Heights and Distances Questions in Hindi

$(15\sqrt{3})$ सबसे पहले,आइए समस्या को एक समकोण त्रिभुज $ABC$ द्वारा दर्शाएं (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है),जहाँ $AB$ मीनार की ऊँचाई है,$BC = 15\, m$ मीनार के पाद से बिंदु की दूरी है और $\angle ACB = 60^{\circ}$ उन्नयन कोण है।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,हमारे पास है:
$\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}}$
$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC}$
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\sqrt{3} = \frac{AB}{15}$
$AB = 15\sqrt{3}\, m$
अतः,मीनार की ऊँचाई $15\sqrt{3}\, m$ है।

(N/A) आकृति में,इलेक्ट्रीशियन को खंभे $AD$ पर बिंदु $B$ तक पहुँचना है।
अतः,
$BD = AD - AB = (5 - 1.3)\, m = 3.7\, m$
यहाँ,$BC$ सीढ़ी को दर्शाता है। हमें इसकी लंबाई ज्ञात करनी है,अर्थात् समकोण त्रिभुज $BDC$ का कर्ण।
अब,हम त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin 60^{\circ}$ पर विचार करते हैं।
अतः,$\frac{BD}{BC} = \sin 60^{\circ}$ या $\frac{3.7}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
इसलिए,$BC = \frac{3.7 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{7.4}{1.73} \approx 4.28\, m$.
अर्थात्,सीढ़ी की लंबाई $4.28\, m$ होनी चाहिए।
अब,$\frac{DC}{BD} = \cot 60^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अर्थात्,$DC = \frac{3.7}{\sqrt{3}} = \frac{3.7}{1.73} \approx 2.14\, m$.
इसलिए,उसे सीढ़ी का पाद खंभे से $2.14\, m$ की दूरी पर रखना चाहिए।

(C) माना $AB$ चिमनी है,$CD$ प्रेक्षक है और $\angle ADE$ उन्नयन कोण है। इस स्थिति में,$\triangle ADE$ एक समकोण त्रिभुज है जो $E$ पर समकोण है,और हमें चिमनी की ऊँचाई ज्ञात करनी है।
हमारे पास $AB = AE + BE = AE + 1.5\, m$ है।
साथ ही,$DE = CB = 28.5\, m$ है।
$AE$ निर्धारित करने के लिए,हम टेंजेंट त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हैं,जिसमें $AE$ और $DE$ दोनों शामिल हैं:
$\tan 45^{\circ} = \frac{AE}{DE}$
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए:
$1 = \frac{AE}{28.5}$
$AE = 28.5\, m$।
अतः,चिमनी की ऊँचाई $AB = AE + BE = 28.5\, m + 1.5\, m = 30\, m$ है।

(N/A) आकृति में,$AB$ इमारत की ऊँचाई,$BD$ ध्वजदंड और $P$ दिया गया बिंदु दर्शाता है। ध्यान दें कि यहाँ दो समकोण त्रिभुज $\triangle PAB$ और $\triangle PAD$ हैं। हमें ध्वजदंड की लंबाई यानी $DB$ और बिंदु $P$ से इमारत की दूरी यानी $PA$ ज्ञात करनी है।
चूँकि हमें इमारत की ऊँचाई $AB = 10 \, m$ ज्ञात है,हम पहले समकोण $\triangle PAB$ पर विचार करेंगे।
हमारे पास $\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{AP}$ है।
अर्थात,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{AP}$।
इसलिए,$AP = 10\sqrt{3} \, m$।
अर्थात,$P$ से इमारत की दूरी $10 \times 1.732 = 17.32 \, m$ है।
अब,मान लीजिए ध्वजदंड की लंबाई $BD = x \, m$ है। तो कुल ऊँचाई $AD = (10 + x) \, m$ होगी।
अब,समकोण $\triangle PAD$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{AD}{AP} = \frac{10 + x}{10\sqrt{3}}$।
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $1 = \frac{10 + x}{10\sqrt{3}}$।
इसलिए,$10\sqrt{3} = 10 + x$।
$x = 10\sqrt{3} - 10 = 10(\sqrt{3} - 1) = 10(1.732 - 1) = 10(0.732) = 7.32 \, m$।
अतः,ध्वजदंड की लंबाई $7.32 \, m$ है और $P$ से इमारत की दूरी $17.32 \, m$ है।

(N/A) माना $AB$ मीनार की ऊँचाई $h \, m$ है और जब सूर्य का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है,तब छाया की लंबाई $BC$ है। माना $BC = x \, m$ है।
जब सूर्य का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है,तब छाया की लंबाई $DB = (x + 40) \, m$ है।
$\triangle ABC$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies h = x\sqrt{3} \dots (1)$.
$\triangle ABD$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x + 40} \implies h = \frac{x + 40}{\sqrt{3}} \dots (2)$.
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $x\sqrt{3} = \frac{x + 40}{\sqrt{3}}$.
$3x = x + 40 \implies 2x = 40 \implies x = 20 \, m$.
$x = 20$ का मान $(1)$ में रखने पर,$h = 20\sqrt{3} \, m$.
अतः,मीनार की ऊँचाई $20\sqrt{3} \, m$ (या लगभग $34.64 \, m$) है।

(N/A) माना $PC$ बहुमंजिला इमारत है और $AB$ $8 \, m$ ऊँची इमारत है। हमें बहुमंजिला इमारत की ऊँचाई $(PC)$ और दोनों इमारतों के बीच की दूरी $(AC)$ ज्ञात करनी है।
आकृति से,$PQ$ इमारत $P$ के शिखर से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा है। चूँकि $PQ \parallel BD$,इसलिए एकांतर अंतःकोण समान होते हैं।
अतः,$\angle PBD = 30^{\circ}$ और $\angle PAC = 45^{\circ}$।
समकोण $\triangle PBD$ में:
$\tan 30^{\circ} = \frac{PD}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{PD}{BD} \implies BD = PD\sqrt{3}$।
समकोण $\triangle PAC$ में:
$\tan 45^{\circ} = \frac{PC}{AC} \implies 1 = \frac{PC}{AC} \implies PC = AC$।
चूँकि $AC = BD$ और $PC = PD + DC$,जहाँ $DC = AB = 8 \, m$ है:
$PD + 8 = AC = BD = PD\sqrt{3}$।
$PD$ के लिए हल करने पर:
$PD\sqrt{3} - PD = 8 \implies PD(\sqrt{3} - 1) = 8 \implies PD = \frac{8}{\sqrt{3} - 1}$।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$PD = \frac{8(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{8(\sqrt{3} + 1)}{2} = 4(\sqrt{3} + 1) \, m$।
बहुमंजिला इमारत की ऊँचाई $PC = PD + DC = 4\sqrt{3} + 4 + 8 = 4\sqrt{3} + 12 = 4(3 + \sqrt{3}) \, m$।
दोनों इमारतों के बीच की दूरी $AC = PC = 4(3 + \sqrt{3}) \, m$।

(N/A) मान लीजिए $A$ और $B$ नदी के विपरीत किनारों पर स्थित बिंदु हैं,ताकि $AB$ नदी की चौड़ाई हो। मान लीजिए $P$ पुल पर एक बिंदु है जो नदी के स्तर से $3 \, m$ की ऊँचाई पर है,अर्थात $PD = 3 \, m$,जहाँ $D$ नदी की सतह पर $P$ के ठीक नीचे का बिंदु है।
समकोण $\triangle APD$ में,$\angle PAD = 30^{\circ}$ है।
त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए,$\tan 30^{\circ} = \frac{PD}{AD}$।
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{AD} \implies AD = 3\sqrt{3} \, m$।
समकोण $\triangle PBD$ में,$\angle PBD = 45^{\circ}$ है।
त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए,$\tan 45^{\circ} = \frac{PD}{BD}$।
$1 = \frac{3}{BD} \implies BD = 3 \, m$।
नदी की कुल चौड़ाई $AB = AD + BD = 3\sqrt{3} + 3 = 3(\sqrt{3} + 1) \, m$ है।

(D) आकृति से,मान लीजिए कि $AB$ ऊर्ध्वाधर खंभा है और $AC$ डोरी है जिसकी लंबाई $20\, m$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में,डोरी द्वारा जमीन के साथ बनाया गया कोण $\angle C = 30^{\circ}$ है।
हमें खंभे की ऊँचाई $AB$ ज्ञात करनी है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 30^{\circ} = \frac{AB}{AC}$
चूँकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ और $AC = 20\, m$ है,इसलिए:
$\frac{1}{2} = \frac{AB}{20}$
$AB = \frac{20}{2} = 10\, m$।
अतः,खंभे की ऊँचाई $10\, m$ है।

(N/A) माना $AB$ पेड़ की मूल ऊँचाई है। माना पेड़ बिंदु $B$ पर टूटता है,और शिखर $A$ जमीन पर बिंदु $A^{\prime}$ को छूता है।
समकोण त्रिभुज $\triangle BCA^{\prime}$ में,जहाँ $\angle BCA^{\prime} = 90^{\circ}$ और $\angle BA^{\prime}C = 30^{\circ}$ है:
दिया है $CA^{\prime} = 8\, m$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{BC}{CA^{\prime}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{BC}{8} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies BC = \frac{8}{\sqrt{3}}\, m$.
$\cos 30^{\circ} = \frac{CA^{\prime}}{BA^{\prime}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{8}{BA^{\prime}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies BA^{\prime} = \frac{16}{\sqrt{3}}\, m$.
पेड़ की कुल ऊँचाई $AB = BC + BA^{\prime}$ है (क्योंकि $BA^{\prime} = BA$):
$AB = \frac{8}{\sqrt{3}} + \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}}\, m$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$AB = \frac{24 \sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}\, m$.
अतः,पेड़ की ऊँचाई $8\sqrt{3}\, m$ है।

(N/A) यह देखा जा सकता है कि $AC$ और $PR$ क्रमशः छोटे और बड़े बच्चों के लिए फिसलपट्टी हैं।
$\triangle ABC$ में:
$\sin 30^{\circ} = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC}$
$\frac{1}{2} = \frac{1.5}{AC}$
$AC = 3 \, m$
$\triangle PQR$ में:
$\sin 60^{\circ} = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{PQ}{PR}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{PR}$
$PR = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \, m \approx 3.46 \, m$

(N/A) माना कि $AB$ मीनार है और भूमि पर स्थित बिंदु $C$ से उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है।
$\triangle ABC$ में,
$\frac{AB}{BC} = \tan 30^{\circ}$
$\frac{AB}{30} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$AB = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}\, m$
अतः,मीनार की ऊँचाई $10\sqrt{3}\, m$ है।

$(40\sqrt{3}\, m) $ मान लीजिए $K$ पतंग की स्थिति है और $P$ जमीन पर वह बिंदु है जहाँ डोरी बंधी है। मान लीजिए $L$ पतंग के ठीक नीचे जमीन पर स्थित बिंदु है।
समकोण त्रिभुज $\triangle KLP$ में:
$KL = 60\, m$ (पतंग की ऊँचाई)
$\angle KPL = 60^{\circ}$ (उन्नयन कोण)
हमें डोरी की लंबाई ज्ञात करनी है,जो कि कर्ण $KP$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 60^{\circ} = \frac{KL}{KP}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{60}{KP}$
$KP = \frac{60 \times 2}{\sqrt{3}}$
$KP = \frac{120}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$KP = \frac{120\sqrt{3}}{3} = 40\sqrt{3}\, m$
अतः,डोरी की लंबाई $40\sqrt{3}\, m$ है (लगभग $69.28\, m$)।

(N/A) मान लीजिए कि लड़का शुरू में बिंदु $A$ पर खड़ा है। वह इमारत की ओर चलता है और बिंदु $B$ पर पहुँचता है।
मान लीजिए $PQ$ ऊँचाई $30 \, m$ वाली इमारत है। लड़के की ऊँचाई $1.5 \, m$ है।
इसलिए,त्रिभुज की ऊँचाई $PR = PQ - RQ = 30 - 1.5 = 28.5 \, m = \frac{57}{2} \, m$ होगी।
$\triangle PAR$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{PR}{AR} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{57/2}{AR} \implies AR = \frac{57\sqrt{3}}{2} \, m$.
$\triangle PBR$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{PR}{BR} \implies \sqrt{3} = \frac{57/2}{BR} \implies BR = \frac{57}{2\sqrt{3}} = \frac{19\sqrt{3}}{2} \, m$.
इमारत की ओर तय की गई दूरी $AB = AR - BR$ है।
$AB = \frac{57\sqrt{3}}{2} - \frac{19\sqrt{3}}{2} = \frac{38\sqrt{3}}{2} = 19\sqrt{3} \, m$.
अतः,लड़के ने इमारत की ओर $19\sqrt{3} \, m$ की दूरी तय की।

(N/A) माना $BC$ इमारत है,$AB$ संचार मीनार है,और $D$ भूमि पर वह बिंदु है जहाँ से उन्नयन कोण मापे जाते हैं।
$\triangle BCD$ में:
$\frac{BC}{CD} = \tan 45^{\circ}$
$\frac{20}{CD} = 1$
$CD = 20 \, m$
$\triangle ACD$ में:
$\frac{AC}{CD} = \tan 60^{\circ}$
$\frac{AB + BC}{CD} = \sqrt{3}$
$\frac{AB + 20}{20} = \sqrt{3}$
$AB + 20 = 20\sqrt{3}$
$AB = 20\sqrt{3} - 20$
$AB = 20(\sqrt{3} - 1) \, m$
अतः,संचार मीनार की ऊँचाई $20(\sqrt{3} - 1) \, m$ है।

(N/A) माना $AB$ मूर्ति है,$BC$ पेडस्टल है,और $D$ भूमि पर वह बिंदु है जहाँ से उन्नयन कोण मापे जाते हैं।
$\triangle BCD$ में,हमारे पास है:
$\frac{BC}{CD} = \tan 45^{\circ}$
$\frac{BC}{CD} = 1$
$BC = CD$
$\triangle ACD$ में,हमारे पास है:
$\frac{AC}{CD} = \tan 60^{\circ}$
$\frac{AB + BC}{CD} = \sqrt{3}$
चूँकि $CD = BC$,हम लिख सकते हैं:
$\frac{1.6 + BC}{BC} = \sqrt{3}$
$1.6 + BC = BC \sqrt{3}$
$1.6 = BC(\sqrt{3} - 1)$
$BC = \frac{1.6}{\sqrt{3} - 1}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$BC = \frac{1.6(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}$
$BC = \frac{1.6(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1}$
$BC = \frac{1.6(\sqrt{3} + 1)}{2}$
$BC = 0.8(\sqrt{3} + 1) \, m$
अतः,पेडस्टल की ऊँचाई $0.8(\sqrt{3} + 1) \, m$ है।

(N/A) माना $AB$ भवन है और $CD$ मीनार है।
$\triangle CDB$ में,
$\frac{CD}{BD} = \tan 60^{\circ}$
$\frac{50}{BD} = \sqrt{3}$
$BD = \frac{50}{\sqrt{3}}$
$\triangle ABD$ में,
$\frac{AB}{BD} = \tan 30^{\circ}$
$AB = BD \times \tan 30^{\circ} = \frac{50}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{3} = 16 \frac{2}{3} \, m$
अतः,भवन की ऊँचाई $16 \frac{2}{3} \, m$ है।

(N/A) माना $AB$ और $CD$ समान ऊँचाई $h$ के खंभे हैं,और $O$ सड़क $BD$ पर स्थित एक बिंदु है जहाँ $BD = 80\, m$ है।
माना $BO = x\, m$,तो $OD = (80 - x)\, m$ होगा।
$\triangle ABO$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BO} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies h = x\sqrt{3} \quad \dots(1)$.
$\triangle CDO$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{CD}{OD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{80 - x} \implies h = \frac{80 - x}{\sqrt{3}} \quad \dots(2)$.
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$x\sqrt{3} = \frac{80 - x}{\sqrt{3}}$
$3x = 80 - x$
$4x = 80 \implies x = 20\, m$.
अतः,$BO = 20\, m$ और $OD = 80 - 20 = 60\, m$ है।
$x$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$h = 20\sqrt{3}\, m$.
इस प्रकार,खंभों की ऊँचाई $20\sqrt{3}\, m$ है और खंभों से बिंदु की दूरियाँ $20\, m$ और $60\, m$ हैं।

(N/A) माना टीवी टावर की ऊँचाई $AB = h$ है और नहर की चौड़ाई $BC = x$ है।
$\triangle ABC$ में,हमारे पास है:
$\frac{AB}{BC} = \tan 60^{\circ}$
$\frac{h}{x} = \sqrt{3} \implies h = x\sqrt{3} \quad \dots(1)$
$\triangle ABD$ में,हमारे पास है:
$\frac{AB}{BD} = \tan 30^{\circ}$
$\frac{h}{x + 20} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies h\sqrt{3} = x + 20 \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ से $h$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x\sqrt{3})\sqrt{3} = x + 20$
$3x = x + 20$
$2x = 20 \implies x = 10 \, m$
अब,$x = 10$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$h = 10\sqrt{3} \, m$
अतः,टावर की ऊँचाई $10\sqrt{3} \, m$ है और नहर की चौड़ाई $10 \, m$ है।

(N/A) माना $AB$ एक $7 \,m$ ऊँची इमारत है और $CD$ एक केबल टॉवर है।
$\triangle ABD$ में,$\angle ABD = 90^{\circ}$ और $\angle ADB = 45^{\circ}$ है।
$\tan 45^{\circ} = \frac{AB}{BD}$
$1 = \frac{7}{BD}$
$BD = 7 \,m$।
चूँकि $ABED$ एक आयत है,इसलिए $AE = BD = 7 \,m$ और $ED = AB = 7 \,m$ होगा।
$\triangle ACE$ में,$\angle AEC = 90^{\circ}$ और $\angle CAE = 60^{\circ}$ है।
$\tan 60^{\circ} = \frac{CE}{AE}$
$\sqrt{3} = \frac{CE}{7}$
$CE = 7\sqrt{3} \,m$।
टॉवर की कुल ऊँचाई $CD = CE + ED = 7\sqrt{3} + 7 = 7(\sqrt{3} + 1) \,m$ है।
अतः,केबल टॉवर की ऊँचाई $7(\sqrt{3} + 1) \,m$ है।

(N/A) माना $AB$ लाइटहाउस है और दो जहाज क्रमशः $C$ और $D$ बिंदुओं पर हैं।
$\triangle ABC$ में,
$\frac{AB}{BC} = \tan 45^{\circ}$
$\frac{75}{BC} = 1$
$BC = 75 \, m$
$\triangle ABD$ में,
$\frac{AB}{BD} = \tan 30^{\circ}$
$\frac{75}{BC + CD} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\frac{75}{75 + CD} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$75\sqrt{3} = 75 + CD$
$CD = 75(\sqrt{3} - 1) \, m$
अतः,दोनों जहाजों के बीच की दूरी $75(\sqrt{3} - 1) \, m$ है।

(N/A) मान लीजिए कि गुब्बारे की प्रारंभिक स्थिति $A$ है और अंतिम स्थिति $B$ है। मान लीजिए $CD$ लड़की है,जहाँ $CD = 1.2\, m$ है।
जमीन से गुब्बारे की ऊँचाई $88.2\, m$ है। लड़की की आँखों के स्तर से गुब्बारे की ऊँचाई $88.2\, m - 1.2\, m = 87\, m$ है।
मान लीजिए लड़की की आँखों का स्तर क्षैतिज रेखा $CG$ है। अतः,$AE = BG = 87\, m$ है।
$\triangle ACE$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AE}{CE} \implies \sqrt{3} = \frac{87}{CE} \implies CE = \frac{87}{\sqrt{3}} = 29\sqrt{3}\, m$.
$\triangle BCG$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{BG}{CG} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{87}{CG} \implies CG = 87\sqrt{3}\, m$.
गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी $EG = CG - CE = 87\sqrt{3} - 29\sqrt{3} = 58\sqrt{3}\, m$ है।

(B) माना $AB$ ऊँचाई $h$ की मीनार है और $C$ कार की प्रारंभिक स्थिति है। $6$ सेकंड के बाद,कार बिंदु $D$ पर पहुँचती है।
$\triangle ADB$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{DB} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{DB} \implies DB = \frac{h}{\sqrt{3}}$।
$\triangle ABC$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BC} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{BC} \implies BC = h\sqrt{3}$।
$6$ सेकंड में तय की गई दूरी $CD = BC - DB = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{3h - h}{\sqrt{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$ है।
चूँकि चाल एक समान है,इसलिए $CD$ दूरी तय करने में लगा समय $6$ सेकंड है।
अतः,$DB = \frac{h}{\sqrt{3}}$ दूरी तय करने में लगा समय $\frac{6 \times (h/\sqrt{3})}{2h/\sqrt{3}} = \frac{6}{2} = 3$ सेकंड होगा।

(N/A) माना $AQ$ मीनार है और $R, S$ मीनार के आधार $(Q)$ से क्रमशः $4 \,m$ और $9 \,m$ की दूरी पर स्थित बिंदु हैं।
उन्नयन कोण पूरक हैं। इसलिए,यदि एक कोण $\theta$ है,तो दूसरा कोण $(90^\circ - \theta)$ होगा।
$\triangle AQR$ में,
$\tan \theta = \frac{AQ}{QR} = \frac{AQ}{4} \quad \dots(i)$
$\triangle AQS$ में,
$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{AQ}{SQ}$
$\cot \theta = \frac{AQ}{9} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का गुणा करने पर:
$\tan \theta \cdot \cot \theta = \left(\frac{AQ}{4}\right) \cdot \left(\frac{AQ}{9}\right)$
$1 = \frac{AQ^2}{36}$
$AQ^2 = 36$
$AQ = \sqrt{36} = 6 \,m$ (चूँकि ऊँचाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)।
अतः,मीनार की ऊँचाई $6 \,m$ है।

(C) माना $BC = 6\, m$ खंभे की ऊँचाई है और $AB = 2\sqrt{3}\, m$ जमीन पर बनी छाया की लंबाई है। माना सूर्य का उन्नयन कोण $\theta$ है।
समकोण $\triangle ABC$ में,हमारे पास है:
$\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{BC}{AB}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\tan \theta = \frac{6}{2\sqrt{3}}$
$\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{3}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\tan \theta = \frac{3 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए:
$\theta = 60^{\circ}$
अतः,सूर्य का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है।

(B) असत्य।
मान लीजिए मीनार की ऊँचाई $h$ है और छाया की लंबाई $x$ है। सूर्य का उन्नयन कोण $\theta$ है। मीनार और उसकी छाया द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,हमारे पास $\tan(\theta) = \frac{h}{x}$ है।
जैसे-जैसे छाया की लंबाई $x$ बढ़ती है,भिन्न $\frac{h}{x}$ का मान घटता जाता है। चूँकि $0^\circ < \theta < 90^\circ$ के लिए $\tan(\theta)$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $\tan(\theta)$ में कमी का अर्थ है कि कोण $\theta$ का मान घट रहा है। अतः,जैसे-जैसे छाया की लंबाई बढ़ती है,सूर्य का उन्नयन कोण घटता है।

(B) असत्य।
मान लीजिए कि झील की सतह से बादल की ऊँचाई $H$ है। झील में बादल का प्रतिबिंब झील की सतह से $H$ गहराई पर बनेगा।
व्यक्ति झील की सतह से $3 \ m$ ऊपर एक प्लेटफॉर्म पर खड़ा है। मान लीजिए कि प्रेक्षक की आँख का स्तर $O$ है।
बादल का उन्नयन कोण $\theta_1$,$\tan(\theta_1) = \frac{H - 3}{x}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x$ व्यक्ति से बादल की क्षैतिज दूरी है।
प्रतिबिंब का अवनमन कोण $\theta_2$,$\tan(\theta_2) = \frac{H + 3}{x}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $H - 3 \neq H + 3$,इसलिए उन्नयन कोण $\theta_1$ अवनमन कोण $\theta_2$ के बराबर नहीं है।

(FALSE) असत्य।
$Case-I$: मान लीजिए मीनार की ऊँचाई $h$ है और आधार से दूरी $BC = x \ m$ है।
$\triangle ABC$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{AC}{BC} = \frac{h}{x}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x} \implies h = \frac{x}{\sqrt{3}}$ ... $(i)$
$Case-II$: दी गई शर्त के अनुसार,मीनार की ऊँचाई दोगुनी कर दी जाती है,अर्थात $h' = 2h$।
मान लीजिए नया उन्नयन कोण $\theta$ है।
नए त्रिभुज में,$\tan \theta = \frac{h'}{x} = \frac{2h}{x}$।
समीकरण $(i)$ से $h = \frac{x}{\sqrt{3}}$ रखने पर:
$\tan \theta = \frac{2(x/\sqrt{3})}{x} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547$।
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \approx 1.732$,और $\tan \theta \approx 1.1547 < 1.732$ है,इसलिए $\theta < 60^{\circ}$ होगा।
अतः,उन्नयन कोण दोगुना नहीं होता है।

(A) सत्य।
$Case-I$: मान लीजिए कि मीनार की ऊँचाई $h$ है और उसके पाद से प्रेक्षण बिंदु की दूरी $x$ है।
$\triangle ABC$ में,$\tan \theta_1 = \frac{h}{x}$,जिसका अर्थ है $\theta_1 = \tan^{-1}(\frac{h}{x})$ ... $(i)$
$Case-II$: अब,मीनार की ऊँचाई $10 \%$ बढ़ जाती है,इसलिए नई ऊँचाई $h' = h + 0.1h = 1.1h = \frac{11h}{10}$ है।
प्रेक्षण बिंदु की दूरी भी $10 \%$ बढ़ जाती है,इसलिए नई दूरी $x' = x + 0.1x = 1.1x = \frac{11x}{10}$ है।
नए त्रिभुज में,$\tan \theta_2 = \frac{h'}{x'} = \frac{1.1h}{1.1x} = \frac{h}{x}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta_2 = \tan^{-1}(\frac{h}{x})$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें $\theta_1 = \theta_2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,उन्नयन कोण अपरिवर्तित रहता है।

(A) माना $\overline{AC}$ सीढ़ी है और $\overline{AB}$ दीवार है।
यहाँ $AB = 3 \, m$,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\angle C = 30^{\circ}$ दिया गया है।
$\triangle ABC$ में,
$\sin C = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC}$
$\sin 30^{\circ} = \frac{3}{AC}$
चूँकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{2} = \frac{3}{AC}$
$AC = 3 \times 2 = 6 \, m$.
अतः,सीढ़ी की लंबाई $6 \, m$ है।

(B) माना कि $\overline{AB}$ इमारत है और $C$ जमीन पर खड़े व्यक्ति की स्थिति है।
दिया गया है कि दूरी $BC = 10 \, m$ है।
शीर्ष $A$ से व्यक्ति $C$ का अवनमन कोण $45^{\circ}$ है।
चूँकि दृष्टि रेखा जमीन के समानांतर है,इसलिए $C$ से $A$ का उन्नयन कोण अवनमन कोण के बराबर होगा,अतः $\angle ACB = 45^{\circ}$।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में:
$\tan(C) = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan(45^{\circ}) = \frac{AB}{10}$
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए:
$1 = \frac{AB}{10}$
$AB = 10 \, m$।
अतः,इमारत की ऊँचाई $10 \, m$ है।

(C) माना $\overline{AB}$ खंभा है और $\overline{AC}$ जमीन पर बिंदु $C$ पर टिका हुआ तार है।
दिया गया है: $AC = 7 \, m$,$m\angle B = 90^{\circ}$ और $m\angle C = 30^{\circ}$।
$\Delta ABC$ में,हमारे पास है:
$\sin C = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC}$
$\sin 30^{\circ} = \frac{AB}{7}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{2} = \frac{AB}{7}$
$AB = \frac{7}{2} = 3.5 \, m$।
अतः,खंभे की ऊंचाई $3.5 \, m$ है।

(D) माना $AB$ टॉवर है और $C$ जमीन पर स्थित पत्थर है।
दिया गया है कि टॉवर की ऊँचाई $AB = 30 \, m$ है।
शीर्ष $A$ से पत्थर $C$ का अवनमन कोण $45^{\circ}$ है।
चूँकि $A$ से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा जमीन $BC$ के समानांतर है,इसलिए $C$ से $A$ का उन्नयन कोण अवनमन कोण के बराबर होगा,अतः $\angle ACB = 45^{\circ}$।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC}$
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए:
$1 = \frac{30}{BC}$
$BC = 30 \, m$।
अतः,पत्थर और टॉवर के बीच की दूरी $30 \, m$ है।

(A) आकृति से,हम देख सकते हैं कि सूर्य का उन्नयन कोण छाया के अंतिम बिंदु से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण है।
यहाँ,$AB$ मीनार है और $BC$ इसकी छाया है।
दिया है,$AB = 30 \ m$,$\angle B = 90^\circ$ और $\angle C = 45^\circ$.
$\Delta ABC$ में,$\tan C = \frac{AB}{BC}$.
$\tan 45^\circ = \frac{30}{BC}$.
$1 = \frac{30}{BC}$.
$BC = 30 \ m$.
अतः,मीनार की छाया की लंबाई $30 \ m$ है।

(B) माना $\overline{AB}$ एक ऊर्ध्वाधर खंभा है और $C$ प्रेक्षण बिंदु है।
दिया गया है कि खंभे के आधार से दूरी $BC = 20\, m$ है और उन्नयन कोण $\angle C = 60^\circ$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में,जहाँ $\angle B = 90^\circ$ है:
$\tan C = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan 60^\circ = \frac{AB}{20}$
चूँकि $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$:
$\sqrt{3} = \frac{AB}{20}$
$AB = 20 \times \sqrt{3}$
$AB = 20 \times 1.732 = 34.64\, m$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,खंभे की ऊँचाई $34.6\, m$ है।

(C) माना $\overline{AB}$ मीनार है और $C$ वस्तु है।
दिया गया है कि मीनार के आधार से वस्तु की दूरी $BC = 30 \ m$ है।
शीर्ष $A$ से वस्तु $C$ का अवनमन कोण $45^\circ$ है,अतः $\angle XAC = 45^\circ$।
चूँकि दृष्टि रेखा जमीन के समानांतर है,इसलिए $\angle ACB = \angle XAC = 45^\circ$ (एकांतर अंतःकोण)।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में,जहाँ $\angle B = 90^\circ$:
$\tan(C) = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan(45^\circ) = \frac{AB}{30}$
चूँकि $\tan(45^\circ) = 1$,इसलिए:
$1 = \frac{AB}{30}$
$AB = 30 \ m$।
अतः,मीनार की ऊँचाई $30 \ m$ है।

(D) मान लीजिए $B$ इमारत का आधार है,$C$ पहली मंजिल है और $A$ पंद्रहवीं मंजिल है। मान लीजिए $P$ अवलोकन बिंदु है जहाँ $BP = 50 \ m$ है।
$\Delta CBP$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\angle CPB = 30^{\circ}$ है।
$\tan 30^{\circ} = \frac{CB}{BP}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{CB}{50}$
$CB = \frac{50}{\sqrt{3}} = \frac{50 \times 1.732}{3} \approx 28.87 \ m$.
$\Delta ABP$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\angle APB = 60^{\circ}$ है।
$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BP}$
$\sqrt{3} = \frac{AB}{50}$
$AB = 50 \times \sqrt{3} = 50 \times 1.732 = 86.6 \ m$.
पहली मंजिल और पंद्रहवीं मंजिल के बीच की दूरी $AC = AB - CB$ है।
$AC = 86.6 - 28.87 = 57.73 \ m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $57.5 \ m$ है।

(N/A) माना $\overline{PM}$ पेड़ है और $\overline{OM}$ नदी की चौड़ाई है। $O$ और $A$ प्रेक्षण बिंदु हैं।
दिया है: $OA = 40 \ m$,$m\angle A = 30^{\circ}$,$m\angle O = 60^{\circ}$ और $m\angle M = 90^{\circ}$।
माना $OM = x \ m$ और $PM = h \ m$।
अतः,$MA = OM + OA = (x + 40) \ m$।
$\Delta PMO$ में,$m\angle M = 90^{\circ}$।
$\tan O = \frac{PM}{OM} \implies \tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies h = \sqrt{3}x \quad ...(1)$
$\Delta PMA$ में,$m\angle M = 90^{\circ}$।
$\tan A = \frac{PM}{AM} \implies \tan 30^{\circ} = \frac{h}{x + 40} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x + 40} \implies h = \frac{x + 40}{\sqrt{3}} \quad ...(2)$
$(1)$ और $(2)$ से:
$\sqrt{3}x = \frac{x + 40}{\sqrt{3}} \implies 3x = x + 40 \implies 2x = 40 \implies x = 20 \ m$।
अब,$h = \sqrt{3} \times 20 = 20\sqrt{3} \approx 20 \times 1.732 = 34.64 \ m$।
अतः,नदी की चौड़ाई $20 \ m$ है और पेड़ की ऊँचाई $34.64 \ m$ है।

(C) माना $CD$ टॉवर है जिसकी ऊँचाई $150\, m$ है। माना $A$ और $B$ टॉवर के पश्चिम और पूर्व में स्थित दो घर हैं।
$\Delta CDA$ में,$\angle D = 90^{\circ}$ और $\angle CAD = 45^{\circ}$ है।
$\tan(45^{\circ}) = \frac{CD}{AD} \implies 1 = \frac{150}{AD} \implies AD = 150\, m$.
$\Delta CDB$ में,$\angle D = 90^{\circ}$ और $\angle CBD = 30^{\circ}$ है।
$\tan(30^{\circ}) = \frac{CD}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{150}{BD} \implies BD = 150\sqrt{3} \approx 150 \times 1.73 = 259.5\, m$.
घरों के बीच की कुल दूरी $AB = AD + BD = 150 + 259.5 = 409.5\, m$ है।

(D) माना $\overline{AB}$ पहाड़ी है और $C$ तथा $D$ पहाड़ी के पश्चिम और पूर्व में स्थित दो घर हैं। दिया गया है,$AB = 340 \ m$.
पहाड़ी के शीर्ष से घर $C$ का अवनमन कोण $60^{\circ}$ और घर $D$ का अवनमन कोण $30^{\circ}$ है।
अतः,उन्नयन कोण $\angle ACB = 60^{\circ}$ और $\angle ADB = 30^{\circ}$ (एकांतर अंतःकोण)।
समकोण $\Delta ABC$ में,$\tan(60^{\circ}) = \frac{AB}{BC}$.
$\sqrt{3} = \frac{340}{BC} \implies BC = \frac{340}{\sqrt{3}} = \frac{340 \times 1.732}{3} \approx 196.3 \ m$.
समकोण $\Delta ABD$ में,$\tan(30^{\circ}) = \frac{AB}{BD}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{340}{BD} \implies BD = 340 \times \sqrt{3} = 340 \times 1.732 \approx 588.9 \ m$.
दोनों घरों के बीच की कुल दूरी $CD = BC + BD$.
$CD = 196.3 + 588.9 = 785.2 \ m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,दूरी $785.4 \ m$ है।

(A) माना पेड़ की कुल ऊँचाई $AC = 15\ m$ है। पेड़ जमीन से $BC = 5\ m$ की ऊँचाई पर बिंदु $B$ से टूट जाता है।
टूटा हुआ भाग $AB$ मुड़कर जमीन को बिंदु $D$ पर छूता है। अतः,टूटे हुए भाग की लंबाई $BD = AB = AC - BC = 15\ m - 5\ m = 10\ m$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta BCD$ में (जहाँ $\angle C = 90^{\circ}$),हमारे पास है:
$\sin D = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{BD}$
मान रखने पर:
$\sin D = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
चूँकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$D = 30^{\circ}$
अतः,पेड़ के टूटे हुए भाग द्वारा जमीन के साथ बनाया गया कोण $30^{\circ}$ है।

(B) चित्र में,$\overline{AB}$ एक पेड़ है और $C$ तथा $D$ नाव की दो स्थितियाँ दर्शाते हैं।
मान लीजिए नाव की स्थिर गति $v \text{ m/min}$ है और नाव को $D$ से $B$ तक पहुँचने में $t \text{ min}$ का समय लगता है।
मान लीजिए $AB = h$ है।
अब,सूत्र के अनुसार,$\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$,
$CD = 10v$ और $BD = vt$ है।
अब,$\Delta ABD$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BD}$ है।
$\therefore \sqrt{3} = \frac{h}{vt} \implies h = vt\sqrt{3} \quad ....(1)$
$\Delta ABC$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BC}$ है।
$\therefore \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{vt + 10v} \implies h = \frac{vt + 10v}{\sqrt{3}} \quad ....(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,
$vt\sqrt{3} = \frac{vt + 10v}{\sqrt{3}}$
$3vt = vt + 10v$
$2vt = 10v$
$t = 5$.
अतः,नाव को किनारे तक पहुँचने में $5$ मिनट लगेंगे।

(C) माना $AC$ पहाड़ी है जिसकी ऊँचाई $100 \, m$ है और $ED$ मीनार है।
माना $EB$ बिंदु $E$ से पहाड़ी $AC$ पर एक क्षैतिज रेखा है,जहाँ $B$,$AC$ पर स्थित है।
दिया है: $AC = 100 \, m$,$\angle XAE = 30^{\circ}$,और $\angle XAD = 45^{\circ}$।
चूँकि $AX \parallel ED$,इसलिए $\angle AEB = 30^{\circ}$ और $\angle ADC = 45^{\circ}$ (एकांतर अंतःकोण)।
समकोण $\Delta ACD$ में,$\tan(45^{\circ}) = \frac{AC}{DC}$।
$1 = \frac{100}{DC} \implies DC = 100 \, m$।
चूँकि $EDCB$ एक आयत है,इसलिए $EB = DC = 100 \, m$ और $BC = ED$।
समकोण $\Delta ABE$ में,$\tan(30^{\circ}) = \frac{AB}{EB}$।
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{100} \implies AB = \frac{100}{\sqrt{3}} \approx 57.74 \, m$।
मीनार की ऊँचाई $ED = BC = AC - AB = 100 - 57.74 = 42.26 \, m$।
निकटतम पूर्णांक में,मीनार की ऊँचाई $42 \, m$ है।

(D) माना $\overline{AB}$ इमारत $\overline{BC}$ के ऊपर लगा ध्वजदंड है और $D$ प्रेक्षण बिंदु है।
दिया है,$CD = 15\, m$.
$\Delta BCD$ में,$\angle C = 90^{\circ}$ और $\angle BDC = 45^{\circ}$.
$\tan(45^{\circ}) = \frac{BC}{CD} \implies 1 = \frac{BC}{15} \implies BC = 15\, m$.
$\Delta ACD$ में,$\angle C = 90^{\circ}$ और $\angle ADC = 60^{\circ}$.
$\tan(60^{\circ}) = \frac{AC}{CD} \implies \sqrt{3} = \frac{AC}{15} \implies AC = 15\sqrt{3} \approx 15 \times 1.73 = 25.95\, m$.
ध्वजदंड की ऊँचाई $AB = AC - BC = 25.95 - 15 = 10.95\, m$.

(A) माना $AB$ टॉवर है जिसकी ऊँचाई $510 \ m$ है। माना $C$ और $D$ टॉवर के पश्चिम और पूर्व दिशा में स्थित दो घर हैं।
$\Delta ABC$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC} \implies \sqrt{3} = \frac{510}{BC} \implies BC = \frac{510}{\sqrt{3}} = 170\sqrt{3} \ m$.
$\Delta ABD$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{510}{BD} \implies BD = 510\sqrt{3} \ m$.
दोनों घरों के बीच की दूरी $CD = BC + BD = 170\sqrt{3} + 510\sqrt{3} = 680\sqrt{3} \ m$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$CD = 680 \times 1.732 = 1177.76 \ m \approx 1178.1 \ m$.
अतः,दोनों घरों के बीच की दूरी $1178.1 \ m$ है।

(B) माना $\overline{AB}$ पहाड़ी की ऊँचाई $h \, m$ है। माना $D$ अवलोकन का पहला बिंदु है और $C$ अवलोकन का दूसरा बिंदु है।
दिया है: $DC = 30 \, m$,$\angle ADB = 30^\circ$,और $\angle ACB = 45^\circ$.
माना $BC = x \, m$.
$\Delta ABC$ में,$\tan 45^\circ = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{x}$.
चूँकि $\tan 45^\circ = 1$,हमारे पास $1 = \frac{h}{x}$ है,इसलिए $x = h$ $(1)$.
$\Delta ABD$ में,$\tan 30^\circ = \frac{AB}{BD} = \frac{h}{x + 30}$.
चूँकि $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$,हमारे पास $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x + 30}$ है।
$x + 30 = h\sqrt{3}$.
समीकरण $(1)$ से $x = h$ का मान रखने पर:
$h + 30 = h\sqrt{3}$.
$30 = h(\sqrt{3} - 1)$.
$h = \frac{30}{\sqrt{3} - 1} = \frac{30}{1.732 - 1} = \frac{30}{0.732} \approx 40.98 \, m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,पहाड़ी की ऊँचाई लगभग $41.10 \, m$ है।

(N/A) माना $\overline{CD}$ मीनार है और $A$ जमीन से $h \text{ m}$ की ऊँचाई पर स्थित प्रेक्षण बिंदु है।
माना $\overline{AE} \perp \overline{CD}$,जहाँ $E$,$\overline{CD}$ पर स्थित है।
तब,$\angle DAE = \alpha$,$\angle EAC = \beta$ और $AB = h \text{ m}$ है।
माना $CD = x \text{ m}$ और $BC = y \text{ m}$ है।
तब $AE = BC = y \text{ m}$ और $CE = AB = h \text{ m}$ है।
साथ ही,$DE = DC - CE = (x - h) \text{ m}$ है।
$\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है।
$\therefore \tan \beta = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{y} \implies y = \frac{h}{\tan \beta} \quad \dots(1)$
$\Delta DEA$ में,$\angle E = 90^{\circ}$ है।
$\therefore \tan \alpha = \frac{DE}{AE} = \frac{x - h}{y} \implies y = \frac{x - h}{\tan \alpha} \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ से:
$\frac{h}{\tan \beta} = \frac{x - h}{\tan \alpha}$
$h \tan \alpha = (x - h) \tan \beta$
$h \tan \alpha = x \tan \beta - h \tan \beta$
$x \tan \beta = h \tan \alpha + h \tan \beta$
$x \tan \beta = h(\tan \alpha + \tan \beta)$
$x = \frac{h(\tan \alpha + \tan \beta)}{\tan \beta}$
अतः,मीनार की ऊँचाई $\frac{h(\tan \alpha + \tan \beta)}{\tan \beta} \text{ m}$ है।

(N/A) माना $\overline{AB}$ बिजली का खंभा है और $\overline{AC}$ जमीन पर बिंदु $C$ पर स्थिर केबल है।
समकोण $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$,$\angle C = \theta$,और आधार $BC = a \text{ m}$ है।
खंभे की ऊँचाई $(AB)$ ज्ञात करने के लिए:
त्रिकोणमितीय अनुपात $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC}$ का उपयोग करने पर।
$\tan \theta = \frac{AB}{a}$
$AB = a \tan \theta \text{ m}$.
केबल की लंबाई $(AC)$ ज्ञात करने के लिए:
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sec \theta = \frac{\text{कर्ण}}{\text{आधार}} = \frac{AC}{BC}$ का उपयोग करने पर।
$\sec \theta = \frac{AC}{a}$
$AC = a \sec \theta \text{ m}$.
अतः,खंभे की ऊँचाई $a \tan \theta \text{ m}$ और केबल की लंबाई $a \sec \theta \text{ m}$ है।

(N/A) माना $AB$ ऊँचाई $h$ की एक मीनार है और $C$ तथा $D$ मीनार के एक ही ओर स्थित दो वाहन हैं,जहाँ $C$ मीनार के निकट है।
दिया है $CD = b$। माना $BC = x$।
तब $BD = BC + CD = x + b$।
शीर्ष $A$ से $C$ और $D$ के अवनमन कोण क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ हैं।
अतः,$\angle ACB = \alpha$ और $\angle ADB = \beta$ (एकांतर अंतःकोण)।
समकोण $\Delta ABC$ में,$\tan \alpha = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\tan \alpha} \quad (1)$।
समकोण $\Delta ABD$ में,$\tan \beta = \frac{AB}{BD} = \frac{h}{x + b} \implies x + b = \frac{h}{\tan \beta} \implies x = \frac{h}{\tan \beta} - b \quad (2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,$\frac{h}{\tan \alpha} = \frac{h}{\tan \beta} - b$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $b = \frac{h}{\tan \beta} - \frac{h}{\tan \alpha} = h \left( \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{\tan \alpha \tan \beta} \right)$।
अतः,$h = \frac{b \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha - \tan \beta}$।

(A) माना पहाड़ी की ऊँचाई $H = 100\, m$ है। मीनार की ऊँचाई $h$ है और पहाड़ी तथा मीनार के बीच की दूरी $x$ है।
ज्यामिति के अनुसार,मीनार के आधार के लिए (अवनमन कोण $45^{\circ}$):
$\tan(45^{\circ}) = \frac{H}{x} \implies 1 = \frac{100}{x} \implies x = 100\, m$.
मीनार के शीर्ष के लिए (अवनमन कोण $30^{\circ}$),मीनार के शीर्ष से पहाड़ी की ऊँचाई का अंतर $H - h$ है:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{H - h}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100 - h}{100}$.
$100 - h = \frac{100}{\sqrt{3}} \implies h = 100 - \frac{100}{\sqrt{3}} = 100(1 - \frac{1}{\sqrt{3}})$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$h = 100(1 - 0.577) = 100(0.423) = 42.3\, m$ (लगभग)।

(D) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और छाया की लंबाई $s = 90\, m$ है।
उन्नयन कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
मीनार और उसकी छाया द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,$\tan(\theta) = \frac{\text{ऊँचाई}}{\text{छाया की लंबाई}}$.
$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{90}$.
चूँकि $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{90}$.
$h = \frac{90}{\sqrt{3}} = \frac{90 \times \sqrt{3}}{3} = 30\sqrt{3}$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$h = 30 \times 1.732 = 51.96\, m$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,ऊँचाई $51.9\, m$ है।