Mix Examples - Circles Questions in Hindi

(C) एकांतर वृत्तखंड प्रमेय के अनुसार,जीवा और स्पर्श रेखा के बीच का कोण,एकांतर वृत्तखंड में बने कोण के बराबर होता है।
आकृति में,$R$ लघु चाप पर स्थित है,इसलिए $\angle PRQ$ एकांतर वृत्तखंड में बने कोण का संपूरक है।
एकांतर वृत्तखंड में बना कोण $\angle QPT = 60^{\circ}$ है।
चक्रीय चतुर्भुज के गुणधर्म के अनुसार,$\angle PRQ = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।

(A) हम जानते हैं कि एक वृत्त के परिगत चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ वृत्त के केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
अतः,$\angle AOB + \angle COD = 180^{\circ}$।
चूँकि $\angle AOB = 125^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$\angle COD = 180^{\circ} - 125^{\circ}$
$\angle COD = 55^{\circ}$।

(B) आकृति में,$AOC$ वृत्त का व्यास है। हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
इसलिए,$\angle ABC = 90^{\circ}$।
$\triangle ACB$ में,त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
$\angle BAC + 90^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle BAC + 140^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle BAC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$।
चूँकि $AT$ बिंदु $A$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $OA$ स्पर्श रेखा $AT$ पर लंब होती है।
अतः,$\angle OAT = 90^{\circ}$।
चूँकि $A, O, C$ एक ही रेखा पर स्थित हैं,$\angle OAT$ ही $\angle CAT$ है,अर्थात $\angle CAT = 90^{\circ}$।
हम लिख सकते हैं कि $\angle CAT = \angle CAB + \angle BAT$।
$90^{\circ} = 40^{\circ} + \angle BAT$।
$\angle BAT = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$।
अतः,$\angle BAT$ का मान $50^{\circ}$ है।

(C) दिया है: वृत्त की त्रिज्या $OQ = OR = 5 \, cm$ है। केंद्र $O$ से बिंदु $P$ की दूरी $OP = 13 \, cm$ है।
चूँकि $PQ$ और $PR$ स्पर्श रेखाएँ हैं,त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। इसलिए,$\angle OQP = 90^\circ$ और $\angle ORP = 90^\circ$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OQP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
$13^2 = 5^2 + PQ^2$
$169 = 25 + PQ^2$
$PQ^2 = 169 - 25 = 144$
$PQ = 12 \, cm$ प्राप्त होता है।
अब,$\triangle OQP$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times OQ \times PQ = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 \, cm^2$ है।
चतुर्भुज $PQOR$ दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों,$\triangle OQP$ और $\triangle ORP$ से मिलकर बना है।
अतः,चतुर्भुज $PQOR$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{क्षेत्रफल}(\triangle OQP) = 2 \times 30 = 60 \, cm^2$ है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $O$ और त्रिज्या $r = 5 \, cm$ है। $AB$ एक व्यास है,इसलिए $OA = OB = 5 \, cm$ है।
बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखा $XY$ खींची गई है। चूंकि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या पर लंब होती है,इसलिए $OA \perp XY$ है।
माना जीवा $CD$,$XY$ के समानांतर है। माना $CD$ व्यास $AB$ को बिंदु $E$ पर काटती है। चूंकि $CD \parallel XY$ और $OA \perp XY$ है,इसलिए $OE \perp CD$ होगा।
जीवा $CD$ की $A$ से दूरी $AE = 8 \, cm$ दी गई है।
चूंकि $OA = 5 \, cm$ है,इसलिए केंद्र $O$ से जीवा की दूरी $OE = AE - OA = 8 - 5 = 3 \, cm$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OEC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OC^2 = OE^2 + EC^2$
$5^2 = 3^2 + EC^2$
$25 = 9 + EC^2$
$EC^2 = 16$
$EC = 4 \, cm$ है।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $CD = 2 \times EC = 2 \times 4 = 8 \, cm$ है।

(B) दिया है,$\angle QPR = 50^{\circ}$.
हम जानते हैं कि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
अतः,$\angle OPR = 90^{\circ}$.
आकृति से,$\angle OPQ + \angle QPR = \angle OPR = 90^{\circ}$.
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,$\angle OPQ + 50^{\circ} = 90^{\circ}$.
इस प्रकार,$\angle OPQ = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$.
$\triangle OPQ$ में,$OP = OQ$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
चूंकि समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle OQP = \angle OPQ = 40^{\circ}$.
$\triangle OPQ$ में त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करने पर:
$\angle POQ + \angle OPQ + \angle OQP = 180^{\circ}$.
$\angle POQ + 40^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle POQ + 80^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle POQ = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$.

(A) दिया गया है कि $AB \parallel PR$ और $PQR$ बिंदु $Q$ पर एक स्पर्शरेखा है।
एकांतर वृत्तखंड प्रमेय के अनुसार,स्पर्शरेखा $QR$ और जीवा $BQ$ के बीच का कोण एकांतर वृत्तखंड में जीवा द्वारा बनाए गए कोण के बराबर होता है।
इसलिए,$\angle BAQ = \angle BQR = 70^{\circ}$।
चूंकि $AB \parallel PR$,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle ABQ = \angle BQR = 70^{\circ}$।
$\triangle ABQ$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle AQB + \angle ABQ + \angle BAQ = 180^{\circ}$।
$\angle AQB + 70^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle AQB + 140^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle AQB = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$।

(A) सत्य।
$\triangle PBO$ में,$OB = OP$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
अतः,$\angle OPB = \angle PBO = 30^{\circ}$।
$\triangle PBO$ में कोण योग गुणधर्म के अनुसार,$\angle POB = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$।
चूँकि $BOA$ एक सीधी रेखा है,$\angle POA = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
$\triangle OPT$ में,$OP \perp PT$ (स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है)।
अतः,$\angle OPT = 90^{\circ}$।
$\triangle OPT$ में,$\angle PTA = 180^{\circ} - (\angle POT + \angle OPT) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 90^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(B) असत्य।
यहाँ $QL$,$Q$ पर एक स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है,अतः $\angle OQS = 90^{\circ} - \angle SQL = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$।
$\triangle OSQ$ में,$OS = OQ$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ),इसलिए $\angle OSQ = \angle OQS = 40^{\circ}$।
इसी प्रकार,$R$ पर स्पर्श रेखा $RM$ के लिए,$\angle ORS = 90^{\circ} - \angle SRM = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
$\triangle OSR$ में,$OS = OR$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ),इसलिए $\angle OSR = \angle ORS = 30^{\circ}$।
अतः,$\angle QSR = \angle OSQ + \angle OSR = 40^{\circ} + 30^{\circ} = 70^{\circ}$।

(TRUE) सत्य।
मान लीजिए कि एक रेखाखंड $PQ$ के अंत बिंदुओं $P$ और $Q$ से होकर गुजरने वाले कई वृत्त हैं।
चूंकि $PQ$ इन सभी वृत्तों के लिए एक उभयनिष्ठ जीवा है,इसलिए $P$ और $Q$ से होकर गुजरने वाले किसी भी वृत्त का केंद्र $P$ और $Q$ से समान दूरी पर होना चाहिए।
हम जानते हैं कि दो निश्चित बिंदुओं $P$ और $Q$ से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ रेखाखंड $PQ$ का लंब समद्विभाजक होता है।
इसलिए,ऐसे सभी वृत्तों के केंद्र $PQ$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होने चाहिए।

(N/A) दिया है: केंद्र $O$ वाले वृत्त के एक बाहरी बिंदु $P$ से दो स्पर्श रेखाएँ $PQ$ और $PR$ खींची गई हैं।
सिद्ध करना है: $QORP$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $PQ$ और $PR$ क्रमशः बिंदु $Q$ और $R$ पर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।
$2$. अतः,$OQ \perp PQ$ और $OR \perp PR$.
$3$. इसका अर्थ है कि $\angle OQP = 90^{\circ}$ और $\angle ORP = 90^{\circ}$.
$4$. चतुर्भुज $QORP$ में,सम्मुख कोणों का योग $\angle OQP + \angle ORP = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ है।
$5$. चूँकि चतुर्भुज $QORP$ में सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए यह एक चक्रीय चतुर्भुज है।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $AB$ और $CD$ असमान त्रिज्या वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।
सिद्ध करना है: $AB = CD$।
रचना: $AB$ और $CD$ को आगे बढ़ाएँ ताकि वे बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करें।
उपपत्ति:
चूँकि $PA$ और $PC$ एक बाह्य बिंदु $P$ से बड़े वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए उनकी लंबाई बराबर होगी:
$PA = PC$ ... $(1)$
चूँकि $PB$ और $PD$ उसी बाह्य बिंदु $P$ से छोटे वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए उनकी लंबाई बराबर होगी:
$PB = PD$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$PA - PB = PC - PD$
$AB = CD$
इति सिद्धम्।

(N/A) मान लीजिए $PR$ वृत्त की एक जीवा है। बिंदु $P$ और $R$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। मान लीजिए कि ये स्पर्श रेखाएँ वृत्त के बाहर एक बिंदु $T$ पर मिलती हैं।
$\triangle TPR$ में,$TP = TR$ (बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है)।
चूँकि $TP = TR$,इसलिए इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,अर्थात $\angle TPR = \angle TRP$।
ये कोण स्पर्श रेखाओं द्वारा जीवा $PR$ के साथ बनाए गए कोण हैं।
अतः,वृत्त की जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ जीवा के साथ समान कोण बनाती हैं।

(N/A) दिया है: $AB$ केंद्र $O$ वाले वृत्त का एक व्यास है।
माना $MAN$ बिंदु $A$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।
माना $CD$ वृत्त की कोई ऐसी जीवा है जो स्पर्श रेखा $MAN$ के समांतर है।
चूंकि $OA$ स्पर्श बिंदु $A$ पर त्रिज्या है,इसलिए $OA \perp MAN$ है।
चूंकि $CD \parallel MAN$ और $OA \perp MAN$ है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $OA \perp CD$ है।
माना व्यास $AB$ जीवा $CD$ को बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,$OE \perp CD$ है।
प्रमेय के अनुसार,वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$CE = ED$ है।
चूंकि $CD$ बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखा के समांतर एक स्वेच्छ जीवा थी,इसलिए व्यास $AB$ ऐसी सभी जीवाओं को समद्विभाजित करता है।

(N/A) $(i)$ हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। चूँकि $ON \perp AB$,इसलिए $AN = BN$ है।
अब,$PA \cdot PB = (PN - AN)(PN + BN)$।
चूँकि $AN = BN$,हम लिख सकते हैं:
$PA \cdot PB = (PN - AN)(PN + AN) = PN^2 - AN^2$।
$(ii)$ समकोण त्रिभुज $\triangle ONP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = ON^2 + PN^2 \implies PN^2 = OP^2 - ON^2$।
इस मान को $PN^2 - AN^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$PN^2 - AN^2 = (OP^2 - ON^2) - AN^2 = OP^2 - (ON^2 + AN^2)$।
समकोण त्रिभुज $\triangle ONA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$ON^2 + AN^2 = OA^2$।
अतः,$PN^2 - AN^2 = OP^2 - OA^2$।
चूँकि $OA$ और $OT$ दोनों एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं,इसलिए $OA = OT$।
अतः,$PN^2 - AN^2 = OP^2 - OT^2$।
$(iii)$ $(i)$ और $(ii)$ से,हमारे पास $PA \cdot PB = OP^2 - OT^2$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OTP$ में (जहाँ $\angle OTP = 90^{\circ}$ क्योंकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है),पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = OT^2 + PT^2 \implies OP^2 - OT^2 = PT^2$।
इस प्रकार,$PA \cdot PB = PT^2$।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार,वृत्त त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं को $P$,$Q$ और $R$ बिंदुओं पर स्पर्श करता है।
प्रमेय के अनुसार,किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
इसलिए,हमारे पास है:
$BQ = BP$
$CP = CR$
$AQ = AR$
अब,त्रिभुज $ABC$ का परिमाप लें:
$\text{परिमाप} = AB + BC + AC$
$\text{परिमाप} = AB + (BP + CP) + AC$
स्पर्श रेखा प्रमेय से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{परिमाप} = AB + BQ + CR + AC$
$\text{परिमाप} = (AB + BQ) + (AC + CR)$
$\text{परिमाप} = AQ + AR$
चूंकि $AQ = AR$,हम लिख सकते हैं:
$\text{परिमाप} = AQ + AQ = 2AQ$
अतः,$2AQ = AB + BC + AC$
$AQ = \frac{1}{2}(AB + BC + AC)$

(N/A) माना कि वृत्त की भुजाओं $AB, BC, CD, DE, EF,$ और $FA$ के साथ स्पर्श बिंदु क्रमशः $P, Q, R, S, T,$ और $U$ हैं।
चूंकि एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है,इसलिए हमारे पास है:
$AP = AU$
$BP = BQ$
$CQ = CR$
$DR = DS$
$ES = ET$
$FT = FU$
अब,एकांतर भुजाओं के योग पर विचार करें:
$AB + CD + EF = (AP + PB) + (CR + RD) + (ET + TF)$
स्पर्श रेखा की समानताओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$AB + CD + EF = (AU + BQ) + (CQ + DS) + (ES + FU)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$AB + CD + EF = (BQ + CQ) + (DS + ES) + (FU + AU)$
$AB + CD + EF = BC + DE + FA$
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) चूंकि $AC$ एक व्यास है,इसलिए अर्धवृत्त में बना कोण $90^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle ABC = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त के कोण का गुणधर्म)।
$\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 90^{\circ}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\angle CAB + \angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ .......$(i)$
चूंकि $AT$,$A$ पर एक स्पर्श रेखा है और $AC$ त्रिज्या है (व्यास का भाग),इसलिए स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
अतः,$\angle CAT = 90^{\circ}$।
इसका अर्थ है कि $\angle CAB + \angle BAT = 90^{\circ}$ ..........$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से:
$\angle CAB + \angle ACB = \angle CAB + \angle BAT$
दोनों पक्षों से $\angle CAB$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $\angle ACB = \angle BAT$। इति सिद्धम्।

(D) दिया गया है,दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $OP = 3\, cm$ और $PO^{\prime} = 4\, cm$ हैं।
ये दो वृत्त $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूँकि $OP$ और $O^{\prime}P$ स्पर्शज्याएँ हैं,इसलिए $\angle OPO^{\prime} = 90^{\circ}$ है।
समकोण $\triangle OPO^{\prime}$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$(OO^{\prime})^2 = (OP)^2 + (PO^{\prime})^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
अतः,$OO^{\prime} = 5\, cm$.
माना $PN \perp OO^{\prime}$,जहाँ $N$ रेखा $OO^{\prime}$ पर स्थित है।
माना $ON = x$,तो $NO^{\prime} = 5 - x$.
समकोण $\triangle OPN$ में,$(PN)^2 = (OP)^2 - (ON)^2 = 3^2 - x^2 = 9 - x^2$ ... $(i)$
समकोण $\triangle PNO^{\prime}$ में,$(PN)^2 = (PO^{\prime})^2 - (NO^{\prime})^2 = 4^2 - (5 - x)^2 = 16 - (25 + x^2 - 10x) = 10x - 9 - x^2$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$9 - x^2 = 10x - 9 - x^2$
$18 = 10x \Rightarrow x = 1.8\, cm$.
$x = 1.8$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$(PN)^2 = 9 - (1.8)^2 = 9 - 3.24 = 5.76$.
$PN = \sqrt{5.76} = 2.4\, cm$.
उभयनिष्ठ जीवा $PQ = 2 \times PN = 2 \times 2.4 = 4.8\, cm$.

(B) $PQ$ और $PR$ एक बाह्य बिंदु $P$ से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
$\therefore PQ = PR$ [बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है]।
$\triangle PQR$ में,चूँकि $PQ = PR$,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
$\therefore \angle PQR = \angle QRP$.
$\triangle PQR$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle PQR + \angle QRP + \angle RPQ = 180^{\circ}$
$2 \angle PQR + 30^{\circ} = 180^{\circ}$
$2 \angle PQR = 150^{\circ}$
$\angle PQR = 75^{\circ}$.
चूँकि जीवा $SR \parallel$ स्पर्श रेखा $PQ$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
$\therefore \angle SRQ = \angle RQP = 75^{\circ}$.
एकांतर वृत्तखंड प्रमेय (Alternate Segment Theorem) के अनुसार,स्पर्श रेखा $PR$ और जीवा $RQ$ के बीच का कोण,एकांतर वृत्तखंड में जीवा द्वारा बनाए गए कोण के बराबर होता है।
$\therefore \angle PQR = \angle QSR = 75^{\circ}$.
$\triangle QRS$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle RQS + \angle QSR + \angle SRQ = 180^{\circ}$
$\angle RQS + 75^{\circ} + 75^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle RQS + 150^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle RQS = 30^{\circ}$.

(N/A) माना $M$ चाप $AMB$ का मध्य-बिंदु है और $TMT'$ बिंदु $M$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।
$AB$,$AM$ और $MB$ को मिलाइए।
चूंकि,$\text{चाप } AM = \text{चाप } MB$,
$\Rightarrow$ जीवा $AM =$ जीवा $MB$.
$\triangle AMB$ में,$AM = MB$.
$\Rightarrow \angle MAB = \angle MBA$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं) $\dots(i)$.
चूंकि $TMT'$ बिंदु $M$ पर स्पर्श रेखा है,एकांतर वृत्तखंड प्रमेय (alternate segment theorem) के अनुसार:
$\angle AMT = \angle MBA$ (एकांतर वृत्तखंडों में बने कोण बराबर होते हैं)।
$(i)$ से,$\angle AMT = \angle MAB$.
परंतु $\angle AMT$ और $\angle MAB$ तिर्यक रेखा $AM$ द्वारा रेखाओं $AB$ और $TMT'$ को काटने पर बने एकांतर अंतःकोण हैं।
चूंकि एकांतर अंतःकोण बराबर हैं,इसलिए रेखाएं समांतर होनी चाहिए।
अतः,$AB \parallel TMT'$.
इस प्रकार,वृत्त के चाप के मध्य-बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा,चाप के अंत्य बिंदुओं को मिलाने वाली जीवा के समांतर होती है।

(B) दिया है,$OT = 13 \, cm$ और त्रिज्या $OP = 5 \, cm$ है।
चूँकि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है,इसलिए $OP \perp PT$ है।
समकोण $\triangle OPT$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PT^2 = OT^2 - OP^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$।
अतः,$PT = 12 \, cm$।
चूँकि एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है,इसलिए $PT = QT = 12 \, cm$।
साथ ही,$ET = OT - OE = 13 - 5 = 8 \, cm$।
माना $PA = AE = x$ है। तब $AT = PT - PA = 12 - x$ होगा।
समकोण $\triangle AET$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AT^2 = AE^2 + ET^2$
$(12 - x)^2 = x^2 + 8^2$
$144 - 24x + x^2 = x^2 + 64$
$24x = 144 - 64 = 80$
$x = \frac{80}{24} = \frac{10}{3} \, cm$।
इसी प्रकार,$EB = QB = \frac{10}{3} \, cm$।
अतः,$AB = AE + EB = \frac{10}{3} + \frac{10}{3} = \frac{20}{3} \, cm$।

(D) माना $O$ वृत्त का केंद्र है जिसकी त्रिज्या $R = 9\, cm$ है। माना $AM$, $A$ से $BC$ पर डाला गया लंब है। चूँकि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है, इसलिए लंब $AM$ केंद्र $O$ से होकर गुजरता है।
माना $AM = x$ है। तो $OM = |x - 9|$ होगा।
$\triangle AMC$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $MC^2 = AC^2 - AM^2 = 6^2 - x^2 = 36 - x^2$।
$\triangle OMC$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $MC^2 = OC^2 - OM^2 = 9^2 - (x - 9)^2 = 81 - (x^2 - 18x + 81) = 18x - x^2$।
$MC^2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $36 - x^2 = 18x - x^2$।
$18x = 36 \Rightarrow x = 2\, cm$।
अतः, $AM = 2\, cm$ है।
अब, $MC^2 = 36 - 2^2 = 36 - 4 = 32$।
$MC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\, cm$।
चूँकि $AM$, $BC$ को समद्विभाजित करता है, इसलिए $BC = 2 \times MC = 8\sqrt{2}\, cm$।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{2} \times 2 = 8\sqrt{2}\, cm^{2}$।

(B) माना अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ है।
यहाँ,$AB = 8$,$BC = 15$ और $\angle B = 90^{\circ}$ दिया गया है।
$\Delta ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$
$AC^{2} = 8^{2} + 15^{2}$
$AC^{2} = 64 + 225 = 289$
$AC = \sqrt{289} = 17$.
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta AOB$,$\Delta BOC$ और $\Delta AOC$ के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है,जहाँ $O$ अंतःकेंद्र है:
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल = $\text{Area}(\Delta AOB) + \text{Area}(\Delta BOC) + \text{Area}(\Delta AOC)$
$\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times r + \frac{1}{2} \times BC \times r + \frac{1}{2} \times AC \times r$
$\frac{1}{2} \times 8 \times 15 = \frac{1}{2} \times r \times (AB + BC + AC)$
$60 = \frac{1}{2} \times r \times (8 + 15 + 17)$
$60 = \frac{1}{2} \times r \times 40$
$60 = 20r$
$r = \frac{60}{20} = 3$.
वैकल्पिक रूप से,एक समकोण त्रिभुज के लिए,अंतःत्रिज्या $r = \frac{AB + BC - AC}{2} = \frac{8 + 15 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3$।

(D) मान लीजिए $OP$ और $AB$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $R$ है। चूँकि $PA$ और $PB$ बाहरी बिंदु $P$ से स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $PA = PB$ और $\triangle OAP \cong \triangle OBP$। अतः,$OP$ जीवा $AB$ का लंब समद्विभाजक है।
दिया है $AB = 24$,इसलिए $AR = RB = 12$।
समकोण $\triangle ORA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OR^2 = OA^2 - AR^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$।
अतः,$OR = 5$।
$\triangle OAP$ में,$\angle OAP = 90^\circ$ (स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है)। $AR$ कर्ण $OP$ पर शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के गुणधर्म से,$OA^2 = OR \cdot OP$।
$13^2 = 5 \cdot OP \implies 169 = 5 \cdot OP \implies OP = \frac{169}{5} = 33.8$।
समकोण $\triangle OAP$ में,$PA^2 = OP^2 - OA^2 = (33.8)^2 - 13^2 = 1142.44 - 169 = 973.44$।
$PA = \sqrt{973.44} = 31.2 = \frac{156}{5}$।

(D) $\odot(O, 15)$ में,$OA = OB = 15$ (त्रिज्या) और $AB = 30$ (व्यास)।
$\odot(O, 9)$ में,$OD = 9$ (त्रिज्या)।
चूंकि $BD$,$D$ पर $\odot(O, 9)$ की स्पर्श रेखा है,इसलिए $\overline{OD} \perp \overline{BD}$। अतः,$\triangle ODB$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle ODB = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $AB$,$\odot(O, 15)$ का व्यास है,अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है। इसलिए,$\angle ACB = 90^{\circ}$।
अब,$\triangle ODB$ और $\triangle ACB$ पर विचार करें:
$1$. $\angle ODB = \angle ACB = 90^{\circ}$
$2$. $\angle DBO = \angle CBA$ (उभयनिष्ठ कोण)
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle ODB \sim \triangle ACB$।
इसलिए,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AC}{OD} = \frac{AB}{OB}$
$\frac{AC}{9} = \frac{30}{15}$
$\frac{AC}{9} = 2$
$AC = 9 \times 2 = 18$।

(A) एक चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोणों के मापों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए $\angle B$ और $\angle D$ सम्मुख कोण हैं।
अतः,$m \angle B + m \angle D = 180^{\circ}$।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,$60^{\circ} + m \angle D = 180^{\circ}$।
इस प्रकार,$m \angle D = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।

(D) आकृति से,$PA$ और $PB$ एक बाहरी बिंदु $P$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं।
प्रमेय के अनुसार,एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है,इसलिए $PA = PB$ है।
$\triangle PAB$ में,चूंकि $PA = PB$ है,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
अतः,बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,जिसका अर्थ है कि $m \angle PBA = m \angle PAB$।
आकृति में,स्पर्श रेखा $PA$ और जीवा $AB$ के बीच का कोण $55^{\circ}$ दिया गया है।
अतः,$m \angle PAB = 55^{\circ}$ है।
चूंकि $m \angle PBA = m \angle PAB$ है,इसलिए $m \angle PBA = 55^{\circ}$ होगा।

(C) प्रमेय के अनुसार,किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है।
बिंदु $A$ से,$AB$ और $AC$ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $AB = AC = 3$।
बिंदु $P$ से,$PB$ और $PS$ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $PB = PS$।
बिंदु $Q$ से,$QC$ और $QS$ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $QC = QS$।
$\Delta APQ$ का परिमाप $= AP + PQ + AQ$।
चूँकि $PQ = PS + SQ$,हम $PS$ के स्थान पर $PB$ और $SQ$ के स्थान पर $QC$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
परिमाप $= AP + (PB + QC) + AQ$।
परिमाप $= (AP + PB) + (AQ + QC) = AB + AC$।
चूँकि $AB = 3$ और $AC = 3$,इसलिए परिमाप $= 3 + 3 = 6$।

(A) माना कि वृत्त की त्रिज्या $r$ है। यह वृत्त समकोण त्रिभुज $ABC$ का अंतःवृत्त है,जहाँ $AB = 3$ और $BC = 4$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,कर्ण $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ है।
समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{AB + BC - AC}{2}$ होता है।
मान रखने पर,$r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त की त्रिज्या $1$ है।

(B) अर्धवृत्त का व्यास $d = 50 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 25 \, cm$ है।
अर्धवृत्त में बने त्रिभुज के लिए,त्रिभुज का आधार अर्धवृत्त का व्यास होता है $(b = 50 \, cm)$।
त्रिभुज की ऊँचाई अर्धवृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है $(h = r = 25 \, cm)$ क्योंकि अधिकतम ऊँचाई तब प्राप्त होती है जब शीर्ष चाप के मध्य बिंदु पर स्थित हो।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $A = \frac{1}{2} \times 50 \times 25 = 25 \times 25 = 625 \, cm^{2}$।

(C) माना शीर्ष $A, B, C$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई क्रमशः $x, y, z$ है।
चूंकि किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए हमारे पास है:
$AD = AF = x$
$BD = BE = y$
$CE = CF = z$
$\Delta ABC$ की भुजाओं की लंबाई दी गई है:
$AB = x + y = 13$
$BC = y + z = 12$
$CA = z + x = 5$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(x + y) + (y + z) + (z + x) = 13 + 12 + 5$
$2(x + y + z) = 30$
$x + y + z = 15$
हमें $AD = x$ ज्ञात करना है। $y + z = 12$ का उपयोग करने पर:
$x + (y + z) = 15$
$x + 12 = 15$
$x = 15 - 12 = 3$
अतः,$AD = 3$.

(D) वृत्त $\odot(O, 5)$ की त्रिज्या $r = 5$ है।
चूँकि वृत्त वर्ग की सभी भुजाओं को स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा की लंबाई के बराबर होता है।
वर्ग की भुजा की लंबाई $= 2 \times r = 2 \times 5 = 10$.
वर्ग का परिमाप $= 4 \times \text{भुजा की लंबाई} = 4 \times 10 = 40$.

(B) एक वृत्त $\square ABCD$ की चारों भुजाओं को स्पर्श करता है। स्पर्शरेखीय चतुर्भुज के गुणधर्म के अनुसार,सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है।
$\therefore AB + CD = AD + BC$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\therefore 5 + 6 = AD + 8$
$\therefore 11 = AD + 8$
$\therefore AD = 11 - 8 = 3$

(C) $\square PQRS$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः, $m \angle P + m \angle R = 180^{\circ}$.
दिया गया है कि $m \angle P = 30^{\circ}$ है।
मान रखने पर, $30^{\circ} + m \angle R = 180^{\circ}$.
इस प्रकार, $m \angle R = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$.

(A) मान लीजिए कि स्पर्श रेखा $\overleftrightarrow{PQ}$ वृत्त को बिंदु $R$ पर स्पर्श करती है।
चूँकि एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए:
$AB = AC$ (बिंदु $A$ से स्पर्श रेखाएँ)
$PB = PR$ (बिंदु $P$ से स्पर्श रेखाएँ)
$QC = QR$ (बिंदु $Q$ से स्पर्श रेखाएँ)
$\Delta APQ$ का परिमाप $= AP + PQ + AQ$ है।
$PQ = PR + QR$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
परिमाप $= AP + (PR + QR) + AQ$
समानताओं $PR = PB$ और $QR = QC$ का उपयोग करने पर:
परिमाप $= AP + PB + QC + AQ$
चूँकि $AP + PB = AB$ और $AQ + QC = AC$ है:
परिमाप $= AB + AC$
चूँकि $AB = AC$ है,इसलिए परिमाप $= AB + AB = 2 AB$ (या $2 AC$)।
अतः,सही विकल्प $2 AB$ है।

(A) एक वृत्त के परिगत चतुर्भुज के लिए,सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है,अर्थात $AB + CD = BC + AD$।
दिया गया है कि $\overline{AB}$ सबसे बड़ी भुजा है,मान लीजिए $AB = x$।
चूंकि वृत्त सभी भुजाओं को स्पर्श करता है,इसलिए शीर्षों से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है। मान लीजिए शीर्षों $A, B, C, D$ से स्पर्श रेखाओं की लंबाई क्रमशः $a, b, c, d$ है।
तब $AB = a + b$,$BC = b + c$,$CD = c + d$,और $AD = a + d$।
चूंकि $AB$ सबसे बड़ी भुजा है,इसलिए $a+b$ का मान अधिकतम है।
एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज में,सबसे बड़ी भुजा के सम्मुख वाली भुजा सामान्यतः सबसे छोटी भुजा होती है। अतः,$\overline{CD}$ सबसे छोटी भुजा है।

(C) माना बिंदु $A$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ $AB$ और $AC$ हैं। प्रमेय के अनुसार,किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए $AB = AC$ है।
माना स्पर्श रेखा $PQ$ वृत्त को बिंदु $M$ पर स्पर्श करती है। तब $PM = PB$ और $QM = QC$ (क्रमशः बिंदु $P$ और $Q$ से खींची गई स्पर्श रेखाएँ)।
$\Delta APQ$ का परिमाप $= AP + PQ + AQ = AP + (PM + MQ) + AQ$ है।
समान स्पर्श रेखाओं की लंबाई प्रतिस्थापित करने पर: परिमाप $= AP + PB + QC + AQ = (AP + PB) + (AQ + QC) = AB + AC$ है।
चूँकि $AB = AC$ है,इसलिए परिमाप $= 2 AB$ है।
दिया गया है कि परिमाप $16$ है,अतः $2 AB = 16$,जिसका अर्थ है कि $AB = 8$ है।

(C) वृत्त के केंद्र $P$ से रेखा $AB$ की दूरी लंबवत खंड $PQ$ की लंबाई है।
यह दिया गया है कि $Q$ वृत्त के आंतरिक भाग में स्थित है,इसलिए $PQ$ की लंबाई वृत्त की त्रिज्या $r$ से कम होनी चाहिए (अर्थात,$PQ < r$)।
वृत्त के गुणों के अनुसार,यदि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी वृत्त की त्रिज्या से कम है,तो वह रेखा एक छेदक रेखा (secant line) होती है और वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।

(B) $\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 24$ और $BC = 7$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (24)^2 + (7)^2$
$AC^2 = 576 + 49$
$AC^2 = 625$
$AC = \sqrt{625} = 25$.
समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र:
$r = \frac{AB + BC - AC}{2}$
$r = \frac{24 + 7 - 25}{2}$
$r = \frac{31 - 25}{2}$
$r = \frac{6}{2} = 3$.
अतः,वृत्त की त्रिज्या $3$ है।