Heights and Distances Questions in Hindi

(D) माना मीनार की ऊँचाई $y$ है और बिंदु $A$ से मीनार के आधार की दूरी $x$ है।
मीनार और जमीन द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,उन्नयन कोण $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\tan(\theta) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{y}{x}$.
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए $1 = \frac{y}{x}$.
अतः,$x = y$ सत्य है।

(A) मान लीजिए कि ढलान को एक समकोण त्रिभुज द्वारा दर्शाया गया है जहाँ कर्ण ढलान पर चली गई दूरी $(x \, m)$ है और $30^{\circ}$ के कोण के सम्मुख भुजा जमीन से ऊँचाई $(y \, m)$ है।
साइन $(sin)$ के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हुए:
$\sin(30^{\circ}) = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$
$\sin(30^{\circ}) = \frac{y}{x}$
चूँकि $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,हमारे पास है:
$\frac{1}{2} = \frac{y}{x}$
तिर्यक गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:
$x = 2y$.

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है। माना घर $A$ और $B$ की मीनार के आधार से दूरियाँ क्रमशः $d_A$ और $d_B$ हैं।
ज्यामितीय स्थिति के अनुसार,अवनमन कोण घर से मीनार के शीर्ष तक के उन्नयन कोण के बराबर होता है।
अतः,$\tan(25^{\circ}) = \frac{h}{d_A}$ और $\tan(40^{\circ}) = \frac{h}{d_B}$.
इसका अर्थ है कि $d_A = \frac{h}{\tan(25^{\circ})}$ और $d_B = \frac{h}{\tan(40^{\circ})}$.
चूँकि $40^{\circ} > 25^{\circ}$,हम जानते हैं कि $\tan(40^{\circ}) > \tan(25^{\circ})$.
इसलिए,$\frac{h}{\tan(40^{\circ})} < \frac{h}{\tan(25^{\circ})}$,जिसका अर्थ है कि $d_B < d_A$.
अतः,घर $B$,घर $A$ की तुलना में मीनार के अधिक निकट है।

(C) माना टॉवर की ऊँचाई $AB = 30 \ m$ है। माना पत्थर जमीन पर बिंदु $C$ पर स्थित है।
शीर्ष $A$ से पत्थर $C$ का अवनमन कोण $45^{\circ}$ है।
चूँकि दृष्टि रेखा जमीन के समानांतर है,इसलिए पत्थर $C$ से शीर्ष $A$ का उन्नयन कोण भी $45^{\circ}$ होगा (एकांतर अंतःकोण)।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,
$\tan(45^{\circ}) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC}$.
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए $1 = \frac{30}{BC}$.
अतः,$BC = 30 \ m$.
इस प्रकार,टॉवर के आधार से पत्थर की दूरी $30 \ m$ है।

(D) माना सीढ़ी की लंबाई $L\, m$ है।
सीढ़ी,दीवार और जमीन द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,दीवार की ऊँचाई $30^{\circ}$ के कोण की सम्मुख भुजा है,जो $3\, m$ है।
सीढ़ी त्रिभुज का कर्ण है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin(\theta) = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर:
$\sin(30^{\circ}) = \frac{3}{L}$
चूँकि $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{2} = \frac{3}{L}$
$L = 3 \times 2 = 6\, m$.
अतः,सीढ़ी की लंबाई $6\, m$ है।

(A) माना खंभे की ऊँचाई $h \, m$ है।
दिया गया है कि खंभे के आधार से प्रेक्षण बिंदु की दूरी $20 \, m$ है।
उन्नयन कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
खंभे,जमीन और दृष्टि रेखा द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में:
$\tan(\theta) = \frac{\text{खंभे की ऊँचाई}}{\text{आधार से दूरी}}$
$\tan(45^{\circ}) = \frac{h}{20}$
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए:
$1 = \frac{h}{20}$
$h = 20 \, m$.
अतः,खंभे की ऊँचाई $20 \, m$ है।

(A) अवनमन कोण को उस कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दृष्टि रेखा और क्षैतिज स्तर के बीच बनता है जब वस्तु क्षैतिज स्तर से नीचे होती है। इसलिए,यदि कोई प्रेक्षक नीचे की ओर किसी वस्तु को देखता है,तो वह वस्तु क्षैतिज स्तर के नीचे स्थित होती है।

(A) माना सीढ़ी की लंबाई कर्ण $c = 6 \,m$ है।
माना दीवार पर पहुँची ऊँचाई एक भुजा $a = 3.6 \,m$ है।
माना दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे तक की दूरी $b$ है।
दीवार,जमीन और सीढ़ी द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$a^2 + b^2 = c^2$
$(3.6)^2 + b^2 = 6^2$
$12.96 + b^2 = 36$
$b^2 = 36 - 12.96$
$b^2 = 23.04$
$b = \sqrt{23.04} = 4.8 \,m$.
अतः,दूरी $4.8 \,m$ है।

(B) माना सीढ़ी की लंबाई कर्ण $h = 4 \,m$ है।
माना दीवार पर पहुँची ऊँचाई लंब $p = 3.2 \,m$ है।
माना दीवार के आधार और सीढ़ी के निचले सिरे के बीच की दूरी आधार $b$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$h^2 = p^2 + b^2$ होता है।
मान रखने पर: $4^2 = (3.2)^2 + b^2$।
$16 = 10.24 + b^2$।
$b^2 = 16 - 10.24 = 5.76$।
$b = \sqrt{5.76} = 2.4 \,m$।

(C) मान लीजिए कि दो खंभे $AB = 6 \, m$ और $CD = 11 \, m$ समतल जमीन पर खड़े हैं।
उनके आधारों के बीच की दूरी $BD = 12 \, m$ है।
$BD$ के समानांतर एक रेखाखंड $AE$ खींचिए ताकि $E$,$CD$ पर स्थित हो।
तब $AE = BD = 12 \, m$ और $ED = AB = 6 \, m$ होगा।
अब,$CE = CD - ED = 11 \, m - 6 \, m = 5 \, m$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle AEC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AE^2 + CE^2$
$AC^2 = (12)^2 + (5)^2$
$AC^2 = 144 + 25 = 169$
$AC = \sqrt{169} = 13 \, m$।
अतः,उनके शीर्षों के बीच की दूरी $13 \, m$ है।

(C) माना इमारत की ऊँचाई $h$ है और इमारत के आधार से वस्तु की दूरी $l$ है।
प्रश्न के अनुसार,इमारत के शीर्ष से वस्तु का अवनमन कोण $\theta$ है।
चूँकि दृष्टि रेखा जमीन के समानांतर है,इसलिए वस्तु से इमारत के शीर्ष का उन्नयन कोण भी $\theta$ होगा (एकांतर अंतःकोण)।
इमारत और जमीन द्वारा बने समकोण त्रिभुज में:
$\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{h}{l}$
$l$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$l = \frac{h}{\tan \theta}$
चूँकि $\frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$,हमें प्राप्त होता है:
$l = h \cot \theta$
अतः,इमारत के आधार से वस्तु की दूरी $h \cot \theta$ है।

(C) माना लाइटहाउस की ऊँचाई $h$ है। माना लाइटहाउस के आधार से जहाज $Q$ की दूरी $x$ है और जहाज $P$ की दूरी $y$ है।
ज्यामिति के अनुसार,जहाजों से लाइटहाउस के शीर्ष का उन्नयन कोण अवनमन कोण के बराबर होता है।
जहाज $Q$ के लिए: $\tan(50^{\circ}) = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\tan(50^{\circ})}$.
जहाज $P$ के लिए: $\tan(35^{\circ}) = \frac{h}{y} \implies y = \frac{h}{\tan(35^{\circ})}$.
चूंकि $35^{\circ} < 50^{\circ}$,इसलिए $\tan(35^{\circ}) < \tan(50^{\circ})$ होगा।
अतः,$\frac{h}{\tan(35^{\circ})} > \frac{h}{\tan(50^{\circ})}$,जिसका अर्थ है कि $y > x$.
इस प्रकार,लाइटहाउस से जहाज $P$ की दूरी जहाज $Q$ की दूरी से अधिक है।

(C) माना $AB$ दीवार है और $AC$ सीढ़ी है।
यहाँ दीवार की ऊँचाई $AB = 3 \, m$ और उन्नयन कोण $\angle C = 30^{\circ}$ दिया गया है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में:
$\sin C = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC}$
$\sin 30^{\circ} = \frac{3}{AC}$
चूँकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{2} = \frac{3}{AC}$
$AC = 3 \times 2 = 6 \, m$.
अतः,सीढ़ी की लंबाई $6 \, m$ है।

(C) माना कि $AB$ मीनार की ऊँचाई $30 \, m$ है और $C$ पत्थर की स्थिति है।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में,पत्थर से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण अवनमन कोण के बराबर होता है,जो $45^{\circ}$ है।
इसलिए,$\angle ACB = 45^{\circ}$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 45^{\circ} = \frac{AB}{BC}$
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$ और $AB = 30 \, m$ है:
$1 = \frac{30}{BC}$
$BC = 30 \, m$।
अतः,मीनार और पत्थर के बीच की दूरी $30 \, m$ है।

(B) अवनमन कोण को उस कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दृष्टि रेखा द्वारा क्षैतिज स्तर के साथ तब बनता है जब वस्तु क्षैतिज स्तर से नीचे होती है।
चूंकि प्रेक्षक वस्तु को नीचे की ओर देख रहा है,इसलिए वस्तु प्रेक्षक की आंख से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा के नीचे स्थित होनी चाहिए।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना इमारत की ऊँचाई $y$ है और आधार से दूरी $x$ है। उन्नयन कोण $\theta = 25^\circ$ है।
इमारत,जमीन और दृष्टि रेखा द्वारा बने समकोण त्रिभुज में:
$\tan(\theta) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{y}{x}$.
अतः,$\tan(25^\circ) = \frac{y}{x}$,जिसका अर्थ है $y = x \cdot \tan(25^\circ)$.
$\tan(25^\circ)$ का मान लगभग $0.466$ है,जो $1$ से कम है $(0 < \tan(25^\circ) < 1)$,
इसलिए $y = x \cdot (0.466)$.
इसका अर्थ है कि $y < x$,अर्थात $x > y$.

(B) मान लीजिए दीवार $AB$ है और जमीन $BC$ है। सीढ़ी $AC$ है।
दिया गया है कि सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार के आधार से दूरी $BC = a \ m$ है।
सीढ़ी द्वारा जमीन के साथ बनाया गया कोण $\angle C = \theta$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में:
$\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan \theta = \frac{AB}{a}$
अतः,वह ऊँचाई जिस पर सीढ़ी दीवार को छूती है,$AB = a \tan \theta \ m$ है।

(D) माना $AB$ इमारत की ऊँचाई $x \ m$ है और $C$ जमीन पर बच्चे की स्थिति है।
शीर्ष $A$ से बच्चे $C$ का अवनमन कोण $\theta$ है।
चूँकि $A$ पर क्षैतिज रेखा जमीन $BC$ के समानांतर है,इसलिए $C$ से $A$ का उन्नयन कोण भी $\theta$ होगा (एकांतर अंतःकोण)।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में:
$\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan \theta = \frac{x}{BC}$
इसलिए,$BC = \frac{x}{\tan \theta} = x \cot \theta \ m$.
अतः,इमारत के आधार से बच्चे की दूरी $x \cot \theta \ m$ है।

(A) मान लीजिए $AB$ बिजली के खंभे की ऊंचाई है और $AC$ केबल की लंबाई है।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,उन्नयन कोण $\angle C = 30^{\circ}$ है।
कर्ण की लंबाई $AC = 20 \, m$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 30^{\circ} = \frac{AB}{AC}$
$\frac{1}{2} = \frac{AB}{20}$
$AB = \frac{20}{2} = 10 \, m$.
अतः,बिजली के खंभे की ऊंचाई $10 \, m$ है।

(B) माना $AB$ खंभे की ऊँचाई है और $BC$ खंभे के आधार से पत्थर की दूरी है।
दिया है,$BC = 10 \, m$ और अवनमन कोण $60^{\circ}$ है।
चूँकि अवनमन कोण उन्नयन कोण के बराबर होता है,इसलिए पत्थर से खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण $\angle C = 60^{\circ}$ होगा।
$\triangle ABC$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC}$.
$\sqrt{3} = \frac{AB}{10}$.
$AB = 10 \times \sqrt{3}$.
यहाँ $\sqrt{3} = 1.73$ दिया गया है,इसलिए $AB = 10 \times 1.73 = 17.3 \, m$.
अतः,खंभे की ऊँचाई $17.3 \, m$ है।

(C) माना लाइटहाउस की ऊँचाई $h$ है। माना नावों $A$ और $B$ की लाइटहाउस के आधार से दूरियाँ क्रमशः $d_A$ और $d_B$ हैं।
दिए गए अवनमन कोणों से,नावों से लाइटहाउस के शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः $25^{\circ}$ और $40^{\circ}$ होंगे।
टैंजेंट अनुपात का उपयोग करने पर: $\tan(25^{\circ}) = \frac{h}{d_A}$ और $\tan(40^{\circ}) = \frac{h}{d_B}$।
चूँकि $\tan(40^{\circ}) > \tan(25^{\circ})$,इसलिए $\frac{h}{d_B} > \frac{h}{d_A}$ होगा।
अतः,$d_A > d_B$। इस प्रकार,नाव $A$ की लाइटहाउस से दूरी नाव $B$ की तुलना में अधिक है।

(C) मान लीजिए $X$ बिल्डिंग $PQ$ की ऊँचाई है और $Y$ बिल्डिंग $SR$ की ऊँचाई है। मान लीजिए $QR$ दोनों बिल्डिंगों के आधारों के बीच की दूरी है।
समकोण $\Delta SQR$ में,$\tan(45^{\circ}) = \frac{SR}{QR} = \frac{Y}{QR}$.
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए $Y = QR$ प्राप्त होता है।
समकोण $\Delta PQR$ में,$\tan(65^{\circ}) = \frac{PQ}{QR} = \frac{X}{QR}$.
चूँकि $\tan(65^{\circ}) > 1$,इसलिए $\frac{X}{QR} > 1$,जिसका अर्थ है कि $X > QR$.
चूँकि $Y = QR$ और $X > QR$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $X > Y$.
अतः,बिल्डिंग $X$ की ऊँचाई बिल्डिंग $Y$ की ऊँचाई से अधिक है।

(B) माना खंभे की ऊँचाई $AB$ है और खंभे के आधार से बिंदु $C$ की दूरी $BC = x \, m$ है।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,उन्नयन कोण $\angle C = 60^{\circ}$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC}$
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए:
$\sqrt{3} = \frac{AB}{x}$
अतः,$AB = \sqrt{3} x \, m$.
इस प्रकार,खंभे की ऊँचाई $\sqrt{3} x \, m$ है।

(C) माना $AB$ टॉवर की ऊँचाई है और $BC = x \, m$ टॉवर के आधार से प्रेक्षण बिंदु $C$ तक की दूरी है।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,उन्नयन कोण $\angle C = 30^{\circ}$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BC}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{x}$
अतः,टॉवर की ऊँचाई $AB = \frac{x}{\sqrt{3}} \, m$ है।

(D) माना $AB$ मीनार की ऊँचाई है और $BC$ मीनार के आधार से जमीन पर स्थित बिंदु $C$ की दूरी है।
दिया है: $BC = 100 \, m$ और उन्नयन कोण $\angle C = 60^\circ$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में,
$\tan C = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan 60^\circ = \frac{AB}{100}$
चूँकि $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$,
$\sqrt{3} = \frac{AB}{100}$
$AB = 100 \times \sqrt{3}$
$AB = 100 \times 1.732 = 173.2 \, m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,मीनार की ऊँचाई $173 \, m$ है।

(D) माना $AB$ मंदिर की ऊँचाई है,जहाँ $AB = 20 \ m$ है।
माना $BC$ नदी की चौड़ाई है।
बिंदु $C$ से शिखर $A$ का उन्नयन कोण $\angle ACB = 30^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में:
$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BC}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20}{BC}$
$BC = 20 \sqrt{3} \ m$
$\sqrt{3} \approx 1.73$ का उपयोग करने पर:
$BC = 20 \times 1.73 = 34.6 \ m$।
अतः,नदी की चौड़ाई $34.6 \ m$ है।

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है। प्रेक्षक की ऊँचाई $1.5\, m$ है,इसलिए बनने वाले त्रिभुज की ऊँचाई $AE = h - 1.5$ होगी।
मीनार से दूरी $DE = 28.5\, m$ और उन्नयन कोण $45^\circ$ दिया गया है।
$\triangle ADE$ में,$\tan 45^\circ = \frac{AE}{DE}$।
चूँकि $\tan 45^\circ = 1$,इसलिए $1 = \frac{AE}{28.5}$।
अतः,$AE = 28.5\, m$।
मीनार की कुल ऊँचाई $h = AE + EB = 28.5 + 1.5 = 30\, m$ है।

(C) उन्नयन कोण को उस कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दृष्टि रेखा (ray of vision) द्वारा क्षैतिज रेखा (horizontal ray) के साथ बनाया जाता है जब वस्तु प्रेक्षक की आँख के क्षैतिज स्तर से ऊपर स्थित होती है।
इसलिए,यदि उन्नयन कोण बनता है,तो वस्तु को क्षैतिज किरण के ऊपर स्थित होना चाहिए।

(C) माना खंभे की ऊंचाई $h$ है और छाया की लंबाई $s$ है।
प्रश्न के अनुसार,$s = \frac{1}{\sqrt{3}} h$.
माना सूर्य का उन्नयन कोण $\theta$ है।
खंभे और उसकी छाया द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,$\tan(\theta) = \frac{\text{ऊंचाई}}{\text{छाया}} = \frac{h}{s}$.
$s$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan(\theta) = \frac{h}{\frac{1}{\sqrt{3}} h} = \sqrt{3}$.
चूंकि $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$,इसलिए उन्नयन कोण $\theta = 60^\circ$ है।

(D) माना छोटे खंभे की ऊँचाई $h$ है और ऊँचे खंभे की ऊँचाई $2h$ है।
दोनों खंभों के बीच की दूरी $x$ है।
उनके आधारों को जोड़ने वाली रेखा का मध्य-बिंदु दूरी $x$ को दो बराबर भागों में विभाजित करता है,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $\frac{x}{2}$ है।
माना मध्य-बिंदु से उन्नयन कोण $\theta$ और $90^\circ - \theta$ हैं।
छोटे खंभे के लिए: $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{h}{x/2} = \frac{2h}{x}$.
चूँकि $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$,इसलिए $\cot \theta = \frac{2h}{x}$.
ऊँचे खंभे के लिए: $\tan \theta = \frac{2h}{x/2} = \frac{4h}{x}$.
दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $\tan \theta \cdot \cot \theta = \left(\frac{4h}{x}\right) \cdot \left(\frac{2h}{x}\right)$.
$1 = \frac{8h^2}{x^2}$.
$h^2 = \frac{x^2}{8}$.
$h = \sqrt{\frac{x^2}{8}} = \frac{x}{2\sqrt{2}}$.

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और मीनार का आधार $O$ है।
माना मीनार से घर $A$ की दूरी $x_A$ है और घर $B$ की दूरी $x_B$ है।
ज्यामिति के अनुसार,अवनमन कोण उन्नयन कोण के बराबर होता है।
घर $A$ के लिए: $\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{x_A} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x_A} \implies x_A = h\sqrt{3}$।
घर $B$ के लिए: $\tan(60^{\circ}) = \frac{h}{x_B} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x_B} \implies x_B = \frac{h}{\sqrt{3}}$।
दूरियों की तुलना करने पर,चूँकि $\sqrt{3} > \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $x_A > x_B$ प्राप्त होता है।
अतः,घर $B$,घर $A$ की तुलना में मीनार के अधिक निकट है।

(B) मान लीजिए कि पहाड़ी को एक समकोण त्रिभुज द्वारा दर्शाया गया है जहाँ कर्ण पहाड़ी पर चली गई दूरी $x$ मीटर है।
जमीन के साथ उन्नयन कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
जमीन से पहुँची गई ऊँचाई कोण के सामने की भुजा है,जो $y$ मीटर है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin(\theta) = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर:
$\sin(30^{\circ}) = \frac{y}{x}$
चूँकि $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} = \frac{y}{x}$
तिर्यक गुणा करने पर $x = 2y$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।