Number of Tangents from a Point on a Circle Questions in Hindi

(A) वृत्त एक समतल पर उन बिंदुओं का संग्रह है जो केंद्र नामक एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित होते हैं। चूँकि वृत्त की एक स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है,और वृत्त की परिधि पर अनंत बिंदु होते हैं,इसलिए एक वृत्त की अनंत स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।

(C) दिया गया है कि $PA$ और $PB$ वृत्त की स्पर्श रेखाएं हैं।
स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
इसलिए,$OA \perp PA$ और $OB \perp PB$,जिसका अर्थ है कि $\angle OAP = 90^{\circ}$ और $\angle OBP = 90^{\circ}$।
चतुर्भुज $OAPB$ में,अंतःकोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
$\angle OAP + \angle APB + \angle OBP + \angle AOB = 360^{\circ}$
$90^{\circ} + 80^{\circ} + 90^{\circ} + \angle AOB = 360^{\circ}$
$260^{\circ} + \angle AOB = 360^{\circ}$
$\angle AOB = 100^{\circ}$
$\triangle OPA$ और $\triangle OPB$ में:
$OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$PA = PB$ (बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएं समान होती हैं)
$OP = OP$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle OPA \cong \triangle OPB$।
$CPCT$ के अनुसार,$\angle POA = \angle POB$।
चूंकि $\angle POA + \angle POB = \angle AOB = 100^{\circ}$,इसलिए $2 \angle POA = 100^{\circ}$।
अतः,$\angle POA = 50^{\circ}$।

(A) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $O$ है और दो त्रिज्याएँ $OA$ और $OB$ हैं। त्रिज्याओं के बीच का कोण $\angle AOB = 130^{\circ}$ है।
मान लीजिए बिंदु $A$ और $B$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बिंदु $P$ पर मिलती हैं।
हम जानते हैं कि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
इसलिए,$\angle OAP = 90^{\circ}$ और $\angle OBP = 90^{\circ}$ होगा।
चतुर्भुज $OAPB$ में,आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
$\angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360^{\circ}$
$130^{\circ} + 90^{\circ} + \angle APB + 90^{\circ} = 360^{\circ}$
$310^{\circ} + \angle APB = 360^{\circ}$
$\angle APB = 360^{\circ} - 310^{\circ} = 50^{\circ}$.
अतः,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $50^{\circ}$ है।

(B) दिया गया है कि $AP$ और $AQ$ केंद्र $O$ वाले वृत्त पर एक बाहरी बिंदु $A$ से खींची गई स्पर्श रेखाएं हैं।
चूंकि स्पर्श रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए $\angle PAQ = 90^{\circ}$ है।
$OP$ और $OQ$ को मिलाएं। साथ ही,$OA$ को मिलाएं।
चतुर्भुज $APOQ$ में,त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $\angle OPA = 90^{\circ}$ और $\angle OQA = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle PAQ = 90^{\circ}$,$\angle OPA = 90^{\circ}$,और $\angle OQA = 90^{\circ}$ है,इसलिए चौथा कोण $\angle POQ$ भी $90^{\circ}$ होना चाहिए (क्योंकि चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है)।
अतः,$APOQ$ एक वर्ग है क्योंकि $AP = AQ$ (बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएं) और इसके सभी कोण $90^{\circ}$ हैं।
इसलिए,वृत्त की त्रिज्या $OP = AP = 5 \, cm$ है।

(C) दिया गया है कि $PA$ और $PB$ एक बाह्य बिंदु $P$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।
चूँकि एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है,इसलिए $PA = PB$ है।
$\triangle PAB$ में,चूँकि $PA = PB$ है,इसलिए इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होंगे,अर्थात $\angle PBA = \angle PAB$।
मान लीजिए $\angle PBA = \angle PAB = \theta$ है।
$\triangle PAB$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle APB + \angle PAB + \angle PBA = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $50^{\circ} + \theta + \theta = 180^{\circ}$।
$2\theta = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$।
$\theta = 65^{\circ}$।
हम जानते हैं कि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। इसलिए,$OA \perp PA$,जिसका अर्थ है कि $\angle OAP = 90^{\circ}$।
चूँकि $\angle OAP = \angle OAB + \angle PAB$ है,इसलिए $90^{\circ} = \angle OAB + 65^{\circ}$।
$\angle OAB = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ}$।

(D) मान लीजिए $P$ एक बाहरी बिंदु है जहाँ से $O$ केंद्र और $OA = 3 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PC$ खींची गई हैं।
दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\angle APC = 60^{\circ}$ है।
$OP$ को मिलाइए। $OP$,$\angle APC$ का कोण समद्विभाजक है।
इसलिए,$\angle APO = \angle CPO = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$।
चूँकि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है,इसलिए $OA \perp AP$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAP$ में,हमारे पास है:
$\tan(\angle APO) = \frac{OA}{AP}$
$\tan 30^{\circ} = \frac{3}{AP}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{AP}$
$AP = 3 \sqrt{3} \, cm$।
अतः,प्रत्येक स्पर्श रेखा की लंबाई $3 \sqrt{3} \, cm$ है।

(B) असत्य (False)
दिया गया है कि एक जीवा $AB$ वृत्त के केंद्र $O$ पर $60^{\circ}$ का कोण बनाती है।
अर्थात,$\angle AOB = 60^{\circ}$.
चूंकि $OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ),$\triangle OAB$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
इसलिए,$\angle OAB = \angle OBA = (180^{\circ} - 60^{\circ}) / 2 = 60^{\circ}$.
मान लीजिए कि बिंदु $A$ और $B$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हम जानते हैं कि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।
अतः,$OA \perp AC$ और $OB \perp BC$.
इसलिए,$\angle OAC = 90^{\circ}$ और $\angle OBC = 90^{\circ}$.
अब,$\angle BAC = \angle OAC - \angle OAB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
इसी प्रकार,$\angle ABC = \angle OBC - \angle OBA = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
$\triangle ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle ACB + \angle BAC + \angle ABC = 180^{\circ}$.
$\angle ACB + 30^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle ACB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
इस प्रकार,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $120^{\circ}$ है,न कि $60^{\circ}$।

(A) सत्य।
वृत्त की दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $0^{\circ}$ हो सकता है यदि वे दोनों स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर हों। ज्यामिति में,समांतर रेखाओं के बीच का कोण $0^{\circ}$ माना जाता है क्योंकि वे कभी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

(A) सत्य
मान लीजिए कि बिंदु $P$ से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ वृत्त को $T$ और $R$ बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं। दिया गया है,त्रिज्या $OT = a$ है।
रेखाखंड $OP$ दो स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण $\angle T P R$ को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$\angle T P O = \angle R P O = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$ है।
चूंकि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है,इसलिए $OT \perp PT$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OTP$ में,हमारे पास है:
$\sin 45^{\circ} = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{OT}{OP}$
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a}{OP}$
अतः,$OP = a\sqrt{2}$।

(B) असत्य।
मान लीजिए कि $PT$ और $PR$ बिंदु $P$ से $O$ केंद्र और $a$ त्रिज्या $(OT = OR = a)$ वाले वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
रेखा $OP$ स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\angle TPO = \angle RPO = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$।
चूंकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए $\angle OTP = 90^{\circ}$।
समकोण त्रिभुज $\Delta OTP$ में:
$\sin(\angle TPO) = \frac{OT}{OP}$
$\sin(30^{\circ}) = \frac{a}{OP}$
$\frac{1}{2} = \frac{a}{OP}$
$OP = 2a$।
अतः,कथन $OP = a\sqrt{3}$ असत्य है।

(N/A) मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज $ABC$ का अंतःवृत्त भुजाओं $BC, CA, AB$ को क्रमशः $D, E, F$ पर स्पर्श करता है,जहाँ $BC = a, CA = b$ और $AB = c$ है। मान लीजिए $O$ वृत्त का केंद्र है और $r$ इसकी त्रिज्या है।
चूँकि एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए हमारे पास $AE = AF$,$BD = BF$ और $CD = CE = r$ है।
चतुर्भुज $CDOE$ में,चूँकि $\angle C = 90^\circ$ है और त्रिज्याएँ स्पर्श रेखाओं पर लंब होती हैं,इसलिए $\angle ODC = \angle OEC = 90^\circ$ है। अतः,$CDOE$ एक $r$ भुजा वाला वर्ग है।
इसलिए,$CD = CE = r$ है।
आकृति से,$AF = AE = b - r$ और $BF = BD = a - r$ है।
चूँकि $AB = c$ है,इसलिए हमारे पास $AF + BF = c$ है।
मान रखने पर,$(b - r) + (a - r) = c$ प्राप्त होता है।
$a + b - 2r = c$।
$2r = a + b - c$।
$r = \frac{a + b - c}{2}$।

(N/A) बाहरी बिंदु $B$ से दो स्पर्श रेखाएँ $BD$ और $BC$ खींची गई हैं।
सिद्ध करना है: $BO = 2BC$.
$OC$,$OD$ और $BO$ को मिलाइए।
चूँकि $BC$ और $BD$ बाहरी बिंदु $B$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं,रेखाखंड $BO$,$\angle DBC$ को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$\angle OBC = \angle DBO = \frac{1}{2} \angle DBC = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
हम जानते हैं कि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। अतः,$OC \perp BC$ और $OD \perp BD$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OBC$ में:
$\cos(\angle OBC) = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{BO}$
$\cos(60^{\circ}) = \frac{BC}{BO}$
$\frac{1}{2} = \frac{BC}{BO}$
$BO = 2BC$।
चूँकि बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए $BC = BD$ है।
$BC$ के स्थान पर $BD$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$BO = BC + BD$।

(N/A) दिया है: एक बाह्य बिंदु $P$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $PR$ और $PQ$ खींची गई हैं।
सिद्ध करना है: वृत्त का केंद्र $O$ दो प्रतिच्छेदी रेखाओं $PR$ और $PQ$ द्वारा बने कोण के समद्विभाजक पर स्थित है।
रचना: $OR$ और $OQ$ को मिलाइए।
उपपत्ति:
$\triangle PRO$ और $\triangle PQO$ में:
$1$. $\angle PRO = \angle PQO = 90^{\circ}$ (वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है)।
$2$. $OR = OQ$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
$3$. $OP = OP$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
$R.H.S.$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\triangle PRO \cong \triangle PQO$ है।
अतः,$\angle RPO = \angle QPO$ ($CPCT$ द्वारा)।
चूँकि $\angle RPO = \angle QPO$ है,रेखा $OP$ कोण $\angle RPQ$ को समद्विभाजित करती है। अतः,केंद्र $O$ रेखाओं $PR$ और $PQ$ के कोण समद्विभाजक पर स्थित है। इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है: $AB = CD$ है।
उपपत्ति:
बिंदु $E$ से,$EA$ और $EC$ बाएँ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। चूँकि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है,इसलिए:
$EA = EC$ ......$(i)$
इसी प्रकार,बिंदु $E$ से,$EB$ और $ED$ दाएँ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। अतः:
$EB = ED$ .......$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$EA + EB = EC + ED$
चूँकि $EA + EB = AB$ और $EC + ED = CD$ है,इसलिए:
$AB = CD$
इति सिद्धम्।

(B) असत्य।
वृत्त की त्रिज्या $r = 3.5 \, cm$ है और केंद्र से बिंदु $P$ की दूरी $d = 3 \, cm$ है।
चूंकि $d < r$ $(3 \, cm < 3.5 \, cm)$ है,इसलिए बिंदु $P$ वृत्त के भीतर स्थित है।
वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा होती है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। यदि कोई बिंदु वृत्त के भीतर स्थित है,तो उस बिंदु से वृत्त पर कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती है।

(N/A) एक वृत्त $\triangle ABC$ के भीतर स्थित है,जो भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ को क्रमशः $D, E$ और $F$ पर स्पर्श करता है।
दिया है,$BC = a, CA = b$ और $AB = c$ है।
इस गुणधर्म का उपयोग करते हुए कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है:
$\therefore BD = BF = x$ (माना)
$DC = CE = y$ (माना)
$AE = AF = z$ (माना)
$\triangle ABC$ का परिमाप $= BC + CA + AB = a + b + c$ है।
चूंकि $2s = a + b + c$,इसलिए:
$(BD + DC) + (CE + EA) + (AF + FB) = a + b + c$
$(x + y) + (y + z) + (z + x) = a + b + c$
$2(x + y + z) = 2s$
$x + y + z = s$
हमें $BD = x$ ज्ञात करना है।
समीकरण $x + y + z = s$ से,हमें $x = s - (y + z)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b = CA = CE + EA = y + z$ है,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$x = s - b$
अतः,$BD = s - b$ है।
इति सिद्धम्।

(B) दिया गया है कि $PA$ और $PB$ एक बाह्य बिंदु $P$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।
हम जानते हैं कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है,इसलिए $PA = PB = 10 \, cm$ है।
त्रिभुज $PCD$ का परिमाप $= PC + CD + PD$ है।
चूँकि $CD$ बिंदु $E$ पर एक स्पर्श रेखा है,इसे $CD = CE + ED$ के रूप में लिखा जा सकता है।
साथ ही,$CE = CA$ और $ED = DB$ (क्रमशः बिंदु $C$ और $D$ से खींची गई स्पर्श रेखाएँ)।
इन मानों को परिमाप के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
त्रिभुज $PCD$ का परिमाप $= PC + (CE + ED) + PD = PC + CA + DB + PD$ है।
चूँकि $PC + CA = PA$ और $PD + DB = PB$ है,हमें प्राप्त होता है:
त्रिभुज $PCD$ का परिमाप $= PA + PB = 10 + 10 = 20 \, cm$।

(A) दिया है: केंद्र $O$ वाले वृत्त पर एक बाहरी बिंदु $A$ से दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं।
$OA = 13\, cm$,त्रिज्या $OP = OQ = 5\, cm$.
लघु चाप $PQ$ पर स्थित बिंदु $R$ पर स्पर्श रेखा $BC$ खींची गई है।
ज्ञात करना है: $\triangle ABC$ का परिमाप।
उपपत्ति: $\angle OPA = 90^{\circ}$ [वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या पर लंब होती है]।
समकोण $\triangle OPA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = OP^2 + PA^2$
$(13)^2 = 5^2 + PA^2$
$169 = 25 + PA^2$
$PA^2 = 144$
$PA = 12\, cm$.
चूँकि बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए $AP = AQ = 12\, cm$.
साथ ही,$BP = BR$ और $CR = CQ$ (क्रमशः बिंदु $B$ और $C$ से खींची गई स्पर्श रेखाएँ)।
$\triangle ABC$ का परिमाप $= AB + BC + CA$
$= AB + (BR + RC) + CA$
$= AB + BP + CQ + CA$
$= (AB + BP) + (CQ + CA)$
$= AP + AQ$
$= 12 + 12 = 24\, cm$.

(C) चतुर्भुज $OXPY$ में,त्रिज्याएँ $OX$ और $OY$ क्रमशः स्पर्श बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं $PX$ और $PY$ पर लंब होती हैं।
अतः,$\angle OXP = 90^\circ$ और $\angle OYP = 90^\circ$ है।
चतुर्भुज के कोणों का योग $360^\circ$ होता है।
$\angle XOY + \angle OXP + \angle XPY + \angle OYP = 360^\circ$
$100^\circ + 90^\circ + \angle XPY + 90^\circ = 360^\circ$
$280^\circ + \angle XPY = 360^\circ$
$\angle XPY = 360^\circ - 280^\circ = 80^\circ$ है।
चूँकि $OP$,$\angle XPY$ का कोण समद्विभाजक है,इसलिए:
$m \angle XPO = \frac{1}{2} m \angle XPY$
$m \angle XPO = \frac{1}{2} (80^\circ) = 40^\circ$।

(D) त्रिज्या $OY$ स्पर्श बिंदु $Y$ पर स्पर्श रेखा $PY$ के लंबवत होती है।
अतः,$\Delta PYO$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle OYP = 90^{\circ}$ है।
$\Delta PYO$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 = OY^2 + PY^2$
यहाँ $OP = 30$ और $PY = 24$ दिया गया है,और $OY = r$ है:
$30^2 = r^2 + 24^2$
$900 = r^2 + 576$
$r^2 = 900 - 576$
$r^2 = 324$
$r = \sqrt{324} = 18$
अतः,त्रिज्या $r$ का मान $18$ है।

(240/17) माना $R$,$OP$ और $AB$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। चूँकि $OP$,जीवा $AB$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए $OP \perp AB$,$R$ पर है।
समकोण $\Delta OAP$ में,$\angle OAP = 90^{\circ}$.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OP^2 = OA^2 + AP^2$.
$(17)^2 = (8)^2 + AP^2 \implies 289 = 64 + AP^2 \implies AP^2 = 225 \implies AP = 15$.
$\Delta OAP$ में,$AR$,कर्ण $OP$ पर शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के गुण का उपयोग करते हुए,$OA^2 = OR \cdot OP$.
$(8)^2 = OR \cdot 17 \implies OR = \frac{64}{17}$.
समकोण $\Delta OAR$ में,$AR^2 = OA^2 - OR^2$.
$AR^2 = 8^2 - \left(\frac{64}{17}\right)^2 = 64 - \frac{4096}{289} = \frac{18496 - 4096}{289} = \frac{14400}{289}$.
$AR = \sqrt{\frac{14400}{289}} = \frac{120}{17}$.
चूँकि $OP$,$AB$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB = 2 \cdot AR = 2 \cdot \left(\frac{120}{17}\right) = \frac{240}{17}$.

(40/3) माना $O$ त्रिज्या $r = 10$ वाले वृत्त का केंद्र है। माना $M$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है। चूँकि $AB = 16$ है,इसलिए $AM = MB = 8$ होगा। $\triangle OMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$। माना $PA = x$ है। $\triangle OAP$ में,$\angle OAP = 90^\circ$ (त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है)। $AA$ समरूपता के अनुसार,$\triangle OMA \sim \triangle OAP$ है। अतः,$\frac{PA}{AM} = \frac{OA}{OM}$,जिससे हमें $\frac{x}{8} = \frac{10}{6}$ प्राप्त होता है। $x$ के लिए हल करने पर,$x = \frac{80}{6} = \frac{40}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त $\odot(O, r)$ में,$PA$ और $PB$ बाहरी बिंदु $P$ से खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं जो वृत्त को $A$ और $B$ पर स्पर्श करती हैं।
स्पर्श रेखा के गुणधर्म के अनुसार,त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। इसलिए,$\angle OAP = 90^\circ$ और $\angle OBP = 90^\circ$ है।
चतुर्भुज $OAPB$ में,आंतरिक कोणों का योग $360^\circ$ होता है।
अतः,$\angle AOB + \angle OAP + \angle OBP + \angle APB = 360^\circ$ है।
दिए गए मान रखने पर: $100^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle APB = 360^\circ$।
$280^\circ + \angle APB = 360^\circ$,जिससे $\angle APB = 80^\circ$ प्राप्त होता है।
रेखा $OP$,$\angle APB$ को समद्विभाजित करती है। इसलिए,$m\angle OPB = \frac{1}{2} \angle APB = \frac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ$।

(D) $1$. $\triangle OBP$ में,चूँकि $PB$ बिंदु $B$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,त्रिज्या $OB$ स्पर्श रेखा $PB$ पर लंब है। अतः,$\angle OBP = 90^\circ$ है।
$2$. समकोण त्रिभुज $\triangle OBP$ में,कोणों का योग $180^\circ$ होता है। इसलिए,$\angle POB + \angle OBP + \angle OPB = 180^\circ$ है।
$3$. ज्ञात मान रखने पर: $\angle POB + 90^\circ + 35^\circ = 180^\circ$,जिससे $\angle POB = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$ प्राप्त होता है।
$4$. चूँकि बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ केंद्र को जोड़ने वाली रेखा के साथ समान कोण बनाती हैं,इसलिए $\triangle OAP \cong \triangle OBP$ है। अतः,$\angle AOP = \angle POB = 55^\circ$ है।
$5$. इसलिए,$m\angle AOB = \angle AOP + \angle POB = 55^\circ + 55^\circ = 110^\circ$ है।

(C) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $O$ है और दो त्रिज्याएँ $OA$ और $OB$ हैं। त्रिज्याओं के बीच का कोण $\angle AOB = 48^{\circ}$ है।
बिंदुओं $A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। मान लीजिए ये स्पर्श रेखाएँ बिंदु $P$ पर मिलती हैं।
चूँकि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है,इसलिए $\angle OAP = 90^{\circ}$ और $\angle OBP = 90^{\circ}$ होगा।
चतुर्भुज $OAPB$ में,आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle AOB + \angle OAP + \angle OBP + \angle APB = 360^{\circ}$।
ज्ञात मान रखने पर: $48^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + \angle APB = 360^{\circ}$।
$228^{\circ} + \angle APB = 360^{\circ}$।
$\angle APB = 360^{\circ} - 228^{\circ} = 132^{\circ}$।
अतः,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $132^{\circ}$ है।

(D) वृत्त के बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए $PA = PB = 8$ है।
$\triangle PAB$ में,चूंकि $PA = PB$ है,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
अतः,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $m \angle PBA = m \angle PAB = 60^\circ$ है।
अब,त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$m \angle APB + m \angle PAB + m \angle PBA = 180^\circ$ है।
$m \angle APB + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ$ है।
$m \angle APB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ है।
चूंकि $\triangle PAB$ के सभी कोण $60^\circ$ हैं,इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,$AB = PA = PB = 8$ है।

(C) किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इस प्रमेय के अनुसार,
चूँकि $P$ एक बाह्य बिंदु है और $\overline{ PA }$ तथा $\overline{ PB }$ वृत्त $\odot( O , r)$ की स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $PA = PB$ होगा।

(B) प्रमेय के अनुसार,किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
इसलिए,$PA = PB$ होगा।
चूँकि $PA = 8$ दिया गया है,इसलिए $PB = 8$ होगा।

(D) चतुर्भुज $OAPB$ में,त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।
इसलिए,$\angle OAP = 90^{\circ}$ और $\angle OBP = 90^{\circ}$ है।
एक चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360^{\circ}$।
ज्ञात मान रखने पर: $\angle AOB + 90^{\circ} + 65^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$।
$\angle AOB + 245^{\circ} = 360^{\circ}$।
$\angle AOB = 360^{\circ} - 245^{\circ} = 115^{\circ}$।

(D) रेखाखंड $OP$ कोण $\angle APB$ को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$m \angle OPB = \frac{1}{2} m \angle APB = \frac{1}{2} (70^\circ) = 35^\circ$।
चूँकि $PB$ बिंदु $B$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,त्रिज्या $OB$ स्पर्श रेखा $PB$ पर लंब होती है।
अतः,$m \angle OBP = 90^\circ$।
समकोण त्रिभुज $\Delta OBP$ में,कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
$m \angle POB + m \angle OBP + m \angle OPB = 180^\circ$।
$m \angle POB + 90^\circ + 35^\circ = 180^\circ$।
$m \angle POB + 125^\circ = 180^\circ$।
$m \angle POB = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$।

(B) वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
वृत्त के बाहर स्थित किसी भी बिंदु $P$ से वृत्त पर केवल दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
ये दोनों स्पर्श रेखाएँ वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं।
अतः,एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची जा सकने वाली स्पर्श रेखाओं की अधिकतम संख्या $2$ है।

(C) मान लीजिए कि स्पर्श रेखा $\overleftrightarrow{PQ}$ वृत्त को बिंदु $R$ पर स्पर्श करती है।
चूँकि किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है,इसलिए हमारे पास है:
$PB = PR$ और $QC = QR$.
$\Delta APQ$ का परिमाप = $AP + PQ + AQ$.
$= AP + (PR + RQ) + AQ$.
$= AP + PB + QC + AQ$ (चूँकि $PR = PB$ और $RQ = QC$ है)।
$= (AP + PB) + (AQ + QC)$.
$= AB + AC$.
चूँकि $AB = AC$ है (बाहरी बिंदु $A$ से खींची गई स्पर्श रेखाएँ),इसलिए $AB = AC = 6$ है।
अतः,$\Delta APQ$ का परिमाप = $6 + 6 = 12$।

(C) दिया गया है कि $\overline{ PA }$ और $\overline{ PB }$ एक बाहरी बिंदु $P$ से वृत्त $\odot( O , r)$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं।
प्रमेय के अनुसार,एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
इसलिए,$\overline{ PA } = \overline{ PB }$ है।
$\Delta PAB$ में,चूँकि $\overline{ PA } = \overline{ PB }$ है,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
समद्विबाहु त्रिभुज में,बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
अतः,$m \angle PAB = m \angle PBA$ होगा।
दिया गया है कि $m \angle PAB = 60^{\circ}$,इसलिए $m \angle PBA = 60^{\circ}$ होगा।

(B) जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उनके पास स्पर्श बिंदु से होकर गुजरने वाली एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा और दो अन्य उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होती हैं।
अतः,दोनों वृत्तों पर कुल $3$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।