HCF and LCM by Prime Factorisation Questions in Gujarati

(A) $6$ અને $20$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ માત્ર $2$ છે,અને તેની સૌથી નાની ઘાત $2^1 = 2$ છે.
તેથી,$6$ અને $20$ નો ગુ.સા.અ. $2$ છે.

(C) બે સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એ સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક છે જે બંને સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
કોઈપણ બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ માટે,તેઓ ભિન્ન હોવાથી,$1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
તેથી,બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો $LCM$ એ તેમનો ગુણાકાર જ થાય છે.
$LCM(p, q) = p \times q = pq$.

(C) $7, 11$ અને $17$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ જોઈએ છીએ કે આ ત્રણેય સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
કારણ કે $7, 11$ અને $17$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તેથી $1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સમૂહનો લ.સા.અ. એ તે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર જ હોય છે.
તેથી,$LCM(7, 11, 17) = 7 \times 11 \times 17 = 1309$.

(D) $HCF(510, 92)$ શોધવા માટે,આપણે બંને સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ:
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2 \times 2 \times 23 = 2^2 \times 23$
સૌથી નાની ઘાત ધરાવતો સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ $2^1 = 2$ છે.
તેથી,$HCF(510, 92) = 2$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમના ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\text{ગુ.સા.અ.}(a, b) \times \text{લ.સા.અ.}(a, b) = a \times b$
આપેલ છે:
$\text{ગુ.સા.અ.} = 9$
$\text{સંખ્યાઓનો ગુણાકાર} (a \times b) = 288$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$9 \times \text{લ.સા.અ.} = 288$
$\text{લ.સા.અ.} = \frac{288}{9}$
$\text{લ.સા.અ.} = 32$
તેથી,બે સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. $32$ છે.

(A) $6$ અને $20$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ આપણે તેમના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
લ.સા.અ. એ તમામ અવિભાજ્ય અવયવોની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
$LCM = 4 \times 3 \times 5 = 60$
તેથી,$6$ અને $20$ નો લ.સા.અ. $60$ છે.

(B) કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ અને લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવી શકાય છે: $HCF(a, b) \times LCM(a, b) = a \times b$.

(B) $6, 72,$ અને $120$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$6 = 2^1 \times 3^1$
$72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$
$120 = 8 \times 15 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
લ.સા.અ. એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
લ.સા.અ. $= 2^3 \times 3^2 \times 5^1$
લ.સા.અ. $= 8 \times 9 \times 5$
લ.સા.અ. $= 72 \times 5 = 360$
આમ,$6, 72,$ અને $120$ નો લ.સા.અ. $360$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $HCF$ અને $LCM$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$a \times b = HCF(a, b) \times LCM(a, b)$
અહીં $HCF(a, b) = 8$ અને $LCM(a, b) = 64$ આપેલ છે,તેથી:
$a \times b = 8 \times 64 = 512$
$8$ એ $HCF$ હોવાથી,$a$ અને $b$ બંને $8$ ના ગુણક હોવા જોઈએ. ધારો કે $a = 8x$ અને $b = 8y$,જ્યાં $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે અને $x > y$ (કારણ કે $a > b$).
આ કિંમતોને ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(8x) \times (8y) = 512$
$64xy = 512$
$xy = 8$
$x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોય અને $x > y$ હોય તેવી શક્ય જોડી $(x, y) = (8, 1)$ છે.
જો $x = 8$ અને $y = 1$ હોય,તો $a = 8 \times 8 = 64$ અને $b = 8 \times 1 = 8$ મળે.
$a > b$ હોવાથી,$a = 64$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
તેથી,સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો લ.સા.અ. $4$ છે.

(A) $13, 23$ અને $31$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) શોધવા માટે,આપણે દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીએ:
$13 = 13 \times 1$
$23 = 23 \times 1$
$31 = 31 \times 1$
અહીં $13, 23$ અને $31$ ત્રણેય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે અને $1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી,તેથી તેમનો ગુ.સા.અ. $1$ થાય છે.

(B) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
ગુ.સા.અ. એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે,જે $2^1 = 2$ થાય છે.
તેથી,સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો ગુ.સા.અ. $2$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટેનો મૂળભૂત ગુણધર્મ નીચે મુજબ છે:
$\text{ગુ.સા.અ.}(a, b) \times \text{લ.સા.અ.}(a, b) = a \times b$
અહીં આપેલ છે કે $\text{ગુ.સા.અ.}(a, b) = 7$ અને $\text{લ.સા.અ.}(a, b) = 385$.
તેથી,$a \times b = 7 \times 385$.
ગુણાકાર કરતા: $7 \times 385 = 2695$.
આમ,બે પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર $2695$ થાય છે.

(A) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
તેથી,સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો લ.સા.અ. $4$ છે.

(B) કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) અને લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) નો ગુણાકાર તે બે સંખ્યાઓના ગુણાકાર જેટલો જ હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\text{ગુ.સા.અ.}(a, b) \times \text{લ.સા.અ.}(a, b) = a \times b$.

(B) $6$,$72$ અને $120$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$6 = 2^1 \times 3^1$
$72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$
$120 = 8 \times 15 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
લ.સા.અ. એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$
$LCM = 8 \times 9 \times 5$
$LCM = 72 \times 5 = 360$
આમ,$6$,$72$ અને $120$ નો લ.સા.અ. $360$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $HCF$ અને $LCM$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$a \times b = HCF(a, b) \times LCM(a, b)$
અહીં $HCF(a, b) = 8$ અને $LCM(a, b) = 64$ આપેલ છે,તેથી:
$a \times b = 8 \times 64 = 512$
$HCF(a, b) = 8$ હોવાથી,$a$ અને $b$ બંને $8$ ના ગુણક હોવા જોઈએ. ધારો કે $a = 8x$ અને $b = 8y$,જ્યાં $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે અને $x > y$ ($a > b$ હોવાથી).
આ કિંમતોને ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(8x) \times (8y) = 512$
$64xy = 512$
$xy = 8$
$x > y$ અને $gcd(x, y) = 1$ હોય તેવી $(x, y)$ ની શક્ય જોડી $(8, 1)$ છે.
જો $x = 8$ અને $y = 1$ હોય,તો $a = 8 \times 8 = 64$ અને $b = 8 \times 1 = 8$ મળે.
$LCM$ ચકાસતા: $LCM(64, 8) = 64$,જે આપેલી શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,$a = 64$.

(B) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$LCM(2, 4)$ શોધવા માટે:
$2$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^1$ છે.
$4$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^2$ છે.
$LCM$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે,જે $2^2 = 4$ થાય છે.
તેથી,લ.સા.અ. $4$ છે.

(A) $13$,$23$ અને $31$ નો ગુ.સા.અ. (ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ) શોધવા માટે:
$1$. $13$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $13 \times 1$.
$2$. $23$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $23 \times 1$.
$3$. $31$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $31 \times 1$.
અહીં $13$,$23$ અને $31$ ત્રણેય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તેથી $1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
તેથી,$13$,$23$ અને $31$ નો ગુ.સા.અ. $1$ છે.

(A) $70$ અને $125$ ને ભાગતાં અનુક્રમે $5$ અને $8$ શેષ વધે તેવો મોટામાં મોટો ધન પૂર્ણાંક શોધવા માટે,આપણે $(70 - 5)$ અને $(125 - 8)$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધવો પડે.
પગલું $1$: આપેલી સંખ્યાઓમાંથી શેષ બાદ કરો.
$70 - 5 = 65$
$125 - 8 = 117$
પગલું $2$: $65$ અને $117$ નો $HCF$ શોધો.
$65$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $5 \times 13$.
$117$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $3^2 \times 13$.
પગલું $3$: સૌથી ઓછી ઘાત ધરાવતો સામાન્ય અવયવ $13$ છે.
તેથી,માંગેલ મોટામાં મોટો ધન પૂર્ણાંક $13$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરીને $65$ અને $117$ નો $\text{HCF}$ (ગુ.સા.અ.) શોધો:
$65 = 5 \times 13$
$117 = 9 \times 13 = 3^2 \times 13$
તેથી,$\text{HCF}(65, 117) = 13$.
આપેલ સમીકરણ: $\text{HCF}(65, 117) = 65m - 117$.
$\text{HCF}$ ની કિંમત મૂકતા:
$13 = 65m - 117$
$13 + 117 = 65m$
$130 = 65m$
$m = \frac{130}{65} = 2$.
આમ,$m$ ની કિંમત $2$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$a \times b = \text{ગુ.સા.અ.}(a, b) \times \text{લ.સા.અ.}(a, b)$.
અહીં આપેલ છે કે $\text{ગુ.સા.અ.}(a, b) = 7$ અને $\text{લ.સા.અ.}(a, b) = 385$.
તેથી,$a \times b = 7 \times 385$.
$a \times b = 2695$.
આમ,બે પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર $2695$ થાય છે.

(C) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
લ.સા.અ. એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે,જે $2^2 = 4$ થાય છે.
તેથી,$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. $4$ છે.

(B) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે,જે $2^1 = 2$ છે.
તેથી,સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો ગુ.સા.અ. $2$ છે.

(C) બે સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) એ સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક છે જે બંને સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય હોય.
કારણ કે $p$ અને $q$ ભિન્ન અવિભાજ્ય પૂર્ણાકો છે,તેમની વચ્ચે $1$ સિવાય કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
તેથી,બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. એ તેમનો ગુણાકાર જ થાય છે.
આમ,$\text{LCM}(p, q) = p \times q = pq$.

(A) $LCM(26, 91)$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા બંને સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
$LCM$ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM(26, 91) = 2 \times 7 \times 13 = 182$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) વ્યાખ્યા મુજબ,અવિભાજ્ય સંખ્યા એ $1$ કરતા મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેના $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય અન્ય કોઈ ધન અવયવો હોતા નથી.
અહીં $m$ અને $n$ એ બે ભિન્ન અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો હોવાથી,$1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
તેથી,બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) હંમેશા $1$ થાય છે.

(B) બે સંખ્યાઓનો $LCM$ હંમેશા તેમના $HCF$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે.
અહીં $HCF(a, b) = 25$ આપેલ છે.
આપણે આપેલા વિકલ્પોની $25$ વડે વિભાજ્યતા તપાસીએ:
$1$. $50 / 25 = 2$ (વિભાજ્ય છે)
$2$. $105 / 25 = 4.2$ (વિભાજ્ય નથી)
$3$. $100 / 25 = 4$ (વિભાજ્ય છે)
આમ,$105$ એ $25$ વડે વિભાજ્ય ન હોવાથી,તે $25$ ગુ.સા.અ. ધરાવતી બે સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. હોઈ શકે નહીં.

(A) કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમના $LCM$ અને $GCD$ વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $a \times b = LCM(a, b) \times GCD(a, b)$.
અહીં આપેલ છે કે $LCM(a, b) = a \times b$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $a \times b = (a \times b) \times GCD(a, b)$.
બંને બાજુ $(a \times b)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $GCD(a, b) = 1$.
તેથી,બે સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. $(GCD)$ $1$ છે.

(A) $12, 15$ અને $21$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ ફક્ત $3$ છે અને તેની સૌથી નાની ઘાત $3^1$ છે.
તેથી,$\text{ગુ.સા.અ.}(12, 15, 21) = 3$.

(A) $6$ અને $20$ નો લ.સા.અ $(LCM)$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
લ.સા.અ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
$LCM = 4 \times 3 \times 5 = 60$
તેથી,$6$ અને $20$ નો લ.સા.અ $60$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સંખ્યાઓ, તેમનો ગુ.સા.અ. અને તેમનો લ.સા.અ. વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\text{બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર} = \text{ગુ.સા.અ.} \times \text{લ.સા.અ.}$
આપેલ છે:
$\text{ગુ.સા.અ.} = 9$
$\text{બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર} = 288$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$288 = 9 \times \text{લ.સા.અ.}$
$\text{લ.સા.અ.} = \frac{288}{9}$
$\text{લ.સા.અ.} = 32$
તેથી, બે સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. $32$ છે.

(B) $HCF(510, 92)$ શોધવા માટે,આપણે બંને સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ:
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2 \times 2 \times 23 = 2^2 \times 23$
$HCF$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ માત્ર $2$ છે,અને તેની સૌથી નાની ઘાત $2^1 = 2$ છે.
તેથી,$HCF(510, 92) = 2$.

(D) અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધવા માટે,આપણે તેમનો ગુણાકાર કરીએ છીએ કારણ કે $1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ હોતો નથી.
અહીં $7$,$11$ અને $17$ એ બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તેથી તેમનો લ.સા.અ. તેમના ગુણાકાર જેટલો થાય.
$LCM = 7 \times 11 \times 17$
$LCM = 77 \times 17$
$LCM = 1309$
આથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) બે સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એ સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક છે જે બંને સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
અહીં $p$ અને $q$ ભિન્ન અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો હોવાથી,$1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
તેથી,બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. એ તેમનો ગુણાકાર જ થાય છે.
આમ,$\text{LCM}(p, q) = p \times q = pq$.

(A) $6$ અને $20$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ માત્ર $2$ છે,અને તેની સૌથી નાની ઘાત $2^1 = 2$ છે.
તેથી,$6$ અને $20$ નો ગુ.સા.અ. $2$ છે.

(A) બે સંખ્યાઓનો $LCM$ હંમેશા તેમના $HCF$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
અહીં $HCF(a, b) = 12$ આપેલ છે.
દરેક વિકલ્પને તપાસીએ કે તે $12$ વડે વિભાજ્ય છે કે નહીં:
$(A) 90 / 12 = 7.5$ (વિભાજ્ય નથી)
$(B) 24 / 12 = 2$ (વિભાજ્ય છે)
$(C) 48 / 12 = 4$ (વિભાજ્ય છે)
$(D) 60 / 12 = 5$ (વિભાજ્ય છે)
આમ,$90$ એ $12$ વડે વિભાજ્ય ન હોવાથી,તે એવી બે સંખ્યાઓનો $LCM$ હોઈ શકે નહીં જેમનો $HCF$ $12$ હોય.

(B) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
તેથી,સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો લ.સા.અ. $4$ છે.

(B) બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ ના $HCF$ અને $LCM$ નો મૂળભૂત ગુણધર્મ એ છે કે $LCM$ એ $HCF$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવો હોવો જોઈએ.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, $\frac{LCM(a, b)}{HCF(a, b)} = \text{પૂર્ણાંક સંખ્યા}$.
અહીં $HCF(a, b) = 16$ આપેલ છે.
દરેક વિકલ્પ તપાસતા:
$1$. $32$ માટે: $\frac{32}{16} = 2$ (શક્ય છે).
$2$. $72$ માટે: $\frac{72}{16} = 4.5$ (પૂર્ણાંક નથી, તેથી શક્ય નથી).
$3$. $64$ માટે: $\frac{64}{16} = 4$ (શક્ય છે).
તેથી, $72$ એ $LCM$ હોઈ શકે નહીં.

(B) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$LCM(2, 4)$ શોધવા માટે:
$2$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^1$ છે.
$4$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^2$ છે.
$LCM$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે.
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
તેથી,સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો લ.સા.અ. $4$ છે.

(A) $23, 35,$ અને $46$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) શોધવા માટે:
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો.
$23 = 23^1$ (કારણ કે $23$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે).
$35 = 5^1 \times 7^1$.
$46 = 2^1 \times 23^1$.
પગલું $2$: દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાત નક્કી કરો.
અહીં સમાવિષ્ટ અવિભાજ્ય અવયવો $2, 5, 7,$ અને $23$ છે.
તેમની મહત્તમ ઘાત $2^1, 5^1, 7^1,$ અને $23^1$ છે.
પગલું $3$: લ.સા.અ. શોધવા માટે આ મહત્તમ ઘાતોનો ગુણાકાર કરો.
$LCM = 2^1 \times 5^1 \times 7^1 \times 23^1$
$LCM = 10 \times 7 \times 23$
$LCM = 70 \times 23 = 1610$.

(A) $70$ અને $125$ ને ભાગતાં અનુક્રમે $5$ અને $8$ શેષ વધે તેવો મોટામાં મોટો ધન પૂર્ણાંક શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંખ્યાઓમાંથી શેષ બાદ કરીશું.
$70 - 5 = 65$
$125 - 8 = 117$
હવે,આપણે $65$ અને $117$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ શોધવો પડશે.
$65$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 5 \times 13$
$117$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 3^2 \times 13$
સામાન્ય અવયવ $13$ છે.
તેથી,માંગેલ મોટામાં મોટો ધન પૂર્ણાંક $13$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરીને $65$ અને $117$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ શોધો:
$65 = 5 \times 13$
$117 = 9 \times 13 = 3^2 \times 13$
તેથી,$HCF(65, 117) = 13$ થાય.
આપેલ સમીકરણ: $65m - 117 = HCF(65, 117)$.
$HCF$ ની કિંમત મૂકતા: $65m - 117 = 13$.
બંને બાજુ $117$ ઉમેરતા: $65m = 13 + 117$.
$65m = 130$.
$65$ વડે ભાગતા: $m = 130 / 65$.
$m = 2$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $\text{HCF}$ (ગુ.સા.અ.) અને $\text{LCM}$ (લ.સા.અ.) ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$a \times b = \text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b)$.
અહીં આપેલ છે કે $\text{HCF}(a, b) = 7$ અને $\text{LCM}(a, b) = 385$.
તેથી,$a \times b = 7 \times 385$.
ગુણાકાર કરતા: $7 \times 385 = 2695$.
આમ,$a \times b = 2695$.

(B) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
લ.સા.અ. એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે,જે $2^2 = 4$ થાય છે.
તેથી,$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. $4$ છે.

(A) બે અંકની સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $11$ છે.
બે અંકની સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $10$ છે.
$11$ અને $10$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે:
$11$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $11^1$ છે.
$10$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^1 \times 5^1$ છે.
અહીં કોઈ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ ન હોવાથી,ગુ.સા.અ. $(11, 10) = 1$ થાય.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,અવિભાજ્ય સંખ્યા એ $1$ કરતા મોટી એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા પોતે સિવાય અન્ય કોઈ ધન અવયવ નથી.
અહીં $a$ અને $b$ બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,તેમનો $1$ સિવાય કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
બે સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) એ સૌથી નાની ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે જે બંને સંખ્યાઓ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે.
કોઈપણ બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,તેમના ગુણાકાર,ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $a \times b = \text{ગુ.સા.અ.}(a, b) \times \text{લ.સા.અ.}(a, b)$.
$a$ અને $b$ ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,તેમનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) $1$ થાય.
તેથી,$a \times b = 1 \times \text{લ.સા.અ.}(a, b)$.
આમ,$\text{લ.સા.અ.}(a, b) = ab$ થાય.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $p$ અને $q$ માટે,સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $HCF$ (ગુ.સા.અ.) અને $LCM$ (લ.સા.અ.) ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$p \times q = HCF(p, q) \times LCM(p, q)$
અહીં આપેલ છે કે $HCF(p, q) = p$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$p \times q = p \times LCM(p, q)$
બંને બાજુ $p$ વડે ભાગતા (ધારો કે $p \neq 0$):
$LCM(p, q) = q$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કોઈપણ બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $p_1$ અને $p_2$ માટે,ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) હંમેશા $1$ હોય છે કારણ કે $1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ હોતો નથી.
બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) તેમનો ગુણાકાર થાય છે,એટલે કે $p_1 \times p_2$.
અહીં આપેલી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $7$ અને $11$ છે.
$\text{ગુ}.\text{સા}.\text{અ}.(7, 11) = 1$.
$\text{લ}.\text{સા}.\text{અ}.(7, 11) = 7 \times 11 = 77$.
તફાવત = $\text{લ}.\text{સા}.\text{અ}. - \text{ગુ}.\text{સા}.\text{અ}. = 77 - 1 = 76$.

(A) પગલું $1$: દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
પગલું $2$: $LCM$ એ તમામ અવિભાજ્ય અવયવોની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM(12, 15, 21) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$
પગલું $3$: આપેલ સમીકરણને $x$ માટે ઉકેલો:
$420 = 500 + 2x$
$2x = 420 - 500$
$2x = -80$
$x = -40$