Mix Examples - Arithmetic Progressions Questions in Hindi

(A) माना कि $AP$ के तीन पद $a-d, a, a+d$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,इन पदों का योग $33$ है:
$(a-d) + a + (a+d) = 33$
$3a = 33$
$a = 11$
साथ ही,प्रथम और तृतीय पद का गुणनफल दूसरे पद से $29$ अधिक है:
$(a-d)(a+d) = a + 29$
$a^2 - d^2 = a + 29$
$a = 11$ रखने पर:
$11^2 - d^2 = 11 + 29$
$121 - d^2 = 40$
$d^2 = 121 - 40 = 81$
$d = \pm 9$
स्थिति $1$: यदि $d = 9$ है,तो पद $11-9, 11, 11+9$ अर्थात $2, 11, 20$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $d = -9$ है,तो पद $11-(-9), 11, 11+(-9)$ अर्थात $20, 11, 2$ हैं।
अतः,$AP$ $2, 11, 20, \dots$ या $20, 11, 2, \dots$ है।

(A-B) $A_{1}: 2, -2, -6, -10, \ldots$
यहाँ,सार्व अंतर $d = a_{2} - a_{1} = -2 - 2 = -4$ है। अतः,$(A_{1}) \rightarrow (B_{4})$।
$A_{2}: a = -18, n = 10, a_{n} = 0$। सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$0 = -18 + (10 - 1)d \Rightarrow 18 = 9d \Rightarrow d = 2$। अतः,$(A_{2}) \rightarrow (B_{5})$।
$A_{3}: a = 0, a_{10} = 6$। सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$a_{10} = a + 9d \Rightarrow 6 = 0 + 9d \Rightarrow d = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$। अतः,$(A_{3}) \rightarrow (B_{1})$।
$A_{4}: a_{2} = 13, a_{4} = 3$। सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$a + d = 13$ $(i)$
$a + 3d = 3$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर: $(a + 3d) - (a + d) = 3 - 13 \Rightarrow 2d = -10 \Rightarrow d = -5$। अतः,$(A_{4}) \rightarrow (B_{2})$।
अंतिम सुमेलन: $(A_{1}) \rightarrow (B_{4}), (A_{2}) \rightarrow (B_{5}), (A_{3}) \rightarrow (B_{1}), (A_{4}) \rightarrow (B_{2})$।

(D) दिया गया है: प्रथम $14$ पदों का योग $S_{14} = 1050$,प्रथम पद $a = 10$,और पदों की संख्या $n = 14$ है।
$AP$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $1050 = \frac{14}{2}[2(10) + (14 - 1)d]$.
$1050 = 7[20 + 13d]$.
$150 = 20 + 13d$.
$130 = 13d$,जिससे $d = 10$ प्राप्त होता है।
$AP$ का $n$ वाँ पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$20$ वें पद के लिए: $a_{20} = 10 + (20 - 1) \times 10$.
$a_{20} = 10 + 19 \times 10 = 10 + 190 = 200$.
अतः,$20$ वाँ पद $200$ है।

(B) दिया गया है कि,$a = 5, d = 3, a_{n} = 50$.
$AP$ के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करने पर:
$a_{n} = a + (n - 1)d$
$50 = 5 + (n - 1)3$
$45 = (n - 1)3$
$15 = n - 1$
$n = 16$.
अब,योग के सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2}[a + a_{n}]$ का उपयोग करने पर:
$S_{16} = \frac{16}{2}[5 + 50]$
$S_{16} = 8 \times 55$
$S_{16} = 440$.
अतः,$n = 16$ और $S_{n} = 440$ है।

(C) दिया गया है कि,$a=7$ और $a_{13}=35$ है।
हम जानते हैं कि $AP$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_{n}=a+(n-1)d$ होता है।
$n=13$ के लिए मान रखने पर:
$a_{13}=a+(13-1)d$
$35=7+12d$
$35-7=12d$
$28=12d$
$d=\frac{28}{12}=\frac{7}{3}$।
अब,$AP$ के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_{n}=\frac{n}{2}[a+a_{n}]$ होता है।
$n=13$ के लिए:
$S_{13}=\frac{13}{2}[a+a_{13}]$
$S_{13}=\frac{13}{2}[7+35]$
$S_{13}=\frac{13}{2}[42]$
$S_{13}=13 \times 21$
$S_{13}=273$।

(D) दिया गया है कि,$a_{12}=37$ और $d=3$ है।
$AP$ के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए,$a_n = a + (n-1)d$.
$n=12$ के लिए,$a_{12} = a + (12-1)3$.
$37 = a + 11(3)$.
$37 = a + 33$.
$a = 37 - 33 = 4$.
अब,प्रथम $12$ पदों का योग ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[a + a_n]$ का उपयोग करते हैं।
$S_{12} = \frac{12}{2}[4 + 37]$.
$S_{12} = 6(41)$.
$S_{12} = 246$.

(N/A) दिया गया है कि,$a_{3} = 15$ और $S_{10} = 125$.
चूंकि $AP$ का $n$ वां पद $a_{n} = a + (n - 1)d$ होता है,
$a_{3} = a + 2d = 15$ $...(i)$
$n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
$S_{10} = \frac{10}{2}[2a + (10 - 1)d] = 125$
$5(2a + 9d) = 125$
$2a + 9d = 25$ $...(ii)$
समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$2a + 4d = 30$ $...(iii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(iii)$ को घटाने पर:
$(2a + 9d) - (2a + 4d) = 25 - 30$
$5d = -5$
$d = -1$
समीकरण $(i)$ में $d = -1$ रखने पर:
$a + 2(-1) = 15$
$a - 2 = 15$
$a = 17$
अब,$a_{10} = a + (10 - 1)d$
$a_{10} = 17 + 9(-1)$
$a_{10} = 17 - 9 = 8$.
अतः,$d = -1$ और $a_{10} = 8$ प्राप्त होता है।

(N/A) दिया गया है कि,$d = 5$ और $S_{9} = 75$.
$AP$ के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
$n=9$ के लिए मान रखने पर:
$75 = \frac{9}{2}[2a + (9-1)5]$
$75 = \frac{9}{2}[2a + 40]$
$75 = 9(a + 20)$
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर:
$25 = 3(a + 20)$
$25 = 3a + 60$
$3a = 25 - 60$
$3a = -35$
$a = -\frac{35}{3}$
अब,$9$ वाँ पद $(a_{9})$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $a_{n} = a + (n-1)d$ का उपयोग करेंगे:
$a_{9} = a + (9-1)d$
$a_{9} = -\frac{35}{3} + 8(5)$
$a_{9} = -\frac{35}{3} + 40$
$a_{9} = \frac{-35 + 120}{3}$
$a_{9} = \frac{85}{3}$

(A) दिया गया है कि,$a=2, d=8, S_{n}=90$ है।
$AP$ के $n$ पदों के योग का सूत्र उपयोग करने पर:
$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$90 = \frac{n}{2}[2(2) + (n-1)8]$
$90 = \frac{n}{2}[4 + 8n - 8]$
$90 = \frac{n}{2}[8n - 4]$
$90 = n(4n - 2)$
$4n^{2} - 2n - 90 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$2n^{2} - n - 45 = 0$
$2n^{2} - 10n + 9n - 45 = 0$
$2n(n - 5) + 9(n - 5) = 0$
$(n - 5)(2n + 9) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 5$ है।
अब,$a_{n}$ ज्ञात कीजिए:
$a_{n} = a + (n-1)d$
$a_{5} = 2 + (5-1)8$
$a_{5} = 2 + 32 = 34$.
अतः,$n = 5$ और $a_{n} = 34$ है।

(A) दिया गया है कि,$a=8, a_{n}=62, S_{n}=210$.
$AP$ के योग का सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2} [a + a_{n}]$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $210 = \frac{n}{2} [8 + 62]$.
$210 = \frac{n}{2} (70)$.
$210 = 35n$.
$n = \frac{210}{35} = 6$.
अब,$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करें: $a_{n} = a + (n - 1)d$.
$62 = 8 + (6 - 1)d$.
$62 - 8 = 5d$.
$54 = 5d$.
$d = \frac{54}{5}$.

(A) दिया गया है,$a_{n}=4, d=2, S_{n}=-14$।
$AP$ के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$a_{n} = a + (n - 1)d$
$4 = a + (n - 1)2$
$4 = a + 2n - 2$
$a = 6 - 2n$ --- $(i)$
$AP$ के $n$ पदों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$S_{n} = \frac{n}{2}[a + a_{n}]$
$-14 = \frac{n}{2}[a + 4]$
$-28 = n(a + 4)$
समीकरण $(i)$ से $a = 6 - 2n$ का मान रखने पर:
$-28 = n(6 - 2n + 4)$
$-28 = n(10 - 2n)$
$-28 = 10n - 2n^{2}$
$2n^{2} - 10n - 28 = 0$
$n^{2} - 5n - 14 = 0$
$(n - 7)(n + 2) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 7$।
$n = 7$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a = 6 - 2(7)$
$a = 6 - 14$
$a = -8$
अतः,$n = 7$ और $a = -8$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि,
प्रथम पद $a = 5$
अंतिम पद $l = 45$
पदों का योग $S_{n} = 400$
$AP$ के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए: $S_{n} = \frac{n}{2}(a + l)$
मान रखने पर: $400 = \frac{n}{2}(5 + 45)$
$400 = \frac{n}{2}(50)$
$400 = 25n$
$n = \frac{400}{25} = 16$
अब,$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $l = a + (n - 1)d$
मान रखने पर: $45 = 5 + (16 - 1)d$
$45 - 5 = 15d$
$40 = 15d$
$d = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}$
अतः,पदों की संख्या $16$ है और सार्व अंतर $\frac{8}{3}$ है।

(B) दिया गया है कि,
प्रथम पद $a = 17$
अंतिम पद $l = 350$
सार्व अंतर $d = 9$
माना कि $AP$ में कुल $n$ पद हैं।
$n$ वें पद का सूत्र $l = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $350 = 17 + (n - 1)9$
$333 = (n - 1)9$
$n - 1 = 37$
$n = 38$
अब,$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ द्वारा प्राप्त होता है।
$S_{38} = \frac{38}{2}(17 + 350)$
$S_{38} = 19 \times 367 = 6973$.
अतः,इस श्रेणी में $38$ पद हैं और उनका योग $6973$ है।

(D) माना कि $AP$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$a_5 + a_7 = 52$ और $a_{10} = 46$ है।
सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$(a + 4d) + (a + 6d) = 52$
$2a + 10d = 52$
$a + 5d = 26$ ..... $(i)$
साथ ही,$a_{10} = 46$:
$a + 9d = 46$ ..... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 9d) - (a + 5d) = 46 - 26$
$4d = 20$
$d = 5$
समीकरण $(i)$ में $d = 5$ रखने पर:
$a + 5(5) = 26$
$a + 25 = 26$
$a = 1$
$AP$ का रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ होता है।
मान रखने पर: $1, 1+5, 1+10, 1+15, \ldots$
अतः,$AP$ $1, 6, 11, 16, \ldots$ है।

(A) माना कि $AP$ का प्रथम पद,सार्व अंतर और पदों की संख्या क्रमशः $a$,$d$ और $n$ है।
दिया गया है कि,प्रथम पद $(a) = -5$ और अंतिम पद $(l) = 45$ है।
$AP$ के पदों का योग $= 120 \Rightarrow S_n = 120$ है।
हम जानते हैं कि,यदि $AP$ का अंतिम पद ज्ञात हो,तो $n$ पदों का योग इस प्रकार होता है:
$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$
$120 = \frac{n}{2}(-5 + 45)$
$120 \times 2 = 40 \times n$
$240 = 40n \Rightarrow n = 6$ है।
अब,सार्व अंतर ज्ञात करने के लिए,हम $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करेंगे:
$l = a + (n - 1)d$
$45 = -5 + (6 - 1)d$
$45 + 5 = 5d$
$50 = 5d \Rightarrow d = 10$ है।
अतः,पदों की संख्या $6$ है और सार्व अंतर $10$ है।

(D) दिया गया $AP: -2, -7, -12, \ldots$
माना कि $AP$ का $n$ वां पद $T_n = -77$ है।
प्रथम पद $a = -2$ और सार्व अंतर $d = -7 - (-2) = -5$ है।
$n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $-77 = -2 + (n - 1)(-5)$.
$-77 + 2 = (n - 1)(-5) \Rightarrow -75 = (n - 1)(-5)$.
$n - 1 = \frac{-75}{-5} = 15 \Rightarrow n = 16$.
अतः,$AP$ का $16$ वां पद $-77$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[a + l]$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ अंतिम पद है।
$S_{16} = \frac{16}{2}[-2 + (-77)] = 8[-79] = -632$.
इस प्रकार,इस $AP$ का $-77$ पद तक का योग $-632$ है।

(B) माना कि समांतर श्रेणी का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
समांतर श्रेणी का $n$ वाँ पद $T_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है,$T_4 = -15$:
$a + 3d = -15$ --- $(i)$
दिया है,$T_9 = -30$:
$a + 8d = -30$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 8d) - (a + 3d) = -30 - (-15)$
$5d = -15$
$d = -3$
$d = -3$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a + 3(-3) = -15$
$a - 9 = -15$
$a = -6$
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ होता है।
$n = 17$ के लिए:
$S_{17} = \frac{17}{2}[2(-6) + (17 - 1)(-3)]$
$S_{17} = \frac{17}{2}[-12 + 16(-3)]$
$S_{17} = \frac{17}{2}[-12 - 48]$
$S_{17} = \frac{17}{2}[-60]$
$S_{17} = 17 \times (-30) = -510$.
अतः,प्रथम $17$ पदों का योग $-510$ है।

(A) माना कि योग $-55$ प्राप्त करने के लिए $n$ पदों की आवश्यकता है।
यहाँ,प्रथम पद $(a) = -15$ और सार्व अंतर $(d) = -13 - (-15) = 2$ है।
$AP$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $-55 = \frac{n}{2}[2(-15) + (n-1)2]$.
$-55 = \frac{n}{2}[-30 + 2n - 2] = \frac{n}{2}[2n - 32] = n(n - 16)$.
$n^2 - 16n + 55 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $n^2 - 11n - 5n + 55 = 0 \Rightarrow n(n - 11) - 5(n - 11) = 0$.
$(n - 5)(n - 11) = 0$,अतः $n = 5$ या $n = 11$.
दो उत्तर मिलने का कारण यह है कि $6^{th}$ पद से $11^{th}$ पद तक का योग शून्य है। पद इस प्रकार हैं: $-15, -13, -11, -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5$। $6^{th}$ से $11^{th}$ पदों का योग $(-5) + (-3) + (-1) + 1 + 3 + 5 = 0$ है। इसलिए,प्रथम $5$ पदों के योग में इन पदों को जोड़ने पर कुल योग में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(2, 6, 10, 14) माना कि $AP$ में चार क्रमागत संख्याएँ $(a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)$ हैं।
दिया गया है कि उनका योग $32$ है:
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 32$
$4a = 32$
$a = 8$
दिया गया है कि पहली और अंतिम पद के गुणनफल का मध्य पदों के गुणनफल से अनुपात $7:15$ है:
$\frac{(a-3d)(a+3d)}{(a-d)(a+d)} = \frac{7}{15}$
$\frac{a^2 - 9d^2}{a^2 - d^2} = \frac{7}{15}$
$a = 8$ रखने पर:
$\frac{64 - 9d^2}{64 - d^2} = \frac{7}{15}$
$15(64 - 9d^2) = 7(64 - d^2)$
$960 - 135d^2 = 448 - 7d^2$
$512 = 128d^2$
$d^2 = 4$
$d = \pm 2$
यदि $a = 8$ और $d = 2$ है,तो संख्याएँ $(8-6), (8-2), (8+2), (8+6)$ अर्थात $2, 6, 10, 14$ हैं।
यदि $a = 8$ और $d = -2$ है,तो संख्याएँ $(8+6), (8+2), (8-2), (8-6)$ अर्थात $14, 10, 6, 2$ हैं।

(B) $1$ से $500$ तक के $2$ या $5$ के गुणजों का योग ज्ञात करने के लिए, हम समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हैं:
योग $= (\text{2 के गुणजों का योग}) + (\text{5 के गुणजों का योग}) - (\text{LCM}(2, 5) = 10 \text{ के गुणजों का योग})$.
$1$. $2$ के गुणज: $2, 4, 6, \dots, 500$. यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जहाँ $a=2, l=500, d=2$.
पदों की संख्या $n_1$: $500 = 2 + (n_1 - 1)2 \Rightarrow 498 = 2(n_1 - 1) \Rightarrow n_1 - 1 = 249 \Rightarrow n_1 = 250$.
योग $S_1 = \frac{250}{2}(2 + 500) = 125 \times 502 = 62750$.
$2$. $5$ के गुणज: $5, 10, 15, \dots, 500$. यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a=5, l=500, d=5$.
पदों की संख्या $n_2$: $500 = 5 + (n_2 - 1)5 \Rightarrow 495 = 5(n_2 - 1) \Rightarrow n_2 - 1 = 99 \Rightarrow n_2 = 100$.
योग $S_2 = \frac{100}{2}(5 + 500) = 50 \times 505 = 25250$.
$3$. $10$ के गुणज: $10, 20, 30, \dots, 500$. यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a=10, l=500, d=10$.
पदों की संख्या $n_3$: $500 = 10 + (n_3 - 1)10 \Rightarrow 490 = 10(n_3 - 1) \Rightarrow n_3 - 1 = 49 \Rightarrow n_3 = 50$.
योग $S_3 = \frac{50}{2}(10 + 500) = 25 \times 510 = 12750$.
कुल योग $= S_1 + S_2 - S_3 = 62750 + 25250 - 12750 = 88000 - 12750 = 75250$.

(C) माना $AP$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$AP$ का $n$वां पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
पहली शर्त के अनुसार,$a_8 = \frac{1}{2} a_2$.
$a + 7d = \frac{1}{2}(a + d)$
$2a + 14d = a + d$
$a + 13d = 0$ --- $(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,$a_{11} = \frac{1}{3} a_4 + 1$.
$a + 10d = \frac{1}{3}(a + 3d) + 1$
$3a + 30d = a + 3d + 3$
$2a + 27d = 3$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ से,$a = -13d$। इस मान को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$2(-13d) + 27d = 3$
$-26d + 27d = 3$
$d = 3$
$d = 3$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a + 13(3) = 0$
$a = -39$
अब,$15$वां पद $(a_{15})$ ज्ञात कीजिए:
$a_{15} = a + 14d$
$a_{15} = -39 + 14(3)$
$a_{15} = -39 + 42 = 3$.

(A) दिया गया है कि,कुल पदों की संख्या $n = 37$ है।
मध्य पद $\left(\frac{37+1}{2}\right)$-वां पद है,जो कि $19$-वां पद है।
अतः,तीन मध्य पद $18$-वें,$19$-वें और $20$-वें पद हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,तीन मध्य पदों का योग $225$ है:
$a_{18} + a_{19} + a_{20} = 225$
$(a + 17d) + (a + 18d) + (a + 19d) = 225$
$3a + 54d = 225$
$a + 18d = 75$ .....$(i)$
अंतिम तीन पदों का योग $429$ है:
$a_{35} + a_{36} + a_{37} = 429$
$(a + 34d) + (a + 35d) + (a + 36d) = 429$
$3a + 105d = 429$
$a + 35d = 143$ .....$(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 35d) - (a + 18d) = 143 - 75$
$17d = 68$
$d = 4$
$d = 4$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a + 18(4) = 75$
$a + 72 = 75$
$a = 3$
अभीष्ट $AP$ है: $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $3, 3+4, 3+2(4), 3+3(4), \dots$
अतः,$AP$ है: $3, 7, 11, 15, \dots$

(B) $100$ और $200$ के बीच $9$ से विभाज्य न होने वाले पूर्णांकों का योग = ($100$ और $200$ के बीच के सभी पूर्णांकों का योग) $-$ ($100$ और $200$ के बीच $9$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग)।
चरण $1$: $100$ और $200$ के बीच के सभी पूर्णांकों का योग $(101, 102, \dots, 199)$।
यहाँ, $a = 101$, $l = 199$, और $d = 1$ है।
पदों की संख्या $n = 199 - 101 + 1 = 99$ है।
योग $S_{99} = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{99}{2}(101 + 199) = \frac{99}{2}(300) = 99 \times 150 = 14850$ है।
चरण $2$: $100$ और $200$ के बीच $9$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग।
$100$ के बाद $9$ का पहला गुणज $108$ $(9 \times 12)$ है और अंतिम $198$ $(9 \times 22)$ है।
यह एक समांतर श्रेणी बनाता है: $108, 117, \dots, 198$।
यहाँ, $a = 108$, $l = 198$, $d = 9$ है।
$198 = 108 + (n-1)9 \Rightarrow 90 = (n-1)9 \Rightarrow n-1 = 10 \Rightarrow n = 11$ है।
योग $S_{11} = \frac{11}{2}(108 + 198) = \frac{11}{2}(306) = 11 \times 153 = 1683$ है।
चरण $3$: अभीष्ट योग $= 14850 - 1683 = 13167$ है।

(C) $100$ और $200$ के बीच $9$ से विभाज्य न होने वाले पूर्णांकों का योग इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: ($100$ और $200$ के बीच के सभी पूर्णांकों का योग) $-$ ($100$ और $200$ के बीच के $9$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग)।
चरण $1$: $100$ और $200$ के बीच के सभी पूर्णांकों का योग।
ये पूर्णांक $101, 102, \dots, 199$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जिसमें $a = 101$, $l = 199$, और $d = 1$ है।
पदों की संख्या $n$: $199 = 101 + (n - 1)1 \implies n - 1 = 98 \implies n = 99$.
योग $S_{99} = \frac{99}{2}(101 + 199) = \frac{99}{2}(300) = 99 \times 150 = 14850$.
चरण $2$: $100$ और $200$ के बीच $9$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग।
$100$ के बाद $9$ से विभाज्य पहला पूर्णांक $108$ $(9 \times 12)$ है और अंतिम पूर्णांक $198$ $(9 \times 22)$ है।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 108$, $l = 198$, $d = 9$ है।
पदों की संख्या $n$: $198 = 108 + (n - 1)9 \implies 90 = (n - 1)9 \implies n - 1 = 10 \implies n = 11$.
योग $S_{11} = \frac{11}{2}(108 + 198) = \frac{11}{2}(306) = 11 \times 153 = 1683$.
चरण $3$: अभीष्ट योग $= 14850 - 1683 = 13167$।

(A) माना $a$ और $d$ एक $AP$ का प्रथम पद और सार्व अंतर हैं।
दिया गया है कि,$a_{11} : a_{18} = 2 : 3$.
$\Rightarrow \frac{a + 10d}{a + 17d} = \frac{2}{3}$.
$\Rightarrow 3a + 30d = 2a + 34d$.
$\Rightarrow a = 4d$ ....$(i)$.
अब,$a_5 = a + 4d = 4d + 4d = 8d$.
$a_{21} = a + 20d = 4d + 20d = 24d$.
अतः,$a_5 : a_{21} = 8d : 24d = 1 : 3$.
अब,प्रथम पाँच पदों का योग,$S_5 = \frac{5}{2}[2a + (5-1)d] = \frac{5}{2}[2(4d) + 4d] = \frac{5}{2}(12d) = 30d$.
और प्रथम $21$ पदों का योग,$S_{21} = \frac{21}{2}[2a + (21-1)d] = \frac{21}{2}[2(4d) + 20d] = \frac{21}{2}(28d) = 294d$.
अतः,प्रथम पाँच पदों के योग और प्रथम $21$ पदों के योग का अनुपात $S_5 : S_{21} = 30d : 294d = 5 : 49$ है।

(A) दिया गया है कि $AP$ का अनुक्रम $a, b, \dots, c$ है।
यहाँ,प्रथम पद $= a,$ और सार्व अंतर $d = b - a$ है।
अंतिम पद $l = a_n = c$ है।
$n$-वें पद का सूत्र: $a_n = a + (n - 1)d.$
मान रखने पर: $c = a + (n - 1)(b - a).$
$(n - 1) = \frac{c - a}{b - a}.$
$n = \frac{c - a}{b - a} + 1 = \frac{c - a + b - a}{b - a} = \frac{b + c - 2a}{b - a} \dots (i).$
$AP$ के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ है।
$(i)$ से $n$ और $l = c$ का मान रखने पर:
$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{b + c - 2a}{b - a} \right) (a + c).$
अतः,$S_n = \frac{(a + c)(b + c - 2a)}{2(b - a)}.$ इति सिद्धम्।

(B) दी गई श्रेणी $-4, -1, 2, \ldots, x$ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती है।
यहाँ,प्रथम पद $a = -4$ और सार्व अंतर $d = (-1) - (-4) = 3$ है।
माना पदों की संख्या $n$ है। $n$-वाँ पद $x = a + (n - 1)d$ है।
$x = -4 + (n - 1)3 \Rightarrow x = -4 + 3n - 3 \Rightarrow x = 3n - 7 \Rightarrow n = \frac{x + 7}{3}$.
समांतर श्रेणी का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l = x$ अंतिम पद है।
$437 = \frac{n}{2}(-4 + x)$.
$n = \frac{x + 7}{3}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$437 = \frac{x + 7}{2 \times 3}(-4 + x) = \frac{(x + 7)(x - 4)}{6}$.
$437 \times 6 = x^2 + 3x - 28$.
$2622 = x^2 + 3x - 28 \Rightarrow x^2 + 3x - 2650 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-2650)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 10600}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{10609}}{2}$.
$x = \frac{-3 \pm 103}{2}$.
चूंकि श्रेणी का योग $437$ होने के लिए $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x = \frac{100}{2} = 50$ लेने पर।

(A) किस्तें एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती हैं जहाँ प्रथम पद $a = 1000$ और सार्व अंतर $d = 100$ है।
$1$. $30$वीं किस्त $a_n = a + (n - 1)d$ सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है।
$n = 30$ के लिए,$a_{30} = 1000 + (30 - 1) \times 100 = 1000 + 2900 = Rs. 3900$.
$2$. $30$ किस्तों में भुगतान की गई कुल राशि योग के सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ द्वारा ज्ञात की जाती है।
$S_{30} = \frac{30}{2} [2(1000) + (30 - 1) \times 100] = 15 [2000 + 2900] = 15 \times 4900 = Rs. 73500$.
$3$. $30$ किस्तों के बाद शेष ऋण राशि = कुल ऋण - $S_{30} = 118000 - 73500 = Rs. 44500$.

(A) दिया गया है,झंडों की कुल संख्या $= 27$ है। झंडे $2 \,m$ के अंतराल पर लगाए जाने हैं। सबसे बीच वाला झंडा $14$ वाँ झंडा है। रुचि $14$ वें झंडे के स्थान से शुरू करती है।
बाईं ओर झंडे लगाने के लिए: बाईं ओर $13$ झंडे हैं। $1$ ला झंडा (केंद्र से $2 \,m$ पर) लगाने के लिए,वह $2 \,m$ जाती है और $2 \,m$ वापस आती है (कुल $4 \,m$)। $2$ रा झंडा (केंद्र से $4 \,m$ पर) लगाने के लिए,वह $4 \,m$ जाती है और $4 \,m$ वापस आती है (कुल $8 \,m$)। यह प्रक्रिया $13$ वें झंडे (केंद्र से $26 \,m$ पर) तक जारी रहती है,जहाँ वह $26 \,m$ जाती है और $26 \,m$ वापस आती है (कुल $52 \,m$)।
बाईं ओर के लिए कुल दूरी $4 + 8 + 12 + \dots + 52$ है। यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जिसमें $a = 4$,$d = 4$,और $n = 13$ है।
योग $= \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] = \frac{13}{2} [2(4) + (12)(4)] = \frac{13}{2} [8 + 48] = \frac{13}{2} [56] = 13 \times 28 = 364 \,m$.
इसी प्रकार,दाईं ओर के लिए भी कुल दूरी $364 \,m$ है।
तय की गई कुल दूरी $= 364 + 364 = 728 \,m$.
झंडा ले जाते समय तय की गई अधिकतम दूरी केंद्र से सबसे दूर के झंडे तक की दूरी है,जो $26 \,m$ है।

(C) दिए गए $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a = 5$,सार्व अंतर $d = 13 - 5 = 8$ और $n = 20$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\therefore S_{20} = \frac{20}{2}[2(5) + (20 - 1)8]$
$\quad = 10[10 + 152]$
$\quad = 10[162] = 1620$.
अतः,$A.P.$ के प्रथम $20$ पदों का योग $1620$ है।
अब,मान लीजिए कि $n$ पदों का योग $S_n = 6440$ है।
$\therefore 6440 = \frac{n}{2}[2(5) + (n - 1)8]$
$\therefore 12880 = n[10 + 8n - 8]$
$\therefore 12880 = 8n^2 + 2n$
$\therefore 8n^2 + 2n - 12880 = 0$
$2$ से भाग देने पर,$4n^2 + n - 6440 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $4n^2 + 161n - 160n - 6440 = 0$
$\therefore n(4n + 161) - 40(4n + 161) = 0$
$\therefore (4n + 161)(n - 40) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 40$ (क्योंकि $n = -\frac{161}{4}$ संभव नहीं है)।
अतः,$A.P.$ के $40$ पदों का योग $6440$ है।

(A) माना $A.P.$ में चार संख्याएँ $(a-3d, a-d, a+d, a+3d)$ हैं।
पहली शर्त के अनुसार,संख्याओं का योग $36$ है:
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 36$
$4a = 36$
$a = 9$
दूसरी शर्त के अनुसार,मध्य पदों का गुणनफल चरम पदों के गुणनफल से $32$ अधिक है:
$(a-d)(a+d) = (a-3d)(a+3d) + 32$
$a^2 - d^2 = a^2 - 9d^2 + 32$
$8d^2 = 32$
$d^2 = 4$
$d = \pm 2$
स्थिति $1$: यदि $a = 9$ और $d = 2$ है,तो संख्याएँ $(9-6, 9-2, 9+2, 9+6) = (3, 7, 11, 15)$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $a = 9$ और $d = -2$ है,तो संख्याएँ $(9+6, 9+2, 9-2, 9-6) = (15, 11, 7, 3)$ हैं।
अतः,अभीष्ट चार संख्याएँ $3, 7, 11, 15$ या $15, 11, 7, 3$ हैं।

(N/A) माना कि $A.P.$ में आवश्यक पाँच संख्याएँ $a-2d, a-d, a, a+d, a+2d$ हैं।
पहली शर्त के अनुसार,
$(a-2d) + (a-d) + a + (a+d) + (a+2d) = 30$
$5a = 30$
$a = 6$
दूसरी शर्त के अनुसार,
$(a-2d)^2 + (a-d)^2 + a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 = 220$
$(a^2 - 4ad + 4d^2) + (a^2 - 2ad + d^2) + a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) + (a^2 + 4ad + 4d^2) = 220$
$5a^2 + 10d^2 = 220$
$a^2 + 2d^2 = 44$
$a = 6$ रखने पर:
$6^2 + 2d^2 = 44$
$36 + 2d^2 = 44$
$2d^2 = 8$
$d^2 = 4$
$d = \pm 2$
यदि $a = 6$ और $d = 2$ है,तो संख्याएँ $6-4, 6-2, 6, 6+2, 6+4$ अर्थात $2, 4, 6, 8, 10$ हैं।
यदि $a = 6$ और $d = -2$ है,तो संख्याएँ $6+4, 6+2, 6, 6-2, 6-4$ अर्थात $10, 8, 6, 4, 2$ हैं।
अतः,आवश्यक पाँच संख्याएँ $2, 4, 6, 8, 10$ या $10, 8, 6, 4, 2$ हैं।

(A) दी गई $A.P.$ $85, 78, 71, \ldots$ है,जहाँ प्रथम पद $a = 85$ और सार्व अंतर $d = 78 - 85 = -7$ है।
$n^{th}$ पद के पहला ऋणात्मक पद होने के लिए,हम $a_{n} < 0$ रखते हैं।
$n^{th}$ पद का सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ है।
अतः,$85 + (n - 1)(-7) < 0$.
$85 - 7n + 7 < 0$.
$92 - 7n < 0$.
$7n > 92$.
$n > 13.14$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए पहला ऋणात्मक पद $14^{th}$ पद $(n = 14)$ है।
$S_{14}$ ज्ञात करने के लिए,हम योग के सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ का उपयोग करते हैं।
$S_{14} = \frac{14}{2}[2(85) + (14 - 1)(-7)]$.
$S_{14} = 7[170 + 13(-7)]$.
$S_{14} = 7[170 - 91]$.
$S_{14} = 7[79] = 553$.

(A) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वाँ पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $a_{12} = -13$,इसलिए $a + 11d = -13$ --- (समीकरण $1$)।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
दिया है $S_4 = 24$,इसलिए $\frac{4}{2}[2a + 3d] = 24$,जो सरल होकर $2(2a + 3d) = 24$ या $2a + 3d = 12$ हो जाता है --- (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को $2$ से गुणा करने पर: $2a + 22d = -26$ --- (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर: $(2a + 22d) - (2a + 3d) = -26 - 12$,जिससे $19d = -38$ प्राप्त होता है,अतः $d = -2$।
$d = -2$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर: $2a + 3(-2) = 12$,इसलिए $2a - 6 = 12$,$2a = 18$,$a = 9$।
अब,प्रथम $10$ पदों का योग $S_{10} = \frac{10}{2}[2(9) + (10-1)(-2)]$ ज्ञात करते हैं।
$S_{10} = 5[18 + 9(-2)] = 5[18 - 18] = 5(0) = 0$।

(N/A) दिया गया है: प्रथम पद $a = 17$,अंतिम पद $l = a_n = 350$,और सार्व अंतर $d = 9$.
$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $a_n = a + (n - 1)d$.
मान रखने पर: $350 = 17 + (n - 1)9$.
$350 - 17 = (n - 1)9$.
$333 = (n - 1)9$.
$n - 1 = 333 / 9 = 37$.
$n = 37 + 1 = 38$.
अब,$S_n = (n/2)(a + l)$ सूत्र का उपयोग करके योग $S_n$ ज्ञात करते हैं:
$S_{38} = (38 / 2)(17 + 350)$.
$S_{38} = 19 \times 367$.
$S_{38} = 6973$.
अतः,पदों की संख्या $38$ है और योग $6973$ है।

(N/A) चूंकि फैक्ट्री का उत्पादन हर साल समान रूप से बढ़ता है,इसलिए वार्षिक उत्पादन एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाता है।
इस $A.P.$ के लिए,$3^{rd}$ पद $T_{3} = 600$ और $7^{th}$ पद $T_{7} = 700$ है।
सार्व अंतर $d$ का सूत्र $d = \frac{T_{m} - T_{n}}{m - n}$ है।
$m = 7$ और $n = 3$ रखने पर:
$d = \frac{700 - 600}{7 - 3} = \frac{100}{4} = 25$.
$T_{n} = a + (n - 1)d$ सूत्र का उपयोग करके $T_{3}$ के लिए:
$600 = a + (3 - 1)(25) \implies 600 = a + 50 \implies a = 550$.
अतः,$1^{st}$ वर्ष में उत्पादन $550 \, TV$ है।
$10^{th}$ वर्ष के लिए:
$T_{10} = a + 9d = 550 + 9(25) = 550 + 225 = 775 \, TV$.
$7$ वर्षों में कुल उत्पादन $(S_{7})$ के लिए:
$S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$
$S_{7} = \frac{7}{2} [2(550) + (7 - 1)(25)] = \frac{7}{2} [1100 + 150] = \frac{7}{2} [1250] = 7 \times 625 = 4375 \, TV$.

(B) $A.P.$ $40, 36, 32, \ldots$ के लिए,प्रथम पद $a = 40$ और सार्व अंतर $d = 36 - 40 = -4$ है।
कौन सा पद $0$ है,यह ज्ञात करने के लिए हम सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करते हैं।
$a_n = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $0 = 40 + (n - 1)(-4)$.
$4(n - 1) = 40 \implies n - 1 = 10 \implies n = 11$.
अतः,$11$ वां पद $0$ है।
कितने पदों का योग $0$ है,यह ज्ञात करने के लिए हम $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ का उपयोग करते हैं।
$S_n = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $0 = \frac{n}{2}[2(40) + (n - 1)(-4)]$.
$0 = 80 - 4n + 4 \implies 4n = 84 \implies n = 21$.
अतः,$21$ पदों का योग $0$ है।

(A) प्रथम $A.P.$ के लिए: $a_1 = 63$,$d_1 = 65 - 63 = 2$. $n$ वां पद $a_n = a_1 + (n - 1)d_1 = 63 + (n - 1)2 = 63 + 2n - 2 = 61 + 2n$ है।
दूसरे $A.P.$ के लिए: $a_2 = 3$,$d_2 = 10 - 3 = 7$. $n$ वां पद $a_n = a_2 + (n - 1)d_2 = 3 + (n - 1)7 = 3 + 7n - 7 = 7n - 4$ है।
दोनों $n$ वें पदों को बराबर करने पर: $61 + 2n = 7n - 4$.
$61 + 4 = 7n - 2n$.
$65 = 5n$.
$n = 13$.
अतः,दोनों श्रेणियों का $13$ वां पद समान है।

(A) दिया गया है: प्रथम पद $a = 5$,सार्व अंतर $d = 3$,और $n$ वां पद $T_n = 50$ है।
चरण $1$: $T_n = a + (n - 1)d$ सूत्र का उपयोग करके $n$ ज्ञात कीजिए।
$50 = 5 + (n - 1)3$
$45 = (n - 1)3$
$15 = n - 1$
$n = 16$.
चरण $2$: $S_n = \frac{n}{2}(a + T_n)$ सूत्र का उपयोग करके $n$ पदों का योग $S_n$ ज्ञात कीजिए।
$S_{16} = \frac{16}{2}(5 + 50)$
$S_{16} = 8 \times 55$
$S_{16} = 440$.
अतः,$n = 16$ और $S_n = 440$ है।

(A) दिया गया है: $T_{n} = a + (n - 1)d = 4$ और $S_{n} = \frac{n}{2}[a + T_{n}] = -14$.
योग के सूत्र में $T_{n} = 4$ रखने पर: $\frac{n}{2}[a + 4] = -14 \implies n(a + 4) = -28$.
पहले समीकरण से: $a = 4 - (n - 1)d = 4 - 2n + 2 = 6 - 2n$.
$a$ का मान योग के समीकरण में रखने पर: $n(6 - 2n + 4) = -28 \implies n(10 - 2n) = -28$.
$10n - 2n^{2} = -28 \implies 2n^{2} - 10n - 28 = 0 \implies n^{2} - 5n - 14 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(n - 7)(n + 2) = 0$.
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 7$.
अब,$a$ ज्ञात करें: $a = 6 - 2(7) = 6 - 14 = -8$.
अतः,$n = 7$ और $a = -8$।

(A) माना $A.P.$ में तीन संख्याएँ $(a - d)$,$a$,और $(a + d)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,इन संख्याओं का योग $21$ है:
$(a - d) + a + (a + d) = 21$
$3a = 21$
$a = 7$
अब,पहली और तीसरी संख्या का गुणनफल दूसरी संख्या से $6$ अधिक है:
$(a - d)(a + d) = a + 6$
$a^2 - d^2 = a + 6$
समीकरण में $a = 7$ रखने पर:
$7^2 - d^2 = 7 + 6$
$49 - d^2 = 13$
$d^2 = 36$
$d = \pm 6$
स्थिति $1$: यदि $d = 6$ है,तो संख्याएँ $(7 - 6), 7, (7 + 6)$ अर्थात $1, 7, 13$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $d = -6$ है,तो संख्याएँ $(7 - (-6)), 7, (7 + (-6))$ अर्थात $13, 7, 1$ हैं।
अतः,वे संख्याएँ $1, 7, 13$ या $13, 7, 1$ हैं।

(A) दिया गया है: प्रथम पद $a = 10$,$n^{th}$ पद $a_n = 40$,और $n$ पदों का योग $S_n = 150$ है।
हम जानते हैं कि $A.P.$ के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $150 = \frac{n}{2}(10 + 40)$.
$150 = \frac{n}{2}(50)$.
$150 = 25n$.
$n = \frac{150}{25} = 6$.
अब,$n^{th}$ पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $a_n = a + (n - 1)d$.
मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $40 = 10 + (6 - 1)d$.
$40 - 10 = 5d$.
$30 = 5d$.
$d = \frac{30}{5} = 6$.
अतः,$n = 6$ और $d = 6$।

(D) मान लीजिए कि चार व्यक्तियों की वर्तमान आयु $x_1, x_2, x_3,$ और $x_4$ है।
पाँच वर्ष पहले,उनकी आयु $(x_1 - 5), (x_2 - 5), (x_3 - 5),$ और $(x_4 - 5)$ थी।
प्रश्न के अनुसार,पाँच वर्ष पहले उनकी आयु का योग $60$ वर्ष था:
$(x_1 - 5) + (x_2 - 5) + (x_3 - 5) + (x_4 - 5) = 60$
$(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) - 20 = 60$
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 60 + 20$
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 80$
अतः,उनकी वर्तमान आयु का योग $80$ वर्ष है।

(D) मान लीजिए कि पाँच मित्रों की वर्तमान आयु $a_1, a_2, a_3, a_4,$ और $a_5$ है।
प्रश्न के अनुसार,$y$ वर्ष पहले उनकी आयु का योग $x$ था।
अतः,$(a_1 - y) + (a_2 - y) + (a_3 - y) + (a_4 - y) + (a_5 - y) = x$ है।
इसे सरल करने पर,$(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5) - 5y = x$ प्राप्त होता है।
अतः,उनकी वर्तमान आयु का योग $(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5) = x + 5y$ है।