Zeroes of a Polynomial Questions in Gujarati

(A) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x + 2$ છે.
$x = a$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $p(a)$ ની કિંમત શોધીએ છીએ. જો $p(a) = 0$ હોય,તો $a$ એ શૂન્ય છે.
$x = 2$ માટે:
$p(2) = 2 + 2 = 4$.
અહીં $p(2) \neq 0$ હોવાથી,$2$ એ બહુપદીનું શૂન્ય નથી.
$x = -2$ માટે:
$p(-2) = -2 + 2 = 0$.
અહીં $p(-2) = 0$ હોવાથી,$-2$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે.
આમ,$-2$ એ બહુપદી $x + 2$ નું શૂન્ય છે,પરંતુ $2$ નથી.

(B) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$p(x) = 0$
$2x + 1 = 0$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$2x = -1$
બંને બાજુને $2$ વડે ભાગતા:
$x = -\frac{1}{2}$
તેથી,$-\frac{1}{2}$ એ બહુપદી $p(x) = 2x + 1$ નું શૂન્ય છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{2} - 2x$.
$2$ એ શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $p(2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(2) = (2)^{2} - 2(2) = 4 - 4 = 0$.
કારણ કે $p(2) = 0$ છે,તેથી $2$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે.
$0$ એ શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $p(0)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(0) = (0)^{2} - 2(0) = 0 - 0 = 0$.
કારણ કે $p(0) = 0$ છે,તેથી $0$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે.
આમ,$2$ અને $0$ બંને બહુપદી $x^{2} - 2x$ ના શૂન્યો છે.

(N/A) આપેલ બહુપદી $p(x) = (x - 1)(x + 1)$ છે.
$p(0)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 0$ મૂકતા:
$p(0) = (0 - 1)(0 + 1) = (-1)(1) = -1$.
$p(1)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = (1 - 1)(1 + 1) = (0)(2) = 0$.
$p(2)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 2$ મૂકતા:
$p(2) = (2 - 1)(2 + 1) = (1)(3) = 3$.

(A) $x = -\frac{1}{3}$ એ બહુપદી $p(x) = 3x + 1$ નું શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $x = -\frac{1}{3}$ ને બહુપદીમાં મૂકીશું.
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\left(-\frac{1}{3}\right) + 1$
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = -1 + 1$
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = 0$
અહીં $x = -\frac{1}{3}$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય $0$ મળે છે,તેથી સાબિત થાય છે કે $x = -\frac{1}{3}$ એ આપેલી બહુપદીનું શૂન્ય છે.

(B) જો $x = \frac{4}{5}$ એ બહુપદી $p(x) = 5x - \pi$ નું શૂન્ય હોય,તો $p\left(\frac{4}{5}\right)$ ની કિંમત $0$ થવી જોઈએ.
અહીં,$p\left(\frac{4}{5}\right) = 5\left(\frac{4}{5}\right) - \pi$
$p\left(\frac{4}{5}\right) = 4 - \pi$
અહીં $4 - \pi \neq 0$ હોવાથી,$x = \frac{4}{5}$ આગળ બહુપદીની કિંમત શૂન્ય નથી.
તેથી,$x = \frac{4}{5}$ એ આપેલ બહુપદી $p(x) = 5x - \pi$ નું શૂન્ય નથી.

(A) જો $x = 1$ અને $x = -1$ એ બહુપદી $p(x) = x^{2} - 1$ ના શૂન્યો હોય,તો $p(1)$ અને $p(-1)$ ની કિંમત $0$ થવી જોઈએ.
$x = 1$ માટે:
$p(1) = (1)^{2} - 1 = 1 - 1 = 0$
$x = -1$ માટે:
$p(-1) = (-1)^{2} - 1 = 1 - 1 = 0$
અહીં $p(1) = 0$ અને $p(-1) = 0$ હોવાથી,$x = 1$ અને $x = -1$ એ આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} - 1$ ના શૂન્યો છે.

(N/A) જો $x = -1$ અને $x = 2$ એ બહુપદી $p(x) = (x + 1)(x - 2)$ ના શૂન્યો હોય,તો $p(-1)$ અને $p(2)$ ની કિંમત $0$ થવી જોઈએ.
પ્રથમ,$x = -1$ ને બહુપદીમાં મૂકતા:
$p(-1) = (-1 + 1)(-1 - 2) = (0)(-3) = 0$.
ત્યારબાદ,$x = 2$ ને બહુપદીમાં મૂકતા:
$p(2) = (2 + 1)(2 - 2) = (3)(0) = 0$.
અહીં $p(-1) = 0$ અને $p(2) = 0$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $x = -1$ અને $x = 2$ એ આપેલ બહુપદીના શૂન્યો છે.

(A) જો $x = 0$ એ બહુપદી $p(x) = x^{2}$ નું શૂન્ય હોય,તો $p(0)$ ની કિંમત શૂન્ય થવી જોઈએ.
બહુપદીમાં $x = 0$ મૂકતા:
$p(0) = (0)^{2} = 0$.
અહીં $p(0) = 0$ હોવાથી,$x = 0$ એ આપેલી બહુપદી $p(x) = x^{2}$ નું શૂન્ય છે.

(A) જો $x = -\frac{m}{l}$ એ બહુપદી $p(x) = lx + m$ નું શૂન્ય હોય,તો બહુપદીની કિંમત $0$ થવી જોઈએ.
અહીં,$p\left(-\frac{m}{l}\right) = l\left(-\frac{m}{l}\right) + m$
$p\left(-\frac{m}{l}\right) = -m + m$
$p\left(-\frac{m}{l}\right) = 0$
આમ,બહુપદીની કિંમત $x = -\frac{m}{l}$ માટે $0$ મળે છે,તેથી સાબિત થાય છે કે $x = -\frac{m}{l}$ એ આપેલ બહુપદીનું શૂન્ય છે.

(N/A) આપેલ કિંમતો બહુપદી $p(x) = 3x^2 - 1$ ના શૂન્યો છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $x$ ની કિંમતો બહુપદીમાં મૂકીશું. જો પરિણામ $0$ મળે,તો તે કિંમત બહુપદીનું શૂન્ય છે.
પગલું $1$: $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે ચકાસણી:
$p\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 3\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1$
$= 3\left(\frac{1}{3}\right) - 1$
$= 1 - 1 = 0$
અહીં $p\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 0$ હોવાથી,$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે.
પગલું $2$: $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ માટે ચકાસણી:
$p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = 3\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1$
$= 3\left(\frac{4}{3}\right) - 1$
$= 4 - 1 = 3$
અહીં $p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \neq 0$ હોવાથી,$x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ એ બહુપદીનું શૂન્ય નથી.

(B) જો $x = \frac{1}{2}$ એ બહુપદી $p(x) = 2x + 1$ નું શૂન્ય હોય,તો $p(\frac{1}{2})$ ની કિંમત $0$ થવી જોઈએ.
બહુપદીમાં $x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$p(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2}) + 1$
$p(\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$
અહીં $p(\frac{1}{2}) = 2 \neq 0$ હોવાથી,$x = \frac{1}{2}$ એ આપેલી બહુપદીનું શૂન્ય નથી.

(B) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આપેલ છે કે $p(x) = x + 5$.
$p(x) = 0$ લેતા,આપણને $x + 5 = 0$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,બંને બાજુથી $5$ બાદ કરતા: $x = -5$.
તેથી,બહુપદી $p(x) = x + 5$ નું શૂન્ય $-5$ છે.

(C) બહુપદી $p(x) = x - 5$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે બહુપદીને શૂન્યની બરાબર લઈએ છીએ.
$p(x) = 0$
$x - 5 = 0$
બંને બાજુ $5$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$x = 5$
આમ,બહુપદી $p(x) = x - 5$ નું શૂન્ય $5$ છે.

(D) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આપેલ છે કે $p(x) = 2x + 5$.
બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$2x + 5 = 0$
બંને બાજુથી $5$ બાદ કરતા:
$2x = -5$
બંને બાજુને $2$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{-5}{2}$
આમ,બહુપદી $p(x) = 2x + 5$ નું શૂન્ય $\frac{-5}{2}$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = 3x - 2$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$3x - 2 = 0$
બંને બાજુ $2$ ઉમેરતા,આપણને $3x = 2$ મળે છે.
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \frac{2}{3}$ મળે છે.
આમ,બહુપદી $p(x) = 3x - 2$ નું શૂન્ય $\frac{2}{3}$ છે.

(B) બહુપદી $p(x) = 3x$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$3x = 0$
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{0}{3}$
$x = 0$
આમ,બહુપદી $p(x) = 3x$ નું શૂન્ય $0$ છે.

(C) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આપેલ છે કે $p(x) = ax$ અને $a \neq 0$.
બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $ax = 0$.
અહીં $a \neq 0$ હોવાથી,આપણે બંને બાજુ $a$ વડે ભાગી શકીએ: $x = 0/a$.
તેથી,$x = 0$.
આમ,બહુપદી $p(x) = ax$ નું શૂન્ય $0$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = cx + d$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$cx + d = 0$
બંને બાજુથી $d$ બાદ કરતા:
$cx = -d$
બંને બાજુને $c$ વડે ભાગતા (કારણ કે $c \neq 0$):
$x = -\frac{d}{c}$
આમ,બહુપદી $p(x) = cx + d$ નું શૂન્ય $-\frac{d}{c}$ છે.

(B) શૂન્ય બહુપદી એ $p(x) = 0$ સ્વરૂપની બહુપદી છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય એ એવી કિંમત $c$ છે કે જેથી $p(c) = 0$ થાય.
અહીં $p(x) = 0$ એ $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે સાચું છે,તેથી દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા એ શૂન્ય બહુપદીનું શૂન્ય છે.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો જવાબ છે.

(B) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આપેલ છે કે $p(x) = 2x + 5$,તેથી $2x + 5 = 0$ લેતા.
બંને બાજુથી $5$ બાદ કરતાં,આપણને $2x = -5$ મળે છે.
બંને બાજુને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $x = -\frac{5}{2}$ મળે છે.
તેથી,$-\frac{5}{2}$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે.
આમ,$(b)$ સાચો જવાબ છે.

(C) ધારો કે બહુપદી $p(x) = 2x^2 + 7x - 4$ છે.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ:
$2x^2 + 7x - 4 = 0$
$2x^2 + 8x - x - 4 = 0$
$2x(x + 4) - 1(x + 4) = 0$
$(2x - 1)(x + 4) = 0$
આથી $2x - 1 = 0$ અથવા $x + 4 = 0$ મળે.
તેથી,$x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = -4$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{1}{2}$ એ એક શૂન્ય છે.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(FALSE) આપેલ વિધાન ખોટું છે.
સમર્થન: બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય એ એવી કિંમત $k$ છે કે જેના માટે $p(k) = 0$ થાય. ઉદાહરણ તરીકે,બહુપદી $p(x) = x - 2$ લો. $p(x) = 0$ લેતા,આપણને $x - 2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$. અહીં,$2$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે,જે $0$ નથી. તેથી,બહુપદીનું શૂન્ય કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે,માત્ર $0$ જ હોય તે જરૂરી નથી.

(B) આપેલ વિધાન અસત્ય છે.
સમર્થન: બહુપદીને એકથી વધુ શૂન્ય હોઈ શકે છે. બહુપદીના શૂન્યોની સંખ્યા તેની ઘાત પર આધાર રાખે છે. બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$n$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને વધુમાં વધુ $n$ વાસ્તવિક શૂન્યો હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે,દ્વિઘાત બહુપદી $(\text{degree} = 2)$ ને વધુમાં વધુ $2$ શૂન્યો હોઈ શકે છે,અને ત્રિઘાત બહુપદી $(\text{degree} = 3)$ ને વધુમાં વધુ $3$ શૂન્યો હોઈ શકે છે.

(B) ધારો કે $p(x) = x^{3}+3x^{2}+3x+1$.
જ્યારે $p(x)$ ને $5+2x$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે આપણે શેષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,ભાજક $5+2x$ નું શૂન્ય શોધો:
$5+2x = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2}$.
હવે,$p(-\frac{5}{2})$ ની કિંમત શોધો:
$p(-\frac{5}{2}) = (-\frac{5}{2})^{3} + 3(-\frac{5}{2})^{2} + 3(-\frac{5}{2}) + 1$
$= -\frac{125}{8} + 3(\frac{25}{4}) - \frac{15}{2} + 1$
$= -\frac{125}{8} + \frac{75}{4} - \frac{15}{2} + 1$
$= \frac{-125 + 150 - 60 + 8}{8}$
$= \frac{-27}{8}$.
આમ,જરૂરી શેષ $-\frac{27}{8}$ છે.

(C) ધારો કે બહુપદી $p(x) = 3x^{3} - 4x^{2} + 7x - 5$ છે.
$x = -3$ આગળ કિંમત શોધવા માટે,આપણે બહુપદીમાં $x$ ની જગ્યાએ $-3$ મૂકીશું:
$p(-3) = 3(-3)^{3} - 4(-3)^{2} + 7(-3) - 5$
ઘાતની ગણતરી કરતા:
$p(-3) = 3(-27) - 4(9) - 21 - 5$
ગુણાકાર કરતા:
$p(-3) = -81 - 36 - 21 - 5$
ઋણ સંખ્યાઓનો સરવાળો કરતા:
$p(-3) = -143$.

(B) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય એ એવી સંખ્યા $c$ છે કે જેના માટે $p(c) = 0$ થાય.
ધારો કે $p(x) = x - 3$.
$-3$ એ શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $p(-3)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(-3) = -3 - 3 = -6$.
અહીં $p(-3) = -6 \neq 0$ હોવાથી,$-3$ એ બહુપદી $x - 3$ નું શૂન્ય નથી.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય એ એવી સંખ્યા $c$ છે કે જેના માટે $p(c) = 0$ થાય.
ધારો કે $p(x) = 3x + 1$.
ચકાસણી કરવા માટે,$x = -\frac{1}{3}$ ને બહુપદીમાં મૂકો:
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\left(-\frac{1}{3}\right) + 1$
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = -1 + 1 = 0$.
અહીં $p\left(-\frac{1}{3}\right) = 0$ મળે છે,તેથી તે સાબિત થાય છે કે $-\frac{1}{3}$ એ $3x + 1$ બહુપદીનું શૂન્ય છે. તેથી,આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(FALSE) બહુપદી $p(y)$ નું શૂન્ય એ એવી કિંમત $c$ છે કે જેના માટે $p(c) = 0$ થાય.
ધારો કે $p(y) = 4 - 5y$.
બહુપદીમાં $y = -\frac{4}{5}$ મૂકતા:
$p\left(-\frac{4}{5}\right) = 4 - 5\left(-\frac{4}{5}\right)$
$p\left(-\frac{4}{5}\right) = 4 + 4 = 8$.
અહીં $p\left(-\frac{4}{5}\right) \neq 0$ હોવાથી,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.
તેથી,$-\frac{4}{5}$ એ $4 - 5y$ નું શૂન્ય નથી.

(TRUE) બહુપદી $p(t)$ નું શૂન્ય એ એવી સંખ્યા $c$ છે કે જેથી $p(c) = 0$ થાય.
ધારો કે $p(t) = t^{2} - 2t$.
$t = 0$ માટે:
$p(0) = (0)^{2} - 2(0) = 0 - 0 = 0$.
$t = 2$ માટે:
$p(2) = (2)^{2} - 2(2) = 4 - 4 = 0$.
અહીં $p(0) = 0$ અને $p(2) = 0$ હોવાથી,આપેલ વિધાન સાચું છે. આમ,$0$ અને $2$ એ બહુપદી $t^{2} - 2t$ ના શૂન્યો છે.

(TRUE) બહુપદી $p(y)$ નું શૂન્ય એ એવી સંખ્યા $c$ છે કે જેના માટે $p(c) = 0$ થાય.
ધારો કે $p(y) = y^{2} + y - 6$.
બહુપદીમાં $y = -3$ મૂકતા:
$p(-3) = (-3)^{2} + (-3) - 6$
$p(-3) = 9 - 3 - 6$
$p(-3) = 0$.
અહીં $p(-3) = 0$ હોવાથી,$-3$ એ બહુપદી $y^{2} + y - 6$ નું શૂન્ય છે,તે વિધાન સત્ય છે.

(D) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આપેલ છે કે $p(x) = x - 4$.
બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 4 = 0$
સમીકરણની બંને બાજુએ $4$ ઉમેરતા:
$x = 4$
તેથી,બહુપદી $p(x) = x - 4$ નું શૂન્ય $4$ છે.

(A) બહુપદી $g(x) = 3 - 6x$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $g(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$3 - 6x = 0$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા:
$-6x = -3$
બંને બાજુને $-6$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{-3}{-6}$
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{1}{2}$
તેથી,બહુપદી $g(x) = 3 - 6x$ નું શૂન્ય $\frac{1}{2}$ છે.

(B) બહુપદી $q(x) = 2x - 7$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$q(x) = 0$
$2x - 7 = 0$
બંને બાજુ $7$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$2x = 7$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{7}{2}$
તેથી,બહુપદી $q(x) = 2x - 7$ નું શૂન્ય $\frac{7}{2}$ છે.

(C) બહુપદી $h(y) = 2y$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે બહુપદીને શૂન્યની બરાબર લઈએ છીએ.
$h(y) = 0$
$2y = 0$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$y = 0$
તેથી,$0$ એ બહુપદી $h(y) = 2y$ નું શૂન્ય છે.

(D) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આપેલ છે કે $p(x) = (x-2)^{2} - (x+2)^{2}$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = (x-2)$ અને $b = (x+2)$ છે:
$p(x) = [(x-2) - (x+2)] \cdot [(x-2) + (x+2)] = 0$
$p(x) = (x - 2 - x - 2) \cdot (x - 2 + x + 2) = 0$
$p(x) = (-4) \cdot (2x) = 0$
$-8x = 0$
$x = 0$
આમ,બહુપદીનું શૂન્ય $0$ છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = x^{2}-x-6$.
$x = 3$ માટે:
$p(3) = (3)^{2} - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$.
અહીં $p(3) = 0$ હોવાથી,$3$ એ બહુપદી $x^{2}-x-6$ નું શૂન્ય છે.
$x = 5$ માટે:
$p(5) = (5)^{2} - 5 - 6 = 25 - 5 - 6 = 14$.
અહીં $p(5) \neq 0$ હોવાથી,$5$ એ બહુપદી $x^{2}-x-6$ નું શૂન્ય નથી.

(B) આપેલ બહુપદી $p(x)=5 x-8$ છે.
બહુપદીનું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x)=0$ લઈએ છીએ.
તેથી,$5 x-8=0$.
બંને બાજુ $8$ ઉમેરતા,આપણને $5 x=8$ મળે છે.
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા,આપણને $x=\frac{8}{5}$ મળે છે.
આમ,બહુપદી $p(x)=5 x-8$ નું શૂન્ય $\frac{8}{5}$ છે.

(C) $x=1$ આગળ બહુપદી $p(x) = x^{2}-7x+12$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $1$ મૂકીશું.
$p(1) = (1)^{2} - 7(1) + 12$
$p(1) = 1 - 7 + 12$
$p(1) = -6 + 12$
$p(1) = 6$
આમ,$x=1$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય $6$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = x^{2} - 7x + 12$ ની કિંમત $x = 3$ આગળ શોધવા માટે,આપણે અભિવ્યક્તિમાં $x$ ની જગ્યાએ $3$ મૂકીશું:
$p(3) = (3)^{2} - 7(3) + 12$
$p(3) = 9 - 21 + 12$
$p(3) = 21 - 21$
$p(3) = 0$
તેથી,$x = 3$ આગળ બહુપદીની કિંમત $0$ છે.

(B) $x=4$ આગળ બહુપદી $p(x) = x^{2}-7x+12$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $4$ મૂકીશું.
$p(4) = (4)^{2} - 7(4) + 12$
$p(4) = 16 - 28 + 12$
$p(4) = 28 - 28$
$p(4) = 0$
તેથી,$x=4$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય $0$ છે.

કિંમતો શોધવા માટે,આપણે $x = 1$,$x = 2$ અને $x = 4$ ને બહુપદી $p(x) = x^{3} - 7x^{2} + 14x - 8$ માં મૂકીશું.
$1$. $p(1)$ માટે:
$p(1) = (1)^{3} - 7(1)^{2} + 14(1) - 8 = 1 - 7 + 14 - 8 = 0$.
$2$. $p(2)$ માટે:
$p(2) = (2)^{3} - 7(2)^{2} + 14(2) - 8 = 8 - 7(4) + 28 - 8 = 8 - 28 + 28 - 8 = 0$.
$3$. $p(4)$ માટે:
$p(4) = (4)^{3} - 7(4)^{2} + 14(4) - 8 = 64 - 7(16) + 56 - 8 = 64 - 112 + 56 - 8 = 0$.
આમ,$p(1) = 0$,$p(2) = 0$ અને $p(4) = 0$ છે.

(N/A) બહુપદી $p(x) = x^{2} - 3x + 2$ ની કિંમતો $x = 1, 2, 4$ માટે શોધવા માટે,આપણે આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકીશું:
$1$. $x = 1$ માટે: $p(1) = (1)^{2} - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.
$2$. $x = 2$ માટે: $p(2) = (2)^{2} - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$.
$3$. $x = 4$ માટે: $p(4) = (4)^{2} - 3(4) + 2 = 16 - 12 + 2 = 6$.
આમ,કિંમતો $p(1) = 0$,$p(2) = 0$ અને $p(4) = 6$ છે.

(D) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{2} - 2x - 15$ છે.
$2$ એ શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $p(2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(2) = (2)^{2} - 2(2) - 15 = 4 - 4 - 15 = -15$.
અહીં $p(2) \neq 0$ હોવાથી,$2$ એ બહુપદીનું શૂન્ય નથી.
$5$ એ શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $p(5)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(5) = (5)^{2} - 2(5) - 15 = 25 - 10 - 15 = 0$.
અહીં $p(5) = 0$ હોવાથી,$5$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે.

(C) કોઈ કિંમત બહુપદી $p(x) = x^{2} - 5x - 14$ નું શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે તે કિંમતને બહુપદીમાં મૂકીએ છીએ અને તપાસીએ છીએ કે પરિણામ $0$ મળે છે કે નહીં.
$x = 3$ માટે:
$p(3) = (3)^{2} - 5(3) - 14$
$p(3) = 9 - 15 - 14$
$p(3) = -20$
અહીં $p(3) \neq 0$ હોવાથી,$3$ એ બહુપદીનું શૂન્ય નથી.
$x = 7$ માટે:
$p(7) = (7)^{2} - 5(7) - 14$
$p(7) = 49 - 35 - 14$
$p(7) = 49 - 49$
$p(7) = 0$
અહીં $p(7) = 0$ હોવાથી,$7$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે.

(A) બહુપદી $p(x) = 3x - 4$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$3x - 4 = 0$
બંને બાજુ $4$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$3x = 4$
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{4}{3}$
તેથી,બહુપદીનું શૂન્ય $\frac{4}{3}$ છે.

(D) બહુપદી $p(t)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(t) = 0$ લઈએ છીએ.
આપેલ છે કે $p(t) = 7t - 21$.
બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$7t - 21 = 0$
બંને બાજુ $21$ ઉમેરતા:
$7t = 21$
બંને બાજુ $7$ વડે ભાગતા:
$t = \frac{21}{7}$
$t = 3$
તેથી,બહુપદીનું શૂન્ય $3$ છે.

(N/A) બહુપદી $q(y)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $q(y) = 0$ લઈએ છીએ.
તેથી,$\pi y + 3.14 = 0$.
બંને બાજુથી $3.14$ બાદ કરતાં,આપણને $\pi y = -3.14$ મળે છે.
બંને બાજુને $\pi$ વડે ભાગતા,આપણને $y = -\frac{3.14}{\pi}$ મળે છે.
આમ,બહુપદીનું શૂન્ય $-\frac{3.14}{\pi}$ છે.

(D) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$\frac{2}{3}x + \frac{5}{4} = 0$
બંને બાજુથી $\frac{5}{4}$ બાદ કરતા:
$\frac{2}{3}x = -\frac{5}{4}$
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે બંને બાજુ $\frac{3}{2}$ વડે ગુણતા:
$x = -\frac{5}{4} \times \frac{3}{2}$
$x = -\frac{15}{8}$

(C) બહુપદી $q(m)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $q(m) = 0$ લઈએ છીએ.
$0.3m - 0.15 = 0$
$0.3m = 0.15$
$m = \frac{0.15}{0.3}$
$m = \frac{15}{30}$
$m = 0.5$
તેથી,બહુપદીનું શૂન્ય $0.5$ છે.