Algebraic Identities Questions in Hindi

(D) बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=249$ और $b=248$ है:
$(249)^{2}-(248)^{2}=(249+248)(249-248)$
$= (497)(1)$
$= 497$
अतः,$(d)$ सही उत्तर है.

(B) हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका: $(x+y)^{3} = x^{3}+y^{3}+3xy(x+y)$ होती है।
इस मान को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x+y)^{3}-(x^{3}+y^{3}) = [x^{3}+y^{3}+3xy(x+y)] - (x^{3}+y^{3})$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$= x^{3}+y^{3}+3xy(x+y) - x^{3}-y^{3}$
$= 3xy(x+y)$.
चूंकि व्यंजक का सरलीकरण $3xy(x+y)$ है,इसलिए इसके गुणनखंड $3$,$x$,$y$ और $(x+y)$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$3xy$ एक गुणनखंड है।
अतः,$(b)$ सही उत्तर है।

(C) द्विपद विस्तार सूत्र $(a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$ का उपयोग करते हुए,हम $(x+3)^{3}$ का विस्तार करते हैं:
$(x+3)^{3} = x^{3} + 3(x^{2})(3) + 3(x)(3^{2}) + 3^{3}$
$= x^{3} + 9x^{2} + 3(x)(9) + 27$
$= x^{3} + 9x^{2} + 27x + 27$
यहाँ $x$ वाला पद $27x$ है। अतः,$x$ का गुणांक $27$ है।
इसलिए,सही विकल्प $(C)$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-1$
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}=-1$
दोनों पक्षों को $xy$ से गुणा करने पर: $x^{2}+y^{2}=-x y$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^{2}+y^{2}+x y=0$
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका: $x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+y^{2}+x y)$
इस सर्वसमिका में $x^{2}+y^{2}+x y=0$ का मान रखने पर:
$x^{3}-y^{3}=(x-y)(0)$
$x^{3}-y^{3}=0$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $49 x^{2}-b=\left(7 x+\frac{1}{2}\right)\left(7 x-\frac{1}{2}\right)$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=7x$ और $b=\frac{1}{2}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$49 x^{2}-b=(7 x)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$
$49 x^{2}-b=49 x^{2}-\frac{1}{4}$
समीकरण के दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $b=\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$
दिया गया है कि $a+b+c=0,$
इस मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (0)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = 0$
अतः,$a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc.$
इसलिए,सही विकल्प $(B)$ है।

(N/A) $(i)$ यहाँ,हम सर्वसमिका $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ का उपयोग कर सकते हैं। इस सर्वसमिका में $y = 3$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x + 3)(x + 3) = (x + 3)^2 = x^2 + 2(x)(3) + (3)^2 = x^2 + 6x + 9$.
$(ii)$ सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -3$ और $b = 5$ है,हमें प्राप्त होता है:
$(x - 3)(x + 5) = x^2 + (-3 + 5)x + (-3)(5) = x^2 + 2x - 15$.

(A) सीधे गुणा किए बिना $105 \times 106$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को $(100 + 5)$ और $(100 + 6)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = 100$,$a = 5$,और $b = 6$ है:
$105 \times 106 = (100 + 5)(100 + 6)$
$= (100)^2 + (5 + 6)(100) + (5 \times 6)$
$= 10000 + 11(100) + 30$
$= 10000 + 1100 + 30$
$= 11130$

(B) व्यंजक $49 a^{2}+70 a b+25 b^{2}$ का गुणनखंड करने के लिए,हम पदों का अवलोकन करते हैं:
$49 a^{2} = (7 a)^{2}$
$25 b^{2} = (5 b)^{2}$
$70 a b = 2(7 a)(5 b)$
इसे बीजीय सर्वसमिका $(x+y)^{2} = x^{2}+2 x y+y^{2}$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $x = 7 a$ और $y = 5 b$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$49 a^{2}+70 a b+25 b^{2} = (7 a+5 b)^{2} = (7 a+5 b)(7 a+5 b)$.

(A) हमारे पास व्यंजक है: $\frac{25}{4} x^{2}-\frac{y^{2}}{9}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\left(\frac{5}{2} x\right)^{2}-\left(\frac{y}{3}\right)^{2}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \frac{5}{2} x$ और $b = \frac{y}{3}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{25}{4} x^{2}-\frac{y^{2}}{9} = \left(\frac{5}{2} x+\frac{y}{3}\right)\left(\frac{5}{2} x-\frac{y}{3}\right)$

दी गई व्यंजक की तुलना $(x + y + z)^2$ से करने पर,हम पाते हैं कि $x = 3a$,$y = 4b$ और $z = 5c$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ का उपयोग करते हुए,मान रखने पर:
$(3a + 4b + 5c)^2 = (3a)^2 + (4b)^2 + (5c)^2 + 2(3a)(4b) + 2(4b)(5c) + 2(5c)(3a)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$(3a)^2 = 9a^2$
$(4b)^2 = 16b^2$
$(5c)^2 = 25c^2$
$2(3a)(4b) = 24ab$
$2(4b)(5c) = 40bc$
$2(5c)(3a) = 30ac$
अतः,विस्तारित रूप $9a^2 + 16b^2 + 25c^2 + 24ab + 40bc + 30ac$ है।

(N/A) बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(4a - 2b - 3c)^2 = [4a + (-2b) + (-3c)]^2$
$= (4a)^2 + (-2b)^2 + (-3c)^2 + 2(4a)(-2b) + 2(-2b)(-3c) + 2(-3c)(4a)$
$= 16a^2 + 4b^2 + 9c^2 - 16ab + 12bc - 24ac$

(A) दी गई व्यंजक $4x^2 + y^2 + z^2 - 4xy - 2yz + 4xz$ है।
इसे बीजीय सर्वसमिका $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिखते हैं:
$(2x)^2 + (-y)^2 + (z)^2 + 2(2x)(-y) + 2(-y)(z) + 2(2x)(z)$.
इसकी सर्वसमिका से तुलना करने पर,हमें $a = 2x$,$b = -y$,और $c = z$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $(2x - y + z)^2$ बन जाता है।
इस प्रकार,गुणनखंड $(2x - y + z)(2x - y + z)$ हैं।

(N/A) $(3a + 4b)^3$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y)$ का उपयोग करते हैं।
$(3a + 4b)^3$ की तुलना $(x + y)^3$ से करने पर,हमें $x = 3a$ और $y = 4b$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3a + 4b)^3 = (3a)^3 + (4b)^3 + 3(3a)(4b)(3a + 4b)$
$= 27a^3 + 64b^3 + 36ab(3a + 4b)$
$= 27a^3 + 64b^3 + 108a^2b + 144ab^2$.

(N/A) $(5 p-3 q)^{3}$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x-y)^{3} = x^{3} - y^{3} - 3xy(x-y)$ का उपयोग करते हैं।
$(5 p-3 q)^{3}$ की तुलना $(x-y)^{3}$ से करने पर,हमें $x = 5p$ और $y = 3q$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(5 p-3 q)^{3} = (5 p)^{3} - (3 q)^{3} - 3(5 p)(3 q)(5 p-3 q)$
घनों और गुणनफल की गणना करने पर:
$= 125 p^{3} - 27 q^{3} - 45 pq(5 p-3 q)$
$-45 pq$ का कोष्ठक के भीतर गुणा करने पर:
$= 125 p^{3} - 27 q^{3} - 225 p^{2} q + 135 p q^{2}$

(A) हमारे पास $(104)^{3} = (100 + 4)^{3}$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + y)^{3} = x^{3} + y^{3} + 3xy(x + y)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x = 100$ और $y = 4$ है:
$(100 + 4)^{3} = (100)^{3} + (4)^{3} + 3(100)(4)(100 + 4)$
$= 1000000 + 64 + 1200(104)$
$= 1000000 + 64 + 124800$
$= 1124864$.

(B) हम $999$ को $(1000 - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x - y)^{3} = x^{3} - y^{3} - 3xy(x - y)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x = 1000$ और $y = 1$ है:
$(1000 - 1)^{3} = (1000)^{3} - (1)^{3} - 3(1000)(1)(1000 - 1)$
$= 1,000,000,000 - 1 - 3000(999)$
$= 1,000,000,000 - 1 - 2,997,000$
$= 1,000,000,000 - 2,997,001$
$= 997,002,999$

(A) दी गई व्यंजक $8 x^{3}+27 y^{3}+36 x^{2} y+54 x y^{2}$ है।
हम इस व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(2 x)^{3}+(3 y)^{3}+3(2 x)^{2}(3 y)+3(2 x)(3 y)^{2}$.
यह बीजीय सर्वसमिका $a^{3}+b^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2} = (a+b)^{3}$ के रूप में है,जहाँ $a = 2 x$ और $b = 3 y$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2 x+3 y)^{3}$.
अतः,गुणनखंडित रूप $(2 x+3 y)(2 x+3 y)(2 x+3 y)$ है।

(N/A) हम बीजीय सर्वसमिका: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 2x$,$b = y$,और $c = 3z$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$8x^{3} + y^{3} + 27z^{3} - 18xyz = (2x)^{3} + (y)^{3} + (3z)^{3} - 3(2x)(y)(3z)$.
सूत्र लागू करने पर:
$= (2x + y + 3z)((2x)^{2} + (y)^{2} + (3z)^{2} - (2x)(y) - (y)(3z) - (2x)(3z))$.
दूसरे कोष्ठक के भीतर के पदों को सरल करने पर:
$= (2x + y + 3z)(4x^{2} + y^{2} + 9z^{2} - 2xy - 3yz - 6xz)$.

(A) $(x+4)(x+10)$ का गुणनफल ज्ञात करने के लिए,हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$
यहाँ,$a = 4$ और $b = 10$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x+4)(x+10) = x^2 + (4+10)x + (4 \times 10)$
पदों की गणना करने पर:
$= x^2 + 14x + 40$
अतः,गुणनफल $x^2 + 14x + 40$ है।

(A) $(x+8)(x-10)$ का गुणनफल ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $(x+a)(x+b) = x^{2} + (a+b)x + ab$।
यहाँ,$a = 8$ और $b = -10$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x+8)(x-10) = x^{2} + (8 + (-10))x + (8 \times (-10))$
व्यंजक को सरल करने पर:
$= x^{2} + (-2)x + (-80)$
$= x^{2} - 2x - 80$.

(A) $(3x + 4)(3x - 5)$ का गुणनफल ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,हम $x = 3x$,$a = 4$ और $b = -5$ लेते हैं।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3x + 4)(3x - 5) = (3x)^2 + (4 + (-5))(3x) + (4 \times (-5))$
$= 9x^2 + (-1)(3x) - 20$
$= 9x^2 - 3x - 20$.

(A) दी गई व्यंजक $\left(y^{2}+\frac{3}{2}\right)\left(y^{2}-\frac{3}{2}\right)$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = y^{2}$ और $b = \frac{3}{2}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$\left(y^{2}+\frac{3}{2}\right)\left(y^{2}-\frac{3}{2}\right) = (y^{2})^{2} - \left(\frac{3}{2}\right)^{2}$
$= y^{4} - \frac{9}{4}$

(A) $(3-2 x)(3+2 x)$ का गुणनफल ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $(a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2}$।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 2x$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3-2 x)(3+2 x) = (3)^{2} - (2x)^{2}$।
वर्गों की गणना करने पर:
$(3)^{2} = 9$ और $(2x)^{2} = 4x^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,गुणनफल $9 - 4x^{2}$ है।

(B) हम गुणनफल को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: $103 \times 107 = (100 + 3)(100 + 7)$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = 100$,$a = 3$,और $b = 7$ है:
$103 \times 107 = (100)^2 + (3 + 7) \times 100 + (3 \times 7)$
$= 10000 + (10 \times 100) + 21$
$= 10000 + 1000 + 21$
$= 11021$

(C) हम गुणनफल को इस प्रकार लिख सकते हैं: $95 \times 96 = (100 - 5) \times (100 - 4)$.
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = 100$,$a = -5$,और $b = -4$ है:
$95 \times 96 = (100)^2 + [(-5) + (-4)] \times 100 + [(-5) \times (-4)]$.
$= 10000 + (-9) \times 100 + 20$.
$= 10000 - 900 + 20$.
$= 9100 + 20 = 9120$.

(D) हमारे पास $104 \times 96 = (100 + 4)(100 - 4)$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 100$ और $b = 4$ है:
$= (100)^2 - (4)^2$
$= 10000 - 16$
$= 9984$.

(A) हमारे पास व्यंजक $9x^{2}+6xy+y^{2}$ है।
इसे $(3x)^{2} + 2(3x)(y) + (y)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a+b)^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 3x$ और $b = y$ है,हमें प्राप्त होता है:
$(3x+y)^{2} = (3x+y)(3x+y)$.

(B) हमारे पास व्यंजक $4y^{2}-4y+1$ है।
इसे $(2y)^{2}-2(2y)(1)+(1)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=2y$ और $b=1$ है,हमें प्राप्त होता है:
$(2y-1)^{2}$.
अतः,गुणनखंड $(2y-1)(2y-1)$ हैं।

(A) हमारे पास व्यंजक $x^{2} - \frac{y^{2}}{100}$ है।
इसे $x^{2} - (\frac{y}{10})^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = x$ और $b = \frac{y}{10}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2} - (\frac{y}{10})^{2} = (x + \frac{y}{10})(x - \frac{y}{10})$.

(A) हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$.
$(x + 2y + 4z)^2$ की तुलना सर्वसमिका से करने पर,हमें प्राप्त होता है $x = x$,$y = 2y$,और $z = 4z$.
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x + 2y + 4z)^2 = (x)^2 + (2y)^2 + (4z)^2 + 2(x)(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)(x)$.
प्रत्येक पद को सरल करने पर:
$= x^2 + 4y^2 + 16z^2 + 4xy + 16yz + 8zx$.

(A) $(2x - y + z)^2$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$a = 2x$,$b = -y$,और $c = z$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2x - y + z)^2 = (2x)^2 + (-y)^2 + (z)^2 + 2(2x)(-y) + 2(-y)(z) + 2(z)(2x)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$(2x)^2 = 4x^2$
$(-y)^2 = y^2$
$(z)^2 = z^2$
$2(2x)(-y) = -4xy$
$2(-y)(z) = -2yz$
$2(z)(2x) = 4zx$
इन सबको जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2x - y + z)^2 = 4x^2 + y^2 + z^2 - 4xy - 2yz + 4zx$.

(N/A) $(-2x + 3y + 2z)^2$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = -2x$,$b = 3y$,और $c = 2z$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-2x + 3y + 2z)^2 = (-2x)^2 + (3y)^2 + (2z)^2 + 2(-2x)(3y) + 2(3y)(2z) + 2(2z)(-2x)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$(-2x)^2 = 4x^2$
$(3y)^2 = 9y^2$
$(2z)^2 = 4z^2$
$2(-2x)(3y) = -12xy$
$2(3y)(2z) = 12yz$
$2(2z)(-2x) = -8zx$
इन परिणामों को संयोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4x^2 + 9y^2 + 4z^2 - 12xy + 12yz - 8zx$

(N/A) $(3a - 7b - c)^{2}$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x + y + z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy + 2yz + 2zx$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$x = 3a$,$y = -7b$,और $z = -c$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3a - 7b - c)^{2} = (3a)^{2} + (-7b)^{2} + (-c)^{2} + 2(3a)(-7b) + 2(-7b)(-c) + 2(-c)(3a)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$= 9a^{2} + 49b^{2} + c^{2} + (-42ab) + (14bc) + (-6ca)$
व्यंजक को सरल करने पर:
$= 9a^{2} + 49b^{2} + c^{2} - 42ab + 14bc - 6ca$

(N/A) $(-2x + 5y - 3z)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = -2x$,$b = 5y$,और $c = -3z$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-2x + 5y - 3z)^2 = (-2x)^2 + (5y)^2 + (-3z)^2 + 2(-2x)(5y) + 2(5y)(-3z) + 2(-3z)(-2x)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$(-2x)^2 = 4x^2$
$(5y)^2 = 25y^2$
$(-3z)^2 = 9z^2$
$2(-2x)(5y) = -20xy$
$2(5y)(-3z) = -30yz$
$2(-3z)(-2x) = 12zx$
इन परिणामों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4x^2 + 25y^2 + 9z^2 - 20xy - 30yz + 12zx$

हम बीजीय सर्वसमिका $(x+y+z)^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$x = \frac{1}{4}a$,$y = -\frac{1}{2}b$,और $z = 1$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left[\frac{1}{4} a-\frac{1}{2} b+1\right]^{2} = \left(\frac{1}{4} a\right)^{2} + \left(-\frac{1}{2} b\right)^{2} + (1)^{2} + 2\left(\frac{1}{4} a\right)\left(-\frac{1}{2} b\right) + 2\left(-\frac{1}{2} b\right)(1) + 2(1)\left(\frac{1}{4} a\right)$
$= \frac{1}{16} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + 1 - \frac{1}{4} ab - b + \frac{1}{2} a$.

(A) दी गई व्यंजक $4x^{2} + 9y^{2} + 16z^{2} + 12xy - 24yz - 16xz$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका: $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ca$ का उपयोग करेंगे।
दी गई व्यंजक की सर्वसमिका से तुलना करने पर:
$4x^{2} = (2x)^{2}$
$9y^{2} = (3y)^{2}$
$16z^{2} = (-4z)^{2}$ (चूंकि $-24yz$ और $-16xz$ पद ऋणात्मक हैं,इसलिए $z$ वाला पद ऋणात्मक होगा)।
अब,व्यंजक को इस प्रकार लिखें:
$= (2x)^{2} + (3y)^{2} + (-4z)^{2} + 2(2x)(3y) + 2(3y)(-4z) + 2(-4z)(2x)$
सर्वसमिका का उपयोग करने पर,यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$= (2x + 3y - 4z)^{2}$
अतः,गुणनखंडित रूप $(2x + 3y - 4z)(2x + 3y - 4z)$ है।

(A) दी गई व्यंजक $2x^2 + y^2 + 8z^2 - 2\sqrt{2}xy + 4\sqrt{2}yz - 8xz$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ का उपयोग करेंगे।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(-\sqrt{2}x)^2 + (y)^2 + (2\sqrt{2}z)^2 + 2(-\sqrt{2}x)(y) + 2(y)(2\sqrt{2}z) + 2(2\sqrt{2}z)(-\sqrt{2}x)$
यहाँ,$a = -\sqrt{2}x$,$b = y$,और $c = 2\sqrt{2}z$ है।
अतः,व्यंजक $(-\sqrt{2}x + y + 2\sqrt{2}z)^2$ या $(y - \sqrt{2}x + 2\sqrt{2}z)^2$ बन जाता है।

(A) $(2x + 1)^3$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 2x$ और $b = 1$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2x + 1)^3 = (2x)^3 + (1)^3 + 3(2x)(1)(2x + 1)$
पदों की गणना करने पर:
$= 8x^3 + 1 + 6x(2x + 1)$
$6x$ का कोष्ठक के अंदर गुणा करने पर:
$= 8x^3 + 1 + 12x^2 + 6x$
घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$= 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$

(N/A) $(2a - 3b)^{3}$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x - y)^{3} = x^{3} - y^{3} - 3xy(x - y)$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$x = 2a$ और $y = 3b$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$(2a - 3b)^{3} = (2a)^{3} - (3b)^{3} - 3(2a)(3b)(2a - 3b)$
घनों और गुणनफल की गणना करने पर:
$= 8a^{3} - 27b^{3} - 18ab(2a - 3b)$
$-18ab$ को कोष्ठक के अंदर गुणा करने पर:
$= 8a^{3} - 27b^{3} - (36a^{2}b - 54ab^{2})$
$= 8a^{3} - 27b^{3} - 36a^{2}b + 54ab^{2}$

व्यंजक $\left[\frac{3}{2} x+1\right]^{3}$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = \frac{3}{2}x$ और $b = 1$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left[\frac{3}{2} x+1\right]^{3} = \left(\frac{3}{2} x\right)^{3} + (1)^{3} + 3\left(\frac{3}{2} x\right)(1)\left(\frac{3}{2} x + 1\right)$
घातों और गुणनफल की गणना करने पर:
$= \frac{27}{8} x^{3} + 1 + \frac{9}{2} x \left(\frac{3}{2} x + 1\right)$
$\frac{9}{2}x$ को कोष्ठक के अंदर गुणा करने पर:
$= \frac{27}{8} x^{3} + 1 + \left(\frac{9}{2} x \cdot \frac{3}{2} x\right) + \left(\frac{9}{2} x \cdot 1\right)$
$= \frac{27}{8} x^{3} + 1 + \frac{27}{4} x^{2} + \frac{9}{2} x$
पदों को घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$= \frac{27}{8} x^{3} + \frac{27}{4} x^{2} + \frac{9}{2} x + 1$

(N/A) $\left(x-\frac{2}{3} y\right)^{3}$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a-b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a-b)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = x$ और $b = \frac{2}{3}y$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(x-\frac{2}{3} y\right)^{3} = x^{3} - \left(\frac{2}{3} y\right)^{3} - 3(x)\left(\frac{2}{3} y\right)\left(x-\frac{2}{3} y\right)$
$= x^{3} - \frac{8}{27} y^{3} - 2xy\left(x-\frac{2}{3} y\right)$
$= x^{3} - \frac{8}{27} y^{3} - 2x^{2}y + \left(2xy \cdot \frac{2}{3}y\right)$
$= x^{3} - \frac{8}{27} y^{3} - 2x^{2}y + \frac{4}{3}xy^{2}$

(D) हम जानते हैं कि $99 = 100 - 1$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 100$ और $b = 1$ है:
$(100 - 1)^{3} = 100^{3} - 1^{3} - 3(100)(1)(100 - 1)$
$= 1000000 - 1 - 300(99)$
$= 1000000 - 1 - 29700$
$= 1000000 - 29701$
$= 970299$

(A) $(102)^{3}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b)$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,हम $102$ को $(100 + 2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका में $a = 100$ और $b = 2$ रखने पर:
$(100 + 2)^{3} = (100)^{3} + (2)^{3} + 3(100)(2)(100 + 2)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$(100)^{3} = 1000000$
$(2)^{3} = 8$
$3(100)(2) = 600$
अब,इन मानों को वापस रखने पर:
$1000000 + 8 + 600(102)$
$= 1000000 + 8 + 61200$
$= 1061208$

(B) हम $998$ को $(1000 - 2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 1000$ और $b = 2$ है:
$(998)^{3} = (1000 - 2)^{3}$
$= (1000)^{3} - (2)^{3} - 3(1000)(2)(1000 - 2)$
$= 1,000,000,000 - 8 - 6000(998)$
$= 1,000,000,000 - 8 - 5,988,000$
$= 994,011,992$

(A) दी गई व्यंजक $8 a^{3}+b^{3}+12 a^{2} b+6 a b^{2}$ है।
हम इस व्यंजक को $(2 a)^{3}+(b)^{3}+3(2 a)^{2}(b)+3(2 a)(b)^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह बीजीय सर्वसमिका $(x+y)^{3} = x^{3}+y^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2}$ के रूप में है,जहाँ $x = 2a$ और $y = b$ है।
इसलिए,व्यंजक का सरलीकृत रूप $(2 a+b)^{3}$ है।
अतः,गुणनखंडित रूप $(2 a+b)(2 a+b)(2 a+b)$ है।

(A) दी गई व्यंजक $8a^3 - b^3 - 12a^2b + 6ab^2$ है।
हम इसे $(2a)^3 - (b)^3 - 3(2a)^2(b) + 3(2a)(b)^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह व्यंजक बीजीय सर्वसमिका $(x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3x^2y + 3xy^2$ के रूप में है,जहाँ $x = 2a$ और $y = b$ है।
अतः,$8a^3 - b^3 - 12a^2b + 6ab^2 = (2a - b)^3$ है।
इसे $(2a - b)(2a - b)(2a - b)$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(A) दी गई व्यंजक $27-125 a^{3}-135 a+225 a^{2}$ है।
हम इसे $(3)^{3}-(5 a)^{3}-3(3)^{2}(5 a)+3(3)(5 a)^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह व्यंजक बीजीय सर्वसमिका $(x-y)^{3} = x^{3}-y^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}$ का पालन करती है।
यहाँ,$x = 3$ और $y = 5a$ है।
अतः,$27-125 a^{3}-135 a+225 a^{2} = (3-5a)^{3}$ है।
इसे $(3-5a)(3-5a)(3-5a)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दी गई व्यंजक $64 a^{3}-27 b^{3}-144 a^{2} b+108 a b^{2}$ है।
इसे $(4 a)^{3}-(3 b)^{3}-3(4 a)^{2}(3 b)+3(4 a)(3 b)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह व्यंजक बीजीय सर्वसमिका $(x-y)^{3} = x^{3}-y^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}$ का पालन करता है,जहाँ $x = 4a$ और $y = 3b$ है।
अतः,व्यंजक का सरलीकरण $(4 a-3 b)^{3}$ होता है।
इस प्रकार,इसके गुणनखंड $(4 a-3 b)(4 a-3 b)(4 a-3 b)$ हैं।

(A) दी गई व्यंजक $27 p^{3} - \frac{1}{216} - \frac{9}{2} p^{2} + \frac{1}{4} p$ है।
हम इस व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(3p)^{3} - (\frac{1}{6})^{3} - 3(3p)(\frac{1}{6})(3p - \frac{1}{6})$.
यह बीजीय सर्वसमिका $x^{3} - y^{3} - 3xy(x - y) = (x - y)^{3}$ के रूप में है,जहाँ $x = 3p$ और $y = \frac{1}{6}$ है।
अतः,व्यंजक का सरल रूप $(3p - \frac{1}{6})^{3}$ है।
इसे $(3p - \frac{1}{6})(3p - \frac{1}{6})(3p - \frac{1}{6})$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।