Average Questions in Hindi

(A) माना अभाज्य संख्याओं का औसत $P$ है और भाज्य संख्याओं का औसत $C$ है। माना अभाज्य संख्याओं की संख्या $x$ है,तो भाज्य संख्याओं की संख्या $2x$ होगी।
सभी संख्याओं का औसत: $\frac{Px + C(2x)}{x + 2x} = 9 \Rightarrow \frac{Px + 2Cx}{3x} = 9 \Rightarrow P + 2C = 27$ (समीकरण $i$)।
यदि संख्याओं की संख्या को आपस में बदल दिया जाए,तो अभाज्य संख्याओं की संख्या $2x$ और भाज्य संख्याओं की संख्या $x$ हो जाती है। नया औसत $9 + 2 = 11$ है:
$\frac{P(2x) + Cx}{2x + x} = 11 \Rightarrow \frac{2Px + Cx}{3x} = 11 \Rightarrow 2P + C = 33$ (समीकरण $ii$)।
समीकरणों को हल करने पर:
$(i)$ से,$P = 27 - 2C$।
(ii) में रखने पर: $2(27 - 2C) + C = 33 \Rightarrow 54 - 4C + C = 33 \Rightarrow 3C = 21 \Rightarrow C = 7$।
$C = 7$ को $(i)$ में रखने पर: $P + 2(7) = 27 \Rightarrow P + 14 = 27 \Rightarrow P = 13$।
भाज्य संख्याओं के औसत और अभाज्य संख्याओं के औसत का अनुपात $\frac{C}{P} = \frac{7}{13}$ है।

(C) माना कि विषयों की प्रारंभिक संख्या $n$ है और औसत अंक $x$ है। प्रारंभिक कुल अंक $= nx.$
जब $40$ अंकों वाले एक विषय को $23$ और $25$ अंकों वाले दो विषयों से बदला जाता है,तो विषयों की नई संख्या $(n+1)$ हो जाती है और नया औसत $(x-1)$ हो जाता है।
अतः,$(n+1)(x-1) = nx - 40 + 23 + 25.$
$nx - n + x - 1 = nx + 8 \Rightarrow x - n = 9$ (समीकरण $I$).
इसके बाद,जब कंप्यूटर साइंस के $57$ अंक जोड़े जाते हैं,तो विषयों की कुल संख्या $(n+2)$ हो जाती है और औसत $(x-1) + 2 = x+1$ हो जाता है।
अतः,$(n+2)(x+1) = (nx - 40 + 23 + 25) + 57.$
$nx + n + 2x + 2 = nx + 65 \Rightarrow n + 2x = 63$ (समीकरण $II$).
समीकरण $I$ से,$x = n + 9.$ इस मान को समीकरण $II$ में रखने पर:
$n + 2(n + 9) = 63 \Rightarrow n + 2n + 18 = 63 \Rightarrow 3n = 45 \Rightarrow n = 15.$
अतः,प्रारंभ में $15$ विषय थे.

(A) माना $H$ डोनाल्ड की आयु है,$W$ उसकी पत्नी की आयु है,$D$ उसकी बेटी की आयु है और $S$ उसके बेटे की आयु है।
परिवार के $4$ सदस्यों की औसत आयु $23 \text{ वर्ष}$ है,इसलिए उनकी आयु का योग $H + W + D + S = 23 \times 4 = 92 \text{ वर्ष}$ है।
दिया गया है: $H = W + 4$.
माना बेटे के जन्म के बाद $x$ वर्ष बीत चुके हैं। उस समय,$H = 32$,$W = 28$,$D = 4$,और $S = 0$ थे। उनकी आयु का योग $32 + 28 + 4 + 0 = 64$ था।
चूंकि $92 - 64 = 28$ वर्ष पूरे परिवार के लिए बीत चुके हैं,और $4$ सदस्य हैं,इसलिए बेटे के जन्म के बाद बीता हुआ समय $28 / 4 = 7 \text{ वर्ष}$ है।
वर्तमान आयु:
$H = 32 + 7 = 39 \text{ वर्ष}$.
$W = 28 + 7 = 35 \text{ वर्ष}$.
$D = 4 + 7 = 11 \text{ वर्ष}$.
$S = 0 + 7 = 7 \text{ वर्ष}$.
जांच: $39 + 35 + 11 + 7 = 92$. यह कुल योग से मेल खाता है।
डोनाल्ड $(39)$ और उसकी बेटी $(11)$ की औसत आयु $(39 + 11) / 2 = 50 / 2 = 25 \text{ वर्ष}$ है।

(B) मान लीजिए कि $6$ क्रमागत विषम संख्याएँ $(a-5), (a-3), (a-1), (a+1), (a+3), (a+5)$ हैं।
सभी $6$ संख्याओं का औसत $\frac{(a-5)+(a-3)+(a-1)+(a+1)+(a+3)+(a+5)}{6} = a$ है।
दिया गया है कि पहली और अंतिम संख्या के वर्गों का योग $178$ है:
$(a-5)^2 + (a+5)^2 = 178$
$(a^2 - 10a + 25) + (a^2 + 10a + 25) = 178$
$2a^2 + 50 = 178$
$2a^2 = 128$
$a^2 = 64$
$a = 8$ (चूंकि संख्याएँ धनात्मक हैं)।
पहली शर्त के साथ सत्यापन:
पहली $4$ संख्याओं के वर्गों का औसत: $\frac{(a-5)^2 + (a-3)^2 + (a-1)^2 + (a+1)^2}{4} = \frac{(3)^2 + (5)^2 + (7)^2 + (9)^2}{4} = \frac{9 + 25 + 49 + 81}{4} = \frac{164}{4} = 41$.
अंतिम $4$ संख्याओं के वर्गों का औसत: $\frac{(a-1)^2 + (a+1)^2 + (a+3)^2 + (a+5)^2}{4} = \frac{(7)^2 + (9)^2 + (11)^2 + (13)^2}{4} = \frac{49 + 81 + 121 + 169}{4} = \frac{420}{4} = 105$.
अंतर: $105 - 41 = 64$। यह दी गई शर्त से मेल खाता है।
अतः,सभी $6$ संख्याओं का औसत $a = 8$ है।

(A) मान लीजिए कि $10$ निदेशकों की कुल आयु $T_1 = 10 \times 48 = 480$ वर्ष है।
मान लीजिए कि मृत निदेशक की आयु $x$ वर्ष है।
जब $53$ वर्ष के एक निदेशक ने इस्तीफा दिया और $x$ वर्ष के एक निदेशक की मृत्यु हो गई,और $34$ वर्ष का एक नया निदेशक शामिल हुआ,तो निदेशकों की संख्या $9$ हो गई।
उस समय उन $9$ निदेशकों की कुल आयु $T_2 = 480 - 53 - x + 34 = 461 - x$ थी।
एक वर्ष बाद,सभी $9$ निदेशकों की आयु में $1$ वर्ष की वृद्धि हुई,इसलिए कुल आयु में $9 \times 1 = 9$ वर्ष की वृद्धि हुई।
नई कुल आयु $T_3 = (461 - x) + 9 = 470 - x$ है।
हमें दिया गया है कि एक वर्ष बाद इन $9$ निदेशकों की औसत आयु $46$ वर्ष है।
इसलिए,$T_3 = 9 \times 46 = 414$।
$T_3$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $470 - x = 414$।
$x$ के लिए हल करने पर: $x = 470 - 414 = 56$।
अतः,मृत निदेशक की आयु $56$ वर्ष थी।

(D) $6$ संख्याओं का योग $= 6 \times 20 = 120$ है।
एक संख्या हटाने के बाद, संख्याओं की संख्या $5$ हो जाती है और नया औसत $15$ है।
शेष $5$ संख्याओं का योग $= 5 \times 15 = 75$ है।
हटाई गई संख्या $= (\text{6 संख्याओं का योग}) - (\text{5 संख्याओं का योग})$.
हटाई गई संख्या $= 120 - 75 = 45$.

(D) मान लीजिए कि $3$ वर्ष पहले $5$ सदस्यों की आयु का योग $S$ था।
तो,$3$ वर्ष पहले औसत आयु $\frac{S}{5}$ थी।
उन्हीं $5$ सदस्यों की वर्तमान आयु का योग (बिना प्रतिस्थापन के) $S + (5 \times 3) = S + 15$ होगा।
मान लीजिए कि पुराने सदस्य की आयु $X$ है और नए सदस्य की आयु $Y$ है।
पुराने सदस्य को नए सदस्य से बदलने के बाद,आयु का नया योग $(S + 15) - X + Y$ हो जाता है।
नई औसत आयु $\frac{S + 15 - X + Y}{5}$ है।
प्रश्न के अनुसार,यह नया औसत $3$ वर्ष पहले की औसत आयु यानी $\frac{S}{5}$ के बराबर है।
इसलिए,$\frac{S + 15 - X + Y}{5} = \frac{S}{5}$.
$S + 15 - X + Y = S$.
$15 - X + Y = 0$.
$X - Y = 15$.
अतः,प्रतिस्थापित सदस्य और नए सदस्य की आयु के बीच का अंतर $15$ वर्ष है।

(D) पहली $25$ संख्याओं का योग $= 25 \times 10 = 250$.
अगली $25$ संख्याओं का योग $= 25 \times 12 = 300$.
सभी $50$ संख्याओं का कुल योग $= 250 + 300 = 550$.
सभी $50$ संख्याओं का औसत $= \frac{\text{कुल योग}}{\text{कुल संख्या}} = \frac{550}{50} = 11$.

(B) $m$ संख्याओं का योग $m \times n^{2} = mn^{2}$ है।
$n$ संख्याओं का योग $n \times m^{2} = nm^{2}$ है।
$(m + n)$ संख्याओं का कुल योग $mn^{2} + nm^{2}$ है।
$(m + n)$ संख्याओं का औसत इस प्रकार निकाला जाता है:
$\text{औसत} = \frac{\text{कुल योग}}{\text{कुल संख्या}} = \frac{mn^{2} + nm^{2}}{m + n}$.
अंश से $mn$ कॉमन लेने पर:
$\text{औसत} = \frac{mn(n + m)}{m + n}$.
चूंकि $(n + m) = (m + n)$,इसलिए वे कट जाएंगे:
$\text{औसत} = mn$.

(B) $3$ के प्रथम $9$ पूर्णांक गुणज एक समांतर श्रेणी बनाते हैं: $3, 6, 9, \dots, 27$।
यहाँ, प्रथम पद $a = 3$, सार्व अंतर $d = 3$, और पदों की संख्या $n = 9$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$S_9 = \frac{9}{2}[2(3) + (9 - 1)3] = \frac{9}{2}[6 + 24] = \frac{9}{2} \times 30 = 9 \times 15 = 135$।
औसत = $\frac{\text{पदों का योग}}{\text{पदों की संख्या}} = \frac{135}{9} = 15$।
वैकल्पिक रूप से, समांतर श्रेणी के लिए, औसत मध्य पद होता है: $\frac{a + l}{2} = \frac{3 + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15$।

(B) सभी $11$ संख्याओं का योग $= 35 \times 11 = 385$.
पहली $6$ संख्याओं का योग $= 32 \times 6 = 192$.
अंतिम $6$ संख्याओं का योग $= 37 \times 6 = 222$.
छठी संख्या पहली $6$ और अंतिम $6$ दोनों संख्याओं में गिनी जाती है।
इसलिए, छठी संख्या $= (\text{पहली } 6 \text{ संख्याओं का योग} + \text{अंतिम } 6 \text{ संख्याओं का योग}) - \text{सभी } 11 \text{ संख्याओं का योग}$.
छठी संख्या $= 192 + 222 - 385 = 414 - 385 = 29$.

(A) $m$ से शुरू होने वाले $5$ क्रमागत पूर्णांक $m, m + 1, m + 2, m + 3, m + 4$ हैं।
उनका औसत: $\frac{m + (m + 1) + (m + 2) + (m + 3) + (m + 4)}{5} = n$ है।
अंश को सरल करने पर: $\frac{5m + 10}{5} = n$,जिससे $m + 2 = n$ प्राप्त होता है।
अब,$(m + 2)$ से शुरू होने वाले $6$ क्रमागत पूर्णांक: $(m + 2), (m + 3), (m + 4), (m + 5), (m + 6), (m + 7)$ हैं।
उनका औसत: $\frac{(m + 2) + (m + 3) + (m + 4) + (m + 5) + (m + 6) + (m + 7)}{6}$ है।
योग करने पर: $\frac{6m + 27}{6} = m + \frac{27}{6} = m + 4.5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m = n - 2$,मान प्रतिस्थापित करने पर: $(n - 2) + 4.5 = n + 2.5$ प्राप्त होता है।
भिन्न रूप में: $n + \frac{5}{2} = \frac{2n + 5}{2}$ होगा।

(B) $100$ मदों का प्रारंभिक योग $= 46 \times 100 = 4600$ है।
गलत पढ़ी गई मदों को सुधारते हुए: मद $16$ को $61$ पढ़ा गया था (अतः $61$ घटाएं और $16$ जोड़ें) और $43$ को $34$ पढ़ा गया था (अतः $34$ घटाएं और $43$ जोड़ें)।
सही योग $= 4600 - 61 + 16 - 34 + 43 = 4564$ है।
चूंकि मदों की वास्तविक संख्या $90$ है,इसलिए सही माध्य $= \frac{4564}{90} = 50.711... \approx 50.7$ है।

(C) दिया गया है कि $x$ और $\frac{1}{x}$ का औसत $M$ है।
$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} = M$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$x + \frac{1}{x} = 2M$
अब,हमें $x^{2}$ और $\frac{1}{x^{2}}$ का औसत ज्ञात करना है,जो इस प्रकार है:
$\text{औसत} = \frac{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}{2}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab$ का उपयोग करते हुए:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2(x)(\frac{1}{x}) = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2$
$(x + \frac{1}{x}) = 2M$ का मान रखने पर:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (2M)^{2} - 2 = 4M^{2} - 2$
अतः,अभीष्ट औसत है:
$\frac{4M^{2} - 2}{2} = 2M^{2} - 1$

(B) $n$ संख्याओं $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ का औसत $\bar{x}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{n}$
इसका अर्थ है कि $\sum_{i=1}^{n} x_{i} = n\bar{x}$ .....$(i)$
अब,हमें $\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})$ का मान ज्ञात करना है:
$\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} - \sum_{i=1}^{n} \bar{x}$
चूंकि $\bar{x}$ एक स्थिरांक है,इसलिए $\sum_{i=1}^{n} \bar{x} = n\bar{x}$।
समीकरण $(i)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x}) = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$
अतः,प्रेक्षणों का उनके माध्य से विचलनों का योग हमेशा $0$ होता है।

(C) छह संख्याओं का कुल योग $32 \times 6 = 192$ है।
प्रश्न के अनुसार,पहली तीन संख्याओं में से प्रत्येक को $2$ से बढ़ाने पर,योग में कुल $3 \times 2 = 6$ की वृद्धि होती है।
शेष तीन संख्याओं में से प्रत्येक को $4$ से घटाने पर,योग में कुल $3 \times 4 = 12$ की कमी होती है।
अतः,संख्याओं का नया योग $192 + 6 - 12 = 186$ है।
नया औसत नए योग को कुल संख्याओं से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: $\frac{186}{6} = 31$.

(B) माना कि तीन संख्याएँ $A, B,$ और $C$ हैं,जहाँ $A$ सबसे बड़ी संख्या है।
दिया गया है कि तीन संख्याओं का औसत $135$ है,इसलिए उनका योग $135 \times 3 = 405$ है।
चूंकि सबसे बड़ी संख्या $A = 195$ है,इसलिए अन्य दो संख्याओं का योग $B + C = 405 - 195 = 210$ $(i)$ होगा।
हमें यह भी दिया गया है कि अन्य दो संख्याओं के बीच का अंतर $20$ है,इसलिए $B - C = 20$ $(ii)$ होगा।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(B + C) + (B - C) = 210 + 20$
$2B = 230$
$B = 115$.
समीकरण $(i)$ में $B = 115$ रखने पर:
$115 + C = 210$
$C = 210 - 115 = 95$.
अतः,तीन संख्याएँ $195, 115,$ और $95$ हैं। इसलिए,सबसे छोटी संख्या $95$ है।

(A) मान लीजिए कि दस संख्याएँ $x_1, x_2, ..., x_{10}$ हैं।
सही औसत $A = \frac{\sum x_i}{10}$ है।
मान लीजिए कि अंकों के परस्पर बदलने वाली संख्या $N = 10a + b$ है। मूल संख्या $M = 10b + a$ थी।
संख्याओं के योग में हुआ परिवर्तन $M - N = (10b + a) - (10a + b) = 9(b - a)$ है।
यह दिया गया है कि औसत $1.8$ कम हो जाता है,इसलिए कुल योग $1.8 \times 10 = 18$ कम हो जाता है।
अतः,$9(b - a) = 18$ है।
$9$ से भाग देने पर,हमें $b - a = 2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,संख्या के अंकों के बीच का अंतर $2$ है।

(D) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग ज्ञात करने का सूत्र है: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का औसत योग को $n$ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
$\text{औसत} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$।
प्रथम $10$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए,सूत्र में $n = 10$ रखने पर:
$\text{औसत} = \frac{(10+1)(2 \times 10 + 1)}{6} = \frac{11 \times 21}{6}$।
$\text{औसत} = \frac{231}{6} = 38.5$।

(D) सभी $30$ संख्याओं का योग $= 30 \times 12 = 360$.
पहली $20$ संख्याओं का योग $= 20 \times 11 = 220$.
अगली $9$ संख्याओं का योग $= 9 \times 10 = 90$.
पहली $29$ संख्याओं का योग $= 220 + 90 = 310$.
अंतिम संख्या $= (\text{सभी } 30 \text{ संख्याओं का योग}) - (\text{पहली } 29 \text{ संख्याओं का योग})$.
अंतिम संख्या $= 360 - 310 = 50$.

(B) माना कि तीसरी संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार, दूसरी संख्या तीसरी संख्या की तीन गुनी है, इसलिए दूसरी संख्या $= 3x$ है।
दूसरी संख्या पहली संख्या की दोगुनी भी है, इसलिए $2 \times (\text{पहली संख्या}) = 3x$, जिसका अर्थ है कि पहली संख्या $= \frac{3x}{2}$ है।
तीनों संख्याओं का औसत $44$ दिया गया है, इसलिए उनका योग $44 \times 3 = 132$ है।
अतः, $x + 3x + \frac{3x}{2} = 132$ है।
भिन्न को हटाने के लिए $2$ से गुणा करने पर: $2x + 6x + 3x = 264$ प्राप्त होता है।
$11x = 264$, जिससे $x = 24$ प्राप्त होता है।
तीनों संख्याएँ इस प्रकार हैं:
पहली संख्या $= \frac{3(24)}{2} = 36$ है।
दूसरी संख्या $= 3(24) = 72$ है।
तीसरी संख्या $= 24$ है।
सबसे बड़ी संख्या $72$ है।

(D) $30$ संख्याओं का योग इस प्रकार है: $30 \times 15 = 450$।
पहली $18$ संख्याओं का योग: $18 \times 10 = 180$ है।
अगली $11$ संख्याओं का योग: $11 \times 20 = 220$ है।
पहली $29$ संख्याओं का कुल योग: $180 + 220 = 400$ है।
अंतिम संख्या कुल योग और पहली $29$ संख्याओं के योग के बीच का अंतर है: $450 - 400 = 50$।

(D) प्रथम $9$ अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,$ और $23$ हैं।
औसत ज्ञात करने के लिए,हम इन संख्याओं का योग करते हैं:
योग $= 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 = 100$.
कुल पदों की संख्या $9$ है।
औसत $= \frac{\text{पदों का योग}}{\text{पदों की संख्या}} = \frac{100}{9} = 11 \frac{1}{9}$.

(C) पहले चार महीनों के लिए कुल खर्च $= 1800 \times 4 = Rs. 7200$.
अगले आठ महीनों के लिए कुल खर्च $= 2000 \times 8 = Rs. 16000$.
वर्ष के दौरान कुल बचत $= Rs. 5600$.
कुल वार्षिक आय $=$ कुल खर्च $+$ कुल बचत।
कुल वार्षिक आय $= 7200 + 16000 + 5600 = Rs. 28800$.
औसत मासिक आय $= \frac{\text{कुल वार्षिक आय}}{12} = \frac{28800}{12} = Rs. 2400$.

(B) बच्चों की कुल संख्या = $16$ है।
सभी $16$ बच्चों के अंकों का योग = $16 \times 76 = 1216$ है।
समूह $A$ ($10$ बच्चे) द्वारा प्राप्त अंकों का योग = $10 \times 75 = 750$ है।
समूह $B$ ($6$ बच्चे) द्वारा प्राप्त अंकों का योग = $1216 - 750 = 466$ है।
समूह $B$ के औसत अंक = $\frac{466}{6} = \frac{233}{3} = 77 \frac{2}{3}$ हैं।

(B) पांच व्यक्तियों का कुल वजन $= 5 \times 38 = 190\, kg$ है।
नाव और पांच व्यक्तियों का कुल वजन (कुल $6$ इकाइयां) $= 6 \times 52 = 312\, kg$ है।
नाव का वजन $= (\text{नाव और व्यक्तियों का कुल वजन}) - (\text{व्यक्तियों का कुल वजन})$.
नाव का वजन $= 312 - 190 = 122\, kg$ है।

(A) माना $A, B$ और $C$ की कुल पॉकेट मनी $T_p$ है।
दिया गया है कि औसत पॉकेट मनी $Rs. 80$ है,इसलिए $T_p = 80 \times 3 = 240$ है।
माना कुल बिना खर्च की गई राशि $T_u$ है।
दिया गया है कि बिना खर्च की गई राशि का औसत $Rs. 60$ है,इसलिए $T_u = 60 \times 3 = 180$ है।
तीनों मित्रों द्वारा खर्च की गई कुल राशि $T_p - T_u = 240 - 180 = 60$ है।
माना $A$ ने $Rs. x$ खर्च किए। तो $B$ ने $Rs. 2x$ और $C$ ने $Rs. 3x$ खर्च किए।
प्रश्न के अनुसार,उनके खर्च का योग $x + 2x + 3x = 60$ है।
$6x = 60 \Rightarrow x = 10$ है।
अतः,$A$ ने $Rs. 10$ खर्च किए।

(C) जीतने के लिए आवश्यक कुल रन $= 20 \times 7.2 = 144$।
$15^{th}$ ओवर के अंत तक बनाए गए कुल रन $= 15 \times 6 = 90$।
आवश्यक शेष रन $= 144 - 90 = 54$।
शेष ओवर $= 20 - 15 = 5$।
शेष $5$ ओवर के लिए आवश्यक रन रेट $= \frac{54}{5} = 10.8$।

(C) माना कि सभी नौ व्यक्तियों का औसत खर्च $x$ है।
आठ व्यक्तियों का कुल खर्च $8 \times 30 = 240$ है।
नौवें व्यक्ति का खर्च $x + 20$ है।
सभी नौ व्यक्तियों का कुल खर्च $240 + (x + 20) = x + 260$ है।
चूंकि औसत $x$ है,हमारे पास समीकरण है:
$x = \frac{x + 260}{9}$
दोनों पक्षों को $9$ से गुणा करने पर:
$9x = x + 260$
$8x = 260$
$x = \frac{260}{8} = 32.5$
अतः,कुल खर्च $9x = 9 \times 32.5 = 292.5$ है।

(D) मान लीजिए $H$ उच्चतम स्कोर है और $L$ न्यूनतम स्कोर है।
$64$ पारियों के लिए कुल रन $= 64 \times 62 = 3968$.
दो पारियों को हटाने के बाद,शेष पारियों की संख्या $64 - 2 = 62$ है।
शेष $62$ पारियों के लिए कुल रन $= 62 \times 60 = 3720$.
उच्चतम और न्यूनतम स्कोर का योग $H + L = 3968 - 3720 = 248$ है।
हमें दिया गया है कि $H - L = 180$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(H + L) + (H - L) = 248 + 180$.
$2H = 428$.
$H = 214$.
अतः,उच्चतम स्कोर $214$ रन है।

(D) $20$ लड़कों के वजन का प्रारंभिक योग $= 89.4 \times 20 = 1788 \, kg$ है।
सही वजन और गलत पढ़े गए वजन के बीच का अंतर $87 - 78 = 9 \, kg$ है।
अतः,वजन का सही योग $= 1788 + 9 = 1797 \, kg$ होगा।
सही औसत वजन $= \frac{1797}{20} = 89.85 \, kg$ है।

(D) $75$ पेंसिल की कुल कीमत $= 75 \times 2 = Rs. \, 150$ है।
$30$ पेन की कुल कीमत $= 510 - 150 = Rs. \, 360$ है।
$30$ पेन की औसत कीमत $= \frac{360}{30} = Rs. \, 12$ है।

(C) माना कि अंतिम मैच से पहले क्रिकेटर द्वारा लिए गए विकेटों की संख्या $x$ है।
अंतिम मैच से पहले दिए गए कुल रन $= 12.4x$ हैं।
अंतिम मैच में,उसने $26$ रन देकर $5$ विकेट लिए।
नए कुल विकेट $= x + 5$ हैं।
नए कुल रन $= 12.4x + 26$ हैं।
नई गेंदबाजी औसत $12.4 - 0.2 = 12.2$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$\frac{12.4x + 26}{x + 5} = 12.2$
$12.4x + 26 = 12.2(x + 5)$
$12.4x + 26 = 12.2x + 61$
$12.4x - 12.2x = 61 - 26$
$0.2x = 35$
$x = \frac{35}{0.2} = 175$.
अतः,अंतिम मैच से पहले लिए गए विकेटों की संख्या $175$ थी।

(B) माना कि $64$ पारियों के लिए क्रिकेटर का औसत रन $x$ है।
$64$ पारियों में बनाए गए कुल रन $= 64x$.
$65$वीं पारी में,वह $0$ रन बनाता है।
$65$ पारियों के बाद कुल रन $= 64x + 0 = 64x$.
$65$ पारियों के बाद नया औसत $(x - 2)$ दिया गया है।
अतः,समीकरण इस प्रकार है: $\frac{64x}{65} = x - 2$.
दोनों पक्षों को $65$ से गुणा करने पर: $64x = 65(x - 2)$.
$64x = 65x - 130$.
$x = 130$.
नया औसत $x - 2 = 130 - 2 = 128$ है।

(C) पिता और माता की आयु का योग $= 38 \times 2 = 76 \text{ वर्ष}$।
पिता,माता और पुत्री की आयु का योग $= 28 \times 3 = 84 \text{ वर्ष}$।
पुत्री की आयु $= 84 - 76 = 8 \text{ वर्ष}$।

(B) $28$ छात्रों के कुल अंक $= 28 \times 50 = 1400$.
$8$ छात्रों के जाने के बाद,शेष छात्रों की संख्या $= 28 - 8 = 20$.
$20$ छात्रों का नया औसत $= 50 + 5 = 55$.
$20$ छात्रों के कुल अंक $= 20 \times 55 = 1100$.
स्कूल छोड़ने वाले $8$ छात्रों के कुल अंक $= 1400 - 1100 = 300$.
$8$ छात्रों के अंकों का औसत $= \frac{300}{8} = 37.5$.

(D) माना कि $25$ व्यक्तियों का प्रारंभिक औसत वजन $A \, kg$ है।
कुल प्रारंभिक वजन $= 25 \times A = 25A \, kg$ है।
जब $60 \, kg$ वजन वाले व्यक्ति को $W$ वजन वाले नए व्यक्ति से बदला जाता है,तो नया कुल वजन $25A - 60 + W$ हो जाता है।
नया औसत वजन $A + 1 \, kg$ है।
इसलिए,नया कुल वजन $25(A + 1) = 25A + 25$ है।
नए कुल वजन के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$25A - 60 + W = 25A + 25$.
$W - 60 = 25$.
$W = 60 + 25 = 85 \, kg$.
अतः,नए व्यक्ति का वजन $85 \, kg$ है।

(C) दिया गया है कि,मापों की संख्या $n = 20$ और प्रारंभिक औसत $= 56 \, cm$ है।
मापों का प्रारंभिक योग $= 56 \times 20 = 1120 \, cm$ है।
चूंकि एक माप $61 \, cm$ के बजाय $64 \, cm$ दर्ज किया गया था,इसलिए हमें योग में सुधार करने की आवश्यकता है।
सही योग $= 1120 - 64 + 61 = 1117 \, cm$ है।
सही औसत $= \frac{\text{सही योग}}{n} = \frac{1117}{20} = 55.85 \, cm$ है।

(A) $15$ छात्रों की कुल आयु $= 15 \times 15 = 225 \text{ वर्ष}$।
पहले $5$ छात्रों की कुल आयु $= 5 \times 14 = 70 \text{ वर्ष}$।
अन्य $9$ छात्रों की कुल आयु $= 9 \times 16 = 144 \text{ वर्ष}$।
$15$ वें छात्र की आयु $= 15$ छात्रों की कुल आयु $- (5$ छात्रों की कुल आयु $+ 9$ छात्रों की कुल आयु$)$।
$15$ वें छात्र की आयु $= 225 - (70 + 144) = 225 - 214 = 11 \text{ वर्ष}$।

(A) माना उत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या $x$ है।
अतः,अनुत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या $120 - x$ होगी।
सभी उम्मीदवारों द्वारा प्राप्त कुल अंक $120 \times 35 = 4200$ हैं।
उत्तीर्ण उम्मीदवारों द्वारा प्राप्त कुल अंक $39x$ हैं।
अनुत्तीर्ण उम्मीदवारों द्वारा प्राप्त कुल अंक $15(120 - x)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उत्तीर्ण और अनुत्तीर्ण उम्मीदवारों के अंकों का योग कुल अंकों के बराबर है:
$39x + 15(120 - x) = 4200$
$39x + 1800 - 15x = 4200$
$24x = 4200 - 1800$
$24x = 2400$
$x = 100$
अतः,परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले उम्मीदवारों की संख्या $100$ है।

(A) चार भाइयों की आयु का योग $= 4 \times 12 = 48 \, \text{वर्ष}$ है。
जब माता की आयु शामिल की जाती है, तो कुल व्यक्तियों की संख्या $5$ हो जाती है और नया औसत $12 + 5 = 17 \, \text{वर्ष}$ हो जाता है。
पाँच व्यक्तियों की आयु का योग (चार भाई + माता) $= 5 \times 17 = 85 \, \text{वर्ष}$ है。
अतः, माता की आयु $= 85 - 48 = 37 \, \text{वर्ष}$ है।

(D) माना प्रति छात्र प्रारंभिक औसत व्यय $x$ है।
प्रारंभिक कुल व्यय = $35x$.
छात्रों की नई संख्या = $35 + 7 = 42$.
प्रति छात्र नया औसत व्यय = $x - 1$.
नया कुल व्यय = $42(x - 1)$.
प्रश्न के अनुसार,कुल व्यय में $Rs. \,42$ की वृद्धि होती है:
$42(x - 1) = 35x + 42$.
$42x - 42 = 35x + 42$.
$42x - 35x = 42 + 42$.
$7x = 84$.
$x = 12$.
प्रारंभिक कुल व्यय = $35 \times 12 = Rs. \,420$.

(D) $34$ छात्रों का कुल वजन $= 34 \times 42 = 1428 \, kg$ है।
शिक्षक को शामिल करने के बाद,कुल व्यक्तियों की संख्या $34 + 1 = 35$ हो जाती है।
नया औसत वजन $= 42 \, kg + 400 \, g = 42 \, kg + 0.4 \, kg = 42.4 \, kg$ है।
$35$ व्यक्तियों का कुल वजन $= 35 \times 42.4 = 1484 \, kg$ है।
शिक्षक का वजन $=$ ($35$ व्यक्तियों का कुल वजन) $-$ ($34$ छात्रों का कुल वजन)।
शिक्षक का वजन $= 1484 - 1428 = 56 \, kg$ है।

(B) $100$ तक की विषम संख्याएँ $1, 3, 5, \dots, 99$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = 1$, अंतिम पद $l = 99$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
पदों की संख्या $n$ की गणना $l = a + (n - 1)d$ सूत्र द्वारा की जा सकती है, इसलिए $99 = 1 + (n - 1)2$, जिससे $98 = 2(n - 1)$ प्राप्त होता है, यानी $n - 1 = 49$, और $n = 50$।
समांतर श्रेणी का औसत निकालने का सूत्र $\text{औसत} = \frac{\text{प्रथम पद} + \text{अंतिम पद}}{2}$ है।
$\text{औसत} = \frac{1 + 99}{2} = \frac{100}{2} = 50$.

(D) मान लीजिए कि सात संख्याएँ $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ हैं।
पहली चार संख्याओं का औसत $4$ दिया गया है,इसलिए $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) / 4 = 4$,जिसका अर्थ है $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 16$।
अंतिम चार संख्याओं का औसत $4$ दिया गया है,इसलिए $(x_4 + x_5 + x_6 + x_7) / 4 = 4$,जिसका अर्थ है $x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 16$।
सभी सात संख्याओं का औसत $3$ दिया गया है,इसलिए $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7) / 7 = 3$,जिसका अर्थ है कि सभी सात संख्याओं का योग $21$ है।
पहली चार और अंतिम चार संख्याओं के योग को जोड़ने पर: $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) + (x_4 + x_5 + x_6 + x_7) = 16 + 16 = 32$।
इस योग में चौथी संख्या $(x_4)$ दो बार शामिल है। इसलिए,सभी सात संख्याओं का योग और चौथी संख्या का योग $32$ है।
$x_4 = (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7) - (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7) = 32 - 21 = 11$।
अतः,चौथी संख्या $11$ है।

(C) मान लीजिए कि उम्मीदवारों की कुल संख्या $n$ है।
प्रारंभिक कुल अंक = $60n$ है।
जब $80$ उम्मीदवारों के अंकों को $95$ से बदलकर $70$ किया जाता है,तो प्रत्येक उम्मीदवार के अंकों में कमी $(95 - 70) = 25$ होती है।
$80$ उम्मीदवारों के लिए कुल कमी $80 \times 25 = 2000$ है।
नए कुल अंक = $60n - 2000$ हैं।
यह दिया गया है कि नया औसत $55$ है,इसलिए नए कुल अंक = $55n$ हैं।
नए कुल अंकों के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$60n - 2000 = 55n$
$60n - 55n = 2000$
$5n = 2000$
$n = 400$ है।
अतः,उम्मीदवारों की कुल संख्या $400$ है।

(C) प्रारंभिक छात्रों की संख्या $= 15$ है।
प्रारंभिक औसत आयु $= 10$ वर्ष है।
$15$ छात्रों की कुल आयु $= 15 \times 10 = 150$ वर्ष है।
जब $5$ और छात्र शामिल होते हैं,तो कुल छात्रों की संख्या $15 + 5 = 20$ हो जाती है।
नई औसत आयु $10 + 1 = 11$ वर्ष हो जाती है।
$20$ छात्रों की कुल आयु $= 20 \times 11 = 220$ वर्ष है।
$5$ नए छात्रों की कुल आयु $= 220 - 150 = 70$ वर्ष है।
$5$ नए छात्रों की औसत आयु $(x)$ $= \frac{70}{5} = 14$ वर्ष है।

(C) माना यात्रा की कुल दूरी $S$ है।
यात्रा के पहले $\frac{1}{3}$ भाग के लिए $60\, km/h$ की गति से लिया गया समय $t_1 = \frac{S/3}{60} = \frac{S}{180}$ घंटे है।
यात्रा के दूसरे $\frac{1}{3}$ भाग के लिए $30\, km/h$ की गति से लिया गया समय $t_2 = \frac{S/3}{30} = \frac{S}{90}$ घंटे है।
यात्रा के शेष $\frac{1}{3}$ भाग के लिए $10\, km/h$ की गति से लिया गया समय $t_3 = \frac{S/3}{10} = \frac{S}{30}$ घंटे है।
कुल लिया गया समय $T = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{180} + \frac{S}{90} + \frac{S}{30}$ है।
$180, 90, 30$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $180$ लेने पर:
$T = \frac{S + 2S + 6S}{180} = \frac{9S}{180} = \frac{S}{20}$ घंटे।
औसत गति = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{S}{S/20} = 20\, km/h$।

(C) मान लीजिए वापसी यात्रा की गति $v_r = x\, \text{km/h}$ है।
अतः,आगे की यात्रा की गति $v_o = 0.75x = \frac{3}{4}x\, \text{km/h}$ होगी।
कुल दूरी $800\, \text{km}$ है,इसलिए एक तरफ की दूरी $400\, \text{km}$ है।
कुल समय $17\, \text{hours}$ है,जिसमें $1\, \text{hour}$ रुकने का समय है,इसलिए यात्रा का समय $16\, \text{hours}$ है।
आगे की यात्रा का समय $t_o = \frac{400}{3x/4} = \frac{1600}{3x}$।
वापसी यात्रा का समय $t_r = \frac{400}{x}$।
$t_o + t_r = 16 \implies \frac{1600}{3x} + \frac{1200}{3x} = 16 \implies \frac{2800}{3x} = 16 \implies 48x = 2800 \implies x = 58.33\, \text{km/h}$।
आगे की यात्रा की गति $v_o = \frac{3}{4} \times 58.33 = 43.75\, \text{km/h}$।

(B) दिया गया है कि $X_{1}, X_{2}$ और $X_{3}$ का औसत $14$ है।
अतः,योग $X_{1} + X_{2} + X_{3} = 14 \times 3 = 42$ ......$(1)$
यह दिया गया है कि $X_{2}$ और $X_{3}$ के योग का दोगुना $30$ है,जिसका अर्थ है $2(X_{2} + X_{3}) = 30$।
$2$ से भाग देने पर,हमें $X_{2} + X_{3} = 15$ प्राप्त होता है ......$(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर,हमें $X_{1} = 42 - 15 = 27$ प्राप्त होता है।
अतः,$X_{1}$ का मान $27$ है।