... - 7.393939...$
$990x = 732$.
$x = \frac{732}{990}$.
અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $6$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ મેળવતા:
$x = \frac{732 \div 6}{990 \div 6} = \frac{122}{165}$.
0 likes
View Solution47
MediumMCQ
સરવાળો ગણો: $0.\overline{35} + 0.\overline{28}$.
A
$0.\overline{63}$
B
$0.\overline{53}$
C
$0.\overline{73}$
D
$0.\overline{64}$
Solution
(A) ધારો કે $x = 0.\overline{35} = 0.353535...$ અને $y = 0.\overline{28} = 0.282828...$
$0.\overline{35}$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવવા માટે: $100x = 35.3535...$,તેથી $99x = 35$,જે આપે છે $x = \frac{35}{99}$.
$0.\overline{28}$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવવા માટે: $100y = 28.2828...$,તેથી $99y = 28$,જે આપે છે $y = \frac{28}{99}$.
બંને અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરતા: $x + y = \frac{35}{99} + \frac{28}{99} = \frac{63}{99}$.
$63$ ને $99$ વડે ભાગતા $0.636363...$ મળે છે,જે $0.\overline{63}$ છે.
$0.\overline{35}$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવવા માટે: $100x = 35.3535...$,તેથી $99x = 35$,જે આપે છે $x = \frac{35}{99}$.
$0.\overline{28}$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવવા માટે: $100y = 28.2828...$,તેથી $99y = 28$,જે આપે છે $y = \frac{28}{99}$.
બંને અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરતા: $x + y = \frac{35}{99} + \frac{28}{99} = \frac{63}{99}$.
$63$ ને $99$ વડે ભાગતા $0.636363...$ મળે છે,જે $0.\overline{63}$ છે.
0 likes
View Solution48
Medium
સરવાળો કરો: $0. \overline{3} + 0.4 \overline{7}$
Solution
(N/A) $0. \overline{3}$ અને $0.4 \overline{7}$ નો સરવાળો કરવા માટે,પહેલા તેમને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો.
$0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$0.4 \overline{7} = \frac{47 - 4}{90} = \frac{43}{90}$
હવે,બંને અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરો:
$\frac{1}{3} + \frac{43}{90} = \frac{30}{90} + \frac{43}{90} = \frac{73}{90}$
$\frac{73}{90}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$73 \div 90 = 0.8111... = 0.8 \overline{1}$
$0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$0.4 \overline{7} = \frac{47 - 4}{90} = \frac{43}{90}$
હવે,બંને અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરો:
$\frac{1}{3} + \frac{43}{90} = \frac{30}{90} + \frac{43}{90} = \frac{73}{90}$
$\frac{73}{90}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$73 \div 90 = 0.8111... = 0.8 \overline{1}$
0 likes
View Solution49
Medium
બાદબાકી કરો: $0.\overline{52} - 0.4\overline{6}$
Solution
(N/A) પગલું $1$: $0.\overline{52}$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો.
ધારો કે $x = 0.525252...$ $(i)$
$100x = 52.525252...$ (ii)
(ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $99x = 52$,તેથી $x = \frac{52}{99}$.
પગલું $2$: $0.4\overline{6}$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો.
ધારો કે $y = 0.4666...$ (iii)
$10y = 4.666...$ (iv)
$100y = 46.666...$ $(v)$
$(v)$ માંથી (iv) બાદ કરતા: $90y = 42$,તેથી $y = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$.
પગલું $3$: અપૂર્ણાંકોની બાદબાકી કરો.
$\frac{52}{99} - \frac{7}{15} = \frac{52 \times 5 - 7 \times 33}{495} = \frac{260 - 231}{495} = \frac{29}{495}$.
પગલું $4$: દશાંશમાં ફેરવો.
$\frac{29}{495} = 0.0585858... = 0.0\overline{58}$.
ધારો કે $x = 0.525252...$ $(i)$
$100x = 52.525252...$ (ii)
(ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $99x = 52$,તેથી $x = \frac{52}{99}$.
પગલું $2$: $0.4\overline{6}$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો.
ધારો કે $y = 0.4666...$ (iii)
$10y = 4.666...$ (iv)
$100y = 46.666...$ $(v)$
$(v)$ માંથી (iv) બાદ કરતા: $90y = 42$,તેથી $y = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$.
પગલું $3$: અપૂર્ણાંકોની બાદબાકી કરો.
$\frac{52}{99} - \frac{7}{15} = \frac{52 \times 5 - 7 \times 33}{495} = \frac{260 - 231}{495} = \frac{29}{495}$.
પગલું $4$: દશાંશમાં ફેરવો.
$\frac{29}{495} = 0.0585858... = 0.0\overline{58}$.
0 likes
View Solution50
Medium
દર્શાવો કે $0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$.
Solution
(N/A) ધારો કે $x = 0.1\overline{6}$. આને $x = 0.1666...$ તરીકે લખી શકાય (સમીકરણ $1$).
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે બંને બાજુ $10$ વડે ગુણો:
$10x = 1.6666...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરો:
$10x - x = (1.6666...) - (0.1666...)$
$9x = 1.5$
$x = \frac{1.5}{9}$
દશાંશ દૂર કરવા માટે,અંશ અને છેદને $10$ વડે ગુણો:
$x = \frac{15}{90}$
અંશ અને છેદને $15$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપો:
$x = \frac{1}{6}$.
આમ,$0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$ સાબિત થાય છે.
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે બંને બાજુ $10$ વડે ગુણો:
$10x = 1.6666...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરો:
$10x - x = (1.6666...) - (0.1666...)$
$9x = 1.5$
$x = \frac{1.5}{9}$
દશાંશ દૂર કરવા માટે,અંશ અને છેદને $10$ વડે ગુણો:
$x = \frac{15}{90}$
અંશ અને છેદને $15$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપો:
$x = \frac{1}{6}$.
આમ,$0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$ સાબિત થાય છે.
0 likes
View SolutionNumber Systems — Real Numbers and their Decimal Expansions · Frequently Asked Questions
1Are these Number Systems questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Number Systems Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.