Tangent to a Circle Questions in Hindi

(A) $(i)$ वृत्त की स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। अतः,यह वृत्त को $1$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
$(ii)$ वह रेखा जो वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है,उसे वृत्त की छेदक रेखा (secant) कहा जाता है।

(A-D) $(i)$ एक वृत्त की अधिकतम $2$ समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं। ये स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर होती हैं और व्यास के अंतिम बिंदुओं से होकर गुजरती हैं।
$(ii)$ वृत्त की स्पर्श रेखा तथा वृत्त के उभयनिष्ठ बिंदु को स्पर्श बिंदु कहते हैं।

(D) हम जानते हैं कि वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।
अतः,$OP \perp PQ$ है।
यह एक समकोण त्रिभुज $\triangle OPQ$ बनाता है,जहाँ $OP = 5 \, cm$ (त्रिज्या) और $OQ = 12 \, cm$ (कर्ण) है।
$\triangle OPQ$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:
$OP^2 + PQ^2 = OQ^2$
$5^2 + PQ^2 = 12^2$
$25 + PQ^2 = 144$
$PQ^2 = 144 - 25$
$PQ^2 = 119$
$PQ = \sqrt{119} \, cm$.

(N/A) आकृति से यह देखा जा सकता है कि $AB$ और $CD$ दो समांतर रेखाएँ हैं।
रेखा $AB$ वृत्त को ठीक दो बिंदुओं $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करती है। इसलिए,रेखा $AB$ इस वृत्त की छेदक रेखा है।
चूँकि रेखा $CD$ वृत्त को ठीक एक बिंदु $R$ पर प्रतिच्छेद करती है,इसलिए रेखा $CD$ वृत्त की स्पर्शरेखा है।

(N/A) हमें केंद्र $O$ वाले दो संकेंद्रीय वृत्त $C_1$ और $C_2$ दिए गए हैं और बड़े वृत्त $C_1$ की एक जीवा $AB$ है जो छोटे वृत्त $C_2$ को बिंदु $P$ पर स्पर्श करती है। हमें सिद्ध करना है कि $AP = BP$ है।
आइए $OP$ को मिलाते हैं। तब,$AB$ वृत्त $C_2$ के लिए बिंदु $P$ पर एक स्पर्श रेखा है और $OP$ इसकी त्रिज्या है।
चूंकि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है,इसलिए:
$OP \perp AB$
अब,$AB$ वृत्त $C_1$ की एक जीवा है और $OP \perp AB$ है। हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः,$OP$ जीवा $AB$ का समद्विभाजक है,जिसका अर्थ है:
$AP = BP$

(N/A) हमें केंद्र $O$ वाला एक वृत्त,एक बाह्य बिंदु $T$ और वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ $TP$ और $TQ$ दी गई हैं,जहाँ $P$ और $Q$ स्पर्श बिंदु हैं (आकृति देखें)।
हमें सिद्ध करना है कि $\angle PTQ = 2 \angle OPQ$.
माना $\angle PTQ = \theta$.
अब,$TP = TQ$ (बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है)। अतः,$\triangle TPQ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
इसलिए,$\angle TPQ = \angle TQP = \frac{1}{2} (180^{\circ} - \theta) = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \theta$.
साथ ही,त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $\angle OPT = 90^{\circ}$।
अतः,$\angle OPQ = \angle OPT - \angle TPQ = 90^{\circ} - (90^{\circ} - \frac{1}{2} \theta)$.
$\angle OPQ = \frac{1}{2} \theta = \frac{1}{2} \angle PTQ$.
इससे यह सिद्ध होता है कि $\angle PTQ = 2 \angle OPQ$।

(D) $OT$ को मिलाइए। मान लीजिए कि यह $PQ$ को बिंदु $R$ पर प्रतिच्छेद करता है। तब $\triangle TPQ$ समद्विबाहु त्रिभुज है और $TO$,$\angle PTQ$ का कोण समद्विभाजक है। अतः,$OT \perp PQ$ और इसलिए,$OT$,$PQ$ को समद्विभाजित करता है,जिससे $PR = RQ = 4 \, cm$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$OR = \sqrt{OP^2 - PR^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} \, cm = \sqrt{25 - 16} \, cm = \sqrt{9} \, cm = 3 \, cm$.
अब,$\angle TPR + \angle RPO = 90^{\circ}$ और $\angle TPR + \angle PTR = 90^{\circ}$ (चूंकि $\triangle TRP$ एक समकोण त्रिभुज है)।
अतः,$\angle RPO = \angle PTR$.
इसलिए,समकोण त्रिभुज $TRP$,$AA$ समरूपता द्वारा समकोण त्रिभुज $PRO$ के समरूप है।
इससे $\frac{TP}{PO} = \frac{RP}{RO}$ प्राप्त होता है,अर्थात $\frac{TP}{5} = \frac{4}{3}$ या $TP = \frac{20}{3} \, cm$।

(A) माना कि $O$ वृत्त का केंद्र है।
दिया गया है कि,
$OQ = 25 \, cm$ और $PQ = 24 \, cm$ है।
चूँकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $OP \perp PQ$ है।
$\triangle OPQ$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$OP^2 + PQ^2 = OQ^2$
$OP^2 + 24^2 = 25^2$
$OP^2 + 576 = 625$
$OP^2 = 625 - 576$
$OP^2 = 49$
$OP = 7 \, cm$ है।
अतः,वृत्त की त्रिज्या $7 \, cm$ है।

(B) यह दिया गया है कि $TP$ और $TQ$ एक बाह्य बिंदु $T$ से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।
इसलिए,$OP \perp TP$ और $OQ \perp TQ$ है।
इसका अर्थ है कि $\angle OPT = 90^{\circ}$ और $\angle OQT = 90^{\circ}$ है।
चतुर्भुज $POQT$ में,सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
$\angle OPT + \angle POQ + \angle OQT + \angle PTQ = 360^{\circ}$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$90^{\circ} + 110^{\circ} + 90^{\circ} + \angle PTQ = 360^{\circ}$
$290^{\circ} + \angle PTQ = 360^{\circ}$
$\angle PTQ = 360^{\circ} - 290^{\circ} = 70^{\circ}$

(N/A) मान लीजिए $AB$ केंद्र $O$ वाले वृत्त का एक व्यास है। बिंदु $A$ और $B$ पर क्रमशः दो स्पर्श रेखाएँ $PQ$ और $RS$ खींची गई हैं।
चूँकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए:
$OA \perp RS$ और $OB \perp PQ$
अतः:
$\angle OAR = 90^{\circ}$
$\angle OAS = 90^{\circ}$
$\angle OBP = 90^{\circ}$
$\angle OBQ = 90^{\circ}$
उपरोक्त से,हम देख सकते हैं कि:
$\angle OAR = \angle OBQ = 90^{\circ}$ (ये एकांतर अंतःकोण हैं)
$\angle OAS = \angle OBP = 90^{\circ}$ (ये एकांतर अंतःकोण हैं)
चूँकि एकांतर अंतःकोण बराबर हैं,इसलिए रेखाएँ $PQ$ और $RS$ समांतर होंगी।

(N/A) मान लीजिए $O$ केंद्र वाला एक वृत्त है। मान लीजिए $AB$ एक स्पर्श रेखा है जो वृत्त को $P$ पर स्पर्श करती है।
हमें यह सिद्ध करना है कि $P$ पर $AB$ के लंबवत रेखा केंद्र $O$ से होकर गुजरती है। हम इसे विरोधाभास विधि द्वारा सिद्ध करेंगे।
मान लीजिए कि $P$ पर $AB$ के लंबवत रेखा केंद्र $O$ से होकर नहीं गुजरती है। मान लीजिए कि यह किसी अन्य बिंदु $O'$ से होकर गुजरती है।
$OP$ और $O'P$ को मिलाइए।
चूंकि $P$ पर $AB$ के लंबवत रेखा $O'$ से होकर गुजरती है,इसलिए,
$\angle O'PB = 90^{\circ} \dots(1)$
$O$ वृत्त का केंद्र है और $P$ स्पर्श बिंदु है। हम जानते हैं कि स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
$\therefore \angle OPB = 90^{\circ} \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\angle O'PB = \angle OPB \dots(3)$
आकृति से यह देखा जा सकता है कि,
$\angle O'PB < \angle OPB \dots(4)$
इसलिए,$\angle O'PB = \angle OPB$ संभव नहीं है।
यह केवल तभी संभव है जब रेखा $O'P$,$OP$ के संपाती हो।
अतः,$P$ से होकर $AB$ पर लंब रेखा केंद्र $O$ से होकर गुजरती है।

(B) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $O$ है और वह बिंदु जहाँ से स्पर्श रेखा खींची गई है,$A$ है।
मान लीजिए $B$ वृत्त पर स्पर्श रेखा का स्पर्श बिंदु है।
दिया गया है कि केंद्र $O$ से बिंदु $A$ की दूरी $OA = 5 \, cm$ है।
स्पर्श रेखा की लंबाई $AB = 4 \, cm$ है।
हम जानते हैं कि वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।
इसलिए,$OB \perp AB$,जो $\triangle ABO$ को एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ $\angle OBA = 90^\circ$ है।
$\triangle ABO$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:
$OA^2 = AB^2 + OB^2$
$5^2 = 4^2 + OB^2$
$25 = 16 + OB^2$
$OB^2 = 25 - 16$
$OB^2 = 9$
$OB = \sqrt{9} = 3 \, cm$.
अतः,वृत्त की त्रिज्या $3 \, cm$ है।

(C) माना कि दोनों संकेंद्रीय वृत्तों का केंद्र $O$ है। माना $PQ$ बड़े वृत्त की वह जीवा है जो छोटे वृत्त को बिंदु $A$ पर स्पर्श करती है। अतः,$PQ$ छोटे वृत्त के लिए बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखा है।
चूँकि $OA$ छोटे वृत्त की त्रिज्या है और $PQ$ स्पर्श रेखा है,इसलिए $OA \perp PQ$ होगा।
$\triangle OAP$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:
$OA^2 + AP^2 = OP^2$
$3^2 + AP^2 = 5^2$
$9 + AP^2 = 25$
$AP^2 = 25 - 9 = 16$
$AP = \sqrt{16} = 4 \, cm$.
वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AP = AQ$ होगा।
अतः,जीवा $PQ$ की लंबाई $= AP + AQ = 2 \times AP = 2 \times 4 = 8 \, cm$ होगी।

(N/A) हम जानते हैं कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
बिंदु $D$ से,$DR = DS$ ... $(1)$
बिंदु $C$ से,$CR = CQ$ ... $(2)$
बिंदु $B$ से,$BP = BQ$ ... $(3)$
बिंदु $A$ से,$AP = AS$ ... $(4)$
समीकरणों $(1), (2), (3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$DR + CR + BP + AP = DS + CQ + BQ + AS$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है:
$(DR + CR) + (BP + AP) = (DS + AS) + (CQ + BQ)$
चूँकि $DR + CR = CD$,$BP + AP = AB$,$DS + AS = AD$,और $CQ + BQ = BC$,इसलिए:
$CD + AB = AD + BC$
अतः,$AB + CD = AD + BC$ सिद्ध हुआ।

(N/A) बिंदु $O$ को $C$ से मिलाइए।
$\triangle OPA$ और $\triangle OCA$ में:
$OP = OC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$AP = AC$ (बाह्य बिंदु $A$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है)
$AO = AO$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी से $\triangle OPA \cong \triangle OCA$ है।
इससे प्राप्त होता है: $\angle POA = \angle COA$ ... $(i)$
इसी प्रकार,$\triangle OQB$ और $\triangle OCB$ में:
$OQ = OC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$BQ = BC$ (बाह्य बिंदु $B$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है)
$OB = OB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी से $\triangle OQB \cong \triangle OCB$ है।
इससे प्राप्त होता है: $\angle QOB = \angle COB$ ... $(ii)$
चूँकि $POQ$ वृत्त का व्यास है,यह एक सीधी रेखा है,इसलिए एक ओर के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle POA + \angle COA + \angle COB + \angle QOB = 180^{\circ}$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का उपयोग करने पर:
$2 \angle COA + 2 \angle COB = 180^{\circ}$
$2(\angle COA + \angle COB) = 180^{\circ}$
$\angle COA + \angle COB = 90^{\circ}$
अतः,$\angle AOB = 90^{\circ}$ है।

(N/A) मान लीजिए $O$ केंद्र वाला एक वृत्त है। मान लीजिए $P$ एक बाह्य बिंदु है जहाँ से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं,जो वृत्त को क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं। $AB$ स्पर्श बिंदुओं $A$ और $B$ को मिलाने वाला रेखाखंड है,जो वृत्त के केंद्र $O$ पर $\angle AOB$ अंतरित करता है।
यह देखा जा सकता है कि:
$OA$ (त्रिज्या) $\perp PA$ (स्पर्श रेखा)
इसलिए,$\angle OAP = 90^{\circ}$
इसी प्रकार,$OB$ (त्रिज्या) $\perp PB$ (स्पर्श रेखा)
इसलिए,$\angle OBP = 90^{\circ}$
चतुर्भुज $OAPB$ में,सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
$\angle OAP + \angle APB + \angle PBO + \angle BOA = 360^{\circ}$
$90^{\circ} + \angle APB + 90^{\circ} + \angle BOA = 360^{\circ}$
$\angle APB + \angle BOA = 180^{\circ}$
अतः,यह सिद्ध होता है कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण,स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।

(N/A) चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,
$AB = CD \dots(1)$
$BC = AD \dots(2)$
यह देखा जा सकता है कि:
$DR = DS$ (बिंदु $D$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएं)
$CR = CQ$ (बिंदु $C$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएं)
$BP = BQ$ (बिंदु $B$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएं)
$AP = AS$ (बिंदु $A$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएं)
इन सभी समीकरणों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$DR + CR + BP + AP = DS + CQ + BQ + AS$
$(DR + CR) + (BP + AP) = (DS + AS) + (CQ + BQ)$
$CD + AB = AD + BC$
इस समीकरण में समीकरण $(1)$ और $(2)$ के मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2AB = 2BC$
$AB = BC \dots(3)$
समीकरण $(1), (2),$ और $(3)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB = BC = CD = DA$
अतः,$ABCD$ एक समचतुर्भुज है।

(D) माना कि वृत्त त्रिभुज की भुजाओं $AB$ और $AC$ को क्रमशः बिंदु $E$ और $F$ पर स्पर्श करता है। माना स्पर्श रेखा $AF$ की लंबाई $x \, cm$ है।
चूंकि बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है:
$CF = CD = 6 \, cm$
$BE = BD = 8 \, cm$
$AE = AF = x \, cm$
अतः,त्रिभुज की भुजाएं हैं:
$AB = AE + EB = x + 8$
$BC = BD + DC = 8 + 6 = 14 \, cm$
$AC = AF + FC = x + 6$
अर्ध-परिमाप $s = \frac{(x+8) + 14 + (x+6)}{2} = \frac{2x + 28}{2} = x + 14$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{(x+14)(x+14-14)(x+14-(x+6))(x+14-(x+8))}$
$= \sqrt{(x+14)(x)(8)(6)} = \sqrt{48x(x+14)} = 4\sqrt{3x(x+14)}$.
साथ ही,$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \triangle OBC$ का क्षेत्रफल $+ \triangle OCA$ का क्षेत्रफल $+ \triangle OAB$ का क्षेत्रफल
$= \frac{1}{2} \times 4 \times 14 + \frac{1}{2} \times 4 \times (x+6) + \frac{1}{2} \times 4 \times (x+8)$
$= 28 + 2(x+6) + 2(x+8) = 28 + 2x + 12 + 2x + 16 = 56 + 4x = 4(14+x)$.
क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $4\sqrt{3x(x+14)} = 4(14+x)$
$\sqrt{3x(x+14)} = 14+x$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $3x(x+14) = (14+x)^2$
$3x^2 + 42x = 196 + x^2 + 28x$
$2x^2 + 14x - 196 = 0 \Rightarrow x^2 + 7x - 98 = 0$
$(x+14)(x-7) = 0$. चूंकि $x > 0$,इसलिए $x = 7$.
अतः,$AB = 7+8 = 15 \, cm$ और $AC = 7+6 = 13 \, cm$.

(N/A) माना $ABCD$ एक चतुर्भुज है जो $O$ केंद्र वाले वृत्त के परिगत है और वृत्त को $P, Q, R, S$ बिंदुओं पर स्पर्श करता है। आइए चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्षों को वृत्त के केंद्र से जोड़ें।
$\triangle OAP$ और $\triangle OAS$ पर विचार करें:
$AP = AS$ (एक ही बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ)
$OP = OS$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$OA = OA$ (उभयनिष्ठ भुजा)
इसलिए,$\triangle OAP \cong \triangle OAS$ ($SSS$ सर्वांगसमता कसौटी)।
अतः,$\angle POA = \angle AOS$,जिसका अर्थ है $\angle 1 = \angle 8$।
इसी प्रकार,हम दिखा सकते हैं कि:
$\angle 2 = \angle 3$
$\angle 4 = \angle 5$
$\angle 6 = \angle 7$
चूंकि केंद्र के चारों ओर के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है:
$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 + \angle 7 + \angle 8 = 360^{\circ}$
समान कोणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(\angle 1 + \angle 8) + (\angle 2 + \angle 3) + (\angle 4 + \angle 5) + (\angle 6 + \angle 7) = 360^{\circ}$
$2\angle 1 + 2\angle 2 + 2\angle 5 + 2\angle 6 = 360^{\circ}$
$2(\angle 1 + \angle 2) + 2(\angle 5 + \angle 6) = 360^{\circ}$
$(\angle 1 + \angle 2) + (\angle 5 + \angle 6) = 180^{\circ}$
अतः,$\angle AOB + \angle COD = 180^{\circ}$।
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\angle BOC + \angle DOA = 180^{\circ}$।
अतः,एक वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।

(D) माना $O$ दो संकेंद्रीय वृत्तों $C_{1}$ और $C_{2}$ का केंद्र है,जिनकी त्रिज्याएँ $r_{1} = 4 \, cm$ और $r_{2} = 5 \, cm$ हैं।
माना $AC$ बड़े वृत्त $C_{2}$ की एक जीवा है,जो छोटे वृत्त $C_{1}$ को बिंदु $B$ पर स्पर्श करती है।
$OB$ को मिलाइए। चूँकि $AC$,वृत्त $C_{1}$ की बिंदु $B$ पर स्पर्श रेखा है,इसलिए $OB \perp AC$ (वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है)।
अब,समकोण $\triangle OBC$ में,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$OC^{2} = BC^{2} + OB^{2}$
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$5^{2} = BC^{2} + 4^{2}$
$25 = BC^{2} + 16$
$BC^{2} = 25 - 16 = 9$
$BC = \sqrt{9} = 3 \, cm$
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए जीवा $AC$ की लंबाई $= 2 \times BC = 2 \times 3 = 6 \, cm$ होगी।

(A) $\triangle OAT$ में,हम जानते हैं कि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
अतः,$\angle OAT = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAT$ में,हमारे पास है:
$\cos(\angle OTA) = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AT}{OT}$
यहाँ $OT = 4 \, cm$ और $\angle OTA = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$\cos(30^{\circ}) = \frac{AT}{4}$
चूँकि $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AT}{4}$
$AT = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$AT = 2 \sqrt{3} \, cm$.

(B) यह कथन 'असत्य' है।
मान लीजिए कि वृत्त की त्रिज्या $r$ है और बाह्य बिंदु $P$ से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $L$ है।
त्रिज्या, स्पर्श रेखा और केंद्र को बाह्य बिंदु से जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में, कर्ण केंद्र से बाह्य बिंदु की दूरी $(d)$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $d^2 = r^2 + L^2$ होता है।
चूंकि $d > r$, इसलिए $L = \sqrt{d^2 - r^2}$ प्राप्त होता है।
बाह्य बिंदु की केंद्र से दूरी $(d)$ के आधार पर, स्पर्श रेखा की लंबाई $(L)$ त्रिज्या $(r)$ से अधिक, उसके बराबर या उससे कम हो सकती है।
उदाहरण के लिए, यदि बाह्य बिंदु वृत्त के बहुत करीब है, तो स्पर्श रेखा की लंबाई त्रिज्या से छोटी हो सकती है।

(TRUE) सत्य।
मान लीजिए $PT$ एक बाह्य बिंदु $P$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा है जो स्पर्श बिंदु $T$ पर मिलती है। $OT$ को मिलाइए।
चूंकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $OT \perp PT$ है।
अतः,$\triangle OPT$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle OTP = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज में,कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है। यहाँ,$OP$ कर्ण है।
इसलिए,$OP > PT$,जिसका अर्थ है कि स्पर्श रेखा की लंबाई $PT$ हमेशा $OP$ से कम होती है।

(A) सत्य।
मान लीजिए $EAF$,$\triangle ABC$ के परिवृत्त के बिंदु $A$ पर एक स्पर्श रेखा है।
हमें सिद्ध करना है कि $EAF \parallel BC$ है।
एकांतर वृत्तखंड प्रमेय (alternate segment theorem) के अनुसार,स्पर्श रेखा $EAF$ और जीवा $AB$ के बीच का कोण,जीवा $AB$ द्वारा एकांतर वृत्तखंड में बने कोण $\angle ACB$ के बराबर होता है।
अतः,$\angle EAB = \angle ACB$ है।
चूंकि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है,इसलिए समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,अर्थात $\angle ABC = \angle ACB$।
इन दो संबंधों से,हमें प्राप्त होता है कि $\angle EAB = \angle ABC$ है।
चूंकि ये कोण रेखा $EAF$ और $BC$ द्वारा तिर्यक रेखा $AB$ के साथ बनाए गए एकांतर अंतःकोण हैं,इसलिए इन कोणों की समानता यह सिद्ध करती है कि $EAF \parallel BC$ है।

(B) असत्य।
मान लीजिए $PQ$ एक रेखाखंड है और $A$ उस पर स्थित एक बिंदु है। यदि कई वृत्त रेखाखंड $PQ$ को बिंदु $A$ पर स्पर्श करते हैं,तो प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिंदु $A$ पर रेखाखंड $PQ$ के लंबवत होती है।
मान लीजिए इन वृत्तों के केंद्र $C_1, C_2, C_3, \dots$ हैं। चूँकि प्रत्येक वृत्त रेखाखंड $PQ$ को बिंदु $A$ पर स्पर्श करता है,इसलिए प्रत्येक वृत्त के केंद्र को बिंदु $A$ से जोड़ने वाला रेखाखंड (जैसे $C_1A, C_2A, C_3A, \dots$) बिंदु $A$ पर $PQ$ के लंबवत होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि सभी केंद्र $C_1, C_2, C_3, \dots$ एक ऐसी रेखा पर स्थित हैं जो $PQ$ पर बिंदु $A$ पर लंबवत है। हालाँकि,इन केंद्रों के $PQ$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होने के लिए,बिंदु $A$ का $PQ$ का मध्य-बिंदु होना आवश्यक है। चूँकि प्रश्न में यह निर्दिष्ट नहीं है कि $A$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए केंद्र $A$ पर $PQ$ के लंबवत रेखा पर स्थित हैं,लेकिन वे $PQ$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित हों,यह आवश्यक नहीं है।

(A) सत्य (True)
सिद्ध करना है: $BC = BD$.
$1$. $OC$ को मिलाइए। चूंकि $AB$ व्यास है,इसलिए $\angle ACB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त का कोण)।
$2$. $\triangle ABC$ में,$\angle ABC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$।
$3$. $OC$ त्रिज्या है और $CD$ स्पर्शरेखा है,इसलिए $OC \perp CD$,अर्थात $\angle OCD = 90^{\circ}$।
$4$. $\triangle OAC$ में,$OA = OC$ (त्रिज्याएँ),इसलिए $\angle OCA = \angle OAC = 30^{\circ}$।
$5$. $\angle BCD = \angle OCD - \angle OCB = 90^{\circ} - (90^{\circ} - 30^{\circ}) = 30^{\circ}$।
$6$. $\triangle BCD$ में,$\angle CBD = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
$7$. $\triangle BCD$ में,$\angle BDC = 180^{\circ} - (120^{\circ} + 30^{\circ}) = 30^{\circ}$।
$8$. चूंकि $\angle BCD = \angle BDC = 30^{\circ}$ है,समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $BC = BD$ है।

(N/A) माना $O$ दो संकेंद्रीय वृत्तों का उभयनिष्ठ केंद्र है। माना $AB$ बाहरी वृत्त की एक जीवा है जो आंतरिक वृत्त को बिंदु $C$ पर स्पर्श करती है।
चूंकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $OC \perp AB$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta OCB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OC^{2} + CB^{2} = OB^{2}$
यहाँ,$OC$ आंतरिक वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $OC = \frac{d_{1}}{2}$।
$OB$ बाहरी वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $OB = \frac{d_{2}}{2}$।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $CB = \frac{c}{2}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{d_{1}}{2})^{2} + (\frac{c}{2})^{2} = (\frac{d_{2}}{2})^{2}$
$\frac{d_{1}^{2}}{4} + \frac{c^{2}}{4} = \frac{d_{2}^{2}}{4}$
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$d_{1}^{2} + c^{2} = d_{2}^{2}$
अतः,$d_{2}^{2} = c^{2} + d_{1}^{2}$।

(D) माना $C_1$ और $C_2$ समान केंद्र $O$ वाले वृत्त हैं। $AC$ बाहरी वृत्त $C_2$ की एक जीवा है जो आंतरिक वृत्त $C_1$ को बिंदु $D$ पर स्पर्श करती है।
$OD$ को मिलाइए।
चूंकि $AC$ आंतरिक वृत्त की बिंदु $D$ पर स्पर्श रेखा है,इसलिए $OD \perp AC$ होगा।
केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$AD = DC = \frac{8}{2} = 4 \, cm$।
समकोण $\triangle AOD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = AD^2 + OD^2$
$5^2 = 4^2 + OD^2$
$25 = 16 + OD^2$
$OD^2 = 25 - 16 = 9$
$OD = \sqrt{9} = 3 \, cm$।
अतः,आंतरिक वृत्त की त्रिज्या $3 \, cm$ है।

(N/A) दिया है: $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ और $O^{\prime}$ तथा समान त्रिज्या $r$ वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।
सिद्ध करना है: $AB = CD$.
रचना: $OA, OC, O^{\prime}B$ और $O^{\prime}D$ को मिलाइए।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $AB$,$A$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $OA$,$AB$ पर लंब है। अतः,$\angle OAB = 90^{\circ}$ है।
$2$. इसी प्रकार,चूँकि $CD$,$C$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $OC$,$CD$ पर लंब है। अतः,$\angle OCD = 90^{\circ}$ है।
$3$. चूँकि $AB$ और $CD$ समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं (क्योंकि यदि त्रिज्याएँ समान हैं तो वे केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत होती हैं),$AC$ एक व्यास या स्पर्श रेखाओं पर लंब रेखाखंड है।
$4$. चतुर्भुज $ABDC$ में,$\angle A = 90^{\circ}, \angle B = 90^{\circ}, \angle C = 90^{\circ}$ और $\angle D = 90^{\circ}$ है।
$5$. त्रिज्याएँ समान होने के कारण,समांतर स्पर्श रेखाओं $AB$ और $CD$ के बीच की दूरी स्थिर है,जिससे $AC = BD = 2r$ होता है।
$6$. वह चतुर्भुज जिसके सभी कोण $90^{\circ}$ हों और सम्मुख भुजाएँ बराबर हों,एक आयत होता है।
$7$. अतः,$ABDC$ एक आयत है।
$8$. इसलिए,आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,जिससे $AB = CD$ सिद्ध होता है।

(N/A) दिया है: जीवा $PQ$, बिंदु $R$ पर स्पर्श रेखा $MN$ के समांतर है।
सिद्ध करना है: $R$, चाप $PRQ$ को समद्विभाजित करता है, अर्थात चाप $PR = \text{चाप } RQ$ है।
उपपत्ति:
माना $MN$, $R$ पर स्पर्श रेखा है। चूंकि $PQ \parallel MN$, इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होंगे।
अतः, $\angle MRP = \angle RPQ$ (माना यह $\angle 1 = \angle 2$ है)।
एकांतर वृत्तखंड प्रमेय के अनुसार, स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण, जीवा द्वारा एकांतर वृत्तखंड में बने कोण के बराबर होता है।
अतः, $\angle MRP = \angle RQP$ (माना यह $\angle 1 = \angle 3$ है)।
उपरोक्त दो समीकरणों से, हमें $\angle 2 = \angle 3$ प्राप्त होता है, अर्थात $\angle RPQ = \angle RQP$ है।
$\triangle PQR$ में, चूंकि $\angle RPQ = \angle RQP$ है, इसलिए इन कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होंगी।
अतः, $PR = RQ$ है।
चूंकि जीवा $PR$ और $RQ$ बराबर हैं, इसलिए उनके द्वारा अंतरित चाप भी बराबर होंगे।
अतः, चाप $PR = \text{चाप } RQ$, जिसका अर्थ है कि $R$, चाप $PRQ$ को समद्विभाजित करता है।

(N/A) माना $O$ दिए गए वृत्त का केंद्र है। मान लीजिए $P$ पर स्पर्श रेखा $BC$ को $Q$ पर मिलती है। $BP$ को मिलाइए।
सिद्ध करना है: $BQ = QC$.
उपपत्ति: $\angle ABC = 90^{\circ}$.
$\triangle ABC$ में,$\angle A + \angle C = 90^{\circ}$ (जहाँ $\angle A = \angle 1$ और $\angle C = \angle 5$).
अतः,$\angle 1 + \angle 5 = 90^{\circ}$ ... $(i)$
एकांतर वृत्तखंड प्रमेय के अनुसार,$P$ पर स्पर्श रेखा और जीवा $BP$ के बीच का कोण एकांतर वृत्तखंड में बने कोण के बराबर होता है,इसलिए $\angle 3 = \angle 1$.
साथ ही,$\angle APB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना कोण)।
चूँकि $AC$ एक सीधी रेखा है,$\angle APB + \angle BPC = 180^{\circ}$,इसलिए $\angle BPC = 90^{\circ}$।
$\triangle BPC$ में,$\angle 4 + \angle 5 = 90^{\circ}$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से:
$\angle 1 + \angle 5 = \angle 4 + \angle 5$
$\Rightarrow \angle 1 = \angle 4$
चूँकि $\angle 3 = \angle 1$,इसलिए $\angle 3 = \angle 4$ है।
$\triangle PQC$ में,चूँकि $\angle 3 = \angle 4$,समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $PQ = QC$।
साथ ही,बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $PQ = BQ$।
अतः,$BQ = QC$।
इस प्रकार,$P$ पर स्पर्श रेखा $BC$ को समद्विभाजित करती है।

(N/A) $1$. $\triangle ABC$ में,$\angle ACB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना कोण)।
$2$. $\triangle ABC$ में,$\angle ABC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$।
$3$. स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण एकांतर वृत्तखंड में बने कोण के बराबर होता है,इसलिए $\angle BCD = \angle BAC = 30^{\circ}$।
$4$. $\triangle BCD$ में,$\angle CBD = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
$5$. $\triangle BCD$ में,$\angle BDC = 180^{\circ} - (120^{\circ} + 30^{\circ}) = 30^{\circ}$।
$6$. यहाँ $\angle BCD = \angle BDC = 30^{\circ}$ है,अतः $\triangle BCD$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,इसलिए $BC = BD$।

(N/A) $AO, OC$ और $O^{\prime}D, O^{\prime}B$ को मिलाइए।
$\triangle E O^{\prime} D$ और $\triangle E O^{\prime} B$ में:
$O^{\prime} D = O^{\prime} B$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$O^{\prime} E = O^{\prime} E$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$ED = EB$ (बाह्य बिंदु $E$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है)
इसलिए,$\triangle E O^{\prime} D \cong \triangle E O^{\prime} B$ ($SSS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा)।
इसका अर्थ है कि $\angle O^{\prime} E D = \angle O^{\prime} E B$,अतः $O^{\prime} E$,$\angle DEB$ का कोण समद्विभाजक है।
इसी प्रकार,$\triangle EOA$ और $\triangle EOC$ पर विचार करते हुए,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\triangle EOA \cong \triangle EOC$,जिसका अर्थ है कि $\angle OEA = \angle OEC$,अतः $OE$,$\angle AEC$ का कोण समद्विभाजक है।
चूँकि $AB$ और $CD$ बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाएँ हैं,$\angle AEC$ और $\angle DEB$ शीर्षाभिमुख कोण हैं,इसलिए $\angle AEC = \angle DEB$ है।
चूँकि $OE$,$\angle AEC$ को समद्विभाजित करता है और $O^{\prime}E$,$\angle DEB$ को समद्विभाजित करता है,और $\angle AEC = \angle DEB$ है,इसलिए $\angle OEC = \angle O^{\prime}EB$ होता है।
चूँकि $C, E, B$ एक सीधी रेखा पर स्थित हैं,$\angle OEC + \angle OEO^{\prime} + \angle O^{\prime}EB = 180^{\circ}$।
$\angle OEC = \angle O^{\prime}EB$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\angle O^{\prime}EB + \angle OEO^{\prime} = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,चूँकि $O, E, O^{\prime}$ एक सीधी रेखा बनाते हैं,इसलिए कोण $\angle OEO^{\prime}$ का मान $180^{\circ}$ होना चाहिए।
अतः,$O, E, O^{\prime}$ संरेख हैं।

(C) माना $O$ वृत्त का केंद्र है। $OC$ को मिलाइए। चूँकि $OC$ त्रिज्या है और $PC$ बिंदु $C$ पर स्पर्श रेखा है,इसलिए $OC \perp PC$ होगा। अतः,$\angle PCO = 90^{\circ}.$
दिया है $\angle PCA = 110^{\circ},$ इसलिए $\angle OCA = \angle PCA - \angle PCO = 110^{\circ} - 90^{\circ} = 20^{\circ}.$
$\triangle OCA$ में,$OC = OA$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ),इसलिए $\angle OAC = \angle OCA = 20^{\circ}.$
चूँकि $\angle COA = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 20^{\circ}) = 140^{\circ},$ चाप $AC$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $140^{\circ}$ है।
चाप $AC$ द्वारा परिधि पर अंतरित कोण $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle COA = \frac{1}{2} \times 140^{\circ} = 70^{\circ}.$
अतः,$\angle CBA = 70^{\circ}.$

(B) $O$ वृत्त का केंद्र है और $P$ स्पर्श रेखा का स्पर्श बिंदु है।
चूंकि त्रिज्या हमेशा स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $\angle OPQ = 90^\circ$ है।
दिया है: $OP = 7 \, cm$ (त्रिज्या) और $PQ = 24 \, cm$।
समकोण $\Delta OPQ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OQ^2 = OP^2 + PQ^2$
$OQ^2 = (7)^2 + (24)^2$
$OQ^2 = 49 + 576$
$OQ^2 = 625$
$OQ = \sqrt{625} = 25 \, cm$।

(C) $\odot(P, 5)$ की जीवा $\overline{AB}$,$\odot(P, 3)$ को $M$ पर स्पर्श करती है।
चूंकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $\overline{PM} \perp \overline{AB}$।
वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इसलिए,$M$,$\overline{AB}$ का मध्य बिंदु है।
यहाँ $PM = 3$ (छोटे वृत्त की त्रिज्या) और $PB = 5$ (बड़े वृत्त की त्रिज्या) दिया गया है।
समकोण $\Delta PMB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PB^2 = PM^2 + MB^2$
$5^2 = 3^2 + MB^2$
$25 = 9 + MB^2$
$MB^2 = 25 - 9 = 16$
$MB = \sqrt{16} = 4$।
चूंकि $M$,$\overline{AB}$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $AB = 2 \times MB = 2 \times 4 = 8$।

(N/A) माना $P$ दो संकेंद्रित वृत्तों का उभयनिष्ठ केंद्र है। माना $\overline{AB}$ बड़े वृत्त की जीवा है जिसकी त्रिज्या $R = 13$ है,जो छोटे वृत्त को जिसकी त्रिज्या $r = 8$ है,बिंदु $M$ पर स्पर्श करती है।
चूँकि $\overline{AB}$ छोटे वृत्त पर बिंदु $M$ पर स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $\overline{PM}$ जीवा $\overline{AB}$ पर लंब है। अतः,$\angle PMB = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta PMB$ में:
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PB^2 = PM^2 + MB^2$ है।
यहाँ,$PB = 13$ (बड़े वृत्त की त्रिज्या) और $PM = 8$ (छोटे वृत्त की त्रिज्या) है।
$13^2 = 8^2 + MB^2$
$169 = 64 + MB^2$
$MB^2 = 169 - 64 = 105$
$MB = \sqrt{105}$ है।
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB = 2 \times MB$ होगा।
$AB = 2\sqrt{105}$।

(A) दिया गया है कि बिंदु $A$,केंद्र $P$ और त्रिज्या $r = 10$ वाले वृत्त के बाहरी भाग में स्थित है।
चूँकि $A$ से जाने वाली रेखा वृत्त को $B$ पर स्पर्श करती है,इसलिए $AB$ वृत्त की स्पर्श रेखा है।
स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है। अतः,$\angle PBA = 90^{\circ}$।
समकोण त्रिभुज $\triangle PBA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PA^2 = PB^2 + AB^2$।
यहाँ $PA = 26$ और $PB = r = 10$ दिया गया है।
$26^2 = 10^2 + AB^2$।
$676 = 100 + AB^2$।
$AB^2 = 676 - 100 = 576$।
$AB = \sqrt{576} = 24$।

(B) दिया गया है कि वृत्त का केंद्र $O$ और त्रिज्या $r = 8$ है।
बिंदु $A$ वृत्त के बाहरी भाग में स्थित है।
$A$ से होकर जाने वाली एक रेखा वृत्त को $B$ पर स्पर्श करती है,जिसका अर्थ है कि $AB$ बिंदु $B$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।
स्पर्श रेखा के गुणधर्म के अनुसार,त्रिज्या $OB$ स्पर्श बिंदु $B$ पर स्पर्श रेखा $AB$ के लंबवत होती है।
इसलिए,$\triangle OBA$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle OBA = 90^{\circ}$ है।
$\triangle OBA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = OB^2 + AB^2$
यहाँ $OB = r = 8$ और $AB = 15$ दिया गया है।
$OA^2 = 8^2 + 15^2$
$OA^2 = 64 + 225$
$OA^2 = 289$
$OA = \sqrt{289} = 17$.
अतः,$OA$ की लंबाई $17$ है।

(B) माना कि दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ $R = 41$ और $r = 40$ हैं।
माना कि $O$ उभयनिष्ठ केंद्र है।
माना कि $AB$ बड़े वृत्त की वह जीवा है जो छोटे वृत्त को बिंदु $P$ पर स्पर्श करती है।
चूँकि जीवा छोटे वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए $OP$,$AB$ पर लंब है और $OP = r = 40$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OPA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = OP^2 + AP^2$
$41^2 = 40^2 + AP^2$
$1681 = 1600 + AP^2$
$AP^2 = 1681 - 1600 = 81$
$AP = 9$।
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए जीवा की लंबाई $AB = 2 \times AP = 2 \times 9 = 18$ है।

(D) केंद्र $O$ वाले वृत्त में,त्रिज्या $OQ$ स्पर्श बिंदु $Q$ पर स्पर्श रेखा $PQ$ के लंबवत होती है। इसलिए,$\triangle OQP$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle OQP = 90^{\circ}$ है।
$\triangle OQP$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$OQ^2 + PQ^2 = OP^2$
यहाँ $OP = 34$ और $PQ = 16$ दिया गया है:
$OQ^2 + 16^2 = 34^2$
$OQ^2 + 256 = 1156$
$OQ^2 = 1156 - 256 = 900$
$OQ = \sqrt{900} = 30$.
वृत्त की त्रिज्या $30$ है। वृत्त का व्यास $2 \times \text{त्रिज्या} = 2 \times 30 = 60$ होगा।

(A) माना संकेंद्रीय वृत्तों का केंद्र $O$ है। बड़े वृत्त की त्रिज्या $R = 17$ और छोटे वृत्त की त्रिज्या $r = 8$ है।
माना $AB$ बड़े वृत्त की वह जीवा है जो छोटे वृत्त को बिंदु $P$ पर स्पर्श करती है।
चूंकि $AB$ छोटे वृत्त के लिए बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा है,इसलिए त्रिज्या $OP$ जीवा $AB$ पर लंब है $(OP \perp AB)$।
समकोण त्रिभुज $\triangle OPA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = OP^2 + AP^2$
$17^2 = 8^2 + AP^2$
$289 = 64 + AP^2$
$AP^2 = 289 - 64 = 225$
$AP = \sqrt{225} = 15$.
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB = 2 \times AP = 2 \times 15 = 30$.
अतः,जीवा की लंबाई $30$ है।

(A) दिया गया है कि $r = OX = 12$ और $XP = 5$ है।
चूँकि $PX$ वृत्त की $X$ पर स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $OX$ स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा $PX$ के लंबवत होती है।
अतः,$\angle OXP = 90^{\circ}$।
समकोण त्रिभुज $\Delta OXP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = OX^2 + XP^2$
$OP^2 = (12)^2 + (5)^2$
$OP^2 = 144 + 25$
$OP^2 = 169$
$OP = \sqrt{169} = 13$।
इस प्रकार,$OP$ की लंबाई $13$ है।

(A) $\overline{OX}$ एक त्रिज्या है और $\overleftrightarrow{PX}$ बिंदु $X$ पर एक स्पर्श रेखा है।
प्रमेय के अनुसार,वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
इसलिए,$\overline{OX} \perp \overleftrightarrow{PX}$,जिसका अर्थ है $m\angle OXP = 90^\circ$.
समकोण त्रिभुज $\Delta PXO$ में,कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
इसलिए,$m\angle OXP + m\angle XPO + m\angle XOP = 180^\circ$.
$90^\circ + 65^\circ + m\angle XOP = 180^\circ$.
$155^\circ + m\angle XOP = 180^\circ$.
$m\angle XOP = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ$.

(D) माना संकेंद्रीय वृत्तों का केंद्र $P$ है। त्रिज्याएँ $R = 13$ और $r = 8$ हैं।
$\overline{AB}$ बड़े वृत्त का व्यास है,इसलिए $AB = 2 \times 13 = 26$ और $PB = 13$ है।
$\overline{BD}$ छोटे वृत्त को $D$ पर स्पर्श करती है,इसलिए $\overline{PD} \perp \overline{BD}$ और $PD = 8$ है।
समकोण $\Delta PDB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$BD^2 = PB^2 - PD^2 = 13^2 - 8^2 = 169 - 64 = 105$ है।
माना $\overline{BD}$ बड़े वृत्त को $C$ पर प्रतिच्छेद करती है। चूँकि $\overline{PD} \perp \overline{BC}$,इसलिए $D$ जीवा $\overline{BC}$ का मध्यबिंदु है,अतः $CD = BD$ है। इस प्रकार,$CD^2 = 105$ है।
बड़े वृत्त में,$\angle ACB$ अर्धवृत्त में बना कोण है,इसलिए $\angle ACB = 90^\circ$ है।
$\Delta ABC$ और $\Delta PBD$ में,$\angle ACB = \angle PDB = 90^\circ$ और $\angle B$ उभयनिष्ठ है। अतः,$AA$ समरूपता के अनुसार $\Delta ABC \sim \Delta PBD$ है।
इसलिए,$\frac{AB}{PB} = \frac{AC}{PD} \implies \frac{26}{13} = \frac{AC}{8} \implies 2 = \frac{AC}{8} \implies AC = 16$ है।
समकोण $\Delta ACD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AD^2 = AC^2 + CD^2 = 16^2 + 105 = 256 + 105 = 361$ है।
$AD = \sqrt{361} = 19$ है।

(N/A) दिया है: $\overline{AB}$ केंद्र $O$ वाले वृत्त की एक जीवा है। रेखा $l$ वृत्त को $B$ पर स्पर्श करती है। $D$,$A$ से रेखा $l$ पर डाले गए लंब का पाद है (अर्थात $\overline{AD} \perp l$)।
सिद्ध करना है: $\angle BAO \cong \angle BAD$।
उपपत्ति:
$1$. $\Delta OAB$ में,$\overline{OA} \cong \overline{OB}$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
$2$. अतः,$\angle ABO \cong \angle BAO$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं) ... $(1)$।
$3$. रेखा $l$ वृत्त को $B$ पर स्पर्श करती है और $\overline{OB}$ स्पर्श बिंदु $B$ से जाने वाली त्रिज्या है। अतः,$\overline{OB} \perp l$।
$4$. हमें दिया गया है कि $\overline{AD} \perp l$।
$5$. चूँकि $\overline{OB}$ और $\overline{AD}$ दोनों एक ही रेखा $l$ पर लंब हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के समांतर होंगी $(\overline{OB} \parallel \overline{AD})$।
$6$. $\overline{OB} \parallel \overline{AD}$ और $\overleftrightarrow{AB}$ को तिर्यक रेखा लेने पर,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
$7$. अतः,$\angle ABO \cong \angle BAD$ (एकांतर अंतःकोण) ... $(2)$।
$8$. समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,चूँकि $\angle BAO$ और $\angle BAD$ दोनों $\angle ABO$ के बराबर हैं,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\angle BAO \cong \angle BAD$।

(N/A) $O$ केंद्र वाला एक वृत्त चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $\overline{AB}$,$\overline{BC}$,$\overline{CD}$ और $\overline{DA}$ को क्रमशः $P, Q, R$ और $S$ पर स्पर्श करता है।
सिद्ध करना है: $m \angle AOB + m \angle COD = 180^{\circ}$ और $m \angle AOD + m \angle BOC = 180^{\circ}$।
उपपत्ति: $\overline{OP}, \overline{OQ}, \overline{OR}$ और $\overline{OS}$ खींचिए।
चूँकि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $\overline{AS} \cong \overline{AP}$।
$\Delta ASO$ और $\Delta APO$ में:
$\overline{AS} \cong \overline{AP}$ (बिंदु $A$ से स्पर्श रेखाएँ)
$\overline{OS} \cong \overline{OP}$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$\overline{AO} \cong \overline{AO}$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$\Delta ASO \cong \Delta APO$ ($SSS$ सर्वांगसमता नियम)।
इसका अर्थ है $m \angle OAS = m \angle OAP$,इसलिए $m \angle OAB = \frac{1}{2} m \angle DAB$।
इसी प्रकार,हम दिखा सकते हैं:
$m \angle OBA = \frac{1}{2} m \angle ABC$
$m \angle OCD = \frac{1}{2} m \angle BCD$
$m \angle ODC = \frac{1}{2} m \angle CDA$
$\Delta AOB$ में,$m \angle AOB = 180^{\circ} - (m \angle OAB + m \angle OBA) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(m \angle DAB + m \angle ABC)$।
$\Delta COD$ में,$m \angle COD = 180^{\circ} - (m \angle OCD + m \angle ODC) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(m \angle BCD + m \angle CDA)$।
इनका योग करने पर:
$m \angle AOB + m \angle COD = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(m \angle DAB + m \angle ABC + m \angle BCD + m \angle CDA)$।
चूँकि चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है:
$m \angle AOB + m \angle COD = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(360^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$।
इसी प्रकार,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $m \angle AOD + m \angle BOC = 180^{\circ}$।

(A) वृत्त की त्रिज्या $OP = 9$ है।
चूँकि $PQ$ बिंदु $P$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $OP$ स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा $PQ$ के लंबवत होती है।
अतः,$\angle OPQ = 90^{\circ}$।
समकोण त्रिभुज $\triangle OPQ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OQ^2 = OP^2 + PQ^2$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$OQ^2 = 9^2 + 40^2$।
$OQ^2 = 81 + 1600$।
$OQ^2 = 1681$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$OQ = \sqrt{1681} = 41$।
इस प्रकार,$OQ$ की लंबाई $41$ है।

(B) एक समकोण त्रिभुज में,अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{AB + BC - AC}{2}$ होता है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण $AC$ की गणना करें: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 30^2} = \sqrt{256 + 900} = \sqrt{1156} = 34$.
अब,मानों को सूत्र में रखें: $r = \frac{16 + 30 - 34}{2}$.
$r = \frac{46 - 34}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
अतः,वृत्त की त्रिज्या $6$ है।

(C) दिया गया है कि $P$,केंद्र $O$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त के बाहर एक बिंदु है। $\overleftrightarrow{PQ}$ बिंदु $Q$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।
स्पर्श रेखा के गुणधर्म के अनुसार,त्रिज्या $OQ$,स्पर्श बिंदु $Q$ पर स्पर्श रेखा $PQ$ के लंबवत होती है। अतः,$\triangle OQP$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle OQP = 90^{\circ}$ है।
$\triangle OQP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
यहाँ $OP = 26$ और $PQ = 10$ दिया गया है,इसलिए:
$26^2 = r^2 + 10^2$
$676 = r^2 + 100$
$r^2 = 676 - 100 = 576$
$r = \sqrt{576} = 24$.
वृत्त का व्यास $d = 2r = 2 \times 24 = 48$ है।