Mix Examples-Conic Sections Questions in Hindi

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ हैं। यहाँ $a^2=16$ है। उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1-\frac{b^2}{16}}$ है। नाभि $(\pm 4 \times \sqrt{1-\frac{b^2}{16}}, 0) = (\pm \sqrt{16-b^2}, 0)$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=\frac{1}{25}$ के लिए,इसे $\frac{x^2}{(12/5)^2}-\frac{y^2}{(9/5)^2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = \frac{144}{25}$ और $b^2 = \frac{81}{25}$ है।
उत्केंद्रता $e_2 = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{81/25}{144/25}} = \sqrt{1+\frac{81}{144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae_2, 0) = (\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
चूंकि नाभियाँ संपाती हैं,$\sqrt{16-b^2} = 3$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$16-b^2 = 9$,जिससे $b^2 = 7$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $S = \frac{x^2}{k-7} + \frac{y^2}{11-k} = 1$.
$k=9$ के लिए: $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} = 1$,जो $\sqrt{2}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है। कथन $A$ सही है।
$k=10$ के लिए: $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{1} = 1$,जो $a^2=3, b^2=1$ वाला एक दीर्घवृत्त है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$. कथन $B$ सही है।
$k=12$ के लिए: $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{1} = 1$,जो $a^2=5, b^2=1$ वाला एक अतिपरवलय है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{6}{5}}$. कथन $C$ सही है।
$k=13$ के लिए: $\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{2} = 1$,जो $a^2=6, b^2=2$ वाला एक अतिपरवलय है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{4}{3}}$. कथन $D$ गलत है।

(C) माना परवलय $y^2 = 8x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है,जहाँ $a = 2$ है। अतः,$y = mx + \frac{2}{m}$।
यह रेखा अतिपरवलय $xy = -1$ की भी स्पर्श रेखा है,जिसे $y = -\frac{1}{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = mx + \frac{2}{m}$ को $xy = -1$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x(mx + \frac{2}{m}) = -1$ प्राप्त होता है,जो $mx^2 + \frac{2}{m}x + 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि रेखा स्पर्श रेखा है,इसलिए इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए।
$D = (\frac{2}{m})^2 - 4(m)(1) = 0$.
$\frac{4}{m^2} - 4m = 0 \implies 4 = 4m^3 \implies m^3 = 1 \implies m = 1$.
$m = 1$ को स्पर्श रेखा के समीकरण $y = mx + \frac{2}{m}$ में रखने पर,हमें $y = x + 2$ या $x - y + 2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ की जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ के अनुसार $xh - yk = h^2 - k^2$ है।
इसे व्यवस्थित करने पर,$y = \frac{h}{k}x - \frac{h^2 - k^2}{k}$ प्राप्त होता है।
यह रेखा $y^2 = 4ax$ परवलय को स्पर्श करती है। रेखा $y = mx + c$ के $y^2 = 4ax$ को स्पर्श करने की शर्त $c = \frac{a}{m}$ है।
यहाँ,$m = \frac{h}{k}$ और $c = -\frac{h^2 - k^2}{k}$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $-\frac{h^2 - k^2}{k} = \frac{ak}{h}$।
$-h(h^2 - k^2) = ak^2$।
$h(k^2 - h^2) = ak^2$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $x(y^2 - x^2) = ay^2$ है।

(B) परवलय $y^2 = 8x$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{2}{m}$ है।
अतिपरवलय $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{m^2 - 3}$ है।
तुलना करने पर,$\frac{2}{m} = \pm \sqrt{m^2 - 3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{4}{m^2} = m^2 - 3$,अर्थात $m^4 - 3m^2 - 4 = 0$।
$t = m^2$ रखने पर,$t^2 - 3t - 4 = 0$,जिससे $(t - 4)(t + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $m^2 = 4$,इसलिए $m = \pm 2$ है।
धनात्मक ढाल के लिए,$m = 2$ है।
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $y = 2x + 1$ या $y - 2x - 1 = 0$ है।

(C) माना वक्र $C_1: y^2 = 16x$ और $C_2: 9x^2 + \alpha y^2 = 25$ हैं।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ ज्ञात करें।
$C_1$ से,$y^2 = 16x$। इसे $C_2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $9x^2 + \alpha(16x) = 25 \implies 9x^2 + 16\alpha x - 25 = 0$।
वक्रों के समकोण पर प्रतिच्छेद करने के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु पर उनकी प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ होना चाहिए।
$C_1$ का अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 16 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{8}{y}$।
$C_2$ का अवकलन करने पर: $18x + 2\alpha y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{9x}{\alpha y}$।
प्रतिच्छेदन बिंदु पर,प्रवणताओं का गुणनफल $(\frac{8}{y})(-\frac{9x}{\alpha y}) = -1 \implies \frac{72x}{\alpha y^2} = 1$ है।
चूंकि $y^2 = 16x$,हमारे पास $\frac{72x}{\alpha(16x)} = 1 \implies \frac{72}{16\alpha} = 1 \implies 16\alpha = 72 \implies \alpha = \frac{72}{16} = \frac{9}{2}$ है।

(D) दिए गए वक्र $2x^2 + ky^2 = 30$ ...$(i)$ और $3y^2 = 28x$ ...(ii) हैं।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $4x + 2ky \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{ky} = m_1$.
(ii) का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $6y \frac{dy}{dx} = 28 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{14}{3y} = m_2$.
चूंकि वक्र लंबकोणीय काटते हैं,इसलिए $m_1 m_2 = -1$.
$\left( \frac{-2x}{ky} \right) \left( \frac{14}{3y} \right) = -1 \Rightarrow \frac{28x}{3ky^2} = 1$.
(ii) से,$3y^2 = 28x$,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{28x}{k(28x)} = 1 \Rightarrow \frac{1}{k} = 1 \Rightarrow k = 1$.

(C) दिए गए वक्र $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$ और $y^3 = 16x$ हैं।
मान लीजिए कि वक्र बिंदु $(x_1, y_1)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
प्रथम वक्र $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{4} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{a^2y}$.
अतः,$m_1 = -\frac{4x_1}{a^2y_1}$.
दूसरे वक्र $y^3 = 16x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3y^2 \frac{dy}{dx} = 16 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{16}{3y^2}$.
अतः,$m_2 = \frac{16}{3y_1^2}$.
चूंकि वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$.
$(-\frac{4x_1}{a^2y_1}) \times (\frac{16}{3y_1^2}) = -1$.
$\frac{64x_1}{3a^2y_1^3} = 1$.
चूंकि $(x_1, y_1)$ वक्र $y^3 = 16x$ पर स्थित है,इसलिए $y_1^3 = 16x_1$ है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{64x_1}{3a^2(16x_1)} = 1
\implies \frac{64x_1}{48a^2x_1} = 1
\implies \frac{4}{3a^2} = 1
\implies a^2 = \frac{4}{3}$.

(B) सबसे पहले,हम $l$ की गणना करते हैं:
$l = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{3 \sin \theta - 4 \sin^2 \theta}{\theta} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \left( 3 \frac{\sin \theta}{\theta} - 4 \sin \theta \cdot \frac{\sin \theta}{\theta} \right) = 3(1) - 4(0)(1) = 3$.
इसके बाद,हम $m$ की गणना करते हैं:
$m = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \tan \theta}{\theta(1 - \tan^2 \theta)} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \left( \frac{\tan \theta}{\theta} \cdot \frac{2}{1 - \tan^2 \theta} \right) = 1 \cdot \frac{2}{1 - 0} = 2$.
$l=3$ और $m=2$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (l+m)x + lm = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 - (3+2)x + (3 \times 2) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - 5x + 6 = 0$ हो जाता है।

(A) के लिए: माना $x = \frac{p}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)$ और $y = \frac{q}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)$.
$\Rightarrow \frac{2x}{p} = t+\frac{1}{t}$ और $\frac{2y}{q} = t-\frac{1}{t}$.
वर्ग करके घटाने पर: $\left(\frac{2x}{p}\right)^2 - \left(\frac{2y}{q}\right)^2 = \left(t+\frac{1}{t}\right)^2 - \left(t-\frac{1}{t}\right)^2 = 4$.
$\Rightarrow \frac{x^2}{p^2} - \frac{y^2}{q^2} = 1$,जो एक अतिपरवलय को दर्शाता है। अतः,$(A \rightarrow IV)$.
$(B)$ के लिए: माना $x = p+q \cos \theta$ और $y = r+q \sin \theta$.
$\Rightarrow (x-p) = q \cos \theta$ और $(y-r) = q \sin \theta$.
वर्ग करके जोड़ने पर: $(x-p)^2 + (y-r)^2 = q^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = q^2$.
यह एक वृत्त को दर्शाता है। अतः,$(B \rightarrow II)$.
$(C)$ के लिए: माना $x = p+\lambda^2$ और $y = q-\lambda$.
$\Rightarrow \lambda = q-y$.
$x$ में $\lambda$ का मान रखने पर: $x = p + (q-y)^2$.
$\Rightarrow (y-q)^2 = x-p$,जो एक परवलय को दर्शाता है। अतः,$(C \rightarrow I)$.
अतः,सही मिलान $(A$ $\rightarrow IV, B$ $\rightarrow II, C$ $\rightarrow I)$ है।

(D) परवलय $y^2=16x$ के लिए,$a=4$ है। परवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{4}{m}$ है।
वृत्त $x^2+y^2=8$ के लिए,त्रिज्या $r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ है। वृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx \pm 2\sqrt{2}\sqrt{1+m^2}$ है।
चूंकि ये एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए अचर पद समान होंगे:
$\frac{4}{m} = \pm 2\sqrt{2}\sqrt{1+m^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{16}{m^2} = 8(1+m^2)$.
$8$ से भाग देने पर,$\frac{2}{m^2} = 1+m^2$,जिससे $m^4+m^2-2=0$ प्राप्त होता है।
$t=m^2$ लेने पर,$t^2+t-2=0$,अतः $(t+2)(t-1)=0$। चूंकि $t=m^2 \ge 0$,इसलिए $m^2=1$,अर्थात $m=\pm 1$।
$m=1$ रखने पर: $y=x+4$।
$m=-1$ रखने पर: $y=-x-4$।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं $y=x+4$ और $y=-x-4$ हैं।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नाभिलंब के सिरे $(\pm ae, \frac{b^2}{a})$ हैं।
चूंकि ये बिंदु परवलय $x^2 + 2ay - 4 = 0$ पर स्थित हैं,इसलिए $x = ae$ और $y = \frac{b^2}{a}$ को समीकरण में रखने पर:
$(ae)^2 + 2a(\frac{b^2}{a}) - 4 = 0$
$a^2e^2 + 2b^2 - 4 = 0$
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर:
$a^2e^2 + 2a^2(1 - e^2) - 4 = 0$
$2a^2 - a^2e^2 = 4$
$a^2 = \frac{4}{2 - e^2}$ और $b^2 = \frac{4(1 - e^2)}{2 - e^2}$ प्राप्त होता है।
$a^2 + b^2 = \frac{4 + 4 - 4e^2}{2 - e^2} = 4$।
अतः,बिंदु $(a, b)$ समीकरण $x^2 + y^2 = 4$ को संतुष्ट करते हैं।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(i)$ और परवलय का समीकरण $y^2=8ax$ $(ii)$ है।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2x}{a^2}+\frac{2yy'}{b^2}=0 \Rightarrow y'=-\frac{b^2x}{a^2y}$ प्राप्त होता है।
$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2yy'=8a \Rightarrow y'=\frac{4a}{y}$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,उनके ढाल का गुणनफल $-1$ होगा।
$\left(-\frac{b^2x}{a^2y}\right) \times \left(\frac{4a}{y}\right) = -1$
$\Rightarrow \frac{4b^2x}{a^2y^2} = 1$ $\Rightarrow 4b^2x = a^2y^2$.
$y^2=8ax$ को इस समीकरण में रखने पर:
$4b^2x = a^2(8ax)$ $\Rightarrow 4b^2 = 8a^2$ $\Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = 2$ $\Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = \frac{1}{2}$.
दीर्घवृत्त के लिए $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
अतः,$e^4 = (e^2)^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $5x^2 + 9y^2 = 45$ है। $45$ से भाग देने पर,$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ प्राप्त होता है। यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 5$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $5x^2 - 4y^2 = 45$ है। $45$ से भाग देने पर,$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{45/4} = 1$ प्राप्त होता है। यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = \frac{45}{4}$ है। उत्केंद्रता $e^{\prime} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{45/4}{9}} = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$ee^{\prime} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$।

(B) $X$-अक्ष के लंबवत रेखा $x = 3 \cos \alpha$ लें। वृत्त $x^2+y^2=9$ पर बिंदु $A$ $(3 \cos \alpha, 3 \sin \alpha)$ है। $A$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 3$ है। ढाल $m_1 = -\cot \alpha$ है।
दीर्घवृत्त $4x^2+9y^2=36$ पर बिंदु $B$ $(3 \cos \alpha, 2 \sin \alpha)$ है। $B$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $2x \cos \alpha + 3y \sin \alpha = 6$ है। ढाल $m_2 = -\frac{2}{3} \cot \alpha$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \frac{\cot \alpha}{3 + 2 \cot^2 \alpha}$ प्राप्त होता है।
$f(u) = \frac{u}{3 + 2u^2}$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$u = \sqrt{\frac{3}{2}}$ रखने पर,$\tan \theta = \frac{1}{2 \sqrt{6}}$ प्राप्त होता है।

(D) माना उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + c$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{4} = 1$ के लिए,स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
यहाँ $a^2 = 49$ और $b^2 = 4$ है,इसलिए $c^2 = 49m^2 + 4$ $(i)$.
वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ के लिए,स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = r^2(1 + m^2)$ है।
यहाँ $r^2 = 16$ है,इसलिए $c^2 = 16(1 + m^2)$ (ii).
$(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$49m^2 + 4 = 16 + 16m^2$
$33m^2 = 12$
$m^2 = \frac{12}{33} = \frac{4}{11}$
$m = \pm \frac{2}{\sqrt{11}}$
अतः,ढाल $\frac{2}{\sqrt{11}}$ है।

(D) दिए गए शांकव का समीकरण: $\frac{5}{r}=2+3 \cos \theta+4 \sin \theta$ है।
समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर: $\frac{5/2}{r} = 1 + \frac{3}{2} \cos \theta + 2 \sin \theta$ प्राप्त होता है।
हम $\frac{3}{2} \cos \theta + 2 \sin \theta$ को $e \cos(\theta - \phi)$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $e = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$ है।
अतः,समीकरण $\frac{5/2}{r} = 1 + \frac{5}{2} \cos(\theta - \phi)$ हो जाता है।
इसे मानक ध्रुवीय रूप $\frac{l}{r} = 1 + e \cos(\theta - \phi)$ से तुलना करने पर,हमें उत्केंद्रता $e = \frac{5}{2}$ प्राप्त होती है।

(C) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ है,जिसे $\frac{x^2}{(12/5)^2} - \frac{y^2}{(9/5)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a_1^2 = \frac{144}{25}$ और $b_1^2 = \frac{81}{25}$ है।
उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1 + \frac{b_1^2}{a_1^2}} = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ है।
अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm a_1 e_1, 0) = (\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,नाभियाँ $(\pm a_2 e_2, 0) = (\pm 4 e_2, 0)$ हैं।
चूँकि नाभियाँ संपाती हैं,$4 e_2 = 3$,इसलिए $e_2 = \frac{3}{4}$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,$e_2^2 = 1 - \frac{b^2}{a_2^2} = 1 - \frac{b^2}{16}$ होता है।
$e_2 = \frac{3}{4}$ रखने पर,$\frac{9}{16} = 1 - \frac{b^2}{16}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{b^2}{16} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$,जिसका अर्थ है कि $b^2 = 7$।

(A) दिया गया है कि $p$ और $q$ क्रमशः अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ और इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रताएँ हैं।
हम जानते हैं कि $p^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2}$ और $q^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = \frac{a^2+b^2}{b^2}$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{p^2} + \frac{y^2}{q^2} = 1$ है।
$p^2$ और $q^2$ के मान रखने पर,हमें $\frac{x^2 a^2}{a^2+b^2} + \frac{y^2 b^2}{a^2+b^2} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $a^2 x^2 + b^2 y^2 = a^2 + b^2$ हो जाता है।
रेखाओं का युग्म $x^2 - y^2 = 0$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $y^2 = x^2$ है।
दीर्घवृत्त के समीकरण में $y^2 = x^2$ रखने पर: $a^2 x^2 + b^2 x^2 = a^2 + b^2$ प्राप्त होता है।
$(a^2 + b^2) x^2 = a^2 + b^2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$ है।
चूँकि $y^2 = x^2$ है,इसलिए $y = \pm 1$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)$ हैं।
ये बिंदु $s = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = 2$ भुजा वाले एक वर्ग का निर्माण करते हैं।
वर्ग का क्षेत्रफल = $s^2 = 2^2 = 4$ वर्ग इकाइयाँ।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ है। यहाँ $a^2=25$ और $b^2=16$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^2=a^2(1-e^2)$,अतः $16=25(1-e^2)$,जिससे $e^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$ प्राप्त होता है,अर्थात $e=\frac{3}{5}$।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ है। यहाँ $a^2=4$ है।
माना अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_1$ है। नाभियाँ $(\pm ae_1, 0) = (\pm 2e_1, 0)$ हैं।
चूँकि नाभियाँ संपाती हैं,$2e_1=3$,अतः $e_1=\frac{3}{2}$।
अतिपरवलय के लिए,$b^2=a^2(e_1^2-1)$।
मान रखने पर,$b^2=4((\frac{3}{2})^2-1) = 4(\frac{9}{4}-1) = 4(\frac{5}{4}) = 5$।

(B) दिए गए वक्र $x^2-y^2=4$ ...$(i)$ और $x^2+y^2=4\sqrt{2}$ ...(ii) हैं।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर, $2x^2 = 4(1+\sqrt{2})$, जिससे $x^2 = 2(1+\sqrt{2})$ प्राप्त होता है।
समीकरण (ii) से $(i)$ घटाने पर, $2y^2 = 4(\sqrt{2}-1)$, जिससे $y^2 = 2(\sqrt{2}-1)$ प्राप्त होता है।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x - 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} = m_1$.
(ii) का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} = m_2$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left|\frac{2x/y}{1 - x^2/y^2}\right| = \left|\frac{2xy}{y^2-x^2}\right|$.
यहाँ $y^2-x^2 = -4$ और $x^2y^2 = 4(2-1) = 4$, इसलिए $xy = 2$.
अतः, $\tan \theta = \left|\frac{2(2)}{-4}\right| = 1$.
इस प्रकार, $\theta = \frac{\pi}{4}$.

(D) दिए गए दो वक्र परिवार $y^2=4ax$ और $x^2+\frac{y^2}{2}=c^2$ हैं।
प्रथम परिवार $y^2=4ax$ के लिए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4a$ प्राप्त होता है। $4a = \frac{y^2}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर, $2y \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x}$ मिलता है, जिसका अर्थ है $m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{y}{2x}$।
दूसरे परिवार $x^2+\frac{y^2}{2}=c^2$ के लिए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x + y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$।
ढाल का गुणनफल $m_1 \times m_2 = \left(\frac{y}{2x}\right) \times \left(-\frac{2x}{y}\right) = -1$ है।
चूंकि ढाल का गुणनफल $-1$ है, इसलिए वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। अतः, वक्रों के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) दिए गए समीकरण $2x^2 + y^2 = 20$ $(1)$ और $4y^2 - x^2 = 8$ $(2)$ हैं।
$(2)$ से, $x^2 = 4y^2 - 8$. इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(4y^2 - 8) + y^2 = 20$
$8y^2 - 16 + y^2 = 20$
$9y^2 = 36 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
चूंकि प्रतिच्छेदन $4^{th}$ चतुर्थांश में है, इसलिए $y = -2$ लेते हैं।
$y = -2$ को $x^2 = 4y^2 - 8$ में रखने पर:
$x^2 = 4(4) - 8 = 8 \Rightarrow x = \pm 2\sqrt{2}$.
$4^{th}$ चतुर्थांश में $x > 0$ होता है, अतः $x = 2\sqrt{2}$. बिंदु $(2\sqrt{2}, -2)$ है।
$(2)$ का अवकलन करने पर: $8y \frac{dy}{dx} - 2x = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{4y}$.
$(2\sqrt{2}, -2)$ पर, $m_1 = \frac{2\sqrt{2}}{4(-2)} = -\frac{\sqrt{2}}{4} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$(1)$ का अवकलन करने पर: $4x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$.
$(2\sqrt{2}, -2)$ पर, $m_2 = -\frac{2(2\sqrt{2})}{-2} = 2\sqrt{2}$.
चूंकि $m_1 \times m_2 = (-\frac{1}{2\sqrt{2}}) \times (2\sqrt{2}) = -1$, अतः वक्र लंबकोणीय हैं।
इसलिए, वक्रों के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(D) दिए गए वक्र $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{8}=1$ $(i)$ और $x^2-y^2=5$ (ii) हैं।
(ii) से, $x^2 = 5+y^2$. $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{5+y^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1 \Rightarrow \frac{20+4y^2+9y^2}{72} = 1 \Rightarrow 13y^2 = 52 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
यदि $y = 2$, तो $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. यदि $y = -2$, तो $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.
प्रतिच्छेदन बिंदु: $A(3, 2), B(-3, 2), C(-3, -2), D(3, -2)$.
$(i)$ का अवकलन करने पर: $\frac{2x}{18} + \frac{2yy'}{8} = 0 \Rightarrow y' = -\frac{4x}{9y}$.
(ii) का अवकलन करने पर: $2x - 2yy' = 0 \Rightarrow y' = \frac{x}{y}$.
$A(3, 2)$ पर: $m_1 = -\frac{4(3)}{9(2)} = -\frac{2}{3}$, $m_2 = \frac{3}{2}$.
$\tan \theta_1 = |\frac{3/2 - (-2/3)}{1 + (3/2)(-2/3)}| = |\frac{13/6}{0}| \to \infty \Rightarrow \theta_1 = 90^\circ$.
दोनों अक्षों के सापेक्ष वक्रों की समरूपता के कारण, चारों बिंदुओं पर प्रतिच्छेदन कोण समान रहेगा।
अतः, $\theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = \theta_4$.

(D) दिए गए वक्र $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ $(i)$ और $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{k}=1$ (ii) हैं।
वक्र $(i)$ के लिए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{2x}{4} + \frac{2yy'}{9} = 0 \Rightarrow y'_1 = -\frac{9x}{4y}$.
वक्र (ii) के लिए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{2x}{16} - \frac{2yy'}{k} = 0 \Rightarrow y'_2 = \frac{kx}{16y}$.
चूंकि वक्र लंबकोणीय हैं, $y'_1 \times y'_2 = -1$.
अवकलजों का मान रखने पर: $(-\frac{9x}{4y}) \times (\frac{kx}{16y}) = -1 \Rightarrow \frac{9kx^2}{64y^2} = 1 \Rightarrow 9kx^2 = 64y^2$.
$(i)$ से, $y^2 = 9(1 - \frac{x^2}{4}) = \frac{9(4-x^2)}{4}$.
$y^2$ का मान लंबकोणीयता की शर्त में रखने पर: $9kx^2 = 64 \times \frac{9(4-x^2)}{4} = 16 \times 9(4-x^2) = 144(4-x^2)$.
$kx^2 = 16(4-x^2) = 64 - 16x^2 \Rightarrow x^2(k+16) = 64 \Rightarrow x^2 = \frac{64}{k+16}$.
$x^2$ का मान $(i)$ में रखने पर: $\frac{64}{4(k+16)} + \frac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow \frac{16}{k+16} + \frac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow \frac{y^2}{9} = 1 - \frac{16}{k+16} = \frac{k}{k+16} \Rightarrow y^2 = \frac{9k}{k+16}$.
$x^2$ और $y^2$ का मान $9kx^2 = 64y^2$ में रखने पर: $9k(\frac{64}{k+16}) = 64(\frac{9k}{k+16})$.
समीकरणों को घटाने पर: $(\frac{1}{4} - \frac{1}{16})x^2 + (\frac{1}{9} + \frac{1}{k})y^2 = 0 \Rightarrow \frac{3}{16}x^2 + \frac{k+9}{9k}y^2 = 0$.
$9kx^2 = 64y^2 \Rightarrow x^2 = \frac{64y^2}{9k}$ का उपयोग करने पर: $\frac{3}{16}(\frac{64y^2}{9k}) + \frac{k+9}{9k}y^2 = 0 \Rightarrow \frac{4y^2}{3k} + \frac{(k+9)y^2}{9k} = 0$.
$y^2/9k$ से विभाजित करने पर: $12 + k + 9 = 0 \Rightarrow k = -21$.

(A, B, C) रेखा $y=x+5$ है, इसलिए $m=1$ और $c=5$ है।
$(A)$ परवलय $y^2=4ax$ के लिए, स्पर्श रेखा की शर्त $c=\frac{a}{m}$ है। यहाँ $4a=20 \Rightarrow a=5$ है। अतः $c=\frac{5}{1}=5$ है। रेखा स्पर्श रेखा है।
$(B)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए, स्पर्श रेखा की शर्त $c^2=a^2m^2+b^2$ है। यहाँ $a^2=16, b^2=9$ है। अतः $c^2=5^2=25$ और $a^2m^2+b^2=16(1)^2+9=25$ है। रेखा स्पर्श रेखा है।
$(C)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए, स्पर्श रेखा की शर्त $c^2=a^2m^2-b^2$ है। यहाँ $a^2=29, b^2=4$ है। अतः $c^2=5^2=25$ और $a^2m^2-b^2=29(1)^2-4=25$ है। रेखा स्पर्श रेखा है।
$(D)$ वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के लिए, स्पर्श रेखा की शर्त $c^2=r^2(1+m^2)$ है। यहाँ $r^2=25, m=1$ है। अतः $c^2=25$ और $r^2(1+m^2)=25(1+1)=50$ है। चूंकि $25 \neq 50$, रेखा स्पर्श रेखा नहीं है।
इसलिए, विकल्प $(A)$, $(B)$, और $(C)$ सही हैं।

(A) परवलय $y^{2}=4ax$ के बिंदु $(at^{2}, 2at)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + at^{2}$ है, जिसे $x - ty + at^{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतिपरवलय $x^{2}-y^{2}=a^{2}$ के बिंदु $(a \sec \theta, a \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{ax}{\sec \theta} + \frac{ay}{\tan \theta} = 2a^{2}$ है, जो सरल होकर $x \cos \theta + y \cot \theta = 2a$ हो जाता है।
दोनों समीकरणों $x - ty + at^{2} = 0$ और $x \cos \theta + y \cot \theta - 2a = 0$ की तुलना करने पर, गुणांकों का अनुपात:
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{-t}{\cot \theta} = \frac{at^{2}}{-2a}$।
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{-t}{\cot \theta}$ से, हमें $t = -\frac{\cot \theta}{\cos \theta} = -\operatorname{cosec} \theta$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण $4x^{2} + 9y^{2} = 1$ (समीकरण $I$) और $4x^{2} + y^{2} = 4$ (समीकरण $II$) हैं।
समीकरण $II$ में से समीकरण $I$ को घटाने पर:
$(4x^{2} + y^{2}) - (4x^{2} + 9y^{2}) = 4 - 1$
$-8y^{2} = 3$
$y^{2} = -\frac{3}{8}$
चूंकि $y$ के वास्तविक मानों के लिए $y^{2}$ ऋणात्मक नहीं हो सकता है, इसलिए $y$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः, दोनों शांकव वास्तविक तल में प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या $0$ है।

(A) परवलय $y^{2}=8 \sqrt{3} x$ के लिए स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx+c$ है, जहाँ $c=\frac{a}{m}$.
यहाँ $4a=8 \sqrt{3}$, इसलिए $a=2 \sqrt{3}$.
अतः, $c=\frac{2 \sqrt{3}}{m}$.
अतिपरवलय $4x^{2}-y^{2}=4$ के लिए, $\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{4}=1$, जहाँ $a^{2}=1$ और $b^{2}=4$.
स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ है.
मान रखने पर, $c^{2}=m^{2}-4$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\left(\frac{2 \sqrt{3}}{m}\right)^{2}=m^{2}-4$
$\frac{12}{m^{2}}=m^{2}-4$
$m^{4}-4m^{2}-12=0$
$(m^{2}-6)(m^{2}+2)=0$.
$m^{2}=-2$ संभव नहीं है, इसलिए $m^{2}=6$, अर्थात $m=\sqrt{6}$ (धनात्मक ढाल के लिए).
अतः $c=\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\sqrt{2}$.
इस प्रकार, स्पर्शरेखा का समीकरण $y=\sqrt{6}x+\sqrt{2}$ है.

(C) अतिपरवलय $x^{2} - y^{2} \sec^{2} \theta = 8$ के लिए, इसे $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{8 \cos^{2} \theta} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^{2} = 8$ और $b^{2} = 8 \cos^{2} \theta$ है।
$e_{1} = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 + \cos^{2} \theta}$.
$l_{1} = \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(8 \cos^{2} \theta)}{\sqrt{8}} = 4 \sqrt{2} \cos^{2} \theta$.
दीर्घवृत्त $x^{2} \sec^{2} \theta + y^{2} = 6$ के लिए, इसे $\frac{x^{2}}{6 \cos^{2} \theta} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^{2} = 6$ और $b^{2} = 6 \cos^{2} \theta$ है।
$e_{2} = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \cos^{2} \theta} = \sin \theta$.
$l_{2} = \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(6 \cos^{2} \theta)}{\sqrt{6}} = 2 \sqrt{6} \cos^{2} \theta$.
दिया गया है कि $e_{1}^{2} = e_{2}^{2}(\sec^{2} \theta + 1)$, इसलिए $1 + \cos^{2} \theta = \sin^{2} \theta (1 + \frac{1}{\cos^{2} \theta}) = \sin^{2} \theta (\frac{\cos^{2} \theta + 1}{\cos^{2} \theta}) = \tan^{2} \theta (1 + \cos^{2} \theta)$.
चूँकि $1 + \cos^{2} \theta \neq 0$, इसलिए $\tan^{2} \theta = 1$ प्राप्त होता है, अतः $\theta = \frac{\pi}{4}$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ के लिए, $\cos^{2} \theta = \frac{1}{2}$, $e_{1} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$, $l_{1} = 4 \sqrt{2} (\frac{1}{2}) = 2 \sqrt{2}$.
$e_{2} = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $l_{2} = 2 \sqrt{6} (\frac{1}{2}) = \sqrt{6}$.
अतः $(\frac{l_{1}l_{2}}{e_{1}e_{2}}) \tan^{2} \theta = (\frac{2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}) \cdot 1 = \frac{2 \sqrt{12}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \cdot 2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$.

(D) दीर्घवृत्त $E$ के लिए, उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और नियता $x = \frac{a}{e} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ है।
अतः, $a = \frac{4\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{2}$.
चूँकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$, हमारे पास $b^2 = 8(1 - 3/4) = 2$ है, इसलिए $b = \sqrt{2}$.
अतिपरवलय $H$ के लिए, उत्केंद्रता $e_H = a = 2\sqrt{2}$.
$H$ के नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b_H^2}{a_H} = 2b = 2\sqrt{2}$ है।
साथ ही, अतिपरवलय $H$ के लिए, $b_H^2 = a_H^2(e_H^2 - 1) = a_H^2(8 - 1) = 7a_H^2$.
इसे नाभिलंब के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2(7a_H^2)}{a_H} = 2\sqrt{2} \implies 14a_H = 2\sqrt{2} \implies a_H = \frac{\sqrt{2}}{7}$.
$H$ की नाभियों के बीच की दूरी $2a_H e_H = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{7} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{8}{7}$ है।

(C) दी गई सीमा: $\lim_{x \to 2} \frac{\tan(x-2)}{x-2} \cdot \frac{rx^2 + px - 2x - 2p}{x-2} = 5$.
चूंकि $\lim_{x \to 2} \frac{\tan(x-2)}{x-2} = 1$, इसलिए $\lim_{x \to 2} \frac{r(x^2-4) + p(x-2)}{x-2} = 5$.
यह सरल होकर $\lim_{x \to 2} (r(x+2) + p) = 4r + p = 5$ हो जाता है, अतः $p = 5 - 4r$.
समीकरण $f(x) = rx^2 - px + q = 0$ के मूल $(0, 2)$ में स्थित होने के लिए, हम मानते हैं कि $r > 0$.
शर्तें:
$1) D = p^2 - 4rq \ge 0 \implies q \le \frac{p^2}{4r}$.
$2) f(0) = q > 0$.
$3) f(2) = 4r - 2p + q > 0 \implies q > 2p - 4r$.
$4) 0 < \frac{p}{2r} < 2 \implies 0 < p < 4r$.
$p = 5-4r$ प्रतिस्थापित करने पर: $0 < 5-4r < 4r \implies 5/8 < r < 5/4$.
एक निश्चित $r$ के लिए, $q \in (2p-4r, p^2/4r]$.
सीमाओं की गणना और $q$ के लिए अनुकूलन करने पर अंतराल $(\alpha, \beta] = (0, 25/16]$ प्राप्त होता है।
अतः, $\alpha = 0, \beta = 25/16$.
$4(\alpha + \beta) = 4(0 + 25/16) = 17$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0$ है। पूर्ण वर्ग बनाने पर, हमें $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 4$ प्राप्त होता है। अतः, केंद्र $C(3, 4)$ है और त्रिज्या $r=2$ है।
परवलय का समीकरण $x^2 + 6x + y + 13 = 0$ है। इसे $(x+3)^2 = -(y+4)$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः, परवलय का शीर्ष $V(-3, -4)$ है।
केंद्र $C(3, 4)$ और शीर्ष $V(-3, -4)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ है।
वृत्त पर स्थित बिंदु $P$ की शीर्ष $V$ से अधिकतम दूरी $d + r = 10 + 2 = 12$ है।

(C) अतिपरवलय के लिए, उत्केंद्रता $e > 1$ होती है। दीर्घवृत्त के लिए, $0 < e < 1$ होती है। समीकरण $x^2 - ax + 2 = 0$ के मूल $e_1, e_2$ हैं।
योग $e_1 + e_2 = a$ और गुणनफल $e_1 e_2 = 2$ है।
$S_1$ के लिए, दोनों $e_1, e_2 > 1$ हैं। चूंकि $e_1 e_2 = 2$, यदि $e_1 > 1$, तो $e_2 = 2/e_1 < 2$ होगा। साथ ही, $D = a^2 - 8 > 0 \implies a > 2\sqrt{2} \approx 2.828$। $e_1, e_2 > 1$ के लिए, मान लीजिए $f(x) = x^2 - ax + 2$ है। हमें $f(1) > 0$ और शीर्ष $a/2 > 1$ की आवश्यकता है। $f(1) = 1 - a + 2 = 3 - a > 0 \implies a < 3$। अतः, $S_1 = (2\sqrt{2}, 3)$, जिससे $\alpha = 2\sqrt{2}$ और $\beta = 3$ प्राप्त होता है।
$S_2$ के लिए, एक मूल $e_1 < 1$ और दूसरा $e_2 > 1$ है। इसका अर्थ है $f(1) < 0 \implies 3 - a < 0 \implies a > 3$। अतः, $\gamma = 3$ है।
हमें $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 + 3^2 = 8 + 9 + 9 = 26$ प्राप्त होता है।

(A) अतिपरवलय के लिए, स्थिति $\alpha > \beta \ge 0$ है।
दीर्घवृत्त के लिए, स्थिति $0 \le \alpha < \beta < 90^\circ$ है।
अतः, कथन $I$ सत्य है और कथन $II$ असत्य है।