HCF and LCM by Prime Factorisation Questions in Gujarati

(C) તેઓ ફરીથી શરૂઆતના બિંદુએ ક્યારે મળશે તે શોધવા માટે,આપણે કુશાન અને રાજન દ્વારા એક આંટો પૂરો કરવા માટે લીધેલા સમયનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
કુશાન દ્વારા લેવાયેલ સમય = $18$ મિનિટ.
રાજન દ્વારા લેવાયેલ સમય = $12$ મિનિટ.
$18$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2 \times 3^2$.
$12$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2^2 \times 3$.
$LCM(18, 12) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.
તેથી,તેઓ $36$ મિનિટ પછી ફરીથી શરૂઆતના બિંદુએ મળશે.

(N/A) સંમેય સંખ્યા $\frac{15}{1600}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,પહેલા આપણે અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ મેળવીએ.
$\frac{15}{1600} = \frac{3}{320}$.
છેદ $320 = 32 \times 10 = 2^5 \times 2 \times 5 = 2^6 \times 5^1$ છે.
અહીં છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $n=6$ અને $m=1$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તેથી આ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે $\frac{3}{2^6 \times 5^1} = \frac{3 \times 5^5}{2^6 \times 5^6} = \frac{3 \times 3125}{10^6} = \frac{9375}{1000000} = 0.009375$ મેળવીએ છીએ.

(A) સંમેય સંખ્યા $\frac{13}{3125}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ.
પગલું $1$: $3125$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો.
$3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$.
પગલું $2$: જો સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ માં છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપના હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં,$q = 5^5 = 2^0 \times 5^5$ છે. છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
પગલું $3$: દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,અંશ અને છેદને $2^5$ વડે ગુણો જેથી છેદ $10$ ની ઘાત બને.
$\frac{13}{3125} = \frac{13 \times 2^5}{5^5 \times 2^5} = \frac{13 \times 32}{10^5} = \frac{416}{100000} = 0.00416$.

(0.7) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં,છેદ $50 = 2^1 \times 5^2$ છે.
અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{35}{50}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે: $\frac{35}{50} = \frac{35 \times 2}{50 \times 2} = \frac{70}{100} = 0.7$.

(D) યુક્લિડની ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $196$ અને $38220$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે મોટી સંખ્યાને $a = bq + r$ સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ છીએ,જ્યાં $0 \le r < b$ છે.
પગલું $1$: $38220$ ને $196$ વડે ભાગતા:
$38220 = 196 \times 195 + 0$.
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,આ તબક્કે ભાજક એ જ ગુ.સા.અ. છે.
તેથી,$196$ અને $38220$ નો ગુ.સા.અ. $196$ છે.

(A) $867$ અને $255$ નો ગુ.સા.અ. યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરીને શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: $867 > 255$ હોવાથી,આપણે $867$ અને $255$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$867 = 255 \times 3 + 102$
પગલું $2$: શેષ $102 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $255$ અને $102$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$255 = 102 \times 2 + 51$
પગલું $3$: શેષ $51 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $102$ અને $51$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$102 = 51 \times 2 + 0$
હવે શેષ $0$ હોવાથી,આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
તેથી,$867$ અને $255$ નો ગુ.સા.અ. $51$ છે.

(N/A) પગલું $1$: આપેલી સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો.
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2^2 \times 23$
પગલું $2$: $\text{g.c.d.}$ (ગુ.સા.અ.) શોધવા માટે,દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર કરો.
$\text{g.c.d.} (510, 92) = 2^1 = 2$
પગલું $3$: $\text{l.c.m.}$ (લ.સા.અ.) શોધવા માટે,તમામ અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર કરો.
$\text{l.c.m.} (510, 92) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 17^1 \times 23^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 23460$

(N/A) પગલું $1$: $72$ અને $90$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો.
$72 = 2^3 \times 3^2$
$90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1$
પગલું $2$: $\text{g.c.d.}$ (ગુ.સા.અ.) શોધવા માટે દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર કરો.
$\text{g.c.d.}(72, 90) = 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$
પગલું $3$: $\text{l.c.m.}$ (લ.સા.અ.) શોધવા માટે દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર કરો.
$\text{l.c.m.}(72, 90) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 = 8 \times 9 \times 5 = 360$

(N/A) અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{ગુ.સા.અ.}(12, 15, 21) = 3^1 = 3$
લ.સા.અ. એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{લ.સા.અ.}(12, 15, 21) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$
આમ,ગુ.સા.અ. $3$ છે અને લ.સા.અ. $420$ છે.

(A) અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $\text{g.c.d.}$ (ગુ.સા.અ.) અને $\text{l.c.m.}$ (લ.સા.અ.) શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$25 = 5^2$
$\text{g.c.d.}$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે. અહીં કોઈ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ ન હોવાથી,$\text{g.c.d.}$ $1$ થશે.
$\text{l.c.m.}$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{l.c.m.} = 2^3 \times 3^2 \times 5^2$
$\text{l.c.m.} = 8 \times 9 \times 25$
$\text{l.c.m.} = 72 \times 25 = 1800$.

(N/A) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં,છેદ $200$ છે.
$200$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $200 = 2^3 \times 5^2$ છે.
છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{23}{200}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
દશાંશ નિરૂપણ મેળવવા માટે,આપણે છેદને $10$ ની ઘાત તરીકે લખી શકીએ:
$\frac{23}{200} = \frac{23 \times 5}{200 \times 5} = \frac{115}{1000} = 0.115$.

(A) બંને બ્રાન્ડ માટે સમાન હોય તેવી ઓછામાં ઓછી ચોકલેટની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $24$ અને $15$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
$24$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2^3 \times 3^1$.
$15$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $3^1 \times 5^1$.
$LCM(24, 15) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.
પ્રથમ બ્રાન્ડ માટે બોક્સની સંખ્યા શોધવા માટે ($24$ ચોકલેટ પ્રતિ પેક): $120 / 24 = 5$ બોક્સ.
બીજી બ્રાન્ડ માટે બોક્સની સંખ્યા શોધવા માટે ($15$ ચોકલેટ પ્રતિ પેક): $120 / 15 = 8$ બોક્સ.
તેથી,પ્રથમ પ્રકારના $5$ બોક્સ અને બીજા પ્રકારના $8$ બોક્સ ખરીદવા પડશે.

(A) એવી સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે જે $615$ અને $963$ ને ભાગતા દરેક કિસ્સામાં $6$ શેષ વધે,આપણે પહેલા બંને સંખ્યાઓમાંથી શેષ બાદ કરીશું.
$615 - 6 = 609$
$963 - 6 = 957$
હવે,આપણે $609$ અને $957$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધવો પડશે.
$609$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $3 \times 7 \times 29$
$957$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $3 \times 11 \times 29$
સામાન્ય અવયવો $3$ અને $29$ છે.
$HCF = 3 \times 29 = 87$.
તેથી,સૌથી મોટી સંખ્યા $87$ છે.

(B) $626$,$3127$ અને $15628$ ને ભાગતા અનુક્રમે $1$,$2$ અને $3$ શેષ વધે તેવી સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે આપેલી સંખ્યાઓમાંથી તેમની શેષ બાદ કરીશું:
$626 - 1 = 625$
$3127 - 2 = 3125$
$15628 - 3 = 15625$
હવે,આપણે $625$,$3125$ અને $15625$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) શોધવો પડશે.
$625$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $5^4$
$3125$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $5^5$
$15625$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $5^6$
ગુ.સા.અ. એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે,જે $5^4 = 625$ છે.
તેથી,સૌથી મોટી સંખ્યા $625$ છે.

(C) ત્રણેય પરિમાણો ($15\,m$,$12\,m$ અને $21\,m$) ને ચોકસાઈથી માપી શકે તેવા સૌથી લાંબા સળિયાની લંબાઈ શોધવા માટે,આપણે આ ત્રણ સંખ્યાઓનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધવો પડશે.
પગલું $1$: દરેક પરિમાણના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$15 = 3 \times 5$
$12 = 2^2 \times 3$
$21 = 3 \times 7$
પગલું $2$: સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો ઓળખો.
$15$,$12$ અને $21$ માં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ માત્ર $3$ છે.
પગલું $3$: $HCF$ એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
$HCF(15, 12, 21) = 3$.
તેથી,પરિમાણોને ચોકસાઈથી માપી શકે તેવા સૌથી લાંબા સળિયાની લંબાઈ $3\,m$ છે.

(D) $15$,$55$ અને $99$ વડે ભાગી શકાય તેવી પાંચ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
પગલું $1$: સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$15 = 3 \times 5$
$55 = 5 \times 11$
$99 = 3^2 \times 11$
પગલું $2$: દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાત લઈને $LCM$ ની ગણતરી કરો:
$LCM(15, 55, 99) = 3^2 \times 5 \times 11 = 9 \times 5 \times 11 = 495$.
પગલું $3$: પાંચ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા $10000$ છે.
$10000$ ને $495$ વડે ભાગતા:
$10000 \div 495 = 20.202...$
પગલું $4$: પાંચ અંકનો સૌથી નાનો ગુણક શોધવા માટે,આપણે તેના પછીનો પૂર્ણાંક ભાગફળ લઈએ છીએ,જે $21$ છે.
$495 \times 21 = 10395$.
આમ,$15$,$55$ અને $99$ વડે ભાગી શકાય તેવી પાંચ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા $10395$ છે.

(A) ઘંટ ક્યારે એકસાથે વાગશે તે શોધવા માટે,આપણે $8$,$12$,$15$ અને $18$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$8 = 2^3$
$12 = 2^2 \times 3$
$15 = 3 \times 5$
$18 = 2 \times 3^2$
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$ સેકન્ડ.
આનો અર્થ એ છે કે ઘંટ દર $360$ સેકન્ડે એકસાથે વાગે છે,જે $360 / 60 = 6$ મિનિટ થાય છે.
એક કલાકમાં ($60$ મિનિટ),તેઓ કેટલી વાર એકસાથે વાગશે તે $60 / 6 = 10$ વખત છે.
શરૂઆતની એક વખતને બાદ કરતાં,કુલ સંખ્યા $10$ રહે છે.

(B) ધારો કે બે ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ અને $n+1$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{N}$ છે.
$n$ અને $n+1$ નો કોઈપણ સામાન્ય અવયવ તેમના તફાવતને પણ ભાગી શકે છે.
તેમનો તફાવત $(n+1) - n = 1$ છે.
$1$ નો એકમાત્ર ધન અવયવ $1$ છે.
તેથી,$n$ અને $n+1$ નો ગુરૂત્તમ સામાન્ય અવયવ $(\text{g.c.d.})$ $1$ થાય છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમના $\text{g.c.d.}$ (ગુ.સા.અ.) અને $\text{l.c.m.}$ (લ.સા.અ.) વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\text{g.c.d.}(a, b) \times \text{l.c.m.}(a, b) = a \times b$
અહીં આપેલ છે કે $\text{g.c.d.} = 18$ અને બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $(a \times b) = 6480$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$18 \times \text{l.c.m.} = 6480$
$\text{l.c.m.} = \frac{6480}{18}$
$\text{l.c.m.} = 360$
તેથી,બે સંખ્યાઓનો $\text{l.c.m.}$ $360$ છે.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,અવિભાજ્ય સંખ્યા એ $1$ કરતા મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેના $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય અન્ય કોઈ ધન અવયવો નથી.
કારણ કે $k_{1}$ અને $k_{2}$ બે ભિન્ન અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો છે,તેથી તેમની વચ્ચે $1$ સિવાય કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
કોઈપણ બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,તેમનો $\text{H.C.F.}$ (ગુ.સા.અ.) અને $\text{L.C.M.}$ (લ.સા.અ.) વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $a \times b = \text{H.C.F.}(a, b) \times \text{L.C.M.}(a, b)$.
અહીં $k_{1}$ અને $k_{2}$ ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,તેમનો $\text{H.C.F.}(k_{1}, k_{2}) = 1$ થાય.
તેથી,$k_{1} \times k_{2} = 1 \times \text{L.C.M.}(k_{1}, k_{2})$.
આમ,$\text{L.C.M.}(k_{1}, k_{2}) = k_{1} k_{2}$ થાય.

(C) $24$ અને $63$ નો $\text{g.c.d.}$ (ગુરૂત્તમ સામાન્ય અવયવ) શોધવા માટે,આપણે બંને સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$24 = 2^3 \times 3^1$
$63 = 3^2 \times 7^1$
$\text{g.c.d.}$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ $3$ છે.
બંનેમાં $3$ ની સૌથી નાની ઘાત $3^1 = 3$ છે.
તેથી,$\text{g.c.d.}$ $(24, 63) = 3$.

(D) $36$ અને $94$ નો $\text{l.c.m.}$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$36 = 2^2 \times 3^2$
$94 = 2 \times 47$
$\text{l.c.m.}$ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{l.c.m.} = 2^2 \times 3^2 \times 47$
$\text{l.c.m.} = 4 \times 9 \times 47$
$\text{l.c.m.} = 36 \times 47 = 1692$

(D) $12$ અને $40$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (g.c.d.) નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$12$ ના અવિભાજ્ય અવયવો: $12 = 2^2 \times 3^1$.
$40$ ના અવિભાજ્ય અવયવો: $40 = 2^3 \times 5^1$.
ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે: $2^2 = 4$.
આપેલ સમીકરણ: $\text{g.c.d.}(12, 40) = 40 + 4x$.
કિંમત મૂકતા: $4 = 40 + 4x$.
બંને બાજુથી $40$ બાદ કરતા: $4 - 40 = 4x$.
$-36 = 4x$.
$4$ વડે ભાગતા: $x = -9$.

(A) અપૂર્ણાંક $\frac{6}{15}$ નું દશાંશ સ્વરૂપ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $3$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ મેળવીએ.
$\frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$.
હવે,$\frac{2}{5}$ ને દશાંશમાં ફેરવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદ બંનેને $2$ વડે ગુણીએ જેથી છેદ $10$ થાય:
$\frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} = 0.4$.
તેથી,$\frac{6}{15}$ નું દશાંશ સ્વરૂપ $0.4$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ અને લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\text{GCD}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$
આપેલ છે કે $a = 336$ અને $b = 52$.
સૌ પ્રથમ,$336$ અને $52$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીએ:
$336 = 2^4 \times 3 \times 7$
$52 = 2^2 \times 13$
તેથી,$\text{GCD}(336, 52) = 2^2 = 4$.
હવે,સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$4 \times \text{LCM}(336, 52) = 336 \times 52$
$\text{LCM}(336, 52) = \frac{336 \times 52}{4}$
$\text{LCM}(336, 52) = 84 \times 52 = 4368$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) $115$ અને $25$ નો $L.C.M.$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$115 = 5 \times 23$
$25 = 5 \times 5 = 5^2$
$L.C.M.$ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$L.C.M.(115, 25) = 5^2 \times 23$
$L.C.M.(115, 25) = 25 \times 23 = 575$

(C) $28$,$35$ અને $91$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) શોધવા માટે,આપણે દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$28 = 2^2 \times 7$
$35 = 5 \times 7$
$91 = 7 \times 13$
ગુ.સા.અ. એ દરેક સંખ્યામાં રહેલા સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં,સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ માત્ર $7$ છે અને તેની સૌથી નાની ઘાત $7^1$ છે.
તેથી,ગુ.સા.અ. $(28, 35, 91) = 7$.

(B) કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ તેમના ગુ.સા.અ. ($G$.$C$.$D$.) અને લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) વચ્ચે એક સંબંધ છે.
ચોક્કસ રીતે,ગુ.સા.અ. $(a, b)$ અને લ.સા.અ. $(a, b)$ નો ગુણાકાર તે બે સંખ્યાઓના ગુણાકાર જેટલો થાય છે.
તેથી,$\text{G.C.D.}(a, b) \times \text{L.C.M.}(a, b) = a \times b = ab$.

(A) $15, 21$ અને $35$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
$35 = 5 \times 7$
$LCM$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM(15, 21, 35) = 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 3 \times 5 \times 7 = 105$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) $40, 60$ અને $80$ નો લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધવા માટે,આપણે દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$40 = 2^3 \times 5^1$
$60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
$80 = 2^4 \times 5^1$
લ.સા.અ. એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^4 \times 3^1 \times 5^1$
$LCM = 16 \times 3 \times 5$
$LCM = 16 \times 15 = 240$

(D) $20, 30$ અને $40$ વડે ભાગતા $5$ શેષ વધે તેવી સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ભાજકોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડે.
$LCM(20, 30, 40)$:
$20 = 2^2 \times 5$
$30 = 2 \times 3 \times 5$
$40 = 2^3 \times 5$
$LCM = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.
સંખ્યા $(LCM \times k) + \text{શેષ}$ ના સ્વરૂપમાં હોવી જોઈએ.
અહીં,$LCM = 120$ અને $\text{શેષ} = 5$ છે.
તેથી,સંખ્યા $= 120k + 5$.
$5$ કરતા મોટી સૌથી નાની ધન સંખ્યા માટે,આપણે $k = 1$ લઈએ.
સંખ્યા $= 120(1) + 5 = 125$.

(C) $24, 36$ અને $48$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સૌથી નાની ધન સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$24 = 2^3 \times 3^1$
$36 = 2^2 \times 3^2$
$48 = 2^4 \times 3^1$
પગલું $2$: $LCM$ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^4 \times 3^2$
$LCM = 16 \times 9 = 144$
તેથી,જરૂરી સૌથી નાની સંખ્યા $144$ છે.

(D) $2$ થી $6$ સુધીની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $2, 3, 4, 5$ અને $6$ છે.
આ તમામ સંખ્યાઓ વડે ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની ધન સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $2, 3, 4, 5$ અને $6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડે.
દરેક સંખ્યાનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$2 = 2^1$
$3 = 3^1$
$4 = 2^2$
$5 = 5^1$
$6 = 2^1 \times 3^1$
દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાત લેતા:
$LCM = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
તેથી,$60$ એ $2, 3, 4, 5$ અને $6$ વડે ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની ધન સંખ્યા છે.

(B) $2$ થી $10$ સુધીની દરેક સંખ્યા વડે ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની ધન સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડે.
પ્રથમ,દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો લખીએ:
$2 = 2^1$
$3 = 3^1$
$4 = 2^2$
$5 = 5^1$
$6 = 2 \times 3$
$7 = 7^1$
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$10 = 2 \times 5$
$LCM$ શોધવા માટે દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર કરીએ:
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
$LCM = 8 \times 9 \times 5 \times 7$
$LCM = 72 \times 35 = 2520$.
આમ,$2$ થી $10$ સુધીની દરેક સંખ્યા વડે ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની ધન સંખ્યા $2520$ છે.

(C) સંખ્યાઓના મૂળભૂત ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમનો $\text{g.c.d.}$ (ગુ.સા.અ.) અને $\text{l.c.m.}$ (લ.સા.અ.) નો ગુણાકાર તે સંખ્યાઓના ગુણાકાર જેટલો થાય છે.
સૂત્ર: $\text{g.c.d.}(a, b) \times \text{l.c.m.}(a, b) = a \times b$.
અહીં,$a = 18$ અને $b = 24$ છે.
તેથી,$\text{g.c.d.}(18, 24) \times \text{l.c.m.}(18, 24) = 18 \times 24$.
ગુણાકાર કરતા: $18 \times 24 = 432$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ ના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (g.c.d.) અને લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (l.c.m.) વચ્ચેનો મૂળભૂત સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\text{l.c.m.} (a, b) \times \text{g.c.d.} (a, b) = a \times b$
અહીં આપેલ છે કે $\text{g.c.d.} (a, b) = b$,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{l.c.m.} (a, b) \times b = a \times b$
બંને બાજુ $b$ વડે ભાગતા (કારણ કે $b \in N$,$b \neq 0$):
$\text{l.c.m.} (a, b) = \frac{a \times b}{b} = a$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) બે પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (g.c.d.),જેને $d = \text{gcd}(a, b)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે સૌથી મોટો ધન પૂર્ણાંક છે જે $a$ અને $b$ બંનેને ભાગે છે.
$1$. વ્યાખ્યા મુજબ,$d$ એ $a$ અને $b$ બંનેને ભાગવો જોઈએ,તેથી $d \mid a$ અને $d \mid b$ સત્ય છે.
$2$. $a$ અને $b$ નો કોઈપણ સામાન્ય અવયવ $c$ એ ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $d$ કરતા નાનો અથવા તેના જેટલો જ હોવો જોઈએ. તેથી,$c \leqslant d$ સત્ય છે.
$3$. ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવના ગુણધર્મ મુજબ,$a$ અને $b$ નો કોઈપણ સામાન્ય અવયવ $c$ એ તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $d$ ને પણ ભાગે છે. તેથી,$c \mid d$ સત્ય છે.
$4$. વિધાન $c > d$ અસત્ય છે કારણ કે જો $c$ એ સામાન્ય અવયવ હોય,તો તે ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $d$ કરતા મોટો હોઈ શકે નહીં.

(B) આ ઉકેલવા માટે,આપણે દરેક જોડી માટે લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) અને ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$1$. $\text{લ.સા.અ.}(8, 16, 24)$:
અવિભાજ્ય અવયવો: $8 = 2^3$,$16 = 2^4$,$24 = 2^3 \times 3^1$.
લ.સા.અ. = $2^4 \times 3^1 = 16 \times 3 = 48$. ($b$ સાથે મેળ ખાય છે)
$2$. $\text{ગુ.સા.અ.}(8, 16, 24)$:
સામાન્ય અવયવો: $8 = 2^3$,$16 = 2^4$,$24 = 2^3 \times 3^1$.
ગુ.સા.અ. = $2^3 = 8$. ($c$ સાથે મેળ ખાય છે)
$3$. $\text{લ.સા.અ.}(6, 12, 18)$:
અવિભાજ્ય અવયવો: $6 = 2 \times 3$,$12 = 2^2 \times 3$,$18 = 2 \times 3^2$.
લ.સા.અ. = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$. ($a$ સાથે મેળ ખાય છે)
$4$. $\text{ગુ.સા.અ.}(6, 12, 18)$:
સામાન્ય અવયવો: $6 = 2 \times 3$,$12 = 2^2 \times 3$,$18 = 2 \times 3^2$.
ગુ.સા.અ. = $2^1 \times 3^1 = 6$. ($e$ સાથે મેળ ખાય છે)
આમ,સાચી જોડ $(1-b), (2-c), (3-a), (4-e)$ છે.

(D) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
તેથી,સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો લ.સા.અ. $4$ છે.

(B) બે સંખ્યાઓનો $HCF$ હંમેશા તેમના $LCM$ ને નિઃશેષ ભાગે છે.
આપેલ છે કે $HCF(a, b) = 16$.
દરેક વિકલ્પને $16$ વડે ભાગી શકાય છે કે નહીં તે તપાસીએ:
$A) 32 / 16 = 2$ (ભાગી શકાય છે)
$B) 72 / 16 = 4.5$ (ભાગી શકાતું નથી)
$C) 64 / 16 = 4$ (ભાગી શકાય છે)
$D) 96 / 16 = 6$ (ભાગી શકાય છે)
આમ,$72$ એ $16$ વડે વિભાજ્ય ન હોવાથી,તે $a$ અને $b$ નો $LCM$ હોઈ શકે નહીં.

(D) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
તેથી,સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો લ.સા.અ. $4$ છે.

(C) ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $a, b, c$ માટે,ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) $1$ છે,કારણ કે $1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) એ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર થાય છે,જે $a \times b \times c = abc$ છે.
તેથી,ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. નો ગુણોત્તર $\frac{\text{ગુ.સા.અ.}}{\text{લ.સા.અ.}} = \frac{1}{abc}$ થાય.
આને $1: abc$ ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(A) $HCF$ અને $LCM$ નો મૂળભૂત ગુણધર્મ એ છે કે બે સંખ્યાઓનો $LCM$ તેમના $HCF$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવો હોવો જોઈએ.
અહીં $HCF(a, b) = 12$ આપેલ છે.
દરેક વિકલ્પને તપાસીએ કે શું તે $12$ વડે ભાગી શકાય છે:
$(A)$ $90 \div 12 = 7.5$ (નિઃશેષ ભાગી શકાતું નથી)
$(B)$ $24 \div 12 = 2$ (ભાગી શકાય છે)
$(C)$ $48 \div 12 = 4$ (ભાગી શકાય છે)
$(D)$ $36 \div 12 = 3$ (ભાગી શકાય છે)
આમ, $90$ એ $12$ વડે ભાગી શકાતું ન હોવાથી, તે $LCM(a, b)$ હોઈ શકે નહીં.

(B) સૌ પ્રથમ,$65$ અને $117$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો.
$65 = 5 \times 13$
$117 = 9 \times 13 = 3^2 \times 13$
$\text{HCF}(65, 117)$ એ સામાન્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાત છે,જે $13$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $\text{HCF}(65, 117) = 65m - 117$
$\text{HCF}$ ની કિંમત મૂકતા:
$13 = 65m - 117$
બંને બાજુ $117$ ઉમેરતા:
$13 + 117 = 65m$
$130 = 65m$
$65$ વડે ભાગતા:
$m = \frac{130}{65} = 2$
આમ,$m$ ની કિંમત $2$ છે.

(C) બે સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. (લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી) એ સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક છે જે બંને સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
અહીં $p$ અને $q$ ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,$1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
તેથી,બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. તેમનો ગુણાકાર થાય છે.
આમ,$LCM(p, q) = p \times q = pq$.

(A) $LCM(26, 91)$ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
$LCM$ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM(26, 91) = 2 \times 7 \times 13 = 182$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) અવિભાજ્ય સંખ્યા એ $1$ કરતા મોટી એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા પોતે સિવાય અન્ય કોઈ ધન અવયવ હોતા નથી.
અહીં $m$ અને $n$ ભિન્ન અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો હોવાથી,$1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) હંમેશા $1$ હોય છે,કારણ કે તેમનો એકમાત્ર સામાન્ય અવયવ $1$ છે.
તેથી,$m$ અને $n$ નો ગુ.સા.અ. $1$ છે.

(B) કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમનો $LCM(a, b)$ હંમેશા તેમના $HCF(a, b)$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે.
અહીં,$HCF(a, b) = 25$ આપેલ છે.
તેથી,$LCM(a, b)$ એ $25$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $50 = 25 \times 2$ (શક્ય છે)
$(B)$ $105$ ને $25$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાતા નથી $(105 / 25 = 4.2)$ (અશક્ય છે)
$(C)$ $100 = 25 \times 4$ (શક્ય છે)
$(D)$ $25 = 25 \times 1$ (શક્ય છે)
આમ,$105$ એ $LCM$ હોઈ શકે નહીં.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,$a \times b = LCM(a, b) \times GCD(a, b)$ સંબંધ સાચો છે.
અહીં આપેલ છે કે $LCM(a, b) = a \times b$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $a \times b = (a \times b) \times GCD(a, b)$ મળે છે.
બંને બાજુઓને $a \times b$ વડે ભાગતા,આપણને $GCD(a, b) = 1$ મળે છે.
તેથી,સાચો જવાબ $1$ છે.

(A) $12$,$15$ અને $21$ નો ગુ.સા.અ. (ગુરૂત્તમ સામાન્ય અવયવ) શોધવા માટે,આપણે દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ માત્ર $3$ છે અને તેની સૌથી નાની ઘાત $3^1$ છે.
તેથી,ગુ.સા.અ. $(12, 15, 21) = 3$.