Tangent to a Circle Questions in Hindi

(D) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं जो क्रमशः शीर्षों $A, B, C$ के सम्मुख हैं। यहाँ,$a = BC = 24$,$b = AC$,और $c = AB$ है।
दिया गया है $AB + AC = 32$,अतः $c + b = 32$ है।
समकोण त्रिभुज में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$a^2 + c^2 = b^2$ होता है।
$a = 24$ रखने पर,हमें $24^2 + c^2 = b^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b^2 - c^2 = 576$।
$(b - c)(b + c) = 576$।
चूंकि $b + c = 32$,इसलिए $(b - c)(32) = 576$,जिससे $b - c = 18$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(b + c) + (b - c) = 32 + 18 \implies 2b = 50 \implies b = 25$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(b + c) - (b - c) = 32 - 18 \implies 2c = 14 \implies c = 7$।
समकोण त्रिभुज के लिए अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{a + c - b}{2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $r = \frac{24 + 7 - 25}{2} = \frac{6}{2} = 3$।

(A) माना $AP = AR = x$, $BP = BQ = y$, और $CQ = CR = z$ (बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है)।
दिया गया है:
$AB = x + y = 14$ $(1)$
$BC = y + z = 11$ $(2)$
$CA = z + x = 7$ $(3)$
समीकरण $(1)$, $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$2(x + y + z) = 14 + 11 + 7 = 32$
$x + y + z = 16$
अब, योग में से प्रत्येक समीकरण को घटाने पर:
$z = (x + y + z) - (x + y) = 16 - 14 = 2$
$x = (x + y + z) - (y + z) = 16 - 11 = 5$
$y = (x + y + z) - (z + x) = 16 - 7 = 9$
अतः, $AP = x = 5$, $BQ = y = 9$, और $RC = z = 2$.

(C) $1$. चूंकि वृत्त भुजाओं को $P, Q, R$ और $S$ पर स्पर्श करता है,बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है। अतः $DR = DS = r$। $\angle D = 90^\circ$ होने के कारण $ORDS$ एक $r$ भुजा वाला वर्ग है,इसलिए $DR = DS = r$।
$2$. $CD = 25$ दिया गया है,इसलिए $CR = CD - DR = 25 - r$। स्पर्श रेखाएं समान होने के कारण $CQ = CR = 25 - r$।
$3$. $BC = 38$ दिया गया है,इसलिए $BQ = BC - CQ = 38 - (25 - r) = 13 + r$।
$4$. $BP = 25$ दिया गया है। $BP = BQ$ होने के कारण,$25 = 13 + r$,अर्थात $r = 12$।

(A) एक चतुर्भुज $ABCD$ जो एक वृत्त के परिगत है,उसकी सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है।
इसका कारण यह है कि वृत्त के बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है।
मान लीजिए कि वृत्त भुजाओं $AB, BC, CD,$ और $DA$ को क्रमशः $P, Q, R,$ और $S$ बिंदुओं पर स्पर्श करता है।
तब $AP = AS, BP = BQ, CQ = CR,$ और $DR = DS$ होगा।
सम्मुख भुजाओं का योग: $AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD) = (AS + BQ) + (CQ + DS) = (AS + DS) + (BQ + CQ) = AD + BC$.
दिया गया है: $AB = 8, BC = 10, CD = 7$.
मान रखने पर: $8 + 7 = AD + 10$.
$15 = AD + 10$.
$AD = 15 - 10 = 5$.

(A) दिया गया है: वृत्त की त्रिज्या $OQ = 21$ और केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी $OP = 25$ है।
चूंकि $PQ$ बिंदु $Q$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $OQ$ स्पर्श रेखा $PQ$ पर लंब होती है $(OQ \perp PQ)$।
अतः,$\triangle OQP$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle OQP = 90^\circ$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
$25^2 = 21^2 + PQ^2$
$625 = 441 + PQ^2$
$PQ^2 = 184$
नोट: यदि त्रिज्या $15$ होती,तो $PQ = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $20$ है।

(C) दिया गया है कि वृत्त का केंद्र $O$ और त्रिज्या $r = 9$ है।
बिंदु $P$ वृत्त के बाहर स्थित है और $PT$ बिंदु $T$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।
स्पर्श रेखा के गुणधर्म के अनुसार,त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। इसलिए,$\angle OTP = 90^\circ$।
समकोण त्रिभुज $\triangle OTP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = OT^2 + PT^2$
यहाँ $OT = r = 9$ और $PT = 40$ दिया गया है।
$OP^2 = 9^2 + 40^2$
$OP^2 = 81 + 1600$
$OP^2 = 1681$
$OP = \sqrt{1681} = 41$।
अतः,$OP$ की लंबाई $41$ है।

(D) यहाँ $O$ वृत्त का केंद्र है और त्रिज्या $r = 30$ है।
चूँकि $PQ$ बिंदु $Q$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $OQ$ स्पर्श रेखा $PQ$ पर स्पर्श बिंदु पर लंब होती है।
अतः,$\triangle OQP$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle OQP = 90^{\circ}$ है।
$\triangle OQP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
यहाँ $OP = 34$ और $OQ = r = 30$ दिया गया है।
$34^2 = 30^2 + PQ^2$
$1156 = 900 + PQ^2$
$PQ^2 = 1156 - 900$
$PQ^2 = 256$
$PQ = \sqrt{256} = 16$.
अतः,स्पर्श रेखा $PQ$ की लंबाई $16$ है।

(B) माना $O$ वृत्त का केंद्र है और $r$ इसकी त्रिज्या है।
चूंकि $PQ$ बिंदु $Q$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए त्रिज्या $OQ$ स्पर्श रेखा $PQ$ पर लंब होती है (अर्थात,$\angle OQP = 90^\circ$)।
समकोण त्रिभुज $\triangle OQP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
यहाँ $OP = 29$ और $PQ = 20$ दिया गया है,मान रखने पर:
$29^2 = r^2 + 20^2$
$841 = r^2 + 400$
$r^2 = 841 - 400$
$r^2 = 441$
$r = \sqrt{441} = 21$.
वृत्त का व्यास $d = 2r = 2 \times 21 = 42$ होगा।

(C) सबसे पहले,हम जांचते हैं कि क्या $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है।
दी गई भुजाएँ $7, 24, 25$ हैं।
चूंकि $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$,इसलिए यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कर्ण $AC = 25$ है।
त्रिभुज की तीनों भुजाओं को स्पर्श करने वाला वृत्त अंतःवृत्त (incircle) कहलाता है।
एक समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{a + b - c}{2}$ है,जहाँ $a$ और $b$ समकोण बनाने वाली भुजाएँ हैं और $c$ कर्ण है।
यहाँ,$a = 7, b = 24, c = 25$ है।
$r = \frac{7 + 24 - 25}{2} = \frac{31 - 25}{2} = \frac{6}{2} = 3$।
वृत्त का व्यास $d = 2r = 2 \times 3 = 6$ है।

(B) माना कि दो संकेंद्रीय वृत्त $C_1$ हैं जिसकी त्रिज्या $R = 34$ है और $C_2$ है जिसकी त्रिज्या $r = 16$ है।
माना $AB$ बड़े वृत्त $C_1$ की जीवा है जो छोटे वृत्त $C_2$ को बिंदु $P$ पर स्पर्श करती है।
चूंकि $AB$,$C_2$ के लिए बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा है,इसलिए त्रिज्या $OP$,$AB$ पर लंब है $(OP \perp AB)$।
समकोण त्रिभुज $\triangle OPA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = OP^2 + AP^2$
$34^2 = 16^2 + AP^2$
$1156 = 256 + AP^2$
$AP^2 = 1156 - 256 = 900$
$AP = \sqrt{900} = 30$.
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB = 2 \times AP$.
$AB = 2 \times 30 = 60$.

(A) दी गई आकृति में,$OP$ केंद्र $O$ को बाह्य बिंदु $P$ से जोड़ने वाला रेखाखंड है। रेखा $OP$ जीवा $AB$ का लंब समद्विभाजक है।
चूंकि $OP \perp AB$ और $OP$,$AB$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AC = CB = \frac{AB}{2}$ होगा।
यहाँ $AB = 10$ दिया गया है,इसलिए $AC = \frac{10}{2} = 5$।

(B) माना कि दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ $R$ और $r$ हैं और उनका केंद्र $O$ है।
माना कि $OM$ केंद्र $O$ से बाहरी वृत्त की जीवा $AB$ पर लंब है। चूँकि $AB$ छोटे वृत्त को $M$ पर स्पर्श करती है,इसलिए $OM = r$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OA^2 = OM^2 + AM^2$,इसलिए $R^2 = r^2 + AM^2$ है।
केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AM = AB / 2 = 15 / 2 = 7.5$ है।
अतः,$R^2 - r^2 = AM^2 = (7.5)^2$ है।
इसी प्रकार,बाहरी वृत्त की जीवा $CD$ के लिए,माना कि $ON$ केंद्र $O$ से $CD$ पर लंब है। चूँकि $CD$ छोटे वृत्त को $N$ पर स्पर्श करती है,इसलिए $ON = r$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ONC$ में,$OC^2 = ON^2 + CN^2$,इसलिए $R^2 = r^2 + CN^2$ है।
अतः,$CN^2 = R^2 - r^2 = (7.5)^2$ है।
इसलिए,$CN = 7.5$ है।
केंद्र से डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $CD = 2 \times CN = 2 \times 7.5 = 15$ है।

(D) वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। इस बिंदु को स्पर्श बिंदु कहा जाता है। इसलिए,एक स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक और केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।

(D) एक रेखा जो एक वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है,उसे वृत्त की छेदक रेखा (secant) कहा जाता है।
- त्रिज्या वृत्त के केंद्र को वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु से जोड़ने वाला रेखाखंड है।
- व्यास वह जीवा है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।
- चाप वृत्त की परिधि का एक हिस्सा है।
- छेदक रेखा वह रेखा है जो वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है।

(B) वृत्त से संबंधित प्रमेय के अनुसार: वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। यह ज्यामिति में वृत्त का एक मूलभूत गुण है। इसलिए,स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से खींची गई त्रिज्या पर लंब होती है।

(D) वृत्त के प्रमेय के अनुसार,वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
इसलिए,स्पर्श रेखा और स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के बीच बनने वाला कोण $90^{\circ}$ होता है।

(A) माना $O$ वृत्त का केंद्र है। चूंकि $AB$ व्यास है,इसलिए $OA$ और $OB$ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
स्पर्श रेखा के गुणधर्म के अनुसार,वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
इसलिए,$l_{1} \perp OA$ और $l_{2} \perp OB$ है।
चूंकि $A, O$ और $B$ संरेख हैं (क्योंकि $AB$ एक व्यास है),रेखाएँ $OA$ और $OB$ एक ही सीधी रेखा $AB$ बनाती हैं।
यदि दो रेखाएँ ($l_{1}$ और $l_{2}$) एक ही रेखा $(AB)$ पर लंब हैं,तो वे एक-दूसरे के समानांतर होती हैं।
अतः,$l_{1} \parallel l_{2}$।

(C) वृत्त की त्रिज्या $PB = 5$ है। वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। इसलिए,$\angle PBA = 90^\circ$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PBA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PA^2 = PB^2 + AB^2$
$13^2 = 5^2 + AB^2$
$169 = 25 + AB^2$
$AB^2 = 169 - 25 = 144$
$AB = \sqrt{144} = 12$.

(C) दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या $OM = 8$ और $NP = 2$ है।
चूंकि $ON$ त्रिज्या है,इसलिए $ON = 8$ होगा।
अतः,दूरी $OP = ON + NP = 8 + 2 = 10$ होगी।
समकोण त्रिभुज $\Delta OMP$ में,कोण $\angle OMP = 90^{\circ}$ है क्योंकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $OP^2 = OM^2 + PM^2$.
$10^2 = 8^2 + PM^2$.
$100 = 64 + PM^2$.
$PM^2 = 100 - 64 = 36$.
$PM = \sqrt{36} = 6$.

(B) $\Delta OAP$ में,त्रिज्या $OA$ स्पर्श बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखा $PA$ के लंबवत होती है।
इसलिए,$m\angle OAP = 90^\circ$ है।
$\Delta OAP$ में,त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
$m\angle OAP + m\angle AOP + m\angle OPA = 180^\circ$
$90^\circ + 40^\circ + m\angle OPA = 180^\circ$
$130^\circ + m\angle OPA = 180^\circ$
$m\angle OPA = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

(D) $\Delta OAP$ में,त्रिज्या $OA$ स्पर्श बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखा $PA$ के लंबवत होती है। इसलिए,$m\angle OAP = 90^\circ$ है।
दिया गया है कि $m\angle AOP = 45^\circ$ है।
$\Delta OAP$ में,कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
$m\angle OPA = 180^\circ - (90^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$ है।
चूंकि $m\angle AOP = m\angle OPA = 45^\circ$ है,इसलिए $\Delta OAP$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
अतः,समान कोणों के सम्मुख भुजाएं बराबर होती हैं: $AP = OA$ है।
चूंकि $OA$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $OA = 8$ है।
अतः,$AP = 8$ है।

(C) चूंकि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है,इसलिए $\angle OAP = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^{2} = OA^{2} + AP^{2}$
दिया है $OP = 10$ और $AP = 8$,इसलिए:
$10^{2} = OA^{2} + 8^{2}$
$100 = OA^{2} + 64$
$OA^{2} = 100 - 64 = 36$
$OA = \sqrt{36} = 6$
यहाँ,$OA$ वृत्त की त्रिज्या $(r)$ है।
वृत्त का व्यास $= 2 \times \text{त्रिज्या} = 2 \times 6 = 12$.

(C) माना कि $O$ दो संकेंद्रीय वृत्तों का सामान्य केंद्र है।
माना कि $AB$ बड़े वृत्त की जीवा है जो छोटे वृत्त को बिंदु $M$ पर स्पर्श करती है।
$OM$ छोटे वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $OM = 5$.
$OB$ बड़े वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $OB = 13$.
चूंकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $\angle OMB = 90^{\circ}$ है।
समकोण $\Delta OMB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OB^2 = OM^2 + MB^2$
$13^2 = 5^2 + MB^2$
$169 = 25 + MB^2$
$MB^2 = 169 - 25 = 144$
$MB = \sqrt{144} = 12$.
केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$AB = 2 \times MB = 2 \times 12 = 24$.

(D) $\Delta ABC$ की भुजाओं के माप $a=5$,$b=12$ और $c=13$ हैं।
चूँकि $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$,इसलिए $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कर्ण की लंबाई $13$ है।
समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{a+b-c}{2}$ है,जहाँ $a$ और $b$ समकोण बनाने वाली भुजाएँ हैं और $c$ कर्ण है।
मान रखने पर: $r = \frac{5+12-13}{2} = \frac{17-13}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
अतः,तीनों भुजाओं को स्पर्श करने वाले वृत्त की त्रिज्या $2$ है।

(D) जो चतुर्भुज एक वृत्त के परिगत होता है,उसे स्पर्शरेखीय चतुर्भुज (tangential quadrilateral) कहा जाता है। पिटोट प्रमेय के अनुसार,यदि किसी चतुर्भुज $ABCD$ की चारों भुजाएँ एक वृत्त को स्पर्श करती हैं,तो सम्मुख भुजाओं की लंबाइयों का योग बराबर होता है। अर्थात,$AB + CD = BC + DA$। अतः,ऐसे चतुर्भुज को स्पर्शरेखीय चतुर्भुज कहा जाता है।

(C) एक चक्रीय चतुर्भुज जो एक आयत भी है,इसका अर्थ है कि इसके शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हैं और इसके सभी आंतरिक कोण $90^{\circ}$ हैं।
आयत $ABCD$ में,$\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $AC^{2} = 5^{2} + 12^{2}$.
$AC^{2} = 25 + 144 = 169$.
अतः,$AC = \sqrt{169} = 13$.

(D) माना $O$ दो संकेंद्रीय वृत्तों का उभयनिष्ठ केंद्र है। बड़े वृत्त की त्रिज्या $OB = 41$ है और छोटे वृत्त की त्रिज्या $OM = 9$ है।
चूंकि बड़े वृत्त की जीवा $\overline{AB}$ छोटे वृत्त को $M$ पर स्पर्श करती है,इसलिए त्रिज्या $OM$ स्पर्श बिंदु $M$ पर जीवा $AB$ के लंबवत है।
अतः,समकोण त्रिभुज $\Delta OMB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OB^2 = OM^2 + MB^2$
$41^2 = 9^2 + MB^2$
$1681 = 81 + MB^2$
$MB^2 = 1681 - 81 = 1600$
$MB = \sqrt{1600} = 40$.
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB = 2 \times MB = 2 \times 40 = 80$.

(C) माना $O$ दो संकेंद्रीय वृत्तों का उभयनिष्ठ केंद्र है।
माना $R = 17$ बाहरी वृत्त की त्रिज्या है और $r = 15$ आंतरिक वृत्त की त्रिज्या है।
बाहरी वृत्त की जीवा $\overline{AB}$,आंतरिक वृत्त को बिंदु $M$ पर स्पर्श करती है।
चूंकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $OM \perp AB$ है।
$\triangle OMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $OA^2 = OM^2 + AM^2$ है।
मान रखने पर: $17^2 = 15^2 + AM^2$ है।
$289 = 225 + AM^2$ है।
$AM^2 = 289 - 225 = 64$ है।
$AM = \sqrt{64} = 8$ है।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB = 2 \times AM$ है।
$AB = 2 \times 8 = 16$ है।

(C) दिए गए वृत्त में,$\overline{ OB }$ त्रिज्या है और $\overline{ PB }$ बिंदु $B$ पर स्पर्श रेखा है।
चूँकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $\angle OBP = 90^{\circ}$ है।
अतः,$\Delta POB$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $OP$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^{2} = OB^{2} + PB^{2}$
$13^{2} = 5^{2} + PB^{2}$
$169 = 25 + PB^{2}$
$PB^{2} = 169 - 25 = 144$
$PB = \sqrt{144} = 12$
इसलिए,$PB = 12$.

(C) वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
यहाँ,$\stackrel{\leftrightarrow}{AB}$ वृत्त $\odot(P, r)$ की बिंदु $Q$ पर स्पर्श रेखा है।
अतः,त्रिज्या $PQ$ स्पर्श रेखा $\stackrel{\leftrightarrow}{AB}$ पर $Q$ पर लंब है।
चूँकि $PQ \perp AB$,इसलिए $P$ से रेखा $AB$ पर खींचे गए लंब का पाद $Q$ है।

(B) मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $a = BC$,$c = AB$ और कर्ण $b = AC$ हैं।
मान लीजिए कि अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ है।
अंतःवृत्त का केंद्र $(O)$,भुजाओं $AB$ और $BC$ पर स्पर्श बिंदुओं और शीर्ष $B$ के साथ एक वर्ग बनाता है,क्योंकि त्रिज्याएँ भुजाओं पर लंब होती हैं।
अतः,$B$ से $AB$ और $BC$ पर स्पर्श बिंदुओं की दूरी $r$ है।
भुजाओं $AB$ और $BC$ के शेष भाग क्रमशः $(c - r)$ और $(a - r)$ हैं।
बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के गुणधर्म के अनुसार,ये भाग शीर्ष $A$ और $C$ से कर्ण पर स्पर्श बिंदुओं तक की दूरियों के बराबर होते हैं।
इसलिए,कर्ण $b = (c - r) + (a - r)$ है।
$b = a + c - 2r$।
$2r = a + c - b$।
$r = \frac{a + c - b}{2}$।
भुजाओं की लंबाई रखने पर: $r = \frac{BC + AB - AC}{2}$।

(D) वह चतुर्भुज जो एक वृत्त को परिगत करता है, उसे स्पर्शरेखीय चतुर्भुज कहा जाता है।
बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है।
मान लीजिए कि वृत्त भुजाओं $AB, BC, CD,$ और $DA$ को क्रमशः $P, Q, R,$ और $S$ बिंदुओं पर स्पर्श करता है।
अतः, $AP = AS$, $BP = BQ$, $CQ = CR$, और $DR = DS$।
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)$ implies $AB + CD = AD + BC$।
यह गुण किसी भी स्पर्शरेखीय चतुर्भुज द्वारा संतुष्ट होता है।
दिए गए विकल्पों में से, समचतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं और यह एक वृत्त को परिगत कर सकता है।
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(A) समचतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं।
यदि एक समचतुर्भुज एक वृत्त के अंदर स्थित है,तो उसके सभी शीर्ष वृत्त की परिधि पर स्थित होते हैं।
वृत्त के अंदर स्थित चतुर्भुज को चक्रीय चतुर्भुज कहा जाता है।
चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
समचतुर्भुज $ABCD$ के लिए,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,अर्थात $\angle A = \angle C$ और $\angle B = \angle D$।
चूंकि $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$,इसलिए $2\angle A = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\angle A = 90^{\circ}$।
$90^{\circ}$ के कोण वाले समचतुर्भुज को वर्ग कहा जाता है।
अतः,समचतुर्भुज $ABCD$ एक वर्ग है।

(C) $1$. वृत्त को $\odot(O, r)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $O$ केंद्र है और $r$ त्रिज्या है।
$2$. बिंदु $A$ और $B$ वृत्त पर स्थित हैं। रेखाखंड $\overline{AB}$ वृत्त की एक जीवा है।
$3$. चाप $\widehat{ACB}$ वह चाप है जो बिंदु $C$ से होकर $A$ और $B$ को जोड़ती है। चूँकि $C$,$\angle AOB$ के आंतरिक भाग में स्थित है,इसलिए $\widehat{ACB}$ लघु चाप को दर्शाता है।
$4$. जीवा $\overline{AB}$ और लघु चाप $\widehat{ACB}$ का संघ (union) वृत्त के उस क्षेत्र को परिभाषित करता है जिसे लघु वृत्तखंड कहा जाता है।
$5$. अतः,$\overline{AB} \cup \widehat{ACB}$ एक लघु वृत्तखंड है।

(B) वृत्त की जीवा एक रेखाखंड है जिसके अंत बिंदु वृत्त पर स्थित होते हैं।
चाप वृत्त की परिधि का एक भाग होता है।
जीवा और उसके संगत चाप द्वारा परिबद्ध क्षेत्र को वृत्तखंड (segment) कहा जाता है।
अतः,एक जीवा और उसके संगत चाप का संघ एक वृत्तखंड होता है।

(C) दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या $r = OA = OB = 4 \, cm$ है।
जीवा $\overline{AB}$ की लंबाई $4 \, cm$ है।
$\triangle AOB$ में,$OA = OB = AB = 4 \, cm$ है।
चूंकि त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $\triangle AOB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज में,सभी आंतरिक कोण $60^\circ$ के बराबर होते हैं।
इसलिए,$m \angle AOB = 60^\circ$.