Tangent to a Circle Questions in Gujarati

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c$ છે જે અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ની સામે છે. અહીં,$a = BC = 24$,$b = AC$,અને $c = AB$ છે.
આપેલ છે કે $AB + AC = 32$,તેથી $c + b = 32$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$a^2 + c^2 = b^2$.
$a = 24$ મૂકતા,આપણને $24^2 + c^2 = b^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 - c^2 = 576$.
$(b - c)(b + c) = 576$.
કારણ કે $b + c = 32$,તેથી $(b - c)(32) = 576$,એટલે કે $b - c = 18$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(b + c) + (b - c) = 32 + 18 \implies 2b = 50 \implies b = 25$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(b + c) - (b - c) = 32 - 18 \implies 2c = 14 \implies c = 7$.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે અંતઃવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{a + c - b}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{24 + 7 - 25}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

(A) ધારો કે $AP = AR = x$, $BP = BQ = y$, અને $CQ = CR = z$ (બિંદુમાંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે).
આપેલ છે:
$AB = x + y = 14$ $(1)$
$BC = y + z = 11$ $(2)$
$CA = z + x = 7$ $(3)$
સમીકરણ $(1)$, $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(x + y + z) = 14 + 11 + 7 = 32$
$x + y + z = 16$
હવે, સરવાળામાંથી દરેક સમીકરણ બાદ કરતા:
$z = (x + y + z) - (x + y) = 16 - 14 = 2$
$x = (x + y + z) - (y + z) = 16 - 11 = 5$
$y = (x + y + z) - (z + x) = 16 - 7 = 9$
આમ, $AP = x = 5$, $BQ = y = 9$, અને $RC = z = 2$.

(C) $1$. વર્તુળ બાજુઓને $P, Q, R$ અને $S$ માં સ્પર્શે છે,તેથી બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે. તેથી $DR = DS = r$. $\angle D = 90^\circ$ હોવાથી $ORDS$ એ $r$ બાજુવાળો ચોરસ બને છે,તેથી $DR = DS = r$.
$2$. $CD = 25$ આપેલ છે,તેથી $CR = CD - DR = 25 - r$. સ્પર્શકો સમાન હોવાથી $CQ = CR = 25 - r$.
$3$. $BC = 38$ આપેલ છે,તેથી $BQ = BC - CQ = 38 - (25 - r) = 13 + r$.
$4$. $BP = 25$ આપેલ છે. $BP = BQ$ હોવાથી,$25 = 13 + r$,એટલે કે $r = 12$.

(A) જે ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની અંદર વર્તુળ આવેલું હોય,તો તેની સામસામેની બાજુઓનો સરવાળો સમાન થાય છે.
આનું કારણ એ છે કે વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે.
ધારો કે વર્તુળ બાજુઓ $AB, BC, CD,$ અને $DA$ ને અનુક્રમે $P, Q, R,$ અને $S$ બિંદુઓમાં સ્પર્શે છે.
તેથી $AP = AS, BP = BQ, CQ = CR,$ અને $DR = DS$ થાય.
સામસામેની બાજુઓનો સરવાળો: $AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD) = (AS + BQ) + (CQ + DS) = (AS + DS) + (BQ + CQ) = AD + BC$.
આપેલ છે કે $AB = 8, BC = 10, CD = 7$.
કિંમતો મૂકતા: $8 + 7 = AD + 10$.
$15 = AD + 10$.
$AD = 15 - 10 = 5$.

(A) આપેલ છે: વર્તુળની ત્રિજ્યા $OQ = 21$ અને કેન્દ્રથી બહારના બિંદુનું અંતર $OP = 25$ છે.
$PQ$ એ $Q$ બિંદુએ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,ત્રિજ્યા $OQ$ એ સ્પર્શક $PQ$ ને સ્પર્શબિંદુએ લંબ હોય છે $(OQ \perp PQ)$.
તેથી,$\triangle OQP$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle OQP = 90^\circ$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
$25^2 = 21^2 + PQ^2$
$625 = 441 + PQ^2$
$PQ^2 = 184$
નોંધ: જો ત્રિજ્યા $15$ હોય,તો $PQ = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $20$ છે.

(C) આપેલ છે કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ અને ત્રિજ્યા $r = 9$ છે.
બિંદુ $P$ વર્તુળની બહારના ભાગમાં છે અને $PT$ એ $T$ બિંદુએ વર્તુળનો સ્પર્શક છે.
સ્પર્શકના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિજ્યા સ્પર્શબિંદુએ સ્પર્શકને લંબ હોય છે. તેથી,$\angle OTP = 90^\circ$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OTP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^2 = OT^2 + PT^2$
અહીં $OT = r = 9$ અને $PT = 40$ આપેલ છે.
$OP^2 = 9^2 + 40^2$
$OP^2 = 81 + 1600$
$OP^2 = 1681$
$OP = \sqrt{1681} = 41$.
આમ,$OP$ ની લંબાઈ $41$ છે.

(D) અહીં $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને ત્રિજ્યા $r = 30$ છે.
$PQ$ એ $Q$ બિંદુએ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,ત્રિજ્યા $OQ$ એ સ્પર્શક $PQ$ ને સ્પર્શબિંદુએ લંબ હોય છે.
તેથી,$\triangle OQP$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle OQP = 90^{\circ}$ છે.
$\triangle OQP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
અહીં $OP = 34$ અને $OQ = r = 30$ આપેલ છે.
$34^2 = 30^2 + PQ^2$
$1156 = 900 + PQ^2$
$PQ^2 = 1156 - 900$
$PQ^2 = 256$
$PQ = \sqrt{256} = 16$.
આમ,સ્પર્શક $PQ$ ની લંબાઈ $16$ છે.

(B) ધારો કે $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $r$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
$PQ$ એ $Q$ બિંદુએ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,ત્રિજ્યા $OQ$ એ સ્પર્શક $PQ$ ને લંબ હોય છે (એટલે કે,$\angle OQP = 90^\circ$).
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OQP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
અહીં $OP = 29$ અને $PQ = 20$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$29^2 = r^2 + 20^2$
$841 = r^2 + 400$
$r^2 = 841 - 400$
$r^2 = 441$
$r = \sqrt{441} = 21$.
વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 21 = 42$ થાય.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે તપાસીએ કે $\Delta ABC$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે કે નહીં.
આપેલ બાજુઓ $7, 24, 25$ છે.
કારણ કે $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$,તેથી આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $AC = 25$ છે.
ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓને સ્પર્શતું વર્તુળ એ અંતઃવૃત્ત (incircle) છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = \frac{a + b - c}{2}$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓ છે અને $c$ કર્ણ છે.
અહીં,$a = 7, b = 24, c = 25$.
$r = \frac{7 + 24 - 25}{2} = \frac{31 - 25}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 3 = 6$ થાય.

(B) ધારો કે બે સમકેન્દ્રી વર્તુળો $C_1$ છે જેની ત્રિજ્યા $R = 34$ છે અને $C_2$ છે જેની ત્રિજ્યા $r = 16$ છે.
ધારો કે $AB$ એ મોટા વર્તુળ $C_1$ ની જીવા છે જે નાના વર્તુળ $C_2$ ને બિંદુ $P$ પર સ્પર્શે છે.
જેহেতু $AB$ એ $C_2$ ને $P$ પર સ્પર્શક છે,તેથી ત્રિજ્યા $OP$ એ $AB$ ને લંબ છે $(OP \perp AB)$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OPA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OA^2 = OP^2 + AP^2$
$34^2 = 16^2 + AP^2$
$1156 = 256 + AP^2$
$AP^2 = 1156 - 256 = 900$
$AP = \sqrt{900} = 30$.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AB = 2 \times AP$.
$AB = 2 \times 30 = 60$.

(A) આપેલ આકૃતિમાં,$OP$ એ કેન્દ્ર $O$ ને બાહ્ય બિંદુ $P$ સાથે જોડતો રેખાખંડ છે. રેખા $OP$ એ જીવા $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
કારણ કે $OP \perp AB$ અને $OP$ એ $AB$ ને દુભાગે છે,તેથી $AC = CB = \frac{AB}{2}$ થાય.
અહીં $AB = 10$ આપેલ છે,તેથી $AC = \frac{10}{2} = 5$.

(B) ધારો કે બે સમકેન્દ્રીય વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $R$ અને $r$ છે અને તેમનું કેન્દ્ર $O$ છે.
ધારો કે $OM$ એ કેન્દ્ર $O$ થી મોટા વર્તુળની જીવા $AB$ પરનો લંબ છે. $AB$ એ નાના વર્તુળને $M$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી $OM = r$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OA^2 = OM^2 + AM^2$,તેથી $R^2 = r^2 + AM^2$.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AM = AB / 2 = 15 / 2 = 7.5$.
આમ,$R^2 - r^2 = AM^2 = (7.5)^2$.
તે જ રીતે,મોટા વર્તુળની જીવા $CD$ માટે,ધારો કે $ON$ એ $O$ થી $CD$ પરનો લંબ છે. $CD$ એ નાના વર્તુળને $N$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી $ON = r$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ONC$ માં,$OC^2 = ON^2 + CN^2$,તેથી $R^2 = r^2 + CN^2$.
આમ,$CN^2 = R^2 - r^2 = (7.5)^2$.
તેથી,$CN = 7.5$.
કેન્દ્રમાંથી દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $CD = 2 \times CN = 2 \times 7.5 = 15$.

(D) વર્તુળનો સ્પર્શક એ એવી રેખા છે જે વર્તુળને માત્ર એક જ બિંદુમાં સ્પર્શે છે. આ બિંદુને સ્પર્શબિંદુ કહેવામાં આવે છે. તેથી,સ્પર્શક વર્તુળને માત્ર એક અને એક જ બિંદુમાં છેદે છે.

(D) જે રેખા વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે તેને વર્તુળની છેદિકા કહેવામાં આવે છે.
- ત્રિજ્યા એ વર્તુળના કેન્દ્રને વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ સાથે જોડતો રેખાખંડ છે.
- વ્યાસ એ જીવા છે જે વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
- ચાપ એ વર્તુળના પરિઘનો એક ભાગ છે.
- છેદિકા એ એક રેખા છે જે વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.

(B) વર્તુળના પ્રમેય મુજબ: વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે. આ ભૂમિતિમાં વર્તુળનો એક પાયાનો ગુણધર્મ છે. તેથી,સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુમાંથી દોરેલી ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.

(D) વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.
તેથી,સ્પર્શક અને સ્પર્શબિંદુએ દોરેલી ત્રિજ્યા વચ્ચે બનતા ખૂણાનું માપ $90^{\circ}$ હોય છે.

(A) ધારો કે $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. $AB$ એ વ્યાસ હોવાથી,$OA$ અને $OB$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ છે.
સ્પર્શકના ગુણધર્મ મુજબ,વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.
તેથી,$l_{1} \perp OA$ અને $l_{2} \perp OB$ થાય.
$A, O$ અને $B$ એક જ રેખા પર આવેલા હોવાથી ($AB$ વ્યાસ છે),રેખાઓ $OA$ અને $OB$ એક જ સીધી રેખા $AB$ બનાવે છે.
જો બે રેખાઓ ($l_{1}$ અને $l_{2}$) એક જ રેખા $(AB)$ ને લંબ હોય,તો તે એકબીજાને સમાંતર હોય છે.
આમ,$l_{1} \parallel l_{2}$.

(C) વર્તુળની ત્રિજ્યા $PB = 5$ છે. વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે. તેથી,$\angle PBA = 90^\circ$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PBA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PA^2 = PB^2 + AB^2$
$13^2 = 5^2 + AB^2$
$169 = 25 + AB^2$
$AB^2 = 169 - 25 = 144$
$AB = \sqrt{144} = 12$.

(C) આપેલ છે કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $OM = 8$ અને $NP = 2$ છે.
$ON$ એ ત્રિજ્યા હોવાથી,$ON = 8$ થાય.
તેથી,અંતર $OP = ON + NP = 8 + 2 = 10$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OMP$ માં,ખૂણો $\angle OMP = 90^{\circ}$ છે કારણ કે સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $OP^2 = OM^2 + PM^2$.
$10^2 = 8^2 + PM^2$.
$100 = 64 + PM^2$.
$PM^2 = 100 - 64 = 36$.
$PM = \sqrt{36} = 6$.

(B) $\Delta OAP$ માં,ત્રિજ્યા $OA$ એ સ્પર્શબિંદુ $A$ આગળ સ્પર્શક $PA$ ને લંબ છે.
તેથી,$m\angle OAP = 90^\circ$.
$\Delta OAP$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે.
$m\angle OAP + m\angle AOP + m\angle OPA = 180^\circ$
$90^\circ + 40^\circ + m\angle OPA = 180^\circ$
$130^\circ + m\angle OPA = 180^\circ$
$m\angle OPA = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

(D) $\Delta OAP$ માં,ત્રિજ્યા $OA$ એ સ્પર્શક $PA$ ને સ્પર્શબિંદુ $A$ આગળ લંબ છે. તેથી,$m\angle OAP = 90^\circ$.
આપેલ છે કે $m\angle AOP = 45^\circ$.
$\Delta OAP$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે.
$m\angle OPA = 180^\circ - (90^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
અહીં $m\angle AOP = m\angle OPA = 45^\circ$ હોવાથી,$\Delta OAP$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય: $AP = OA$.
અહીં $OA$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,તેથી $OA = 8$.
આમ,$AP = 8$.

(C) વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે,તેથી $\angle OAP = 90^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^{2} = OA^{2} + AP^{2}$
અહીં $OP = 10$ અને $AP = 8$ આપેલ છે,તેથી:
$10^{2} = OA^{2} + 8^{2}$
$100 = OA^{2} + 64$
$OA^{2} = 100 - 64 = 36$
$OA = \sqrt{36} = 6$
અહીં,$OA$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r)$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $= 2 \times \text{ત્રિજ્યા} = 2 \times 6 = 12$.

(C) ધારો કે $O$ એ બે સમકેન્દ્રી વર્તુળોનું સામાન્ય કેન્દ્ર છે.
ધારો કે $AB$ એ મોટા વર્તુળની જીવા છે જે નાના વર્તુળને બિંદુ $M$ પર સ્પર્શે છે.
$OM$ એ નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,તેથી $OM = 5$.
$OB$ એ મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,તેથી $OB = 13$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા સ્પર્શકને સ્પર્શબિંદુએ લંબ હોય છે,તેથી $\angle OMB = 90^{\circ}$.
કાટકોણ $\Delta OMB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OB^2 = OM^2 + MB^2$
$13^2 = 5^2 + MB^2$
$169 = 25 + MB^2$
$MB^2 = 169 - 25 = 144$
$MB = \sqrt{144} = 12$.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
તેથી,$AB = 2 \times MB = 2 \times 12 = 24$.

(D) $\Delta ABC$ ની બાજુઓના માપ $a=5$,$b=12$ અને $c=13$ છે.
અહીં $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ હોવાથી,$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણનું માપ $13$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના અંતઃવર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = \frac{a+b-c}{2}$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓ છે અને $c$ કર્ણ છે.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{5+12-13}{2} = \frac{17-13}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
આમ,ત્રણેય બાજુઓને સ્પર્શતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $2$ છે.

(D) જે ચતુષ્કોણ વર્તુળને પરિગત હોય તેને સ્પર્શક ચતુષ્કોણ કહેવામાં આવે છે. પિટોટના પ્રમેય મુજબ,જો કોઈ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની ચારેય બાજુઓ વર્તુળને સ્પર્શતી હોય,તો તેની સામસામેની બાજુઓના માપનો સરવાળો સમાન થાય છે. એટલે કે,$AB + CD = BC + DA$. તેથી,આવા ચતુષ્કોણને સ્પર્શક ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.

(C) ચક્રીય ચતુષ્કોણ જે લંબચોરસ પણ હોય,તેનો અર્થ એ છે કે તેના શિરોબિંદુઓ વર્તુળ પર આવેલા છે અને તેના બધા ખૂણાઓ $90^{\circ}$ ના છે.
લંબચોરસ $ABCD$ માં,$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $AC^{2} = 5^{2} + 12^{2}$.
$AC^{2} = 25 + 144 = 169$.
તેથી,$AC = \sqrt{169} = 13$.

(D) ધારો કે $O$ એ બે સમકેન્દ્રી વર્તુળોનું સામાન્ય કેન્દ્ર છે. મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા $OB = 41$ છે અને નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $OM = 9$ છે.
મોટા વર્તુળની જીવા $\overline{AB}$ એ નાના વર્તુળને $M$ બિંદુએ સ્પર્શતી હોવાથી,ત્રિજ્યા $OM$ એ સ્પર્શબિંદુ $M$ આગળ જીવા $AB$ ને લંબ છે.
તેથી,કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OMB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OB^2 = OM^2 + MB^2$
$41^2 = 9^2 + MB^2$
$1681 = 81 + MB^2$
$MB^2 = 1681 - 81 = 1600$
$MB = \sqrt{1600} = 40$.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AB = 2 \times MB = 2 \times 40 = 80$.

(C) ધારો કે $O$ એ બે સમકેન્દ્રી વર્તુળોનું સામાન્ય કેન્દ્ર છે.
ધારો કે $R = 17$ એ બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને $r = 15$ એ અંદરના વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
બહારના વર્તુળની જીવા $\overline{AB}$ એ અંદરના વર્તુળને બિંદુ $M$ આગળ સ્પર્શે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા સ્પર્શકને સ્પર્શબિંદુએ લંબ હોય છે,તેથી $OM \perp AB$.
$\triangle OMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $OA^2 = OM^2 + AM^2$.
કિંમતો મૂકતા: $17^2 = 15^2 + AM^2$.
$289 = 225 + AM^2$.
$AM^2 = 289 - 225 = 64$.
$AM = \sqrt{64} = 8$.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AB = 2 \times AM$.
$AB = 2 \times 8 = 16$.

(C) આપેલ વર્તુળમાં,$\overline{ OB }$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\overline{ PB }$ એ બિંદુ $B$ આગળનો સ્પર્શક છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા સ્પર્શબિંદુ આગળ સ્પર્શકને લંબ હોય છે,તેથી $\angle OBP = 90^{\circ}$ થાય.
આમ,$\Delta POB$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $OP$ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^{2} = OB^{2} + PB^{2}$
$13^{2} = 5^{2} + PB^{2}$
$169 = 25 + PB^{2}$
$PB^{2} = 169 - 25 = 144$
$PB = \sqrt{144} = 12$
તેથી,$PB = 12$.

(C) વર્તુળનો સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.
અહીં,$\stackrel{\leftrightarrow}{AB}$ એ વર્તુળ $\odot(P, r)$ નો $Q$ બિંદુએ સ્પર્શક છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $PQ$ એ સ્પર્શક $\stackrel{\leftrightarrow}{AB}$ ને $Q$ બિંદુએ લંબ છે.
આમ,$PQ \perp AB$ હોવાથી,$P$ માંથી રેખા $AB$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $Q$ છે.

(B) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $a = BC$,$c = AB$ અને કર્ણ $b = AC$ છે.
ધારો કે અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r$ છે.
અંતઃવૃત્તનું કેન્દ્ર $(O)$,બાજુઓ $AB$ અને $BC$ પરના સ્પર્શબિંદુઓ અને શિરોબિંદુ $B$ સાથે એક ચોરસ બનાવે છે,કારણ કે ત્રિજ્યાઓ બાજુઓને લંબ હોય છે.
આમ,$B$ થી $AB$ અને $BC$ પરના સ્પર્શબિંદુઓનું અંતર $r$ છે.
બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના બાકીના ભાગો અનુક્રમે $(c - r)$ અને $(a - r)$ છે.
બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોના ગુણધર્મ મુજબ,આ ભાગો શિરોબિંદુઓ $A$ અને $C$ થી કર્ણ પરના સ્પર્શબિંદુઓ સુધીના અંતર જેટલા હોય છે.
તેથી,કર્ણ $b = (c - r) + (a - r)$.
$b = a + c - 2r$.
$2r = a + c - b$.
$r = \frac{a + c - b}{2}$.
બાજુઓની લંબાઈ મૂકતા: $r = \frac{BC + AB - AC}{2}$.

(D) જે ચતુષ્કોણની અંદર વર્તુળ દોરી શકાય તેને સ્પર્શક ચતુષ્કોણ કહેવામાં આવે છે।
વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે।
ધારો કે વર્તુળ બાજુઓ $AB, BC, CD,$ અને $DA$ ને અનુક્રમે $P, Q, R,$ અને $S$ બિંદુઓમાં સ્પર્શે છે।
તેથી, $AP = AS$, $BP = BQ$, $CQ = CR$, અને $DR = DS$।
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)$ implies $AB + CD = AD + BC$।
આ ગુણધર્મ કોઈપણ સ્પર્શક ચતુષ્કોણ માટે સાચો છે।
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, સમબાજુ ચતુષ્કોણ એ એક એવો ચતુષ્કોણ છે જેની બધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને તે વર્તુળને પરિગત હોઈ શકે છે।
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે।

(A) સમબાજુ ચતુષ્કોણ એ ચાર સમાન બાજુઓ ધરાવતો ચતુષ્કોણ છે.
જો સમબાજુ ચતુષ્કોણ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોય,તો તેના બધા શિરોબિંદુઓ વર્તુળના પરિઘ પર આવેલા હોય છે.
વર્તુળમાં અંતર્ગત ચતુષ્કોણને ચક્રીય ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માટે,સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે,એટલે કે $\angle A = \angle C$ અને $\angle B = \angle D$.
કારણ કે $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$,તેથી $2\angle A = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle A = 90^{\circ}$.
$90^{\circ}$ ના ખૂણાવાળા સમબાજુ ચતુષ્કોણને ચોરસ કહેવાય છે.
તેથી,સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ ચોરસ હોવો જોઈએ.

(C) $1$. વર્તુળને $\odot(O, r)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $O$ કેન્દ્ર છે અને $r$ ત્રિજ્યા છે.
$2$. બિંદુઓ $A$ અને $B$ વર્તુળ પર છે. રેખાખંડ $\overline{AB}$ એ વર્તુળની જીવા છે.
$3$. ચાપ $\widehat{ACB}$ એ બિંદુ $C$ માંથી પસાર થતી $A$ અને $B$ ને જોડતી ચાપ છે. કારણ કે $C$ એ $\angle AOB$ ના અંદરના ભાગમાં છે,તેથી $\widehat{ACB}$ એ લઘુ ચાપ દર્શાવે છે.
$4$. જીવા $\overline{AB}$ અને લઘુ ચાપ $\widehat{ACB}$ નો યોગગણ એ વર્તુળના લઘુ વૃત્તખંડ તરીકે ઓળખાતો પ્રદેશ બનાવે છે.
$5$. તેથી,$\overline{AB} \cup \widehat{ACB}$ એ લઘુ વૃત્તખંડ છે.

(B) વર્તુળની જીવા એ એક રેખાખંડ છે જેના અંત્યબિંદુઓ વર્તુળ પર આવેલા હોય છે.
ચાપ એ વર્તુળના પરિઘનો એક ભાગ છે.
જીવા અને તેના અનુરૂપ ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશને વર્તુળનો વૃતખંડ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,જીવા અને તેના અનુરૂપ ચાપનો યોગ એ વૃતખંડ છે.

(C) આપેલ છે કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = OA = OB = 4 \, cm$ છે.
જીવા $\overline{AB}$ ની લંબાઈ $4 \, cm$ છે.
$\triangle AOB$ માં,$OA = OB = AB = 4 \, cm$ છે.
ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓ સમાન હોવાથી,$\triangle AOB$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,બધા ખૂણાઓનું માપ $60^\circ$ હોય છે.
તેથી,$m \angle AOB = 60^\circ$.