HCF and LCM by Prime Factorisation Questions in Gujarati

(N/A) અહીં $12576 > 4052$ હોવાથી,આપણે $12576$ અને $4052$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$12576 = 4052 \times 3 + 420$
અહીં શેષ $420 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $4052$ અને $420$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$4052 = 420 \times 9 + 272$
અહીં શેષ $272 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $420$ અને $272$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$420 = 272 \times 1 + 148$
અહીં શેષ $148 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $272$ અને $148$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$272 = 148 \times 1 + 124$
અહીં શેષ $124 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $148$ અને $124$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$148 = 124 \times 1 + 24$
અહીં શેષ $24 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $124$ અને $24$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$124 = 24 \times 5 + 4$
અહીં શેષ $4 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $24$ અને $4$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$24 = 4 \times 6 + 0$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી પ્રક્રિયા અહીં પૂર્ણ થાય છે. આ તબક્કે ભાજક $4$ છે. તેથી,$12576$ અને $4052$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ $4$ છે.

(D) ટ્રેની જગ્યા ઘટાડવા માટે,આપણે દરેક થપ્પીમાં બરફીની સંખ્યા મહત્તમ કરવી પડશે. આ $420$ અને $130$ ના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધવા સમાન છે.
યુક્લિડની ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$420 = 130 \times 3 + 30$
$130 = 30 \times 4 + 10$
$30 = 10 \times 3 + 0$
$420$ અને $130$ નો $HCF$ $10$ છે.
તેથી,મીઠાઈવાળો ટ્રેમાં રોકાતી જગ્યા ઘટાડવા માટે દરેક થપ્પીમાં $10$ બરફી મૂકી શકે છે.

(A) $135$ અને $225$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ યુક્લિડની ભાગાકારની રીતથી શોધવા માટે:
અહીં $225 > 135$ હોવાથી,$225$ અને $135$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$225 = 135 \times 1 + 90$
અહીં શેષ $90 \neq 0$ હોવાથી,$135$ અને $90$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$135 = 90 \times 1 + 45$
હવે,નવો ભાજક $90$ અને નવી શેષ $45$ લેતા,ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$90 = 45 \times 2 + 0$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી પ્રક્રિયા અહીં પૂર્ણ થાય છે.
આ તબક્કે ભાજક $45$ હોવાથી,$135$ અને $225$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ $45$ છે.

(B) $196$ અને $38220$ નો $HCF$ યુક્લિડની ભાગવિધિ દ્વારા શોધવા માટે:
અહીં $38220 > 196$ હોવાથી,આપણે $38220$ અને $196$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$38220 = 196 \times 195 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,પ્રક્રિયા અહીં અટકે છે.
આ તબક્કે ભાજક $196$ છે.
તેથી,$196$ અને $38220$ નો $HCF$ $196$ છે.

(C) આપેલ સંખ્યાઓ $867$ અને $255$ છે.
અહીં $867 > 255$ હોવાથી,આપણે $867$ અને $255$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$867 = 255 \times 3 + 102$
અહીં શેષ $102 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $255$ અને $102$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$255 = 102 \times 2 + 51$
અહીં શેષ $51 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $102$ અને $51$ માટે ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$102 = 51 \times 2 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,પ્રક્રિયા પૂર્ણ થાય છે.
આ તબક્કે ભાજક $51$ છે.
તેથી,$867$ અને $255$ નો $HCF$ $51$ છે.

(A) તેઓ જે મહત્તમ સ્તંભોમાં કૂચ કરી શકે છે તે સંખ્યા $616$ અને $32$ ના ગુ.સા.અ. $(HCF)$ દ્વારા મળે છે.
ગુ.સા.અ. શોધવા માટે આપણે યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$616 = 32 \times 19 + 8$
$32 = 8 \times 4 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,$616$ અને $32$ નો ગુ.સા.અ. $8$ છે.
તેથી,તેઓ મહત્તમ $8$ સ્તંભોમાં કૂચ કરી શકે છે.

(N/A) સૌ પ્રથમ,આપણે આપેલી સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ:
$6 = 2^1 \times 3^1$
$20 = 2^2 \times 5^1$
$HCF$ શોધવા માટે,આપણે દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$HCF(6, 20) = 2^1 = 2$
$LCM$ શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$LCM(6, 20) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$
આમ,$HCF$ $2$ છે અને $LCM$ $60$ છે.

(B) $96$ અને $404$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ નીચે મુજબ છે:
$96 = 2^5 \times 3$
$404 = 2^2 \times 101$
$HCF$ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$HCF(96, 404) = 2^2 = 4$
સંબંધ $LCM(a, b) \times HCF(a, b) = a \times b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$LCM(96, 404) = \frac{96 \times 404}{HCF(96, 404)}$
$LCM(96, 404) = \frac{96 \times 404}{4}$
$LCM(96, 404) = 96 \times 101 = 9696$

(C) આપેલ સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ નીચે મુજબ છે:
$6 = 2^1 \times 3^1$
$72 = 2^3 \times 3^2$
$120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
ગુ.સા.અ. $(HCF)$ શોધવા માટે,આપણે દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$HCF(6, 72, 120) = 2^1 \times 3^1 = 6$
લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$LCM(6, 72, 120) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 = 8 \times 9 \times 5 = 360$
આમ,ગુ.સા.અ. $6$ છે અને લ.સા.અ. $360$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,આપેલી સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
$HCF$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$HCF = 13$
$LCM$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2 \times 7 \times 13 = 182$
હવે,સંબંધ ચકાસો:
બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $= 26 \times 91 = 2366$
$HCF \times LCM = 13 \times 182 = 2366$
આમ,$2366 = 2366$ હોવાથી,$LCM \times HCF =$ બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર સંબંધ ચકાસાય છે.

(B) સૌ પ્રથમ,આપેલી સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધો:
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2^2 \times 23 = 2 \times 2 \times 23$
$HCF$ શોધવા માટે,દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર લો:
$HCF = 2^1 = 2$
$LCM$ શોધવા માટે,દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર લો:
$LCM = 2^2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 4 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 23460$
હવે,સંબંધ ચકાસો:
બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $= 510 \times 92 = 46920$
$HCF \times LCM = 2 \times 23460 = 46920$
આમ,$46920 = 46920$ હોવાથી,$LCM \times HCF =$ બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર સંબંધ ચકાસાય છે.

(C) સૌ પ્રથમ,સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધો:
$336 = 2^4 \times 3 \times 7$
$54 = 2 \times 3^3$
$HCF$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$HCF = 2^1 \times 3^1 = 6$
$LCM$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^4 \times 3^3 \times 7 = 16 \times 27 \times 7 = 3024$
હવે,સંબંધ ચકાસો:
બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $= 336 \times 54 = 18144$
$LCM \times HCF = 3024 \times 6 = 18144$
આમ,$18144 = 18144$ હોવાથી,સંબંધ ચકાસાય છે.

(D) $12, 15$ અને $21$ નો $LCM$ અને $HCF$ અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીત દ્વારા શોધવા માટે:
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો.
$12 = 2^{2} \times 3$
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
પગલું $2$: $HCF$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ માત્ર $3$ છે,અને તેની સૌથી નાની ઘાત $3^{1}$ છે.
તેથી,$HCF = 3$.
પગલું $3$: $LCM$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સમાવિષ્ટ અવિભાજ્ય અવયવો $2, 3, 5$ અને $7$ છે.
તેમની સૌથી મોટી ઘાતો $2^{2}, 3^{1}, 5^{1}$ અને $7^{1}$ છે.
$LCM = 2^{2} \times 3^{1} \times 5^{1} \times 7^{1} = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$.

(A) $17, 23$ અને $29$ નો અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતથી $LCM$ અને $HCF$ શોધવા માટે:
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ લખો.
$17 = 1 \times 17$
$23 = 1 \times 23$
$29 = 1 \times 29$
પગલું $2$: $HCF$ શોધો.
$HCF$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં $1$ સિવાય કોઈ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ નથી,તેથી $HCF = 1$.
પગલું $3$: $LCM$ શોધો.
$LCM$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે.
$LCM = 17 \times 23 \times 29 = 11339$.
આમ,$HCF = 1$ અને $LCM = 11339$ છે.

(B) $8, 9$ અને $25$ નો $LCM$ અને $HCF$ અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતથી શોધવા માટે:
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ લખો:
$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
$9 = 3 \times 3 = 3^2$
$25 = 5 \times 5 = 5^2$
પગલું $2$: $HCF$ (ગુરૂત્તમ સામાન્ય અવયવ) શોધો:
$HCF$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે. અહીં $1$ સિવાય કોઈ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ નથી,તેથી $HCF = 1$.
પગલું $3$: $LCM$ (લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી) શોધો:
$LCM$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^2$
$LCM = 8 \times 9 \times 25$
$LCM = 72 \times 25 = 1800$
આમ,$LCM = 1800$ અને $HCF = 1$ છે.

(C) આપણને આપેલ છે કે $HCF (306, 657) = 9$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સંખ્યાઓ,તેમના $HCF$ અને તેમના $LCM$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$LCM (a, b) \times HCF (a, b) = a \times b$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$LCM (306, 657) \times 9 = 306 \times 657$
$LCM$ શોધવા માટે,સંખ્યાઓના ગુણાકારને તેમના $HCF$ વડે ભાગો:
$LCM (306, 657) = \frac{306 \times 657}{9}$
પ્રથમ,$306$ ને $9$ વડે ભાગતા:
$306 \div 9 = 34$
હવે,પરિણામનો $657$ સાથે ગુણાકાર કરતા:
$LCM (306, 657) = 34 \times 657 = 22338$
તેથી,$LCM (306, 657)$ એ $22338$ છે.

(B) સોનિયા અને રવિ ફરીથી શરૂઆતના બિંદુ પર ક્યારે મળશે તે શોધવા માટે,આપણે તેઓને એક આંટો પૂરો કરવા માટે લાગતા સમયનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
સોનિયાને $18$ મિનિટ લાગે છે અને રવિને $12$ મિનિટ લાગે છે.
$18$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2 \times 3^2$.
$12$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2^2 \times 3$.
$LCM(18, 12) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.
તેથી,તેઓ $36$ મિનિટ પછી ફરીથી શરૂઆતના બિંદુ પર મળશે.

(B) યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરીને $65$ અને $117$ નો ગુ.સા.અ. શોધતા:
$117 = 65 \times 1 + 52$
$65 = 52 \times 1 + 13$
$52 = 13 \times 4 + 0$
તેથી,$HCF(65, 117) = 13$ મળે છે.
આપેલ છે કે ગુ.સા.અ. ને $65m - 117$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી:
$65m - 117 = 13$
$65m = 13 + 117$
$65m = 130$
$m = \frac{130}{65}$
$m = 2$

(C) અહીં $70$ અને $125$ ને કોઈ સંખ્યા વડે ભાગતા અનુક્રમે $5$ અને $8$ શેષ વધે છે.
આ શેષને આપેલી સંખ્યાઓમાંથી બાદ કરતા આપણને મળે છે:
$70 - 5 = 65$
$125 - 8 = 117$
માંગેલ સંખ્યા એ $65$ અને $117$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ છે.
યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરતા:
$117 = 65 \times 1 + 52$
$65 = 52 \times 1 + 13$
$52 = 13 \times 4 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,ગુ.સા.અ. $13$ મળે છે.
તેથી,$13$ એ સૌથી મોટી સંખ્યા છે જે $70$ અને $125$ ને ભાગતા અનુક્રમે $5$ અને $8$ શેષ આપે છે.

(D) આપેલ છે કે,$a = x^3 y^2 = x \times x \times x \times y \times y$.
અને $b = x y^3 = x \times y \times y \times y$.
બે સંખ્યાઓનો $HCF$ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં,સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો $x$ અને $y$ છે.
$x$ ની સૌથી નાની ઘાત $x^1$ છે અને $y$ ની સૌથી નાની ઘાત $y^2$ છે.
તેથી,$HCF(a, b) = x^1 \times y^2 = x y^2$.

(A) આપેલ છે કે,$p = a b^{2}$ અને $q = a^{3} b$,જ્યાં $a$ અને $b$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
$LCM(p, q)$ શોધવા માટે,આપણે અભિવ્યક્તિઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાત લઈએ છીએ.
અહીં અવિભાજ્ય અવયવો $a$ અને $b$ છે.
$a$ ની મહત્તમ ઘાત $a^{3}$ છે (જે $q$ માં છે).
$b$ ની મહત્તમ ઘાત $b^{2}$ છે (જે $p$ માં છે).
તેથી,$LCM(p, q) = a^{3} \times b^{2} = a^{3} b^{2}$.

(C) $1$ થી $10$ સુધીની તમામ સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
$1$ થી $10$ સુધીની દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો:
$1 = 1$
$2 = 2^1$
$3 = 3^1$
$4 = 2^2$
$5 = 5^1$
$6 = 2^1 \times 3^1$
$7 = 7^1$
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$10 = 2^1 \times 5^1$
$LCM$ શોધવા માટે,આપણે દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર કરીશું:
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
$LCM = 8 \times 9 \times 5 \times 7$
$LCM = 72 \times 35 = 2520$
આમ,$1$ થી $10$ સુધીની તમામ સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સૌથી નાની સંખ્યા $2520$ છે.

(A) $HCF$ (ગુરૂત્તમ સામાન્ય અવયવ) એ સૌથી મોટી સંખ્યા છે જે આપેલી બંને સંખ્યાઓને ભાગી શકે છે.
આપેલ છે કે $525$ અને $3000$ એ $3, 5, 15, 25$ અને $75$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી આમાં સૌથી મોટી સંખ્યા $75$ છે.
યુક્લિડની ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને સમર્થન:
$3000 = 525 \times 5 + 375$
$525 = 375 \times 1 + 150$
$375 = 150 \times 2 + 75$
$150 = 75 \times 2 + 0$
જ્યારે ભાજક $75$ હોય ત્યારે શેષ $0$ મળે છે,તેથી $HCF(525, 3000) = 75$ થાય છે.

(B) બે સંખ્યાઓ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,તેમનો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ $1$ હોવો જોઈએ. આપણે યુક્લિડની ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$396 = 231 \times 1 + 165$
$231 = 165 \times 1 + 66$
$165 = 66 \times 2 + 33$
$66 = 33 \times 2 + 0$
અહીં ગુ.સા.અ. $33$ છે (જે $1$ નથી),તેથી સંખ્યાઓ $231$ અને $396$ પરસ્પર અવિભાજ્ય નથી.

(B) $847$ અને $2160$ નો $HCF$ યુક્લિડની ભાગાકારની રીત દ્વારા શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
$2160 = 847 \times 2 + 466$
$847 = 466 \times 1 + 381$
$466 = 381 \times 1 + 85$
$381 = 85 \times 4 + 41$
$85 = 41 \times 2 + 3$
$41 = 3 \times 13 + 2$
$3 = 2 \times 1 + 1$
$2 = 1 \times 2 + 0$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી આ તબક્કે ભાજક $1$ એ $HCF$ છે.
જો બે સંખ્યાઓનો $HCF$ $1$ હોય,તો તે સંખ્યાઓને પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ કહેવાય છે. આમ,$847$ અને $2160$ નો $HCF$ $1$ હોવાથી,તેઓ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.

(D) ધારો કે $a = 693$,$b = 567$,અને $c = 441$.
યુક્લિડની ભાગવિધિ મુજબ,$a = bq + r$,જ્યાં $0 \le r < b$.
પ્રથમ,આપણે $693$ અને $567$ નો $HCF$ શોધીએ:
$693 = 567 \times 1 + 126$
$567 = 126 \times 4 + 63$
$126 = 63 \times 2 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,$HCF(693, 567) = 63$ મળે છે.
હવે,આપણે મળેલા પરિણામ $(63)$ અને બાકી રહેલી સંખ્યા $(441)$ નો $HCF$ શોધીએ:
$441 = 63 \times 7 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,$HCF(63, 441) = 63$ મળે છે.
તેથી,$441, 567, 693$ નો $HCF$ $63$ છે.

(A) અહીં $1251, 9377$ અને $15628$ ને ભાગતા અનુક્રમે $1, 2$ અને $3$ શેષ વધે છે,તેથી આ શેષને આપેલી સંખ્યાઓમાંથી બાદ કરતા આપણને એવી સંખ્યાઓ મળે છે જે માંગેલી સંખ્યા વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે.
$1251 - 1 = 1250$
$9377 - 2 = 9375$
$15628 - 3 = 15625$
માંગેલ સંખ્યા એ $1250, 9375$ અને $15625$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ છે.
યુક્લિડની ભાગાકારની રીત $a = bq + r$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ,$15625$ અને $9375$ નો ગુ.સા.અ. શોધીએ:
$15625 = 9375 \times 1 + 6250$
$9375 = 6250 \times 1 + 3125$
$6250 = 3125 \times 2 + 0$
તેથી,$HCF(15625, 9375) = 3125$.
હવે,$3125$ અને $1250$ નો ગુ.સા.અ. શોધીએ:
$3125 = 1250 \times 2 + 625$
$1250 = 625 \times 2 + 0$
તેથી,$HCF(3125, 1250) = 625$.
આમ,$625$ એ સૌથી મોટી સંખ્યા છે જે $1251, 9377$ અને $15628$ ને ભાગતા અનુક્રમે $1, 2$ અને $3$ શેષ આપે છે.

(D) દરેક વ્યક્તિએ ઓછામાં ઓછું કેટલું અંતર ચાલવું જોઈએ જેથી દરેક વ્યક્તિ પૂર્ણ ડગલાંમાં સમાન અંતર કાપી શકે તે શોધવા માટે,આપણે ડગલાંના માપ $40\, cm$,$42\, cm$ અને $45\, cm$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
સૌ પ્રથમ,આપણે દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$40 = 2^3 \times 5$
$42 = 2 \times 3 \times 7$
$45 = 3^2 \times 5$
$LCM$ શોધવા માટે,આપણે દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાત લઈશું:
$LCM(40, 42, 45) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
$LCM = 8 \times 9 \times 5 \times 7$
$LCM = 72 \times 35$
$LCM = 2520$
તેથી,દરેક વ્યક્તિએ ઓછામાં ઓછું $2520\, cm$ અંતર ચાલવું જોઈએ.

(B) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં છે કે નહીં તે તપાસીએ છીએ,જ્યાં $n$ અને $m$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
પ્રથમ,અપૂર્ણાંક $\frac{77}{210}$ ને તેના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $7$ વડે ભાગીને સરળ બનાવો:
$\frac{77 \div 7}{210 \div 7} = \frac{11}{30}$.
હવે,છેદ $30$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$30 = 2 \times 3 \times 5$.
અહીં છેદના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અને $5$ સિવાય $3$ પણ આવે છે,તેથી આ સંમેય સંખ્યા $\frac{11}{30}$ નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત છે.

(D) સંમેય સંખ્યા $\frac{257}{5000}$ નો છેદ $5000$ છે.
પ્રથમ,આપણે $5000$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીએ:
$5000 = 5 \times 1000 = 5 \times 10^3 = 5 \times (2 \times 5)^3 = 5 \times 2^3 \times 5^3 = 2^3 \times 5^4$.
આ $2^m \times 5^n$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $m = 3$ અને $n = 4$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
પ્રત્યક્ષ ભાગાકાર કર્યા વગર દશાંશ અભિવ્યક્તિ મેળવવા માટે,આપણે $2$ અને $5$ ના ઘાતાંક સમાન કરીએ:
$\frac{257}{5000} = \frac{257}{2^3 \times 5^4}$.
ઘાતાંક $4$ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $2^1$ વડે ગુણીએ:
$\frac{257 \times 2}{2^3 \times 5^4 \times 2^1} = \frac{514}{2^4 \times 5^4} = \frac{514}{(2 \times 5)^4} = \frac{514}{10^4}$.
$\frac{514}{10000} = 0.0514$.
આમ,તેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ $0.0514$ છે.

(B) અહીં,$210 > 55$ છે.
યુક્લિડની ભાગવિધિનું પૂર્વપ્રમેય $a = bq + r$ લાગુ પાડતા:
$210 = 55 \times 3 + 45$
$55 = 45 \times 1 + 10$
$45 = 10 \times 4 + 5$
$10 = 5 \times 2 + 0$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
તેથી,$g.c.d.(210, 55) = 5$ થાય.

(A) ધારો કે દરેક થપ્પીમાં રહેલી બરફીની સંખ્યા $d$ છે.
દરેક થપ્પીમાં સમાન સંખ્યામાં બરફી હોવી જોઈએ,તેથી $d$ એ $420$ અને $130$ નો સામાન્ય અવયવ હોવો જોઈએ.
ટ્રેમાં ઓછામાં ઓછી જગ્યા રોકવા માટે,થપ્પીઓની સંખ્યા ન્યૂનતમ હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે દરેક થપ્પીમાં બરફીની સંખ્યા $(d)$ એ $420$ અને $130$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ હોવો જોઈએ.
યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરતા:
$420 = 130 \times 3 + 30$
$130 = 30 \times 4 + 10$
$30 = 10 \times 3 + 0$
છેલ્લો શૂન્યતર ભાજક $10$ છે.
તેથી,$GCD(420, 130) = 10$.
આમ,દરેક થપ્પીમાં વધુમાં વધુ $10$ બરફી રાખી શકાય છે.

(A) દરેક થપ્પીની ઊંચાઈ સમાન રહે અને થપ્પીઓની સંખ્યા ન્યૂનતમ થાય (જેથી સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ થાય) તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે અંગ્રેજી પુસ્તકો $(56)$ અને ગુજરાતી પુસ્તકો $(72)$ ની સંખ્યાનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ ($GCD$ અથવા ગુ.સા.અ.) શોધવો પડશે.
પગલું $1$: $56$ અને $72$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો.
$56 = 2^3 \times 7$
$72 = 2^3 \times 3^2$
પગલું $2$: $GCD$ એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
$GCD(56, 72) = 2^3 = 8$.
તેથી,દરેક થપ્પીમાં મૂકી શકાય તેવા પુસ્તકોની મહત્તમ સંખ્યા $8$ છે.

(A) યુક્લિડની ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $12576$ અને $4052$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: $12576 > 4052$ હોવાથી,આપણે $12576$ અને $4052$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$12576 = 4052 \times 3 + 420$
પગલું $2$: શેષ $420 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $4052$ અને $420$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$4052 = 420 \times 9 + 272$
પગલું $3$: શેષ $272 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $420$ અને $272$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$420 = 272 \times 1 + 148$
પગલું $4$: શેષ $148 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $272$ અને $148$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$272 = 148 \times 1 + 124$
પગલું $5$: શેષ $124 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $148$ અને $124$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$148 = 124 \times 1 + 24$
પગલું $6$: શેષ $24 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $124$ અને $24$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$124 = 24 \times 5 + 4$
પગલું $7$: શેષ $4 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $24$ અને $4$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$24 = 4 \times 6 + 0$
હવે શેષ $0$ હોવાથી,આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
તેથી,$12576$ અને $4052$ નો ગુ.સા.અ. $4$ છે.

(C) યુક્લિડની ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $117$ અને $65$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: $117 > 65$ હોવાથી,આપણે $117$ અને $65$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$117 = 65 \times 1 + 52$
પગલું $2$: શેષ $52 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $65$ અને $52$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$65 = 52 \times 1 + 13$
પગલું $3$: શેષ $13 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $52$ અને $13$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$52 = 13 \times 4 + 0$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
આમ,$117$ અને $65$ નો ગુ.સા.અ. $13$ છે.

(D) યુક્લિડની ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $240$ અને $6552$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: $6552$ અને $240$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$6552 = 240 \times 27 + 72$
પગલું $2$: $240$ અને $72$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$240 = 72 \times 3 + 24$
પગલું $3$: $72$ અને $24$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$72 = 24 \times 3 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
તેથી,$240$ અને $6552$ નો ગુ.સા.અ. $24$ છે.

(A) $155$ અને $1385$ નો ગુ.સા.અ. યુક્લિડની ભાગવિધિ દ્વારા શોધવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
પગલું $1$: $1385$ અને $155$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$1385 = 155 \times 8 + 145$
પગલું $2$: $155$ અને $145$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$155 = 145 \times 1 + 10$
પગલું $3$: $145$ અને $10$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$145 = 10 \times 14 + 5$
પગલું $4$: $10$ અને $5$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરતા:
$10 = 5 \times 2 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
તેથી,$155$ અને $1385$ નો ગુ.સા.અ. $5$ છે.

(B) યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરીને $75$ અને $243$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે $a = bq + r$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $0 \le r < b$ છે.
પગલું $1$: $243$ ને $75$ વડે ભાગતા:
$243 = 75 \times 3 + 18$
પગલું $2$: $75$ ને $18$ વડે ભાગતા:
$75 = 18 \times 4 + 3$
પગલું $3$: $18$ ને $3$ વડે ભાગતા:
$18 = 3 \times 6 + 0$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
આમ,$75$ અને $243$ નો ગુ.સા.અ. $3$ છે.

(C) $245$ અને $1029$ ને ભાગતા દરેક કિસ્સામાં $5$ શેષ વધે તેવી સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા બંને સંખ્યાઓમાંથી શેષ બાદ કરીશું:
$245 - 5 = 240$
$1029 - 5 = 1024$
હવે,આપણે $240$ અને $1024$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) શોધવો પડશે.
$240$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2^4 \times 3 \times 5$
$1024$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2^{10}$
ગુ.સા.અ. એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{ગુ}.\text{સા}.\text{અ}.(240, 1024) = 2^4 = 16$.
તેથી,સૌથી મોટી સંખ્યા $16$ છે.

(D) $2053$ અને $967$ ને ભાગતા અનુક્રમે $5$ અને $7$ શેષ વધે તેવી સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ આપેલી સંખ્યાઓમાંથી શેષ બાદ કરીશું.
$2053 - 5 = 2048$
$967 - 7 = 960$
હવે,આપણે $2048$ અને $960$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધવાની જરૂર છે.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$2048 = 2^{11}$
$960 = 2^6 \times 3 \times 5$
$HCF$ એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$HCF = 2^6 = 64$
તેથી,સૌથી મોટી સંખ્યા $64$ છે.

(A) આપેલ સંખ્યાઓ $a = 96$ અને $b = 404$ છે.
પ્રથમ,$96$ અને $404$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$96 = 2^5 \times 3$
$404 = 2^2 \times 101$
$g.c.d.(96, 404)$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$g.c.d.(96, 404) = 2^2 = 4$.
સૂત્ર $g.c.d.(a, b) \times l.c.m.(a, b) = a \times b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 \times l.c.m.(96, 404) = 96 \times 404$
$l.c.m.(96, 404) = \frac{96 \times 404}{4}$
$l.c.m.(96, 404) = 96 \times 101 = 9696$.

(B) આપેલ ગુણધર્મ: $g.c.d. (a, b) \times l.c.m. (a, b) = a \times b$.
પ્રથમ,$26$ અને $91$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો:
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
તેથી,$g.c.d. (26, 91) = 13$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $13 \times l.c.m. (26, 91) = 26 \times 91$.
$l.c.m. (26, 91) = \frac{26 \times 91}{13}$.
$l.c.m. (26, 91) = 2 \times 91 = 182$.

(A) ધારો કે દરેક થપ્પીમાં પુસ્તકોની સંખ્યા $d$ છે.
દરેક થપ્પીની ઊંચાઈ સમાન હોવી જોઈએ અને પુસ્તકોની જાડાઈ સમાન હોવાથી,$d$ એ $96, 240$ અને $336$ નો સામાન્ય અવયવ હોવો જોઈએ.
થપ્પીઓની સંખ્યા ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે દરેક થપ્પીમાં પુસ્તકોની સંખ્યા $d$ મહત્તમ કરવી પડશે. તેથી,$d = \text{ગુ.સા.અ.}(96, 240, 336)$.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$96 = 2^5 \times 3$
$240 = 2^4 \times 3 \times 5$
$336 = 2^4 \times 3 \times 7$
$\text{ગુ.સા.અ.}(96, 240, 336) = 2^4 \times 3 = 16 \times 3 = 48$.
આમ,દરેક થપ્પીમાં $48$ પુસ્તકો છે.
અંગ્રેજી પુસ્તકોની થપ્પીઓની સંખ્યા $= \frac{96}{48} = 2$.
હિન્દી પુસ્તકોની થપ્પીઓની સંખ્યા $= \frac{240}{48} = 5$.
ગણિતના પુસ્તકોની થપ્પીઓની સંખ્યા $= \frac{336}{48} = 7$.
તેથી,થપ્પીઓની સંખ્યા અનુક્રમે $2, 5$ અને $7$ છે.

(N/A) પગલું $1$: $96$ ના અવિભાજ્ય અવયવો:
$96 = 2^5 \times 3^1$
પગલું $2$: $404$ ના અવિભાજ્ય અવયવો:
$404 = 2^2 \times 101^1$
પગલું $3$: $\text{g.c.d.}$ (ગુ.સા.અ.) એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{g.c.d.}(96, 404) = 2^2 = 4$
પગલું $4$: $\text{l.c.m.}$ (લ.સા.અ.) એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{l.c.m.}(96, 404) = 2^5 \times 3^1 \times 101^1 = 32 \times 3 \times 101 = 9696$
આમ,$\text{g.c.d.}$ (ગુ.સા.અ.) $4$ છે અને $\text{l.c.m.}$ (લ.સા.અ.) $9696$ છે.

(N/A) પગલું $1$: સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$144 = 2^4 \times 3^2$
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1$
$192 = 2^6 \times 3^1$
પગલું $2$: $\text{g.c.d.}$ (ગુ.સા.અ.) શોધવા માટે,દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર કરો:
$\text{g.c.d.} = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$
પગલું $3$: $\text{l.c.m.}$ (લ.સા.અ.) શોધવા માટે,દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર કરો:
$\text{l.c.m.} = 2^6 \times 3^2 \times 5^1 = 64 \times 9 \times 5 = 2880$

(N/A) અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $\text{l.c.m.}$ અને $\text{g.c.d.}$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$84 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1$
$90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1$
$120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
$\text{g.c.d.}$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{g.c.d.}(84, 90, 120) = 2^1 \times 3^1 = 6$
$\text{l.c.m.}$ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$\text{l.c.m.}(84, 90, 120) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1 = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 2520$

(A) આપેલ સંખ્યાઓ $17$,$23$ અને $29$ છે.
કારણ કે $17$,$23$ અને $29$ ત્રણેય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તેથી તેમનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ નીચે મુજબ છે:
$17 = 17^1 \times 1^1$
$23 = 23^1 \times 1^1$
$29 = 29^1 \times 1^1$
$\text{GCD}$ (ગુ.સા.અ.) એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે. અહીં,એકમાત્ર સામાન્ય અવયવ $1$ છે.
$\text{GCD}(17, 23, 29) = 1$
$\text{LCM}$ (લ.સા.અ.) એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે.
$\text{LCM}(17, 23, 29) = 17 \times 23 \times 29$
$17 \times 23 = 391$
$391 \times 29 = 11339$
તેથી,$\text{LCM} = 11339$ અને $\text{GCD} = 1$.

(D) આપેલ છે કે $\text{g.c.d.}(306, 657) = 9$ (કારણ કે $306 = 2 \times 3^2 \times 17$ અને $657 = 3^2 \times 73$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરતા,$\text{g.c.d.} = 3^2 = 9$ મળે છે).
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{g.c.d.}(a, b) \times \text{l.c.m.}(a, b) = a \times b$.
કિંમતો મૂકતા: $9 \times \text{l.c.m.}(306, 657) = 306 \times 657$.
$\text{l.c.m.}(306, 657) = \frac{306 \times 657}{9}$.
$\text{l.c.m.}(306, 657) = 34 \times 657 = 22338$.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓનો $\text{g.c.d.} = x$ છે.
આપેલ છે કે $\text{l.c.m.}$ એ $\text{g.c.d.}$ કરતા $14$ ગણો છે,તેથી $\text{l.c.m.} = 14x$.
$\text{l.c.m.}$ અને $\text{g.c.d.}$ નો સરવાળો $600$ છે,તેથી $14x + x = 600$.
$15x = 600 \implies x = 40$.
આમ,$\text{g.c.d.} = 40$ અને $\text{l.c.m.} = 14 \times 40 = 560$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,$\text{l.c.m.} \times \text{g.c.d.} = a \times b$.
અહીં $a = 280$ આપેલ છે,તેથી $560 \times 40 = 280 \times b$.
$b = \frac{560 \times 40}{280} = 2 \times 40 = 80$.
તેથી,બીજી સંખ્યા $80$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમના $\text{g.c.d.}$ (ગુસાઅ) અને $\text{l.c.m.}$ (લસાઅ) વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\text{g.c.d.}(a, b) \times \text{l.c.m.}(a, b) = a \times b$
અહીં આપેલ છે કે $\text{g.c.d.}$ $16$ છે અને બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $(a \times b)$ $3072$ છે,તેથી આપણે આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકી શકીએ:
$16 \times \text{l.c.m.} = 3072$
$\text{l.c.m.}$ શોધવા માટે,$3072$ ને $16$ વડે ભાગતા:
$\text{l.c.m.} = \frac{3072}{16}$
$\text{l.c.m.} = 192$
આમ,બે સંખ્યાઓનો $\text{l.c.m.}$ $192$ છે.