HCF and LCM by Prime Factorisation Questions in Gujarati

(B) $20 a^{2} b$ અને $30 a b^{2}$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) શોધવા માટે:
$1$. $20 a^{2} b$ ના અવિભાજ્ય અવયવો: $2^{2} \times 5 \times a^{2} \times b$.
$2$. $30 a b^{2}$ ના અવિભાજ્ય અવયવો: $2 \times 3 \times 5 \times a \times b^{2}$.
$3$. ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
- સામાન્ય અવયવો $2, 5, a, b$ છે.
- સૌથી નાની ઘાત $2^{1}, 5^{1}, a^{1}, b^{1}$ છે.
- ગુ.સા.અ. $= 2 \times 5 \times a \times b = 10 ab$.
આમ,$10 ab \neq 10 a^{2} b^{2}$ હોવાથી,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(B) $5$ ના અવયવો $1, 5$ છે.
$15$ ના અવયવો $1, 3, 5, 15$ છે.
સામાન્ય અવયવો $1$ અને $5$ છે.
તેથી,ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) $5$ થાય.
આપેલ વિધાનમાં ગુ.સા.અ. $10$ જણાવેલ છે,તેથી આ વિધાન ખોટું છે.

(A) કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ અને લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$.
બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો હંમેશા પરસ્પર અવિભાજ્ય હોય છે,તેથી તેમનો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ $1$ થાય છે.
આથી,$\text{HCF}(a, b) = 1$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $1 \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$,એટલે કે $\text{LCM}(a, b) = a \times b$.
તેથી,$\text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = 1 \times (a \times b) = a \times b$.

(A) $25$ અને $52$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે તેમના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ:
$25 = 5^2$
$52 = 2^2 \times 13$
અહીં $1$ સિવાય કોઈ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ નથી,તેથી ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) $1$ છે.
તેથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(A) $28$ અને $63$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય તેવો નાનામાં નાનો પૂર્ણાંક શોધવા માટે,આપણે $28$ અને $63$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડે.
પ્રથમ,દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$28 = 2^2 \times 7^1$
$63 = 3^2 \times 7^1$
$LCM$ શોધવા માટે દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર કરો:
$LCM = 2^2 \times 3^2 \times 7^1$
$LCM = 4 \times 9 \times 7$
$LCM = 36 \times 7 = 252$
આમ,$28$ અને $63$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય તેવો નાનામાં નાનો પૂર્ણાંક $252$ છે.

(A) $36$ અને $100$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$36 = 2^2 \times 3^2$
$100 = 2^2 \times 5^2$
લ.સા.અ. એ તમામ અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^2 \times 3^2 \times 5^2$
$LCM = 4 \times 9 \times 25$
$LCM = 36 \times 25 = 900$
તેથી,$36$ અને $100$ નો લ.સા.અ. $900$ છે.

(A) $65$ અને $117$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ તેમના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$65 = 5 \times 13$
$117 = 9 \times 13 = 3^2 \times 13$
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ જેની ઘાત સૌથી ઓછી હોય તે $13$ છે.
તેથી,$65$ અને $117$ નો ગુ.સા.અ. $13$ થાય છે.

(A) $220$ અને $60$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$220 = 2^2 \times 5^1 \times 11^1$
$60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
લ.સા.અ. એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM(220, 60) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 11^1$
$LCM(220, 60) = 4 \times 3 \times 5 \times 11$
$LCM(220, 60) = 12 \times 55 = 660$
તેથી,$220$ અને $60$ નો લ.સા.અ. $660$ છે.

(A) $HCF(156, 455)$ શોધવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$156 = 2^2 \times 3 \times 13$
$455 = 5 \times 7 \times 13$
સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ $13$ છે.
તેથી,$HCF(156, 455) = 13$ થાય.

(Q.1-B, Q.2-A) પગલું $1$: $\text{LCM}(7, 49)$ શોધો.
કારણ કે $49$ એ $7$ નો ગુણક છે $(7 \times 7 = 49)$,તેથી $7$ અને $49$ નો લ.સા.અ. $49$ થાય છે.
પગલું $2$: $\text{LCM}(10, 25)$ શોધો.
$10$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2 \times 5$.
$25$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $5 \times 5$.
$\text{LCM}(10, 25) = 2 \times 5 \times 5 = 50$.
આમ,$Q.1$ એ $B$ સાથે અને $Q.2$ એ $A$ (અથવા $D$) સાથે જોડાય છે.

(A-B) $1$. $25$ $\text{અને}$ $10$ $\text{નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે:}$
$25$ $\text{ના અવિભાજ્ય અવયવો =}$ $5^2$.
$10$ $\text{ના અવિભાજ્ય અવયવો =}$ $2 \times 5$.
$\text{સામાન્ય અવયવ}$ $5$ $\text{છે. તેથી, ગુ.સા.અ.}$ $(25, 10)$ = $5$.
$2$. $17$ $\text{અને}$ $11$ $\text{નો લ.સા.અ. શોધવા માટે:}$
$17$ $\text{અને}$ $11$ $\text{બંને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી, તેમનો લ.સા.અ. તેમનો ગુણાકાર થાય છે.}$
$\text{લ.સા.અ.}$ $(17, 11)$ = $17 \times 11 = 187$.
$\text{આમ, સાચી જોડ}$ $Q.1-A$ $\text{અને}$ $Q.2-B$ $\text{છે.}$

(A) $30$ અને $72$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ શોધવા માટે:
$30$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2 \times 3 \times 5$.
$72$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2^3 \times 3^2$.
સામાન્ય અવયવો $2^1$ અને $3^1$ છે.
ગુ.સા.અ. $(30, 72) = 2 \times 3 = 6$.
$19$ અને $23$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે:
$19$ અને $23$ બંને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,તેમનો એકમાત્ર સામાન્ય અવયવ $1$ છે.
ગુ.સા.અ. $(19, 23) = 1$.
આમ,ગુ.સા.અ. ની કિંમતો અનુક્રમે $6$ અને $1$ છે. સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પગલું $1$: $8$ અને $6$ નો ગુ.સા.અ. શોધો.
$8$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 2^3$.
$6$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 2 \times 3$.
સામાન્ય અવયવ $2$ છે,તેથી ગુ.સા.અ. $(8, 6) = 2$.
પગલું $2$: $26$ અને $91$ નો લ.સા.અ. શોધો.
$26$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 2 \times 13$.
$91$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 7 \times 13$.
લ.સા.અ. $(26, 91) = 2 \times 7 \times 13 = 182$.
તેથી,$Q.1$ એ $C$ સાથે અને $Q.2$ એ $B$ સાથે જોડાય છે.

(A) સોનિયા અને રવિ ફરીથી પ્રારંભબિંદુ પર ક્યારે ભેગા થશે તે શોધવા માટે,આપણે તેમના દ્વારા એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતા સમયનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
સોનિયાને લાગતો સમય = $18$ મિનિટ.
રવિને લાગતો સમય = $12$ મિનિટ.
$18$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2 \times 3^2$.
$12$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2^2 \times 3$.
$LCM(18, 12) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.
તેથી,તેઓ $36$ મિનિટ પછી ફરીથી પ્રારંભબિંદુ પર ભેગા થશે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમના $HCF$ અને $LCM$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$HCF(a, b) \times LCM(a, b) = a \times b$
અહીં $a = 306$,$b = 657$ અને $HCF(306, 657) = 9$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$9 \times LCM(306, 657) = 306 \times 657$
$LCM(306, 657) = \frac{306 \times 657}{9}$
$LCM(306, 657) = 34 \times 657$
$LCM(306, 657) = 22338$
તેથી,$LCM$ ની કિંમત $22338$ છે.

(A) અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરીને $8$,$9$ અને $25$ નો ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધવા માટે:
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો.
$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
$9 = 3 \times 3 = 3^2$
$25 = 5 \times 5 = 5^2$
પગલું $2$: ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે. અહીં $1$ સિવાય કોઈ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ નથી,તેથી ગુ.સા.અ. = $1$ છે.
પગલું $3$: લ.સા.અ. એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે.
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 8 \times 9 \times 25 = 72 \times 25 = 1800$.
આમ,ગુ.સા.અ. = $1$ અને લ.સા.અ. = $1800$ છે.

(A) આપેલ સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવો નીચે મુજબ છે:
$17 = 17 \times 1$
$23 = 23 \times 1$
$29 = 29 \times 1$
અહીં $17, 23$ અને $29$ એ બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,$1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
તેથી,ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) = $1$ છે.
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) એ તમામ અવિભાજ્ય અવયવોના મહત્તમ ઘાતાંકનો ગુણાકાર છે:
લ.સા.અ. = $17 \times 23 \times 29 = 11339$.
આમ,ગુ.સા.અ. = $1$ અને લ.સા.અ. = $11339$ થાય.

(A) $12$,$15$ અને $21$ નો ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતે શોધવા માટે:
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ લખો.
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
પગલું $2$: ગુ.સા.અ. $(HCF)$ શોધો.
ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ માત્ર $3$ છે,અને તેની સૌથી નાની ઘાત $3^1$ છે.
તેથી,$HCF = 3$.
પગલું $3$: લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધો.
લ.સા.અ. એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સમાવિષ્ટ અવિભાજ્ય અવયવો $2, 3, 5$ અને $7$ છે.
તેમની સૌથી મોટી ઘાત $2^2, 3^1, 5^1$ અને $7^1$ છે.
$LCM = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$.
આમ,$HCF = 3$ અને $LCM = 420$ થાય છે.

(A) પગલું $1$: $336$ અને $54$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો.
$336 = 2^4 \times 3^1 \times 7^1$
$54 = 2^1 \times 3^3$
પગલું $2$: ગુ.સા.અ. શોધો.
$\text{ગુ}.\text{સા}.\text{અ}. = 2^{\min(4,1)} \times 3^{\min(1,3)} = 2^1 \times 3^1 = 6$.
પગલું $3$: લ.સા.અ. શોધો.
$\text{લ}.\text{સા}.\text{અ}. = 2^{\max(4,1)} \times 3^{\max(1,3)} \times 7^1 = 2^4 \times 3^3 \times 7 = 16 \times 27 \times 7 = 3024$.
પગલું $4$: $\text{ગુ}.\text{સા}.\text{અ}. \times \text{લ}.\text{સા}.\text{અ}. = \text{બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર}$ ચકાસો.
$\text{ગુ}.\text{સા}.\text{અ}. \times \text{લ}.\text{સા}.\text{અ}. = 6 \times 3024 = 18144$.
$\text{બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર} = 336 \times 54 = 18144$.
આમ, $18144 = 18144$ હોવાથી, સંબંધ ચકાસાય છે.

(A) પગલું $1$: $510$ અને $92$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો.
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2^2 \times 23$
પગલું $2$: ગુ.સા.અ. $(HCF)$ અને લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધો.
$HCF = 2^1 = 2$
$LCM = 2^2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 23460$
પગલું $3$: સંબંધ $HCF \times LCM = \text{બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર}$ ચકાસો.
$HCF \times LCM = 2 \times 23460 = 46920$
$\text{સંખ્યાઓનો ગુણાકાર} = 510 \times 92 = 46920$
આમ,$46920 = 46920$ હોવાથી,સંબંધ ચકાસાય છે.

(A) પગલું $1$: $26$ અને $91$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો.
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
પગલું $2$: ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધો.
ગુ.સા.અ. = $\text{સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર} = 13$.
લ.સા.અ. = $\text{દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર} = 2 \times 7 \times 13 = 182$.
પગલું $3$: સંબંધ ગુ.સા.અ. $\times$ લ.સા.અ. = $\text{બંને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર}$ ચકાસો.
ગુ.સા.અ. $\times$ લ.સા.અ. = $13 \times 182 = 2366$.
$\text{બંને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર} = 26 \times 91 = 2366$.
આમ, $2366 = 2366$ હોવાથી, સંબંધ ચકાસાય છે.

(B) $140$ ને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
$1$. $140$ ને સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ વડે ભાગતા: $140 \div 2 = 70$.
$2$. $70$ ને $2$ વડે ભાગતા: $70 \div 2 = 35$.
$3$. $35$ ને પછીની અવિભાજ્ય સંખ્યા $5$ વડે ભાગતા: $35 \div 5 = 7$.
$4$. $7$ ને અવિભાજ્ય સંખ્યા $7$ વડે ભાગતા: $7 \div 7 = 1$.
આમ,$140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7$.
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં,આ $2^2 \times 5 \times 7$ થાય છે.

(A) $867$ અને $255$ નો ગુ.સા.અ. યુક્લિડની ભાગવિધિ દ્વારા શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: $867 > 255$ હોવાથી,આપણે $867$ અને $255$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$867 = 255 \times 3 + 102$
પગલું $2$: શેષ $102 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $255$ અને $102$ માટે પ્રમેય વાપરીએ:
$255 = 102 \times 2 + 51$
પગલું $3$: શેષ $51 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $102$ અને $51$ માટે પ્રમેય વાપરીએ:
$102 = 51 \times 2 + 0$
હવે શેષ $0$ હોવાથી,આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
તેથી,$867$ અને $255$ નો ગુ.સા.અ. $51$ છે.

(A) $135$ અને $225$ નો ગુ.સા.અ. યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરીને શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: $225 > 135$ હોવાથી,આપણે $225$ અને $135$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$225 = 135 \times 1 + 90$
પગલું $2$: શેષ $90 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $135$ અને $90$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$135 = 90 \times 1 + 45$
પગલું $3$: શેષ $45 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $90$ અને $45$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$90 = 45 \times 2 + 0$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
આમ,$135$ અને $225$ નો ગુ.સા.અ. $45$ છે.

(A) અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરીને $6$,$72$ અને $120$ નો ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધવા માટે:
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવો.
$6 = 2^1 \times 3^1$
$72 = 2^3 \times 3^2$
$120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
પગલું $2$: ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
$\text{ગુ}.\text{સા}.\text{અ}. = 2^1 \times 3^1 = 6$
પગલું $3$: લ.સા.અ. એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે.
$\text{લ}.\text{સા}.\text{અ}. = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 = 8 \times 9 \times 5 = 360$
આમ,ગુ.સા.અ. $6$ છે અને લ.સા.અ. $360$ છે.

(A) પગલું $1$: $96$ અને $404$ ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવો.
$96 = 2^5 \times 3^1$
$404 = 2^2 \times 101^1$
પગલું $2$: સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર કરીને ગુ.સા.અ. શોધો.
$HCF(96, 404) = 2^2 = 4$.
પગલું $3$: સંબંધ $LCM(a, b) \times HCF(a, b) = a \times b$ નો ઉપયોગ કરો.
$LCM(96, 404) = \frac{96 \times 404}{HCF(96, 404)}$
$LCM(96, 404) = \frac{96 \times 404}{4} = 96 \times 101 = 9696$.

(A) પગલું $1$: આપેલી સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરો.
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
પગલું $2$: ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર કરો.
સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ $2$ છે. તેની સૌથી નાની ઘાત $2^1$ છે.
તેથી,ગુ.સા.અ. = $2$.
પગલું $3$: લ.સા.અ. શોધવા માટે,દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર કરો.
અહીં સમાવિષ્ટ અવિભાજ્ય અવયવો $2, 3$ અને $5$ છે.
સૌથી મોટી ઘાત $2^2, 3^1$ અને $5^1$ છે.
લ.સા.અ. = $2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
આમ,ગુ.સા.અ. = $2$ અને લ.સા.અ. = $60$.